Taller Programación lineal

Taller de repaso-Programación Lineal Métodos cuantitativos CB0245 (grupos 001 y 003) Profesora: Paula Escudero

PREGUNTAS DE REPASO: 1. Explique la diferencia entre un modelo descriptivo y un modelo normativo. De ejemplos de cada uno de ellos. 2. Explique la diferencia entre un modelo determinístico y un modelo estocástico. De ejemplos de cada uno de ellos. 3. Explique la diferencia entre un modelo estático y un modelo dinámico. De ejemplos de cada uno de ellos. 4. Explique en forma muy breve el método simplex. Utilice en su respuesta el concepto de vértices. 5. ¿Qué forma deben tener las restricciones en un problema de PL para que pueda aplicarse el método simplex? ¿Por qué? 6. Explique la diferencia entre una solución básica y una solución factible básica. ¿Qué relación existe entre las soluciones factibles básicas y los vértices de la solución factible? 7. ¿Cuál es el propósito de las variables de holgura en un problema de programación lineal? ¿de las variables de excedente? ¿de las variables artificiales? 8. ¿Por qué es necesario que exista una matriz identidad en el cuerpo de las restricciones para poder comenzar con el método simplex? 9. Explique cómo se identifica que se tiene una solución óptima en el proceso de solución al resolver un problema de maximización. ¿Cómo se reconoce que existe una solución óptima alternativa? 10. ¿Cómo se reconoce un problema que tiene una solución no acotada? 11. ¿Cómo se reconoce un problema que tiene una solución no factible? 12. ¿Cómo se reconoce un problema degenerado? 13. ¿Qué son los precios sombra? 14. ¿Para qué se hace el análisis de sensibilidad en un problema de programación lineal? 15. ¿En qué consiste el análisis de sens ibilidad: “cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable no básica ”? 16. ¿En qué consiste el análisis de sensibilidad: “cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable básica ”? 17. ¿En qué consiste el análisis de sensibilidad: “cambio en el valor de uno de los recursos”?

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PREGUNTAS FALSO/VERDADERO: Responda Falso (F) o Verdadero (V), Justifique la respuesta Falsa en la hoja de resultados. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

32.

Los modelos de Programación Lineal son son modelos descriptivos. descriptivos. ( ). Un modelo estocástico tiene características que varían dependiendo del tiempo ( ). En un problema de programación lineal todas las restricciones deben expresarse en las mismas unidades. unidades. ( ). Las limitaciones sobre la disponibilidad de recursos se incorporan en la función objetivo. ( ). Cualquier punto en la región factible es una solución para el problema original ( ). La efectividad del modelo como función de las variables de decisión se define a través de las restricciones. ( ). Las variables artificiales se añaden al modelo original para completar la matriz identidad y hallar una solución inicial para el problema aumentado ( ) Los modelos de programación programación Lineal son modelos estocásticos estocásticos dinámicos. ( ). Las limitaciones sobre la disponibilidad de recursos se incorporan en la función objetivo. ( ). La recta de iso-utilidad representa la línea en la que se maximizan las utilidades. ( ). Los coeficientes de las l as variables de decisión en la l a función objetivo representan las tasas físicas de sustitución sustitución ( ). La efectividad del modelo como función de las variables de decisión se define a través de la función objetivo. ( ). Ocurre degeneración en la tabla simplex si se alcanza el óptimo, pero una variable artificial permanece permanece en la solución a un nivel positivo. positivo. ( ). Las variables de holgura y de excedencia se añaden o se restan al modelo original para completar la matriz identidad y de esta manera permitir una solución inicial ( ) Un modelo lineal es aquel en el que todas las relaciones funcionales son de tal forma que la variable dependiente es proporcional a las variables independientes ( ).

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PREGUNTAS FALSO/VERDADERO: Responda Falso (F) o Verdadero (V), Justifique la respuesta Falsa en la hoja de resultados. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

32.

Los modelos de Programación Lineal son son modelos descriptivos. descriptivos. ( ). Un modelo estocástico tiene características que varían dependiendo del tiempo ( ). En un problema de programación lineal todas las restricciones deben expresarse en las mismas unidades. unidades. ( ). Las limitaciones sobre la disponibilidad de recursos se incorporan en la función objetivo. ( ). Cualquier punto en la región factible es una solución para el problema original ( ). La efectividad del modelo como función de las variables de decisión se define a través de las restricciones. ( ). Las variables artificiales se añaden al modelo original para completar la matriz identidad y hallar una solución inicial para el problema aumentado ( ) Los modelos de programación programación Lineal son modelos estocásticos estocásticos dinámicos. ( ). Las limitaciones sobre la disponibilidad de recursos se incorporan en la función objetivo. ( ). La recta de iso-utilidad representa la línea en la que se maximizan las utilidades. ( ). Los coeficientes de las l as variables de decisión en la l a función objetivo representan las tasas físicas de sustitución sustitución ( ). La efectividad del modelo como función de las variables de decisión se define a través de la función objetivo. ( ). Ocurre degeneración en la tabla simplex si se alcanza el óptimo, pero una variable artificial permanece permanece en la solución a un nivel positivo. positivo. ( ). Las variables de holgura y de excedencia se añaden o se restan al modelo original para completar la matriz identidad y de esta manera permitir una solución inicial ( ) Un modelo lineal es aquel en el que todas las relaciones funcionales son de tal forma que la variable dependiente es proporcional a las variables independientes ( ).

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33. 34.

35. 36.

37.

38.

39.

Los coeficientes de las l as variables de decisión en la l a función objetivo representan las tasas físicas de sustitución sustitución ( ). El resultado de la prueba del cociente mínimo (columna cociente o Ratio en la tabla Simplex) representa la cantidad cantidad de recurso que queda disponible disponible al hacer que una variable no básica entre a la solución. ( ) Ocurre degeneración en la tabla simplex si se alcanza el óptimo, pero una variable artificial permanece permanece en la solución a un nivel positivo. ( ). En un problema de maximización, la variable que entra a la solución en una tabla simplex, es la que tiene un coeficiente de costo o contribución más alto en la Función Objetivo ( ). El resultado de la prueba del cociente mínimo (columna cociente o Ratio en la tabla Simplex) representa la cantidad cantidad de recurso que queda disponible disponible al hacer que una variable no básica entre a la solución. ( ) EL análisis de sensibilidad es un método para investigar el efecto que tienen cambios en los diferentes parámetros sobre la solución inicial de un problema de P.L. ( ) Se requieren variables artificiales solamente cuando el problema tiene restricciones de mayor o igual que ( )

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PREGUNTAS SELECCIÓN MÚLTIPLE: 1.

Un problema tiene óptimos alternos si: a) En el problema se tienen por lo menos una restricción de mayor o igual y otra de menor o igual. b) La función objetivo es paralela a una de las restricciones. c) Una o más variables básicas tienen el valor de cero en la solución óptima. d) Para una variable no básica el valor de la contribución neta en la tabla simplex es cero y existe por lo menos un coeficiente tecnológico positivo en la columna que la contiene. e) Ninguna de las anteriores.

2. Un problema es inconsistente si: a) La función objetivo es paralela a una de las restricciones. b) No existe región factible c) Tiene múltiples soluciones d) En la solución óptima aparece una variable artificial con un valor diferente de cero e) El problema es de minimización y solo tiene restricciones de menor o igual. 3. Un problema tiene óptimos alternos si: a) Hay variables artificiales que son básicas en la tabla Simplex óptima. b) La función objetivo es paralela a una de las restricciones. c) Una o más variables básicas tienen el valor de cero en la solución óptima. d) Para una variable no básica el valor de la contribución neta en la tabla simplex es cero y existe por lo menos un coeficiente tecnológico positivo en la columna que la contiene. e) Las restricciones se anulan mutuamente (no hay región factible) 4. Un problema tiene una solución no acotada si: a) En la columna de la variable que entra todos los coeficientes son negativos o cero. b) La función objetivo es paralela a una de las restricciones. c) Una o más variables básicas tienen el valor de cero en la solución óptima. d) Para una variable no básica el valor de la contribución neta en la tabla simplex es cero y existe por lo menos un coeficiente tecnológico positivo en la columna que la contiene. 4/35


e) Ninguna de las anteriores. 5. Una dieta específica para una paciente requiere que todos los alimentos que se ingieran pertenezcan a un grupo básico de alimentos. Por ahora hay los siguientes 4 alimentos: barras de chocolate, helado de crema de chocolate, bebida de cola y pastel de queso con piña. Se conocen los costos unitarios de cada tipo de alimento y los requerimientos mínimos nutricionales por día. Además se conoce el contenido nutricional por unidad de cada alimento. Se desea definir la cantidad de cada alimento que se debe consumir por día de tal forma que se minimice el costo y se pueda cumplir con las necesidades nutricionales. Para este problema la tasa física de sustitución o los coeficientes tecnológicos podrían ser los que representan: a) b) c) d)

La cantidad de cada alimento consumido por día El consumo mínimo de calorías que debe hacerse por día El número de calorías en cada tipo de alimento. El costo de cada tipo de alimento.

6. El siguiente problema: max Z= s.a

3X1 + 2X2 3X1 + 5X2 ≤ 45 6X1 + 4X2 ≤ 48

X1 , X2

≥

0

a)

No tiene Solución óptima

b)

Tiene una única solución óptima

c)

No tiene Solución

d)

Tiene dos soluciones

e)

Tiene múltiples soluciones

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f)

No tiene región factible

7. Suponga el siguiente problema de PL: min Z  S . A.

30 X 1 2 X 1



 10 X 2

4 X 2



X 1  X 2 

8 X 1

 X 2 

X 1 , X 2 

80 25 120

0

En este problema, la solución Básica Inicial: a) b) c) d) e)

Está en la región factible Tiene variables artificiales con valor de cero. Tiene tres variables básicas que son de holgura. Tiene dos variables Artificiales No está en la región factible

8. El señor Martínez tiene un pequeño camión con capacidad interior de 20 m3 en el cual transporta mercancía. Una reconocida empresa de la ciudad le ha contratado para hacer acarreos de esta mercancía desde la planta de producción, hacia los puntos de distribución. La mercancía está empacada en cajas de 3 tamaños diferentes. Además la ganancia por transportar cada tipo de caja es distinta. Tipo de Caja Tamaño de la caja

Ganancia por transportar cada tipo de caja

Caja Tipo 1

1 m3

$ 1000 c/u

Caja Tipo 2

1.2 m3

$ 1120 c/u

Caja Tipo 3

0.8 m3

$ 900 c/u

El señor Martínez desea saber cómo llenar su camión para maximizar las ganancias en cada viaje realice, si tiene que transportar como mínimo 8 cajas tipo 1 y 5 cajas tipo 3 en cada viaje. Los términos del lado derecho están representados por: a. Número de cajas de cada tipo que deben ser transportadas en cada viaje

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b. c. d. e. f.

Cantidad mínima de mercancía de cada tipo que se debe transportar La ganancia por transportar cada tipo de caja Ganancia total (pesos) por el transporte de los 3 tipos de cajas en cada viaje. Capacidad del camión Tamaño de cada tipo de caja

PROBLEMAS: 1. Un productor de televisión debe distribuir el tiempo disponible para el programa, entre la presentación de un comediante y el tiempo para comerciales. El anunciante insiste en tener como mínimo 2 minutos para publicidad, la estación insiste en un máximo de 4 minutos para publicidad, y el comediante insiste en que se destine a su presentación un mínimo de 24 minutos. Además, el tiempo total asignado para publicidad y presentación no puede exceder los 30 minutos. Si se ha determinado que cada minuto de publicidad (muy creativa) atrae 40,000 espectadores y cada minuto de presentación del comediante 45,000, ¿qué distribución del tiempo entre publicidad y presentación de comediante maximizará el número de espectadores por minuto? 2. Un pequeño generador de electricidad utiliza dos clases de combustible: con bajo contenido de azufre (B) y con alto contenido de azufre (A). Por cada hora de uso del generador, un galón de combustible tipo B emite 3 unidades de bióxido de azufre, genera 4 kilovatios y cuesta 60 centavos, mientras que un galón tipo A emite 5 unidades de bióxido de azufre, genera 4 kilovatios y cuesta 50 centavos. La oficina de protección ambiental insiste en que la máxima cantidad de bióxido de azufre que puede emitirse por hora es de 15 unidades. Suponga que deben generarse por lo menos 16 kilovatios por hora. ¿Cuántos galones de B y cuántos de A deben utilizarse por hora, de tal manera que el costo del combustible utilizado sea mínimo? 3. Como parte del diseño de una nueva ruta aérea, una compañía considera dos tipos de aviones, A y B. Cada avión del tipo A puede transportar 40 pasajeros, y necesita 2 mecánicos de servicio; cada avión del tipo B puede transportar 60 pasajeros y necesita 3 mecánicos de servicio. Suponga que la compañía debe transportar al menos 300 personas por día y que las reglas de seguridad aplicables al tamaño del hangar no permiten más de 12 mecánicos en la nómina. Si cada avión del tipo A

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cuesta 10 millones de dólares y cada avión del tipo B 15 millones, ¿cuántos aviones de cada tipo debe adquirir la compañía de tal manera que el costo sea mínimo? 4. La Premium Manufacturing Company fabrica 3 productos para el creciente mercado de enlatados: atún, sardinas y salchichas. La contribución unitaria a las utilidades para cada producto se muestra en la siguiente tabla: Producto

Contribución a las utilidades

Atún

$ 2000

Sardinas

$ 1000

Salchichas $ 3500 Cada uno de esos productos pasa a través de tres centros de producción y prueba como parte del proceso. Los tiempos que se requieren en cada uno de los centros para fabricar una unidad de cada uno de los tres productos se muestran en la tabla siguiente. En la tabla presentada a continuación se muestra el tiempo disponible para la siguiente semana. Horas por unidad

Tiempo

Producto

Centro 1 Centro 2 Centro 3

Centro 1 60 horas

Atún

3

2

1

Centro 2 40 horas

Sardinas

4

1

3

Centro 3 80 horas

Salchichas 2

2

2

Plantee un problema de PL para programar la producción de manera que se maximice la contribución a las utilidades.

5. Acaban de diagnosticar que Mary tiene cáncer en una etapa muy avanzada. Mary deberá tomar una terapia de radiación extensa; como las células del tumor casi siempre se encuentran diseminadas entre células sanas, la dosis de radiación a través de la región del tumor debe ser suficiente para matar las células malignas que son un poco más sensibles a ésta, pero suficientemente pequeña para no 8/35


matar a las células sanas. Entonces la dosis completa que recibe el cuerpo sano debe minimizarse. Después de un análisis en el cuerpo de Mary, el equipo médico estimó con detalle los datos necesarios para el tratamiento; el resumen se presenta en una tabla a continuación. La primera columna da una lista de las áreas del cuerpo que deben considerarse y las dosis siguientes proporcionan la fracción de dosis de radiación de cada rayo en el punto de entrada que se absorbe en promedio en las áreas respectivas. Si el nivel de la dosis en el punto de entrada del rayo 1 es de 1 kilorad entonces se absorberán 0.4 kilorad, y así sucesivamente con las demás áreas y el rayo 2. Se desea encontrar la dosis en el punto de entrada de los rayos 1 y 2 de tal forma que se minimice la dosis total que llega a la anatomía sana.

Área

Fracción de la dosis de Restricción sobre la entrada absorbida por dosis promedio total área (Promedio) kilorads Rayo 1

Rayo 2

Anatomía sana

0.4

0.5

Minimizar

Tejido crítico

0.3

0.1

<= 2.7

Región del tumor

0.5

0.5

=6

Centro del tumor

0.6

0.4

>= 6

6. La NORI & LEETS CO. Una de las mayores productoras de acero del mundo occidental, está localizada en la ciudad de Steeltown. La contaminación no controlada del aire debida a los altos hornos de la planta está en camino de arruinar la apariencia de la ciudad. Los tres tipos de contaminantes son partículas de materia, óxidos de azufre e hidrocarburos. Los nuevos estándares requieren que se reduzca su emisión, en la siguiente tabla se muestran la cantidad de estos contaminantes presentados anualmente. La fábrica tiene dos fuentes principales de contaminación, los altos hornos para fabricar el arrabio y los hornos de hogar abierto para transformar el hierro en acero. En ambos casos se determinó que es más efectivo: Aumentar las alturas de las chimeneas, usar filtros en las chimeneas e incluir limpiadores de alto grado de combustible de los hornos. Todos estos

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métodos tienen limitaciones tecnológicas en cuanto al nivel en que pueden usarse, pero también existe una gran flexibilidad para usar el método en cualquier nivel fraccionario de su límite tecnológico.

Contaminantes

Reducción requerida en la tasa de emisión anual (Millones de libras)

Partículas

60

Óxidos de azufre

150

Hidrocarburos

125

La siguiente tabla muestra la cantidad de emisión que se puede eliminar de cada tipo de horno usando el método de abatimiento al máximo límite tecnológico. Para fines de análisis, se supone que cada método se puede usar a nivel menor para lograr cualquier fracción en las reducciones de las tasas de emisión mostrada en la tabla. Después de obtener estos datos, quedo claro que ningún método por si solo podría lograr las reducciones requeridas. Se llevó a cabo un análisis para estimar el costo total anual de cada método de abatimiento (Millones de dólares), los resultados se presentan en la siguiente tabla. La compañía busca minimizar el costo total, sin violar los requerimientos de reducción en la emisión:

Contaminante Chimeneas altas

Partículas Óxidos azufre

Mejores combustibles

Altos Hornos

Hornos Altos Hornos de hogar abierto

Hornos Altos de hogar Hornos abierto

Hornos de hogar abierto

12

9

25

20

17

13

42

18

31

56

49

53

28

24

29

20

de 35

Hidrocarburos

más Filtros

37

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Métodos de Altos abatimiento Hornos

Hornos de hogar abierto

Chimeneas más altas

8

10

Filtros

7

6

Mejores Combustibles

11

9

ontaminantes

Reducción requerida en la tasa de emisión anual (Millones de libras)

Partículas

60

Óxidos de azufre

150

Hidrocarburos

125

7. La EMPRESA AIREFRESCO LTDA., fabrica dos tipos de ventiladores de uso industrial: ventiladores Axiales y Centrífugos. Cada producto pasa a través de tres operaciones de producción en empresa: Diseño, Corte y Ensamble. Solo existe disponible una maquina en cada una de las respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora) para cada ventilador en cada operación y los costos por hora (pesos por hora) de las respectivas operaciones de producción se muestran en la Tabla 1. Los costos de las materias primas y los precios unitarios de venta (en pesos por unidad) asociados con la fabricación de los ventiladores se muestran en la tabla 2. A la empresa le gustaría asignar el tiempo utilizado en las diferentes operaciones de manera que se maximicen las utilidades por hora. Tabla 1 Ventilador Axial Ventilador Centrífugo Tasa de producción

Costo por hora

Diseño Producto

15

20

600

Corte

20

30

900

Ensamble

30

60

750

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Tabla 2 Ventilador Axial Ventilador Centrífugo Costo de Materia Prima

40

60

Precio de Venta

130

82,5

a) Defina claramente X j con sus respectivas unidades, plantee la Función Objetivo y las restricciones funcionales y de signo verificando la consistencia de las unidades respectivas. b) Solucione gráficamente el problema.

8. La compañía WorldLight produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricas. La Administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requiere 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricas. La compañía tiene 200 unidades de partes de metal y 300 de componentes eléctricas. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $1 y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $2. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2, no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 unidades, está fuera de consideración. Plantee un problema de programación lineal para maximizar las ganancias de la compañía, para hacer esto: a) Defina claramente Xj con sus respectivas unidades. b) Determine los cj, aij y los bi y sus respectivas unidades. c) Plantee la Función Objetivo y las restricciones funcionales

y de signo

verificando la consistencia de las unidades respectivas. d) Escriba el problema original completo

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9. Don Juaco tiene una mueblería en la cual fabrica y vende dos tipos de Camas: (1) sencilla, (2) Doble. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de las camas implica tres actividades: Corte de la madera, Ensamble y Pintura. Los requerimientos de recursos para corte, ensamble y pintura de las camas se muestran en la siguiente Tabla. Tipo

Tiempo de Corte de la madera Tiempo de Ensamble Tiempo de Pintura

Sencilla 1.8

0.8

0.3

Doble

0.9

0.3

2.4

La contribución a las utilidades por la venta de una cama sencilla es $150, en tanto que la utilidad por una cama doble es $225. Existen disponibles por semana 2400 horas de tiempo de corte de la madera, 990 de tiempo de ensamble y 450 horas de tiempo de pintura. Las experiencias anteriores de ventas señalan que la mueblería puede esperar vender cuando menos 150 camas sencillas y 90 camas dobles por semana. A Don Juaco le gustaría determinar la cantidad de cada tipo de cama que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades. a) Defina claramente Xj con sus respectivas unidades, plantee la Función

Objetivo y las restricciones funcionales y de signo VERIFICANDO LA CONSISTENCIA DE LAS UNIDADES RESPECTIVAS (Tanto para la Función Objetivo como para las restricciones). Escriba el problema completo en su forma original. b) A continuación se presenta la primera (iteración 1) y la última iteración (iteración 4) de este problema:

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a. Escriba el problema en su forma aumentada (puede guiarse de la tabla De la iteración b. Explique el significado de los valores encerrados en círculos. 1500:_____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 0.90______________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ c) De la iteración 4: Escriba la solución óptima en términos de las variables de

decisión, variables de holgura y/o excedencia, y función objetivo. INTERPRETE LA SOLUCIÓN. 10. Cierta aerolínea opera un avión que combina pasajeros y carga entre el aeropuerto Jose María Córdoba, Medellín y el aeropuerto el Dorado, Bogotá. Debido a los elevados costos de operación, el avión no sale hasta que todas sus bodegas han sido cargadas. El avión tiene tres bodegas, inferior, media y superior. Debido a las limitaciones de espacio el avión no puede llevar más de 200 toneladas de carga en cada viaje. No deben llevarse más de 80 toneladas de carga en la bodega inferior. Con fines de equilibrio la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior y la bodega superior debe llevar dos quintas partes de la carga de la bodega inferior. Sin embargo no deben llevarse más de 120 toneladas de carga en las bodegas media y superior combinadas. Los costos de operación por el transporte son de $4 por tonelada de carga en la bodega inferior, $5 pesos por tonelada de carga en la bodega intermedia y 6 $ por 14/35


tonelada de carga en la bodega superior, los costos fijos son de 5$ por tonelada de carga en cada una de las bodegas y los ingresos son de $12 por tonelada de carga en la bodega inferior, $15 pesos por tonelada de carga en la bodega intermedia y 18 $ por tonelada de carga en la bodega superior. El administrador de la aerolínea desea determinar la forma de cargar el avión que proporcione las mayores utilidades. Para hacer esto: a) Defina claramente X j con sus respectivas unidades. b) Determine los c j, aij y los b i y sus respectivas unidades. c) Plantee la Función Objetivo y las restricciones funcionales y de signo verificando la consistencia de las unidades respectivas. d) Plantee el problema como un modelo estándar de programación lineal para determinar la forma de cargar el avión que proporcione las mayores utilidades. e) Escriba el problema en su forma aumentada e incorpórelo en la tabla simplex inicial. (Nota: Puede utilizar el formato de las tablas que se presentan a continuación) De la iteración 3: f) Interprete los valores encerrados en círculo. g) ¿Cuál variable entra a la base? ¿Cuál variable sale? ¿Por qué? h) ¿Cuándo se vuelve no básica la variable S2?

De la Iteración 4: i) Calcule los valores sombreados: Fila Cj, Intersección entre SlackC2 y X2, El RHS de X1 y S5. j) ¿Es ésta la solución óptima? Explique. Si es así, escriba la solución óptima en términos de las variables de decisión, variables de holgura, de excedencia, variables artificiales y el valor óptimo de la función objetivo. Interprete el resultado. 15/35


11. El dueño de una finca, cultiva cebollas y tomates en 1000 metros cuadrados de terreno en la Ceja. Un metro cuadrado de cebolla produce $1500 de contribución a las utilidades y la contribución de un metro cuadrado de tomate es de $2500. Debido a reglamentos gubernamentales, no pueden cultivarse más de 400 metros cuadrados de cebolla. Durante la temporada de plantación, habrá disponibles 1800 horas hombre de tiempo de plantadores. Cada metro cuadrado de cebolla requiere 5 horas hombre y cada metro cuadrado de tomate requiere 11 horas hombre. Plantee el problema como un modelo estándar de programación lineal para determinar cuántos metros cuadrados de cebolla y cuántos de tomate deben plantarse para maximizar la contribución de las utilidades. . Para hacer esto: a) Defina claramente Xj con sus respectivas unidades. b) Plantee la Función Objetivo y las restricciones funcionales y de signo verificando la consistencia de las unidades respectivas. c) Escriba el problema en su forma aumentada e incorpórelo en la siguiente tabla simplex inicial. d) Complete e INTERPRETE los siguientes valores: e) De la Iteración 2: La fila Cj, y La columna Ratio. f) De la Iteración 3: La Fila Cj, y La celda intersección entre Slack_C2 y X1 y el valor Cj- Zj para la variable X2.

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g) Escriba la solución óptima e interprete esta solución: X1= _____________________________ X2= _____________________________ S1= _____________________________ S2= _____________________________ S3= _____________________________ Z = _____________________________

12. Dado el siguiente problema de programación lineal de minimización min Z= s.a

50X1 + 20X2 2X1 -

X2

≥

0

X1 +

4X2

≥

80

9X1 +

8X2

≥ 400

X1 , X2

≥

0

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a) Grafique el problema. b) Identifique las soluciones factibles en el vértice, las soluciones no factibles en el vértice c) ¿Tiene el problema una solución óptima? Si es así, identifique la solución, si no, explique porque no hay una solución óptima.

13. La Compañía MADERA NUEVA fabrica y vende tres líneas de camas A, B y C. A es una cama sencilla, B y C son camas dobles. El proceso de manufactura de las camas hace que se requieran dos operaciones de producción; todas las camas pasan a través de ambas operaciones. Cada cama requiere 3 horas de tiempo de producción en la operación 1. En la operación 2 la cama A requiere 2 horas de tiempo de producción; la cama B requiere 4 horas y la C, 5 horas. La operación 1 tiene 50 horas de tiempo semanal de producción, la operación 2 tiene suficiente mano de obra para operar 80 horas a la semana. El grupo de mercadeo de MADERA NUEVA ha proyectado que la demanda de la cama sencilla no será más de 25 por semana. Debido a que las camas B y C son de calidad similar, se ha pronosticado que la demanda combinada para éstas será, en total, de 10 o más, pero no más de 30 por semana. La venta de la cama A da como resultado 70.000 pesos de utilidades, en tanto que las camas B y C proporcionan utilidades de 80.000 pesos y 85.000 pesos respectivamente. ¿Cuántas camas del tipo A, B y C, deben fabricarse por semana, si la compañía busca maximizar sus utilidades? Plantee el problema como un modelo estándar de programación lineal. Para hacer esto: a) Defina claramente Xj con sus respectivas unidades. b) los cj, aij y los bi y sus respectivas unidades. c) Plantee la Función Objetivo y las restricciones funcionales y de signo verificando la consistencia de las unidades respectivas. d) Escriba el problema en su forma aumentada e incorpórelo en la tabla simplex inicial. (Nota: Puede utilizar el formato de las tablas que se presentan a continuación) Complete los siguientes valores: e) De la Iteración 3: La fila Cj , La columna Ratio. f) De la Iteración 4: La Fila Cj , La Fila de X1, La celda intersección entre Slack_C3 y Slack_ C2. g) Interprete los valores encerrados en círculo en cada una de las dos tablas y la columna ratio en la iteración 3. h) Escriba la solución en términos de las variables de decisión, variables de holgura, de excedencia, el valor óptimo de la función objetivo e interprete sus valores.

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14. Suponga que se tiene el siguiente problema de programación lineal: Maximizar: Z =

2X1 +

Sujeto A:

4X2

-2X1 2X1

+ +

2X2 1X2

≤ ≥

4 8

X1, X2 ≥0

Grafique el problema. a) Identifique las soluciones factibles en el vértice, las soluciones no factibles en el vértice. ¿Cuántas soluciones básicas tiene el problema? b) ¿Tiene el problema una solución óptima? Si es así, identifique la solución, si no, explique porque no hay una solución óptima si existe una región factible.

15. Dado el siguiente problema de programación lineal de minimización min Z= s.a

150X1 + 60X2 6X1 -

3X2 ≥

0

3X1 + 12X2 ≥ 240 27X1 + 24X2 ≥ 1200 X1 , X2

≥

0

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a) Grafique el problema. b) Identifique en la gráfica las soluciones factibles en el vértice, las soluciones no factibles en el vértice. c) ¿Tiene el problema una solución óptima? Si es así, identifique la solución y calcule Z. Si no, d) explique porque no hay una solución óptima. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 16. La Radiola es una fábrica que produce dos tipos de radios. El único recurso escaso que es necesario para producir los radios es la mano de obra. En la actualidad, la compañía tiene dos trabajadores. El trabajador 1 está dispuesto a laborar hasta 40 horas por semana y recibe como pago 5 pesos por hora. El trabajador 2 trabajará hasta 50 horas por semana a 6 pesos la hora. El precio de venta, el costo de la materia prima, el costo por hora de cada trabajador, así como los recursos requeridos para elaborar cada tipo de radio, se proporcionan en la siguiente tabla: Recurso requerido para fabricar una unidad de cada tipo de radio. (Horas/ unidad) Radio 1 Trabajador 1 Trabajador 2

Precio de venta ($/Unidad) Costo de la Materia Prima ($/Unidad)

1 2

Tiempo disponible para trabajar en la Costo por hora de semana cada trabajador ($/Hora) Radio 2 (Horas/semana) 2 40 2 50

25

28

5

4

5 6

El gerente de La Radiola está interesado en conocer cuál debe ser el número de radios tipo i que se producen cada semana de tal forma que se maximicen sus utilidades semanales. Nota: Recuerde que la utilidad es:

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Taller de repaso-Programación Lineal Métodos cuantitativos CB0245 (grupos 001 y 003) Profesora: Paula Escudero Utilidad= Precio de Venta – Costo de Materia Prima – Costo unitario por el uso de los trabajadores Adicionalmente recuerde que el costo unitario por el uso del trabajador debe estar en ($/Unidad) y usted tiene información sobre el costo por hora de cada trabajador ($/Hora) y Recurso requerido para fabricar una unidad de cada tipo de radio (Horas/ unidad)

a) Plantee el problema como un modelo estándar de programación lineal. Para hacer esto: b) Defina claramente Xj con sus respectivas unidades. c) Plantee la Función Objetivo y las restricciones funcionales y de signo verificando la consistencia de las unidades respectivas. d) Con base en el problema planteado: e) Escriba el problema en su forma aumentada e incorpórelo en la siguiente tabla simplex inicial. Forma Aumentada: Tabla Simplex:

De esta tabla responda: f) ¿Cuál es la variable que entra? Explique. _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ g) ¿Cuál es la variable que sale? Explique. _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

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h) ¿Hasta dónde puede crecer la variable que entra antes de que alguna de las variables básicas se vuelva cero? _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ INTERPRETE los valores sombreados de la siguiente tabla: a) El coeficiente tecnológico que corresponde a la columna X2 con la fila Slack_C1 _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ b) La contribución neta que corresponde a la columna X2 con la fila Slack_C1 _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ c) El coeficiente tecnológico que corresponde a la columna Slack_C2 con la fila X1 _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ d) El término del lado derecho que corresponde a Slack_C1 _________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

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Es esta la solución óptima? Por qué? Si la respuesta es afirmativa entonces: a) Escriba la solución óptima: X1= _____________________________ X2= _____________________________ S1= _____________________________ S2= _____________________________ Z= _____________________________ b) Interprete la solución: _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________________ 17. Dado el siguiente problema de programación lineal de minimización min Z= s.a

25X1 + 10X2 2X1 +

8X2 ≥ 160

4X1 -

2X2 ≥

0

a) Grafique el problema. b) Identifique en la gráfica las 9X1 + 8X2 ≥ 400 soluciones factibles en el vértice (FEV), las X1 , X2 ≥ 0 soluciones no factibles en el vértice (NFEV) c) ¿Tiene el problema una solución óptima? Si es así, identifique en la gráfica la solución, si no, explique porque no hay una solución óptima.

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18. Radiococo fabrica dos tipos de radios. El único recurso escaso que es necesario para producir los radios es la mano de obra. En la actualidad, la compañía tiene dos trabajadores. El trabajador 1 está dispuesto a laborar hasta 40 horas por semana y recibe como pago 5 dólares por hora. El trabajador 2 trabajará hasta 50 horas por semana a 6 dólares la hora. El precio de venta así como los recursos requeridos para elaborar cada tipo de radio, se proporcionan en la siguiente tabla: Radio 1

Precio (dólares) 25

Radio 2

Recurso Necesario

Costo de Materia

Precio (dólares)

Recurso Necesario

Costo de Materia

Trabajador 1: 1 Hora Trabajador 2: 2 Horas

5

24

Trabajador 1: 2 Horas Trabajador 2: 2 Horas

4

Si x es el número de radios tipo i que se producen cada semana, entonces Radiococo debe resolver el PL siguiente: i

max s.a.

z  3 x1  2 x 2 x1  2 x 2 

2 x1

50

 x 2 

x1 , x 2 

40

0

a. De la Iteración 1: i. ¿Qué significa el valor del coeficiente tecnológico sombreado? ii. ¿Cuál es la variable que debe entrar a la base y cuál es la que debe salir? Explique. b. De la Iteración 2: i. Calcule los valores del renglón que falta (el que está punteado). ii. ¿Hasta dónde debe crecer X2 para que la variable de holgura Slack_C1 se vuelva básica? c. De la Iteración 3 determine la solución óptima. d. De la última tabla: i. ¿Para qué valores del precio de un radio Tipo 1 seguiría siendo óptima la solución actual? ii. ¿Para qué valores del precio de un radio Tipo 2 seguiría siendo óptima la solución actual?

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iii. Si el trabajador 1 está dispuesto a trabajar sólo 30 horas por semana, entonces ¿las variables de la solución óptima variarían? Encuentre los nuevos valores de las variables de la solución óptima para el PL. iv. Si el trabajador 2 estuviera dispuesto a trabajar hasta 60 horas por semana, ¿las variables de la solución óptima variarían? Encuentre los nuevos valores de las variables de la solución óptima para el PL. v. Encuentre el precio sombra de cada restricción y explique su significado.

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19. Considere el siguiente problema de maximización:

Tabla 1.

Tabla 2.

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b) Para la solución óptima que se presenta en la Tabla 1 del problema de programación lineal se fabricarían ________________ unidades de x 1, _____________unidades de x2 y ________ unidades de x 3, dando como resultado una utilidad optima de Z = _________. Para esta solución habrá __________ unidades del recurso N° 1 que no se utilizan, _________unidades del recurso N° 2 que no se utilizan y ____________ unidades del recurso N° 3 que no se utilizan. c) Si nos viéramos obligados a fabricar una unidad más de x3, los nuevos valores de x1, x2, x3 y Z serían

X1 ________________

X3 ________________

X2 ________________

Z _________________

De la Tabla 2 responda: d) De manera similar, si existiera disponible una unidad más del recurso N° 2, estaríamos dispuestos a pagar un precio adicional de $ ___________ para obtenerlo. Si se obtuviera una unidad adicional del recurso N° 2 al precio original (no el precio con cargo adicional), los nuevos valores de X 1, X2, X3 y Z serían

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X1 ________________

X3 ________________

X2 ________________

Z _________________

e) Por último, ¿cuánto tendría que aumentar la utilidad de X 1 para que estuviéramos dispuestos a fabricarlo? Aumento = ____________. ¿Cuánto podría cambiar la utilidad de x 2 antes de que se afectara la tabla óptima? Aumentar en __________ y disminuir en ____________. También, ¿cuánto puede cambiar la disponibilidad del recurso N° 3 sin afectar la tabla óptima? Amentar _______ y disminuir ________. 20. Sugarco tiene la capacidad de producir tres tipos de barras de caramelo. Cada barra de caramelo está elaborada por completo de azúcar, chocolate y caramelo. La composición de cada tipo y la utilidad ganada por cada barra de caramelo se proporciona en la siguiente tabla. Barra

Cantidad de Azúcar (Oz)

Cantidad de Chocolate (Oz)

Cantidad de Caramelo (Oz)

Utilidad ($)

1

2

2

4

12

2

4

5

2

10

3

4

2

3

15

Se disponen de 80 Oz de azúcar, 50 de caramelo y 60 de chocolate. Después de definir Xi como la cantidad de barras de caramelo tipo i..

a. Plantee un problema de PL para este problema. Resolviendo el problema de PL se encuentra la siguiente tabla óptima:

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b. ¿Cuántas barras de caramelo tipo 1, 2 y 3 se deben producir para que la utilidad sean óptima? Si se fabrican estas cantidades, cuánta cantidad de azúcar, caramelo y chocolate sobra? c. ¿Cuáles son los precios sombra para el problema?. ¿Qué significan?. d. Determine el aumento en las utilidades de X 2 que sería necesario para que esta variable ingrese a la base. e. Determine la cantidad que pueden cambiar los coeficientes de utilidad de X1 y X3 antes de que la solución óptima cambie. f. Determine la cantidad en que se pueden aumentar o reducir la disponibilidad de azúcar, caramelo y chocolate antes de que la solución óptima que se tiene afecte la tabla óptima. 21. El siguiente es un problema de PL en el formato del WINQSB, dónde X1, X2y X3 son las variables de decisión y C1, C2 y C3 son las restricciones relacionadas los recursos A, B y C respectivamente.

A continuación se presenta la última tabla Simplex del problema y el reporte que resume los resultados del problema. Basados en estos responda:

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a. Si se cambia a 12 la cantidad del recurso A, ¿Qué efecto tendría esto sobre las utilidades? ¿En qué forma se modificaría la solución óptima? b. ¿Cuánto puede CAMBIARSE el recurso B en cualquier dirección? (es decir ¿cuánto puede aumentar o disminuir?) Si usted obtuviera 10 unidades más del recurso B por 0.5 pesos por encima de su precio original, ¿estaría usted dispuesto a comprarlas? Explique. c. ¿Cuál es el valor de una unidad adicional del recurso C?. d. ¿Cuánto tendría que aumentar la utilidad de X3 para que pudiera incluirse en la base óptima? 22. El siguiente es un problema de PL en el formato del WINQSB, dónde X1, X2y X3 son las variables de decisión y C1, C2 y C3 son las restricciones relacionadas los recursos A, B y C respectivamente.

A continuación se presenta la última tabla Simplex del problema y el reporte que resume los resultados del problema. Basados en estos responda:

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e. Si se cambia a 12 la cantidad del recurso A, ¿Qué efecto tendría esto sobre las utilidades? ¿En qué forma se modificaría la solución óptima? f. ¿Cuánto puede CAMBIARSE el recurso B en cualquier dirección? (es decir ¿cuánto puede aumentar o disminuir?) Si usted obtuviera 10 unidades más del recurso B por 0.5 pesos por encima de su precio original, ¿estaría usted dispuesto a comprarlas? Explique. g. ¿Cuál es el valor de una unidad adicional del recurso C?. h. ¿Cuánto tendría que aumentar la utilidad de X3 para que pudiera incluirse en la base óptima? 23. Dada la siguiente tabla Simplex inicial, responda: 1. ¿Cuántas variables de decisión y restricciones hay? 2. Reconociendo que las variables Slack_C1 representa la variable de holgura asociada con la primera restricción, Surplus_C3 representa la variable de excedencia de la restricción 3 , Artificial_C2 representa la variable artificial asociada con la segunda restricción y Artificial_C3 representa la variable artificial asociada con la tercera restricción, y que la columna R.H.S representa los términos del lado derecho de las restricciones, reconstruya el problema original de PL.

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24. La Premium Manufacturing Company fabrica 3 productos para el creciente mercado de enlatados: Tarros de atún, Tarros de sardinas y Tarros de salchichas. La contribución unitaria a las utilidades para cada producto se muestra en la tabla:

Producto

Contribución a las utilidades

Atún

$ 2000

Sardinas

$ 1000

Salchichas

$ 3500

Cada uno de esos productos pasa a través de tres centros de producción y prueba como parte del proceso. Los tiempos que se requieren en cada uno de los centros para fabricar una unidad de cada uno de los tres productos y el tiempo disponible de cada centro para la siguiente semana se muestran en la tabla siguiente:

Horas por unidad Producto

Centro 1

Centro 2

Centro 3

Atún

3

2

2

Sardinas

4

1

2

Salchichas

2

3

2

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Tiempo Disponible

60 horas

40 horas

80 horas

El problema de PL que se debe resolver para programar la producción de manera que se maximice la contribución a las utilidades (medidas en miles de pesos) es: Max z  2 x1  x2 3 x1

 4 x 2 

2 x1  x2 2 x1



2 x3

 3 x3 

2 x2



x1 , x2 , x3 

2 x3

 3.5 x3



60

40 

80

0

A continuación se presentan las iteraciones para resolver el método Simplex y la Solución Óptima para el problema.

1. De la tabla 1: i. Explique el significado del número encerrado en el círculo. ii. Explique el significado de los valores de la última columna. 2. De la tabla 2: iii. ¿Por qué esta es la última tabla Simplex para este problema? iv. Obtenga la solución óptima para este problema. 3. ¿Cuántas horas de cada centro 1, 2 y 3 me quedan sin usar, si produzco la solución óptima?

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Tabla 1.

Tabla 2.

25. Dada la siguiente tabla simplex inicial, responda: Reconociendo que las variables S 1 representa la variable de holgura asociada con la primera restricción S2 representa la variable de excedencia de la restricción 2 , A1 representa la variable artificial asociada con la primera restricción y A2 representa la variable artificial asociada con la segunda restricción: Reconstruya el problema original de PL y muestre el problema aumentado.

C j

-20

-10

0

0

-500

-500

CB

Variables en la base

Segundo Término

X1

X2

S1

S2

A1

A2

0

S1

40

1

2

1

0

0

0

-500

A1

30

3

1

0

0

1

0

-500

A2

60

4

3

0

-1

0

1

Z j

-45.000

-3.500 -2.000

0

500

-500

-500

3.480

0

-500

0

0

C j - Z j

1.990

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Taller Programación lineal

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