Taller Optimización Lineal [117335]

TALLER OPTIMIZACIÓN LINEAL (9-16) Determine los valores mínimos de la función objetivo Z sujeta a las restricciones dadas.  =  x + 2 y ; x  ≥ 0, 15. Z  =

y ≥  0,

2 x + y  ≥ 7,

2 y − x ≥ −1,

2 x − y ≥−3

2 x − y =−3

2 x + y  = 7

2 y − x =−1

Z mín = 5 en  x = 3, y  = 1

5= x + 2  y

1

16. Z  =  =  x + y ; −  ≤ y − x ≤ 2, 2

y + 2 x ≤  8,

y + 4 x  ≥ 7

 y − x =  2  y + 4 x

1

− = y − x

=7

2

Z mín = 3

en  x =  , 2

 y + 2 x  = 8 5 2

=  x + y

5 2

y = 1

17. (Mezcla de whisky) na com!a"ía destiladora tiene dos #rados de whisky en bruto (sin mezclar)$ % y %%$ de los cuales !roduce dos marcas diferentes. &a marca re#ular contiene ' de cada uno de los #rados % y %%* mientras +ue la marca s,!er consta de dos terceras !artes del #rado % y una tercera !arte del #rado %%. &a com!a"ía dis!one de - #alones del #rado % y  del #rado %% !ara mezcla. /ada #alón de la marca re#ular !roduce una utilidad de 0 '* mientras +ue cada #alón del s,!er !roduce una utilidad de 0 1. 2/u3ntos #alones de cada marca debería !roducir la com!a"ía a fin de ma4imizar sus utilidades5

Grado I

Grado II

Utiidad

Marca re#ular

67

67

'

Marca s,!er Dis!onibilidad

7-

67

1

Denotemos con  x  la !roducción de la com!a"ía en #alones de la marca re#ular y con  y los #alones del whisky de ti!o s,!er. 8ntonces$ como cada #alón del ti!o re#ular contiene 1 / 2 #alones de 9rado % y cada #alón del ti!o s,!er contiene 2 / 3  #alones de 9rado %$ la cantidad total de #alones de 9rado % usados es

1 2

 x +

2 3

 y

. :sta no !uede e4ceder el suministro dis!onible de

- #alones$ de modo +ue tenemos la condición

1 2

 x  +

2 3

y ≤  3000

De i#ual manera con los #alones de 9rado %% obtenemos la condición

1 2

tendríamos el si#uiente sistema de desi#ualdades. 1 2

 x

2 +

3

1

y ≤ 3000

2

 x ≥ 0

1 2

x +

1 3

x +

1 3

y ≤  2000

y ≥  0

y =  2000

1 2

x +

2 3

y =  3000

x +

1 3

y ≤  2000, con lo +ue

/ada #alón de whisky de marca re#ular !roduce una utilidad de 0 '$ y el de marca s,!er 0 1. /u3ndo los vol,menes de !roducción son de  x  y  y  #alones res!ectivamente$ la utilidad total  P  es  P =  5 x  + 6  y

;i hacemos < i#ual a un valor fijo$ tendríamos la recta de indiferencia $y$ con varias de estas tendríamos una !ers!ectiva clara de cu3l seria el !unto de intersección con la re#ión de soluciones factibles m3s lejano del ori#en !ara hallar la utilidad m34ima.

De la #r3fica deducimos +ue la recta de indiferencia debe !asar !or el !unto de intersección de las rectas

1 2

x +

1 3

y =  2000 y

1 2

x +

2 3

y =  3000

&as coordenadas de este !unto son  x = 2000  y

 y =  3000


1!. . (Mezclas) na com!a"ía vende dos mezclas diferentes de nueces. &a mezcla m3s barata contiene > de cacahuetes y  de nueces* mientras +ue la m3s cara contiene ' de cada ti!o. /ada semana la com!a"ía !uede obtener hasta 6> kilos de cacahuetes y 6 kilos de nueces de sus fuentes de suministros. 2/u3ntos kilos de cada mezcla deberían !roducir !ara ma4imizar las utilidades si las #anancias son de 06 !or cada kilo de la mezcla m3s barata y de 06' !or cada kilo de la mezcla m3s cara5

Mezcla barata Mezcla cara Dis!onibilidad

Ca"a#$%t%&

N$%"%&

Utiidad

?7' 67 6>

67' 67 6

6 6'

;i  x  es la !roducción de la com!a"ía en kilos de la mezcla m3s barata de nueces y es la !roducción de la mezcla m3s cara$ tendríamos el si#uiente sistema de desi#ualdades 4 5

x +

1 2

y ≤ 1800

1 5

 x ≥ 0

4 5

x +

1 2

x  +

1 2

 y

y ≤ 1200

y ≥  0

y = 1800

1 5

 x  +

1 2

 y  = 1200

&as utilidades !ara las distintas mezclas son$ 0 6 !ara un kilo de la mezcla barata y 0 6' !ara un kilo de la mezcla m3s cara. /u3ndo los vol,menes de !roducción son de  x  y  y  !ara las dos mezclas res!ectivamente$ la utilidad total  P  es  P =  10 x  + 15  y

;i hacemos < i#ual a un valor fijo$ tendríamos la recta de indiferencia $y$ con varias de estas tendríamos una !ers!ectiva clara de cu3l seria el !unto de intersección con la re#ión de soluciones factibles m3s lejano del ori#en !ara hallar la utilidad m34ima.

De la #r3fica deducimos +ue la recta de indiferencia debe !asar !or el !unto de intersección de las rectas

4 5

x +

1 2

y = 1800

y

1 5

x  +

1 2

 y  = 1200

&as coordenadas de este !unto son  x = 1000  y

 y =  2000


19. . (Decisiones sobre !roducción) na com!a"ía !roduce dos !roductos$ @ y A. /ada unidad de @ re+uiere  horas en una m3+uina y ' en una se#unda m3+uina. /ada unidad de A demanda ? horas en la !rimera m3+uina y - en la se#unda m3+uina. ;e dis!one de 6 a la semana en la !rimera m3+uina y de 66 en la se#unda. ;i la com!a"ía obtiene una utilidad de 0B !or cada unidad de @ y 0' !or cada unidad de A$ 2cu3nto deber3 de !roducirse de cada unidad con objeto de ma4imizar la utilidad total5

M'$ia 1

M'$ia *

Utiidad



'

B

? 6

66

'


;u!on#a +ue la em!resa !roduce  x  unidades del

 x ≥ 0

5 x + 3  y  ≤ 110

y ≥  0

5 x + 3  y  = 110

2 x  +  4  y  = 100

De la #r3fica deducimos +ue la recta de indiferencia debe !asar !or el !unto de intersección de las rectas 2 x  + 4 y  = 100 y 5 x +  3  y  = 110 &as coordenadas de este !unto son  x = 10  y

 y =  20


*+. (Decisiones sobre !roducción) 8n el ejercicio 6E$ su!on#a +ue se recibe una orden !or 61 unidades de @ a la semana. ;i la orden debe cum!lirse$ determine el nuevo valor de la utilidad m34ima. 8n este caso tenemos el mismo !roblema anterior$ solo +ue se ha modificado una condición$ lo +ue nos lleva a !lantear nuevamente la desi#ualdad corres!ondiente al
 x ≥ 16

5 x + 3  y  ≤ 110

y ≥  0

5 x + 3  y  = 110

 x = 16

2 x  + 4  y  = 100

8n esta nueva #r3fica vemos +ue la recta de indiferencia debe !asar !or el !unto de intersección de las rectas  x = 16 y 5 x +  3  y  = 110 &as coordenadas de este !unto son  x = 16  y

 y = 10

@sí la utilidad semanal es m34ima en esta nueva situación cuando la com!a"ía !roduce 61 unidades del