UNIVERSID UNIVERSIDAD AD DE PAMPLONA PAMPLONA FACULTA FACULTAD D DE CIENCI CIENCIAS AS BÁSICA BÁSICAS S DEPARTA DEPARTAMEN MENTO TO DE FÍSICA FÍSICA TALL TALLER ER PRIM PRIMER ER CORTE CORTE - OSCI OSCILA LACI CION ONES ES Y ON ONDA DASS 20 201717-II II PROFES PROFESORE ORES: S: JESÚS JESÚS DAVID DAVID RAMÍRE RAMÍREZ Z NIÑO NIÑO - JAIRO JAIRO YESID YESID ARCINI ARCINIEGA EGASS FLÓREZ FLÓREZ. .
c. Su aceleraci aceleraci´´on. on. d. Encuentre el periodo y amplitud del movimiento. movimiento.
Sistema Masa-Resorte
1. Un oscil oscilado adorr arm´ arm´ onico consiste de una masa de 100g onico 100 g atada a un resorte, donde la constante de fuerza es 104dinas/cm 104 dinas/cm.. La masa es desplazada 3cm 3 cm y y regresada al reposo. Calcule
5. Demues Demuestre tre que las relaci relacione oness genera generales les entre entre los dos valores iniciales de la posici´ on on inicial x inicial x 0 y de velocidad inicial v inicial v 0 y la amplitud A amplitud A y el ´angulo angulo de fase inicial φ inicial φ son:
a. La Frec Frecuen uencia cia y el periodo. periodo. b. La energ´ energ´ıa total.
A =
c. La veloci velocidad dad m´ axima. axima.
x20 +
v0 ω
2
; φ =
−ωxv
0 0
6. ¿Cu´ ¿Cu´ ando el desplazamiento de un oscilador arm´onico ando onico simple es la mitad de su amplitud? ¿Qu´e fracci´on on de la energ´ ene rg´ıa ıa total tot al es energ´ ene rg´ıa ıa cin´ ci n´etica? eti ca?
2. Un objeto objeto de masa masa m cuel cuelga ga de un resort resortee y se pone en oscilaci´on. on. El periodo de la oscilaci´on on se mide y registra como T. El objeto de masa m se retira y se sustituye con un objeto de masa 2m. Cuando este objeto se pone en oscilaci´on, on, ¿cu´al al es el periodo del movimiento? a) 2T 2T , b) 2T , T , c) T c) T ,, d) T d) T > 2, e) T e) T /2.
7. Un bloqu bloquee de de masa masa M M ,, en reposo sobre una mesa horizontal sin fricci´on, on, est´a unido uni do a un soporte so porte r´ıgido por medio de un resorte de constante de fuerza k. k . Una bala de masa m masa m y velocidad v velocidad v golpea al bloque como se muestra en la figura. La bala se queda incrustada en el bloque. Determine el movimiento arm´onico onico simple resultante en t´ erminos erminos de m de m,, M v y k
√
3. Una saltad saltadora ora de de bungee bungee de 65, 65,00 00kg kg salta salta de un puente con una cuerda ligera amarrada a ella y al puente. La longitud no estirada de la cuerda es de 11, 11 ,0m. La saltadora alcanza el fondo de su movimiento 36 ,0m abajo del puente antes de rebotar de regreso. Su movimiento se puede separar en una ca´ ca´ıda libre de 11 11,,0m y una secci´ on on de 25, 25,0m de oscilaci´on on arm´onica onica simple. a. ¿Durante ¿Durante que interv intervalo alo de tiempo est´ est´a en ca´ıda ıd a libre? b. Use el el principio principio de conserv conservaci´ aci´ on on de d e la l a energ´ en erg´ıa ıa para hallar la constante de resorte de la cuerda bungee.
8. Un obje objeto to de mas masaa 2kg 2 kg est´a sujeto sobre un muelle vertical que est´a anclado en el suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8cm 8 cm y y la posici´on on de equilibrio del objeto sobre el muelle est´a a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto est´a en su posici´on on de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0, 3m/s. m/s.
c. ¿Cu´ ¿Cu´ al al es la ubicaci´on on del punto de equilibrio donde la fuerza del resorte equilibra la fuerza gravitacional ejercida sobre la saltadora? Este punto se considera considera como el origen origen de la descripci´ descripci´ on on matem´atica atica de la oscilaci´on on arm´onica onica simple. d. ¿Cu´ Cual a´l es la frecuencia angular de la oscilaci´on? on? e. ¿Qu´ e intervalo intervalo de tiempo se requiere para que la cuerda se estire 25, 25,0m?
a. ¿A qu´e m´ axima altura, respecto al nivel del suelo, axima se elevar´a el objeto? b. ¿Cu´ ¿Cu´ anto anto tiempo tardar´a el objeto en alcanzar la m´ axima axima altura por primera primera vez? vez? c. ¿Volv ¿Volver´ er´ a el muelle a estar sin compresi´on? on? d. ¿Qu´ e velocidad inicial m´ınima debe deb e darse al ob jeto para que el muelle no tenga compresi´on o n en un instante dado?
f. ¿Cu´ ¿Cu´ al es el intervalo de tiempo total para todo el al salto de 36, 36,0m? 4. En un moto motor, r, un pist pist´´on on oscila con movimiento arm´oo-nico simple de modo que su posici´on on var´ var´ıa de acuerdo acue rdo con la expresi´on on π 6
x = (5, (5, 00 00cm cm)cos )cos 2t +
9. Cuando Cuando un un hombre hombre de de 75Kg 75Kg se introduce en un auto, el centro del auto baja 0, 0 ,5cm, cm, ¿Cu´ al al es la constante de los muelles del auto?. Suponiendo que la masa del auto es de 450000gramos. ¿Cu´al al es su periodo de vibraci´on on cuando esta vacio y cuando esta el hombre adentro?
donde x donde x est´ est´a en cent´ımetros ımet ros y t en t en segundos. En t En t = = 0, encuentre: a. La posici´ on on de la part´ıcula. ıcul a. b. Su velocidad velocidad.. 1
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10. Un objeto de 2,00kg se une a un resorte y se coloca sobre una superficie horizontal uniforme. Se requiere una fuerza horizontal de 20,0N para mantener al objeto en reposo cuando se jala 0,200m desde su posici´on de equilibrio (el origen del eje x). Ahora el objeto se libera desde el reposo con una posici´on inicial x i = 0,200m y se somete a sucesivas oscilaciones arm´onicas simples. Encuentre:
a. ¿Cu´ al es la frecuencia del movimiento? La frecuencia angular? b. ¿Cu´ al es la amplitud del movimiento? c. ¿En qu´ e momento la part´ıcula alcanza el punto x=0? ¿En qu´e momento va a llegar al punto x = 0,10m?
−
a. la constante de fuerza del resorte. b. la frecuencia de las oscilaciones c. la rapidez m´ axima del objeto. ¿D´onde se presenta la rapidez m´axima? d. Encuentre la aceleraci´on m´a xima del objeto. ¿D´ onde se presenta? e . Encuentre la energ´ıa total del sistema oscilante. f. la rapidez g. la aceleraci´ on del objeto cuando su posici´o n es igual a un tercio del valor m´aximo.
d. ¿Cu´ al es la velocidad de la part´ıcula cuando est´a en x= 0? ¿Cu´al es la velocidad de la part´ıcula cuando se alcanza el punto x = 0,10m?
−
15. Una masa m est´a conectada a dos resortes, con constantes k1 y k2, de dos maneras diferentes, como se muestra en las figuras a y b. Demuestre que el periodo para la configuraci´on mostrada en a) est´a dado por:
on. Una cuerda de guitarra vibra con una frecuen11. Tir´ cia de 440Hz. Un punto en su centro se mueve en MAS con amplitud de 3,0mm y ´angulo de fase cero.
T = 2π
a. Escriba una ecuaci´on para la posici´on del centro de la cuerda en funci´on del tiempo. b. ¿Qu´e magnitud m´axima tienen la velocidad y la aceleraci´ on del centro de la cuerda? c. La derivada de la aceleraci´o n con respecto al tiempo es una cantidad llamada tir´on. Escriba una ecuaci´on para el tir´on del centro de la cuerda en funci´on del tiempo, y calcule el valor m´aximo de la magnitud del tir´on.
m(k1 + k2) k1k2
y para la configuraci´on mostrada en b) est´a dada por
T = 2π
m k1 + k2
Ignore la fricci´on.
12. En un laboratorio de f´ısica, se conecta un deslizador de riel de aire de 0,200kg al extremo de un resorte ideal de masa despreciable y se pone a oscilar. El tiempo transcurrido entre la primera vez que el deslizador pasa por la posici´on de equilibrio y la segunda vez que pasa por este punto es de 2,60s. Determine la constante de fuerza del resorte. 13. La posici´on de un cuerpo puede ser descrita por x = A cos(ωt + δ ). Se conocen La frecuencia angular ω La posici´on inicial x 0 y la velocidad inicial v 0 . Encuentra la amplitud A y la constante de fase δ en t´erminos de x0 y v 0 . 14. Una part´ıcula se mueve hacia atr´as y hacia adelante a lo largo del eje x entre los puntos x = 0, 20m y x = 0,20m. El per´ıodo del movimiento es de 1, 2s, y es arm´onico simple. En el momento t = 0, la part´ıcula es en x = 0, 20m y su velocidad es cero.
16. Determine la frecuencia de oscilaci´ on de un bloque de 200g que est´a conectado mediante un resorte a una pared y desliz´andose sobre una superficie sin fricci´on para estas tres condiciones mostradas en la figura.
−
2
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20. na masa de 2,0kg sujeta a un resorte se desplaza 8 ,0cm a partir de la posici´on de equilibrio. Se libera y entonces oscila con una frecuencia de 4,0Hz. a) ¿Cu´al es la energ´ıa del movimiento cuando la masa pasa a trav´es de la posici´ on de equilibrio?. b) ¿Cu´al es la rapidez de la masa cuando est´a a 2.0 cm de la posici´on de equilibrio? 21. La figura muestra una masa, m 1 = 8,00kg, que se encuentra en reposo en una superficie horizontal sin fricci´ on y conectada a una pared mediante un resorte con k = 70,0N/m. Una segunda masa, m2 = 5,00kg, se mueve a la derecha a v0 = 17,0m/s. Las dos masas colisionan y se quedan pegadas.
17. Un bloque de 100g cuelga de un resorte con k = 5,00N/m. En t = 0s, el bloque est´a a 20,0cm bajo la posici´on de equilibrio y movi´endose hacia arriba con una velocidad de 200cm/s. ¿Cu´ a l es la rapidez del bloque cuando el desplazamiento del equilibrio es de 30,0cm?
a. ¿Cu´ al es la compresi´on m´axima del resorte? b. ¿Cu´ anto tiempo transcurrir´a despu´es de la colisi´ on para que el resorte alcance su compresi´on m´ axima? 22. Una masa M = 0.460 kg se mueve con una rapidez inicial v = 3,20m/s sobre una pista de aire sin fricci´ on. La masa est´a a una distancia inicial D = 0,250m de un resorte con k = 840N/m, el cual est´a montado de manera r´ıgida en un extremo de la pista de aire. La masa comprime el resorte una distancia m´axima d, antes de cambiar de direcci´on. Despu´es de rebotar en el resorte, la masa viaja a la misma rapidez v, pero en sentido opuesto. a) Determine la distancia m´axima que se comprime el resorte. b) Encuentre el tiempo transcurrido total hasta que la masa regresa a su posici´on inicial. (Pista: La masa experimenta un ciclo parcial de movimiento arm´onico simple mientras est´a en contacto con el resorte.)
18. Un cubo de densidad ρc flota en un l´ıquido de densidad ρl como se muestra en la figura. En el reposo, una cantidad h de la altura del cubo se sumerge en el l´ıquido. Si se empuja el cubo hacia abajo, se balancea de arriba abajo como un resorte y oscila en torno de la posici´ on de equilibrio. Muestre que la frecuencia de la oscilaci´ on est´a dada por f = (2π) 1 g/h. −
19. La masa m que se muestra en la figura es desplazada a una distancia x a la derecha de su posici´on de equilibrio. a. ¿Cu´ al es la fuerza neta que act´ua sobre la masa y cu´al es la constante de resorte efectiva? b. Si k1 = 100.N/m y k2 = 200.N/m, ¿cu´al ser´a la frecuencia de la oscilaci´on cuando se libera la masa?
23. Una masa m se sujeta a un resorte con una constante de resorte k y se pone en movimiento arm´onico simple. Cuando la masa tiene la mitad de su energ´ıa cin´etica m´ axima, ¿qu´e tan lejos de su posici´on de equilibrio se encuentra, expresada como una fracci´on de su desplazamiento m´aximo?
c. Si x = 0,100m, ¿cu´al es la energ´ıa total del sistema masa-resorte despu´es de que se libera la masa y cu´al es la velocidad m´axima de la masa?
24. Se observa que una masa m = 1,00kg en un sistema resorte-masa con k = 1N/m se est´a moviendo a la derecha, m´as all´ a de su posici´on de equilibrio con una rapidez de 1m/s al tiempo t = 0. a) Ignorando todo amortiguamiento, determine la 3
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ecuaci´ on de movimiento. b) Suponga que las condiciones iniciales son tales que en tiempo t = 0, la masa se encuentra en x = 0,500m y movi´ endose a la derecha con una rapidez de 1 m/s. Determine la nueva ecuaci´on de movimiento. Suponga la misma constante de resorte y la misma masa.
25. Dos resortes, cada uno con una constante de resorte k = 125N/m, se cuelgan de manera vertical y se su jetan masas de 1.00 kg a sus extremos. Un resorte se tira hacia abajo 5,00cm y se libera en t = 0; el otro se jala hacia abajo 4,00cm y se libera a t = 0,300s. Encuentre las diferencias de fases, en grados, entre las oscilaciones de las dos masas y las ecuaciones para los desplazamientos verticales de las masas, tomando hacia arriba la direcci´on positiva.
29. En la figura se muestra la gr´afica de desplazamiento versus tiempo de una peque˜na masa m en el extremo de un resorte. a) Si m = 9,5g, encuentre la constante de resorte k. b) Escriba la ecuaci´on para el desplazamiento x en funci´on del tiempo.
26. Una vara uniforme de 1,0m de longitud y masa M est´a articulada en un extremo y se sostiene horizontalmente con un resorte de constante k en el otro extremo como se muestra en la figura. Si la vara oscila poco hacia arriba y hacia abajo, ¿cu´al es su frecuencia? [Sugerencia: Escriba una ecuaci´on de torque con respecto a la bisagra].
30. Un bloque de masa m est´a soportado por dos resortes verticales paralelos id´enticos con constantes k y k. ¿Cu´ al ser´a la frecuencia de vibraci´on vertical?. Ahora considere que los resortes son de diferente constante el´ astica ¿Cu´al ser´a la frecuencia de vibraci´on vertical?
27. Una masa m en el extremo de un resorte vibra con una frecuencia de 0,83Hz. Cuando se agrega a m una masa adicional de 0,83kg, la frecuencia es de 0,60Hz. ¿Cu´ al es el valor de m?
31. Una persona de 62kg salta desde una ventana a una red de bomberos que est´a 20,0m abajo y la estira 1,1m. Suponga que la red se comporta como un resorte simple. a) Calcule cu´anto se estirar´ıa si la misma persona estuviera acostada sobre ella. b) ¿Cu´anto se estirar´ıa si la persona saltara desde 38 metros?
28. La figura muestra dos ejemplos de MAS, designados como A y B. Para cada uno, ¿cu´al es a) la amplitud, b) la frecuencia y c) el periodo? d) Escriba las ecuaciones para A y B en la forma de seno o coseno.
32. Dentro de una mol´ecula de ADN en un sitio espec´ıfico, puede hacerse que un ´atomo de ox´ıgeno realice un movimiento arm´onico simple, cuando se ilumina con luz 4
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infrarroja. Mediante un enlace qu´ımico parecido a un resorte, el ´atomo de ox´ıgeno se enlaza con un ´atomo de f´osforo, el cual se une r´ıgidamente a la columna de ADN. La oscilaci´ o n del ´atomo de ox´ıgeno ocurre con frecuencia f = 3,7 10 13 Hz. Si el a´tomo de ox´ıgeno en este sitio se reemplaza qu´ımicamente con un ´atomo de azufre, la constante de resorte del enlace no cambia (el azufre est´a justo deba jo del ox´ıgeno en la tabla peri´odica). Prediga la frecuencia para una mol´ecula de ADN despu´es de la sustituci´on del azufre.
×
33. Un p´ endulo de laboratorio tiene un periodo de exactamente 2,000 segundos; cada oscilaci´on en un sentido tarda 1,000 s. ¿Cu´al es la longitud de este p´ en2 dulo en Austin, Texas, donde g = 9,793m/s ? Si el p´endulo se mueve a Par´ıs, donde g = 9,809m/s2 , ¿en cu´ antos mil´ımetros debemos alargar el p´endulo? ¿Cu´al es la longitud de este p´endulo sobre la Luna, donde g = 1,62m/s2 ?
37. Una m´aquina de “pinball”utilizada como lanzador un resorte que se comprime 6,0cm para lanzar una bola por una rampa a 15 . Suponga que la bola tiene masa m = 25g y radio r = 1,0cm y rueda sin deslizarse cuando sale del mecanismo lanzador. Si tiene una rapidez de 3,0m/s, ¿cu´al ser´a la constante del resorte que se utiliza como lanzador? ◦
34. Un bloque rectangular de madera flota en un lago en calma. Demuestre que, si se ignora la fricci´on, cuando el bloque se empuja suavemente hacia abajo en el agua y luego se suelta, vibrar´a con MAS. Adem´as, determine una ecuaci´on para la constante de fuerza.
P´ endulo Simple
38. Un p´endulo simple tiene una masa de 0,250kg y una longitud de 1,00m. Se desplaza a trav´es de un ´angulo de 15,0 y luego se libera. ¿Cu´ales son: ◦
35. Un autom´ovil de 950kg golpea un gran resorte a una rapidez de 25m/s y lo comprime 5,0m. a) ¿Cu´al es la constante del resorte? b) ¿Cu´anto tiempo est´a en contacto el autom´ovil con el resorte antes de rebotar en la direcci´on opuesta?
a. la rapidez m´ axima b. la aceleraci´ on angular m´axima c. la fuerza restauradora m´axima? d. ¿Qu´e pasar´ıa si? Resuelva este problema mediante el modelo de movimiento arm´onico simple para el movimiento del p´endulo y luego resuelva el problema con principios m´as generales. Compare las respuestas. 39. La posici´ on angular de un p´endulo se representa mediante la ecuaci´on θ = (0, 0320rad)cos ωt, donde θ est´a en radianes y ω = 4,43 rad s . Determine el periodo y la longitud del p´endulo.
36. Imagine que se perfora un agujero circular de 10cm de di´ametro a trav´ es de toda la Tierra, pasando por su centro. En un extremo del agujero se deja caer una manzana. Demuestre que si se supone que la Tierra tiene densidad constante, el movimiento subsecuente de la manzana es arm´onico simple. ¿Cu´ anto tiempo le tomar´ a a la manzana regresar? Suponga que podemos ignorar todos los efectos de fricci´on.
40. Un p´endulo cuelga de una pared inclinada. Supongamos que este p´endulo se libera en un ´angulo inicial de 10 y que rebota en la pared el´asticamente cuando alcanza un ´angulo de 5 . ¿Cu´ al es el per´ıodo de este p´endulo? ◦
◦
5
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1,50N/m y masa despreciable, rebota verticalmente en MAS. Si detenemos el rebote y dejamos que la manzana oscile de lado a lado con un ´angulo peque˜ no, la frecuencia de este p´ endulo simple es la mitad de la del rebote. (Puesto que el ´angulo es peque˜no, las oscilaciones de lado a lado no alteran apreciablemente la longitud del resorte). ¿Qu´e longitud tiene el resorte no estirado (sin la manzana)? 48. Despu´ es de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un p´endulo con longitud de 50,0cm y determina que efect´ua 100 oscilaciones completas en 136sg. ¿Cu´ anto vale g en dicho planeta?.
41. Un p´endulo en Marte. En la Tierra cierto p´endulo simple tiene un periodo de 1,60s. ¿Qu´e periodo tendr´a en m Marte, donde g = 3, 71 2 ? s
49. Demuestre que la expresi´on para el periodo de un p´endulo f´ısico se reduce a la del p´endulo simple, si el p´endulo f´ısico consiste en una part´ıcula de masa m en el extremo de un cord´on sin masa de longitud L.
42. ¿Cu´ al es el periodo de un p´endulo simple que tiene una longitud de 1,00m en cada situaci´on? a) En el laboratorio de f´ısica. b) En un ascensor acelerando a 2,10m/s2 hacia arriba. c) En un ascensor acelerando a 2,10m/s2 hacia abajo. d) En un elevador que se encuentra en ca´ıda libre.
50. Suponga que un p´endulo simple consiste en una esfera peque˜na de 60g atado a una cuerda de masa despreciable. Si el a´ngulo entre la cuerda y la vertical esta dada por Θ(t) = (0, 08rad) cos(4, 43rad/st + φ) . Cu´al es la longitud del p´endulo y su energ´ıa cin´etica m´axima?
43. Suponga que se usa un p´ endulo simple para medir la aceleraci´ on debida a la gravedad en varios puntos sobre la Tierra. Si g var´ıa por 0,16 %¸ a trav´es de las diversas ubicaciones donde se muestrea, ¿cu´ a l es la variaci´on correspondiente en el periodo del p´ endulo? Suponga que la longitud del p´endulo no cambia de un sitio a otro.
P´ endulo Compuesto
51. Una bola peque˜ na de masa M est´a unida al extremo de una barra uniforme de igual masa M y longitud L que est´a articulada en la parte superior.
44. Un p´endulo de Foucault est´a dise˜ nado para demostrar el efecto de la rotaci´on de la Tierra. Un p´ endulo de Foucault exhibido en un museo es t´ıpicamente muy largo, con objeto de hacer que el efecto sea m´as f´acil de ver. Considere un p´ endulo de Foucault con una longitud de 15m y con un peso de lat´on de 110kg. Se le pone a balancear con una amplitud de 3 ,5 . a) ¿Cu´al es el periodo del p´endulo? b) ¿Cu´al es la energ´ıa cin´etica m´axima del p´endulo? c) ¿Cu´al es la rapidez m´axima del p´endulo? ◦
45. Un p´ endulo simple vibra con una amplitud de 10,0 . ¿Qu´e fracci´on del tiempo pasa entre +5,0 y 5,0 ? Suponga MAS. ◦
◦
−
◦
Calcule el periodo de oscilaci´ on para peque˜nos desplazamientos desde el equilibrio y determine este periodo para L = 2,00m.
46. Se tira de un p´ endulo simple de 0, 240m de longitud para moverlo 3, 5 a un lado y luego se suelta. a) ¿Cu´anto tarda la lenteja del p´endulo en alcanzar su ´ ¿Cu´anto tarda si el ´angulo es de rapidez m´axima?b) 1,75 ? ◦
52. Un disco de radio r y masa m se pega a la cara de un segundo disco m´as grande de radio R y masa M , como se muestra en la figura. El centro del disco peque˜no se ubica en el borde del disco grande. El disco grande se monta en su centro en un eje sin fricci´on. El ensamble
◦
47. Una manzana pesa 1,00N . Si la colgamos de un extremo de un resorte largo con constante de fuerza de 6
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da vueltas a trav´ es de un peque˜no ´angulo θ desde su posici´on de equilibrio y se libera. T = 2π
I CM +md mgd
2
donde d es la distancia entre el punto de giro y el centro de masa. b. Demuestre que el periodo tiene un valor m´ınimo cuando d satisface md 2 = I CM . 55. Un p´ endulo consiste en una varilla de lat´ o n con un cilindro de lat´on unido al extremo. El di´ametro de la varilla es 1, 00cm y su longitud es 90, 00cm; el di´ ametro del cilindro es de 6, 00cm y su longitud es de 20, 00cm. ¿Cu´ al es el per´ıodo de este p´endulo?.
a. Demuestre que mientras pasa a trav´es de la posici´ on de equilibrio la rapidez del centro del disco peque˜no es
v = 2
Rg(1 cos θ) M r ( ) + ( )2 + 2 m R
−
1/2
b. Demuestre que el periodo del movimiento es (M + 2m)R2 + m2 T = 2π 2mgR
1/2
53. Un p´endulo f´ısico en forma de ob jeto plano se mueve en movimiento arm´onico simple con una frecuencia de 0,450Hz. El p´endulo tiene una masa de 2,20kg y el eje se ubica a 0,350m del centro de masa. Determine el momento de inercia del p´ endulo en torno al punto de giro.
56. Una esfera de 1,50kg y otra de 2,00kg se pegan entre s´ı colocando la m´as ligera debajo de la m´as pesada. La esfera superior se conecta a un resorte ideal vertical, cuya constante de fuerza es de 165 N m , y el sistema vibra verticalmente con una amplitud de 15,0cm. El pegamento que une las esferas es d´ebil y antiguo, y de repente falla cuando las esferas est´an en la posici´on m´ as baja de su movimiento.
54. Considere el p´endulo f´ısico de la figura.
a. ¿Por qu´e es m´as probable que el pegamento falle en el punto m´as bajo, que en alg´un otro punto del movimiento?. b. Calcule la amplitud y la frecuencia de las vibraciones despu´es de que la esfera inferior se despega. 57. Un p´endulo f´ısico consiste en una varilla sin masa de longitud 2L gira alrededor de un eje que pasa por su centro. Una masa m1 est´a unido en el extremo inferior de la varilla, y una masa m2 m´as peque˜ n o en el extremo superior ¿Cu´al es el per´ıodo de este p´endulo?
a. Represente su momento de inercia en torno a un eje que pasa a trav´ es de su centro de masa y paralelo al eje que pasa a trav´ es de su punto de giro como I CM . Demuestre que su periodo es: 7
UNIVERSIDAD DE PAMPLONA FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA TALLER PRIMER CORTE - OSCILACIONES Y ONDAS 2017-II PROFESORES: JESÚS DAVID RAMÍREZ NIÑO - JAIRO YESID ARCINIEGAS FLÓREZ.
60. Un cilindro s´ olido est´a unido a un resorte horizontal sin masa de modo que puede rodar sin resbalar a lo largo de una superficie horizontal, como se ve en la figura. N La constante de fuerza k del resorte es de 2, 94 cm . Si el sistema parte del reposo desde una posici´on en que el resorte est´a estirado 23, 9cm, halle: a. La energ´ıa cin´etica de traslaci´on y, b. La energ´ıa cin´etica de rotaci´on del cilindro al pasar por la posici´on de equilibrio. 61. Una llave inglesa de 1,80kg tiene su pivote a 0,250m de su centro de masa y puede oscilar como p´endulo f´ısico. El periodo para oscilaciones de a´ngulo peque˜ no es de 0,940 s.
58. Un p´endulo est´a formado por una varilla de 200g de masa y 40cm de longitud y dos esferas macizas: la superior de 500g y 5cm de radio y la inferior de 400 g y 4cm de radio, equidistantes 8cm de los extremos de la barra. El p´endulo se encuentra suspendido de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de la esfera superior.
a. ¿Qu´e momento de inercia tiene la llave con respecto a un eje que pasa por el pivote? b. Si la llave inicialmente se desplaza 0,400rad de la posici´on de equilibrio, ¿qu´e rapidez angular tiene al pasar por dicha posici´on?
a. H´ allese el periodo.
62. Dos p´endulos tienen las mismas dimensiones (longitud L) y masa total (m). El p´endulo A es una esfera muy peque˜na que oscila en el extremo de una varilla uniforme sin masa. En el p´endulo B, la mitad de la masa est´ a en la esfera y la otra mitad en la varilla uniforme. Calcule el periodo de cada p´endulo para oscilaciones peque˜nas. ¿Cu´ al tarda m´as tiempo en una oscilaci´on?
b. Si ahora se separa el p´endulo 10 de la posici´ on de equilibrio y se suelta, empez´andose en ese momento a contar el tiempo. Escr´ıbase la ecuaci´on del M.A.S. ◦
59. Un p´endulo consta de un disco uniforme de 10, 3cm de radio y 488g de masa unido a una barra de 52, 4cm de longitud que tiene una masa de 272g, seg´ un figura.
63. La pierna humana se puede comparar con un p´endulo f´ısico, con un periodo de oscilaci´on “natural”, para el cual caminar es m´a s f´acil. Considere la pierna como dos varillas unidas r´ıgidamente entre s´ı en la rodilla; el eje para la pierna es la articulaci´on en la cadera. La longitud de cada varilla es aproximadamente la misma: 55cm. La varilla superior tiene una masa de 7,0kg y la varilla inferior tiene una masa de 4,0kg. a) Calcule el periodo de oscilaci´ on natural del sistema. b) Verifique su respuesta par´andose sobre una silla y midiendo el tiempo para una o m´as oscilaciones completas de ida y vuelta. El efecto de una pierna m´as corta es, por supuesto, un periodo de oscilaci´on m´as corto, lo cual permite un paso “natural”m´as r´apido. 64. Un disco de madera contrachapada con radio de 20,0cm y masa de 2,20kg tiene un peque˜ no agujero taladrado a trav´es de ´el, a 2,00cm de su borde. El disco cuelga de la pared por medio de un pasador met´alico que pasa a trav´es del agujero y se usa como un p´endulo. ¿Cu´ al es el periodo de este p´endulo para oscilaciones peque˜nas?
a. Calcule la inercia rotatoria del p´endulo respecto al pivote. b. ¿Cu´ al es la distancia entre el pivote y el centro de masa del p´endulo? c. Calcule el per´ıodo de oscilaci´on para ´angulos peque˜ nos. 8
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67. En la figura se muestran cuatro p´endulos distintos
Encuentre el periodo de cada p´endulo cuando se le jala 20 a la derecha y luego se libera.
65. Una estudiante quiere usar una vara de un metro como p´endulo. Planea taladrar un peque˜ no agujero a trav´es de la vara y suspenderla desde un pasador liso unido a la pared. ¿En qu´e punto de la vara deber´ıa taladrar el agujero para obtener el periodo m´as corto posible? ¿Qu´e tan corto puede ser el periodo de oscilaci´on con una vara de un metro oscilando de esta manera?
◦
68. Un objeto cuadrado de masa m se construye con cuatro varas uniformes identificas, cada una con longitud L, unidas entre s´ı. Este objeto se cuelga de su esquina superior en un gancho. Si se gira ligeramente a la izquierda y luego se suelta, ¿con qu´ e frecuencia oscilar´a de un lado a otro? 67. En la figura se muestran cuatro p´endulos distintos
69. Dos varillas delgadas identificas, cada una con masa m y longitud L, se unen en ´angulo recto para formar un objeto en forma de L, el cual se balancea sobre la c´ uspide de un triangulo agudo. Si el objeto en forma de L se desv´ıa un poco, oscila. Calcule la frecuencia de oscilaci´ on.
66. Un disco de aluminio de 12,5cm de di´ametro y 375g de masa est´a montado sobre un eje vertical con muy baja fricci´on. Un extremo de un resorte plano en espiral est´a unido al disco; y el otro extremo, a la base del aparato. El disco se pone en oscilaci´on rotatoria con frecuencia de 0,331Hz. ¿Cu´ al es la constante de torsi´ on del resorte K (τ = Kθ)?
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longitud. Determinar la amplitud y periodo de oscilaci´ on de este p´endulo. Averiguar c´omo afecta la viscosidad del aire a estos dos par´ametros. (Considerar que la fuerza debido a la viscosidad η que act´ ua sobre una esfera de radio ?? y velocidad ?? es igual a F = 6πηRν Kg y para el aire a 20 Cη = 1, 78 10 5 ). ¿C´ ual es el ms tiempo necesario para que la amplitud se reduzca un 10 %¸ de la inicial?
P´ endulo de Torsi´ on
70. Un disco met´alico delgado con masa de 2,00 10 3 kg y radio de 2,20cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con un periodo de 1,00s. Calcule la constante de torsi´on de la fibra.
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×
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74. Una vara de un metro cuelga de su centro de un alambre delgado figura a). Se gira y oscila con un periodo de 5,0s. La vara se recorta a una longitud de 70 ,0cm. Esta pieza de nuevo se equilibra en su centro y se pone a oscilar figura b). ¿Con qu´ e periodo oscilar´ a ahora?
71. El p´endulo de torsi´ on, consiste en un hilo o alambre de secci´on recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o f´acil de calcular (disco o cilindro, etc). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinaci´on de movimientos lineales y de rotaci´on. a. Hallar la ecuaci´ on del movimiento. b. Encontrar su periodo. c. Escribir las ecuaciones del movimiento. 72. Un p´endulo de torsi´on consiste en una varilla de masa 100g y 30cm de longitud, la varilla pasa por el centro de dos esferas iguales de 150g y 5cm de radio, situadas sim´etricamente de modo que el centro de las esferas dista 10cm del eje de giro.
Oscilaciones Amortiguadas y Forzadas
75. Un objeto de 10,6kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2,05 104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento N s b = 3,00 . m
a. Sabiendo que el periodo de la oscilaci´ on vale 2,4s, calcular la constante K de torsi´on del muelle.
×
b. Si en el instante inicial t = 0 el p´ endulo se desplaπ za Θ = 6 de la posici´on de equilibrio y se suelta (velocidad inicial nula).
·
c. Escribir la ecuaci´ on del M.A.S.
a. Calcule la frecuencia de la oscilaci´ on amortiguada.
d. Calcular la velocidad angular de rotaci´ on cuando pasa por la posici´on de equilibrio.
b. ¿En qu´e porcentaje disminuye la amplitud de la oscilaci´ on en cada ciclo?. c. Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energ´ıa del sistema cae a 5,00%¸ de su valor inicial.
73. Sea un p´ endulo consistente en una esfera de Al de 0, 005m de radio suspendida de una cuerda de 1m de 10
76. Considere el oscilador amortiguado que se muestra en la figura:
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b. Si queremos mantener este p´endulo que oscila con una amplitud constante de 8 , debemos suministrar energ´ıa mec´anica a ´el a una velocidad suficiente para compensar la p´ erdida por fricci´on. ¿Cu´ al es la potencia mec´anica necesaria? ◦
80. Un objeto de 2kg oscila sobre un muelle de constante k = 400 N m con una constante de amortiguamiento Kg b = 2 s . Est´a impulsado por una fuerza sinusoidal de valor m´aximo 10N y frecuencia angular ω = 10 Rad s . Calcular la amplitud de las oscilaciones y la frecuencia y amplitud de resonancia. 81. Un p´endulo simple tiene un periodo de 2?? y un amplitud de 2 , despu´ es de 10 oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a 1, 5 encontrar la constante de amortiguamiento γ . En el caso del oscilador amortiguado, la cantidad τ = 12γ se denomina tiempo de relajaci´on. ◦
◦
La masa del objeto es 375 g, la constante de resorte es N s 100 N m y b = 0,100 m . ·
a. Verificar que tiene unidades de tiempo.
a. ¿Durante qu´e intervalo de tiemp o la amplitud cae a la mitad de su valor inicial?.
b. ¿En cu´anto ha variado la amplitud del oscilador despu´es de un tiempo τ ?
b. ¿Qu´e pasar´ıa si? ¿Durante qu´e intervalo de tiempo la energ´ıa mec´anica cae a la mitad de su valor inicial?.
c. Expresar como una funci´ on de τ , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.
c. Demuestre que, en general, la relaci´on fraccionaria a la cual la amplitud disminuye en un oscilador arm´onico amortiguado es la mitad de la relaci´on fraccionaria a la que disminuye la energ´ıa mec´anica.
d. ¿Cu´ ales son los valores de la amplitud despu´es de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)?
77. Un p´ endulo de longitud 1, 50m se establece balance´ andose con una amplitud inicial de 10 . Despu´es de 12min, la fricci´o n se ha reducido la amplitud a 4 . ¿Cu´ al es el valor de Q para este p´endulo? ◦
◦
◦
78. Cuando un columpio en movimiento no se ”bombea”la amplitud angular de oscilaci´on disminuye debido al aire y otra fricci´on. Para el movimiento de un columpio de 3m de longitud en el cual la amplitud de oscilaci´on decrece de 12 a 10 despu´ es de 5 ciclos completos. ¿Cu´ al es el Q del sistema? Si el jinete y el asiento son tratados como una masa puntual con m = 25kg, cual es la energ´ıa mec´anica promedio que se disipa? ◦
82. Un ni˜ no se columpia con un per´ıodo de 3s. El ni˜ no y el columpio poseen una masa de 30kg. El padre del ni˜ no impulsa pacientemente el columpio una vez cada ciclo de modo que mantiene una amplitud angular estacionaria de 30 . Si el valor de Q es igual a 20, calcule la potencia transmitida por el padre.
◦
79. El p´endulo de un reloj de pared tiene una longitud de 0,994m y una masa de 1, 2kg. a. Si el p´endulo se pone en movimiento, la fricci´on del aire reduce su amplitud de oscilaci´on por un factor de 2 en 13, 0min. ¿Cu´ al es el valor de Q para este p´endulo? 11
83. Demostar la ecuaci´on: F 02 P m = νF (t) m = m (ω 2
γω 2 2 2 0
− ω )
+ 4γ 2 ω 2
( Nota: conocida la tangente de un ´angulo es f´acil conocer su seno ´o coseno ) 84. Demostrar que el cociente entre la anchura ∆ω a la mitad del m´aximo de la potencia media entregada en la resonancia, para una resonancia aguda, y la frecuencia ω0 del mismo es igual al valor inverso del factor Q. 85. Un objeto de masa 1, 5kg situado sobre un muelle de constante de fuerza 600 N m pierde el 3 %¸ de su energ´ıa en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una
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fuerza sinusoidal con un valor m´aximo de F 0 = 0, 5N . ¿Cu´ a l es el valor de Q para este sistema y el valor de la frecuencia angular de resonancia y amplitud de resonancia? ¿Cu´al es la amplitud de oscilaci´o n si la frecuencia impulsora es 19 rad s ? 86. Un oscilador arm´onico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es ω0 = 15 rad ametro de s y cuyo par´ amortiguamiento es γ = 9s 1 , se encuentra inicialmente en reposo en la posici´on de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial v 0 = 60 cm s . Para este sistema se pide:
89. Un cuerpo de masa m = 2kg descansa sobre un tablero horizontal y est´a unido al extremo libre de un N muelle de constante el´astica k = 200 . En un insm tante dado, las oscilaciones presentan una amplitud A0 = 30cm; pero debido a un rozamiento de tipo viscoso (F r = bν ), dicha amplitud se reduce a la mitad cuando han transcurrido t1 = 25s. Con estos datos, determinar:
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a. Valor del par´ametro de amortiguamiento γ , del coeficiente de amortiguamiento b, del tiempo de relajaci´on de la energ´ıa τ y del factor de calidad Q.
a. Expresar la elongaci´on del oscilador en funci´on del tiempo. b. Calcular el m´aximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posici´on de equilibrio. c. Calcular el tiempo que deber´a transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0, 1 %¸ del valor m´aximo anteriormente calculado.
b. La frecuencia y el periodo de las oscilaciones amortiguadas y no amortiguadas. c. Tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energ´ıa del oscilador. ¿Cu´al ser´a entonces la amplitud de las oscilaciones? 90. Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una autoinducci´on L, asociadas en serie cumple las siguientes ecuaciones para la carga en el condensador y la corriente en el circuito:
87. Una masa de m = 0, 5Kg, unida a un muelle de constante el´astica k = 250N/m, oscila con una amplitud inicial A 0 = 6cm. Para este sistema se pide: a. Hallar el periodo y la energ´ıa del oscilador en el instante inicial. b. Determinar el valor del par´ametro de amortiguamiento del oscilador sabiendo que la energ´ıa se disipa a raz´on de un 1, 0 %¸ en cada ciclo.
a. Suponga en primer lugar que la resistencia es nula (R = 0). Pruebe que la carga del condensador oscila arm´onicamente. ¿Cu´al es la frecuencia de oscilaci´ on? ¿Qu´e energ´ıa se conserva, an´alogamente a la energ´ıa mec´anica de un oscilador arm´onico?
88. Un deslizador sobre una v´ıa de aire est´a conectado con resortes a ambos extremos de la v´ıa. Ambos resortes tienen la misma constante de resorte, k, y el deslizador tiene masa M . a) Determine la frecuencia de la oscilaci´ on, suponiendo que no hay amortiguamiento, si k = 125N/m y M = 215g. b) Se observa que despu´es de 55 oscilaciones, la amplitud de la oscilaci´ on ha disminuido a la mitad de su valor original. Estime el valor del inciso a. c) ¿Cu´anto tiempo pasar´a para que la amplitud disminuya a un cuarto de su valor inicial?
b. Si la resistencia no es nula, pruebe que el sistema se comporta como un oscilador amortiguado. ¿Cu´ al es la resistencia m´axima para que haya oscilaciones en el sistema? c. Suponga que adem´as de los elementos anteriores, el circuito dispone de una fuente de corriente alterna, que lleva mucho tiempo conectada, de manera que las ecuaciones del circuito son: L
dI Q dQ + RI + = V 0 cos (ωt) ; I = dt C dt
Halle la amplitud de las oscilaciones de la carga del condensador, como funci´on de los par´ametros del circuito y de la frecuencia y amplitud del voltaje aplicado.
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