Taller Ondas Primer Corte

UNIVERSID UNIVERSIDAD AD DE PAMPLONA PAMPLONA FACULT FACULTAD AD DE CIENC CIENCIAS IAS BÁSICA BÁSICAS S DEPARTA DEPARTAMEN MENTO TO DE FÍSICA FÍSICA TALLER TALLER PRIMER PRIMER CORTE CORTE - OSCILA OSCILACIO CIONES NES Y ONDAS ONDAS 20172017-II II PROFES PROFESORE ORES: S: JESÚS JESÚS DAVID DAVID RAMÍRE RAMÍREZ Z NIÑO NIÑO

Sistema Masa-Resorte y M.A.S.

a. La posición on de la part´ıcula. ıcu la. b. Su velocidad velocidad..

1. Un oscilador consiste en un bloque atado a un resorte (k = 400N/m 400N/m). ). En cierto tiempo, la posición, o n, la velocidad y la aceleración on del bloque son: x = 0,1m, v = −13 13,,6m/s y m/s y a = a = 123m/s 123m/s2 . Calcular:

c. Su aceleraci aceleraci´ón. on. d. Encuentre el periodo y amplitud del movimiento. movimiento. 5. Cuando Cuando el desplazam desplazamient iento o de un M.A.S es x = A/ A/22 , ¿qu´ ¿qu é fracci fra cci´ón on de la energ ener g´ıa total tota l es energ ener g´ıa cinética etic a y que fracción on es e s energ en erg´´ıa potencial p otencial?? ¿En ¿E n cuál al posici p osici´ on oń la energ ener g´ıa del sistema sis tema es mitad mita d energ ener g´ıa cinética etic a y mitad mita d energ ener g´ıa potenc po tencial ial??

a. La frecue frecuencia ncia de oscilac oscilaci´ i´ on on . b. La masa masa del Bloqu Bloquee . c. La am amplitud plitud del Movim Movimient ientoo 2. ¿Cuál al es la fase inicial del movimiento armónico cuya funci´ funci´ on o n de veloc velocid idad ad esta esta dada dada por la figur figura, a, si la funci´ funci´ on o n de posic posici´ i´ on on x (t) tien tienee la form formaa x (t) = A cos(ωt cos(ωt + + φ φ)? )? En la escala vertical v vertical v s = 4cm/s

6. Demuestre que las relaciones generales entre los dos valores iniciales de la posici´ on on inicial x inicial x 0 y de velocidad inicial v inicial v 0 y la amplitud A amplitud A y el ángulo angulo de fase inicial φ inicial φ son: A =

   v0 x + ω 2 0

2

; φ = tan

−1

  ωx0 v0

7. La Figura muestra el bloque 1 de masa m = 0, 2kg desliz´ andose a La derecha sobre una superficie elevada andose sin fricci´ on on a una velocidad de 8m/s 8 m/s.. El bloque sufre una colisi´ on on elástica astica con el Bloque 2, que está unido a un resorte con constante elástica astica k = 1208 1208,,5N/m. N/m. (Suponga que el resorte no afecta a la colisión.) on.) Después es de La colisi´ colisi on, oń, el bloque 2 oscila en M.A.S. con un periodo de 0, 0 ,14 14ss, Y el bloque 1 se desliza del extremo opuesto de la superficie elevada, Aterrizando una distancia d distancia d de de la base de esa superfici su perficiee despu´ desp u´ es es de caer Altura h Altura h = 4,9m. ¿Cu´ m. ¿Cu´ al al es el valor de d? d ?

3. Una saltadora saltadora de bungee bungee de 65, 65,00 00kg kg salta salta de un puente con una cuerda ligera amarrada a ella y al puente. La longitud no estirada de la cuerda es de 11, 11 ,0m. La saltadora alcanza el fondo de su movimiento 36 ,0m abajo del puente antes de rebotar de regreso. Su movimiento se puede separar en una ca´ ca´ıda libre de 11 11,,0m y una secci´ on on de 25, 25,0m de oscilación on armónica onica simple. a. ¿Durante ¿Durante que interv intervalo alo de tiempo est´ está en ca´ıda ıd a libre? b. Use el el principio principio de conserv conservaci´ aci´ on on de d e la l a energ´ en erg´ıa ıa para hallar la constante de resorte de la cuerda bungee. c. ¿Cu´ ¿Cu´ al al es la ubicación on del punto de equilibrio donde la fuerza del resorte equilibra la fuerza gravitacional ejercida sobre la saltadora? Este punto se considera considera como el origen origen de la descripci´ descripci´ on on matemática atica de la oscilación on armónica onica simple.

8. Un bloque de masa M = 5,4kg, kg , en reposo sobre una mesa horizontal sin fricción, on, está unido a un soporte r´ıgido por medio de un resorte de constante de fuerza k = 6000 6000N/m N/m.. Una bala de masa m = 9,5g y velocidad v = 630m/s 630m/s golpea golpea al bloque como se muestra en la figura. La bala se queda incrustada en el bloque. Determine

d. ¿Cu´ Cual a´l es la frecuencia angular de la oscilación? on? e. ¿Qu´ e intervalo intervalo de tiempo se requiere para que la cuerda se estire 25, 25,0m?

a. La velocidad velocidad del bloque y la bala despu´ después es de la colisi´ on on

f. ¿Cu´ ¿Cu´ al es el intervalo de tiempo total para todo el al salto de 36, 36,0m?

b. La amplitud amplitud del movimie movimiento nto resulta resultante nte

4. En un motor, un pistón on oscila con movimiento armóo-nico simple de modo que su posición on var´ var´ıa de acuerdo acue rdo con la expresión on π 6

 

x = (5, (5, 00 00cm cm)cos )cos 2t +

donde x donde x est´ está en cent´ımetros ımet ros y t en t en segundos. En t En t = = 0, encuentre: 1

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9. Un objeto de masa 2kg está sujeto sobre un muelle vertical que está anclado en el suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8cm y la posición de equilibrio del objeto sobre el muelle está a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0, 3m/s.

12. Determine la fase inicial φ para un M.A.S si en t = 0 la masa oscilante esta en: a. x = b. c. d.

a. ¿A qu´ e m´ axima altura, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto?

e.

b. ¿Cu´ anto tiempo tardará el objeto en alcanzar la m´ axima altura por primera vez?

f.

−A x = −0 x = −A x = −A/2 x = −A/2 √ x = −A/ 2

13. Una part´ıcula se mueve hacia atrás y hacia adelante a lo largo del eje x entre los puntos x = 0, 2m y x = − 0,2m. El per´ıodo del movimiento es de 1, 2s, y es armónico simple. En el momento t = 0, la part´ıcula se encuentra en x = − 0, 10m con una velocidad positiva de 0,907m/s

c. ¿Volver´ a el muelle a estar sin compresión? d. ¿Qu´ e velocidad inicial m´ınima debe darse al ob jeto para que el muelle no tenga compresión en un instante dado? 10. Un resorte sin masa cuelga del techo con un pequeño objeto unido a su extremo inferior. El objeto se mantiene inicialmente en reposo en una posición y i tal que el muelle está en su longitud de reposo. El objeto es entonces liberado desde yi y oscila hacia arriba y hacia abajo, con su posición más baja a 10cm por debajo de yi .

a. Determine la fase Inicial. b. Determine la Velocidad despu´ es de 1,4s c. Determine la Velocidad cuando la posici´ o n es igual a A/3

a. ¿Cu´ al es la frecuencia de la oscilación?

14. Un cubo de densidad ρc flota en un l´ıquido de densidad ρl como se muestra en la figura. En el reposo, una cantidad h de la altura del cubo se sumerge en el l´ıquido. Si se empuja el cubo hacia abajo, se balancea de arriba abajo como un resorte y oscila en torno de la posici´ on de equilibrio. Muestre que la frecuencia de 1 g la oscilaci´ on está dada por f = 2π h

b. ¿Cu´ al es la velocidad del objeto cuando está a 8.0 cm por debajo de la posición inicial? c. Un objeto de masa 300g está unido al primer ob jeto, despu´ es de lo cual el sistema oscila con la mitad de la frecuencia original. ¿Cu´ al es la masa del primer ob jeto?



d. ¿Qué tan lejos debajo de yi es la nueva posición de equilibrio (descanso) con ambos objetos unidos al resorte? 11. Un objeto de 2kg se une a un resorte y se coloca sobre una superficie horizontal uniforme. Se requiere una fuerza horizontal de 20N para mantener al objeto en reposo cuando se jala 0,2m desde su posición de equilibrio (el origen del eje x). Ahora el objeto se libera desde el reposo con una posición inicial xi = 0,2m y se somete a sucesivas oscilaciones armónicas simples. Encuentre:

15. Una masa m está conectada a dos resortes, con constantes k1 y k2 , de dos maneras diferentes, como se muestra en las figuras a y b. Demuestre que el periodo para la configuración mostrada en a) está dado por

a. la constante de fuerza del resorte. b. la angular frecuencia de las oscilaciones. c. la rapidez m´ axima del objeto. ¿Dónde se presenta la rapidez máxima? d. Encuentre la aceleración má xima del objeto. ¿D´ onde se presenta?

T = 2π

e . Encuentre la energ´ıa total del sistema oscilante.



m(k1 + k2 ) k1 k2

y para la configuración mostrada en b) está dado por

f. la funci´ on de rapidez g. la aceleraci´ on del objeto cuando su posició n es igual a un tercio del valor máximo.

T = 2π 2

m k1 + k2




16. Si el Angulo de fase de un sistema masa resorte en MAS es π /6 y la posición del bloque esta dada por la ecuaci´ on x(t) = x m cos(ωt + φ), cual es la relación de la energ´ıa cinética a la energ´ıa potencial en el momento t = 0?. Repita los cálculos cuando el angulo de fase es de: π/3, π/2, π/8, π/4

19. Una manzana pesa 1,00N . Si la colgamos del extremo de un resorte largo con constante de fuerza de 1,50N/m y masa despreciable, rebota verticalmente en MAS. Si detenemos el rebote y dejamos que la manzana oscile de lado a lado con un ángulo peque˜ no, la frecuencia de este p´ endulo simple es la mitad de la del rebote. (Puesto que el ángulo es pequeño, las oscilaciones de lado a lado no alteran apreciablemente la longitud del resorte.) ¿Qué longitud tiene el resorte no estirado (sin la manzana)?

17. Sobre una pista de aire horizontal sin fricci´ on, un deslizador oscila en el extremo de un resorte ideal, cuya constante de fuerza es 2,5N/cm. En la figura la gráfica muestra la aceleración del deslizador en función del tiempo. Calcule

20. Después de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un péndulo simple con longitud de 50,0cm y determina que efectúa 100 oscilaciones completas en 136 s. ¿Cuánto vale g en ese planeta?

a. la masa del deslizador b. el desplazamiento m´ aximo del deslizador desde el punto de equilibrio c. la fuerza m´ axima que el resorte ejerce sobre el deslizador.

21. Demuestre que la expresión para el periodo de un péndulo f´ısico se reduce a la del péndulo simple, si el péndulo f´ısico consiste en una part´ıcula de masa m en el extremo de un cordón sin masa de longitud L. 22. Un péndulo en Marte. En la Tierra cierto péndulo simple tiene un periodo de 1,60s. ¿Qué periodo tendrá en m Marte, donde g = 3, 71 2 ? s 23. Un péndulo simple tiene una masa de 0,250kg y una longitud de 1,00m. Se desplaza a través de un ángulo de 15,0 y luego se libera. ¿Cuáles son: ◦

a. la rapidez m´ axima b. la aceleraci´ on angular máxima

P´ endulo Simple

c. la fuerza restauradora máxima? d. ¿Qué pasar´ıa si? Resuelva este problema mediante el modelo de movimiento armónico simple para el movimiento del péndulo y luego resuelva el problema con principios más generales. Compare las respuestas.

18. Un péndulo de frecuencia angular ω cuelga de una pared inclinada. Suponga que este péndulo se libera en un angulo inicial de 10 y que rebota en la pared Elásticamente cuando alcanza un angulo de 5 . ◦

◦

a. Calcule el periodo de este péndulo b. Cuanto tiempo tardara el recorrido para ir de 5 hasta −5

24. La expansi´ on térmica incrementa la longitud del péndulo de un reloj, con un incremento fraccional de 5 × 105 . En estas condiciones, ¿cuánto error se acumulará en la medida de tiempo a lo largo de un d´ıa completo?

◦

◦

c. Cuanto tiempo tardara el recorrido para ir de 0 hasta −5

◦

◦

3


24. Suponga que un péndulo simple consiste de una esfera pequeñ a de 60g atado a una cuerda de masa despreciable. Si el angulo entre la cuerda y la vertical esta dado por θ(t) = (0,08rad) cos(4,43rad/st + φ). Cual es la longitud del péndulo y su energ´ıa cinética máxima?

b. Demuestre que el periodo del movimiento es (M + 2m)R2 + mr2 T = 2π 2mgR





1/2

27. Un péndulo f´ısico en forma de objeto plano se mueve en movimiento armónico simple con una frecuencia de 0,450Hz. El péndulo tiene una masa de 2,20kg y el eje se ubica a 0,350m del centro de masa. Determine el momento de inercia del péndulo en torno al punto de giro.

P´ endulo Compuesto 25. Una bola pequeña de masa M está unida al extremo de una barra uniforme de igual masa M y longitud L que está articulada en la parte superior.

28. La pierna humana se puede comparar con un péndulo f´ısico, con un periodo de oscilaci´ on natural, para el cual caminar es má s fácil. Considere la pierna como dos varillas unidas r´ıgidamente entre s´ı en la rodilla; el eje para la pierna es la articulación en la cadera. La longitud de cada varilla es aproximadamente la misma: 55cm. La varilla superior tiene una masa de 7 ,0kg y la varilla inferior tiene una masa de 4kg. Calcule el pe?riodo de oscilaci´ on natural del sistema. 29. Un disco de madera contrachapada con radio de 20cm y masa de 2,2kg tiene un pequeño agujero taladrado a través de él, a 2cm de su borde. El disco cuelga de la pared por medio de un pasador metálico que pasa a través del agujero y se usa como un péndulo. ¿Cuál es el periodo de este péndulo para oscilaciones peque˜ nas?

Calcule el periodo de oscilaci´ on para pequeños desplazamientos desde el equilibrio y determine este periodo para L = 2,00m. 26. Un disco de radio r y masa m se pega a la cara de un segundo disco más grande de radio R y masa M , como se muestra en la figura. El centro del disco pequeño se ubica en el borde del disco grande. El disco grande se monta en su centro en un eje sin fricción. El ensamble da vueltas a trav´ es de un pequeño ángulo θ desde su posición de equilibrio y se libera.

30. Un p´ endulo consiste en una varilla de lat´ o n con un cilindro de latón unido al extremo. El diámetro de la varilla es 1, 00cm y su longitud es 90, 00cm; el di´ ametro del cilindro es de 6, 00cm y su longitud es de 20, 00cm. ¿Cu´ al es el per´ıodo de este péndulo?.

a. Demuestre que mientras pasa a través de la posici´ on de equilibrio la rapidez del centro del disco pequeño es

v = 2

 

Rg(1 − cos θ) M r ( ) + ( )2 + 2 m R

 

1/2

4


31. Una esfera de 1,50kg y otra de 2,00kg se pegan entre s´ı colocando la más ligera debajo de la más pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 165 N m , y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15,0cm. El pegamento que une las esferas es débil y antiguo, y de repente falla cuando las esferas están en la posición m´ as baja de su movimiento.

de una superficie horizontal, como se ve en la figura. N La constante de fuerza k del resorte es de 2, 94 cm . Si el sistema parte del reposo desde una posición en que el resorte está estirado 23, 9cm, halle: a. La energ´ıa cinética de traslación y, b. La energ´ıa cinética de rotación del cilindro al pasar por la posición de equilibrio.

a. ¿Por qué es más probable que el pegamento falle en el punto más bajo, que en algún otro punto del movimiento?.

35. Una llave inglesa de 1,80kg tiene su pivote a 0,250m de su centro de masa y puede oscilar como péndulo f´ısico. El periodo para oscilaciones de ańgulo peque˜ no es de 0,940 s.

b. Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones después de que la esfera inferior se despega. 32. Un péndulo f´ısico consiste en una varilla sin masa de longitud 2L gira alrededor de un eje que pasa por su centro. Una masa m1 está unido en el extremo inferior de la varilla, y una masa m2 m´ as peque˜ n o en el extremo superior ¿Cuál es el per´ıodo de este péndulo?

a. ¿Qué momento de inercia tiene la llave con respecto a un eje que pasa por el pivote? b. Si la llave inicialmente se desplaza 0,400rad de la posición de equilibrio, ¿qué rapidez angular tiene al pasar por dicha posición? 36. Dos péndulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El péndulo A es una esfera muy pequeña que oscila en el extremo de una varilla uniforme sin masa. En el péndulo B, la mitad de la masa est´ a en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada péndulo para oscilaciones pequeñas. ¿Cu´ al tarda más tiempo en una oscilación? 37. Un objeto cuadrado de masa m se construye con cuatro varas uniformes idénticas, cada una con longitud L, unidas entre s´ı. Este objeto se cuelga de su esquina superior en un gancho. Si se gira ligeramente a la izquierda y luego se suelta, ¿con qu´ e frecuencia oscilará de un lado a otro?

33. Un péndulo consta de un disco uniforme de 10, 3cm de radio y 488g de masa unido a una barra de 52, 4cm de longitud que tiene una masa de 272g, seg´ un figura.

a. Calcule la inercia rotatoria del péndulo respecto al pivote. b. ¿Cu´ al es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo?

38. Dos varillas delgadas idénticas, cada una con masa m y longitud L, se unen en ángulo recto para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la cúspide de un triángulo agudo. Si el objeto en forma de L e desv´ıa un poco, oscila. Calcule la frecuencia de oscilaci´ on.

c. Calcule el per´ıodo de oscilación para ángulos peque˜ nos. 34. Un cilindro s´ olido está unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo 5


a. Determine el periodo en términos de r b. Para qué valores de r el periodo de la placa sera m´ınimo?

39. Una campana grande de 34kg cuelga de una viga de madera, de modo que puede oscilar con fricción despreciable. Su centro de masa está 0,6m bajo el pivote, y su momento de inercia con respecto a un eje en el pivote es de 18kg · m2 . El badajo es una masa de 1 ,8kg que cuelga del extremo de una varilla delgada de longitud L y masa despreciable. El otro extremo de la varilla est´ a sujeto al interior de la campana, de modo que puede oscilar libremente sobre el mismo eje de la campana. ¿Qué longitud L debe tener la varilla para que la campana suene en silencio, es decir, para que el periodo de oscilación de la campana sea igual a la del badajo?

P´ endulos de Torsi´ on 42. Una vara de un metro cuelga de su centro de un alambre delgado. Se gira y oscila con un periodo de 5s. la vara se recorta a una longitud de 70 cm. Esta pieza de nuevo se equilibra en su centro y se pone a oscilar. ¿Con qué periodo oscilará ahora?

40. Un vástago largo y uniforme de masa de 0, 6kg está libre para girar en un plano horizontal alrededor de un eje vertical a través de su centro. Un resorte con constante de fuerza k = 1850N/m está conectado horizontalmente entre un extremo de la varilla y una pared fija. Cuando la varilla está en equilibrio, es paralela a la pared. ¿Cuál es el per´ıodo de la oscilación peque˜ na ¿Qué ocurre cuando la varilla se gira ligeramente y se suelta?

43. Un disco de aluminio de 12,5cm de diámetro y 375g de masa está montado sobre un eje vertical con muy baja fricci´ on. Un extremo de un resorte plano en espiral está unido al disco a una distancia r = 2cm desde el centro del disco; y el otro extremo, a la base del aparato. El disco se pone en oscilación rotatoria con frecuencia de 0,331Hz. ¿Cu´ al es la constante de torsión del resorte K

41. Un bloque rectangular, Longitudes a = 35cm y b = 45cm, está suspendido sobre una fina varilla horizontal que pasa a trav´ es de un agujero estrecho. Luego de ser ajustado, permanece balanceándose alrededor de la ´ barra como un péndulo, a través de Angulos peque˜ nos.

44. Un disco metálico delgado con masa de 2,00 × 10 3 kg y radio de 2,20cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1,00s. Calcule la constante de torsión de la fibra. −

6


45. El péndulo de torsi´ on, consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro, etc). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación.

48. Un péndulo está formado por una varilla de 200 g de masa y 40cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4cm de radio, equidistantes 8cm de los extremos de la barra. El péndulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.

a. Hallar la ecuaci´ on del movimiento. b. Encontrar su periodo. c. Escribir las ecuaciones del movimiento.

a. H´ allese el periodo. b. Si ahora se separa el péndulo 10 de la posición de equilibrio y se suelta, empez´ andose en ese momento a contar el tiempo. Escr´ıbase la ecuación del M.A.S. ◦

46. Un péndulo de torsión consiste en una varilla de masa 100g y 30cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150g y 5cm de radio, situadas simétricamente de modo que el centro de las esferas dista 10cm del eje de giro. a. Sabiendo que el periodo de la oscilaci´ on vale 2,4s, calcular la constante K de torsión del muelle.

Oscilaciones Amortiguadas-Forzadas

b. Si en el instante inicial t = 0 el p´ endulo se desplaπ za Θ = 6 de la posición de equilibrio y se suelta. Escribir la ecuación del M.A.S.

49. Sea un p´ endulo consistente en una esfera de Al de 0, 005m de radio suspendida de una cuerda de 1m de longitud. Determinar la amplitud y periodo de oscilaci´ on de este péndulo. Averiguar cómo afecta la viscosidad del aire a estos dos parámetros. (Considerar que la fuerza debido a la viscosidad η que act´ ua sobre una esfera de radio R y velocidad ν es igual a F = −6πηRν y para el aire a 20 C.η = 1, 78 × 10 5 kg/ms. ¿C´ ual es el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca un 10 %¸ de la inicial?

c. Calcular la velocidad angular de rotaci´ on cuando pasa por la posición de equilibrio.

◦

−

50. Un objeto de 10,6kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2,05 × 104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento N · s b = 3,00 . m a. Calcule la frecuencia de la oscilaci´ on amortiguada. b. ¿En qué porcentaje disminuye la amplitud de la oscilaci´ on en cada ciclo?.

47. Un péndulo de Torsión consiste en una barra metálica de Longitud L = 70cm y masa 6kg, que esta sujeta en su punto centro por un alambre con constante de torsi´ on K = 250N · m, a los lados de esta barra se ubican dos discos uniformes de masa m1 = 2kg y m2 = 4kg con radios r1 = 15cm y r2 = 25cm, como lo muestra la figura. Calcule el Periodo de oscilación de este Péndulo.

c. Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energ´ıa del sistema cae a 5,00%¸ de su valor inicial. 51. Considere el oscilador amortiguado que se muestra en la figura: 7


55. Un objeto de 2kg oscila sobre un muelle de constante k = 400 N m con una constante de amortiguamiento Kg b = 2 s . Está impulsado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10N y frecuencia angular ω = 10 Rad s . Calcular la amplitud de las oscilaciones y la frecuencia y amplitud de resonancia. 56. Un péndulo simple tiene un periodo de 2s? y un amplitud de 2 , despu´ es de 10 oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a 1, 5 encontrar la constante de amortiguamiento γ . En el caso del oscilador amortiguado, la cantidad τ = 12γ se denomina tiempo de relajación. ◦

◦

a. Verificar que tiene unidades de tiempo. b. ¿En cuánto ha variado la amplitud del oscilador después de un tiempo τ ? c. Expresar como una funci´ on de τ , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial. d. ¿Cu´ ales son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)?

La masa del objeto es 375 g, la constante de resorte es N s 100 N m y b = 0,100 m . ·

a. ¿Durante qué intervalo de tiemp o la amplitud cae a la mitad de su valor inicial?.

57. Un ni˜ no se columpia con un per´ıodo de 3s. El ni˜ no y el columpio poseen una masa de 30kg. El padre del ni˜ no impulsa pacientemente el columpio una vez cada ciclo de modo que mantiene una amplitud angular estacionaria de 30 . Si el valor de Q es igual a 20, calcule la potencia transmitida por el padre.

b. ¿Qué pasar´ıa si? ¿Durante qué intervalo de tiempo la energ´ıa mecánica cae a la mitad de su valor inicial?. c. Demuestre que, en general, la relación fraccionaria a la cual la amplitud disminuye en un oscilador armónico amortiguado es la mitad de la relación fraccionaria a la que disminuye la energ´ıa mecánica.

◦

58. Un objeto de masa 1, 5kg situado sobre un muelle de constante de fuerza 600 N m pierde el 3 %¸ de su energ´ıa en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una fuerza sinusoidal con un valor máximo de F 0 = 0, 5N . ¿Cu´ a l es el valor de Q para este sistema y el valor de la frecuencia angular de resonancia y amplitud de resonancia? ¿Cu´ al es la amplitud de oscilació n si la frecuencia impulsora es 19 rad s ?

52. Un p´ endulo de longitud 1, 50m se establece balance´ andose con una amplitud inicial de 10 . Después de 12min, la fricció n se ha reducido la amplitud a 4 . ¿Cu´ al es el valor de Q para este péndulo? ◦

◦

53. Cuando un columpio en movimiento no se ”bombea”la amplitud angular de oscilación disminuye debido al aire y otra fricción. Para el movimiento de un columpio de 3m de longitud en el cual la amplitud de oscilación decrece de 12 a 10 despu´ es de 5 ciclos completos. ¿Cu´ al es el Q del sistema? Si el jinete y el asiento son tratados como una masa puntual con m = 25kg, cual es la energ´ıa mecánica promedio que se disipa? ◦

59. Un oscilador armónico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es ω0 = 15 rad ametro de s y cuyo par´ amortiguamiento es γ = 9s 1 , se encuentra inicialmente en reposo en la posición de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v 0 = 60 cm s . Para este sistema se pide: −

◦

a. Expresar la elongación del oscilador en función del tiempo. b. Calcular el máximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posición de equilibrio. c. Calcular el tiempo que deberá transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0, 1%¸ del valor máximo anteriormente calculado.

54. El péndulo de un reloj de pared tiene una longitud de 0,994m y una masa de 1, 2kg. a. Si el péndulo se pone en movimiento, la fricción del aire reduce su amplitud de oscilación por un factor de 2 en 13, 0min. ¿Cu´ al es el valor de Q para este péndulo? b. Si queremos mantener este péndulo que oscila con una amplitud constante de 8 , debemos suministrar energ´ıa mecánica a él a una velocidad suficiente para compensar la pérdida por fricción. ¿Cu´ al es la potencia mecánica necesaria? ◦

60. Una masa de m = 0, 5Kg, unida a un muelle de constante elástica k = 250N/m, oscila con una amplitud inicial A 0 = 6cm. Para este sistema se pide: 8


a. Hallar el periodo y la energ´ıa del oscilador en el instante inicial.

62. Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una auto inducción L, asociadas en serie cumple las siguientes ecuaciones para la carga en el condensador y la corriente en el circuito:

b. Determinar el valor del parámetro de amortiguamiento del oscilador sabiendo que la energ´ıa se disipa a razón de un 1, 0 %¸ en cada ciclo.

a. Suponga en primer lugar que la resistencia es nula (R = 0). Pruebe que la carga del condensador oscila armónicamente. ¿Cuál es la frecuencia de oscilaci´ on? ¿Qué energ´ıa se conserva, análogamente a la energ´ıa mecánica de un oscilador armónico?

61. Un cuerpo de masa m = 2kg descansa sobre un tablero horizontal y está unido al extremo libre de un N muelle de constante elástica k = 200 . En un insm tante dado, las oscilaciones presentan una amplitud A0 = 30cm; pero debido a un rozamiento de tipo viscoso (F r = −bν ), dicha amplitud se reduce a la mitad cuando han transcurrido t1 = 25s. Con estos datos, determinar:

b. Si la resistencia no es nula, pruebe que el sistema se comporta como un oscilador amortiguado. ¿Cu´ al es la resistencia máxima para que haya oscilaciones en el sistema? c. Suponga que además de los elementos anteriores, el circuito dispone de una fuente de corriente alterna, que lleva mucho tiempo conectada, de manera que las ecuaciones del circuito son:

a. Valor del par´ ametro de amortiguamiento γ , del coeficiente de amortiguamiento b, del tiempo de relajación de la energ´ıa τ y del factor de calidad Q. b. La frecuencia y el periodo de las oscilaciones amortiguadas y no amortiguadas.

L

c. Tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energ´ıa del oscilador. ¿Cuál será entonces la amplitud de las oscilaciones?

dI Q dQ + RI + = V 0 cos (ωt) ; I = dt C dt

Halle la amplitud de las oscilaciones de la carga del condensador, como función de los parámetros del circuito y de la frecuencia y amplitud del voltaje aplicado.

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Taller Ondas Primer Corte

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