FORMULARIO DE OPERATIVA II Modelo de colas Inventarios Pert Pert - Cpm
FORMULARIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES II
MODELOS DE COLAS O ESPERA ECUACIONES DE PROCESO DE EQUILIBRIO EQUILIBRIO DE ESTADO DE NACIMIENTO Y MUERTE EN REGIMEN ESTACIONARIO. ESTACIONARIO.
; − − + +
; n =1, 2, 3,4,…
Tasas de llegadas o nacimientos.
Tasas de servicios o muerte.
+ ……
PROBABILIDAD DE NO TENER MAS DE DOS CLIENTES EN EL SISTEMA.
PROBABILIDAD DE TENER POR LO MENOS TRES CLIENTES EN EL SISTEMA.
PROBABILIDAD DE TENER EXACTAMENTE DOS CLIENTES EN LA COLA.
PROBABILIDAD DE TENER POR LO MENOS TRES CLIENTES ESPERANDO A RECIBIR EL SERVICIO.
PROBABILIDAD DE NO TENER MAS DE TRES CLIENTES EN LA C OLA.
⋯ ⋯ NOTACION DE KENDALL
V Patrón de llegadas
/
W
/
X
/
Y
Número de canales de servicio
Patrón de servicios
/
Z Disciplina de espera
Capacidad del sistema
MODELOS DE COLAS O ESPERA MODELO M/M/1
MODELO M/M/S
MODELO M/M/1/C
MODELO M/M/S/C
MODELO M/M/1/K
MODELO M/M/S/K
Formulario Lic. ALIZON EMILZE PEREZ BUTRON
Página 1
MODELO M/M/1 SUPUESTOS 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Fuente de población infinita. Capacidad del sistema infinito. Disciplina en espera “Primero en llegar primero en ser atendido”.
.
Una estación o canal de servicio. Llegada de tipo Poisson con tasa de intensidad o tiempo de llamadas consecutivas de tipo exponencial con el mismo parámetro. Número de atenciones o servicios por unidad de tipo Poisson con tasa de intensidad o tiempos de servicio de tipo exponencial con el mismo parámetro.
= 1 -
PROBABILIDAD DE QUE ESTE VACIO U OSIOCO.
PROBABILIDAD DE QUE ESTE OCUPADO.
PROBABILIDAD DE QUE HAYA “n” UNIDADES.
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE UNIDADES EN LA COLA.
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE UNIDADES EN EL SISTEMA.
PROBABILIDAD DE QUE EL SISTEMA ESTE OCUPADO.
PROBABILIDAD DE QUE EN EL SISTEMA SE TENGA MAS DE “m” UNIDADES
TIEMPO MEDIO DE ESPERA O PERMANENCIA DE UNA UNIDAD EN LA COLA.
TIEMPO MEDIO DE ESPERA O PERMANENCIA DE UNA UNIDAD EN EL SISTEMA.
PROBABILIDAD DE QUE UNA UNIDAD PERMANEZCA MAS DE ”T” UNIDADES DE TIEMPO EN LA COLA.
PROBABILIDAD DE QUE UNA UNIDAD PERMANEZCA MAS DE “t” UNIDADES EN EL SISTEMA
(1 –
−
− ∗ =
≥ 1 + P (N
− W (t) =
− − =
−
DISTRIBUCION PROBABILISTICA DEL TIEMPO DE PERMANENCIA EN LA COLA.
− − ; > 1 1 ;0 Formulario Lic. ALIZON EMILZE PEREZ BUTRON
Página 2
M/M/1/C (SISTEMA CERRADO, “m” representa el tamaño poblacional). 1. 2. 3. 4. 5.
Fuente de población finita. Capacidad del sistema finito. Disciplina en espera “Primero en llegar primero en ser atendido”.
Una estación o canal de servicio. Tasas de llegadas y de servicio de este modelo son :
;≤≤ ; ;;≤≤ ≥
∑ ! !∗
PROBABILIDAD DE QUE ESTE VACIO U OSIOCO.
PROBABILIDAD DE QUE ESTE OCUPADO (Tránsito o tráfico).
PROBABILIDAD DE QUE HAYA “n” UNIDADES.
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE UNIDADES EN LA COLA.
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE UNIDADES EN EL SISTEMA.
TIEMPO MEDIO DE ESPERA O PERMANENCIA DE UNA UNIDAD EN LA COLA.
TIEMPO MEDIO DE ESPERA O PERMANENCIA DE UNA UNIDAD EN EL SISTEMA.
–
−
−! ! ∗ ∗ ; ≤ ≤ +∗1 1
−
−
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Página 3
M/M/1/ K (SISTEMAS DE PÉRDIDA). 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Fuente de población finita. Capacidad del sistema finito. Disciplina en espera “Primero en llegar primero en ser atendido”.
Una estación o canal de servicio. Limitación debido a la capacidad del sistema por ser de tamaño “k”.
Las tasas de llegadas y de servicio son :
0 ;;01, 2 , …
0 ;;0,1, ,21,,3,……,1
PROBABILIDAD DE QUE ESTE OCUPADO (Tránsito o tráfico).
DISTRIBUCION PROBABILISTICA.
11 ; ≠1 + 1 ; 1 { 1
TASA MEDIA DE FILTRAJE.
̅ ∗1
̅ ̅ < ̅ ∶ . + ⇔ ≠1 1 – 1∗ 1 + ⟺ 1 2 1 = Cuantos se acepta por día.
NUMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN EL SISTEMA
TIEMPO MEDIO DE PERMANENCIA EN LA COLA.
TIEMPO MEDIO DE PERMANENCIA EN EL SISTEMA.
W=
NUMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN LA COLA.
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Página 4
MODELO M/M/S SUPUESTOS 1. 2. 3. 4. 5.
Fuente de población infinita. Capacidad del sistema infinito.
6.
Llegada de tipo Poisson con tasa de intensidad o tiempo de llamadas consecutivas de tipo exponencial con el mismo parámetro. Número de atenciones o servicios por unidad de tipo Poisson con tasa de intensidad :
0<< ∗∗ ;; ≥
PROBABILIDAD DE TRANSITO O TRAFICO.
DISTRIBUCION PROBABILISTICA:
PROBABILIDAD DE QUE ESTE VACIO U OSIOCO:
Disciplina en espera “Primero en llegar primero en ser atendido”.
.
“S” estaciones o canales de servicio ordenadas en paralelo.
∗∗ !∗−
∗
! ∗ ; 0≤< − ∗! ∗ ;≥ 1 ∑−= ! ! 1
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE UNIDADES EN LA COLA:
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE ESTACIONES OCUPADAS ( ). NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE ESTACIONES DESOCUPADAS (
.
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE UNIDADES EN EL SISTEMA.
TIEMPO MEDIO DE ESPERA O PERMANENCIA DE UNA UNIDAD EN LA COLA .
TIEMPO MEDIO DE ESPERA O PERMANENCIA DE UNA UNIDAD EN EL SISTEMA :
W=
W=
∗ ∗ ∗ ℮−∗− ≥0 !∗−∗−−
PROBABILIDAD DE QUE UNA UNIDAD QUE LLEGA AL SISTEMA TENGA QUE ESPERAR:
∗
PROBABILIDAD DE QUE UNA UNIDAD PERMANEZCAMAS DE “ t” UNIDADES DE TIEMPO EN LA COLA :
;t
]} ; ≥0 ℮− 1 ! ∗∗ −[−℮−−
PROBABILIDAD DE QUE UNA UNIDAD PERMANEZCA MAS DE “t” UNIDADES DE TIEMPO EN EL SISTEMA:
! ∗
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MODELO M/M/S/C SUPUESTOS 1. 2. 3. 4. 5.
Fuente de población finita de tamaño “m”.
Capacidad del sistema finito. Disciplina en espera “Primero en llegar primero en ser atendido”. “S” estaciones o canales de servicio ordenadas en paralelo.
0≤≤ 0 ;; ≥ ;; 0≤≤ ≤≤
Las tasa de llegadas y de servicios son:
∗
PROBABILIDAD DE TRANSITO O TRAFICO.
PROBABILIDAD DE QUE EL SISTEMA ESTE VACIO U OSIOCO:
DISTRIBUCION PROBABILISTICA :
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE UNIDADES EN EL SISTEMA :
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE ESTACIONES DESOCUPADAS:
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE ESTACIONES OCUPADAS:
∑−= !∗! ! ∗ ∑= !∗!∗ ! − ∗ ! ∗ ∗ ; 0≤≤ !! ! − ∗ ∗ ; ≤≤ !! − ! ! ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ − !! !!∗ = = − ! = !! ∗ ∗ = S -
NUMERO PROMEDIO O ESPERADO DE UNIDADES EN LA COLA:
∑−= ∗
TIEMPO MEDIO DE ESPERA O PERMANENCIA DE UNA UNIDAD EN EL SISTEMA :
−
TIEMPO MEDIO DE ESPERA O PERMANENCIA DE UNIDADES EN LA COLA:
−
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MODELO M/M/S/K SUPUESTOS 1. 2. 3. 4. 5.
Fuente de población finita de tamaño “k”.
Capacidad del sistema finito. Disciplina en espera “Primero en llegar primero en ser atendido”. “S” estaciones o canales de servicio ordenadas en paralelo.
;;,, ,,, … , ….
Las tasa de llegadas y de servicios son:
, , … , ;, ; , , … =
PROBABILIDAD DE TRANSITO O TRAFICO.
DISTRIBUCION PROBABILISTICA:
PROBABILIDAD DE QUE EL SISTEMA ESTE VACIO:
NUMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN LA COLA :
NUMERO PROMEDIO DE UNIDADES EN EL SISTEMA.
TASA MEDIA DE FILTRAJE.
TASA MEDIA DE PERDIDA.
TIEMPO MEDIO DE ESPERA EN EL SISTEMA.
TIEMPO MEDIO DE ESPERA DE UNIDADES EN LA COLA.
∗
∗! ∗ ; , , … , ! ∗ ; , , … ; , , … ∗!+ − ∗! − ⟺ ≠ = − ! ∗ = ! ⟺ + ∗ !∗ ∗ [ − −]∗
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∗ ∗ L=
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INVENTARIOS Los modelos de inventarios se dividen en dos grandes grupos “Determinísticos y Aleatorios”.
MODELOS DETERMINISTICOS: Modelo de compra con y sin déficit, modelo de producción con y sin déficit. MODELOS ALEATORIOS O PROBABILISTICOS: Los sistemas de inventarios: Sistema “Q”, Sistema”P”, Sistema”R”. Las variables a utilizar:
Q
D R R-D S
4 t
T
= Cantidad Optima de Unidades a Comprar o Producir. (Depende del modelo) = Inventario Máximo. = Inventario máximo promedio. = Demanda. = Tasa de Reposición o Manufacturación para un tiempo “T”. = Tasa de acumulación. = Número máximo de unidades agotadas o faltantes en cada ciclo o periodo. = Número promedio de unidades agotadas o faltantes. = Tiempo de un ciclo o periodo. = Tiempo de manufactura en un ciclo. = Tiempo de demanda o demanda pura en un ciclo. = Tiempo de demanda, demanda pura con déficit. = Tiempo de manufacturación con déficit. = Es el tiempo para el total de ciclos o periodos, tiempo en que se desea el costo total del inventario.
∗
COSTOS PUROS: Se denomina costo puro al costo de inventario en el cual se ignora el primer termino (
∗
costo, el cual representa la cantidad de dinero gastado en un tiempo “T”.
) de la ecuación de
También ; donde i = tasa de transferencia y por lo general se lo representa en términos de porcentajes en los enunciados. MODELOS PROBABILISTICOS: Son aquellos en el que al menos se tiene una componente aleatoria. SISTEMA”Q”.- Supone la demanda aleatoria y el tiempo de retraso y ciclos constantes. SISTEMA”P”.- Supone la demanda constante y el tiempo de retraso y ciclos son aleatorios. SISTEMA”R”.- Supone la demanda, el tiempo de retraso y ciclos son variables aleatorias. EXISTENCIA DE SEGURIDAD: Existencia de seguridad es toda cantidad guardado por encima del promedio. ANALISIS MARGINAL.- Es una función matemática que se hace mínima para la siguiente probabilidad:
∗ ó .
C .
MODELOS MATRICIALES: Entre estos modelos pueden existir probabilísticos bajo incertidumbre y bajo riesgos, pudiendo obtenerse tablas de matrices de costos de oportunidad, gastos de ingresos de pérdidas de utilidades basadas en la teoría de decisiones. Formulario Lic. ALIZON EMILZE PEREZ BUTRON
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MODELOS DETERMINISTICOS MODELO DE COMPRA SIN DEFICIT: (COMPRA S/D) SUPUESTOS: 1. La demanda se efectúa a una tasa constante o uniforme. 2. La tasa de reposición es finita e instantánea. 3. Los costos son constantes , donde :
, , .
= Costo de mantener una unidad en inventario durante un tiempo T (tiempo para el total de ciclos o periodos) Gráfico del modelo:
COSTO TOTAL DEL INVENTARIO:
′ ∗
NUMERO DE PERIODOS O CICLOS PARA UN TIEMPO “T”
N=
ECUACION COSTO TOTAL DE INVENTARIO.
2∗ ∗ ´ ∗ 2∗
ECUACION COSTO TOTAL DE INVENTARIO POR PERIODO.
CANTIDAD ÓPTIMA DE UNIDADES A COMPRAR.
2∗∗ INVENTARIO MAXIMO
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MODELO DE COMPRA CON DEFICIT: (COMPRA C/D) SUPUESTOS: 1. La demanda se efectúa a una tasa constante o uniforme. 2. La tasa de reposición es finita pero no instantánea. 3. Los costos , son constantes , donde :
, , 4 . 4 é T.
= Costo de mantener una unidad en inventario durante un tiempo T (tiempo para el total de ciclos o periodos)
CANTIDAD ÓPTIMA DE UNIDADES A COMPRAR:
2 ∗ ∗ ∗ 4 4 NUMERO MAXIMO DE UNIDADES FALTANTES:
√ ∗∗ ∗ √ +
NUMERO DE PERIODOS O CICLOS PARA UN TIEMPO “T”
N=
ECUACION COSTO TOTAL
∗ 4 ∗ ∗ ∗ 2∗ 2∗ ´ ∗ ∗ ∗ 4 ∗ ∗ INVENTARIO MAXIMO.
ECUACION COSTO POR PERIODO.
TIEMPO DE UN CICLO O PERIODO.
TIEMPO CON DEFICIT PARA UN CICLO O PERIODO.
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ECUACION COSTO POR PERIODO.
´ ∗ ∗ −∗ ∗∗ TIEMPO SIN DEFICIT PARA UN CICLO O PERIODO.
−
Página 10
MODELO DE MANUFACTURA O PRODUCCION SIN DEFICIT: (PRODUCCION S/D) SUPUESTOS: 1. La demanda se efectúa a una tasa constante o uniforme. 2. La tasa de reposición (manufacturación) es finita e instantánea. 3. Los costos , son constantes , donde :
, , . ó.
= Costo de mantener una unidad en inventario durante un tiempo T (tiempo para el total de ciclos o periodos)
4.
La tasa de manufacturación es finita y mayor a la tasa de demanda
(R > D).
TASA DE MANUFACTURACION:
TIEMPO DE MANUFACTURACION EN UN CICLO:
ECUACION DE COSTO DE INVENTARIO POR PERIODO:
´ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗1 ∗− ECUACION DE COSTO TOTAL:
TIEMPO DE UN CICLO O PERIODO:
t=
TIEMPO DE DEMANDA PURA:
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ECUACION DE COSTO DE INVENTARIO POR PERIODO:
´ ∗ ∗ ∗ ∗1 NUMERO DE PERIODOS O CICLOS PARA UN TIEMPO “T”
N=
INVENTARIO MAXIMO:
∗1
CANTIDAD ÓPTIMA DE UNIDADES A PRODUCIR:
√ ∗∗−∗ Página 11
MODELO DE MANUFACTURA O PRODUCCION CON DEFICIT: (PRODUCCION C/D) (PARTE I) SUPUESTOS: 1. La demanda se efectúa a una tasa constante o uniforme. 2. La tasa de reposición es finita pero no instantánea. 3. Los costos , son constantes , donde :
, , 4 . ó. 4 é , T.
= Costo de mantener una unidad en inventario durante un tiempo T (tiempo para el total de ciclos o periodos)
ECUACION DE COSTO DE INVENTARIO POR PERIODO:
´ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ECUACION DE COSTO TOTAL:
INVENTARIO MAXIMO:
CANTIDAD ÓPTIMA DE UNIDADES A PRODUCIR:
NUMERO MAXIMO DE UNIDADES AGOTADAS EN CADA CICLO:
∗ ∗ ∗ ∗ Formulario Lic. ALIZON EMILZE PEREZ BUTRON
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MODELO DE MANUFACTURA O PRODUCCION CON DEFICIT: (PRODUCCION C/D) (PARTE II) TIEMPO DE UN CICLO O PERIODO:
TIEMPO DE MANUFACTURACION SIN DEFICIT:
∗
TIEMPO DE DEMANDA PURA SIN DEFICIT:
TIEMPO DE DEMANDA PURA CON DEFICIT:
TIEMPO DE MANUFACTURACION CON DEFICIT:
TIEMPO DE MANUFACTURACION:
ARMA MORTIFERA (sirve en caso de demostraciones o despeje de fórmulas.)
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PLANEACION Y CONTROL DE PROYECTOS “PERT – CPM” La buena administración de proyectos a gran escala requiere planeación, programación, y coordinación cuidadosas de muchas actividades interrelacionadas. Al principiar la década de 1950 se desarrollaron procedimientos formales basados en el uso de redes y de las técnicas de redes para ayudar en estas tareas. Entre los procedimientos más sobresalientes se encuentran el PERT (técnica de evaluación y revisión de programas) y el CPM (método de la ruta crítica) aunque existen muchas variantes con diferentes nombres .Como se verá más adelante existen diferencias importantes entre estos dos procedimientos .Sin embargo a últimas fechas existe una cierta t endencia a unir los dos enfoques en lo que se conoce como “sistemas tipo PERT”. Por ejemplo se pueden citar los programas de construcción, la programación de
computadoras, la preparación de propuestas y presupuestos, la planeación del mantenimiento y la instalación de sistemas de cómputo. CONCEPTOS BASICOS PERT En el PERT emplean una red de proyecto para visualizar gráficamente las interrelaciones entre sus elementos, cada arco de la red representa una actividad, es decir una de las tareas que requiere el proyecto. Cada nodo representa un evento que por lo general se define como el momento en que se terminan todas las actividades que llegan a ese nodo, también toma tres tipos diferentes de estimaciones para los tiempos de las actividades el tiempo optimista, tiempo más probable y el tiempo pesimista CPM Supone que los tiempos de las actividades son determinísticos (es decir se puede predecir de manera confiable sin incertidumbre significativa), por lo que no necesita las tres estimaciones que se acaban de describir , el CPM asigna la misma importancia al tiempo y al costo y pone esto de relieve al construir una curva de tiempo – costo para cada actividad. DIFERENCIAS ENTRE EL PERT Y EL CPM Difieren en dos aspectos primero el CPM supone que los tiempos de las actividades son determinísticos, por lo que no necesita las tres estimaciones que se acaban de describir anteriormente. Segundo en lugar de dar importancia primordial al tiempo el CPM asigna la misma importancia al tiempo y al costo y pone esto de relieve al construir una curva de tiempo y costo para cada actividad. RUTA CRITICA O CAMINO CRÍTICO Es una sucesión de actividades en una red en la cual se tiene holgura total cero. GRAFO Consideremos un conjunto con un número finito de elementos, que designaremos por las letras conjunto por la letra X.
, , , … ,
y al
VERTICE Cualquier elemento de un conjunto que forma un grafo se llama vértice .Algunos autores llaman puntos a los vértices o nodos.
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ARCO
,
Un par orientado (
) formado por dos vértices
se llama arco.
CAMINO Es una sucesión de arcos adyacentes que permite pasar de un vértice a otro; así (A, B, C, D) , (A,C,D,F). CIRCUITO Es un camino cuyo vértice inicial coincide con el final. Así son circuitos. BUCLE Es un arco cuyo origen y extremidad se confunden. Por ejemplo (E, E), (A, A )…, etc. LONGITUD DE UN CAMINO O DE UN CIRCUITO Es el número de arcos del camino o circuito .Por ejemplo de (A, D, F, H) es 3 y (F, R, T, H, M, N) es 5. ARISTA Cuando dos vértices diferentes están unidos mediante un arco por lo menos, en un sentido o en el otro, se dice que entre esto s dos vértices existe una arista. CADENA Es una sucesión de aristas adyacentes; es decir, una sucesión de arcos adyacentes en la que no se tiene en cuenta la orientación de los arcos. Todo camino es evidentemente una cadena pero una cadena no siempre es un camino. GRAFO CONEXO Un grafo es conexo si entre todo par de vértices el mismo existe por lo menos una cadena. GRAFO FUERTEMENTE CONEXO.- Es fuertemente conexo si entre todo par de vértices existe por lo menos un camino. GRAFO ANTISIMETRICO
,
Consideremos el conjunto U de los arcos del grafo, si para todo arco ( es anti simétrico. (NOTA: Un grafo anti simétrico no puede tener bucles).
) en sentido inverso no pertenece a U, se dice que el grafo
TAREA FICTICIA Es aquella que no es penalizable ya que es imaginario y se introduce en la red para auxiliar las tareas a realiza rse.
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FORMULAS DEL P.E.R.T. a = Tiempo optimista b = Tiempo pesimista c = Tiempo normal
+46+ − ( ) 6 √ −6 ( <)< −( )
La duración promedio de una actividad se define como:
La varianza de una actividad se define como:
y su desviación
Aproximación de los tiempos a una distribución normal:
FORMULAS DEL C.P.M. Costos Indirectos.- Es el fijado por el administrador, supervisor, etc. Costos Directos.- Es aquel que está relacionado con la duración de cada actividad, este incluye los costos de materiales.
DETERMINACION DE PENDIENTES.- Es una penalización de materia, tiempo y se define:
GRAFICA DE LA FUNCION COSTO:
COSTO
TIEMPO
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FORMULAS DE DIFERENTES TIPOS DE HOLGURAS: HOLGURA DEL EVENTO.-Es el posible retraso que ese evento podrá experimentar sin causar retraso alguno a la duración total del proyecto: HOLGURA TOTAL.- Presupone que el evento Ni se realiza lo más rápidamente posible, mientras que el Nj se retrasa lo más posible.
0,
HOLGURA DE SEGURIDAD.- Presupone que los eventos Ni y Nj se retrasan lo más posible.
HOLGURA DE LIBERTAD.- Presupone que los eventos Ni y Nj se empiezan lo más rápidamente posible.
HOLGURA DE INDEPENDENCIA.-Mide la libertad absoluta en retrasar una actividad sin afectar a ninguna otra actividad.
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