Pg. 243 De los problemas 1,3,5,7 encuentre la magnitud y dirección del vector dado.
1.v = (-4, 4) |v| v =
(− ) + ( )
= √
+
= √
Magnitud = 4√ Dirección = -45°
3. v = (7, 9) |v| v= (7) + (9) → = √49 + 81 → = √130
Magnitud = √130 Dirección = 52°
= 4√
5. v = (−√ , − )
→→ ∅ =
−
− −√
= 49°
7. v = (1, √3) |v| v =
→=
→=
=→| |=2
Magnitud = 2
√
√
= 60°
Pg. 244 De los problemas 27,29,31encuentre un vector unitario que tenga la misma dirección que el vector dado.
27. v = 6i + 10j |v| = (6) + (10) → √36 + 100 → √136 = √ Magnitud = √ Vector unitario | |
√
√
√
√
√
29. v = i – j |v| = Magnitud |v| = | |
√
√
√
Vector unitario
31. v = -3i -8j |v| = Magnitud |v| = | |
√
√
√
Vector unitario
Pg. 255 En los problemas 3,5,7,9 calcule el producto escalar de los dos vectores y el coseno del Angulo entre ellos.
3. u = 3i; v = - 7j |u|= |v|=
módulos
= (3i*0i) +(-7j*0j) = 0+0 = 0
Angulo que forma ( . ) | |.| |
=|
( ) |.| |
=
= 1 = cos
producto escalar
1 = 0°
Angulo que forma
5. u 5i; v -18j |u|= |v|=
módulos
= {(-5i*0i) + (-18j*0j)} =0+0 = 0
Angulo que forma
Producto escala escalar
° Angulo que forma
7. |u|=
módulos
|v|= =
Angulo que forma
°
Angulo que forma
9. u =2i 5j; v 5i 2j |u|= |v|= .
=
producto escalar
Angulo que forma
De los problemas 15,17,19 determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno de los dos. Después esboce cada par.
15
U= .
=
=
=
=
|u|= |v|= Ninguno
17 U = 2i+3j; v = 6i+4j . =( ∗ )+( ∗ )=( + )= |u| = √ + =√ + =√ |v| = √ + = √ + = √ = √ No es ortogonal ni paralelo 19 U = 7i; v = -23j . = ( ∗ + (−
) =
|u| = √ = √ = |v| = (− ) = √
=
+
=
U y v son ortogonales
En los problemas 27 al 31 calcule proyv u. Vectores en R2 y R3
27. U = 2i – 3j; V= -9i + 6j U.V = {(2*-9) + (-3*6)} = -18 +(-18) = -18 – 18 = -36 |U| = |V| =
(2) + (−3) = √4 + 9 = √13 (−9) + (6) = √81 + 36 = √117 = 3√13
proyeccion =|
∗ |
=
(−
√
+
)=
(−
√
+
)=
√
…
proyeccion
31. U = i + j; V = 2i – 3j =(1*2) +(1(-3)) = 2 – 3 = -1 |u|= √1 + 1 = √1 + 1 = √2 |v|
2 + (−3) = √4 + 9 = √13
proyeccion =|
∗ |
=
√
(2 − 3 ) = −
| |=√ | | = √13 +
Página 267 De los problemas 1,3 encuentre la distancia entre los puntos:
1. (3, -4, 7); (3, -4, 9) Formula PQ= ( 1 − 2) + ( 1 − 2 ) + ( 1 − 2) PQ= [(3 − 3) + ((−4) − (−4))^2 + (7 − 9) = 0 + 0 + 2 PQ = 2
2. (-2, 1, 3); (4, 1, 3) Formula PQ= ( 1 − 2) + ( 1 − 2 )( 1 − 2) PQ= [ (−2) − 4 PQ = 6
+ (1 − 1) + (3 − 3) ] =
(−6) + (0) + (0) = 6
En los problemas 7,9,11 encuentre la magnitud y los cosenos directores del vector dado.
7. v = 6i + 10j +3k |v| =
√ (
√ )
9. v = -10i + 7j + 9k |v| = cos
=
cos
−10√230
=
cos =
(230) 7√230 (230) 9√230 (230)
=−
10√230 √230 = − 230 23
=
7√230 230
=
9√230 230
11. v = 4i - 2j + k |v| = cos cos
= =
cos =
4√21
→= −
(21) −2√21 (21) √21 (21)
=− =
4√21 21
2√21 21
√21 21
En los problemas 1,3,5,7 encuentre el producto cruz u X v.
1. U = 3i - 7j + 0k; v = i + j + k |
|= 3 1
−7 1
0 3 0 1
−7 1
Det i = (-7 * 0) - (1*0) = 0 – 0 = 0i Det j = (0*1) - (0*2) = 0 – 0 = 0j Det k = (3*1) – (1*-7) = (3 + 7) k = 10k U X v = 0i + 0j + 10k 3. U= -7i+9j - 8k; v = 9i + 3j - 8k |
| = −7 9 det
9 3
−8 −7 −8 9
9 −3
= (9 ∗ (−8) − (3 + (−8) = (−72 + 24) = ( (−8) ∗ 9) − (−7) ∗ (−8) = (−72 + 56)
det = (−7) ∗ −3 − (9 ∗ 9) = (21 − 81) |uXv| = -48i + -16j – 60k
= −48
= −16
= −60
5 U = 2i - 7k; v = -3i – 4j uXv =
0 2 0 −7 2 −3 −4 0 −3 −4 det I = (0*0) – (4*(-7)) = (0 + 28) i det j = ((-7) *(-3) – (2*0) = (21 – 0) j det k = (2*(-4) -(-3*0) = (-8 +0) k
= 28i = 21j = -8k
