Superficie cilindrica
Superficies cilíndricas
Una buena parte de las superficies con las que trabajaremos trabajar emos son las curva que se mueve en el espacio (llamada generatriz), siguiendo una trayectoria determinada (llamada directriz) . Trazar la gráfica de una superficie de este tipo es muy simple, la idea es arrastrar la generatriz en la dirección de la directriz, el movimiento de la generatriz forma la superficie por la traza que va dejando. En la figura 7, la curva generatriz generatriz es una parábola y como directriz se usa el vector u = ( 0, 5, 0). En el software para este ejemplo, ejemplo, se puede cambiar la curva y la trayectoria u.
a).- Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima bien por el plano tangente a la superficie en dicho punto. Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajar desde un punto de vista m atemático fue la dada por Euclides: Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.
Ejemplo1
Trazar la gráfica de la superficie cilíndrica cuya ecuación está dada por:
Solución
Observando la ecuación
notamos que la variable libre es , esto nos
dice que debemos dibujar la traza (es decir, la parábola
) de la superficie
sobre el plano (plano ) y luego mover esta traza a lo largo del eje generar la gráfica de la superficie, como se muestra en la figura 9.
para
Ejemplo 2 Trace la gráfica de la superficie cilíndrica Solución
En este caso la variable libre es , entonces debemos dibujar la traza (la curva ) de la superficie sobre el plano (plano ) y luego debemos moverla a lo largo del eje coordenado .En este caso es muy importante tomar en cuenta que el dominio de la función es , es decir, sólo sobre esta región vamos a tener gráfica. En la figura 10 se muestra la esta superficie.
Figura 11.
Incluso los planos pueden verse como superficies cilíndricas, por ejemplo, el plano
tiene una variable libre , entonces dibujamos la traza de la
superficie sobre el planos
(plano ) y la movemos a lo largo del eje
.
Un plano como , tiene dos variables libres y , entonces dibujamos la traza ( ) sobre el plano y la movemos a lo largo del eje .
Figura 12.
b).-Cilindro Un cilindro es una figura geométrica de las denominadas superficies Cuádricas. Su definición es la siguiente:
Un cilindro es una superficie formada por rectas paralelas, cada una de las cuales c ontiene un solo punto de una curva plana denominada directriz del cilindro. Cada una de las rectas paralelas se denomina generatriz.
2.- superficie de revolución a).b).-Una superficie de revolución es aquella que se genera m ediante la rotación de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotación, la cual se halla en el mismo plano que la c urva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:
Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina sólido de revolución; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.
Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, l lamado vértice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la i nterseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.
Ecuaciones
de una superficie de revolución
c).- ejemplos E jemplo
Dada
1
la función
la superficie generada.
en los puntos (1,1) y (2,4) que rota alrededor del eje y. Calcule el area de
Tenemos
, Cambio a y b por la f unción dentro de la longitud de arco, y
E jemplo
2
Encuentre el área de la superficie obtenida por la rotación de la curva en el eje X. ;
=>
=
Entonces;
=>
=> Nuestro resultado o resultados, quedarían así: =>
o también podría quedar así:
3.- movimiento de proyectiles
Si se desprecia la resistencia ofrecida por el aire, la experiencia muestra que todos los cuerpos en caída libre están sometidos a la fuerza de atracción que ejerce la tierra sobre una masa cualquiera. El efecto de esta atracción produce en los cuerpos una aceleración dirigida hacia abajo conocida como la aceleración de la gravedad. De acuerdo a esto, un cuerpo que es lanzado horizontalmente avanzará en esa dirección a velocidad constante (aceleración igual a cer o) y caerá en la
dirección vertical con movimiento uniformemente variado debido a la aceleración de la gravedad. Es conveniente por eso cuando se trata de movimiento de proyectiles, considerar que es el resultado de dos movimientos y analizar cada uno de ellos por separado. LANZAMIENTO DE PROYECTILES AIRE ± TIERRA Si se supone que se dispara una bala de cañón desde la izquierda (fig.) y al mismo tiempo se deja caer otra bala desde la derech a, se observa lo siguiente: El proyectil disparado avanzará horizontalmente con una velocidad constante igual a la velocidad inicial con que fue disparada. (Igual longitud en las flechas horizontales) El proyectil disparado y el dejado caer, tendrán una velocidad inicial de cero en el eje vertical. El proyectil disparado y el dejado caer, incrementarán uniformemente su velocidad vertical debido a la aceleración de la gravedad. (Diferente longitud de las flechas verticales conforme cambia el tiempo) El proyectil disparado y el dejado caer, llegarán al final del movimiento en el mismo instante y con la misma velocidad vertical. Es por tanto conveniente para el estudio de este tipo de lanzamiento, separarlo en dos: 1. Un movimiento horizontal uniforme (velocidad constante) 2. Un movimiento vertical uniformemente variado (aceleración constante igual a la aceleración de la gravedad)
