UNIVERSIDAD ABIERTA PARA ADULTOS UAPA Escuela de Educación Mención Matemática y Física ASIGNATURA Álgebra lineal Tema Espacio Vectoriales Tarea-4 SUSTENTADO POR: FACILITADOR/A: Lic NAGUA, REPUBLICA DOMINICANA 22/2/2019
I) Actividad teórica 1. Definition de espacio vectorial
Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre lo s vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una as ociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axio mas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los ve ctores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión. 2. Definición de subespacio vectorial
Un subconjunto no vacío F de E (espacio vectorial) es un subespacio vectorial de E si él mismo es espacio vectorial. F es un subespacio vectorial de E, si y sólo si, se cumplen las siguientes condiciones Existe un Teorema de sub-espacio, que dice que un subconjunto no vacío de H de un espacio vec torial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Sea V un K-espacio ve ctorial. Un subconjunto S ⊆ V no vacío se dice un sub-espacio de V si la suma y el producto por escalares (de V ) son una operación y una acción en S que lo convierten en un K-espacio vectoria l. 3. Combinaciones lineales
Un vector x de un espacio vectorial E es combinación lineal de los vectores x1,x2,..., xp de E, si se puede expresar como Donde los escalares a1,a2,..., a p reciben el nombre de coeficientes de la combinación lineal Por lo que Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar es os vectores multiplicados por sendos escalares. Pues cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta d irección.
4. Envoltura lineal
Se llama envoltura lineal de los vectores x1,x2,..., x p de un espacio vectorial e, al conjunto de todas las combinaciones lineales de dichos vectores, por lo que es el conjunto de todas las co mbinaciones lineales de S se denota por L(S) y se llama envoltura lineal de S Donde f es el menor subespacio vectorial que contiene a los vectores x1, x2,..., x p Sea f un subespacio vectorial de e. se dice que {x1,x2,..., x p} es un conjunto generador de f s i f = env {x1,x2,..., x p}. Si x es un vector de un espacio vectorial e que es combinación lineal de los vectores x 1,x2,..., x p entonces: env {x1,x2,..., x p} = env {x1,x2,..., x p,x}. 5. Dependencia e independencias lineal
Por definición en un conjunto de vectores {x1,x2,..., x p} de un espacio vectorial E se di ce que es linealmente independiente o libre y se escribe L. I., si la igualdad sólo se satisface cuando a1 = a2 = ... = a p = 0.
En caso contrario, se dice que los vectores son linealmente dependientes o ligados. Dentro de sus propiedades cabe mencionar las siguientes Sea {x1,x2,..., x p} un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio ve ctorial E. • Si el vector u es C.L. de ellos, entonces los coeficientes de la combinación lineal son único s. • Todo subconjunto de {x1,x2,..., x p} es L. I. Sea E un espacio vectorial y {u1,u2,..., u p} L. I. de E, las equivalen: · {v,u1,u2,..., u p} es L. I. · v no pertenece a Env {u1,u2,..., u p} Sea {x1,x2,..., x p} un conjunto de vectores linealmente dependientes de un espacio vect orial E. · Cualquier conjunto que lo contiene también es linealmente dependiente. · Un conjunto de vectores de un espacio vectorial E es linealmente dependiente si, y sól o si, alguno de ellos es combinación lineal de los restantes. 6. Bases y dimension
Se llama dimensión de un espacio vectorial E (dim E) al número de vectores de una ba se de E. Notar que dim {0} = 0, Todas las bases de E tienen la misma dimensión. El conjun to {b1,b2,..., bn} de un e. v. E es una base de E si es un conjunto generador de E y libre (L. I. ), pues todo espacio vectorial E de generación finita, distinto de {0} tiene una base. Con relación a la Base. Se llama base de un espacio o subespacio vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases.
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector. La base canónica (o base natural, o base estándar) de R n e1 = (1,0,. . . ,0) e2 = (0,1,. . . ,0) ........ en = (0,0,. . . ,1) - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ n se puede expresar como combinación lineal de ellos: (a1,a2,. . . ,an)= a 1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1) Otra base de ℜ3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. - Son sistema generador de ℜ 3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como com binación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α , , β γ que satisfagan (a,b,c)= α ( 1,0,0)+ β (1,1,0)+γ (0,2,-3) Se obtiene un sistema: α + β = a β +2γ =b -3γ = c en las incógnitas α , , β γ , que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. 3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ 3 no forman base porque no son linealmente independient
es (su determinante es nulo En ℜ3 , consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1, – 1,0)
forman una base de S. - Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro . - Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo pode mos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1, –1,0). Para ello, buscamos α, b que cum 7.
Escriba las propiedades de los espacios vectoriales
son 8 las propiedades fundamentales en espacio vectorial real o simplemente un espacio vectorial pues si se verifican las siguientes propiedades: 1. Propiedad asociativa (+): (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V . 2. Propiedad conmutativa: u + v = v + u, ∀ u, v, ∈ V . 3. Existencia de elemento neutro: ∃ 0 ∈ V | 0 + v = v, ∀ v ∈ V . 4. Existencia de elemento opuesto: ∀ v ∈ V ∃ -v ∈ V | v + (-v) = 0. 5. Propiedad distributiva I: a · (u + v) = a · u + a · v, ∀ a ∈ R, ∀ u, v ∈ V . 6. Propiedad distributiva II: (a + b) · v = a · v + b · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V . 7. Propiedad asociat iva (·): a · (b · v) = (ab) · v, ∀ a, b ∈ R, ∀ v ∈ V . 8. Elemento unidad: 1 · v = v, ∀ v ∈ V . 8. Suma e intersección de subespacios vectoriales
Sean U un espacio vectorial y sean V y W dos subespacios vectoriales de U. Llamaremos intersección de V y W, y lo denotaremos V ∩ W al conjunto formado por los vecto
res u ∈ U tales que u está a la vez en los dos espacios, es decir u ∈ V y u ∈ W. Por lo que la suma de los espacios V y W, y lo denotaremos V + W al conjunto de vectores u ∈ U que se pueden poner como u = v + w con v un vector de V y w un vector de W. Está claro que
el espacio V ∩ W está contenido tanto en V como en W y que ambos espacios están contenidos e
n V + W. Existe una relación entre las dimensiones de todos estos espacios, concretamente: dim(V) + dim( W) = dim(V ∩ W) + dim(V + W) Habitualmente necesitaremos calcular bases de estos espacios.
El método utilizado dependerá del formato en que se nos proporcionen los espacios. Supongamo s que nos proporcionan conjuntos generadores de los espacios V y W, entonces lo que haremos e s poner una matriz con los siguientes vectores en fila:
gen. de V gen. de w
gen. de V 0
Resumiendo la suma e intersección de subespacios vectoriales · Suma de subespacios vectoriales Sean F y G dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Se llama suma de F y G al conjunto: La suma de subespacios vectoriales es subespacio vectorial. Se dice que la suma de F y G es directa cuando dado un vector z de F+G, se escribe de forma única como En este caso la suma se escribe como FÅG. · Intersección de subespacios vectoriales Sean F y G dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Se llama Intersección de subespacios vectoriales de F y G al conjunto
La intersección de subespacios vectoriales es subespacio vectorial. Teorema Sean F y G dos subespacios vectoriales de un e. v. E
II) Actividad práctica 1.
Expresa el vector vectores:
2.
= (1, 0, 1),
= (4, 5, 6) como combinación lineal de los = (1, 1, 0) y
= (0, 1, 1).
Dados los vectores = (1, 2, 3), = (2, 1, 0) y = (−1, −1, 0), demuestre que dichos vectores forman una base y calcula las coordenadas del vector (1,
−1, 0) respecto de dicha base.
III) Compruebe las propiedades de los espacios vectoriales, asignando valores a la s variables elegidas: A.1. x + y = y + x A.2. (x + y)+z = x+ (y + z) A.3. x + 0 = 0 + x = x A.4. x + (-x) = (-x) + x = 0 A.5. a(x + y) = ax + ay A.6. (a + b)x = ax + bx A.7. a(bx) = (ab)x A.8. 1x = x
(conmutativa) (asociativa) (el. neutro) (el. opuesto) (distributiva) (distributiva)
Tomando en cuenta que un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominad os vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de suma de vectores y otra que recibe el nombre de producto de vectores por números reales o producto por escalares q ue verifican las siguientes propiedades: (1) u + v ∈ V; ∀ u, v ∈ V . (2) u + v = v + u; ∀ u, v ∈ V. (3) u + (v + w) = (u + v) + w; ∀ u, v, w ∈ V. (4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0, tal que: 0 + u = u + 0 = u; ∀ u ∈ V. (5) Para cada u ∈ V, existe un vector de V, llamado opuesto de u y denotado por −u, tal que u + (−u) = 0 .
(6) ku ∈ V; ∀ k ∈ IR y ∀ u ∈ V . (7) k(u + v) = ku + kv ; ∀ k ∈ IR y ∀ u, v ∈ V . (8) (k + l)u = ku + lu ; ∀ k, l ∈ IR y ∀ u ∈ V . (9) (kl)u = k(lu); ∀ k, l ∈ IR y ∀ u ∈ V . (10) 1u = u; ∀ u ∈ V
IV) Dados los siguientes subconjuntos de R3, demuestra que son subespacios vecto riales y calcula una base.
1). El vector (0,0,0) pertenece a A pues cumple las dos condiciones: * la segunda componente es el doble de la primera
* la tercera componente es (-3) veces la primera
En el caso 2 Sea bVÎÂ (a,2a,-3a)ÎA (a,2a,-3aÎA
¿ b((a,2a,-3a)+V(a,2a,-3a)ÎA?
b((a,2a,-3a)+V(a,2a,-3a)=(ba+2a-3a,2(ba+Va),-3(ba+Va))ÎA?Y este vector pertenece a A po r cumplir las dos condiciones Así pues, todo vector de A se podrá expresar: ba,-2a,-3a)=a(1,2,-3)ÞBA= env((1,2,-1)); dim A= 1 B) En B= ((x,y,z)/x-y=0) La relación definida en B es que la primera y segunda compo nentes deben ser iguales. 1). El vector (0,0,0) pertenece a B pues cumple la condición pedida: la primera componente y la segunda son iguales Y como x=y Þ ax=ay , por lo tanto se da. Así pues, todo vector de B se podrá expresar: (X,Y,Z)=X,y,Z) x=(1,1,0)+Z(0,0,1) Así pues, todo vector de BB =Env((1,1,0)(0,0,1)) dimB=2 c) En C= ((x,y,z)/x+y+z=0,y+2z=0)) La relación definida en C es que la suma de las tres componentes es cero y que la suma de la segunda con el doble de la tercera también es cero. 1). El vector (0,0,0) está en C pues cumple las dos condiciones pedidas SeaabÎÂ (x,y,z)=ÎC (x´,y´,z´)=ÎC
