EJERCICIO 12.1 Una rueda de
30
de radio tiene una manigueta en su borde. La rueda gira a
0,5
con
su eje de posición horizontal. Suponiendo que los rayos del sol incidan vertical sobre la tierra, la sombra de la manigueta esta animada de movimiento armónico simple encontrar: a) El periodo de oscilación de la sombra, b) La frecuencia, c) Su amplitud, d) Escribir las ecuaciones que expresan su desplazamiento en función del tiempo. Suponer la fase inicial cero.
Solución
Datos:
30 0,5
Radio= Amplitud =
0,5 0,5
a) El periodo de oscilación de la sombra es:
b) La frecuencia de la sombra es:
c) Su amplitud es:
30
d) Escribir las ecuaciones q expresan su desplazamiento en función del tiempo. Suponer la fase inicial cero.
0,30 0
Donde la fase inicial es igual a cero (
).
EJERCICIO 12.3 Un oscilador armónico simple está descrito por la ecuación
4 0.0.5
Donde todos las candades se expresan en MKS. Encuentre: a.
Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento
b. Velocidad y aceleración del movimiento c.
Condiciones iniciales
d. La posición, velocidad y aceleración para e.
5
Hacer el gráfico de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Solución
Por comparación con la expresión
Tenemos que,
4 0.0.5
a) Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento.
Amplitud: Frecuencia Angular: Fase Inicial: Periodo:
40. / / = 0.5 rad
0, 0 0 0.4 0.0.5 0.04 40.0.5
Frecuencia:
b) Velocidad y aceleración del movimiento
EJERCICIO 12.3 Un oscilador armónico simple está descrito por la ecuación
4 0.0.5
Donde todos las candades se expresan en MKS. Encuentre: a.
Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento
b. Velocidad y aceleración del movimiento c.
Condiciones iniciales
d. La posición, velocidad y aceleración para e.
5
Hacer el gráfico de la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Solución
Por comparación con la expresión
Tenemos que,
4 0.0.5
a) Amplitud, periodo, frecuencia y la fase inicial del movimiento.
Amplitud: Frecuencia Angular: Fase Inicial: Periodo:
40. / / = 0.5 rad
0, 0 0 0.4 0.0.5 0.04 40.0.5
Frecuencia:
b) Velocidad y aceleración del movimiento
c)
0 0 4 40.5 .9 0 4 40.5 0.35/− 2 0 0.04 40.5 9.70 / 5 5 4 4 3.37 5 4 4 0.6/−2 2 5 0.04 4 3.370 /
Condiciones iniciales cuando
,
d) La posición, velocidad y aceleración para
e) l gráfico de la posición, velocidad y aceleración e n función del tiempo.
GRAFICA DE DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO CONTRA TIEMPO
GRAFICA DE VELOCIDAD VELOCIDAD CONTRA TIEMPO
GRAFICA ACELERACION CONTRA TIEMPO
EJERCICIO 12.4 Una parcula está situada en el extremo de un vibrador que pasa por su posición de equilibrio con una velocidad de la amplitud es de ¿Cuál es la frecuencia y el periodo del vibrador?
0− .
Escribir la ecuación que exprese su desplazamiento en función del empo. Solución
2 22 2 0 2 2 2 2 0− 000 000 0− 0 0− 000
Como pasa por la posición de equilibrio
Así la el periodo es:
Y la frecuencia:
tenemos,
La ecuación que exprese su desplazamiento en función del empo es:
EJERCICIO 12.5
Una parcular cuya masa es de vibra con movimiento armónico simple de amplitud de . Su aceleración en el extremo de su recorrido es de . Calcular la frecuencia del
8,00
movimiento y la velocidad de la parcula cuando pasa por la posición de equilibrio y cuando la elongación es de Escribir la ecuación que expresa la fuerza que actúa sobre la parcula en función posición y el empo.
, .
Solución
Datos
0− 0− 8,00 , 2 2 ; 2 2 8, 0 0 2 20−2 02 2 0 2 2 0 2 22 2 ,
,
,
La aceleración de la parcula es:
Así la frecuencia se puede calcular,
La velocidad de la parcula se puede calcular, parendo de la energía cinéca,
0 2 2 2 2 2 2 0 0− 4 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0−^,0−2 3,
Como pasa por la posición de equilibrio
Cuando la elongación es de
tenemos,
, su velocidad se puede escribir,
La fuerza que actúa sobre la parcula en función posición y el empo es
2 2 0− 0 40 2 2 0− 0−0 80
EJERCICIO 12.7
.5
Una parcula se mueve con movimiento armónico simple con una amplitud de y frecuencia 100 ciclos por segundo ¿Cuál es su frecuencia angular? Calcular su velocidad, aceleración y su fase cuando su desplazamiento es de .
0.75
La frecuencia angular es,
Solución
00 00 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 00 .5 2 2 0.75 m2 ,590
La velocidad se puede calcular a través de la energía cinéca,
La aceleración se puede calcular como sigue,
22 00 0, 75 30 La fase inicial se puede calcular como sigue, para la condiciones iniciales (t=0=),
−1 −1 ,1, 30°
EJERCICIO 12.9
0,5
8
4
Un movimiento armónico simple tiene una amplitud de y un periodo de . Calcular la velocidad y la aceleración después que la partícula pase por el extremo de su trayectoria. SOLUCIÓN:
DATOS: A = 8 cm ---- 0.08m T = 4 seg. La frecuencia angular es,
La velocidad después de
4 0,5 0,08 0,5 ,8 0−2 , es:
0,5 2 2 0,08 0,5 ,4 2 0−2
La aceleración después de
, es:
EJERCICIO 12.11
Una partícula cuya masa es de 0.5 Kg, se mueve con movimiento armónico simple. Su periodo es de 0.15 seg y la Amplitud de su movimiento es de 10cm, calcular la aceleración, la fuerza de la energía potencia y cinética cuando la partícula esta a 5 cm de la posición inicial. DATOS
Masa: 0.5 Kg Periodo (T): 0.15 S Amplitud (A): 10cm: 0.1M Po: 0.05 M SOLUCIÓN
A) F= 1/T F= 1/0.15(s)= B) W=2
6.666 Hz
* f
W=2 *6.666= 41.88 hZ C) a=-w²*x a= -41.88² * 0.05 a=87.69
D) EK= ½ m w (2)[A^2 –X^2] EK=1/2 0.5* 41.88² [0.10 ²- 0.05²] Ek= 3.28 N
EJERCICIO 12.17 Encontrar, para un movimiento armónico simple, los valores de se refieren.
̅ 2,
donde los promedios
Parte a)
Pero
̅ 0 ̅ 0
Entonces
Parte b)
Pero
2 22 2 2 2 2 1 ∫ 2 1 ∫ 1−22 2 [ ] Entonces
2 1 12 12
12. Una plancha horizontal oscila con movimiento armónico simple con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 15 oscilaciones por minuto. Calcular el valor mínimo del coeficiente de fricción a fin de que un cuerpo colocado sobre la plancha no resbale cuando la plancha se mueve.
Solución
A = 1,5m
F = 15 osc/min
= 2πf
1.
= (2π)(15
)( )
= (2π)(15 =
2 rad/seg
2 2
Ff = f N
ma = mg a=
a=
2
A
(1.5)
a = 3,70 m/s ω =3.7/9,81 ω = 0.377
= a/g
1 )( )
12.15 Un bloque de madera cuya densidad es ρ ene dimensiones a, b, c. Mientras está fotando en el agua con el lado a vercal se le empuja hacia abajo y se le suelta. Halle el periodo de las oscilaciones resultantes.
Tomemos como sendo posivo de desplazamiento del bloque vercalmente hacia abajo. Llamemos h a la longitud del bloque debajo del agua cuando ota en equilibrio. En esta situación tendremos que la fuerza neta hacia abajo será nula: mg− Fempuje = 0
mg= (V sumergido ρ0 ) g
mg= (bchρ0 ) g
Donde ρ0es la densidad del agua. Si realizamos un desplazamiento x del bloque respecto de su posición de equilibrio, la nueva longitud del bloque por debajo del agua será h + x. En esta nueva situación la fuerza neta hacia abajo ya no será nula: Fneta = mg−F ´empuje= mg− (V ’sumergido ρ0 ) g = mg− (bc [h + x] ρ0 ) g Sustuyendo en esta expresión la relación entre el peso del cilindro y la altura h: Fneta = − (bcρ0 g) x Vemos que la fuerza es de po elásco con una constante elásca: k = bcρ0 g El periodo de las oscilaciones será:
( )()
12. Cuando un hombre de 60kg se introduce en un auto, el centro de gravedad del auto baja 0,3 cm. ¿Cuál es la conste de elascidad de los muelles del auto? Suponiendo que la masa del auto es de 500kg, ¿Cuál es su periodo de vibración cuando está vacío y cuando está el hombre adentro?
SOLUCIÓN: Representación de Fuerzas -kx -kx
500 Kg 560 Kg
M1g
2 60 0.3 ;
= 3x10-3m
(M1+M2)g
a) Calculo de la constante de elasticidad (K) de los muelles del auto.
2
2 ⁄ 609. 8 2 30− ⁄ b) Periodo de vibración del auto vacío.
12
;
m1=500kg
960 500⁄ 9.79898987 9.8 . . c) Periodo de vibración del auto con el hombre adentro.
1 2 560 960 1 2 560⁄ 8.7089 8.7 . .
12.19 El Periodo de un péndulo es de 3s. ¿Cual será su periodo si su longitud (a) aumenta, (b) disminuye un 60%? Solución a. El periodo de un péndulo simple esta dado por:
3.
Si su longitud aumenta un 60%, su nueva longitud es:
0, 6
Luego.
′ .6 √ .6 √ .6 33.79 b. Si el periodo disminuye en un 60%, su nueva longitud es:
′′ 0.4 √ 0.4 ′ √ 0.4 3.89
2
12.20 El péndulo de un reloj tiene un periodo de 2s cuando g=9,80 . Si la longitud se aumenta en 1mm. ¿Cuánto se habrá atrasado el reloj después de 24horas? 12.21
2
¿Cuánto se habrá atrasado el reloj del problema anterior después de 24 horas si se coloca en un lugar donde la g=9,75 . Sin cambiar la longitud del péndulo? ¿Cuál debe ser la longitud correcta del péndulo a fin de mantener el tiempo correcto en la nueva posición?
Solución 12.21
L= 1mm → L=0,001m
2 1 ,,1 2 ,,1 2 1 g=9,75
.
=2
= 0,06346975sg
=2
= 0,063632291sg
= 0,001625411126sg
-
0,063632291sg → 0,001625411126sg 1440mt
→
X=3,6mt
L= 1mm g=9,75 T=2sg
2
.
X
L=
→
L= 0,988m
→ L=
,
EJERCICIO 12.27
Estimar el orden relativo de magnitud de los primeros términos correctivos en la serie del periodo de un péndulo simple si la amplitud es: a) 10º b) 30º
Solución
a) Para 10º
2 1 1 1 ( )[ 2 2 ] 1 12 2 12 P=( )[ 0 0 ]
P=
( ) . 8990− 8.40−
P=
b) Para 30º
( ) [ 1 12 302 12 30] ( ) . 6740−2 6. 30−
P= P=
EJERCICIO 12.31 . Una varilla de longitud L, oscila con respecto a un eje horizontal que pasa por el extremo, un cuerpo de igual masa que la varilla está situado sobre la varilla a una distancia h del eje.
a) Obtener el periodo del sistema en función de h y de L. b) ¿Hay algún valor de h para el cual el periodo es el mismo como si no hubiera masa?
Solución. a). Lo primero que haremos será encontrar el centro de masa de la masa 2 que en este caso es igual a la masa de la varilla, aplicando la siguiente formula.
+ + + 1 2 ℎ2 [32 ℎ2]
Luego calculamos el momento de inercia con la siguiente ecuación.
m
factorizando m quedaría de la siguiente forma.
Expresando el periodo con respecto al momento de inercia y al centro de masa, se tiene la siguiente ecuación:
Donde: b=centro de masa. g=gravedad m=masa Reemplazando el centro de masa y el momento de inercia se obtiene que:
/32 ℎ2/ +2 4 /32 ℎ2/ℎ Simplificando:
b). No hay ningún valor.
EJERCICIO 12.33
Un péndulo de torsión consiste de un bloque rectangular de madera de 8cm x 12cm x 3cm con una masa de 0.3 Kg, suspendido por medio de un alambre que pasa a través de su centro y de tal modo que el lado corto es vertical. El periodo de oscilación es de 2.4 s. ¿Cuál es la constante de torsión K del alambre?
Solución: Antes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular (cubo de madera), para lo cual se utilizará la siguiente ecuación.
+ 12 Donde:
M=masa del objeto, 0.3Kg.
22
= la dimensión horizontal del objeto para este caso 8cm=0.08m = la profundidad del objeto en este caso 12cm=0.12m
Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante K=Kappa, Utilizamos la siguiente ecuación que relaciona el momento de inercia con la constante.
2 2
Donde: es igual al periodo de oscilación al cuadrado, siendo I el momento de inercia y 2π al cuadrado una constante.
Haciendo la relación entre las dos ecuaciones anteriores tenemos que:
2 /
Reemplazando valores tenemos que:
0. 0 8 0. 2 0.3 /.4 0−
K=3.564X
N.m [Newton por metro]
EJERCICIO 12.38 Encontrar la ecuación resultante de la superposición de dos movimientos armónicos simples paralelos cuyas ecuaciones son:
₁ 3 ₂3
Hacer un gráco de cada movimiento y del movimiento resultante. Representar sus respecvos vectores rotantes.
SOLUCIÓN: Es una superposicion de M.A.S. Paralelos de igual frecuencia
Con resultante
Donde:
y
₁₁ ₁ ₂₂ ₂ e
₁² A₂² A₁ A₂ α^0.5 ₂₁ ₂₂₂ ta ₁₁ ₁₁ ₂ Eta euae etá demtrada e el lbr de AlF pag.37, pr ejempl. Valre: ₂₁ 3 6 ₁² A₂² A₁ A₂ α^0.5 3 ..3π/6^0.5
4.73
₂₂₂ ta ₁₁ ₁₁ ₂ ta /3/3 33 // ta 4.73
.36 Luego:
e 4.73 0.
EJERCICIO 12.49
,5°
°
0
Un péndulo simple ene un periodo de y un amplitud de , después de oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a encontrar la constante de amorguamiento . Solución
Datos:
° . 5 ° ;
;
La ecuación para este movimiento toma la forma, donde la amplitud del movimiento viene dada por,
− − l l 0eg l.°5° ,43 −1 =
EJERCICIO 12.59
0 / 0 /0 / 0 0 / / 0 / 0 / 0 / 0
Escribir la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple sin amortiguamiento al cual se le aplica la fuerza . Verificar que su solución es Solución
Reemplazando en la ecuaciòn inicial:
0 / 0 0 0 / 0 0 0 / 0 0 / 0
Reorganizando términos:
Sacando factor común :
0 / 0 / 0 0 / 0 / 0 /
EJERCICIO 12.59 En el caso del oscilador amortiguado, la cantidad
21
se denomina tiempo de relajación.
a) Verificar que tiene unidades de tiempo. b) ¿en cuánto ha variado la amplitud del oscilador después de un tiempo ? c) Expresar como una función de , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial. d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, t res veces, etc., el valor obtenido en c)?
Solución
a) Verificamos que tiene unidades de tiempo haciendo un análisis dimensional.
m mF m / 2 − ( ) −21 ( ) −12 ( ) 0,6
b) la amplitud del oscilador después de un tiempo
ha variado,
c)
Expresar como una función de , el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial.
−− − / / , 3 8 ,38
d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, t res veces, etc., el valor obtenido en c)?
− ,38 ,38 4 3,38 8 ,38
EJERCICIO 12.59 Una parcula se desliza hacia adelante y hacia atrás entre dos planos inclinados sin fricción a) Encontrar el periodo de oscilación del movimiento si h es la altura inicial b) ¿Es el movimiento oscilatorio? c)
¿Es el movimiento armónico simple?
Solución
a) La aceleración será:
a = g cos θ La longitud del plano = L = h / sen θ
Partiendo del reposo a la altura h se tiene:
L = ½ a t² => t = √(2L/a) Para descender del plano y entonces:
T = 4t = 4 √(2L/a) = 4 √ [ 2 (h/sen θ) / g cos θ ] T = 4 √ [ 4 (h/g) / (2 sen θ cos θ) ]
Teniendo en cuenta una de las identidades fundamentales de la tr igonometría:
2 sen θ cos θ = sen 2θ y operando, resulta: T = 4 x 2 √ [ (h/g) / sen 2θ] T = 8 √ [ (h/g) / sen 2θ]
b) Sí, es oscilatorio; c)
NO, no es armónico simple porque no sigue una variación senoidal o cosenoidal del tipo:
x = A cos (wt+delta)
12.30 Un disco solido de radio R puede colgarse de un eje horizontal a una distancia h de su centro A. Encontrar la longitud del péndulo simple equivalente B. Encontrar la posición del eje para el cual el periodo es un mínimo. C. Representar el periodo en función de h.
Para determinar la longitud del péndulo simple equivalente debemos calcular el periodo del péndulo e igualarlo al periodo de un simple Para determinar el periodo del péndulo compuesto primero debemos conocer el momento de inercia del disco con respecto al centro de masa I0= ½ mR2 Pero debido a que el disco no gira en su centro de masa sino a una distancia h del mismo se debe aplicar el Teorema de Steiner. El teorema de Steiner dice que el momento de inercia respecto a el eje B es Ik=mh2+I0 donde I0 es el momento de inercia respecto a el disco Entonces, Ik= mh2+1/2mR2= m (h2+1/2R2) El radio de giro K se dene Ik= mK2 mk2= m(h2+1/2R2) K2=1/2R2+h2
√
el periodo del péndulo compuesto es P=2 P(h)= 2
√
½ R2+h2/gh
m(k2)/mgh
A. Debemos igualar la fórmula de péndulo compuesto con péndulo simple para despejar L
Donde péndulo simple P = 2
√
√ √ ½ R +h /gh] =[ 2 ]
√ √
½ R2+h2/gh = 2
2
2
[2
2
2
2
K2/gh=L/g K2/h= L
L=( 1/2R2+h2)/h
B. Para hallar minimos debemos derivar P en funcion de h
√
R2/2+ h2)/gh
dP/dh= 2
Derivada de R2/2+ h2)/gh = [R2/2+h2]’[gh]-[R2/2+h2][gh]’ [gh]2 =2h [gh]-[ R2/2+h2][g+h] [gh]2 =2 gh2- R2/2g-gh2 g 2 h2
√
dp /dh = [ 2 / 2
R2/2+ h2)/gh ] [ 2 gh2- R2/2g-gh2/ g 2 h2]
El valor de h para el cual el periodo es un minimo es h = R/
C.
√ √ √
P(h)= 2
P(h)=2
½ R2+h2/gh cuando h = R/
R/g
√
√
12.6 Un anillo de 0,1 m de radio esta suspendido de una varilla como se ilustra determinar el periodo de oscilación hallar el equivalente a un péndulo simple.
a. P= 2 2
√
2
k / gb
K = I/m 2 Ic=mR Teorema de Steiner I=Ic+ma
2
2
2
I=mR +mR =LmR 2
2
2
K =2m R /m 2
K =2R P=2
2
√ √
2
2R /gr
P= 2
P=6.28
2R/g
9.0.8
P=O,89 SEG
b. L=k2/ b L=2R2/2 L=2R= 2 (0,1)= 0,2 m
Ejercicio 12.3 Un oscilador armonico simple es descrito por la ecuacion X=a sen (0,1t + 0,5)/ wt Donde todas las cantidades se expresan en MKS encontrar (a.) la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase inicial del movimiento b)la velocidad y la aceleración c) las condiciones iniciales d) la posición velocidad y aceleración para t=5 s hacer un grafico de la posición, velocidad, y aceleración en función del tiempo. a) A=4 mt w=0.1 rad/seg
T=2 /w = 2 0,1= 20 seg
F=1/T 1/20 hz
∅
= 0,5 rad
b) V=dx/dt V=4 cos (0,1t+0,5)0,1 V= 0.4 cos (0.1t+0,5) mt a = dv/dt a = 0.4 sen (0,1+0.5) 0,1 a = -0.004 sen (0,1+0,5) m/s c) si t=0 x=4 sen (0,5)m X=0,03 V=0,4 cos (0.5) V=0.35 m/s a = -0.04 sen (0.5) a = -0,019 d) si t=5 x(5)=4 sen (0,5+0,5) x(5)= 4 sen (1) = 3,36 m V(5)=0,4 cos (0,5+0,5) =0,4 cos 1 =0.21 m/s a (5) = -0,04 sen 1 a(5)= -0,033 m/s 2
nota: la grafica se encuentra adjunta a el documento como un pdf.
Ejercicio 12.14 M=?
m=60kg
Fg= ky
y=0.3cm y=0.003cm
mg=ky
K= (60kg*9.8 m/s2)/0.003 cm k=196000 N/m M=500 kg Auto vacio
MK 1
T=2
2
T=0.3173
s
Con el hombre
M+y y ../2 M+
T= 2
=
2
2
T=0.1099s
12. Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de dos movimientos armónicos simples perpendiculares cuyas ecuaciones x=3senwt, e y=4sen(wt-α) cuando α=0, α= , α= /2.hacer una gráca de la trayectoria de la parcula para cada caso y señalar el sendo en el cual viaja la parcula.
Solución α=0 x=4senwt y=3sen(wt-α) y=3sen(wt-0) y/x=3senwt/4senwt y=(3/4)x
α=1 x=4senwt y=3sen(wt-α)
y=3sen(wt- )
