Ecuacion de la Continuidad

HIDRÁULICA I

Ecuación de la Continuidad

Definiciones Gasto ó caudal (Q) Volúmen que pasa por una sección de un conducto ó un cauce en una unidad de tiempo.

Q

Vol tiempo

Q

Area  longitud tiempo

también

Q  Velocidad  Area

o bien

Vol  Areal  longitud

pero

entonces

Velocidad 

longitud tiempo

por lo tanto

Q V A

Ecuación de Continuidad La masa de fluido que pasa por la sección de un conducto ó un cauce, por unidad de tiempo, permanece constante.

masa  Vol    Q  constante t t pero, si el fluido es incompresible, entonces r = constante y por lo tanto

Q  Q1  Q2 ......  Qn  constante ó en función del área y la velocidad

V1 A1  V2 A2 ..........  Vn An  constante

1

Ejemplos 1.- Un conducto de 30 cm de diámetro conduce agua a 50 cm/s, ¿Cuánto tendrá que reducirse la salida del conducto (en %) para obtener un chorro con una velocidad de 2 m/s?. Datos D1  30cm v 1  50 v 2  2

diámetro inicial

cm

velocidad inicial

s m

velocidad final

s

Desarrollo

A partir de la ecuación de la continuidad

Q  const . 

v1 A1  v 2 A2

pero como

A

 D2 4

entonces

v1

 D12 4

 v2

 D22 4

por lo tanto D2 

v1 v2

2

 D1

D2  15 cm

Resultado

D 

D1  D2 D1

D  50 %

2

2.- ¿Con que velocidad se mueve un gasto de 35 l/s de agua en una tubería de 35 cm de diámetro?. Si el diámetro se reduce a 15 cm, ¿qué velocidad adquiere el agua? Datos

Incógnitas

Q  35

Fórmulas

L

Q V A

v=?

s

D1  35cm

A

D2  15cm Desarrollo 2

A1 

v 1 

  D1

2

A1  0.096 m

4 Q

v 1  0.364

A1

m s

2

A2 

v 2 

  D2 4

Q A2

2

A2  0.018 m

v 2  1.981

m s

3

 D2 4

3.- Un tanque de 0.5m de radio recibe un caudal de agua de 25 l/s. Si el nivel de la superficie libre asciende a razón de 2cm/min, ¿cuál será el gasto que descarga a través del orificio?. Asumir que el gasto de descarga varía insignificantemente con el cambio de nivel en la superficie libre del agua. DATOS

INCÓGNITAS

Qentrada  25 h  2

Q V A

Qsalida = ?

r  0.5m

FÓRMULAS

Qentrada  Qsalida  S

L s

S = cambio de volumen almacenado

cm min

DESARROLLO

Cálculo del cambio de volumen 2

2

A    r

A  0.785 m

S  h  A

S  0.262

L s

Cálculo del gasto de salida

Qsalida  Qentrada  S

RESULTADO

Qsalida  24.74

L s

b) Cual sería el gasto si la superficie libre del agua en el tanque desciende a la mismo razón que el inciso anterior?

Qsalida  Qentrada  S Qsalida  25.26

L s

4

4.- Un conducto de 15 cm de diámetro transporta 75 l/s. El conducto se ramifica en 2, como se muestra en la figura. Si la velocidad del flujo en el conducto 2 (D2 = 10 cm) es de 5.5 m/s, encontrar (a) el gasto en el conducto 3 (D3 = 5 cm) y (b) la velocidad en los conductos 1 y 3.

D

Q

Datos D

1

2

Q1  75 1

D

3

Incógnitas L s

D1  15cm

Q3

D2  10cm

v1

D3  5cm v 2  5.5 Fórmulas

Q  VA

Q1 = Q2 + Q3

A

 D2 4

Desarrollo

Cálculo de las áreas de la sección transverzal interior de los tubos 2

A1 

2

  D1

A2 

4 2

A1  0.0177 m

2

  D2

A3 

4 2

Q3  Q1  Q2

Q2  43.2

L s

Q3  31.8

L s

b) Cálculo de las velocidades en 1 y 3 v 1 

v 3 

Q1 A1 Q3 A3

v 1  4.24

v 3  16.2

4

A3  0.002 m

a) Cálculo dl gasto en el conducto 3 Q2  A2 v 2

  D3

2

A2  0.0079 m

m s m s

5

Q2

m s

v .3

6