Un árbol de análisis sintáctico o árbol de derivación es un árbol cuyos nodos representan terminales y no terminales de la gramática donde el nodo raíz es el símbolo de inicio y los hijos de cada nodo no terminal son los símbolos que reemplazan a ese no terminal en la derivación (ningún símbolo terminal puede ser nodo interior del árbol, ni ningún símbolo no terminal puede ser una hoja).
A continuación se presenta un árbol de análisis sintáctico para la cadena zazababa usando la siguiente gramática y cual quiera de las derivaciones. Ejemplo 1
S M M N N
zMNz aMa z bNb z
S
zMNz
aMaNz
zazaNz
zazabNbz
zazabzbz
Una secuencia de derivaciones puede representarse mediante un árbol. Formalmente. Definición (Árbol de derivación) Dada una gramótica independiente del contexto
G = (V, T, P, S), se define un árbol de derivación para G como uno que verifica las siguientes condiciones: - cada nodo interior está etiquetado con una variable de V , - cada hoja está etiquetada con una variable, un carácter terminal o ε, - si un nodo está etiquetado con una variable A y sus hijos están etiquetados con X1, . . . ,X n (respetando el orden de aparición), entonces A → X 1 · · ·Xn es una producción de P.
Ejemplo
La derivación P ⇒G 1P1 ⇒G 10P01 ⇒G 10101. puede representarse mediante el siguiente árbol de derivación:
Nótese que la cadena obtenida concatenando, de izquierda a derecha, las hojas del árbol es, precisamente, 10101. Obviamente, los árboles que centrarán nuestra atención son aquellos cuya raíz está etiquetada con la variable inicial y cuyas hojas están etiquetadas con carácteres terminales, i.e. representan cadenas del lenguaje. Veamos a continuación que los árboles de derivación y las secuencias de derivaciones son, esencialemnte los mismos objetos, i.e. son equivalentes. Teorema 1 Dada una gramática independiente del contexto, digamos G = (V, T, P, S), una variable A ∈ V y una cadena w ∈ T* tal que A ⇒* w.
Entonces, existe un árbol de derivación cuya raíz está etiquetada con A y cuyo resultado es w. Demostración La demostración se lleva a cabo por inducción en el número de
derivaciones.
Supongamos que w se puede inferir en un único paso de derivación a partir de A, i.e. que A → w es una producción. Si w = w 1 · · ·w m, donde w 1, . . . , w m ∈ (V ∪ T), construimos el siguiente árbol de derivación.
En el caso de que w = ε, el árbol que se construye es el siguiente:
Por inducción, supongamos que para toda cadena derivable de A en a lo más n pasos, tiene asociada un árbol de derivación. Sea w una cadena que derivable a partir de A en n + 1 pasos. Supongamos además que la primera derivación es de la forma A ⇒ X1 · · ·X m, donde X1, . . . ,X m ∈ (V ∪T)* ∪{ε}. Para cada i ∈ N, con 1 ≤ i ≤ m, distinguimos los siguientes casos: - Si Xi = ε, asociamos a X i el árbol Ti definido como
- Si Xi = w, con w ∈ T, construimos el árbol de derivación
- Finalmente, si X i ∈ V , considerando las derivaciones que afectan a X i, obtenemos una cadena subcadena de w, digamos w i ∈ (V ∪ T)*, y una secuencia de a lo más n derivaciones Xi ⇒ wi. Por hipótesis inductiva, existe un árbol de derivación, digamos Ti, cuya raíz está etiquetada con X i y cuyo resultado es, precisamente, wi. En resumen, para cada Xi, con i ∈ N y 1 ≤ i ≤ m, tenemos un árbol de derivación asociado Ti. Definimos entonces el árbol
La demostración concluye observando que el resultado de dicho árbol es la concatenación de los símbolos w1, . . . ,w m (sean del alfabeto terminal o va riables), i.e. w = w 1 · · ·w m. Teorema 2. Dado un árbol de derivacién de una gramática G = (V, T, P, S) cuya raíz está etiquetada mediante A ∈ V y cuyo resultado es w ∈ (V ∪ T)* , existe una secuencia de derivaciones tales que A ⇒* w.
Demostración .– La demostración se llevará a cabo por induccién en la profundidad del árbol. Supongamos que el árbol tiene profundidad nula. Por lo tanto, el árbol es de la forma:
donde X1, . . . ,Xm ∈ (V ∪ T)* . Gracias a la definición de árbol de derivación se sigue que A → X1 · · ·Xm es una producción, por lo que A ⇒ X1 · · ·Xm es una derivación admisible. Supongamos que el resultado es cierto para cualquier árbol de derivación de profundidad n y demostremoslo para los árboles de profundidad n + 1. Sea A la raíz de un árbol de profundidad n+1, y sean X 1, . . . ,Xk ∈ (V ∪T) las etiquetas de sus hijos. Si X i es, para algún i ∈ N con 1 ≤ i ≤ k, un carácter terminal, definimos w i := Xi. En caso contrario, se sigue que X i es una variable raíz de un árbol de profundidad a lo más n. Por hipótesis, existe una derivación que tiene como resultado el resultado del árbol cuya raíz es Xi, i.e. Xi ⇒* wi. En cualquier caso, el resultado del árbol con raíz A es exactamente w = w 1 · · ·wk , por lo que A ⇒ X1 · · ·Xk ⇒* w1 · · ·wk .
Nota Una atenta lectura de la demostración anterior revela que el tipo de derivaciones que aparecen son precisamente las derivaciones más a la izquierda. Esto es, dado un árbol de derivación podemos construir una derivación más a la izquierda con igual resultado.
http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/teoriadelacomputacion/t32.htm de este link lo tome se me hace mas fácil este explicacion
