MODUL Kalkulus Lanjut.1

MODUL MATA KULIAH

KALKULUS LANJUT

OLEH : 1. Rizqi Rizqi Tres Tresna naning ningsih sih 2. Swasti Swasti Maha Maharan ranii

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI MADIUN 2010

M odul Kalkulus Lanjut 1

A.

INTEGRAL RN RNGKAP 2

1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak peubah. peubah. Integral Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan dinamakan integral lipat atau integral rangkap. rangkap. Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di R 1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R 2. 2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga integral lipat tiga.

z

c a

d

y

b

x Gambar 1.1 Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ x ≤ d }. Bentuk suatu partisi dengan cara membuat

R

garis-garis garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi membagi R menjadi beberapa beberapa persegi panjang kecil yangk

( x , y )

k n k = k 1,2,...n. jumlahnya jumlahnya n buah, yang ditunjukkan ditunjukkan dengan denga 1,2,...n. Tetapkan Tetapkan ∆ x k dan ∆ y k adalah


A.

INTEGRAL RN RNGKAP 2

1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak peubah. peubah. Integral Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan dinamakan integral lipat atau integral rangkap. rangkap. Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di R 1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R 2. 2. Berikut akan kita bahas tentang integral lipat dua juga integral lipat tiga.

z

c a

d

y

b

x Gambar 1.1 Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ x ≤ d }. Bentuk suatu partisi dengan cara membuat

R

garis-garis garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi membagi R menjadi beberapa beberapa persegi panjang kecil yangk

( x , y )

k n k = k 1,2,...n. jumlahnya jumlahnya n buah, yang ditunjukkan ditunjukkan dengan denga 1,2,...n. Tetapkan Tetapkan ∆ x k dan ∆ y k adalah


panjang sisi-sisi Rk dan ∆ Ak = ∆ x k . ∆ y k adalah luas. Pada Rk ambil sebuah titik misal

n

( x k , y k ) dan bentuk penjumlahan Riemann

∑ f ( x k =1

k

, y k )∆Ak .

Definisi : Integral lipat dua Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R, jika : n

lim

IpI →0

∑ f ( x k =1

k

, y k ) ∆Ak ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut

∫ ∫ f ( x, y)dA , yang R

disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh

∫ ∫ R

f ( x, y ) dA = lim IpI →0

n

∑ f ( x k =1

k

, y k ) ∆Ak

• Sifat-sifat Integral Lipat Dua : Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:

∫ ∫kf ( x, y)dA = k ∫ ∫ f ( x , y)dA R

R

∫ ∫[ f ( x, y) + g ( x, y)]dA = ∫ ∫ f ( x, y)dA + ∫ g ∫ ( x, y )dA R

R

R

∫ ∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫ f ( x, y)dA + ∫ ∫ f ( x , y )dA R

R1

R2

Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) ≤ g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka :

∫ ∫ f ( x, y)dA ≤ ∫ g ∫ ( x , y)dA R

R


• Perhitungan Integral Lipat dua Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral lipat dua merupakan luas R.

∫ ∫kf ( x, y)dA = k ∫ ∫ f ( x , y)dA R

R

∫ ∫

= k 1dA R

= k.A(R) Contoh Soal 1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :

1,0 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1  f(x,y) = 2,0 ≤ x ≤ 3,1 ≤ y ≤ 2 3,0 ≤ x ≤ 3,2 ≤ y ≤ 3  hitung

∫ ∫ f ( x, y)dA dengan R = { ( x, y) : 0 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 3} R

jawab : misal persegi panjang R 1, R 2, R 3 R 1 = { ( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1} R 2 = { ( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3,1 ≤ y ≤ 2} R 3

= { ( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3,2 ≤ y ≤ 3} , lalu lalu gunak gunakan an sifat sifat penju penjuml mlah ahan an di inte integr gral al lipat lipat dua, dua,

sehingga :

∫ ∫ f ( x, y)dA = ∫ ∫ f ( x, y)dA + ∫ ∫ f ( x, y)dA + ∫ ∫ f ( x, y)dA R

R1

R2

R3

= 1.A(R 1) + 2. A(R 2) + 3.A(R 3) = 1.3 + 2.3 + 3.3


= 18 2. Hampiri

2 f ( x, y )dA dengan f ( x, y ) = 64 − 8 x + y , 16

∫ ∫ R

R = { ( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 8} . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann! Jawab : Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :

( x1 , y1 ) = (1,1), ( x 2 , y 2 ) = (1,3), ( x3 , y 3 ) = (1,5), ( x 4 , y 4 ) = (1,7),

f ( x 1 , y1 ) =

17

16 65 f ( x 2 , y 2 ) = 16 81 f ( x 3 , y3 ) = 16 105 f ( x 4 , y4 ) = 16

z

( x5 , y 5 ) = (3,1),

f ( x 5 , y5 ) =

( x 6 , y 6 ) = (3,3),

f ( x 6 , y6 ) =

( x 7 , y 7 ) = (3,5),

f ( x 7 , y7 ) =

( x8 , y 8 ) = (3,7),

f ( x 8 , y8 ) =

41 16 49 16 65 16 89 16

(0,8,8)

(0,0,4) (4,8,6)

(4,0,2)

8

y

4 (4,8) x


Jadi karena ∆ Ak = 4, ∆ Ak = ∆ x k ∆ y k = 2.2 = 4

∫ ∫

f ( x, y ) dA ≈

R

8

∑ f ( x

k

k =1

, y k ) ∆Ak

8

= 4

∑ f ( x

k

, y k )

k =1

=

4(57 + 65 + 81 + 105 + 41 + 49 + 65 + 89

= 138

16 2 3

• Integral Lipat Jika f ( x, y ) ≥ 0 pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1 V=

∫ ∫ f ( x, y)dA , R = { ( x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } . R

a

b

a R

Gb. 1

b Gambar 1.2


Iris : Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 2a)

z

y LA(y)

Gb. 2b

x ∆ y

Gb. 1.3

y

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y) ∆ y Volume ∆v dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh ∆v ≈ A(y) ∆ y , diintegralkan , d

∫

V = A( y ) dy , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa : c

A(y) =

b

d b

a

c

∫ f ( x, y)dx , sehingga : V = ∫ [∫ f ( x, y)dx]dy …….. (2) a

Dari (1) dan (2) :

∫ ∫

d b

∫ ∫

f ( x, y ) dA = [ f ( x, y )dx]dy begitu juga

R

c

a

∫ ∫

b

d

a

c

∫ ∫

f ( x, y )dA = [ f ( x, y )dy ]dx

R


• Perhitungan Integral Lipat

LATIHAN SOAL 1

Permasalahan : Hitung :

a.

b.

3

2

0

1

2

3

1

0

∫ [∫ (2 x + 3 y )dx]dy ∫ [∫ (2 x + 3 y)dy]dx 8 4

c.

1

∫ ∫ 16 (64 − 8 x + y

2

)dxdy

0 0

Jawab :

a.

3

2

0

1

∫ [∫ (2 x + 3 y )dx]dy

............................................................................................................................................ ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................


b.

2

3

1

0

∫ [∫ (2 x + 3 y)dy ]dx

............................................................................................................................................ ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

8 4

c.

1

∫ ∫ 16 (64 − 8 x + y

2

) dxdy

0 0

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

• Perhitungan Volume


Contoh soal : Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x 2 –y dan dibawah persegi panjang R = { ( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2} Jawab :

z

(0,0,4)

(0,2,2) (1,0,3) (1,2,1) y 2 1

(1,2)

x

Jawab : V=

∫ ∫ f ( x, y)dA R

=

∫ ∫

( 4 − x 2 − y ) dA =

R

2 1

∫ ∫ (4 − x

1 3 1 = [[4 x − x − yx] 0 ]dy = 3 0

∫

16 3

− y )dxdy

0 0

2

=

2

2

∫

(4 −

0

1 3

− y)dy

satuan volum

AYO DISKUSI KELOMPOK...


Kerjakan permasalahan berikut, diskusikan dengan anggota kelompokmu!

Permasalahan : 1. Andai R = { ( x, y ) : 1 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2} .

2 f ( x, y ) =  , 1≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 3 Hitung

,

3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2

∫ ∫ f ( x, y)dA ! R

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... 2. Andai R = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2 } R1 = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 1 } R2 = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2 } Jika

∫ ( x, y)dA = 2, tentukan : ∫ ∫ f ( x, y)dA = 3, ∫ g ∫ ( x, y)dA =5, ∫ g R

a.

R

R1

∫ ∫ [3 f ( x, y) − g ( x, y)]dA R

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................


...........................................................................................................................................

b.

∫ ∫2 g ( x, y)dA + ∫ ∫3dA R1

R1

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

c.

∫ g ∫ ( x, y)dA R2

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

3. Hitung : 4 2

a.

∫ ∫ ( x + y

2

) dydx

−1 1

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................


π 1

∫ ∫ ( x sin y)dxdy

b.

0 0

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

4.

Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z = x+y+1 diatas

R = { ( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1,1 ≤ y ≤ 3} !

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

KUIS


Kerjakan soal berikut dengan benar! 1. Hitung

∫ ∫ ( x

2

+ y 2 )dA jika R = { ( x, y ) : −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2} !

R

2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z = 2x + 3y atas

R

= { ( x, y ) : 1 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 4} !

2. Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang

z = f(x,y)

S

S

M odul Kalkulus Lanjut 14 Gb.1

Gb.2

S f(x,y)=0

Gb.3

Gambar 2.1 Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh suatu persegi panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2). andai f(x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R diluar S (Gb.3), f dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada R.

∫ ∫ f ( x, y)dA = ∫ ∫ f ( x, y)dA S

R

Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu φ 1 dan

φ 2 pada [a,b] sedemikian sehingga : S : {( x, y ) : φ 1 ( x) ≤ y ≤ φ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b}

y

y

x= ϕ 1 ( y )

x= ϕ 2 ( y )

y=(x)

d S

S

M y= (x)

0

odul Kalkulus Lanjut 15 x

c a

b

x

0

Gb.2.2 Sebuah himpunan y sederhana

Gb. 2.3 sebuah himpunan x sederhana

Bukan himpunan x sederhana S

Atau y sederhana

y y= φ 2 (x) S y= φ 1 (x) R

0

Gb.2.4

x

a

x

b

Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu Φ 1 dan

Φ 2 pada [a,b] sedemikian sehingga : S : {( x, y ) : φ 1 ( x ) ≤ y ≤ φ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b} . Sedangkan suatu himpunan S adalah x sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu Ψ1 dan Ψ2 pada S : {( x, y ) : ϕ 1 ( y ) ≤ x ≤ ϕ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d } . Jika kita ingin

[c,d] sedemikian sehingga :

menghintung integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S yang y sederhana. Kita lingkungi S di dalam suatu persegi panjang R (gb.6) dan membuat f(x,y)=0 di luar S, maka :

∫ ∫

f ( x, y ) dA =

S

∫ ∫

b

d

a

c

∫ ∫

f ( x, y )dA = [ f ( x, y )dy ]dx

R


b Φ2

∫ ∫

= [ f ( x, y )dy ]dx , secara ringkas a

∫ ∫

f ( x, y ) dA =

S

Φ1

b Φ 2 ( x )

∫ ∫ f ( x, y)dydx a Φ1 ( x )

Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu adalah sepanjang garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan luas A(x) dari gambar tersebut, akhirnya A(x) diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika himpunan S adalah x sederhana, maka

∫ ∫

f ( x, y ) dA =

S

d ϕ 2 ( y )

∫ ∫ f ( x, y )dxdy c ϕ 1 ( y )

z z=f(x,y)

A(x)

y

a

b x

y= φ 1 (x)

y= φ 2 (x) Gb.2.5

LATIHAN 3

Kerjakan soal berikut! 1. Hitung :


5 x

2

∫ ∫ (4 x + 10 y)dydx

a.

3 − x

1 y

2

∫ ∫ (2 ye

x

b.

) dxdy

0 0

Jawab : 5 x 2

a.

∫ ∫ (4 x + 10 y)dydx 3 − x

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

1 y

b.

2

∫ ∫

(2 ye x ) dxdy

0 0

........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... AYO DISKUSI KELOMPOK...

1.

2 2 Cari volume benda di oktan I, oleh silinder x + y = 25 , y =

25 − x 2 !

.................................................................................................................................................


................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

2.

Dengan menggunakan double integral, buktikan rumus luas lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 = A 2 ! Buktikan dengan bentuk integral berikut:

∫ ∫ dydx dan ∫ ∫ dxdy !

................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................


3.

Hitung isi benda yang dibatasi oleh tabung (silinder) x + y = a , z = 0, dan bidang z - y = 0! ................................................................................................................................................. 2

2

2

................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

KUIS

Kerjakan soal-soal berikut ini! 2 2 1. Hitung isi benda yang dibatasi oleh bidang z =0, permukaan z = x + y + 2 dan tabung

x 2 + y 2 = 4 !

M 2 odul Kalkulus Lanjut 20

2.

Hitung isi benda yang terjadi oleh pemotongan kedua silinder x 2 + z 2 = a 2 dan y 2 + z 2 = a 2 !

3. 2 3 y

∫ ∫ ( x + y )dxdy

a.

1 y

2 d. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 6 x − x dan y = x

2 e. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x dan y = 2x +3

1 x

b.

c.

∫ ∫ xy 0 x

2

1 x

2

2

dydx

y

dydx

∫ ∫ xe 0 0

3. Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub

Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan tak negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan ini dan diatas R adalah

V=

∫ ∫ f ( x, y)dA ......

(1)

R

Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk : R = { (r , θ ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β }

z


θ = β

z=f(x,y)=F(r, θ )

r=b

R

θ = α

y

r=a

x

Gb.2.7

R

Gb.2.6

Dengan α ≥ 0 dan β − α ≤ 2π . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai z = f(x,y) = f ( r cos θ , r sin θ ) = f (r ,θ )

Partisi R dalam persegi panjang kutub yang R k k

R

lebih kecil R 1, R 2 , …. R n. dengan menggunakan suatu kisi kutub

k

pada gambar diatas luas A(R k) dapat ditulis : R k

Gb.2.8

A( Rk ) = r k ∆r k ∆θ k dengan r k adalah radius

rata-rata R . Jadi V ≈

n

r k , θ k r k ∆r ∆θ


Sehingga : V=

∫ ∫ f (r ,θ )rdrd θ = ∫ ∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrd θ ........ R

(2)

R

Dari (1) dan (2) :

∫ ∫ f ( x, y)dA = ∫ ∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrd θ R

R

Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari yang lalu kita mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana, pada pengintegralan kutub ini, kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana dan himpunan θ sederhana. Himpunan r sederhana berbentuk S : {(r ,θ ) : φ 1 (θ ) ≤ r ≤ φ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β } dan disebut θ sederhana jika berbentuk :

r=

=

θ = β S

S

r=

=

α = odul Kalkulus Lanjut θ

r=a

23

r=b

M

Gb.2.9 Himpunan r sederhana

Gb.2.10 Himpunan θ sederhana

LATIHAN 3

Kerjakan soal-soal berikut ini diskusikan dengan temanmu!

1.

Hitung

∫ ydA ∫ dengan s adalah daerah di kuadran 1 yang berada di luar lingkaran r =2 dan s

di dalam kardioid r = 2(1 + cos θ ) Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................


2 2 2. Tentukan volume benda pejal di bawah permukaan z = x + y ,diatas bidang x,y dan di

2 2 dalam tabung x + y = 2 y

Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

3.

Hitung luas daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam kardioid r = 2(1 + cos θ )

Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................


................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

4. Penerapan Integral 2

Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan lain yaitu mencari massa, pusat massa dan momen inersia. a. Massa Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan (massa/ satuan luas) di (x,y) dinyatakan oleh δ ( x, y ) . Partisikan s dalam persegi panjang kecil


R 1 , R2 ,... Rk . Ambil titik ( x k , y k ) pada Rk . Massa Rk secara hampiran δ ( x, y ) ARk dan

massa total lamina secara hampiran m =

n

∑ δ ( x

k

, y k ) A( Rk )

k =1

Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi mendekati nol, sehingga : n

lim Σ δ ( x k , y k ) A( Rk )

P →0 k =1

Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2: m=

∫ ∫ δ ( x, y)dA s

b. Pusat Massa Jika m1 , m 2 ,...m n adalah kumpulan titik massa yang masing-masing ditempatkan di ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) ,.......,( x n , y n ) pada bidang maka momen total terhadap sumbu y dan

sumbu x. M y =

n

∑

x k m k , M x =

k =1

n

∑ y m k

k

. Koordinat ( x, y ) dari pusat massa:

k =1

Koordinat ( x, y ) dari pusat massa.

x =

M y m

∫ x∫ δ ( x, y )dA =

s

∫ ∫ δ ( x, y )dA

dan y =

s

M x m

∫ y∫ δ ( x, y )dA =

s

∫ δ ∫ ( x, y )dA s

Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama), tapi jika kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:

∫ ∫

δ xdA x =

s

∫ ∫

δ dA s

∫ ∫

δ ydA dan y =

s

∫ ∫

δ dA s


c. Momen Inersia Definisi: Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat jarak terpendek dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan r adalah jarak, sehingga : I = m1 r 1 + m2 r 2 + ....mn r n = 2

2

2

n

∑ m r

2 k k

k =1

Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan δ ( x, y ) yang mencakup suatu daerah s dari bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri momen inersia tiap keping Rk , ambil limit dan dbawa ke rumus diatas, sehingga momen inersia terhadap sumbu x, y dan z adalah I x , I y , dan I z I x = lim P →0

I y = lim P →0

n

∑ m y k

2 k

k =1

2 = ∫ y ∫ δ ( x, y)dA s

n

∑ m y k

k =1

I z = I x + I y =

2 k

2 = ∫ x ∫ δ ( x, y)dA s

∫ ∫ ( x

2

+ y 2 )δ ( x, y )dA

s

Cotoh soal: 2/3 Sebuah lamina dengan kerpatan δ ( x, y ) = xy dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva y = x .

Tentukan : a.

Massa

b.

Pusat massa


c.

Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z Jawab : a.

m=

∫ ∫ δ ( x, y )dA s

=

=

=

8 x

2/3

0

0

1

8

∫ ∫ xydydx 2 1

∫ [ xy ]

2 2/3 0

dx

0

8

x 2 ∫

7/3

dx

0

=

1

8

3

[ x 2 ∫ 10

]

10 / 3 8 0

0

LATIHAN 4

Kerjakan soal-soal berikut ini diskusikan dengan temanmu!

1.

2 Tentukan letak titik berat ( x, y ) dari bidang datar yang dibatasi oleh parabola y = x dan

2 2 garis x = 1, jika kerapatan k di titik ( x, y ) adalah k = x + y !


Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

2.

Hitung momen inersia terhadap sumbu koordinat dan titik O, dari bidang datar yang 2 dibatasi oleh parabola x + y − y = 0 dan garis x + y = 0, dengan kerapatan k di titik (x,y)

adalah k = x + y! Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................


.................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

3.

Hitung momen inersia Ix, Iy, Iz dari bidang datar yang terletak pada kuadran I dalam lingkaran r = 2a cos θ dan diluar lingkaran r = a !

Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

B.

INTEGRAL RANGKAP 3

1. Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius z

y ( x k , y k , z k )


B ∆z ∆x

x Gb. 3.1

∆y

Bk

Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu partisi P dari B dengan meletakkn bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam balok balok bagian, yaitu: B1 , B2, ...., Bk ,...., Bn . Pada Bk , ambil satu titik contoh ( x k , y k , z k ) dan dengan penjumlahan Riemann diperoleh: n

∑ f ( x k =1

k

, y k , z k ) ∆V k

Dengan ∆V k = ∆ x k , ∆ y k , ∆z k adalah volum Bk . Jika P adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut: n

∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dV = lim∑ f ( x P →0

B

k

, y k , z k ) ∆V k

k =1

Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat tiga mempunyai urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua. Sehingga integral lipat di fungsi f(x,y,z) atas daerah B ditulis sebagai berikut:

∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dV , misalnya kita tuliskan ∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dxdydz , yang mempunyai arti: B

B

a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z sebagai konstanta b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z sebagai konstanta c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z.


Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan pengintegralannya menyesuaikan. Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup maka untuk menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali, demikian pula untuk menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f kontinu. Sehingga bila B balok persegi panjang yang dibatasi. B = {( x, y , z ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f }

z

f

e

c

d

y

a b x

Gb. 3.2 Bila B = {( x, y , z ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , e ≤ z ≤ f }, maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B adalah: b

d f

a

c

∫ ∫ f ∫( x, y, z )dV = ∫ {∫ (∫ f ( x, y, z )dz )dy}dx } B

e

Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga. 2.

Perhitungan dan Penerapan Integral Rangkap 3

Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S himpunan z sederhana dan S xy adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy, untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:


z

y Sxy

Gb. 3.3

x y

Sxy

x

Gb. 3.4

Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh: z 2 ( x , y )

∫ ∫ f ∫( x, y, z )dV = ∫ ∫[ ∫ f ( x, y, z )dz ]dA S

S xy z 1 ( x , y )

Dimana Sxy adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya jika S xy daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar 3.4 . yang dibatai oleh: S xy = {( x, y ) : y1 ( x) ≤ y ≤ y 2 ( x), a ≤ x ≤ b} , sehingga dengan integral berulang diperoleh:

z 2 ( x , y )

∫ ∫ f ∫( x, y, z )dV = ∫ ∫[ ∫ f ( x, y, z )dz ]dA S

S xy z 1 ( x , y )


b y 2 ( x ) z 2 ( x , y )

∫ ∫

= [

(

∫ f ( x, y, z )dz )dy]dx

a y1 ( x ) z 1 ( x , y )

Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan urutanurutan pengintegralannya.

LATIHAN 4

2 x x + y

1.

Hitung

∫ ∫ ∫ yzdzdydx 0 0 y

Jawab ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................

1 x xy

2.

Hitung

∫ ∫ ∫ x y zdzdydx 3

2

0 0 0

Jawab ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................


AYO DISKUSI KELOMPOK...

Kerjakan soal berikut diskusikan dengan teman kelompokmu! 1. Hitung ∫ ∫ x∫ yz dV , bila B = {( x, y , z ) : 1 ≤ x ≤ 2,2 ≤ y ≤ 3,0 ≤ z ≤ 2} , bila diambil 2

3

B

pendekatan dV=dx dy dz ! Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................


................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

2. Hitung

∫ ∫ f ∫ ( x, y, z )dV , jika f(x,y,z) = xz . S adalah benda pejal yang dibatasi silinder S

paraboloid x + z 2 = 4 , bidang x + y =4, y = x, x = 0, y = 0. ! Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

3.

Hitung volume benda pejal dibawah bidang y + z = 4 dan dibatasi silinder paraboloid y = x 2 , y = 2 − x 2 , bidang-bidang x = 0 dan z = 0 !


Jawab ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

KUIS

Kerjakan soal-soal berikut ini! 1.

2 2 Hitung volume benda pejal di bawah permukaan paraboloid z = 4 − y dibatasi x = y , x +

y = 2, z = 0, x = 0 ! 2.

2 2 Hitung isi benda yang dibatasi bidang z = 0, permukaan z = x + y + 2 dan tabung

x 2 + y 2 = 4 !



MODUL Kalkulus Lanjut.1

Recommend Documents