Taller Ondas Mecánicas
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Docente:
Universidad de Pamplona
A
B
Materia:
Nombre: Código: Programa:
C
D
E
Oscilaciones y Ondas
Nota:
Departamento de Física y Geología
Ondas mecánicas Definición: Una onda mecánica es la propagación de una Definición: perturbación a través de un medio.
Donde . Así, la función de onda se puede escribir de la siguiente manera, Ondas transversales: transversales : Son aquellas ondas donde los elementos del medio se desplazan en dirección perpendicular a la dirección de propagación. Ondas longitudinales: longitudinales : Son aquellas ondas donde los elementos del medio se desplazan en dirección paralela a la dirección de propagación. Ondas longitudinales-transversales: Son aquellas ondas donde los elementos del medio se desplazan de forma circular en el medio.
La cual representa la función de onda de una curva viajera. Donde tomamos el signo positivo (+) si la onda se propaga hacia la izquierda y el signo negativo (-) si la onda se propaga hacia la derecha.
Podemos concluir que la función es adecuada para describir una situación física que no se deforma a medida que avanza en el tiempo. Ecuación diferencial de onda Usamos la función de onda realizando la siguiente sustitución tanto,
, , por Derivando esta función con respecto a y dos
veces, tenemos,
Derivamos una vez con respecto a
Descripción matemática de una propagación Supongamos una función de onda escrita de la siguiente manera:
Que se puede representar mediante el siguiente grafico
Derivamos otra vez
Derivamos otra vez Derivamos una vez con respecto a
Igualamos estas dos expresiones anteriores para obtener
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Esta última expresión recibe el nombre de ecuación de onda unidimensional. La cual se puede generalizar de la siguiente forma,
⃗
⃗
Ondas mecánicas sinusoidales Una representación matemática sencilla de una onda, es de tipo sinusoidal, escrita de la siguiente manera:
Esta ecuación es solución de la ecuación diferencial de onda. Donde es el número de onda, es la frecuencia angular y es la fase inicial del movimiento. Si
, tenemos,
Despejando y ordenando,
( ( ) )
Esta expresión nos dice que la cantidad corresponde al periodo espacial de la función de onda, conocida como longitud de onda,
Podemos obtener:
combinar
D
E
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algunas
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Ahora bien, usando las relaciones anteriores la función de onda puede tomar las siguientes formas:
Problemas [1] Distinguir entre (a) las palabras homogéneo y heterogéneo (b) las palabras isótropo y anisótropo (c) ¿puede ser un medio homogéneo y anisótropo, heterogéneo e isótropo? [2] Un bote en movimiento produce ondas superficiales en un lago tranquilo, el bote ejecuta 12 oscilaciones en 20 segundos; cada oscilación produce una cresta de onda. La cresta de la onda tarda 6 segundos en alcanzar la orilla distante 12 m. calcular la longitud de onda de las ondas de superficie. [3] La ecuación de una cierta onda es , donde x se mide en metros y t en segundos. se gundos. Hallar (a) la amplitud (b) la longitud de onda (c) la frecuencia y (d) la velocidad de propagación de la onda. Dibujar la onda mostrando la amplitud y la longitud de onda. , [4] Dada la ecuación donde x está en metros y t en segundos determinar (a) la longitud de onda (b) la frecuencia (c) el periodo (d) la velocidad de propagación (e) la amplitud; y (f) la dirección de propagación Escribir la expresión para la onda que sea idéntica pero que se propague en sentido opuesto. [5] Dada la onda , donde t esta en segundos y x en metros, hacer el grafico de
expresiones
Como y tenemos,
para
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propaga hacia la derecha. Seleccionar 13 puntos equidistantes sobre una distancia de una longitud de onda y hacer los gráficos correspondientes a los
, , y segundos, después de
que la onda ha alcanzado su primer punto. [7] Suponiendo que el problema anterior corresponda a una onda elástica transversal, mostrar en cada grafico la velocidad en cada punto. Hacer el grafico de la velocidad
en el instante t=0 segundos.
y de aceleración
[8] Demostrar que una onda elástica transversal que se propaga según el eje x con un desplazamiento cuyas dos componentes son y
esta polarizada circularmente si . [9] Determinar el sentido de rotación de visto por un observador situado sobre el eje x. escribir las expresiones de y para una polarizada opuesta. Dada la ecuación de onda de una cuerda , donde y x están en metros y t en segundos, contestar lo siguiente: (a) para t=0 segundos ¿cuál es el desplazamiento para cuando x=0.1, 0.2 y 0.3 metros? (b) para x=0.1m ¿Cuál es el desplazamiento cuando t=0.1 y 0.2 segundos? (c) ¿cuál es la ecuación de la velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda? ¿Cuál es la velocidad máxima de oscilación? (d) ¿cuál es la velocidad de propagación de la onda? [10] En t = 0, se describe un pulso transversal en un alambre mediante la función
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Nota:
, extendiendo a varias longitudes de onda, para t=0 y t=1/60 s. Repetir el problema para . Comparar resultados. , se [6] Una oda armónica instantes t=0,
A
donde x y y están en metros. Encuentre la función y(x, t) que describa este pulso si viaja en la dirección x positiva con una rapidez de 4.50 m/ s.
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[11] Las olas con una distancia de cresta a cresta de 10.0 m se describen mediante la función de onda
( ( )
donde v = 1.20 m7s. a) Bosqueje y(x, t) en t =0. b) Esboce y(x, t) en t = 2.00 s. Compare esta grafica con la del inciso a) y explique similitudes y diferencias. ¿Que hizo la ola entre la descripción a) y la b)? [12] Dos puntos A y B en la superficie de la Tierra están a la misma longitud y 60.0° separados en latitud. Suponga que un terremoto en el punto A crea una onda P que llega al punto B al viajar recta a través del cuerpo de la Tierra con una rapidez constante de 7.80 km/s. El terremoto también radia una onda Rayleigh que viaja a lo largo de la superficie de la Tierra a 4.50 km/s. a) ¿Cuál de estas dos ondas sísmicas llega primero a B? b) ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre las llegadas de estas dos ondas a B? Considere que el radio de la Tierra es de 6 370 km. [13] Una estación sismográfica recibe ondas S y P de un terremoto, separadas 17.3 s. Suponga que las ondas viajaron sobre la misma trayectoria con magnitudes de velocidad de 4.50 km/s y 7.80 km/s. Encuentre la distancia desde el sismógrafo al hipocentro del terremoto. [14] La función de onda para una onda progresiva en una cuerda tensa es (en unidades SI)
a) ¿Cuales son la rapidez y dirección de viaje de la onda? b) ¿Cuál es la posición vertical de un elemento de la cuerda en t = 0, x = 0.100 m? c) ¿Cuales son la longitud de onda y frecuencia de la onda? onda? d) ¿Cuál es la máxima rapidez transversal de un elemento de la cuerda? [15] Cierta cuerda uniforme se mantiene bajo tension constante. a) Dibuje una instantanea lateral de una onda sinusoidal en una cuerda, como se muestra en los diagramas del texto. b) Abajo del
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diagrama a), dibuje la misma onda en un momento posterior de un cuarto del periodo de la onda. c) Luego, dibuje una onda con una amplitud 1.5 veces mayor que la onda en el diagrama a). d) A continuacion, dibuje una onda que difiera de la del diagrama a) solo por tener una longitud de onda 1.5 veces mayor. e) Por ultimo, dibuje una onda que difiera del diagrama a) por tener una frecuencia 1.5 veces mayor. (Fisica seway 7E sección secc ión 16) [16] Una onda sinusoidal viaja a lo largo de una soga. El oscilador que genera la onda completa 40.0 vibraciones en 30.0 s. Además, dado un máximo viaja 425 cm a lo largo de la soga en 10.0 s. ¿Cuál es la longitud de onda de la onda? [17] Para cierta onda transversal, la distancia entre dos crestas sucesivas es 1.20 m, y ocho crestas pasan un punto determinado a lo largo de la dirección de viaje cada 12.0 s. Calcule la rapidez de la onda. onda se describe mediante [18] Una
, x esta en donde k = 2.11 rad/m,
metros y t en segundos. Determine la amplitud, longitud de onda, frecuencia y rapidez de la onda. [19] Cuando un alambre particular vibra con una frecuencia de 4.00 Hz, se produce una onda transversal con longitud de onda de 60.0 cm. Determine la rapidez de las ondas a lo largo del alambre. [20] La cuerda que se muestra en la figura 16.10 se impulsa a una frecuencia de 5.00 Hz. La amplitud del movimiento es 12.0 cm y la rapidez de la onda es de 20.0 m/s. Además, la onda es tal que y =0 en x =0 y t = 0. Determine a) la frecuencia angular y b) el número de onda para esta onda. c) Escriba una expresión para la función de onda. Calcule d) la máxima rapidez transversal y e) la máxima aceleración transversal de un punto sobre la c uerda. [21] Considere la onda sinusoidal del ejemplo 16.2 con la función de onda
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En cierto instante, el punto A esta en el origen y el punto B es el primer punto a lo largo del eje x donde la onda esta 60.0° fuera de fase con A. ¿Cual es la coordenada de B? (Fisica seway 7E sección 16) [22] Una onda sinusoidal se describe mediante la función de onda
donde x y y están en metros y t en segundos. Determine para esta onda a) la amplitud, b) la frecuencia angular, c) el numero de onda angular, d) la longitud de onda, e) la rapidez de onda y f) la dirección de movimiento. [23] a) Grafique y en función de t en x =0 para una onda sinusoidal de la forma donde y están en centímetros y t en segundos. b) Determine el periodo de vibración de esta gráfica. Argumente la comparación de su resultado con el valor encontrado en el ejemplo 16.2. [24] a) Escriba la expresión para y como función de x y t para una onda sinusoidal que viaja a lo largo de una soga en la dirección x negativa con las siguientes características: A = 8.00 cm, , f = 3.00 Hz y y(0, t) = 0 en t =0. b) ¿Qué pasaría si? Escriba la expresión para y como función de x y t para la onda en el inciso a) si supone que y(x, 0) = 0 en el punto x = 10 .0 cm. [25] Una onda sinusoidal que viaja en la dirección -x (hacia la izquierda) tiene una amplitud de 20.0 cm, longitud de onda de 35.0 cm y frecuencia de 12.0 Hz. La posición transversal de un elemento del medio en t = 0, x = 0 es y , y el elemento tiene en este caso una velocidad positiva. a) Bosqueje la onda en t = 0. b) Encuentre su número de onda angular, periodo, frecuencia angular y rapidez de onda. c) Escriba una expresión para la función de onda y(x, t). [26] Una onda transversal en una cuerda se describe mediante la función de onda
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a) Determine la rapidez y aceleracion transversales de la cuerda en t = 0.200 s para el punto en la cuerda ubicado en x=1.60 m. b) ¿Cuales son la longitud de onda, periodo y rapidez de propagación de esta onda? [27] Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un periodo T = 25.0 ms y viaja en la dirección x negativa con una rapidez de 30.0 m/s. En t = 0, un elemento de la cuerda en x = 0 tiene una posición transversal de 2.00 cm y viaja hacia abajo con una rapidez de 2.00 m/s. a) ¿Cuál es la amplitud de la onda? b) ¿Cuál es el ángulo de fase inicial? c) ¿Cuál es la máxima rapidez transversal de un elemento de la cuerda? d) Escriba la función de onda para la onda. [28] Una onda sinusoidal, con 2.00 m de longitud de onda y 0.100 m de amplitud, viaja en una cuerda con una rapidez de 1.00 m/s hacia la derecha. Al inicio, el extremo izquierdo de la cuerda está en el origen. Encuentre a) la frecuencia y frecuencia angular, b) el número de onda angular y c) la función de onda. Determine la ecuación de movimiento para d) el extremo izquierdo de la cuerda y e) el punto en la cuerda en x = 1.50 m a la derecha del extremo izquierdo. f) ¿Cuál es la máxima rapidez de cualquier punto en la cuerda? [29] Una onda en una cuerda se describe mediante la función de onda . a) Demuestre que un elemento de la cuerda en x = 2.00 m ejecuta movimiento armónico. b) Determine la frecuencia de oscilación de este punto particular. [30] Una onda senoidal se propaga por una cuerda estirada en el eje x. El desplazamiento de la cuerda en función del tiempo se grafica en la figura para partículas en x=0 y en x =0.0900 m.
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a) Calcule la amplitud de la onda. b) Calcule el periodo de la onda. c) Se sabe que los puntos en x=0 y x=0.0900 m están separados una longitud de onda. Si la onda se mueve en la dirección 1x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda. d) Si ahora la onda se mueve en la dirección 2x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda. e) ¿Sería posible determinar de manera definitiva la longitud de onda en los incisos c) y d) si no supiéramos que los dos puntos están separados una longitud de onda? ¿Por qué?
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