Universidad de Antioquia Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Instituto de Matem´ aticas aticas Cursos de Servicio Algebra Lineal Profesora Profesor a Luz L uz Stella Botero Ram Ram´´ırez Taller No. 1 Espacios Vectoriales, Combinaci´on on Lineal, Dependencia Dependencia e Independenci Independenciaa Lineal 6 de agosto de 2018 En cada una de las afirmaciones de la 1 − 20 coloque V o F seg´un un la considere verdadera o falsa. Recuerde que todas deben ser justificadas: 1. El conjunto de matrices matrices triangulares triangulares superiores superiores n × n es un espacio vectorial. 2. El conjunto conjunto de ternas de R3 que verifican la ecuaci´on on 2x + y − z = 0 es un espacio vectorial. 3. El conjunto conjunto de vectores vectores (x, y ) en
R2
con y = −x + 2 es un espacio vectorial.
4. El conjun conjunto to de m´ ultiplos constantes de la matriz identidad n × n es un espacio vectorial. ultiplos 5. El conjunto de matrices matrices triangulares triangulares inferiores inferiores n × n es subespacio de M n
n.
×
6. Sea H = {(x,y,z) : 2x + 3 y − z = 0} y K = {(x,y,z ) : x − 2y + 5z = 0}. Entonces H ∪ ∪ K es un subespacio de R3 . 7. Sea H = {(x,y,z) : 2x + 3 y − z = 0} y K = {(x,y,z ) : x − 2y + 5z = 0}. Entonces H ∩ ∩ K es un subespacio 3 de R . 8. El conjunto conjunto de polinomios polinomios de grado 15 es un espacio espacio vectorial. vectorial. 9. El conjunto conjunto de polinomios de grado 4 es un subespacio de
P5 .
10. El conjunto conjunto de polinomios de grado 4 es un subespacio de
P4 .
11. En
3
R
las ternas (2, 0, 1), (3, −1, 2) y (1, 1, 1) y (7,3,2) generan a
3
R
.
12. Si A es una matriz de m × n, con m < n, entonces el sistema lineal Ax = on para cada b tiene una soluci´on m-vector b 13. Si det (A) = 0, entonces el sistema lineal A on. x = b, b= 0, no tiene soluci´on. 14. Todo sistema lineal A 0, donde A es una matriz de m × n; tiene una soluci´on on x = 0 si m < n. x =
n
15. Todo conjunto generador de
R
tiene exactamente n vectores.
16. Si {v 1 , v 2 , · · · , v n } es una base de un espacio vectorial V , entonces no es posible encontrar un v ∈ V tal que v no pertenezca a gen{v 1 , v 2 , · · · , v n }. 17. Si v 1 , v 2 , · · · , v n son linealmente dependientes, entonces v 1 , v 2 , · · · , v n , vn +1 tambi´en son linealmente dependientes. 18. Si v 1 , v 2 , · · · , v n son linealmente independientes en diente en Rn+1.
n
R
, entonces v 1, v 2, · · · , v n , vn +1 es linealmente indepen-
19. Los polinomios 2, 3x, 2x − x4 y 7x3 son linealmente independientes en 20. Cualquier tres vectores en
3
R
forman una base para
3
R
P4 .
.
En los ejercicios 21-26 determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. Si no lo es, d´e una lista de los axiomas que no se cumplen. 21. El conjunto de vectores de
3
R
de la forma (x,x,x).
22. El conjunto que consiste de un solo vector (0, 0) bajo las operaciones usuales en
2
R
.
23. El conjunto de polinomios de grado ≤ n con t´ermino constante a0 positivo. 24. El conjunto de puntos en R3 que est´an en una recta que pasa por el origen. 25. El conjunto de las matrices no invertibles n × n con las operaciones matriciales ordinarias. 26. Sea V = R2, con la suma definida por: ⊕ : x ⊕ y = xy y ⊙ : α ⊙ x = xα
27. Muestre que en un espacio vectorial el elemento id´entico aditivo es u ´ nico. 28. Muestre que en un espacio vectorial todo vector tiene un inverso aditivo u ´ nico.
→ → → → → → 29. Si − x e− y son vectores en un espacio vectorial V , muestre que existe un vector ´unico − z ∈ V tal que − x + − z =− y
En los problemas 30-42 determine si el subconjunto dado 30.
V = R2 , H
= {(x, y) : y ≥ 0}
31.
V = R2 , H
= {(x, y) : x = y }
32.
V = R3 , H
33.
V = M 22 ,
=
(x,y,z) ∈ R3 :
x + 1
3
=
y + 1
H =
34.
V = Pn , H
= { p ∈ Pn : p (0) = 1}
2
=
z
4
H del
espacio vectorial
.
A ∈ M 22 : A =
a
0
1 + a 0
V es
un subespacio de
V
35.
V = Rn ,
H =
a−b , a, b ∈ R 2a + b a
n
, H =
n
,
36.
V = R
37.
V = R
0 −2a
, a∈R
H =
38. El conjunto de todos los vectores en
2
2
R
→ → → → v :− v = a − v 1 + b− v 2 ; a, b reales} {−
.
41. V = M 3
, H =
42. V = M 2
, H = A ∈ M n
×2
×2
R
, Demuestre que H =
es un subespacio de
, a, b, c, d ∈
en los que las primeras tres componente son cero.
R
R
a−b b−c c−d d−a
en los cuales el primer y ´ultimo componente son cero.
R
4
39. El conjunto de todos los vectores
→ → 40. Sean − v 1 y − v 2 dos vectores en
3
A ∈ M 3×2 : A =
a c e
n : A + A
×
t
b d donde c = 3a + 1 . f
=0 .
− − − 43. Escribir el vector → on lineal de los vectores → v = (1, −2, 5) como una combinaci´ e1 = (1, 1, 1), → e2 = (1, 2, 3) y → − e3 = (2, −1, 1). − 44. Escribir el vector → v = (2, −5, 3) de − → (2, −4, −1) y e3 = (1, −5, 7).
3
R
− − como una combinaci´on lineal de los vectores → e1 = (1, −3, 2), → e2 =
→ − 45. ¿Para qu´e valor de k el vector − a una combinaci´on lineal de los vectores → u = (1, −2, k) de R3 ser´ v = (3, 0, −2) → y − w = (2, −1, −5)? 46. Escribir el polinomio v = t2 + 4t − 3 sobre e2 = 2t2 − 3t y e 3 = t + 3. 47. Escribir la matriz E = C =
0 2 . 0 −1
R como
3 1 como una combinaci´on lineal de las matrices A = 1 −1
→ 48. Si V = R3 y − v = 1 3 −2 , hallar el subespacio de
3
49. Si V = R , hallar g en
una combinaci´on de los polinomios e1 = t2 − 2t + 5,
1 0 −2 , 1 1 −1
R3
→ generado por el vector − v .
1 1 ,B= 1 0
0 0 1 1
y
50. Sea V = M 23 , W 1 =
A ∈ M 2×3 :
A =
0 d
b e
c f
y W 2 =
A ∈ M 2×3 : A =
a )
Muestre que W 1 y W 2 son subespacios.
b)
Describa el subconjunto W = W 1 ∩ W 2 y muestre que es un subespacio.
a d
b e
c
0
con b = a + c
En los problemas 51-53 determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado. 51. En
2
R
3
,
,
1 , 1 1 2 3
52. En
R
53. En
M22 ,
2 , 1
−1 2 3
,
1 0 , 1 0
2 2
,
5 2 3
1 2 , 0 0
4 3
−1 , 0
−2 5 6 0
54. Muestre que dos polinomios no pueden generar a
P2
55. Si p 1 , p2, · · · , pm genera a P m muestre que m ≥ n + 1.
En los problemas 56-63 determine si el conjunto dado de vectores es linealmente dependiente o independiente. 56.
57.
58.
59.
2 −1 4 2 −1 4
;
;
−2 ; 3 −3 4 2
4 −2 . 7 4 −2 . 8
4 . 7
;
7 −1 3
;
1 2 . 8
60. En
P2 ;
1 − x, x
61. En
P3 ;
x, x2 − x, x3 − x.
62. En
P3 ;
2x, x3 − 3, −4x3 + x + 1, x3 + 18x − 9.
63. En M 22 ;
2 −1 , 4 0
64. ¿Para qu´e valor(es) de α son linealmente dependientes los vectores
0 −3 , 1 5
4 1 . 7 −5
2 −3 , 1
−4 6 y −2
α
1 . 2
→ → → −−→ es cualquier otro 65. Muestre que si los vectores − v 1, − v 2, · · · , − v n son linealmente dependientes en Rm y si v n+1 → → − −→ es linealmente dependiente. vector en Rm , entonces el conjunto − v1 , − v2 , · · · , − v→ , v n n+1
En los problemas 66 y 67 escriba las soluciones a los sistemas homog´ eneos dados en t´erminos de uno o m´as vectores linealmente independientes. 66.
x1 − x2 + 7 x3 − x4
2x1 + 3 x2 − 8x3 + x4
=0 =0
67.
x1 + x2 + x3 − x4 − x5
−2x1 + 3 x2 + x3 + 4 x4 − 6x5
=0 =0
→ → 68. Sea {− v1 , − v2 , · · · , − v→ n } un conjunto linealmente dependiente de vectores diferentes de cero en un espacio vectorial on lineal de los vectores V. Muestre que al menos uno de los vectores en V se puede escribir como combinaci´ − que le preceden. Es decir, demuestre que existe un entero k ≤ n y escalares a1 , a2 , · · · , ak 1 tales que → vk = → − → − − − → a1 v1 + a2 v2 + · · · + ak 1 vk 1 . −
−
−
→ → → − − → 69. Sea {− v1 , − v2 , · · · , − v→ n } un conjunto de vectores que tiene la propiedad de que el conjunto { vj , vj } es linealmente dependiente cuando i = j . Muestre que cada vector del conjunto es un m´ultiplo de un solo vector de ese conjunto.
En los problemas 70 y 71 determine si el conjunto dado es una base para el espacio vectorial a que se refiere: 70. En
P2 ,
−2 − 11x + 7x2 , −5 − x − 5x2
71. En
P3 ,
1, 1 + x, 1 + x2 , 1 + x3
En los problemas 72 y 73, encuentre una base para el espacio de soluci´on del sistema homog´eneo dado:
72.
2x + 3y − 4z x − y + z 2x + 8y − 10z
x1 − 6x2 + 11 x3 + 6 x4
=0 =0 =0
73.
−15x1 + 26 x2 − 13x3 − 10x4 −3x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x4
=0 =0 =0
74. Sean H y K dos subespacios de V tales que H ⊆ K y dim H = dim K < ∞. Muestre que H = K . 75. Encuentre una base en R4 que contenga a los vectores (3 , 2, 1, 0) y (2, 2, 0, 1) 76. Describa el espacio generado por las matrices:
2 3
−1 , 0
0 3 1 3
y
4 1 3 −2
77. Sean los polinomios de P3 : P 1 (x) : 1+ x, p 2 (x) = 1 + x3 y p 3 (x) : −1 − x + 2x + 2x3 . Determine una base para el espacio vectorial generado por estos polinomios. ¿cu´al es la dimensi´on de dicha base?
