MECÂNICA ONDULATÓRIA
RENATO G. CASTANHEIRA Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Instituto de Tecnologia Departamento de Arquitetura e Urbanismo - 2008-
SUMÁRIO CAPÍTULO 1- CONCEITOS BÁSICOS ........................... .............. .......................... .......................... .......................... .................. ..... 1 1.1 Trabalho (W) ......................................................................................................... 1 1.2 Energia potencial ................................................................................................... 3 1.2.1 Energia Potencial gravitacional (EpG).......................................................... 3 1.2.2 Energia potencial elástica (EpE) .................................................................. 4 1.3 Energia cinética ..................................................................................................... 8 1.4 Atrito ...................................................................................................................... 9 1.5 Resistência do ar ........................... .............. .......................... .......................... ......................... .......................... ........................... .................. ..... 12 1.6 Conservação da energia mecânica ........................... .............. .......................... .......................... .......................... ................ ... 15 1.6.1 Energia mecânica ........................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ..................... ....... 15 1.6.2 Forças conservativas ................................................................................ 15 1.6.3 Sistema conservativo ................................................................................ 15 1.6.4 Sistem Si stemas as não conservativos.......................... ............. ......................... .......................... ........................... .................. ..... 18 1.7 Impulso e quantidade de movimento ......................... ............ .......................... .......................... .......................... ................ ... 18 1.7.1 Impulso......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... .......................... ......................... ............ 18 1.7.2 Quantidade de movimento ........................................................................ 19 CAPÍTULO 2- OSCILAÇÕES .................................................................................... 21 2.1 Movimentos periódicos .......................... ............. .......................... ........................... .......................... .......................... ....................... ......... 21 2.2 Movimento oscilatório harmônico .......................... ............ .......................... .......................... ........................... .................... ....... 21 2.2.1 Princípios básicos ..................................................................................... 21 2.2.2 Período (T) e frequência (f) ........................... .............. ......................... .......................... ........................... .................. ..... 22 2.2.3 Sistema Mola/Massa (sem amortecimento) ...................... ........ .......................... ........................ ............ 23 2.2.3.1 Analogia entre os movimentos harmônico e circular uniforme............ uniforme......... ... 25 2.2.3.2 Período e frequência .......................................................................... 25 2.2.3.3 Constante () ...................................................................................... 27 2.2.3.4 Amplitude (A) ...................................................................................... 28 2.2.3.5 Frequência .......................................................................................... 28 2.2.3.6 Espaço, velocidade e aceleração .......................... ............. .......................... .......................... ................ ... 29 2.2.3.7 Energia ............................................................................................... 30 2.2.4 Sistema Mola/Massa (com amortecimento) ...................... ........ .......................... ........................ ............ 33
CAPÍTULO 3- ONDAS I............................................................................................. 36 3.1 Definição ............................................................................................................. 36 3.2 Classificação das ondas ........................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ..................... ....... 36 3.2.1 Quanto à natureza .......................... ............ .......................... .......................... .......................... .......................... ..................... ....... 36 3.2.1.1 Mecânicas........................................................................................... 36 3.2.1.2 Eletromagnéticas ................................................................................ 36 3.2.2 Quanto à direção da vibração ......................... ............ .......................... .......................... .......................... ................ ... 37 3.2.2.1 Ondas transversais ........................... ............. .......................... .......................... .......................... ........................ ............ 37 3.2.2.2 Ondas longitudinais ............................................................................ 38 3.2.3 Quanto à direção de propagação ........................... .............. ......................... .......................... ....................... ......... 38 3.2.3.1 Unidimensionais ................................................................................. 38 3.2.3.2 Bidimensionais ........................... .............. .......................... .......................... ......................... .......................... ................... ..... 39 3.2.3.3 Tridimensionais .......................... ............. .......................... .......................... ......................... .......................... ................... ..... 39 3.3 Frente de onda .................................................................................................... 40 3.4 Ondas progressivas............................................................................................. 41 3.4.1 Pulso ......................................................................................................... 41 3.4.2 Trem de ondas .......................................................................................... 42 3.5 Comprimento de onda e frequência .......................... ............. .......................... .......................... .......................... ................ ... 45 3.6 Onda harmônica .................................................................................................. 46 3.6.1 Equação da onda senoidal .......................... ............ .......................... .......................... ........................... .................... ....... 46 CAPÍTULO 4- ONDAS II............................................................................................ 51 4.1 Princípio de Huygens .......................................................................................... 51 4.2 Reflexão .............................................................................................................. 51 4.2.1 Reflexão especular (caso teórico) t eórico) .......................... ............. ......................... .......................... ....................... ......... 51 4.2.2 Reflexão difusa.......................................................................................... 52 4.2.3 Reflexão mista, predominantemente predominantemente especular. ..................... ....... ........................... .................. ..... 53 4.2.4 Reflexão mista, predominantemente predominantemente difusa. ....................... .......... ......................... ...................... .......... 53 4.3 Refração .............................................................................................................. 53 4.4 Difração ............................................................................................................... 55 4.5 Velocidade da onda ........................... .............. .......................... .......................... .......................... .......................... ........................... .............. 57 4.6 Potência transmitida em uma onda ........................... .............. .......................... .......................... .......................... ................ ... 58 4.6.1 Potência instantânea .......................... ............. .......................... .......................... .......................... .......................... ................ ... 58 4.6.2 Potência transmitida em um ciclo ........................... .............. ......................... .......................... ....................... ......... 59 4.6.3 Potência média no ciclo ............................................................................ 60
4.7 Superposição de ondas ....................................................................................... 61 4.7.1 Princípio da superposição ......................................................................... 61 4.7.2 Série de Fourier......................................................................................... 61 4.7.3 Interferência .............................................................................................. 62 4.7.3.1 Interferência construtiva...................................................................... 63 4.7.3.2 Interferência destrutiva ....................................................................... 64 4.8 Ondas complexas ................................................................................................ 65 4.9 Ondas estacionárias ............................................................................................ 67 4.10 Ressonância...................................................................................................... 71 4.10.1 Frequência natural .................................................................................. 71 4.10.2 Ressonância............................................................................................ 71 4.10.3 Exemplos de ressonância ....................................................................... 72
1
CAPÍTULO 1 CONCEITOS BÁSICOS 1.1 TRABALHO (W) Representa a forma mecânica da energia. A figura 1.1 mostra uma força F deslocando o seu ponto de aplicação de uma distância d , na direção x . A
componente da força F na direção do deslocamento (x ) é F x e a componente na direção perpendicular é F Y .
Figura 1.1 Trabalho realizado por uma força
Por definição: W F d (produto escalar), então:
W F .d . cos W F . cos .d F x .d W F x .d
Repare que a componente F Y , perpendicular à direção do deslocamento, não realiza trabalho ( 90º ) .
Unidade (SI) Considerando a força F atuando na direção do deslocamento, tem-se:
W F .d N .m J (Joule) J N .m
2 Na figura 1.2, a intensidade da força ( F ) é constante ao longo da distância ( x ) e do tempo ( t ):
Figura 1.2 Trabalho realizado por uma força constante
Observe que: W F .x Área do diagrama Na figura 1.3, a intensidade da força ( F ) varia com a distância ( x ) e o tempo ( t ):
Figura 1.3 Trabalho realizado por uma força variável
Para o elemento diferencial (dW ), a força pode ser considerada constante, então: dW F ( x ) .dx trabalho realizado quando a força ( F ( x ) ) desloca seu ponto de aplicação de uma distância muito pequena dx . O trabalho total realizado pela força ( F ( x ) ) para deslocar seu ponto de aplicação de uma distância igual a x , será: x
x
0
0
W dW F ( x ) .dx A (área do diagrama)
3 1.2 ENERGIA POTENCIAL É a energia contida em um corpo, quando existe, em virtude de sua posição ou estado, a possibilidade de realizar trabalho. Pode ser considerada uma forma de energia armazenada. 1.2.1 Energia Potencial gravitacional (Ep G)
Figura 1.4 Energia potencial gravitacional
Veja que ao elevar o corpo de uma altura h , o seu peso (força) realiza o trabalho :
W P h P .h . cos180º m .g .h (considerando m e g constantes) O trabalho negativo caracteriza consumo de energia. Observações:
para elevar um corpo, é necessário aplicar uma força para vencer o peso e realizar trabalho. Repare que esta quantidade de energia (potencial gravitacional) fica armazenada no corpo e se o corpo for solto e cair, ele a devolve, ocorrendo uma conservação da energia;
a energia potencial gravitacional é armazenada no corpo, em função da sua altura e, quanto mais afastado estiver um corpo da superfície de referência (mais alto), mais energia potencial gravitacional ele armazena. Na figura 1.4, o corpo azul não armazena energia potencial (altura nula), enquanto o corpo verde armazena a maior energia potencial (maior altura); E p G W m .g .h E p G m .g .h
4
as barragens, nas usinas hidroelétricas, têm como finalidade, armazenar energia, na forma de energia potencial gravitacional, através da elevação do nível d’água no reservatório.
Figura 1.5 Energia armazenada nos reservatórios
Exemplo – Um corpo de massa 4 kg encontra-se a uma altura de 16 m do solo. Admitindo o solo como nível de referência e supondo g 10 m/s2, calcular sua energia potencial gravitacional.
Ep G 4 10 16 640 J ( N kg
m m kg m N .m J ) e s 2 s 2
Se o corpo cair até o chão, o seu peso vai realizar um trabalho igual a 640J. 1.2.2 Energia potencial elástica (EpE) É a energia armazenada nos corpos deformados (dentro do regime de elasticidade). São exemplos, uma mola comprimida ou distendida e uma substância armazenada em um reservatório sob pressão. Força elástica nas molas – Lei de Hooke: Consideremos uma mola vertical presa em sua extremidade superior, conforme mostra a figura 1.6. Ao aplicarmos uma força de intensidade F em sua extremidade livre, essa mola sofrerá uma deformação x , que representa a variação ocorrida em seu comprimento ( x l l 0 )
Figura 1.6 Força elástica
5 Neste caso a deformação é considerada elástica, pois quando retirada a força, a mola retorna ao comprimento original ( l 0 ) Robert Hooke (1635-1703),
cientista inglês, verificou experimentalmente que, em regime de deformações elásticas, a intensidade da força aplicada à mola é diretamente proporcional à deformação produzida. A lei de Hooke pode ser representada por:
F k .x , Onde: k constante elástica da mola;
x a deformação da mola. A constante da mola ( k ) depende do material da mola e de seus parâmetros geométricos (diâmetro, comprimento,...). Pode ser determinada através do gráfico mostrado na figura 1.7.
Figura 1.7 Constante elástica de uma mola
Veja que: k
F N (unidade SI) x m
É importante ressaltar que, ao esticarmos uma mola, aparece sempre uma força tentando retornar a mola ao comprimento original. Esta força é denominada força restauradora. É representada por:
F k .x
6 Exemplo – O comprimento de uma mola aumenta de 12 cm para 17 cm quando penduramos em sua extremidade um corpo de massa igual a 1 kg. Determinar:
a constante da mola ( k );
o comprimento da mola ( l ) quando estiver pendurado um corpo de 2 kg de massa.
Considerar: g 10 m/s².
F m .g 1 10 10 N k l l 0 x x
10 200 N/m (0.17 0.12)
2 10 0.10 m 200
l 0.12 0.10 0.22 m (22 cm)
Energia potencial armazenada em uma mola:
A figura 1.8 mostra uma mola sendo alongada de um comprimento x.
Figura 1.8 Energia potencial elástica
Repare que a força F k .x desloca seu ponto de aplicação de uma distância igual a x, realizando o trabalho ( W ): x
x
0
0
1 2
W k .x .dx k . x .dx W .kx 2
A mola, enquanto alongada de x, armazena uma quantidade de energia potencial elástica igual ao trabalho realizado para deformá-la, então: 1 E PE .k .x 2 N m 2 N .m J (Joule) 2 m
Repare que a voltar ao comprimento original, a mola devolve a energia recebida.
7 Exemplo – Qual deve ser a distensão de uma mola com uma constante elástica de 100 N/m, para que seja armazenada uma quantidade de energia igual a 2 J ? E PE
k .x 2 2
x
2.E PE
k
2 2 0.20 m (20 cm) 100
Energia potencial de pressão (Ep p):
A figura 1.9 mostra um gás armazenado sob pressão em um reservatório.
Figura 1.9 Energia armazenada devido à pressão
Sejam: p – pressão; F – força; A – área; V- volume. Veja que: F N p Pa 2 m A p .V
N m 3 N .m J (energia) 2 m
Então: E P P p .V Exemplo – Qual a energia armazenada por um gás contido em um reservatório com volume igual a 3 m³, na pressão de 5 atm ? E p p 5 101.325 3 1520 kJ
8 1.3 ENERGIA CINÉTICA Todo corpo em movimento possui uma energia associada a esse movimento. Essa energia é denominada de energia cinética.
movimento de translação:
O movimento de translação se caracteriza pelo fato de que todos os pontos de um corpo em translação têm a mesma velocidade (conceito vetorial)
Figura 1.10 Movimento de translação
E C T
1 .m .v 2 2
m 2 m kg 2 kg 2 m N .m J (Joule) s s
movimento de rotação:
O movimento de rotação se caracteriza pelo fato de que todos os pontos de um corpo possuírem a mesma velocidade angular ( ). As velocidades tangenciais variam com o raio de rotação.
Figura 1.11 Movimento de rotação 1 2
E C R .I 0. 2 I 0 - momento polar de inércia ( kg m 2 ).
Veja que rd m m (definição de radiano C ( m ) ( rd ) R ( m ) ), então: rd 2 m 2 m (m rd )2 kg 2 kg 2 m N .m J (joule) kg m 2 kg 2 s s s s 2
9 Tabela 1-1 Valores de I 0 mais comuns
Corpo
Momento de inércia (I0)
Esfera
2 .m .R 2 5
Anel (aro)
m .R 2
Cilindro
1 .m .R 2 2
roto-translação:
O corpo é dotado de translação e rotação simultaneamente.
Figura 1.12 Movimento de roto-translação 1 2
1 2
E C RT .m .v 2 .I 0. 2
Exemplo - Determine a energia cinética de um disco cilíndrico de 50 kg e 1m de raio, girando de 20 rpm e se deslocando a 2 m/s. 1 2
translação: E C T 50 22 100 J
rotação: E C R 50 12 (
roto-translação: E C 100 54.8 154.8 J
1 1 2 2
20 2 2 ) 54.8 J 60
1.4 ATRITO Na figura 1.13, percebemos que, inclinando a rampa, o bloco não se move até que se atinja uma certa inclinação limite, representada pelo ângulo . Porém qualquer inclinação, por menor que seja, acima da inclinação limite, faz com que o bloco comece a escorregar rampa abaixo. Para inclinações, inferiores à inclinação limite, o bloco não escorrega, o que indica a existência de uma força tangente à superfície da rampa e oposta ao sentido do movimento. A esta força damos o nome de força de atrito estático ( F A ).
10
Figura 1.13 Coeficiente de atrito
Da figura 1.13: tg
F A F A tg .N N
Experimentalmente, verifica-se que, utilizando diferentes blocos de mesmo material, porém de formatos, áreas de contato e massas diferentes, o escorregamento ocorre sempre no mesmo ângulo de inclinação ( ). Tal inclinação limite só se altera com a mudança dos materiais da rampa, do bloco ou de ambos. A constante tg é denominada de coeficiente de atrito estático ( ), então: tg
F A .N
Onde: F A força de atrito de estático; coeficiente de atrito;
N reação normal da superfície da rampa ao peso do corpo. O coeficiente de atrito não representa somente a natureza dos materiais em contato, mas todo um sistema complexo de variáveis, que inclui a temperatura das superfícies e a pressão de contato. Experimentalmente, constata-se que, para velocidades não muito elevadas e temperaturas e pressões baixas, o coeficiente de atrito ( ) pode ser considerado constante e independente da área de contato. Para entendermos melhor a natureza do coeficiente de atrito e da força de atrito, devemos recorrer a um estudo microscópico das superfícies. Na prática, a superfície mais bem polida, possível de ser obtida através de processos industriais sofisticados, pareceria um Grand Canyon , se tivéssemos o tamanho de um átomo.
11 Quando colocamos duas superfícies polidas em contato, ocorre um engrenamento destas rugosidades, conforme mostra a figura 1.14.
Figura 1.14 Superfícies em contato
Este engrenamento é o responsável pela aderência e resistência ao escorregamento e, ao forçarmos o deslizamento, ocorrerá um fenômeno vibratório, a nível atômico, o que explica a geração de calor durante o processo de escorregamento. O atrito é um fenômeno interessante, que traz bilhões de dólares em prejuízo desgastando máquinas e motores, e que, desde a antiguidade, fascina o homem pelas surpresas que revela, pela complexidade e pela magnificência. É um fenômeno frequente e cotidiano, sem o qual não poderíamos sequer andar A figura 1.15 mostra um corpo se deslocando.
Figura 1.15 Trabalho realizado pela força de atrito
Repare na figura 1.15, que a força de atrito desloca o seu ponto de aplicação de uma distância d , realizando trabalho. Observe que o vetor deslocamento e o vetor força de atrito têm sentidos opostos.
W FA F A d F A .d . cos180 W FA F A .d W FA 0 (trabalho negativo) O trabalho negativo caracteriza consumo ou dissipação de energia. Veja que a energia proveniente do trabalho realizado pela força de atrito ( W FA ) não é armazenada na forma de energia potencial. Não pode mais ser recuperada, pois é dissipada (perdida) na forma de calor.
12 1.5 RESISTÊNCIA DO AR O ar, como qualquer fluido, resiste ao movimentos realizados dentro dele. É graças a isso que o pára-quedas funciona. Quando o paraquedista salta, ele é submetido a uma força de resistência exercida pelo ar. Ela se manifesta como um vento forte para cima que vai aumentando a medida que ele cai. A velocidade de queda também aumenta até atingir um valor limite. Sabe-se que um paraquedista em queda livre atinge uma velocidade máxima em torno 200 km/h. Porém, sem a força de resistência do ar, eles atingiriam velocidades muito maiores. Saltando de uma altura de aproximadamente 1000 metros chegariam ao chão com uma velocidade aproximada de 508 km/h. Quando o paraquedista abre o paraquedas, a força de resistência se torna muito maior devido ao formato e à área do paraquedas. Com isso, sua velocidade cai rapidamente atingindo valores inferiores a 10 km/h, seguros o suficiente, para uma aterrissagem tranquila. Se, neste caso, a força de resistência é útil, há outras situações em que procuramos evitá-la. É o caso do projeto de carrocerias de automóveis. Dependendo do formato que um veículo tiver, ele sofre uma força de resistência do ar maior ou menor. Os veículos mais modernos têm um formato mais aerodinâmico, diminuindo a resistência do ar. Isso melhora o desempenho do veículo, propiciando maior velocidade final e economia de combustível. As formas aerodinâmicas são caracterizadas por um número chamado coeficiente de arrasto aerodinâmico (Cx ). Quanto menor o coeficiente, melhor é a aerodinâmica da forma em estudo. A tabela 1.2 abaixo mostra o valor de Cx para várias formas diferentes. Tabela 1-2 Coeficiente de arrasto
13 Porém a força de resistência não depende apenas da forma do objeto. Vários outros fatores influem. Um deles é a área do objeto voltada para o movimento. Ela está relacionada ao tamanho do objeto. Um pára-quedas grande, por exemplo, sofrerá uma resistência maior do que um pequeno. Um guarda-chuva, se usado como um paraquedas teria um efeito desastroso, porque sua área é muito pequena e a força de resistência será insuficiente para diminuir a velocidade de queda de uma pessoa até um valor seguro. Para determinar a área, devemos verificar qual é o lado do objeto que está voltado para o movimento, e a partir daí, descobrir em que ponto essa área é maior. Veja a figura 1.16, onde é mostrada a área de um automóvel voltada para o movimento.
Figura 1.16 Área resistente
A velocidade relativa entre o fluido e o corpo também influi. Quanto maior for a velocidade do carro, maior é a força de resistência que ele sofre. Se um passageiro colocar o braço para fora, sente um pequeno vento na mão quando a velocidade é baixa. Mas quando ela é alta, o vento empurra fortemente sua mão para trás. Essa é a força de resistência do ar, que aumenta com a velocidade. Esta é a razão para o aumento no consumo de combustível de um automóvel, quando se trafega em alta velocidade. Outro fator que influi na intensidade da resistência do ar é a densidade do próprio ar. A densidade do ar depende da temperatura e da pressão ambiente. Em locais de menor altitude a pressão atmosférica é maior e o ar é mais denso e portanto oferece maior resistência ao movimento. O mesmo vale para locais onde a temperatura é menor, onde o ar também é mais denso, dificultando o movimento através dele. Para o caso do ar na superfície da Terra, essas variações não são tão grandes quanto os outros fatores envolvidos na resistência do ar.
14
A resistência do ar pode ser representada matematicamente pela equação: 1 2
F R k .v 2 , onde: k . .C x .A
densidade do ar;
C x coeficiente de arrasto; A área resistente; v velocidade. A figura 1.16 mostra um corpo em queda livre. Repare que a força de resistência do ar é uma força dissipativa, ou seja, realiza trabalho negativo, dissipando energia na forma de calor.
Figura 1.17 Corpo em queda livre
Da dinâmica: F m .a m .
dv ( F força resultante) dt
dv m .g k .v 2 k dv F m .g k .v m . g .v 2 (variação da velocidade) dt m m dt 2
Para velocidade constante
dv k 0 g .v 2 0 dt m
Um corpo em queda livre, depois de um certo tempo, cai com uma velocidade constante, chamada de velocidade limite ( V L ), que pode ser calculada pela equação: V L
m .g k
15 1.6 CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA 1.6.1 Energia mecânica A energia mecânica de um corpo ou de um sistema de corpos corresponde à soma das energias potencial (gravitacional e elástica) e cinética.
E M E PG E PE E C 1.6.2 Forças conservativas São conservativas todas as forças cujo trabalho realizado está associado com a idéia de energia armazenada (energia potencial), por exemplo, a força elástica e o peso. Também podem ser consideradas conservativas, as forças que não realizam trabalho, ou sejam, aquelas perpendiculares à direção do deslocamento. Na figura 1.18, a reação normal da superfície ao peso do corpo ( N ), perpendicular à direção do deslocamento não realiza trabalho. Outro exemplo de força conservativa é a força centrípeta (atrai os corpos girantes para o centro da trajetória).
Figura 1.18 Corpo descendo um plano inclinado
As forças relativas às perdas de energia, tais como, o atrito e a resistência do ar são chamadas de forças dissipativas, pois dissipam a energia proveniente do trabalho necessário para vencê-las na forma de calor. 1.6.3 Sistema conservativo A energia mecânica de um sistema se mantém constante quando sobre o qual só atuam forças conservativas. Neste caso, tem-se: E M INICIAL E M FINAL
16 Como exemplo, analisemos o caso teórico que ocorre com a energia mecânica de um corpo em queda livre, sem resistência do ar, após ser abandonado de uma altura ( h ), acima do solo, como indica a figura 1.19.
Figura 1.19 Corpo em queda livre sem resistência do ar (teórico)
Na posição inicial, o corpo possui apenas energia potencial gravitacional, devido à sua altura. Como ele está parado não tem energia cinética. E M INICIAL m .g .h No instante em que atinge o solo (referencial) o corpo não tem mais energia potencial gravitacional, pois a sua altura é nula, possuindo apenas energia cinética, devido à sua velocidade. A energia cinética é proveniente do trabalho realizado pelo peso do corpo, ao deslocar o seu ponto de aplicação durante a queda. 1 2
E M FINAL .m .v 2
Como o sistema é conservativo, pois não foi considerada a resistência do ar, que é uma força dissipativa: 1 E M INICIAL E M FINAL m .g .h .m .v 2 v 2.g .h (não depende da massa) 2
Repare que a energia mecânica permanece constante ao longo do processo.
17 Exemplo – Um bloco de peso igual a 10 N, preso a uma mola de constante elástica igual a 50 N/m e inicialmente indeformada, é solto (sem velocidade) e cai verticalmente pela ação da gravidade. Desprezando a resistência do ar, qual é a altura que o corpo vai descer.
Vamos supor que o corpo desça uma altura x. E M INICIAL m .g .x (energia potencial gravitacional) E M FINAL
k .x 2 2
(energia potencial elástica)
No final do movimento a velocidade é nula e a mola está esticada de x. Então: m .g .x
k .x 2 2
x
2.m .g
k
2.P
k
2 10 0.40 m (40 cm) 50
Exemplo – O carro da montanha russa parte do repouso em A e atinge os pontos B e C, sem perder o contato com os trilhos. Desprezando quaisquer atritos e adotando g 10 m/s², calcular o módulo da velocidade do carro em B e C.
E M A 10 5 m E M A 50.m J (potencial gravitacional) 1 2
E M B .m .v B 2 50.m v B 2 50 10 m/s (cinética) 1 2
E M C 10 3.2 m .m .v C 2 50.m v C 6 m/s (potencial gravitacional + cinética)
18 1.6.4 Sistemas não conservativos Nestes casos são consideradas as forças dissipativas (perdas).
E M INICIAL Perdas E M FINAL Exemplo - Um esquiador de massa 60 kg desliza de uma encosta, partindo do repouso, de uma altura de 50 m. Sabendo que sua velocidade ao chegar no fim da encosta é de 20 m/s, calcule a perda de energia mecânica devido ao atrito. Adotar g 10 m/s²
1 2
Perdas E M INICIAL E M FINAL 60 10 50 60 202 18000J (18 kJ) Calor 1.7 IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 1.7.1 Impulso Sempre que uma força atua sobre um corpo durante certo intervalo de tempo, dizemos que esse corpo recebeu um impulso, na mesma direção e sentido da força que o produziu.
Figura 1.20 Impulso
De uma forma simples, pode-se dizer que: I F .t , onde: I Impulso (unidade SI N.s); F força aplicada; t intervalo de tempo para aplicação da força.
19 1.7.2 Quantidade de movimento A quantidade de movimento linear, também chamada de momento linear, é uma grandeza vetorial que possui a direção e o sentido da velocidade com que a massa se move.
Figura 1.21 Quantidade de movimento
De uma forma simples, pode-se dizer que: q m .v , onde: q quantidade de movimento (unidade SI kg .
m massa; v velocidade. Veja que: F (t ) m .a m .
m m m ) ( kg kg 2 s N .s ) s s s
dv F (t ) .dt m .dv dt
Supondo que a velocidade varie de v 1 a v 2 , enquanto o tempo varia de t 1 a t 2 . t 2
v 2
t 2
1
1
v 2
t F t .dt v m .dv t F t .dt m .v dv ( )
( )
1
1
t 2
Considerando: I F (t ) .dt Impulso para uma força variável com o tempo. t 1
v 2
Temos então: I m . dv I mv 2 mv 1 I q 2 q 1 I q v 1
Então: I q (o impulso é igual a variação da quantidade de movimento) Considerando a força constante ao longo do tempo: F .t m .v , onde: F força aplicada em um intervalo de tempo; t intervalo de tempo considerado; m massa; v variação da velocidade no intervalo de tempo.
20 Exemplo – A força que atua sobre um corpo de 10 kg varia com o tempo, conforme mostra o gráfico abaixo. Calcular o impulso nos 5 segundos iniciais.
Do gráfico: F (t ) 2.t (equação de variação da força com o tempo) 5
5
52 02 I q 2.t .dt 2. t .dt 2 [ ] Área do diagrama = 25 N.s 2 2 0 0
Exemplo – Um jogador chuta uma bola de 0,4 kg, parada, imprimindo-lhe uma velocidade de módulo 30 m/s. Se a força sobre a bola tem uma intensidade média de 600 N, qual é o tempo de contato do pé do jogador com a bola ?
F .t m .v t
m .v 0.4 30 0.02 segundos F 600
21
CAPÍTULO 2 OSCILAÇÕES 2.1 MOVIMENTOS PERIÓDICOS Todo movimento que se repete em intervalos de tempo iguais é chamado de periódico. No movimento periódico, o móvel ocupa, sucessivamente, a mesma posição na trajetória, apresenta sempre a mesma velocidade e aceleração e se encontra duas vezes na mesma posição a cada intervalo de tempo constante. São movimentos periódicos:
movimento circular uniforme,
o movimento da Terra em torno do Sol,
o movimento de um pêndulo (sem resistência do ar),
o movimento de uma lâmina vibrante,
o movimento uma massa presa à extremidade de uma mola.
Como as equações do movimento periódico são expressas a partir das funções seno e coseno, ele também é chamado movimento harmônico. 2.2 MOVIMENTO OSCILATÓRIO HARMÔNICO 2.2.1 Princípios básicos Um movimento é dito oscilatório ou vibratório quando o móvel se desloca periodicamente sobre uma mesma trajetória, indo e vindo de um lado para outro, em relação à uma posição média de equilíbrio
Figura 2.1 Movimento harmônico
22 Neste tipo de movimento atua uma força, denominada restauradora, que sempre conduz o móvel para a posição de equilíbrio. Desta forma é definido o sentido do vetor aceleração (sempre orientado para a posição de equilíbrio). O movimento mostrado na figura 2.1 pode ser decomposto nas seguintes etapas: etapa 1: o móvel se desloca da posição de equilíbrio (O) até a extremidade (A) em movimento retilíneo uniformemente retardado , atingindo a extremidade (A) com uma velocidade nula;
etapa 2: o móvel se desloca da extremidade (A) para a posição de equilíbrio (O) em movimento retilíneo acelerado , atingindo a posição de equilíbrio (O) com a velocidade máxima;
etapa 3: o móvel se desloca da posição de equilíbrio (O) até a extremidade (B) em movimento retilíneo uniformemente retardado , atingindo a extremidade (B) com uma velocidade nula;
etapa 4: o móvel se desloca da extremidade (B) para a posição de equilíbrio (O) em movimento retilíneo acelerado , atingindo a posição de equilíbrio (O) com a velocidade máxima.
Após realizar as quatro etapas citadas, que definem o ciclo do movimento, o processo todo se repete. 2.2.2 Período (T) e frequência (f) No movimento mostrado na figura 2.1, o ciclo é representado pelas quatro etapas analisadas.
Ciclo O A A O O B B O Sequência:
O A A O O B B O O A A O O B B O O A A O O B B O Ciclo
Ciclo
Ciclo
23
Período (T): é o tempo gasto para o móvel realizar um ciclo. Unidade SI: segundo
Frequência : é o número de ciclos realizados pelo móvel na unidade de tempo. Unidade SI: ciclo/segundo c/s Hertz Hz
Veja que: 1 segundo _____________________________ f ciclos T (s) _____________________________ 1 ciclo Então: T .f 1 f
1 T
ou T
1 f
(são grandezas inversas)
2.2.3 Sistema Mola/Massa (sem amortecimento) A figura 2.2 mostra um sistema formado por uma mola e uma massa (m), movimentando-se de forma harmônica. Não são consideradas as perdas causadas pela resistência do ar e pela deformação da mola (sistema conservativo).
Figura 2.2 Sistema mola/massa sem amortecimento
d 2 x (t ) dv F m . 2 F m .x Veja que: F m .a F m . ( t ) dt dt k .x 0 m .x Então: m .x ( t ) ( t ) (t ) k .x (t )
(Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem)
24 k .x 0 pode ser escrita da seguinte A equação do sistema mola-massa: m .x ( t ) ( t ) k .x 0 forma: x ( t ) m (t )
Da matemática, temos a solução para seguinte equação diferencial modelo: d 2 x (t ) 2 .x 0 2 .x (t ) 0 ou x (t ) (t ) 2 dt
x (t ) C 1.sen ( .t ) C 2 . cos( .t ) , onde: C 1 e C 2 são valores constantes Veja que:
A.cos( .t ) cos( .t ).A.cos sen ( .t ).A.sen Considerando que: C 2 A. cos e C 1 A.sen , a posição x (t ) da massa, em função do tempo, pode ser representada por: x (t ) A. cos( .t ) Onde: A amplitude do movimento frequência angular
k m
k constante da mola;
m massa. Constante :
se no instante em que t 0 , a massa estiver em x A (posição de largada): x (0 ) A A cos( 0 ) A cos 1
0 rd
(radianos).
se no instante em que t 0 , a massa estiver em x 0 (fora da posição de largada):
A cos( 0 ) x 0 A cos x 0 x 0 A. cos . A constante ( t 0 ).
define a posição ( x 0 ) da massa no início da contagem do tempo
25 2.2.3.1 Analogia entre os movimentos harmônico e circular uniforme A figura 2.3 mostra uma partícula descrevendo um movimento circular uniforme, cuja trajetória tem raio igual a (A). Repare que o movimento descrito pela projeção da partícula sobre o eixo vertical é um movimento harmônico, tal qual o sistema formado pela massa e a mola, analisado anteriormente, pois também pode ser descrito pela equação x (t ) A.cos( .t ) , que caracteriza o movimento harmônico.
Figura 2.3 movimento circular uniforme
2.2.3.2 Período e frequência A figura 2.4 mostra um ciclo de um movimento harmônico ( 0 ). Lembre-se que a duração do ciclo é o período ( T ) e a sua unidade SI é o segundo.
Figura 2.4 Ciclo completo
26 A figura 2.5 mostra uma sequência de ciclos de um movimento harmônico ( 0 ). Lembre-se que o número de ciclos realizados a cada segundo é a frequência e a sua unidade SI é o Hz (Hertz).
Figura 2.5 Sequência de ciclos
Veja que: x ( t ) x (t T ) x (t 2.T ) x ( t 3.T ) ...... x (t ( n 1).T ) Então: A.cos[ .t ] A.cos[ (t T )] cos( .t ) cos( .t .T ) A solução da equação trigonométrica fica clara na figura 2.6
Figura 2.6 Ciclo trigonométrico
Veja que: .T 2. T
2.
ou
2.
T
27 Então:
2. k T m k
T 2. .
m (Período do movimento) k
m
f
f
1 T
2.
2. .f
(frequência angular – Unidade SI : rd/s)
(frequência do movimento – Unidade SI : Hz)
2.2.3.3 Constante ( ) Conforme visto anteriormente, a constante ( ) define a posição do móvel quando é iniciada a contagem do tempo. Na figura 2.7 são apresentados os gráficos para dois movimentos harmônicos com a seguintes equações:
x 1(t ) A. cos( .t )
x 2(t ) A. cos( .t )
3
0
x 1( 0 ) A
3
A
3
2
rd x 2(0 ) A. cos( )
O movimento (1) é representado na cor azul e movimento (2) na cor vermelha.
Figura 2.7 A constante
28 2.2.3.4 Amplitude (A) Conforme visto anteriormente, a amplitude representa a distância percorrida pelo móvel entre as posições extremas da trajetória e a posição de equilíbrio, conforme mostram as figuras 2.2 e 2.3. A figura 2.8 mostra os gráficos para dois movimentos harmônicos com a seguintes equações:
x 1(t ) A1. cos( .t )
x 2(t ) A2. cos( .t ) ( 0 ) , sendo: A2 3.A1
( 0 )
O movimento (1) é representado na cor azul e movimento (2) na cor vermelha.
Figura 2.8 A amplitude
2.2.3.5 Frequência A frequência representa o número de ciclos realizados pelo móvel em 1 segundo. A figura 2.9 mostra os gráficos para dois movimentos harmônicos com a seguintes equações:
x 1(t ) A. cos( 1.t )
( 0 ), sendo: f 1 3.f 2
x 2(t ) A. cos( 2.t ) ( 0 )
O movimento (1) é representado na cor azul e movimento (2) na cor vermelha. Tem-se que:
2
2. .f 2 e
Veja que: f 1 3.f 2
1
f 1
1
1 3.f 2
2. .f 1
1
f 1
1 1 3 f 2
.
1 3
T 1 .T 2 T 2 3.T 1
29 Repare que, enquanto o movimento (2) representado pela curva vermelha realiza um ciclo, enquanto o movimento (1) representado pela curva azul realiza três ciclos
Figura 2.9 Frequência
2.2.3.6 Espaço, velocidade e aceleração
Espaço (posição)
x (t ) A. cos( .t ) Velocidade Veja que: v (t )
d d (cos u ( x ).dx ) sen (u ( x ) ). (u ( x ) ) dx dx
d d ( .t ) x (t ) x ( t ) A.[sen ( .t )]. dt dt
v (t ) .A, sen ( .t )
Aceleração
Veja que: a (t )
d d (senu ( x ).dx ) cos(u ( x ) ). (u ( x ) ) dx dx
d d v (t ) v (t ) .A.[cos( .t )]. ( .t ) dt dt
a (t ) 2 .A. cos( .t )
30 2.2.3.7 Energia Veja que: F m .a m . a
dv e F k .x dt
dv dx , v dt dt
m .v .
dv dx dv dv dv . (regra da cadeia) v . dt dt dx dt dx
dv kx 0 m .v .dv k .x .dx 0.dx (multiplicar todos os termos por dx ) dx v
x
x
Integrando: m . v .dv k . x .dx 0.dx 0
0
0
m .v 2 2
k .x 2 2
constante, então:
E CINÉTICA E POTENCIAL _ ELÁSTICA E MECÂNICA constante (sistema conservativo)
Energia cinética 1 2
1 2
1 2
E C .m .v 2 .m .[ .A.sen ( .t )]2 E C .m . 2 .A2 .sen 2 ( .t ) k 1 k k E C .m . .A2 .sen 2 ( .t ) ( 2 ) m m m 2 E C
k .A 2 2
.sen 2 ( .t )
Energia potencial elástica
1 1 E PE .k .x 2 .k .[ A. cos( .t )]2 2 2
E PE
k .A 2 2
. cos2 ( .t )
Energia mecânica
E M E C E PE E M
k .A 2 2
.[sen 2 ( .t ) cos2 ( .t )]
1 E M
k .A 2 2
(constante - não depende do tempo)
31 Exemplo – Uma mola distende-se de 7.5 cm, em relação à posição de equilíbrio, quando atua uma força de 3 N. Um corpo de 0.70 kg é preso à extremidade da mola e afastado de 10 cm da posição de equilíbrio e solto. A medição do tempo tem início no instante da largada. Responda: a) Qual é a constante da mola?
F k .x k
3 40 N/m 0.075
b) Qual a força exercida sobre o corpo no instante da largada? F k .x F 40 0.10 4 N c) Qual a frequência angular, o período e a frequência do movimento? k 40 7.56 rd/s m 0.70
2. .f
1
f
7.56 1.20 2.
Hz
1
T 0.83 s f 1.20
d) Qual a velocidade e a aceleração máximas?
A 0.10 m (afastamento inicial da posição de equilíbrio) v (t ) .A, sen ( .t ) (valor máximo para sen ( .t ) 1 ) v MAX .A 7.56 0.10 0.756 m/s
a (t ) 2 .A. cos( .t ) (valor máximo para cos( .t ) 1) a MAX 2 .A (7.56)2 0.10 5.715 m/s2 e) Qual a velocidade, a aceleração, a energia cinética, a energia potencial e a energia mecânica, quando o corpo se move da posição inicial de largada até a metade da amplitude? Antes de responder as perguntas, o melhor método é determinar as equações do movimento.
32 Tem-se: A 0.10 m;
7.56 rd/s
e 0 ( x (0) A )
x (t ) A. cos( .t ) x (t ) 0.10. cos(7.56.t ) (m)
v (t ) .A.sen ( .t ) v (t ) 7.56 0.10.sen (7.56.t ) v (t ) 0.756.sen (7.56.t ) (m/s)
a (t ) 2 .A. cos( .t ) a (t ) (7.56)2 0.10. cos(7.56.t ) a (t ) 5.715. cos(7.56.t ) (m/s²) Voltando ao problema: O espaço percorrido é igual a metade da amplitude: x (t ) 0.05 m Então: 0.10.cos(7.56.t ) 0.05 (cálculo do tempo) cos(7.56.t ) 0.50 7.56.t
3
rd (tem que estar em radianos)
Então: t 0.139 s Utilizando as equações com t 0.139 s
v (0.139 ) 0.756.sen (7.56 0.139) 0.656m/s (sentido contrário ao eixo X) a (0.139 ) 5.715. cos(7.56 0.139) 2.839 m/s² (desacelerando) E C (0.139 )
1 0.70 (0.656)2 2 .m .v 0.15 2 2
E PE (0.139 )
1 40 0.05 2 2 .k .x 0.05 2 2
1 40 0.10 2 2 0.20 E M .k .A 2 2
J
J
J (Veja que: 0.15 0.05 )
33 2.2.4 Sistema Mola/Massa (com amortecimento) A figura 2.10 mostra um sistema mola/massa/amortecedor. Neste sistema, além da força elástica na mola, atua uma outra força oposta à velocidade, denominada força de amortecimento. A força de amortecimento é uma força dissipativa e representa atritos e resistências.
Figura 2.10 Sistema mola/massa amortecido
Tem-se:
Força restauradora na mola: F R k .x
Força de amortecimento: F A C .v C .
dx , onde: C .x dt
C constante de amortecimento (unidade SI: kg/s); v velocidade. C .x k .x 0 ou x Escrevendo a equação do movimento: m .x
C k .x .x 0 m m
2. .x 2 .x 0 , onde: A equação pode ser escrita na seguinte forma: x
2.
C C ou e m 2.m
2
k m
Da matemática obtém-se a seguinte solução:
x (t ) A.e ( .t ) . cos( 0 .t ) , onde: 0 2 2 2
0
2 2
34 A figura 2.11 mostra o gráfico do movimento amortecido
Figura 2.11 Oscilações com pequeno amortecimento
As características básicas de um movimento harmônico amortecido são:
a amplitude diminui com o tempo até se anular. O termo A.e .t é chamado de fator de amplitude.
se não houvesse amortecimento (atrito).
A.e 0.t A (constante)
Veja que se não houvesse o amortecimento (atrito):
C 0
0
quando o movimento é amortecido, a frequência é menor e o período é maior.
0
0
frequência menor.
A energia também diminui com o tempo até se anular, devido à dissipação no
amortecedor.
35 Exemplo – Em um sistema oscilante amortecido, o bloco tem massa igual a 1.5 kg e a mola tem uma constante igual a 8.0 N/m. Supondo que o bloco seja puxado para baixo de uma distância de 12 cm e então abandonado no instante em que é iniciada a contagem do tempo. Sabendo-se a constante de amortecimento é 0.23 kg/s, escrever a equação do movimento.
x (t ) A.e ( .t ) . cos( 0 .t )
k 8 5.33 rd/s (sem amortecimento) m 1.5 kg s 1 ) kg s
0.23 C 0.08 s-1 2.m 2 1.5
0
2 2 5.332 0.082 5.33 rd/s (amortecimento discreto)
(
x (t ) 0.12.e 0.08.t . cos(5.33.t )
Figura 2.12 Gráfico do movimento
36
CAPÍTULO 3 ONDAS I 3.1 DEFINIÇÃO Denomina-se onda, ao movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um meio. A figura 3.1 mostra o exemplo da onda gerada por uma pedra jogada (perturbação) na água (meio de propagação).
Figura 3.1 Pedra jogada na água
3.2 CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS 3.2.1 Quanto à natureza Quanto à sua natureza, as ondas podem ser: mecânicas ou eletromagnéticas. 3.2.1.1 Mecânicas Precisam de um meio material para propagar-se. Não se propagam no vácuo. Como exemplos de ondas mecânicas, temos as cordas vibrantes (violão), a pedra na água (figura 3.1) e a onda sonora (som). 3.2.1.2 Eletromagnéticas São geradas por cargas elétricas oscilantes e não necessitam de um meio material para se propagar. Se propagam no vácuo. Como exemplo, temos as ondas de rádio, de televisão, a luz, os raios X, os raios laser, as ondas de radar, a radiação solar, etc.
37
A figura 3.2 mostra a propagação de uma onda eletromagnética.
Campo elétrico
Campo magnético Figura 3.2 Onda eletromagnética
3.2.2 Quanto à direção da vibração 3.2.2.1 Ondas transversais As vibrações são perpendiculares à direção de propagação. Na figura 3.3, v é a velocidade de oscilação (vibração) e c é a velocidade de propagação da onda.
Figura 3.3 Onda transversal
Como exemplo de ondas transversais, temos as ondas eletromagnéticas, a vibração nas vigas e pilares e a vibração das cordas de um violão.
38 3.2.2.2 Ondas longitudinais As direções de propagação e vibração são coincidentes. Na figura 3.4, v é a velocidade de oscilação (vibração) e c é a velocidade de propagação da onda.
Figura 3.4 Onda longitudinal
Um bom exemplo de ondas longitudinais é a onda sonora (som) 3.2.3 Quanto à direção de propagação 3.2.3.1 Unidimensionais Propagam-se em uma só direção. Um exemplo é a propagação de uma vibração em uma corda (figura 3.3). Um outro exemplo de ondas dirigidas segundo uma direção é mostrado na figura 3.5
Figura 3.5 Ondas de raio X para diagnóstico médico
39 3.2.3.2 Bidimensionais Propagam-se em uma superfície plana. Como exemplo, temos uma onda se propagando na superfície de um líquido, mostrada na figura 3.6.
Figura 3.6 Ondas bidimensionais na superfície de um líquido
3.2.3.3 Tridimensionais Propagam-se em todas as direções. A onda sonora e a onda luminosa emitidas por fontes puntiformes são exemplos clássicos de ondas tridimensionais. A figura 3.7 mostra as emissões esféricas de uma fonte puntiforme (pontual).
Figura 3.7 Ondas esféricas
40 3.3 FRENTE DE ONDA Uma frente de onda pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos que estão vibrando na mesma fase. A figura 3.8 mostra as frentes de onda para uma onda plana definida por raios paralelos. A figura 3.8 mostra as frentes de onda e os raios para uma onda plana emitida por uma fonte puntiforme (pedra na água),
Figura 3.8 Frente de onda (distribuição radial)
A figura 3.9 mostra as frentes de onda, quando a fonte está muito distante. Neste caso, os raios podem ser considerados paralelos (figura 3.9)
Figura 3.9 Frente de onda (raios paralelos)
41 A figura 3.10 mostra frentes de onda para uma emissão esférica. Repare que as frentes de onda são superfícies esféricas concêntricas (figura 3.7). Superfícies esféricas
Figura 3.10 Frentes de onda esféricas
A figura 3.11 mostra que o caso em que a fonte está distante. Superfícies planas
Figura 3.11 Fonte muito distante de uma fonte puntiforme
Se o meio for homogêneo e isotrópico, a direção de propagação (raio) é sempre perpendicular às frentes de onda 3.4 ONDAS PROGRESSIVAS 3.4.1 Pulso Considere duas pessoas segurando as extremidades de uma corda. Se uma delas fizer um movimento vertical brusco, para cima e depois para baixo, causará uma perturbação na corda, originando uma sinuosidade, que se deslocará ao longo da corda aproximando-se da outra pessoa, enquanto a extremidade que recebeu o impulso retorna à posição inicial, por ser a corda um meio elástico.
Figura 3.12 Pulso
Nesse exemplo, a perturbação denomina-se pulso, o movimento do pulso é chamado de onda, a mão da pessoa que faz o movimento vertical é a fonte e a corda, na qual se propaga a onda, é o meio de propagação.
42 3.4.2 Trem de ondas Se provocarmos vários pulsos sucessivos com um movimento de sobe-e-desce contínuo, teremos várias ondas propagando-se na corda, uma atrás da outra, constituindo um trem de ondas.
Figura 3.13 Trem de ondas (ondas progressivas)
Observações:
colocando-se um pedaço de cortiça na água, próximo ao local do lançamento da pedra, verifica-se que a onda, ao atingir a cortiça que fica flutuando na superfície da água, faz com que ela apenas oscile, subindo e descendo, sem variar a sua posição.
Figura 3.14 Energia transmitida pela onda
Como a rolha não é arrastada, concluímos que a onda não transporta matéria, mas como ela se movimenta podemos concluir que uma onda transmite energia sem transportar matéria (movimento);
A elasticidade do meio é responsável pelas forças restauradoras, enquanto a inércia define a resposta do meio à ação das forças restauradoras.
43 A figura 3.15 duas posições sucessivas de um pulso se deslocando para a direita com uma velocidade constante ( c ). A primeira posição está representada na cor azul e a subsequente na cor vermelha. O eixo Y representa o referencial. Veja que a posição do ponto escolhido para o estudo é definida pela distância ( x m ) .
Figura 3.15 Movimento de um pulso
Na posição inicial: x m Espaço percorrido pelo pulso no intervalo de tempo t c .t Na próxima posição: x c .t m Veja que: m cons tante Então: m f ( x ,t ) m ( x ,t ) x c .t Veja que m ( x ,t ) apesar de ser função das variáveis x e t tem sempre um valor constante . m ( x ,t ) cons tan te Repare que:
Se m ( x ,t ) x c .t , com o passar do tempo ( t aumenta), o valor de x deve aumentar, para que m ( x ,t ) mantenha seu valor constante, ou seja, a onda se propaga para a direita;
Se m ( x ,t ) x c .t , com o passar do tempo ( t aumenta), o valor de x deve diminuir para que m ( x ,t ) mantenha seu valor constante, ou seja, a onda se propaga para a esquerda;
44
Derivando em relação ao tempo:
d dm 0 ( x c .t ) dt dt
dx dx x velocidade de propagação da onda. c 0 c dt dt
Repare que y f ( x , t ) deve ser uma função das variáveis posição ( x ) e tempo ( t ). Para mostrar a influência da posição em y f ( x , t ) , a figura 3.16 mostra três barcos em posições distintas ( x 1, x 2 , x 3 ), no mesmo instante de tempo ( t ). Veja que cada barco tem um valor diferente para y ( y 1, y 2 , y 3 ) (altura na onda), então: y f ( x )
Figura 3.16 Barcos em posições diferentes no mesmo instante
Para mostrar a influência do tempo em y f ( x , t ) , a figura 3.17 mostra o mesmo barco, na mesma posição ( x ), em dois momentos distintos ( t 1 e t 2 ). Observe os valores diferentes para y ( y 1 e y 2 ) (altura na onda), então: y f (t )
Figura 3.17 O mesmo barco, na mesma posição, em dois instantes diferentes
Tem-se então: Se o pulso se desloca para a direita: y f ( x c .t ) . Se o pulso se desloca para a esquerda: y f ( x c .t ) .
45 3.5 COMPRIMENTO DE ONDA E FREQUÊNCIA A figura 3.18 mostra um pulso de onda se deslocando para a direita. Em azul temos um pulso correspondente a um ciclo completo do movimento oscilatório do móvel em uma determinada posição. Em vermelho, temos o mesmo pulso em uma posição subsequente. Lembre-se que o tempo gasto para o móvel realizar um ciclo é o período ( T ). Repare que o tempo gasto para os pontos A, B e C se deslocarem até as posições A’, B’ e C’ é igual ao período (T).
Figura 3.18 Comprimento de onda
Define-se como comprimento de onda ( ), a distância percorrida pela onda em um tempo igual ao seu período ( T ). Então:
c .T
c
T
f
1 c .f T
pontos que vibram em fase, então o comprimento de onda também pode ser definido como a distância entre dois pontos em fase. Os pontos A e A’, B e B’ e C e C’ são
Na figura 3.19, a velocidade de propagação da onda ( c ) define o tempo para que a perturbação causada pelo navio atinja o barco parado. O comprimento de onda pode ser avaliado pela distância entre as cristas das ondas e a frequência vai definir o número de vezes que o veleiro vai subir e descer, na unidade de tempo, após ser atingido pela onda.
Figura 3.19 Exemplo prático
46 A frequência e o comprimento de onda são parâmetros muito importantes para a descrição das ondas. Em acústica, a frequência define se um som é grave ou agudo e nos estudos de iluminação define a cor da luz e as cores dos objetos. 3.6 ONDA HARMÔNICA É uma onda que pode ser representada pela função seno ou a função coseno. 3.6.1 Equação da onda senoidal y A.sen (
2.
.x )
A figura 3.20 mostra que: y ( x 0. ) y ( x 1. ) y ( x 2. ) .... y [ x (n 1). ]
Figura 3.20 Deslocamento da onda
Para considerar-se as influências da posição ( x ) e do tempo ( t ), escreve-se: y ( x ,t ) f ( x c .t ) A.sen [ y ( x ,t ) A.sen [
2
y ( x ,t ) A.sen (
.x
2
.x
2
.( x c .t )]
.c .t ] A.sen [
2
T
2
2
.x
2 . .t ]
T
( c .f
T
)
.t )
Fazendo: k
2
2
T
Então:
número de onda (rd/m)
2 .f frequência angular (rd/s)
y ( x ,t ) A.sen (k .x .t )
Esta é uma solução particular, pois para x 0 e t 0 y 0 (figura 3.21)
47
Figura 3.21 Solução particular
Para se obter uma solução geral, introduz-se a constante de fase , então:
y ( x ,t ) A.sen (k .x .t ) Veja que: x 0 e t 0 y (0,0 ) A.sen ( ) (figura 3.22)
Figura 3.22 Solução geral
Veja o seguinte exemplo:
Equação da onda em seno: y ( x ,t ) A.sen (k .x .t ) 2
y ( 0,0 ) A.sen( ) A 2
2
2
2
Veja que: seno ( ) sen . cos sen . cos cos , então:
y ( x ,t ) A.sen (k .x .t ) A. cos(k .x .t ) 2
Equação da onda em coseno: y ( x ,t ) A. cos(k .x .t ) Veja que uma onda também pode ter a sua equação representada também pela função coseno. É importante ressaltar que duas ondas, com a mesma constante de fase ( ), estão defasadas de
2
rd, quando representadas em seno e coseno.
48 Amplitude (A): Na figura 3.23, a onda (1) é apresentada na cor azul e a onda (2) na cor vermel ha. y 1( x ,t ) A1.sen (k .x .t ) e y 2( x ,t ) A2.sen (k .x .t ) - ( 0 ) A2 3.A1
Figura 3.23 Amplitude da onda
Frequência angular ( ): 2.f (rd/s)
Frequência (f ): f
(Hz) 2
Veja que ondas com o mesmo valor da frequência angular ( ) têm a mesma frequência (f). Na figura 3.24, a onda (1) é apresentada na cor azul e a onda (2) na cor vermel ha. Tem-se: f 2 4.f 1 ( 2 4. 1 ). y 1( x ,t ) A.sen (k .x 1.t ) e y 2( x ,t ) A.sen (k .x 2.t ) - ( 0 )
Figura 3.24 A frequência
Repare que enquanto a onda (1) realiza um ciclo, a onda (2) realiza quatro ciclos.
49 Nº de onda (k ): É o número de ondas formadas em um intervalo angular de 2 rd. k
2
número de onda (rd/m)
Veja que ondas com o mesmo valor de ( k) , têm o mesmo comprimento de onda frequência ( ). Observe que se duas ondas têm os mesmos valores para
e k, elas se propagam
com a mesma velocidade ( c .f ). Constante de fase ( ): Na figura 3.25, a onda (1) é apresentada na cor azul e a onda (2) na cor vermelha. y1( x,t ) A.sen(kx .t)
( 0) e y2( x,t ) A.sen(kx .t ) ( ) 2
2
Figura 3.25 Constante de fase
Veja que:
y1( 0,0 ) A.sen(0) 0
e y2
( 0, 0 )
A.sen( ) A 2
Em termos práticos, a constante de fase ( ) causa um deslocamento na onda. Veja, na figura 3.25, que a onda (2) está adiantada de Na prática
0
- adianta e 0 - atrasa.
2
, em relação à onda (1).
50 Exemplo – Uma onda transversal se propaga em uma corda vibrante. Escreva a equação da onda, a partir das seguintes informações: a) Amplitude = 1,5 cm b) Período = 0,4 segs c) velocidade de propagação = 80 cm/s d) Em t =0, tem-se: x = 0 e y = 0,75 cm. Equação da onda: y( x,t ) A.sen(k.x .t )
A 0.015 m f
1 1 2.5 Hz T 0.4
2.f 2 2.5 15.708 rd/s c .f
k
2
c 0.8 0.32 m f 2.5
2 19.635 rd/m 0.32
Então: y( x,t ) A.sen(k.x .t ) 0.015.sen(19.635.x 15.708.t ) Em t 0 x 0 e y 0.75 sen() Equação da onda:
y( x,t ) 0.015.sen(19.635.x 15.708.t ) 6
0.0075 0.5 0.524 ( rd) 0.015 6
51
CAPÍTULO 4 ONDAS II 4.1 PRINCÍPIO DE HUYGENS Todos os pontos de uma frente de onda podem ser considerados como fontes puntiformes para a geração de ondas esféricas secundárias e, depois de um certo tempo (t), a posição na nova frente de onda é a superfície que tangencia essas ondas secundárias.
Figura 4.1 Princípio de Huygens
4.2 REFLEXÃO 4.2.1 Reflexão especular (caso teórico) Representa um caso ideal, onde a superfície refletora é um espelho perfeito.
Figura 4.2 Aspectos geométricos da reflexão especular
52 Na figura 4.2, a frente de onda incidente AB , mostrada inicialmente na posição A1B 1 , se desloca na direção da superfície refletora com uma velocidade ( c ). Quando o ponto A atinge a superfície na posição A2 , o ponto B ocupa a posição B 3 . Enquanto o ponto B se desloca da posição B 3 para a posição B 2 , na superfície refletora, o ponto A se desloca para a posição A3 , definida pela reta tangente à circunferência de raio igual a c .t e centro em A2 e o ponto B 2 (frente onda refletida). Considerando os raio perpendiculares às frentes de onda (incidente e refletida) e aplicando princípios básicos de geometria de posição (triângulos iguais), constata-se que os ângulos formados com a direção normal à superfície dos raios incidente ( ) e refletido ( ) são iguais. Na prática utiliza-se a representação simplificada (raios) mostrada na figura 4.3.
Figura 4.3 Representação simplificada para a reflexão especular (caso ideal)
4.2.2 Reflexão difusa É um caso real. Ocorre quando as superfícies refletoras são foscas ou irregulares, acarretando um espalhamento (difusão) da onda, com raios refletidos em diversas direções.
Figura 4.4 Reflexão difusa
53 4.2.3 Reflexão mista, predominantemente especular. Representa a reflexão real para incidências em superfícies lisas.
Figura 4.5 Reflexão especular real
4.2.4 Reflexão mista, predominantemente difusa. Representa a reflexão real para incidências em superfícies com pequenas irregularidades.
Figura 4.6 Reflexão predominantemente difusa
4.3 REFRAÇÃO Representa a mudança sofrida na direção, quando a onda muda de meio de propagação. É frequente, em acústica, o som mudar de direção quando atravessa regiões com temperaturas diferentes.
54 A figura 4.7 mostra uma onda representada pela frente AB , inicialmente mostrada na posição A1B 1 , deslocando no meio (1) com uma velocidade c 1 . Quando o ponto A atinge a interface que separa os meios (1) e (2), ocupando a posição ( A2 ), o ponto B
ocupa a posição ( B 2 ). Enquanto o ponto B se desloca no meio (1), em direção à
interface com uma velocidade ( c 1 ), o ponto A se desloca no meio (2), com uma velocidade ( c 2 ). A frente de onda refratada, que se desloca no meio (2) é definida pela reta tangente à circunferência de raio c 2.t e centro em A2 e o ponto B 3 .
Figura 4.7 Refração
Expressando os valores para o sen 1 e para o sen 2 nos triângulos A2B2B3 e A2A3B3 , obtém-se a seguinte igualdade: sen 1 c 1 1 sen 2 c 2 2
Onde: c
1
c
2
velocidade de propagação no meio 1; velocidade de propagação no meio 2;
- comprimento de onda.
( c .f )
55 Normalmente, utiliza-se a representação simplificada mostrada na figura 4.8.
Figura 4.8 Representação simplificada para a refração.
É importante ressaltar que a frequência da onda permanece constante, quando a onda muda de um meio de propagação para outro. Então: c1 1.f e c 2 2.f 4.4 DIFRAÇÃO Difração é o fenômeno pelo qual uma onda é distorcida por um obstáculo. Este obstáculo pode ser um pequeno objeto que bloqueia a passagem de uma parte da frente de onda ou uma fenda estreita que permite a passagem de apenas um ponto da frente de onda. A difração pode ser observada em uma cuba de ondas, por exemplo, obstruindo-se a passagem das ondas com duas lâminas metálicas separadas por uma abertura entre elas e, provocando ondas planas numa das regiões assim definidas. Quando a abertura tem dimensão muito maior que o comprimento de onda das ondas que se propagam na água da cuba, as ondas quase não se propagam atrás dos obstáculos, como mostrado na figura 4.9.
Figura 4.9 Abertura maior do que o comprimento de onda
56 Quando a abertura tem dimensão pequena, as ondas rodeiam as bordas do obstáculo e começam a contorná-lo (aumenta a curvatura), conforme mostra a figura 4.10.
Figura 4.10 Abertura de dimensão pequena
Quando a abertura tem dimensão próxima ao comprimento de onda (estreita), a abertura comporta-se como uma fonte independente de ondas que se propagam atrás dos obstáculos, em todas as direções. As dimensões do objeto ou da abertura para as quais se observa a difração dependem do comprimento de onda, ou seja, quanto menores tais dimensões da abertura ou do obstáculo frente ao comprimento de onda, mais notável é a difração. Quando as dimensões do obstáculo ou da abertura são próximas com o comprimento de onda, a difração se manifesta nas proximidades do obstáculo ou abertura, de acordo com a figura 4.11.
Figura 4.11 Abertura com dimensão próxima ao comprimento de onda
A difração pode ser compreendida pelo princípio de Huygens. Consideremos, por exemplo, a frente de onda que chega a uma abertura, Todos os pontos dessa frente de onda se comportam como fontes de ondas secundárias. As ondas secundárias originadas nos pontos que se encontram frente aos anteparos que formam a abertura são bloqueadas por esses mesmos anteparos e a forma da frente de onda na região além da abertura fica determinada pelas ondas secundárias não bloqueadas.
57 4.5 VELOCIDADE DA ONDA Sabemos que a velocidade de propagação de uma onda em um determinado meio, depende da elasticidade e da inércia deste meio, ou seja:
c f (elasticida de , inércia ) Como exemplo, vamos estudar a propagação de uma onda na corda mostrada na figura 4.12
Figura 4.12 Propagação da onda em uma corda
Na figura: F força perturbadora (causadora da onda); S força de tração na corda; c velocidade de propagação; v velocidade de oscilação (transversal); t tempo.
Por semelhança: Seja:
F S S .v F v .t c .t c
m (densidade linear de massa massa por unidade de comprimento) l
m massa da corda; l comprimento da corda percorrido pela onda no tempo t .
Então: m .l .c .t Tem-se que: F .t mv (ver impulso e quantidade de movimento)
58
q m .v q .c .t .v (quantidade de movimento) I F .t I Então:
S .v .t (impulso) c
S .v S .t .c .t .v S .c 2 c c
ou: c
S .l m
(velocidade da onda em uma corda)
Exemplo – Uma corda de 3 m de comprimento e massa de 60 g é mantida esticada por uma força de intensidade de 800 N. Determine a velocidade de propagação de um pulso nesta corda. c
3 800 200 m/s 0.06
4.6 POTÊNCIA TRANSMITIDA EM UMA ONDA 4.6.1 Potência instantânea Vamos considerar a onda transversal, mostrada na figura 4.13.
Figura 4.13 Onda transversal transmitindo potência
F L componente longitudinal da força F F T componente transversal da força F
Tem-se: F T F .sen
59 Considerando o ângulo
,
um ângulo pequeno (em radianos), pode-se utilizar as
seguintes aproximações:
sen ; cos 1 tg sen tg tg Então: F T F .tg F T Sabe-se que: P
y [ y f ( x , t ) ] x
y .F (repare que 90 tg 0 ) x
W F .d F .v (F - força ; v - velocidade), então: t t
Sabe-se que: v
y ( y f ( x , t ) ) t
A potência transmitida pela onda: P ( t ) F .v F .
y y . x t
Tem-se que: y ( x ,t ) A.sen (k .x .t ) ( 0 ) y A. cos(k .x .t ).k k .A. cos(k .x .t ) x y A. cos(k .x .t ).( ) .A. cos(k .x .t ) t
Então: P ( x ,t ) F . .k .A2. cos2 (k .x .t ) (Potência instantânea) 4.6.2 Potência transmitida em um ciclo t T
Com base na figura 4.14: P CICLO P ( x ,t ).dt t
Figura 4.14 Potência aplicada durante um ciclo t T
t T
Então: P CICLO F .k . .A .cos (k .x .t ).dt P CICLO F .k . .A 2
t
2
2
t cos (k .x .t ).dt 2
60 4.6.3 Potência média no ciclo Seja: P CICLO , a potência média transmitida pela onda em um ciclo. Então: P CICLO F .k . .A 2 .[cos 2 (k .x .t )]MÉDIO
Figura 4.15 Ciclo da função cos2
O valor médio para a função cos2 é obtido através da divisão em áreas iguais, o que é obtido através da linha reta y 0.5 . Então: [cos 2 ( k .x .t )] MÉDIO
1 2
Veja uma verificação numérica:
Figura 4.16 Ciclo dividido em 12 partes
Ponto
(º)
cos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330
1.00 0.87 0.50 0.00 -0.50 -0.87 -1.00 -0.87 -0.50 0.00 0.50 0.87
Media:
cos2 1.00 0.75 0.25 0.00 0.25 0.75 1.00 0.75 0.25 0.00 0.25 0.75 0.50
61
Como o valor médio da função cos2 (k .x .t ) é igual a 1 2 , para um ciclo, tem-se: P CICLO
Considerando: k P CICLO
F .k . .A 2
2 1 2 ; f ; 2 .f ; T T
2
c .f , pode-se escrever:
F 2 2 .2. 2 .f 2 .A 2 P CICLO C 1.f ou P CICLO C 2. A ( C 1 e C 2 - constantes). c
Observação importante: a potência transmitida por uma onda é proporcional ao quadrado da frequência e ao quadrado da amplitude. 4.7 SUPERPOSIÇÃO DE ONDAS 4.7.1 Princípio da superposição Ocorre quando duas ou mais ondas atuam simultaneamente. Duas ondas podem se cruzar na mesma região do espaço de forma totalmente independente. O deslocamento resultante segue o princípio da superposição de efeitos, ou seja, é a soma dos deslocamentos de cada onda.
y RESULTANTE y 1 y 2 ... y n Como sempre, o princípio da superposição é válido desde que as deformações do meio e as forças restauradoras sejam proporcionais, caracterizando um regime elástico (deformações residuais nulas). 4.7.2 Série de Fourier Define que uma onda periódica complexa, pode ser representada como uma soma de ondas harmônicas (senos e cosenos). y (t ) A0 A1.sen ( .t ) A2 .sen (2. .t ) .......... ...... An .sen (n . .t ) B 0 B 1. cos( .t ) B 2 . cos(2. .t ) .......... .......... ... B n . cos(n .t )
Onde:
2
T
62 4.7.3 Interferência Seja o caso particular em que são consideradas as ondas: y 1( x ,t ) A.sen (k .x .t ) e y 2( x ,t ) A.sen (k .x .t ) Observando-se as equações, constata-se que elas:
têm a mesma frequência ( 1 2 );
têm a mesma amplitude ( A1 A2 A );
se deslocam para a direita (mesmo sentido);
têm a mesma velocidade (mesmo c. de onda e a mesma freq.- k 1 k 2 e
estão defasadas de
(onda 2 adiantada).
y ( x ,t ) y 1( x ,t ) y 2( x ,t ) A.sen (k .x .t ) A.sen (k .x .t ) y ( x .t ) A.[sen (k .x .t ) sen (k .x .t )] Da trigonometria: senB senC 2.sen (
C B
C B
2
2
).cos(
)
Fazendo: C k .x .t e B k .x .t , temos: C B k .x .t k .x .t 2.k .x 2. .t k .x .t
2
2
2
2
C B k .x .t k .x .t 2
2
2
2
2
Então: y ( x ,t ) A.[2.sen (k .x .t ). cos( )]
2
2
y ( x ,t ) 2.A. cos( ).sen (kx .t )
Fazendo: A' 2.A. cos( ) (amplitude variável A' f ( ) ) 2
Por analogia (amplitudes diferentes - aproximação):
2
2
y ( x ,t ) A'.sen (k .x .t ) , onde: A( ) ' ( A1 A2 ). cos( )
A aproximação é razoável para valores próximos para as amplitudes.
1
2 );
63 4.7.3.1 Interferência construtiva Quando o ângulo de fase é pequeno ou nulo, dizemos que as ondas estão em fase, então: A' 2.A. cos(0) 2.A (somam-se as amplitudes A A 2.A ). Exemplo: y 1( x ,t ) 3.sen (kx .t ) (azul) e y 2( x ,t ) 3.sen (k .x .t 0.1) (vermelho) Veja que:
0.1rd (pequeno)
0.1 ) 6 2.A A'( 0.1) (3 3) cos( 2
A onda resultante está representada na cor verde, na figura 4.17.
Figura 4.17 Interferência construtiva com amplitudes iguais
Exemplo (amplitudes diferentes):
y 1( x ,t ) sen (k .x .t ) (azul) e y 2( x ,t ) 3.sen (k .x .t ) (vermelho) - 0
Figura 4.18 Interferência construtiva com amplitudes diferentes
A onda resultante está representada na cor verde. Veja que: A'(0 ) (1 3). cos(0) 4
64 4.7.3.2 Interferência destrutiva Ocorre quando as ondas estão defasadas [ângulo de fase ( ) grande]. Exemplo: y 1( x ,t ) 3.sen (k .x .t ) ( 0 rd) - (azul)
y 2( x ,t ) 5.sen (k .x .t ) - ( rd) - (vermelha) 2
A' (3 5). cos( (
2
)
4
2
) 5.66 5 3
A onda resultante está representada na cor verde.
Figura 4.19 Interferência destrutiva parcial
Exemplo: y 1( x ,t ) 4.sen (k .x .t ) - ( 0 rd) - (azul)
y 2( x ,t ) 4.sen (k .x .t ) - ( rd) - (vermelha) A( ) ' (4 4). cos(
2
) 0 (amplitude nula)
Figura 4.20 Interferência destrutiva total
Repare que onda resultante (verde) tem amplitude nula, então: y 0
65 Na figura 4.20 é mostrado um esquema do dispositivo chamado interferômetro de Young, onde a luz monocromática que sai da abertura estreita S 0 se divide em duas partes que, por sua vez, incidem nas outras duas aberturas S 1 e S2 mostrando de forma clara o fenômeno da difração, através da mudança na trajetória da luz. A luz que sai de S1 interfere com a que sai de S2 ou seja, vão existir pontos nos quais a intensidade da luz vai ser aumentada e outros nos quais pode ser até anulada. Nos pontos em que duas cristas se encontram, a intensidade é reforçada (interferência construtiva), enquanto que, quando uma crista encontra um vale, a intensidade da luz pode até ser anulada (interferência destrutiva).
Figura 4.21 Experimento de Young
A figura 4.21 mostra os resultados obtidos por Young com seu interferômetro de fenda dupla
Figura 4.22 Franjas de interferência – experimento de Young
4.8 ONDAS COMPLEXAS As ondas harmônicas são particularidades. São representadas por senos ou cosenos. Para que a superposição de duas ou mais ondas harmônicas resulte em uma onda, também harmônica, é necessário elas tenham a mesma frequência e a mesma velocidade de propagação. As amplitudes podem ser diferentes.
66 Quando as frequências forem diferentes, a onda resultante não é harmônica e, portanto, não poderá ser representada por senos e cosenos. A imensa maioria das ondas reais não são harmônicas e sim complexas. É importante ressaltar que as ondas complexas podem ser decompostas em ondas harmônicas. y( t) A1.sen(2..f1.t ) A 2.sen(2.f2.t) .......... ...... An.sen(2..fn.t )
Onde f 1 é a frequência fundamental e f 2 , f 3 ,....f n são as frequências harmônicas. Tem-se: f2 2.f1 , f3 3.f1 ,......., fn n.f1 Exemplo. Componentes harmônicas: y1( x,t ) 4.sen(k.x .t ) (azul)
e y2( x,t ) 4.sen(k.x 3..t) (vermelho) ( f2 3.f1 )
A onda resultante (verde): y y 1 y 2 (não é harmônica)
Figura 4.23 Onda complexa com duas componentes harmônicas
Exemplo: A onda complexa mostrada na figura 4.24 tem as seguintes componentes harmônicas: y1( x,t ) 3.sen(k.x .t )
- f 1 - frequência fundamental
y2( x,t ) 3.sen(k.x 2..t )
- f2 2.f1
y 3( x ,t ) 3.sen (k .x 3. .t ) - f2 3.f1 y 4( x,t ) 3.sen(k.x 4..t ) - f4 4.f1
67
Figura 4.24 Onda complexa com 4 componentes harmônicas
4.9 ONDAS ESTACIONÁRIAS A figura 4.25 mostra uma onda incidindo sobre uma parede e sua reflexão.
Figura 4.25 Ondas incidente e refletida
Repare que as duas ondas (incidente e a refletida) ao se cruzarem, geram um caso interessante de interferência e duas situações extremas devem ser analisadas. A figura 4.26 mostra a situação, na qual, ao se cruzarem, as ondas incidente e refletida geram um caso de interferência construtiva.
Figura 4.26 Interferência construtiva
68 A figura 4.27 mostra uma situação oposta, na qual, ao se cruzarem, as ondas incidente e refletida geram um caso de interferência destrutiva.
Figura 4.27 Interferência destrutiva
Vamos dar um tratamento matemático ao assunto. Onda incidente: y i ( x ,t ) A.sen (k .x .t ) (para a direita) – ( 0 ) Onda refletida: y r ( x ,t ) A.sen (k .x .t )
(para a esquerda) – ( 0 )
Onda resultante: y ( x ,t ) A.[sen (k .x .t ) sen (k .x .t )] senB senC 2.sen (
C B
C B
2
2
).cos(
)
C k .x .t e B k .x .t
C B k .x .t k .x .t k .x 2
2
C B k .x .t k .x .t .t 2
2
y ( x ,t ) A.[2.sen (k .x ). cos( .t )] 2.A.sen (k .x ). cos( .t ) Fazendo: A' 2.A.sen (k .x ) (amplitude fictícia: A' f ( x ) ) Então: y ( x ,t ) A'. cos( .t ) , onde: A( x ) ' 2.A.sen (k .x )
69
Antinodos: Antinodos: são os pontos de amplitude máxima ( A' 2.A sen (k .x ) 1)
Veja que:
Figura 4.28 Antinodos
Veja que: k .x
2
,
3. ,....... 2
Fazendo: k .x 1
2
k .x 2
x 1
3. 2
x x 2 x 1
, mas k
2.k
x 2
2.k
2
, mas k
x 1
2
4
x 2
(primeiro valor de x) 3. 4
(segundo valor de x)
3. 4 4 2
Conclusão: Conclusão: o intervalo entre dois antinodos consecutivos é a metade do comprimento de onda.
Nodos: Nodos: são os pontos de amplitude nula ( A' 0 sen (k .x ) 0 )
Figura 4.29 Nodos
Veja que: Veja que: k .x 0 ,
,.......
Fazendo: k .x 1 0 x 1 0 (primeiro valor de x) k .x 2 mas k x x 2 x 1
2
0
2
x 2
2
(segundo valor de x)
2
Conclusão: Conclusão: o intervalo entre dois nodos consecutivos é a metade do comprimento de onda.
70 Observações: Observações:
O intervalo entre dois nodos consecutivos
2
(meio comprimento de onda)
O intervalo entre dois antinodos consecutivos
2
(meio comprimento de onda)
A figura 4.30 mostra que o intervalo entre um nodo e um antinodo consecutivos é
igual a
4
(quarta parte do comprimento de onda)
Figura 4.30 Antinodos e nodos
Observação importante: importante: onda estacionária não transmite energia, pois a amplitude é nula nos nodos e a energia transmitida por uma onda é proporcional ao quadrado da amplitude. A figura 4.31 mostra as variações na amplitude em uma onda estacionária
Figura 4.31 Onda estacionária
71 4.10 RESSONÂNCIA 4.10.1 Frequência natural Vamos tomar como exemplo as cordas de um violão. Cada corda, quando excitada, tem uma frequência própria de vibração (fundamental). Pode-se dizer que cada corda de um violão tem a sua própria frequência de vibração, ou seja, sua frequência natural. Da mesma forma que a corda do violão, outros objetos tem as suas próprias frequências de vibração. A corda do violão é um caso simples, pois a frequência natural é a fundamental. Outros objetos, como um tambor, uma mesa, um prédio, uma ponte ou até mesmo nosso corpo podem vibrar em muitas frequências diferentes. Se dermos uma pancada em uma mesa, ouviremos um som que é resultante do conjunto de modos de vibração naturais natur ais da mesa. A frequência natural de cada objeto é determinada por sua massa e rigidez. Aumentar a massa de um objeto reduz a sua frequência natural. Aumentar a rigidez do objeto, como por exemplo aumentar a tração de uma corda do violão, aumenta a sua frequência natural 4.10.2 Ressonância Quando um corpo recebe energia vibratória e passa a vibrar com amplitude máxima, diz-se que entrou em ressonância. Por exemplo, para manter um sistema mola-massa vibrando você precisa fornecer energia balançando a mão. Se não fizer isso, o sistema amortece e pára. Balançando a mão devagar, com baixa frequência, a amplitude do sistema se mantém, mas é sempre pequena. Na figura 4.31, se a frequencia f é diferente da natural (f0), a mola não vibra com amplitude máxima.
Figura 4.32 Corpo vibrando com uma frequência diferente da natural
72 A frequência natural do sistema é f 0 e o gráfico da figura 4.31 mostra o caso em que a frequência do movimento da mão é diferente de f 0 . Neste caso a amplitude da vibração não é máxima. Aumentando gradualmente a frequência do balanço da mão, constata-se que a amplitude do movimento da massa vai aumentando rapidamente. Observe que a amplitude do movimento da mão é sempre a mesma, quem vai aumentando é apenas a frequência. Com um pouco de prática, logo descobre-se uma frequência certa do movimento da mão para a qual a amplitude do movimento da massa seja máxima. Essa frequência é exatamente a frequência natural do sistema e, neste caso, temos f f 0 . Podemos dizer que o sistema entrou em ressonância, ou seja a vibração ocorre com amplitude máxima.
Figura 4.33 Vibração com a frequência natural
Na ressonância, a transferência de energia da mão para o sistema massa-mola é a máxima e o sistema vai oscilar com amplitude máxima, podendo ocorrer a quebra da mola (ruína). Quando o objeto é excitado por algum agente externo em uma de suas frequências naturais dá-se a ressonância e o objeto vibra nessa frequência com amplitude máxima, só limitada pelos inevitáveis amortecimentos. 4.10.3 Exemplos de ressonância Uma criança em um balanço nunca ouviu falar em ressonância, mas sabe uma maneira usá-la ao seu favor. Em pouco tempo ela descobre qual é o momento certo de dobrar o corpo para aumentar a amplitude do movimento. Balançando na frequência certa, que é a frequência natural do sistema, chega-se à ressonância e obtém-se grandes amplitudes de oscilação.
73 O corpo de um instrumento musical, um violão, por exemplo, é uma caixa de ressonância. As vibrações da corda entram em ressonância com a estrutura da caixa de madeira que amplifica o som e acrescenta vários harmônicos, dando o timbre característico do instrumento. Sem o corpo, o som da corda seria fraco e insosso. Cada onda de rádio e TV que viaja pelo espaço tem uma frequência característica de vibração. E a onda de cada emissora tem uma frequência própria, diferente da frequência das demais emissoras. Os rádios tem um botão destinado a sintonizar as emissoras. Sintonizar uma emissora significa fazer seu receptor de rádio ou TV entrar em ressonância com a onda da emissora. O botão de sintonia serve para modificar a frequência natural de vibração do circuito eletrônico de seu receptor. Essa vibração não é mecânica, como nas molas, mas uma rápida variação nas correntes elétricas que percorrem o circuito. Na ressonância, o receptor capta energia da onda de rádio ou TV com eficiência máxima e o sinal da emissora é reproduzido pelo receptor em volume máximo. As ondas das outras emissoras, com frequências diferentes, não estão em ressonância com o receptor e passam, sem interagir com ele (exceto as rádios piratas). Às vezes, a ressonância pode ter consequências desagradáveis. Dizem que algumas pessoas sentem enjôo ao viajar de carro por causa da ressonância entre as vibrações de baixa frequência do carro e seus órgãos do aparelho digestivo, estômago e intestinos. Se isso for verdade, o remédio para essas pessoas é encher a barriga de água ou comida. Isso fará mudar a frequência natural desses órgãos internos e quebrará a ressonância. Conta a lenda que um regimento de Napoleão entrou marchando em uma ponte e a frequência do compasso da marcha, por azar, coincidiu com a frequência natural de vibração da ponte. Deu-se a ressonância, a ponte passou a oscilar com grande amplitude e desabou. A partir desse desastre os soldados passaram a quebrar o passo sempre que atravessam alguma ponte. Esse caso pode ser só lenda, mas, uma ponte nos Estados Unidos desabou quando entrou em ressonância com o vento. A ponte sobre o Estreito de Tacoma, logo após ser liberada ao tráfego, começou a balançar sempre que o vento soprava um pouco mais forte.
