Ondas mec´ anicas anicas Carlos L. Beltr´ an an R´ ıos 6 de marzo de 2013
1. Hallar la energ´ energ´ıa total de vibraci´ on on de una cuerda de longitud L longitud L fija fija en ambos extremos que oscila en su modo cara ca racte cter´ r´ıstic ıs ticoo n con n con una amplitud A amplitud A.. La cuerda cuerda est´a sometida a una tensi´on T on T y y posee una masa total M . M .
7. Una onda que se propag propaga a por una cuerda, cuerda, responde responde a la ecuaci´ ecuaci´ on, on, en unidades del S.I.: y (x, t) = 3
2. Consid Consider eree dos dos onda ondass que que se prop propaga agan, n, en un medi medioo el´astico, astico, a lo largo de la direcci´on x on x dadas dadas por y por y1 (x, t) = π 3π A1 sin( 2 x ω1 t) y y 2 (x, t) = A2 sin( 2 x ω2 t), donde x y y est´an an en metros y t en segundos. Determine:
−
3
−
sin(80t sin(80t
− 6x)
Si la cuerda tiene un extremo fijo en la pared, escriba la ecuaci´ ecuaci´ on on de la onda reflejada
−
a ) La amplitud de la onda resultante en un punto situado a x a x = 2 m b ) En el instante t = 0 ¿cu´al al es la longitud de onda de la onda?
8. Una cuerda uniform uniforme, e, de masa m masa m y longitud L longitud L,, cuelga de un techo. a) Demostrar que la rapidez de una onda transversal en la cuerda es una funci´on on de la distancia y medida desde el extremo inferior y que su valor es v = g y b) Demostrar que el tiempo que transcurre para que la onda transversal recorra la cuerda completa es t = 2 Lg c) ¿ Afecta la masa de la cuerda a los resultados de a) y b)?. Determine las expresiones correspondientes.
√
3. Considere Considere la misma cuerda del problema anterio anteriorr y calcule la energ´ energ´ıa total si la cuerda cuerda esta vibrando de tal forma que se describe su vibraci´on on a trav´es es de dos modos normales. normales. Dicha Dicha vibraci´ vibraci´ on on se describe como y (x, t) = A 1 sin(
× 10
πx 3π x π ) cos( cos(ω ω1 t)+A )+A3 sin( ) cos( cos(ω ω3 t ) L L 4
−
9. a) ¿ C´omo omo var´ var´ıa la velocidad de propagaci´on o n de una onda transversal a lo largo de una cuerda si la tensi´on on se duplica?, b) ¿ y si se reduce a la mitad? c) ¿ En cu´anto debe modificarse la tensi´on on de la cuerda para duplicar la velocidad de propagaci´on? on? d) ¿ Y para reducirla a la mitad?
4. Un aro circular ci rcular de cuerda homog´ enea enea se hace girar r´apiapidamente con una velocidad angular constante ω constante ω,, de manera que se tensa formando una circunferencia de radio R. En un momento dado se forma un rizo en la cuerda. a) ¿ Con qu´ q u´e velocidad velo cidad se propagar pr opagar´´a el rizo por la cuerda? b) b ) ¿ Ba jo qu´e condiciones condi ciones podr´ pod r´a el rizo permanecer permanecer estacionario respecto a un observador estacionario?
10. Para cierta cierta onda transv transversal ersal la distancia distancia entre entre dos m´ m´axiaximos sucesivos es λ y N m´ aximos pasan por un punto aximos dado a lo largo de la direcci´on on de propagaci´on on cada t segundos. Determine la velocidad de la onda.
5. Una cuerda homog´enea, enea, de longitud L longitud L y masa m masa m,, cuelga verticalmente sujeta firmemente por su extremo superior. a) Expresar la velocidad de propagaci´on on de un pulso transversal a lo largo de la cuerda en funci´on on de la distancia x respecto al extremo inferior (libre de la cuerda. cuerda. b) Calcular Calcular el tiempo que emplear´ a dicho pulso en recorrer toda la cuerda. c) Supongamos que sacudimos transversalmente el extremo inferior de la cuerda, con una frecuencia f frecuencia f ,, de modo que se genere una onda sinusoidal a lo largo de la cuerda. Expresar la longitud de onda, λ onda, λ,, en funci´on on de x de x..
11. Un alambre alambre de longitud L longitud L y masa m masa m se estira bajo una tensi´on T on T .. Si se generan dos pulsaciones, separadas por un intervalo de tiempo ∆t ∆ t, en cada extremo del alambre, ¿ a que distancia del extremo izquierdo se encuentran las pulsaciones? pulsaciones?
6. Un cable uniforme uniforme y flexible, flexible, de 10 m de longitud longitud y 6 kg de peso, cuelga verticalmente con su extremo superior firmemente sujeto a un soporte. Del extremo inferior del cable se cuelga una pesa de 6 kg. kg . Se golpea transversalmente el cable cerca de su extremo inferior. Calcular el tiempo que emplear´a la perturbaci´on on resultante en llegar al extremo superior del cable.
12. Se puede producir producir un ruido al perturbar perturbar el flujo de aire proveniente de una pitillo de bebida. Si el flujo se perturba con los hoyitos,ver figura, en un disco que gira con frecuencia de 55H 55 H z , ¿en qu´e circunferencia de hoyos equidistantes hay que soplar para o´ır la nota La de 440H 440 H z? 1
a ) Una expresi´ on para la rapidez de una onda que se propaga a lo largo del alambre de un extremo a otro. b) El tiempo en que demora en recorrer la onda la longitud total del alambre. c ) Determine la energ´ıa en el punto inicial y final del alambre. ¿Que puede decir sobre la energ´ıa, la potencia y la intensidad de la onda a partir de estos resultados? d ) Realice los c´ alculos anteriores considerando ahora que el radio de la secci´on transversal del alambre varia uniformemente.
•• • •• • ••• • •• •• • •• • •• A B C D E
13. Una onda en una membrana circular se describe a trav´es de la ecuaci´on diferencial 1 ∂ ρ ∂ρ
∂ Ψ ρ ∂ρ
1 ∂ 2 Ψ + 2 ρ ∂φ 2
−
17. Una cuerda muy larga y flexible, de masa µ por unidad de longitud, est´a estirada horizontalmente sometida a una tensi´on F . Sujetamos con la mano el punto medio de la cuerda y la sacudimos hacia arriba y abajo imprimi´endole un m.a.s. con una amplitud A y una frecuencia f . En estas condiciones se generan ondas transversales que recorren la cuerda en ambas direcciones. Antes de que el movimiento se complique como consecuencia de las reflexiones en los extremos lejanos de la cuerda, calcular: a) la potencia en funci´on del tiempo que debe suministrar la mano y b) el valor medio de dicha potencia.
1 ∂ 2 Ψ v 2 ∂t 2
on a la ecuaci´on diferencial a ) Muestre que una soluci´ anterior esta dada por Ψ(ρ,φ,t) = , donde ı =
A sin(kρ kρ
− ωt)e
−ımφ
√ −1 y m es un n´umero entero.
b) Haga una gr´afica de Ψ(ρ,φ,t) en el caso m = 0. z
18. Un pulso transversal de amplitud A avanza en el sentido positivo del eje x, a lo largo de una curda de densidad lineal µ, sometida a una tensi´on F . el pulso se describe por la funci´on y(x, t) =
− | − | ct
A 1
x
l
0,
Determine: x
y
,
si si
|ct − x| < l |ct − x| > l
a ) Si el pulso es soluci´ on a la ecuaci´on diferencial de onda. b) Dibuje la forma del pulso c ) Una expresi´on para la densidad de energ´ıa y la energ´ıa total transportada por el pulso. d ) Calcular la intensidad de la onda (flujo de energ´ıa) e ) Para un valor de x fijo integre el flujo de energ´ıa en un intervalo de tiempo t ( , ). ¿Que puede decir de su resultado?
14. Sea una onda viajera unidimensional g(x, t) = g(x vt) que se propaga respecto a un sistema de referencia S . Sea S ′ un sistema de referencia, que se mueve respecto = V ˆi, con V > 0. al sistema S con una velocidad V ′ Muestre que vista desde S la onda se propaga con una rapidez V v .
−
∈ −∞ ∞
| − |
19. Un pulso que viaja por una cuerda, en la direcci´on x positiva, como el mostrado en la figura, esta descrito por la ecuaci´on
15. En un medio S se propaga una onda arm´onica Ψ(x, t) = A cos(ωt kx). Hallar la expresi´on de la onda en un sistema de referencia S ′ que se mueve en el sentido positivo del eje de las X a una velocidad constante V .¿Como son la longitud de onda y la frecuencia observada desde el sistema S ′ respecto al sistema S
−
2
y(x, t) = A e −B (vt−x) . Determine:
16. Un alambre de densidad volum´ etrica ρ posee una longitud L, esta sometido a una tensi´on T y posee una secci´on transversal circular. El alambre esta fabricado de manera que el ´area de su secci´on transversal disminuye uniformemente de un extremo a otro. Si se genera un pulso en el extremo de mayor ´area determine:
y 2
v
1 x
−2 −1 2
0
1
2
a ) Que es soluci´on a la ecuaci´on diferencial de onda unidimensional
m
b) la velocidad de un punto sobre la cuerda. Determine una expresi´ on para el caso x = 0,5
m′
20. Supongamos que se propaga una perturbaci´on longitudinal a lo largo de un muelle de constante k, longitud L y masa m, el cual es estirado de uno de sus extremos. Sea ξ el desplazamiento experimentado por una secci´on del muelle de abscisa x.
23. Las ondas sonoras procedentes de un altavoz se difunden de forma casi uniforme en todas las direcciones del espacio cuando sus longitudes de onda son grandes en comparaci´on con el di´ametro del altavoz. Por el contrario, cuando sus longitudes de onda son peque˜nas, gran parte de la energ´ıa ac´ustica se dirige hacia adelante. Calcular, para un altavoz de 20 cm de di´ametro, la frecuencia para la cual la longitud de onda del sonido en el aire es: a) 1/10 del di´ametro del altavoz, b) igual al di´ ametro del altavoz y c) 10 veces el di´ametro del altavoz.
a ) Mostrar que la variaci´ on de la tensi´on del muelle var´ıa a lo largo del mismo y viene dada por la expresi´on ∂ ξ ∆F = kL ∂x b) Mostrar que la fuerza resultante sobre un elemento del muelle de longitud dx es dF = kL
24. Muestre que la rapidez m´axima transversal para una part´ıcula en una cuerda es menor que la velocidad de la onda en la cuerda. Recuerde que al deducir la ecuaci´on de la onda en la cuerda se obtiene que A λ siendo A la amplitud de la onda y λ su longitud de onda.
∂ 2 ξ dx ∂x 2
≪
c ) Mostrar que la velocidad de propagaci´o n de las ondas longitudinales en el muelle es v = L
25. Una cuerda esta formada por dos secciones con densidades lineales µ1 = 0,10 kg/m y µ2 = 0,2 kg/m. Una onda, y(x, t) = (0,050 m) sin(7,5x 12,0t) con x en metros y t en segundo, incide desde el medio mas ligero. Determine
k m
−
21. Un alambre de aluminio, cuya longitud es l 1 = 60,0 cm y cuya secci´on transversal es 1,0 10−2 cm2 est´a unido a un alambre de acero de la misma secci´on transversal. El alambre complejo soporta a un cuerpo m cuya masa es de 10,0 kg, en una disposici´ on como la que se muestra en la figura, de tal manera que la distancia l 2 desde la uni´on hasta la polea de soporte es de 86 ,6 cm. En el alambre se generan ondas transversales utilizando un generador externo de frecuencia variable. a) Determinar una expresi´on algebraica para obtener la menor frecuencia de excitaci´on para la cual se observa una onda estacionaria tal que el punto de uni´on de los alambres sea un nodo. b) ¿Cu´al es el n´ umero total de nodos que se observan a esta frecuencia, excluyendo los dos extremos del alambre? La densidad del aluminio es de 2,60 g/cm3 y la del acero es de 7 ,80 g/cm3.
×
l1
a ) ¿Cu´a l es la longitud de onda en la secci´on mas ligera? b) ¿Cu´al es la tensi´on de la cuerda? c ) ¿Cual es la longitud de onda en la secci´on mas pesada? 26. Una cuerda de un metro de largo tiene dos secciones de igual longitud, con densidades lineales de 0,50 kg/m y 1,0 kg/m. La tensi´on total de la cuerda es constante. Los extremos oscilan de manera tal que en la cuerda surge una onda estacionaria con un solo nodo donde se unen las cuerdas ¿cu´al es la raz´on entre las frecuencias de oscilaci´ on en cada segmento de la cuerda? 27. Demuestre que si la tensi´ on de una cuerda estirada cambia por una peque˜na cantidad ∆T , la frecuencia de su modo fundamental cambia en la cantidad
l2
1 ∆f = 2 m
∆T f T
28. Una fuente emite ondas sonoras (S ) de longitud de onda λ, un detector (D) se encuentra a una distancia l de la fuente. El sonido llega directamente al detector y tambi´en al reflejarse desde un obst´aculo (A). El obst´aculo esta equidistante de la fuente y el detector. Cuando el obst´aculo esta a la distancia d, como se ve en la figura, las ondas llegan al detector en fase (interferencia constructiva).
22. Una cuerda de longitud L se hace vibrar con una frecuencia f = 50 Hz, como se muestra en la figura. Se modifica la masa de m a m′ y el aspecto de la vibraci´ on cambia. Determine la relaci´on m′ /m para que la frecuencia permanezca constante. 3
a ) ¿A que distancia, moviendo el obst´ aculo hacia la derecha o a la izquierda, se debe colocar este para que se produzca una interferencia destructiva?
donde T c es la temperatura en grados Celcius. En aire seco la temperatura disminuye a una raz´on β (◦ C/m) con el aumento en la altura. a)Suponiendo que este cambio es constante hasta una altitud de H (m), determine una expresi´on para calcular el tiempo que demora en viajar una onda sonora producida a una altura H hasta el piso, suponiendo que este se halla a una temperatura 1 ◦ T s (◦ C). b) Determine el tiempo si β = ( C/m), 150 H = 9000 (m) y T s = 30 (◦ C )
b) Manteniendo el obst´ aculo en su posici´on ¿ que tanto se debe alejar o acercar el detector para que haya interferencia destructiva? D
d
l
34. En un cilindro largo se bombea agua a una tasa R (cm3 /s), el radio de cilindro es r (cm) y en su parte superior hay un generador de ondas sonoras que emite con frecuencia constante f (Hz), cuando la columna de agua asciende. a)¿cuanto tiempo transcurre entre dos resonancias sucesivas?. b) Calcule el tiempo si R = 18,0 (cm3 /s), r = 4,0 (cm) y f = 200 (Hz)
A
S 29. Mida la distancia que separa sus o´ıdos, el t´ımpano se encuentra a una distancia de 25 mm del o´ıdo externo, a partir de esta informaci´on, considerando que la temperatura del aire de su habitaci´on es de unos 28◦ C que frecuencia debe emitirse a trav´ es de los parlantes de un computador, separados una distancia 40cm, para que usted pueda .observar”m´ınimos de interferencia si se encuentra a una distancia de 1 m de los parlantes. 30. Muestre que a ) Para un proceso adiab´atico el modulo de comprensi´on de un gas esta dado por B = γ P , siendo P la presi´ on del aire.
35. Un tubo abierto de longitud L se coloca verticalmente en una cubeta cil´ındrica que tiene una ´area A en el fondo. Se vierte agua dentro de la cubeta hasta que un diapas´on vibrando con frecuencia f , situado sobre el tubo, produce resonancia. Encuentre la masa del agua en la cubeta en estos momentos. Determine la masa si L = 0,40 (m), A = 0,10 (m2 ) y f = 440 Hz)
b) La velocidad de las ondas sonoras en un gas durante un proceso adiab´atico esta dada por v =
γB ρ
Para los siguientes ejercicios utilizar el servicio en l´ınea de la pagina fooplot para hacer los gr´ aficos
31. Muestre que la velocidad de la onda sonora en un gas esta dada por γRT v = M Donde R es la constante universal de los gases, T la temperatura del gas en grados Kelvin y M su masa molecular.
36. El teorema de Fourier establece que cualquier onda peri´odica de frecuencia f , no importa que tan complicada sea, puede expresarse como una suma de funciones arm´onicas pares e impares, esto es ∞
y(t) =
32. Se detona una carga explosiva a varios kil´ ometros en la atm´ osfera. A una distancia de 400 m de la explosi´on la presi´ on ac´ ustica alcanza un m´aximo de 10 Pa . Si se supone que la atm´osfera es homog´enea sobre la distancia considerada, cual es el nivel sonoro, en decibelios, a 4 km de la explosi´on. Nota: las ondas sonoras en el aire absorben a una tasa de 7 db/km
An sin(n ω t + φn )
n=0
donde ω = 2π f . Use An = n−1 , con n = 1, , 10 y φn = 0 para todo n y determine y(t) a medida que adiciona t´erminos a la sumatoria.
·· ·
37. Considere dos ondas viajeras de amplitudes A 1 = A 2 = 0,10 (m), frecuencias angulares ω 1 = ω 2 = 2,5 (rad/s), n´umeros de onda k1 = k 2 = 1,0 (rad/m) y φ1 = 0, φ2 puede tomar valores en el conjunto 0, π/8, π/4, π/2, π a) Haga las gr´aficas y se˜nale para que valores de φ 2 hay
33. La velocidad del sonido, en m/s , depende de la temperatura del aire de acuerdo con la expresi´on
{
v = 331,5 + 0,607 T c 4
}
interferencia constructiva y destructiva. Repita el anterior proceso pero considerando b)A1 = A2 = 0,2 (m), c)ω1 = ω 2 = 3,5 (rad/s)
5
