Calcule, mediante la defnición de derivada, la derivada de las unciones en los puntos que se indi can: 1.
f ( ( x )=3 − 2 x + 3 x , e n x =2
2.
f ( ( x )= x
3.
f ( ( x )= x − x + 1, en x =−1
4.
f ( ( x )=2 x −6 x + 5, en x =−5
5.
f ( ( x )= x + 2 x −5, en x =1
6.
f ( ( x )=
7.
f ( ( x )= , en e n x =2 x
.
f ( ( x )=√ x x , en x =3
!.
f ( ( x )=
1".
f ( ( x )=( x −1) , e n x =2
2
2
+ 4 x − 5, en x =1
1.
2
f ( ( x )=( x −1) , e n x =2 3
2
2.
f ( ( x )= x + 1, enx en x =1 2
3
2
1
,enx =2 . x + 2 √ x
3.
1
4.
x x −1
f ( ( x )=
, e n x =2 3
11. #nali$a #nali$a la continuidad de las si%uientes si%uientes unciones: unciones: a&
'&
f ( ( x )=
5 4
x −16
{ ( ( )= {
c&
d&
e&
} > }
f ( ( x )= x + 1, si x < 2 2 x + 1, si x ≥ 2 2
x −1, s i x ≤ 0 2 x −3, si x 0
f x
f ( ( x )=
{
1
, si x < 1 x x + 1 , si x≥ 1 √ x
{
x
e
, si x≤ 0 f ( ( x )= e x + 1 2 x + 1, si x >0
}
}
12. #nali$a, #nali$a, en el intervalo (", 3&, la continuidad continuidad de la unción: unción:
{
2
f ( ( x )= , en e n x =1 x
x , si 0 < x < 1 f ( ( x )= 0, si 1 ≤ x < 2 x −1, si 2 ≤ x < 3
}
x −1 ,enx =1 3
13. )ada la unción:
{
2
x −25 f ( x )= x −5 ,si x≠ 5 0, si x =5
}
*erifque que (+& no es continua en +5. -+iste una
unción continua que coincida con (+& para todos los valores dierentes de 5/ n caso afrmativo, dar su e+presión.
x + 1 ( ) f x = 14. #nali$ar la continuidad de la unción: | x| 15. Calcular el valor da a para que la unción dada sea continua:
f ( x )=
16.
{
x + 1, s i x ≤ 1 2 3− a x , si x > 1
}
17. 0a unción defnida por:
{
√ a x,si 0 ≤ x ≤ 8
f ( x )= x 2−32 ,six > 1 x − 4
}
es continua en ",
∞ &. allar el valor de a que ace esta
afrmación correcta. 1.
se la defnición de continuidad las propiedades de los lmites para demostrar que la unción es continua en el nmero
a dado:
a&
f ( x )= x + √ 7 − x , a= 4
'&
f ( x )=( x + 2 x ) a=−1
2
3 4
2
c&
2.
3.
se la defnición de continuidad las propiedades de los lmites para demostrar que la unción es continua en el intervalo dado:
2 t + 3 , ( 2, ∞ ) t −2
a&
h ( t ) =
'&
f ( x )=2 √ 3− x , (−∞ , 3 ] .
+plique por qu8 la unción es discontinua en el punto dado a&
'&
c&
4.
2 t −3 t h ( t ) = , a=1 3 1 + t
a . di'u9e la %rfca de la unción:
f ( x )= ln| x −2|a=2
{ {
1
} }
si x ≠ 1 f ( x )= x − 1 a =1 2 si x =1 Cosx six < 1 f ( x )= 0 si x =0 a =0 2 1− x si x > 0
-;ara que valor de la constante c la unción es continua so're ( −∞ , ∞ ¿ /
{
2
f ( x )= c x3 + 2 x si x < 2 ¿ x −c x si x≥ 2 5.
}
allar el valor de a ' que ace a continua en todas partes:
{
2
x −4 si x < 2 2 x − f ( x )= 2 a x −bx + 3 si 2 < x < 3 2 x −a + b s i x ≥ 3 6.
}
-Cul de las si%uientes unciones tiene discontinuidad removi'le en
a /
x ≠ a es continua en los =eales:
determine una unción % que concuerde con para 4
x −1 f ( x )= , a=1 x −1
a&
3 2 f ( x )= x − x −2 x , a=2 x −2
'&
7.
0a uer$a %ravitacional e9ercida por la >ierra so're una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es:
{ } GMr
si r < R 3 R F ( r )= GM sir ≥ R r2
)onde ? es la masa de la >ierra, = su radio @ es la constante %ravitacional .
vale el lmite 9ustifque cada etapa seAalando las propiedades adecuadas de los lmites:
lim
a&
x → ∞
(
2
−5 x + 4 2 2 x + 5 x −8
3 x
❑
)
('&
lim x → ∞
√(
❑
2
12 x −5 x + 2 3
2
3 x + 4 x + 1
)
!. Calcule el lmite:
2u a&
lim x → ∞
1 2 x
❑
+3
('&
lim x → −∞
1− x − x 2 x
2
2
x + 5 x 3 2 (c lim & x → ∞ 2 x − x + 4
−7
(d&
4
+5 (¿¿ 2−1 )( u2− 2) lim ¿ 4u
3
u →∞
√ 9 x − x x → ∞ x 3+ 1 6
'&
c&
lim
lim Cosx x → ∞
(&
lim x → ∞
√ 9 x2 + x −3 x 3
2
(%&
5
x + x + x lim 2 4 (i& x → ∞ 1 − x + x
(9&
lim √ x + ax −√ x + bx
lim x
x → −∞
2
x → ∞
4
+ x
x
5
(B&
lim x → ∞
1− e
x
1 +2 e
1". allar las asntotas ori$ontal vertical de cada curva.
a&
2 x + 1 y= x − 2
2
x +1 2 ('& y = 2 x −3 x −2
(c&
x
2
+ x −1 y = 2 x + x −2 2 x
(d&
y =
2e x
e −5
