Tecnicas o Reglas de Derivacion

Técnicas o Reglas d e Derivación Llamamos derivación o diferenciación al proceso de hallar la derivada de una función. Cuando hallamos la derivada de una función aplicando la definición de derivada tenemos el inconveniente de lo engorroso del procedimiento. Para obviar estas dificultades se dispone de ciertas propiedades o teoremas que nos facilitan la tarea de derivación en su aspecto operativo. Teorema 1(Re gla de la Constante) Constante)  “La derivada de la función constante es cero”, esto es: Si f (x) = c entonces

f ’ (x) ’  (x) = 0 ó Dx (c) = 0

ó

dc =0 dx

.

Teorema 2(Regla de la P otencia)  “La derivada de la función potencia es igual al producto del exponente por la función con su exponente disminuido en la unidad”, esto es: Si f (x) =xn y n es un número real, entonces f ’ (x) ’  (x) =nx

n-1

n

n-1

ó Dx(x ) = nx

d n n-1 ( ) x nx = ó . dx

Corolario La derivada de la función identidad f(x) = x es f ’(x) = 1 ó Dx(x) =1 ó

dx =1 dx

.

Teorema 3(R egla de la Suma y de la Diferencia) "La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus respectivas derivadas, esto es: Si f y g son dos funciones derivables, entonces

( f ± g)’ (x) = f’ (x) ± g’ (x)

ó

Dx ((f ± g)(x)) = Dx (f(x)) ± Dx (g(x)) ó

d d d [f(x) ± g(x)] = (f(x)) ± (g(x)) . dx dx dx Teorema 4(Regla del Producto) "La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma, del producto de la primera función por la derivada de la segunda, y, el producto de la derivada de la primera función por la segunda función”, esto es: Si f y g son dos funciones derivables entonces

( f . g)’ (x) = f(x). g’ (x) + g(x) . f’ (x)

ó

Dx ((f . g)(x)) = f(x). D x (g(x)) + g(x) . Dx (f(x))

ó

d d d [f(x). g(x)] = f(x). (g(x)) + g(x). (f(x)) dx dx dx

.

Corolario "La derivada de una función multiplicada por una constante es igual al producto de la constante por la derivada de la función" esto es: Si c una constante cualquiera y f es una función diferenciable, entonces (c.f)'(x) = c. f'(x) ó Dx (c.f(x)) =c. Dx (f(x))

d d [c.f(x)] = c. (f(x)) dx dx

ó .

Teorema5 (Reg la del Cociente) "La derivada del cociente de dos funciones es igual al cociente entre, el producto de la función en el denominador por la derivada de la función en el numerador menos el producto de la función en el numerador por la derivada de la función en el denominador, y, el cuadrado de la función en el denominador”, esto es: Si f y g son dos funciones derivables entonces: ( f / g)’ (x) =[g(x) . f’ (x) - f(x). g’ (x)] / [g(x)]²

⎛  f(x )  ⎞ g(x).Dx (f(x)) - f(x).D (g(x)) ⎟⎟ = D ⎜⎜ [g(x)]2 ⎝ g(x) ⎠ d d g(x (f(x)) f(x (g(x)) ). ). d ⎛  f(x )  ⎞ dx dx ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 dx ⎝ g(x ) ⎠ [g(x )] x

 x

ó ó

.

Derivadas de las funciones trigonométricas Teorema 6:

Teorema 7:

Teorema 8:

D x ( s en ( x ) ) = co s( x )

D x ( c os ( x ) ) = – se n ( x )

D x ( t a n ( x ) ) = Se c² ( x )

Teorema 9:

Teorema 10:

Teorema 11:

D x ( c o t ( x ) ) = – csc² ( x )

D x ( s e c ( x ) ) = s e c ( x ) . t a n ( x ) D x ( c sc( x ) ) = – csc( x ) . co t ( x )

Derivada de una Función Compuesta y Regla de la Cadena La gran mayoría de las funciones que se estudian en cálculo están construidas por una composición de funciones, de aquí  la importancia de conocer un método sencillo para diferenciar dichas funciones; el método utilizado para hallar la derivada de una función compuesta se conoce como " R e g l a d e l a   c a d e n a  " . Teorema(Regla de la cadena) : dy du Si y =f(u), u =g(x) , y si , existen, entonces la función du dx compuesta definida por y = f(g(x)) tiene una derivada dada por :

dy dy du = . = f '(u).g'(x) = f '(g(x)). g'(x) dx du dx