Tarea de Investigación Operativa

Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí

García Loor Gisella Stefanía

4to. “A”

Portafolio de Investigación de Operaciones

Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones CONTENIDO ........................................................................................................................ ....................................................... 4 INTRODUCCIÓN.................................................................

DESARROLLO .................................................................... ........................................................................................................................... ....................................................... 6 ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?.................................................... 6 HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES .............................................. 8 ÁREAS DE APLICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES OPERACIONES ................ 12 OBJETIVOS Y MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ............... 15 DEFINICIÓN DE MODELOS .............................................................. .............................................................................................. ................................ 17 TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. ............................ 18 Modelo Matemático: .............................................................. ......................................................................................................... ........................................... 18 .................................................................................................... ........................................... 18 Modelo de Simulación: .........................................................

Modelos Formales: ................................................................. ........................................................................................................... .......................................... 18 FASES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.................................................. 19 .......................................................................... ...... 19 Formulación y definición del problema .................................................................... ................................................................................................. ............................... 20 Construcción del modelo .................................................................. ......................................................................................................... ........................................... 20 Solución del modelo ..............................................................

Validación del modelo ........................................................... ...................................................................................................... ........................................... 20 ........................................................................................ ............................... 21 Implementación de resultados .........................................................

ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. ............................................................ .................................................................................................................. ...................................................... 21 Variables y parámetros de decisión

.............................................................................. .......................................................... .................... 22

Restricciones ............................................................... ..................................................................................................................... ...................................................... 23 ................................................................................................................ .......................................... 23 Función objetivo ......................................................................

PROGRAMACIÓN LINEAL.................................................................. ................................................................................................. ............................... 23 HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................ 23 VARIABLES.................................................................. ....................................................................................................................... ..................................................... 24 ............................................................................................................ .......................................... 25 RESTRICCIONES ..................................................................

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones CONTENIDO ........................................................................................................................ ....................................................... 4 INTRODUCCIÓN.................................................................

DESARROLLO .................................................................... ........................................................................................................................... ....................................................... 6 ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES?.................................................... 6 HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES .............................................. 8 ÁREAS DE APLICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES OPERACIONES ................ 12 OBJETIVOS Y MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ............... 15 DEFINICIÓN DE MODELOS .............................................................. .............................................................................................. ................................ 17 TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. ............................ 18 Modelo Matemático: .............................................................. ......................................................................................................... ........................................... 18 .................................................................................................... ........................................... 18 Modelo de Simulación: .........................................................

Modelos Formales: ................................................................. ........................................................................................................... .......................................... 18 FASES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.................................................. 19 .......................................................................... ...... 19 Formulación y definición del problema .................................................................... ................................................................................................. ............................... 20 Construcción del modelo .................................................................. ......................................................................................................... ........................................... 20 Solución del modelo ..............................................................

Validación del modelo ........................................................... ...................................................................................................... ........................................... 20 ........................................................................................ ............................... 21 Implementación de resultados .........................................................

ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. ............................................................ .................................................................................................................. ...................................................... 21 Variables y parámetros de decisión

.............................................................................. .......................................................... .................... 22

Restricciones ............................................................... ..................................................................................................................... ...................................................... 23 ................................................................................................................ .......................................... 23 Función objetivo ......................................................................

PROGRAMACIÓN LINEAL.................................................................. ................................................................................................. ............................... 23 HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................ 23 VARIABLES.................................................................. ....................................................................................................................... ..................................................... 24 ............................................................................................................ .......................................... 25 RESTRICCIONES ..................................................................

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones FUNCIÓN OBJETIVO ........................................................... ...................................................................................................... ........................................... 26 .......................................................................................... ............................... 26 PROGRAMACIÓN ENTERA ...........................................................

APLICACIONES ..................................................................... ............................................................................................................... .......................................... 27 ............................................................................................ ............................... 28 LA HERRAMIENTA SOLVER ............................................................. ................................................................................... .................... 30 Ejemplo de Cómo Utilizar Solver ............................................................... ............................................................................................ ............................... 35 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.............................................................

OBJETIVO PRINCIPAL DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD .................................... 36 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD GRÁFICO ........................................................... .................................................................... ......... 36 ................................................................................................. ............................... 37 EJERCICIOS EN CLASES ..................................................................

Ejercicio1. ..................................................................... .......................................................................................................................... ..................................................... 37 .......................................................................................................................... ..................................................... 39 Ejercicio2. .....................................................................




Ejercicio9. ..................................................................... .......................................................................................................................... ..................................................... 52 ........................................................................................................................ ..................................................... 55 Ejercicio10. ...................................................................

Ejercicio11. ................................................................... ........................................................................................................................ ..................................................... 57 ...................................................................................................................... ..................................................... 60 CUESTIONARIO .................................................................

CONCLUSIONES ............................................................... ..................................................................................................................... ...................................................... 66 ................................................................................................................................. ................................................................. 67 Bibliografía ................................................................

Tabla de Ilustraciones Ilustración 1... Modelo de Simulación en Excel ................................................ 32 Ilustración 2...Simulación en Solver ................................................................. 34

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Ilustración 3... Simulación en Solver ................................................................ 35 Ilustración 4... Solución Análisis de Sensibilidad .............................................. 37

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones INTRODUCCIÓN Cada vez es más difícil asignar los recursos o actividades de la forma más eficaz, ya que los recursos son más escasos y los sistemas se hacen más complejos, generando problemas para la toma de decisiones óptimas. Anteriormente las organizaciones eran constituidas por pocas personas, y eran dirigidos por una sola persona, algo que cambió radicalmente con la Primera Revolución Industrial. Como es conocido, ésta revolución trajo consigo la energía, maquinarias y equipos que revolucionaron las industrias, como consecuencia de esto vino la especialización del trabajo, trayendo nuevas responsabilidades de finanzas, producción y desarrollo por parte de especialistas. La Investigación de Operaciones, como su nombre lo dice, significa “hacer

investigación sobre las operaciones”. Entonces, la investigación de operaciones se aplica a problemas que se rigen a la conducción y coordinación de actividades dentro de una organización. La constitución de la organización es esencialmente inmaterial, la investigación de operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la planeación financiera, manufactura, transporte, telecomunicaciones, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, solo por nombrar unas cuantas. Siendo así su gama de aplicaciones extraordinariamente amplia. La parte investigativa significa que la Investigación de operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. El siguiente trabajo tiene como objetivo comprender la importancia del estudio de la Investigación de Operaciones en nuestras vidas, para lo cual es necesario

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones conocer las distintas nociones de este arte, con el fin de más adelante poder resolver ejercicios enfocados en la aplicación de la materia. A continuación realizaré una apreciación más profunda de lo visto en el primer parcial en lo que a la materia de investigación de operaciones respecta. Finalmente se resolverán ejercicios propuestos con el fin de reforzar los conocimientos obtenidos durante este primer parcial.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones DESARROLLO ¿QUÉ ES LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES? “La

Investigación

de

Operaciones

es

la

aplicación,

por

grupos

interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-máquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organización .1 ”

La Investigación de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocada hacia la toma de decisiones gerenciales, basada en el método científico para resolver problemas. No es sólo un conjunto de herramientas matemáticas, de hecho, es un enfoque sistemático que usa herramientas analíticas para resolver problemas. La investigación de operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costes. La Investigación de Operaciones aspira a determinar el mejor curso de acción, o curso óptimo, de un problema de decisión con la restricción de recursos limitados. Como técnica para la resolución de problemas, investigación de operaciones debe visualizarse como una ciencia y como un arte. 1

CHURCHMAN, ACKOFF Y ARNOFF

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Como Ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticos para resolver problemas de decisión adecuada. Como Arte debido al éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la solución de un modelo matemático, depende de la forma apreciable de la creatividad y la habilidad personal de los analistas encargados de tomar las decisiones. En un equipo de Investigación de Operaciones es importante la habilidad adecuada en los aspectos científicos y artísticos de Investigación de Operaciones. Si se destaca un aspecto y no el otro probablemente se impedirá la utilización efectiva de la Investigación de Operaciones en la práctica. La Investigación de Operaciones en la Ingeniería de Sistemas se emplea principalmente en los aspectos de coordinación de operaciones y actividades de la organización o sistema que se analice, mediante el empleo de modelos que describan las interacciones entre los componentes del sistema y de éste con este con su medio ambiente En la Investigación de Operaciones la parte de "Investigación" se refiere a que aquí se usa un enfoque similar a la manera en la que se lleva a cabo la investigación en los campos científicos establecidos. La parte de "Operaciones" es porque en ella se resuelven problemas que se refieren a la conducción de operaciones dentro de una organización.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones HISTORIA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Cuando comenzó la Segunda Guerra Mundial, había un pequeño grupo de investigadores militares, encabezados por A.P. Rowe, interesados en el uso militar de una técnica conocida como radioubicación (o radio-localización), que desarrollaron científicos civiles. Algunos historiadores consideran que esta investigación es el punto inicial de la investigación de operaciones. Otros creen que los estudios que tienen las características del trabajo de investigación de operaciones aparecen posteriormente. Algunos consideran que su comienzo está en el análisis y solución del bloqueo naval de Siracusa que Arquímedes presentara al tirano de esa ciudad, en el siglo III A.C. F. W. Lanchester, en Inglaterra, justo antes de la primera guerra mundial, desarrolló relaciones matemáticas sobre la potencia balística de las fuerzas opositoras, que si se resolvían tomando en cuenta el tiempo, podían determinar el resultado de un encuentro militar. Tomás Edison también realizó estudios de guerra antisubmarina. Ni los estudios de Lanchester ni los de Edison tuvieron un impacto inmediato; junto con los de Arquímedes, constituyen viejos ejemplos del empleo de científicos para determinar la decisión óptima en las guerras, optimizando los ataques. No mucho después de que estallara la Segunda Guerra Mundial, la Badswey Research Station, bajo la dirección de Rowe, participó en el diseño de utilización óptima de un nuevo sistema de detección y advertencia prematura, denominado radar (Radio Detection And Ranging – Detección y medición de distancias mediante radio). Poco después este avance sirvió para el análisis de todas las fases de las operaciones nocturnas, y el estudio se constituyó en un modelo de los estudios de investigación de operaciones que siguieron.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones En agosto de 1940 se organizó un grupo de investigación, bajo la dirección de P. M. S. Blackett, de la Universidad de Manchester, para estudiar el uso de un nuevo sistema antiaéreo controlado por radar. Se conoció al grupo de investigación como el “Circo de Blackett”, nombre que no parece desatinado a

la luz de sus antecedentes y orígenes diversos. El grupo estaba formado por tres fisiólogos, dos fisicomatemáticos, un astrofísico, un oficial del ejército, un topógrafo, un físico general y dos matemáticos. Parece aceptarse comúnmente que la formación de este grupo constituye el inicio de la investigación de operaciones. Blackett y parte de su grupo, participaron en 1941 en problemas de detección de barcos y submarinos mediante un radar autotransportado. Este estudio condujo a que Blackett fuera nombrado director de Investigación de Operación Naval del Almirantazgo Británico. Posteriormente, la parte restante de su equipo pasó a ser el grupo de Investigación de Operaciones de la Plana de Investigación y Desarrollo de la Defensa Aérea, y luego se dividió de nuevo para formar el Grupo de Investigación de Operaciones del Ejército. Después de la guerra, los tres servicios tenían grupos de investigación de operaciones. Como ejemplo de esos primeros estudios está el que planteó la Comandancia Costera que no lograba hundir submarinos enemigos con una nueva bomba antisubmarina. Las bombas se preparaban para explotar a profundidades de no menos de 30 m. Después de estudios detallados, un profesor apellidado Williams llegó a la conclusión de que la máxima probabilidad de muerte ocurriría con ajustes para profundidades entre 6 y 7 m. Entonces se prepararon las bombas para mínima profundidad posible de 10 m, y los aumentos en las tasas de muertes, según distintas estimaciones, se incrementaron entre un 400 y un 700%. De inmediato se inició el desarrollo de un mecanismo de disparo que se pudiera ajustar a la profundidad óptima de 6 a 7m. Otro problema que

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones consideró el Almirantazgo fueron las ventajas de los convoyes grandes frente a los pequeños. Los resultados fueron a favor de los convoyes grandes. A pocos meses de que Estados Unidos entrara en la guerra, en la fuerza aérea del ejército y en la marina se iniciaron actividades de investigación de operaciones. Para el Día D (invasión aliada de Normandía), en la fuerza aérea se habían formado veintiséis grupos de investigación de operaciones, cada uno con aproximadamente diez científicos. En la marina se dio un proceso semejante. En 1942, Philip M. Morris, del Instituto Tecnológico de Massachussets, encabezó un grupo para analizar los datos de ataque marino y aéreo en contra de los submarinos alemanes. Luego se emprendió otro estudio para determinar la mejor política de maniobrabilidad de los barcos en convoyes a fin de evadir aeroplanos enemigos, e incluso los efectos de la exactitud antiaérea. Los resultados del estudio demostraron que los barcos pequeños deberían cambiar su dirección gradualmente. Al principio, la investigación de operaciones se refería a sistemas existentes de armas y a través del análisis, típicamente matemático, se buscaban las políticas óptimas para la utilización de esos sistemas. Hoy día, la investigación de operaciones todavía realiza esta función dentro de la esfera militar; sin embargo, lo que es mucho más importante, ahora se analizan las necesidades del sistema de operación con modelos matemáticos, y se diseña un sistema (o sistemas) de operación que ofrezca la capacidad óptima. El éxito de la investigación de operaciones en la esfera de lo militar quedó bastante bien documentado hacia finales de la Segunda Guerra Mundial. El general Arnold encargó a Donald Douglas, de la Douglas Aircraft Corporation, en 1946, la dirección de un proyecto Research And Development (RAND – Investigación y Desarrollo) para la Fuerza Aérea. La corporación RAND

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones desempeña hoy día un papel importante en la investigación que se lleva a cabo en la Fuerza Aérea. A partir del inicio de la investigación de operaciones como disciplina, sus características más comunes son: Enfoque de sistemas. Modelado matemático. Enfoque de equipo.

Estas características prevalecieron a ambos lados del Atlántico, a partir del desarrollo de la investigación de operaciones durante la Segunda Guerra Mundial. Para maximizar la capacidad militar de entonces, fue necesario un enfoque de sistemas. Ya no era tiempo de tomar decisiones de alto nivel sobre la dirección de una guerra que exigía sistemas complicados frente a la estrategia de guerras anteriores o como si se tratara de un juego de ajedrez. La computadora digital y el enfoque de sistemas fueron preludios necesarios del procedimiento matemático de los sistemas militares de operaciones. Las matemáticas aplicadas habían demostrado su utilidad en el análisis de sistemas económicos, y el uso de la investigación de operaciones en el análisis de sistemas demostró igualmente su utilidad.

Para que un análisis de un sistema militar de operaciones fuera tecnológicamente factible, era necesario tener una comprensión técnica

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones adecuada, que tomara en cuenta todas las subcomponentes del sistema. En consecuencia, el trabajo de equipo resultó ser tan necesario como efectivo.

ÁREAS DE APLICACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Las aplicaciones de la Investigación de Operaciones crecen rápidamente, principalmente por un mejor conocimiento de estas metodologías en las diferentes disciplinas, la creciente complejidad de los problemas que se desea resolver, la mayor disponibilidad de software (incluso software de juegos, entre ellos juegos de casinos) y el desarrollo de nuevos y mejores algoritmos de solución. A continuación un listado de distintas aplicaciones de la Investigación Operativa y los beneficios asociados a su implementación: Áreas Funcionales Una muestra de los problemas que la IO ha estudiado y resuelto con éxito en negocios e industria se tiene a continuación: Personal La automatización y la disminución de costos, reclutamiento de personal, clasificación y asignación a tareas de mejor actuación e incentivos a la producción.

Mercado y distribución

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones El desarrollo e introducción de producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidores. Compras y materiales Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, sustitución de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar. Manufactura La planeación y control de la producción, mezclas óptimas de manufactura, ubicación y tamaño de planta, el tráfico de materiales y el control de calidad. Finanzas y contabilidad Los análisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorías y reclamaciones. Planeación Con los métodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto simultáneas como las que deben esperar para ejecutarse. La lista de áreas funcionales de la organización que son de posible aplicación de la IO, es ilustrativa del potencial que tiene para resolver el problema de la empresa.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Problemas ejemplo de aplicación con éxito de la IO.- En los siguientes problemas el gobierno o empresa, ahorraron millones de dólares en la aplicación de la IO: 1. Programación del horario de las rondas de policías de San Francisco.En 1989 Taylor y Huxley diseñaron un método para programar el horario de las rondas de oficiales de la Policía de San Francisco, usando un modelo de programación lineal, la programación de metas y la programación entera. El ahorro sumó 11 millones de dólares anuales. 2. Reducción de gastos de combustible en la industria de la energía eléctrica.- En 1989 Chao y Cols ahorraron a 79 empresas de servicio de energía eléctrica más de 125 millones de dólares en costos de compras y de déficit, usando programación dinámica y simulación. 3. Diseño de una instalación para desmontar lingoteras en Bethlehem Steel.- En 1989 Vasko y Cols ayudaron a esta empresa siderúrgica con el diseño del sistema de quitar lingoteras a los lingotes de acero con un modelo de programación entera ahorrando 8 millones de dólares anuales. 4. Mezcla de gasolinas en Texaco.- Con programación lineal y no lineal Dewit y Cols diseñaron un modelo de mezcla para cuatro tipos de gasolina ahorrando 30 millones de dólares al año; aplicando análisis de sensibilidad calcularon el efecto de cambios al modelo. 5. Programación del horario de los camiones para North America Van Lines.-En 1989 Powell y Cols, con modelos de redes y programación dinámica, formularon la asignación de carga a chóferes, reduciendo costos en 2.5 millones de dólares, con mejor servicio. 6. Administración del inventario a Blue Bell.-En 1985 Edwars, Wagner y Wood con programación lineal y modelos probabilísticos de inventario

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones redujeron el nivel medio de inventario de ropa deportiva y de oficina en un 31%. 7. Determinación de carteras de bonos.- Varias personas (Chandy y Kharabe, 1986) utilizaron la programación lineal para máxima ganancia con restricciones de riesgo y de la diversificación de la cartera. 8. Planeación de producción en lechería.-En 1985 Sullivan y Secrest, usaron programación lineal con utilidad de 48000 dólares, al determinar el proceso: del suero, la leche cruda, el suero dulce y la crema, para obtener: queso crema, requesón, crema agria y crema de suero. 9. Reemplazo de equipo en Phillips Petroleum.- Para el reemplazo de equipo usaron modelos (Waddell, 1983), que se estima ahorraron 90000 dólares por año.

OBJETIVOS Y MÉTODOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES El objetivo y finalidad de la “investigación operacional” (conocida también como “teoría de la toma de decisiones”, o ”programación matemática”) es encontrar

la solución óptima para un determinado problema (militar, económico, de infraestructura, logístico, etc.) Está constituida por un acercamiento científico a la solución de problemas complejos, tiene características intrínsecamente multidisciplinares y utiliza un conjunto diversificado de instrumentos, prevalentemente matemáticos, para la modelización, la optimización y el control de sistemas estructurales. En el caso particular de problemas de carácter económico, la función objetivo puede ser obtener el máximo rendimiento o el menor costo.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones La investigación operacional tiene un rol importante en los problemas de toma de decisiones porque permite tomar las mejores decisiones para alcanzar un determinado objetivo respetando los vínculos externos, no controlables por quien debe tomar la decisión. 786 La investigación operacional consiste en la aplicación del método científico, por parte de grupos interdisciplinares, a problemas de control de sistemas organizativos con la finalidad de encontrar soluciones que atiendan de la mejor manera posible a los objetivos de la organización en su conjunto. No se sustituye a los responsables de la toma de decisiones, pero dándoles soluciones al problema obtenidas con métodos científicos, les permite tomar decisiones racionales. Puede ser utilizada en la programación lineal (planificación del problema); en la programación dinámica (planificación de las ventas); en la teoría de las colas(para controlar problemas de tránsito). Entre algunos de los métodos utilizados por la investigación de operaciones (o ciencia de la administración), los administradores utilizan las matemáticas y las computadoras para tomar decisiones racionales en la resolución de problemas. Aunque estos administradores pueden resolver algunos problemas con su experiencia, ocurre que en el complejo mundo en que vivimos muchos problemas no pueden ser resueltos basándose en la experiencia. Para resolver estos problemas la investigación de operaciones los agrupa en dos categorías básicas:

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones



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Problemas Determinísticos: son aquellos en que la información necesaria para obtener una solución se conoce con certeza Problemas Estocásticos: son aquellos en los que parte de la información necesaria no se conoce con certeza, como es el caso de los determinísticos, sino que más bien se comporta de una manera probabilística.

DEFINICIÓN DE MODELOS Un modelo de decisión debe considerarse como un vehículo para resumir un problema de decisión en forma tal que haga posible la identificación y evaluación sistemática de todas las alternativas de decisión del problema. Después se llega a una decisión seleccionando la alternativa que se juzgue sea la mejor entre todas las opciones disponibles. Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad. El modelo se define como una función objetivo y restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema. Una solución a un modelo, no obstante, de ser exacta, no será útil a menos que el modelo mismo ofrezca una representación adecuada de la situación de decisión verdadera. El modelo de decisión debe contener tres elementos: hace una selección.

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TIPOS DE MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión. Modelo de Simulación: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión. Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no está libre de inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos. Modelos de Investigación de Operaciones de la ciencia de la administración: Los científicos de la administración trabajan con modelos cuantitativos de decisiones. Modelos Formales:

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Se usan para resolver problemas cuantitativos de decisión en el mundo real. Algunos modelos en la ciencia de la administración son llamados modelos determinísticos. Esto significa que todos los datos relevantes (es decir, los datos que los modelos utilizarán o evaluarán) se dan por conocidos. En los modelos probabilísticos (o estocásticos), alguno de los datos importantes se consideran inciertos, aunque debe especificarse la probabilidad de tales datos.

FASES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES El proceso de la Investigación de Operaciones comprende las siguientes fases: 1. 2. 3. 4. 5.

Formulación y definición del problema. Construcción del modelo. Solución del modelo. Validación del modelo. Implementación de resultados.

Formulación y definición del problema

En esta fase del proceso se necesita: una descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las alternativas posibles de decisión y las restricciones para producir una solución adecuada.

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Construcción del modelo

En esta fase, el investigador de operaciones debe decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del sistema. Los parámetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a partir de datos pasados o ser estimados por medio de algún método estadístico. Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o determinístico. El modelo puede ser matemático, de simulación o heurístico, dependiendo de la complejidad de los cálculos matemáticos que se requieran. Solución del modelo

Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solución matemática empleando las diversas técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones. Debemos tener en cuenta que las soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemáticas y debemos interpretarlas en el mundo real. Además, para la solución del modelo, se deben realizar análisis de sensibilidad, es decir, ver cómo se comporta el modelo a cambios en las especificaciones y parámetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parámetros no necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas. Validación del modelo

La validación de un modelo requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un método común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones continúe replicando el comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo. Implementación de resultados

Una vez que hayamos obtenido la solución o soluciones del modelo, el siguiente y último paso del proceso es interpretar esos resultados y dar conclusiones y cursos de acción para la optimización del sistema. Si el modelo utilizado puede servir a otro problema, es necesario revisar, documentar y actualizar el modelo para sus nuevas aplicaciones.

ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EMPLEADOS EN LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. El enfoque de la Investigación de Operaciones es el modelaje. Un modelo es una herramienta que nos sirve para lograr una visión bien estructurada de la realidad. Así, el propósito del modelo es proporcionar un medio para analizar el comportamiento de las componentes de un sistema con el fin de optimizar su desempeño. La ventaja que tiene el sacar un modelo que represente una situación real, es que nos permite analizar tal situación sin interferir en la operación que se realiza, ya que el modelo es como si fuera "un espejo" de lo que ocurre. Para aumentar la abstracción del mundo real, los modelos se clasifican como 1) Icónicos 2) Análogos 3) Simbólicos.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Los modelos icónicos son la representación física, a escala reducida o aumentada de un sistema real. Los modelos análogos esencialmente requieren la sustitución de una propiedad por otra con el fin de permitir la manipulación del modelo. Después de resolver el problema, la solución se reinterpreta de acuerdo al sistema original. Los modelos más importantes para la investigación de operaciones, son los modelos simbólicos o matemáticos, que emplean un conjunto de símbolos y funciones para representar las variables de decisión y sus relaciones para describir el comportamiento del sistema. El uso de las matemáticas para representar el modelo, el cual es una representación aproximada de la realidad, nos permite aprovechar las computadoras de alta velocidad y técnicas de solución con matemáticas avanzadas. Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de elementos. Estos son: 1) variables y parámetros de decisión, 2) restricciones y 3) función objetivo. Variables y parámetros de decisión

Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y función objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o probabilísticos.

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Restricciones

Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles. Función objetivo

La función objetivo define la medida de efectividad del sistema como una función matemática de las variables de decisión. La solución óptima será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones.

PROGRAMACIÓN LINEAL La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deben ser revisadas.

VARIABLES Las variables son números reales mayores o iguales a cero.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera .

RESTRICCIONES Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3: Dónde: 

A = valor conocido a ser respetado estrictamente;



B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;



C = valor conocido que no debe ser superado;









j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones); a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos; X = Incógnitas, de 1 a N; i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización. Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo puede ser:

ó

Donde: 

f = coeficientes son relativamente iguales a cero.

PROGRAMACIÓN ENTERA En algunos casos se requiere que la solución óptima se componga de valores enteros para algunas de las variables. La resolución de este problema se obtiene analizando las posibles alternativas de valores enteros de esas variables en un entorno alrededor de la solución obtenida considerando las variables reales. Muchas veces la solución del programa lineal truncado esta

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones lejos de ser el óptimo entero, por lo que se hace necesario usar algún algoritmo para hallar esta solución de forma exacta. El más famoso es el método de 'Ramificar y Acotar' o Branch and Bound por su nombre en inglés. El método de Ramificar y Acotar parte de la adición de nuevas restricciones para cada variable de decisión (acotar) que al ser evaluado independientemente (ramificar) lleva al óptimo entero.

APLICACIONES La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujo de mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas de programación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema de producción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Otros son: 







Optimización de la combinación de cifras comerciales en una red lineal de distribución de agua. Aprovechamiento óptimo de los recursos de una cuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia. Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas; Solución de problemas de transporte.

LA HERRAMIENTA SOLVER En estos tiempos donde se habla de la tecnología, información, sociedad del conocimiento, etc., aprovecho la oportunidad de describir lo poderosa que es la hoja de cálculo de excel, pero voy a referirme en particular a una de las herramientas la cual se denomina Solver, y se puede ubicar en el menú principal en la opción Herramientas, al pulsar este icono aparecerán varias opciones y ahí encontraran dicha instrucción, ella resuelve problemas lineales y enteros utilizando el método más simple con límites en las variables y el método de ramificación y límite, implantado por John Watson y Dan Fylstra de Frontline Systems, Inc. Es de hacer notar que estos problemas se presentan en las ciencias administrativas y es requisito indispensable en casi todas las áreas de ciencias sociales, ingeniería, y en cualquiera de las carreras universitarias como Ciencias Estadísticas, Economía, Administración, entre otras, allí se

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones estudia en una cátedra llamada Investigación de Operaciones, en ella se construyen modelos para el análisis y la toma de decisiones administrativas, los cuales en tiempos remotos se utilizaban algoritmos muy complejos entre ellos el del método simplex y el dual, estas técnicas manualmente son complejas, pero con la tecnología aparecieron softwares para resolver sendos problemas entre ellos se encuentra el más conocido que es el "LINDO", pero hoy tenemos la oportunidad de resolverlos muy fácilmente mediante la hoja de cálculo de excel y el paquete agregado llamado "SOLVER" que optimiza los modelos sujetos a restricciones, como los modelos de programación lineal y no lineales, la cual permite obtener las soluciones óptimas para un modelo determinado, y dependiendo de los niveles de la organización se tomen las mejores decisiones para resolver los conflictos de una empresa. Proceso de construcción de modelos 1- Definir variables de decisión 2- Definir la función de objetivos 3- Definir las restricciones Utilidad o pérdida = PX - CX - F MAX Z = PX - CX - F S.A Dónde: P= Precio C= Costo X= Utilidades vendidas F= Costo fijo

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones X<= U X<= D X<= O Ejemplo de Cómo Utilizar Solver

Andrés Z. Es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de 100.000$. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule usted un modelo de Programación Lineal para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Andrés con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera. Acciones

Precio ($)

Rendimiento Anual Inversión Posible Estimado por ($) Acción ($)

Navesa

60

7

60.000

Telectricidad

25

3

25.000

Rampa

20

3

30.000

Para solucionar este problema debemos seguir los pasos para la construcción de modelos de programación lineal (PL): 1.- Definir la variable de decisión. 2.- Definir la función objetivo.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones 3.- Definir las restricciones. Luego construimos el modelo: MAX Z = 7X1 + 3X2 + 3X3 S.A.: 60X1 +25X2 + 20X3 <= 100.000 60X1 <= 60.000 25X2 <= 25.000 20X3 <= 30.000 Xi >= 0 A continuación se construye el modelo en una hoja de cálculo de Excel de la siguiente manera:

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Ilustración 1... Modelo de Simulación en Excel

En la fila 2 se coloca la variable de decisión la cual es el número de acciones y sus valores desde la B2 hasta la D2. En la fila 3 el rendimiento anual y sus valores desde B3 hasta D3. En la celda E3 colocaremos una formula la cual nos va indicar el rendimiento anual total, =sumaproducto($B$2:$D$2;B3:D3).

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Desde la fila B5 hasta la D8 colocaremos los coeficientes que acompañan a las variables de decisión que componen las restricciones. Desde la E5 hasta la E8 se encuentra la función de restricción (LI) y no es más que utilizar la siguiente formula =sumaproducto($B$2:$D$2;B5:D5) la cual se alojaría en la celda E5, luego daríamos un copy hasta la E8. Desde la F5 hasta F8 se encuentran los valores de las restricciones. Desde la G5 hasta G8 se encuentra la holgura o excedente. Una vez completada la hoja de cálculo con el modelo respectivo ¡GRABE SU HOJA!, y seleccione "Solver…" en el menú de "Herramientas", ahí tendrá que especificar dentro del cuadro de dialogo de Solver: 





La celda que va a optimizar Las celdas cambiantes Las restricciones

Así tendremos la siguiente pantalla:

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Ilustración 2...Simulación en Solver

Como se puede observar en la celda objetivo se coloca la celda que se quiere optimizar, en las celdas cambiantes las variables de decisión y por último se debe de complementar con las restricciones. Una vez realizado estos pasos deben pulsar el icono de "Opciones" y debe hacer clic en "Asumir modelo lineal" y enseguida el botón de "Aceptar". Luego haga clic en el botón de "Resolver" para realizar la optimización, lea detenidamente el mensaje de terminación de Solver y ahí observará si se encontró una solución o hay que modificar el modelo, en caso de haber encontrado una solución óptima usted

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones podrá aceptar o no dicha solución, luego tendrá oportunidad de analizar un informe de análisis de sensibilidad para luego tomar la mejor decisión.

Ilustración 3... Simulación en Solver

En nuestro ejemplo el máximo rendimiento anual fue de 12750$, y la cantidad de acciones a comprar serían 750, 1000 y 1500 para Navesa, Telectricidad y Rampa respectivamente.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD El análisis de sensibilidad es una de las partes más importantes en la programación lineal, sobretodo para la toma de decisiones; pues permite determinar cuando una solución sigue siendo óptima, dados algunos cambios

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones ya sea en el entorno del problema, en la empresa o en los datos del problema mismo. Este análisis consiste en determinar que tan sensible es la respuesta óptima del Método Simplex, al cambio de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes de la función objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las restricciones). La variación en estos datos del problema se analizará individualmente, es decir, se analiza la sensibilidad de la solución debido a la modificación de un dato a la vez, asumiendo que todos los demás permanecen sin alteración alguna. Esto es importante porque estamos hablando de que la sensibilidad es estática y no dinámica, pues solo contempla el cambio de un dato a la vez y no el de varios

OBJETIVO PRINCIPAL DEL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD Establecer un intervalo de números reales en el cual el dato que se analiza puede estar contenido, de tal manera que la solución sigue siendo óptima siempre que el dato pertenezca a dicho intervalo. Los análisis más importantes son; 1. Los coeficientes de la función objetivo; y 2. Los términos independientes de las restricciones y se pueden abordar por medio del Método Gráfico o del Método Simplex.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD GRÁFICO Abordaremos primero el análisis de sensibilidad de manera gráfica. Partamos del siguiente modelo de programación lineal:

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Máx, cuya solución es la siguiente:

Ilustración 4... Solución Análisis de Sensibilidad

EJERCICIOS EN CLASES Ejercicio1.

Un granjero tiene 100 acres en los cuales puede sembrar dos cultivos. Dispone de $3000 a fin de cubrir el costo del sembrado. El granjero puede confiar en un total de 1350 hrs.-hombre destinadas a la recolección de los dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre: Cultivos

Costo de Plantar

Demanda hrs.-

Utilidad

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hombre

Primero

$20

5hrs.

$100

Segundo

$40

20hrs

$300

Solución: Variables

X1 = La cantidad de producción del Primer cultivo en acres X2 = La cantidad de producción del Segundo cultivo en acre Max z = 100x1 + 300x2…………. (1)

(el programa de producción siempre debe elegirse de modo que maximice la utilidad total). Restricciones

X1 +x2 < 100……….. (2) esta ecuación se debe a que solo tiene 100 acres para los cultivos. 5x1 + 20x2 < 1350…. (3) 20x1 + 40x2 < 3000…. (4) lo que queda planteado Condición de no negatividad:

X1 + x2 > 0

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Ejercicio2.

Una compañía produce dos productos, Ay B. Cada unidad de A requiere 2 hrs. en cada máquina y 5 hrs. En una segunda máquina. Cada unidad de B demanda 4hrs. En la primera máquina y 3 hrs. En la segunda máquina. Se dispone de 100 hrs. A la semana en la primera máquina y de 110 hrs. En la segunda máquina. Si la compañía obtiene una utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cada unidad de B ¿Cuánto deberá de producirse de cada unidad con objeto de maximizar la utilidad total?

Producto

hrs. Maquina1

A

hrs.

Utilidad

Maquina 2

2

5 $70 kilo

B

4

3

$50 kilo

Solución: Variables

X1 = la cantidad de producción de A en unidades X2 = Cantidad de producción de B en unidades Max Z = 70x1 + 50x2……….. (1)

Restricciones

2x1 + 4x2 < 100……….. (2)

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones 5x1 + 3x2 < 110………. (3) lo que queda planteado

Condición de no negatividad:

X1 + x2 > 0

Ejercicio3.

Un Nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe de ingerir al menos 2400 mg de vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de Vitamina B-2 (Riboflavina) durante cierto periodo de tiempo. Existen 2 Píldoras de Vitaminas disponibles, la marca A y la marca B, cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro. 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de Vitamina B-2 y cuesta 8 Centavos. ¿Cuáles Combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

Marca A

Marca B

Requerimientos Mínimos

Hierro

40 mg

10 mg

2400 mg

Vitamina B-1

10 mg

15 mg

2100 mg

Vitamina B-2

5 mg

15 Mg

1500 mg

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Variables

X1- A – 40mg hierro 10mg B1 5mg B2

X2 – B - 10 mg hierro 15 mg B1 15 mg B2 Restricciones

2400mg hierro 2100mg B1 1500mg B2

Función Objetivo

A – 6centavos 8centavos

B –

Min Z = 6X1 + 8X2

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S.a 40 X1 + 10X2 ≥ 2400 10X1 + 15X2 ≥ 2100 5X1

+ 15X2 ≥ 1500

CNN X1, x2, ≥ 0

Ejercicio4.

Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

Variables de decisión: x= n: de bicicletas de paseo vendidas. y= n: de bicicletas de montaña vendidas. Tabla de material empleado:

Acero

Aluminio

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Paseo Montaña

1 2

3 2

Función objetivo: f(x, y)= 20.000x+15.000y

máxima.

Restricciones:

Zona de soluciones factibles: Vértices del recinto (soluciones básicas):

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones A(0, 40) B intersección de r y s:

C(40,0) Valores de la función objetivo en los vértices:

Ha de vender 20 bicicletas de paseo y 30 de montaña para obtener un beneficio máximo de 850.000 Bolívares. Ejercicio5.

Un autobús Caracas-Maracaibo ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 Bolívares y a no fumadores al precio de 6.000 Bolívares. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizara el beneficio?

Variables de decisión: x= n: de plazas de fumadores. y= n: de plazas de no fumadores.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones La Función objetivo: f(x, y)=10.000x+6.000y máxima

Restricciones:

Zona de soluciones factibles: Vértices: A(0, 60)B intersección de r y s:

C(90, 0)

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Valores de la función objetivo:

Ha de vender 90 plazas para fumadores y ninguna para no fumadores y así obtener un beneficio máximo de 900.000 bolívares. Ejercicio6.

Un sastre tiene 80 m 2 de tela de algodón y 120 m 2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m 2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio.

variables de decisión: x= número de trajes. y= número de vestidos a= precio común del traje y el vestido. Función objetivo:

Restricciones:

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Zona de soluciones factibles: Vértices: A(0, 40) B intersección de r y s:

C(40, 0) Los valores de la función objetivo son:

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El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos. Ejercicio7.

La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público de una mesa es de 2.700 Bs. y el de una silla 2.100Bs. LA MUNDIAL S.A. Estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 Bs. de materias primas y de 1.400 Bs. de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 Bs. de materias primas y 1.000 Bs de costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A. fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas. Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Variables de decisión: x= n: de soldados fabricados semanalmente. y= n: de trenes fabricados semanalmente.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones La función a maximizar es:

La tabla de horas de trabajo: Carpintería

Acabado

Soldados

1

2

Trenes

1

1

Las restricciones:

La zona de soluciones factibles es: Siendo los vértices: A(0, 80)

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones B intersección de r,s:

C intersección de s,t:

D(40, 0).

En los que la función objetivo vale:

Debiendo fabricar 20 mesas y 60 sillas para un beneficio máximo de 18.000 Bs.

Ejercicio8.

Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogures. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación. El coste de producción de un yogurt de fresa es es doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos yogures de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo?

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Variables de decisión: x= número de yogures de limón producidos. y= número de yogures de fresa producidos. a= coste de producción de un yogurt de limón. La función a minimizar es: f(x, y)=ax+2ay

Y las restricciones:

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones La zona de soluciones factibles es: Siendo los vértices: A(0, 45000) B(0, 30000) C intersección de r y s:

En los que la función objetivo toma los valores:

Hay que fabricar, pues, 10.000 yogures de limón y 20.000 yogures de fresa para un costo mínimo de 50.000a bolívares.

Ejercicio9.

Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? ?A cuánto ascenderá a) variables de decisión: x= cantidad invertida en acciones tipo A y= cantidad invertida en acciones tipo B Las restricciones son:

Puede invertir en cada una de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada uno de los puntos de la zona sombreada de la siguiente gráfica:

b) La función de beneficios es:

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Y los vértices de la l a zona sombreada son: A intersección de r,t:

B intersección de t,u:

C intersección de s,u, o sea C(7, 3) D(7, 0) E(2, 0)

Los valores de f en esos puntos son:

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Ha de invertir, pues 5 millones de bolívares en A y 5 millones en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones, o sea 1.050.000 bolívares. Ejercicio10.

Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo. Variables de decisión: X= número de barriles comprados de crudo ligero. Y= número de barriles comprados de crudo pesado. La tabla de producción de cada producto con arreglo al tipo de crudo es: G

C

T

Ligero

0,3

0,2

0,3

Pesado

0,3

0,4

0,2

La función objetivo que hay que minimizar es: f(x, y)=35x+30y

Las restricciones:

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Y la zona de soluciones factibles:

Los vértices son: A(0, 3000000) B intersección de r,s:

C(4000000, 0) Y en ellos la función objetivo presenta los valores:

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Siendo la solución de mínimo coste la compra de 3.000.000 de barriles de crudo ligero y ninguno de crudo pesado para un coste de 90.000.000 dólares.

Ejercicio11.

Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T 1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. Si se venden las tartas T1 a 1.000 bolívares la unidad y las T 2 a 2.300 bolívares. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? Si se fija el precio de una tarta del tipo T 1 en 1.500 Bs. ¿Cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T 1 y 15 del tipo T2? a) Sean las variables de decisión: x= número de tartas T1 y= número de tartas T2 La función objetivo es: f(x, y)=1000x+2300y

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La tabla de contingencia es:

Tarta

Ingrediente

Ingrediente

Ingrediente

A

B

C

1

1

2

5

2

1

T1 Tarta T2

Restricciones:

Zona de soluciones factibles:

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Vértices: A(0, 30) B intersección de r.s:

C intersección de s,t:

D (75, 0)

Valores de la función objetivo:

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones Hay que fabricar 50 tartas T1 y 20 tartas T2 para un beneficio máximo de 96.000 Bs.

CUESTIONARIO 1. ¿Qué es investigación de operaciones?

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una rama de las Matemáticas consistente en el uso de modelos matemáticos, estadística y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. 2. ¿De los modelos globales (icónico, simbólico y analógico); cual elegiría usted para realizar una investigación de operaciones y por qué?

Yo utilizaría el modelo simbólico, ya que es el más sencillo de manipular y el que utiliza modelos matemáticos para su desarrollo. 3. Complete: La investigación de operaciones proporciona conclusiones

claras y concretas que conducen a la toma de decisiones. 4. Verdadero o Falso. La investigación de operaciones utiliza un modelo científico que intenta abstraer la esencia de un problema real.

(Verdadero) 5. Establezca el orden de los pasos de la investigación de operaciones. 

Formulación y definición del problema



Construcción del modelo



Solución del modelo



Validación del modelo



Implementación de resultados

6. Verdadero o Falso.

Página | 61


La etapa de validación de un modelo matemático consiste en sólo comparar el resultado que ofrece con relación a resultados históricos.

(Falso) 7. ¿Cuál es la diferencia entre modelo cualitativo y modelo cuantitativo? Modelos cualitativos o conceptuales, estos pueden usar figuras,

gráficos o descripciones causales, en general se contentan con predecir si el estado del sistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá alguna magnitud, sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría de aspectos. Modelos cuantitativos o numéricos, usan números para representar

aspectos del sistema modelizado, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos. El cálculo con los mismos permite representar el proceso físico o los cambios cuantitativos del sistema modelado.

8. ¿Qué entiende por modelo matemático determinístico?

Un Modelo determinístico es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre.

9. Cuando se tiene la solución del modelo y se obvia o se omite la validación, ¿es confiable implementarlo?, ¿Por qué?

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Universidad Laica “Eloy Alfaro” de Manabí Facultad de Ciencias Informáticas Investigación de Operaciones No porque mediante esta etapa estamos comprobando que los resultados del

modelo se comporten de una manera factible.

10. Verdadero o Falso. La implementación de resultados es el último paso y el más costoso que se sigue en la metodología de investigación de operaciones.

(Verdadero) 11. Las restricciones forman parte del conjunto básico de modelos matemáticos. ¿Para qué sirven y cómo se utilizan?

Sirven para conocer los parámetros de restricciones que tenemos que tomar en cuenta a la hora de resolver un problema. 12. ¿En un modelo matemático cuál es la función principal de las variables y parámetros de decisión?

Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y función objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o probabilísticos.

13. Complete:

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El desarrollo de una implementación se lo hace incluyendo la

teoría matemática. 14. Verdadero o Falso. La investigación de operaciones nos ayuda en la solución de un problema de la vida real.

(Verdadero) 15. Verdadero o Falso. El modelo debe tener mínimo una variable dependiendo del proyecto.

(Verdadero) 16. Verdadero o Falso. La solución del modelo siempre se obtiene de un proceso matemático.

(Falso) 17. Mencione tres recomendaciones de cómo se debería aplicar la investigación de operaciones. 





Al utilizar un modelo matemático verificar con la realidad, es decir que debe asegurarse que el modelo ofrece una representación suficientemente precisa del modelo real. Para llegar a hacer un uso apropiado de la Investigación de de Operaciones, es necesario primero comprender la metodología para resolver los problema. Es necesario conocer los fundamentos de las técnicas de solución para de esta forma saber cuándo utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

18. Complete:

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El objetivo principal de la investigación de operaciones es maximizar ganancias y minimizar costos. 19. Verdadero o Falso. Cuando aplicamos el modelo estático estamos sujetos a cambios significativos a corto plazo.

(Verdadero) Cuando nos referimos al factor tiempo hablamos del módulo estático puesto que es un factor que no cambia.

(Falso) 20. ¿Para qué sirve la investigación de operaciones en la carrera de Ingeniería de sistemas?

A nosotros en nuestra carrera nos sirve para poder analizar todas las alterativas que tengamos en un problema y así poder tomar decisiones buenas y competentes.

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CONCLUSIONES El impacto de la Investigación de operaciones es impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. En el proceso, la investigación de operaciones ha contribuido significativamente al incremento de la productividad dentro de la economía mundial. Sin duda, esto es algo que continuará aumentando.

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Tarea de Investigación Operativa

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