GUIA DE FUNCIONES Con Respuestas P1.P1.-
Determ Determine ine el dom domini inio o de de cada cada una de las siguie siguiente ntess func funcion iones: es: 2 a) f ( x ) = 4 x − 6 . . b) f (t )
=
c)
g ( x)
=
d)
f ( z )
=
e) P2.P2.-
P#.P4.P4.-
4 − t 2
− 7t − 4
2t 2 5
.
.
x 2
−1 .
z 2
1
h( x) =
1−
1 x
.
2
Determ Determine ine los valore valoress de la func funcin in !ara !ara cada cada una una de de las las funci funcione ones: s: a)
h( s )
b)
h(v )
=
c)
g ( x )
=
=
s
2
#"
−
1
h ( 4)
"
h(
1) "
−
1 " h(1 − x ) 16 " g ( −2) " g (1) " g ( x + h)
" h (1) " h
v x − 5
+4
x 2
= x 2 + #x + 2 . Determine h( x) . 2 &ons &onsid ideere las las func uncione ioness f ( x ) = ' x + 7 g ( x) = x − x % determine: f (2 + h) − f (2) b) c)
h g ( x ) − g ( 4)
x − 4
.
.
f ( g ( x )) − g ( f ( x )) .
= ab 2 + a 2b % calcule f ( a ) f (a ⋅ b) .
P5.-
$u!onga ue f (b)
P6.P6.-
Dete Determ rmin inar ar func funcio ione ness f g% tale taless ue ue h( x)
= f ( g ( x)) !ara cada uno de los siguientes casos:
a)
h ( x )
= ( 4 x − #)
b)
h( x)
=
x2
c)
h ( x )
=
2
d)
= (# x# − 2 x )# − (# x # − 2 x) 2 + 7 . x + 1 h( x ) = . ( x + 1) 2 + 2
e)
.
−2.
1 x
5
−1
.
h( x )
*rafi *rafiue ue las siguie siguiente ntess funcion funciones es determ determina inando ndo domini dominio% o% recorr recorrido ido e interse intersecci ccin n con los e+es. e+es.
b)
= 4 − p2 . h( x ) = x 2 + 2 x + 6 .
c)
f (r ) =
d)
f ( x )
a)
P,.P,.-
2 x )
−
$ea h : IR → IR % donde h( x + 1)
a)
P7.P7.-
h(
f ( p )
16 r 2
.
= ( x − 4)2 + 1.
*raf *rafiu iuee las las sigu siguie iente ntess func funcion iones es def defin inid idas as !or !or ram ramas as::
a)
b)
2 si - ≤ x ≤ 4 f x( ) = x# si x > 4 2 x + 1 si − 1 ≤ x < 2 f x( ) = 2 ' − x si x ≥ 2
c)
x + 1 si - ≤ x < # f x( ) = 4 si # ≤ x ≤ 5 x −1 si x > 5
&onsidere la funcin f : IR
P'.-
IR tal ue:
x2 + 7 si x ≤ −1 1 f ( x) = si − 1 < x < x x + ' si x ≥ a)
ncuentre la ecuacin de la recta ue !asa !or 2, f ( 2) ue tiene !endiente /#0.
b)
ncuentre f ( f ( −2))
( a − 1) x − 1
=
P1.-
$ea y
P11.-
scriba la e!resin como un solo logaritmo: a) 2 log5 16 + # log5 4 − 4 log 5 #6 + 2 log5 ' . b)
P12.-
ln( x
ax + 2
2
. Determine el valor de a
IR tal ue la imagen de /10 es /150.
+ y 2 ) − ln 2 x − ln # y + ln 6 .
*rafiue en el mismo sistema de coordenadas: a) y = log# x e y = # x x
b) P1#.-
1 = e y = log x 4 1 4
3esuelva !ara x IR :
c)
=1. # ln( x + 1) = ln( 2 x − 25) . 2 (log 2 x) − # log2 x = 4 .
d)
2 x + 2
e)
log # x
a) b)
P14.-
y
'2−5 x
= 4 x −1 .
# + (log x)# = 1 . # x
Dadas las siguientes funciones:
= log # ( x + 4) g ( x ) = e 5 x − 7 h ( x ) = 4 x − # + 2 x − 7 1 i ( x ) = − 7 2
f ( x )
Determine: grfico% dominio recorrido de cada funcin. P15.-
ncuentre el valor de
n en la ecuacin:
a x − 2 nb 2 n 2 − t
pqr
= (1 − p − q )t + '
APLICACIONES.
P16.-
n lago formado !or un diue contiene inicialmente 1. !eces. $e es!era ue su !oblacin aumente segn:
N =
#1 + 2' ⋅ e
− k ⋅t
donde : es el nmero de !eces% en miles% ue se es!era des!u8s de /t0 a9os.
$i se sabe ue al cabo de 6 meses la !oblacin aument a 1' !eces se !lanea ue el lago estar abierto a la !esca cuando el nmero de !eces sea de 2. &untos a9os !asarn !ara ue se abra el lago a la !esca;
P17.-
ados en la maor=a de los aviones miden la altitud mediante una e!resin ue relaciona la altitud /a0 en metros sobre el nivel del mar% la tem!eratura del aire /?0 en grados &elsius% la !resin atmosf8rica /P o0 al nivel del mar la Presin atmosf8rica /P0 a cierta altitud /a0:
P a = ( #-T + ,--- ) ⋅ ln ( o ) P $u!onga ue la !resin atmosf8rica a cierta altit ud es 24.' cm de mercurio% la tem!eratura es de @ #A& la !resin atmosf8rica al nivel del mar es 76 cm de mercurio Bu8 altitud marcar el instrumento; $i el instrumento marca una altitud de 1 metros% !ara las mismas condiciones de tem!eratura !resin a nivel del mar Bu8 !resin atmosf8rica Ca a esa altura; P1,.-
n gran Cos!ital tiene una flota de # ambulancias cada una de las cuales recorre a!roimadamente 2 m al d=a gasta en !romedio 1 galn !or cada 15 m. l !recio de la gasolina es de E7 !or galn. i)
stable>ca una funcin ue e!rese la cantidad de dinero ue se necesita !ara gastos de gasolina en los siguientes /0 d=as. ii) $i la facturacin mensual !romedio en el ltimo a9o fue de E4,5.% determine la cantidad de d=as !romedio ue al mes funcionan las ambulancias. P1'.-
l nivel de !roduccin de un !roducto est en funcin de su venta. &onsideremos la funcin nivel de !roduccin f (v ) = 5 + 1%1v donde /v0 es el nmero de unidades vendidas del !roducto i) ncuentre el nivel de !roduccin !ara una venta de: 2 unidades 1 unidades ii) *rafiue la funcin determine ue sucede cuando las ventas aumentan ii) !rese las ventas en funcin del nivel de !roduccin.
P2.-
n cierto lago% las lobinas se alimentan !rinci!almente de !eces !eue9os estos se alimentan a su ve> de !lancton. $u!onga ue la magnitud de la !oblacin de lobinas es una funcin f (n) del nmero n de !eces !eue9os en el lago% el nmero de !eces !eue9os es una funcin de g (x) de la cantidad x de !lancton. !rese el tama9o de la !oblacin de lobinas como una funcin de la cantidad de !lancton si:
f ( n) P21.-
ii iii P22.-
= 5- +
n 15-
g ( x )
= 4x + #
N (C )
= # ⋅ C 2 + 25- ⋅ C + 1-2--
!ara
15 ≤ &
≤ 4-
% de!ende del nmero de Coras des!u8s de ue comien>a a crecer el cultivo est dado !or la funcin:
C ( h)
P2#.-
= 5 ⋅ h + 15
-≤C
≤ 15
i)!rese el nmero de bacterias como una funcin de C iv ii)&untas bacterias estn !resentes des!u8s de 4 Coras; v iii)Des!u8s de cuantas Coras eisten #. bacterias; na com!a9=a se seguros eamin el registro de un gru!o de individuos Cos!itali>ados !or una enfermedad en !articular. $e encontr ue el !orcenta+e total de uienes Cab=an sido dados de alta al final de /t0 d=as de Cos!itali>acin est dado !or la funcin f ( t ) donde:
f (t )
= (1 − (
#-
)# ) ⋅1-#- + t
i) Bu8 !orcenta+es de !acientes Cab=an sido dados de alta luego de 2 semanas de Cos!itali>acin; ii)Fl cabo de cuntos d=as se Cab=an dado de alta el ''G de los !acientes; P24.-
Des!u8s de observar una fotoco!iadora automtica de traba+o continuo% el t8cnico descubre ue !or un defecto de funcionamiento% la !roduccin disminuir en un nmero constante de Co+as im!resas !or Cora% arro+ando 44, Co+as im!resas durante la !rimera Cora con des!erfectos. $i la Cora # con des!erfecto !rodu+o #' Co+as. i) Determine un modelo lineal ue sea ca!a> de !redecir la cantidad de Co+as arro+adas !or la fotoco!iadora con defecto% /0% en funcin de la cantidad de Coras /t0. ii) Des!u8s de cuntas Coras la cantidad de Co+as arro+adas !or la fotoco!iadora alcan>a las 442;
P25.-
n investigador en fisiolog=a Ca decidido ue la funcin r ( s ) = − s + 12 s − 2- es un modelo matemtico ace!table !ara describir el nmero de i m!ulsos emitidos des!u8s ue se Ca estimulado un nervio. Fu= /r0% es el nmero de res!uestas !or milisegunds (ms) /s0 es el nmero de milisegundos transcurridos desde ue es estimulado el nervio. 2
i)
P26.-
&untas res!uestas son de es!erar des!u8s de # ms;
ii)$i Ca 16 res!uestas%cuntos milisegundos Can transcurridos desde ue fue estimulado el nervio; iii)*rafiue la funcin r ( s ) . $e estima ue la cantidad de material !articulado (PH1) ue de+an las fuentes mviles en el gran $antiago% relacionado con la cantidad de d= gitos afectados !or restriccin veCicular est dada !or :
2--- − ' ⋅ e -.#2⋅t
=
f (t )
15
ppm (!art=culas !or milln)
donde /t0 re!resenta la cantidad de d=gitos ue estn restringidos durante una semana. i)$i en total en una semana se restringen 12 d=gitos% &untas !!m de PH1 contaminarn $antiago en ese !er=odo; ii)Para ue el nivel de contaminacin no su!ere las 5 !!m cuntos d=gitos se deber=an restringir en la semana;
Determine el costo m=nimo !or intervenciones uirrgicas el nmero de insumos a un costo de 74 u.m. de intervenciones. $ol: 7#75 um" 2 # insumos.
RESPUESTAS
P1.-
P2.-
a.
$ol: I3.
b.
$ol: IR
c.
$ol: IR − { -}
d. e.
.$ol: ] − ∞%−1] ∪ [1%+∞[ $ol: ] − ∞%−1[ ∪ ]1%+∞ [
− 4%− 1 2
a) h ( 4)
$ol:
= 1#" h( −1) = −2" h( −2 x ) = 4 x 2 − #
h(1) = 1" h
( )=
= 11− x 7 x + h − 5 4 c) g ( −2) = − , " g (1) = − 5 " g ( x + h) = ( x + h ) + 4 b)
1 16
1 4
" h(1 − x)
2
P#.P4.-
P5.-
= x 2 + x .
$ol: h( x ) a) b)
$ol: ' $ol: x + #
c)
$ol:
$ol: f ( a )
− 72 x 2 − 144 x − 56
= 2a # " f ( a ⋅ b) = a #b(b + 1)
P6.a)
$ol: f ( x)
= x5 " g ( x) = 4 x − #
b)
$ol: f ( x )
=
c)
$ol: f ( x )
=
x " g ( x )
1
x d) $ol: f ( x ) = x # e) P7.-
$ol: f ( x )
=
" g ( x )
2
=
x2
x2
−2
−1
− x 2 + 7" g ( x ) = # x # − 2 x
x x
=
+2
" g ( x) = x + 1 .
*rafiue las siguientes funciones determinando dominio% recorrido e interseccin con los e+es. a. b. c. d.
$ol: Dom: I3" 3ec: ] − ∞ % 4 ] $ol: Dom: I3" 3ec: [ 5% +∞ [ . $ol: Dom: IR − { -} " 3ec: IR + $ol: Dom: I3" 3ec: [1% +∞ [
P'.$ol: a) y
= #x + 5
b) 2
P1.-
$ol: a
= 2.
P11.-
64 ,1 x 2 + y 2 b) $ol: ln xy a) $ol: log 5
P1#.$ol: x
b)
$ol: x
= 26
c)
$ol: x
= 16 ∨ x = 12
=4 = #∨ x =1 (1 − p − q)t + ' ⋅ p ⋅ q ⋅ r 2 −t ln a x $ol: n = b 2 ln a
d) e)
P15.-
= 12
a)
$ol: x $ol: x
APLICACIONES.
P16.- $ol: unca el lago se abrir a la !esca.
P17.-
$ol: Fltitud ,,26 metros" !resin 21.47 cm de mercurio
P1'.-
$ol: i) 27 115
P2.-
$ol: f ( x )
P21.-
$ol: i) 21.'6J&
P22.-
2 $ol: i) N (h ) = #(5h + 15) + 25-(5h + 15) + 1-2-iii) Des!u8s de a!roimadamente 6.'2 Coras.
P2#.-
$ol: i) 6,.#G
iii) v ( y )
= 5- +
= y
−5
1. 1
" y
= f (v)
4x + # 15-
ii) 2.1#Gdia
iii) a los 21.'6J&.
ii) F!roimadamente des!u8s de 1' d=as.
P24.- $ol: i) N (t ) = −2-t + 45--
ii) Des!u8s de 4 Coras.
P25.$ol: i) 7 res!uestas
ii) 6 ms
P26.$ol: i) F!roimadamente 15 !!m ii) 16 d=gitos.
ii) 2265 bacterias
