Flujo a Superficie Libre

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO Departamento de Ciencias de la Tierra

INGENIERÍA CIVIL FLUJO A SUPERFICIE LIBRE (HIDRÁULICA DE CANALES) Objetivo Desarrollo en el estudiante, de la capacidad para el diseño de los elementos constituyentes de las estructuras hidráulicas, con funcionamiento hidráulico, bajo condiciones de flujo con frontera expuesta a la presión atmosférica.

CONTENIDO

Antecedentes del flujo a superficie libre Flujo uniforme Energía Específica Fuerza específica Vertedores Flujo gradualmente variado Ing. José Espinosa Organista Chilpancingo, Gro. Agosto de 2002

2 I.T.CH.

Ing. José Espinosa Organista

PRIMERA UNIDAD

I. Antecedentes del flujo a superficie libre Objetivo Desarrollo del dominio cognitivo del concepto, características, propiedades y relaciones de un flujo con frontera expuesta a la presión atmosférica.

1.1 1.2 1.3

1.4

1.5

Concepto de flujo a superficie libre Concepto de canal Características hidráulicas del flujo a superficie libre Características geométricas de los canales Propiedades conservativas del flujo a Superficie libre Conservación de la materia Conservación de la energía Conservación de la cantidad de movimiento Relaciones internas del flujo a superficie libre Flujos uniforme y variado Flujos permanente y transitorio Flujo unidimensional Relaciones internas de los canales Relaciones externas del flujo a superficie libre Línea de energía Perfil de flujo

CONTENIDO

Flujo a Superficie

Libre

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I. Antecedentes del flujo a superficie libre. 1. Concepto de flujo a superficie libre. Para explicar el concepto de flujo a superficie libre recordemos algunos conceptos antecedentes como fluido, partícula, posición y movimiento para construir a partir de ellos el concepto de flujo. Un fluido es un estado de consistencia de la materia, cuya característica fundamental es una gran susceptibilidad a las deformaciones que sufre bajo la acción de fuerzas externas, así como la transmisión de estas últimas hacia las partículas internas. Esto implica que cuando la materia se encuentra en este estado de consistencia, no existe la posibilidad de que su estructura interna soporte por si misma, y sin asociar deformaciones continuas, esfuerzos cortantes producidos en el exterior y transmitidos al interior de la materia. Es esta la razón por la cual a los fluidos se les asocia con un confinamiento físico para adquirir una estabilidad y mantenerse en reposo. po

po

Fluido totalmente confinado Fluido parcialmente confinado Existen dos tipos de deformaciones que tienen lugar en los fluidos, lo que da origen a una clasificación de los mismos. Las deformaciones isotrópicas o volumétricas y las deformaciones distorsionales; las primeras implican un cambio en el volumen, en tanto las segundas implican un cambio de forma.

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Los fluidos se clasifican en dos grupos: los gases que son altamente deformables tanto en su forma como en su volumen, lo que sugiere la presencia de deformaciones isotrópicas y deformaciones distorsionales de manera simultanea; el otro grupo lo constituyen los líquidos que son altamente deformables en cuanto a su forma, pero no de manera importante en su volumen, lo que sugiere la presencia de deformaciones distorsionales y prácticamente la ausencia de deformaciones volumétricas. El concepto de flujo entonces lo podemos definir como el movimiento de un fluido, es decir, un flujo es el constante cambio de la posición relativa de las partículas que constituyen un fluido. En el campo de estudio de este curso, el flujo de interés se refiere exclusivamente al movimiento de un tipo de fluido, el de los líquidos.

En una tubería

En una vena líquida sin frontera sólida

En una corriente natural o artificial

Ahora bien, se ha enfatizado en el hecho de que el movimiento de un fluido está asociado a la presencia de esfuerzos externos, que influyen directamente en las características del flujo, de modo que cuando las únicas causas del movimiento son la presión atmosférica y el peso propio de las partículas de los líquidos, consideramos la existencia de un flujo asuperficie libre, atendiendo al hecho de que existe necesariamente una zona de la frontera del tubo de flujo, que está expuesta a la presión atmosférica y se encuentra libre de la presión interna del fluido.

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Presión atmosférica

Es de utilidad práctica en el estudio del flujo a superficie libre el uso del término canal, para hacer referencia a los conductos con circulación de líquidos bajo el efecto exclusivo de la gravedad y de la relación de interfase con el medio gaseoso que es la atmósfera.

TEMARIO DE LA PRIMERA UNIDAD Flujo a Superficie

Libre

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1.2


Características hidráulicas del flujo a características geométricas de los canales.

superficie

libre

y

Como características del flujo a superficie libre se van a considerar los atributos que describen al flujo cuantitativa y cualitativamente, es decir que de alguna manera originan los parámetros de comparación. Con relación a las características cuantitativas se puede decir que son representadas por los parámetros que miden las cantidades físicas inherentes a los flujos. Estas características son: a) La cantidad de materia que se desplaza a través de una sección transversal del canal en la unidad de tiempo, es el concepto de gasto y se expresa en lenguaje simbólico atendiendo a las propiedades de la materia como: Gasto = cantidad de materia/ tiempo

G

Cantidad de materia = (densidad)*(volumen)

L

A

G

Flujo a Superficie

Libre

 t



AL t

m   t t

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Ing. José Espinosa Organista b) La velocidad describe a la rapidez, la dirección y el sentido del movimiento de la materia, generalmente considerada en los canales a lo largo del conducto.

v

M 1

s v t obviamente el desplazamiento es una cantidad vectorial y puede ser expresado en términos de sus componentes como: S= Sx i + Sy j + Sz k c) La presión del flujo, es la fuerza distribuida que actúa desde el exterior sobre el fluido, contribuyendo al movimiento, y se expresa de acuerdo con la ley de Pascal como:

y

h

canal

en tuberías y en canales. Flujo a Superficie

Libre

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Características geométricas de los canales Los canales tienen características geométricas de gran importancia, para la ocurrencia de los flujos, relativas a su forma y dimensiones. Las características más generales son:

Area hidráulica

Perímetro mojado

Area hidráulica. Es el área de la sección transversal del conducto, a través del cual circula el agua (A) Perímetro mojado. Es la longitud del perímetro de la sección transversal que se encuentra en contacto con el agua, produciendo la fricción (p) Radio hidráulico. Es una relación aritmética, es la razón del área hidráulica al perímetro mojado de la sección transversal. (R) Tirante. Es la profundidad del líquido en la sección transversal. Como se podrá observar pueden existir diversos valores del tirante si la sección es irregular (y)

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Pendiente. La pendiente longitudinal del fondo del canal (So) es la tangente del ángulo que el lecho del canal forma con la horizontal

y z

y

L

s0 

z L

Ahora bien, existen otros parámetros de importancia pero que dependen de la forma de los canales, como la plantilla que se refiere al ancho del lecho del canal, y el talud de las paredes laterales en los canales rectangulares y trapeciales; el diámetro en los canales circulares y el ángulo del vértice del fondo en los canales triangulares. El talud m representa a la cotangente del ángulo de inclinación de las paredes laterales.

Ancho superior B

1 m b

b

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Las expresiones para calcular el área y el perímetro mojado en secciones rectangulares y trapeciales son: Area hidráulica

A  r 2  r 2 arccos(

yr )  ( y  r) r

2 yr  y 2

Perímetro mojado

p  b  2 y m2  1 para el caso del canal rectangular m=0 y entonces las ecuaciones toman la forma: :

A  by

p  b  2y

Para sección triangular:

B

y

A  y 2 tan( ) 2 2y p cos( ) 2

Area Perímetro

y tan( / 2) 2 cos( / 2) B  y tan( / 2)

Radio

R

El ancho B

Flujo a Superficie

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Para el canal de sección circular es necesario considerar un tubo parcialmente lleno. Existen al menos dos opciones de fórmulas para el cálculo de los parámetros de estas secciones: a) Mediante el tirante y el diámetro Si la relación y/D >0.5 resultan válidas las siguientes relaciones

y

D Para el área hidráulica


yr )  ( y  r) r

2 yr  y 2

Para el perímetro mojado

p  2r (  arccos(

yr )) r

en donde r es el radio del tubo y el ángulo resultante debe ser considerado en radianes. El radio hidráulico no tiene caso expresarlo mediante una fórmula ya que resulta más sencillo calcular cada parámetro por separado y luego calcular la relación :

R 

Flujo a Superficie

Libre

A p

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Cuando el tirante es menor que el radio, es decir y/D<0.5 se tiene

y

D Para el área hidráulica

A  r 2 arccos(

yr )  ( y  r ) 2 yr  y 2 r

para el perímetro mojado

p  2r arccos(

yr ) r

En este caso como en el anterior, las ecuaciones dependen del tirante y el radio, y el ángulo resultante debe ser considerado en radianes. Además, de igual modo el radio hidráulico es la razón del área al perímetro mojado. b) Otra forma de calcular los elementos geométricos, es mediante las expresiones siguientes válidas para cualquier valor de y/D, con el ángulo en radianes:



Flujo a Superficie

1 Sen  1  D 4   1 A (  Sen ) D 2 8 R

y

Libre

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Desde el punto de vista cualitativo es importante puntualizar que en este curso las características a destacar son:  El flujo a superficie libre es considerado como un flujo permanente, es decir que no varían las características del flujo de un instante a otro al menos durante el tiempo de estudio, lo que implica la condición matemática

 (k ) 0 t

En donde k representa cualquiera de las características del flujo. Cuando esta condición no se cumple, el flujo se denomina transitorio.

La siguiente es una muestra de un flujo transitorio en un lapso breve

Flujo a Superficie

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 El flujo es incompresible, es decir que la densidad se mantiene constante;  Y debido a que en los canales generalmente los tirantes y velocidades son lo suficientemente grandes para propiciar un flujo turbulento, es prácticamente imposible la existencia de un flujo laminar en un flujo a

superficie

libre

salvo

en

algunos

fenómenos

que

no

son

propiamente canales sino escurrimientos con velocidades mínimas y con espesores de algunos milímetros. 

Con base en

estos argumentos se concluye que, a menos que se

exprese lo contrario, los análisis que se llevarán a cabo son para flujo permanente, incompresible y turbulento.

TEMARIO DE LA PRIMERA UNIDAD

Flujo a Superficie

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1.3


Propiedades conservativas del flujo a superficie

El flujo a superficie libre posee algunas propiedades que son inherentes a su naturaleza, es decir, algunas características de los flujos toman una forma específica para este tipo de flujo, y se pueden plantear de acuerdo con su referencia física. Conservación de la materia La conservación de la materia es el fundamento del principio de continuidad, el cual puede ser expresado por medio de una relación muy simple: En un volumen de control, la materia que ingresa mas (suma algebraica) la materia que egresa del volumen da como resultado la variación de la cantidad de materia en el volumen de control.

Masa ingresante

Masa de egreso Volumen de control

masaingreso  masaegreso  V La aplicación práctica más importante en la hidráulica de canales es en la ecuación del gasto, ya que a partir del balance de materia, expresado por medio del gasto, será válido considerar que en dos secciones, transversales al flujo, cualesquiera el gasto que cruza en cada sección es siempre constante, de modo que

Q1  Q2  Q3....  Qn  K

y entonces; en términos de la velocidad media y del área hidráulica se acepta que:

v1 A1  v2 A2  v3 A3  ...  vn An Flujo a Superficie

Libre

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V1A1

y

V2A2 Vi Ai

y

Q

L

Conservación de la energía La energía de un flujo también tiene la propiedad conservativa, ya que la energía sólo varía de una sección a otra a causa de influencia externa, cualquier fuerza que interactúa con el flujo le modifica su estado de energía. La condición a cumplir es la energía H=cte, donde la energía del flujo es:

H

 Z 

p



v2  2g

en donde: Z es la energía potencial debida a la posición del flujo;

p



es la energía potencial relativa a la presión del flujo y

v2 2g

es la energía cinética relativa al movimiento del flujo.

En un canal la carga de presión

queda:

v2 H  z y 2g

Flujo a Superficie

Libre

p





y



 y

por lo que la expresión

donde y es el tirante en el canal.

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V2/2g

y

z

Conservación de la cantidad de movimiento El tercer principio conservativo de los flujos a superficie libre lo constituye la conservación de la cantidad de movimiento, es decir el impulso, lo que permite determinar a partir de una suma de fuerzas en la dirección del flujo, la expresión de equilibrio dinámico:

F

e

 Q(V2  V1 )

en donde, la suma de fuerzas externas se refieren a las que el exterior produce sobre el volumen de control, y de acuerdo con la tercera ley de Newton se pueden considerar como las fuerzas hidrodinámicas con las que el agua actúa sobre sus fronteras sólidas, por ejemplo: Fuerzas sobre un obstáculo (figura en planta)

V1

Flujo a Superficie

 Fe

Libre

V2

Q

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Cuando el agua choca con un obstáculo se modifica su velocidad produciendo una diferencia de velocidades entre las secciones aguas arriba y abajo del obstáculo, ahora bien, las fuerzas que aparecen en la figura, en el análisis de equilibrio dinámico se consideran como las fuerzas con que el obstáculo actúa sobre el agua ( es decir con sentido contrario). Fuerzas en contracciones (figura en planta)

V1

F e

V2

Q


Flujo a Superficie

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1.4


Relaciones internas del flujo a superficie libre

Anteriormente ya se han mencionado algunas características del flujo a superficie libre, sin embargo hay otras que se han dejado en este apartado para enfatizar su importancia, ya que de estas características depende la estructura del curso.

Flujo uniforme y flujo variado El flujo en un canal se puede clasificar de acuerdo a la variación de sus características a lo largo de su trayectoria. Se denomina flujo uniforme al que cumple con mantener constantes sus características a lo largo de su recorrido y se considera válida la condición matemática

(k ) 0 s en donde k representa cualquier característica del flujo.

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Cuando esta condición no se cumple el flujo se considera variado, el cual se clasifica a su vez en: Flujo gradualmente variado, cuando las características cambian a lo largo del canal en una distancia muy grande;

rápidamente variado, cuando los cambios ocurren en un tramo de canal muy corto.

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Velocidad media El flujo en un canal sugiere una distribución de velocidades, en la sección transversal, ya que el efecto de rozamiento de las fronteras sólidas propicia una disminución de la velocidad de acuerdo con la ley de Newton.

Y Velocidad máxima

Velocidadd Dirección del flujo Perfil de velocidades en un canal

En el caso de la sección transversal hay que considerar que asi como existe el perfil para el tirante, existe una variación de velocidades por el efecto de las paredes laterales del canal, es decir el efecto de las orillas

Curvas de igual velocidad en la sección transversal del canal. flujo

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Velocidad media Como se observa existen diferentes valores para la velocidad en diferentes puntos, sin embargo para efectos prácticos se usa una velocidad representativa de toda la sección, denominada velocidad Q media y que corresponde a la expresión: V  A

Coeficientes de velocidad Al considerar la velocidad media en el cálculo de la energía y en la cantidad de movimiento se genera un error, por lo que para corregir ese error se consideran dos coeficientes de velocidad, uno para corregir el error en la ecuación de la energía, llamado de Coriolis, y el otro para corregir el error en la ecuación de la cantidad de movimiento, llamado de Boussinesq. Ahora bien, estos coeficientes toman valores muy cercanos a 1 en los flujos turbulentos, que son la generalidad de los casos en hidráulica de canales, por lo que en este trabajo serán considerados de esta manera. Cuando se requieran ser calculados por medición directa esto se puede hacer mediante:

1 n 3 v Ai  i 3 i 1 AV 1 n 2  v Ai  i 2 i 1 AV



Ai


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23 I.T.CH. 1.5

Ing. José Espinosa Organista Relaciones externas del flujo a superficie libre

Líneas piezométrica y de energía Se puede destacar que la línea piezométrica del flujo en un canal está constituida por la superficie del agua, lo que implica su existencia material; sin embargo, en el caso de la línea de energía, solo se puede hacer referencia a una forma de representación ideal, de la magnitud de la energía en cada sección del canal a lo largo del recorrido del agua, y que resulta paralela al fondo del canal solo en el caso del flujo uniforme, ya que en el caso del flujo variado tiene variabilidad el gradiente de energía. A la geometría que describe el tirante a lo largo del canal en el sentido del flujo se le denomina perfil del flujo.

Y Y1

Y2

yn

x

Perfil longitudinal del flujo Línea de energía Carga de velocidad

Línea piezométrica

tirante

Perfil de flujo uniforme


Flujo a Superficie

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CONTENIDO

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SEGUNDA UNIDAD

II. Flujo uniforme Objetivo Desarrollo en el estudiante, del dominio cognitivo de los conceptos, características y propiedades del flujo uniforme, así como el desarrollo de habilidades para la aplicación de los algoritmos relativos al dimensionamiento y revisión de canales bajo funcionamiento del mismo tipo.

TEMARIO DE LA QUINTA UNIDAD

2.1 2.2 2.3 2.4

2.5

Definición de flujo uniforme Características del flujo uniforme Propiedades del flujo uniforme Hipótesis de Chezy Relaciones internas Ecuación de fricción de Chezy Ecuación de Manning Cálculo del gasto Cálculo de la pendiente Cálculo de tirante uniforme Sección de máxima eficiencia Relaciones externas del flujo uniforme Diseño de canales revestidos Diseño de canales no revestidos

CONTENIDO

Flujo a Superficie

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25 I.T.CH.


II. Flujo uniforme 2.1

Definición de flujo uniforme

2.2

Características del flujo uniforme

Un flujo que conserva sus características (como gasto, velocidad, tirante, etc.) a lo largo de su trayectoria, se denomina flujo uniforme

De acuerdo con la definición del flujo uniforme las características mismo implican que al permanecer constante el gasto y características físicas del canal, las características hidráulicas cambian, es decir, el tirante permanece constante y la superficie agua resulta paralela al fondo del canal.

Espejo del agua

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

...

del las no del

V2 2g

Yn

Y1 = Y2 = Y3 =Y4 = Y5 = . . .

= Yn

Perfil longitudinal de flujo uniforme Como se puede observar, si el tirante no cambia de una sección a otra, entonces el área hidráulica se mantiene constante y en consecuencia sucede lo mismo con la velocidad del flujo, lo que implica una carga de velocidad constante, es decir una energía cinética constante y en conclusión, la línea de energía resulta paralela al fondo del canal y al espejo del agua

TEMARIO DE LA SEGUNDA UNIDAD

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2.3


Propiedades del flujo uniforme

Hipótesis de Chezy Antoine Chezy planteó dos propiedades del flujo uniforme, que resultan ser el fundamento del cálculo del flujo uniforme: La primera hipótesis es que la fuerza unitaria de arrastre del agua sobre una frontera sólida del canal, es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad media del flujo:

 V 2



La segunda hipótesis de Chezy constituye la propiedad fundamental del flujo a superficie libre, y es que el movimiento solo lo produce la componente del peso del agua en la dirección del flujo

Wx W

P

A L Wx

Wx  WSen

 W




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2.4


Relaciones internas del flujo uniforme

Ecuación de Fricción A partir de las dos hipótesis de Chezy, es posible establecer una serie de relaciones entre las diferentes características del flujo; en primer lugar:



 V entonces la Si la fuerza cortante por unidad de área es proporcionalidad arroja una igualdad por medio de una constante de proporcionalidad k, de donde queda: 2 y como el área en la que actúa la fricción del esfuerzo cortante es el desarrollo del perímetro mojado y la longitud del tramo de canal, entonces la expresión queda: 2

  kV

Fr  kV 2 PL Fr  kPLV 2

y de ahí que la fuerza de resistencia al flujo sea:

Por otra parte si el movimiento solo lo produce la componente del peso del líquido en la dirección del flujo, entonces es válida la expresión:

Fr  W x

y

kPLV 2  WSen

W  V  AL

V

2



ángulos

2

kPL

V

2



 A k P



pequeños

Sen  Tan

y recordamos que

R 

Libre

 A k P

también

se

y

Sen puede

y si consideramos

se

sabe

despejando la media. y

como

aceptar



k

RS

para que

S  Tan

A entonces la expresión queda: P

Sen 

Flujo a Superficie

como

 ALSen

ALSen muy

y

:

de donde se obtiene:

kPLV velocidad

S ese n establece

Wx  W

como

y obteniendo la raíz

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V 

 k



RS 

k

que es la ecuación de Chezy

RS  C

V C

RS

RS

en donde como ya se ha expresado R es el radio hidráulico, S es la pendiente longitudinal del flujo y C es una constante de fricción que depende del flujo y del canal. Diversos investigadores se han dado a la tarea de determinar formas prácticas y factibles de estandarizar, para la determinación del coeficiente de fricción, llamado de Chezy por referencia a la ecuación desarrollada por este. Algunos resultados son los de Kutter, Manning y Bazin los cuales se mencionan a continuación. Ecuación de Kutter En 1869 los ingenieros Ganguillet y Kutter publicaron su fórmula empírica para la determinación del coeficiente de Chezy

0.00155 1  s n C n  0.00155  1  23   s  R 23 

en la que R es el radio hidráulico, s es la pendiente del canal y n es un coeficiente que depende del material n= 0.009 para madera bien cepillada n= 0.010 para cemento puro n= 0.011 para mortero de cemento con un tercio de arena n= 0.012 para madera sin cepillar n= 0.013 para ladrillo bien careado n= 0.015 para tabique normal n= 0.017 para mampostería bien careada n= 0.020 para canales hechos en grava firme n= 0.025 para canales y ríos en buenas condiciones n= 0.030 para canales y ríos con piedras y yerbas n= 0.035 para canales y ríos en malas condiciones

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Ecuación de Manning El ingeniero Robert Manning publicó en 1890 la expresión empírica para determinar la constante de Chezy para la fricción, en la cual el coeficiente depende del radio hidráulico del canal y de un valor característico de la superficie de fricción, con la forma

C 

1 6

R n

, en donde R es el radio hidráulico del canal y n es

el coeficiente de rugosidad de Manning, que puede tomar los siguientes valores: En la siguiente tabla se presentan algunos valores típicos de la rugosidad utilizados en diseño de canales y otros como referencia para darse una idea mas apropiada del rango de valores que pueden tomar los coeficientes. Se pueden consultar tablas elaboradas por investigadores como la de los valores determinados por Robert E. Horton en 1916 para ser usada en las fórmulas Kutter y Manning. SUPERFICIE

RANGO DEL COEFICIENTE

Cemento pulido Concreto Mampostería de piedra careada Mampostería de tabique Madera cepillada Metal pulido Vidrio

0.012 a 0.014 a 0.017 a 0.017 a 0.012 0.012 0.010

0.014 0.016 0.025 0.020

Si en la ecuación de Chezy se sustituye la expresión propuesta por Manning, se obtiene: V 

1 2 3 12 R S que es la expresión más usada n

debido a su simplicidad y a que los coeficientes de rugosidad de los materiales para los que se ha estudiado en el laboratorio es mas amplio.

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Ecuación de Bazin En 1897 Bazin propuso una fórmula empírica para determinar el coeficiente de Chezy

C 

87 m 1 R

para la cual R es el radio hidráulico y m es un coeficiente que de acuerdo con los resultados de laboratorio propone para diversos materiales por ejemplo: Material m cemento liso o madera cepillada 0.0602 ladrillo 0.161 mampostería bien careada 0.46 canales de tierra de superficie muy regular 0.85 canales de tierra ordinaria 1.30 canales con yerbas y cantos rodados 1.75

Cálculo del gasto Un problema típico de la ecuación de fricción es el del cálculo del gasto, cuya ecuación se obtiene de considerar que si Q=VA entonces basta multiplicar la ecuación de la velocidad por el área hidráulica para obtener una expresión del gasto. Eligiendo el trabajo de mayor precisión práctica, al sustituir la velocidad por la expresión de Manning la ecuación del gasto queda:

Q

A 2 3 12 R S n

Donde se suponen conocidas todas las características del flujo y del canal.

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31 I.T.CH.


Ejemplo II.1 Calcular el gasto que se conduce mediante un canal de sección triangular, con taludes simétricos, vértice de 75° y tirante de 1.50m. El canal está revestido de concreto muy bien terminado y pulido, y la pendiente longitudinal es del 0.1 %. B

y

Solución: a) Cálculo del área

A  y 2tan ( ) 2

A  (1.5m) 2 tan(75 )  1.73m 2 2

;

b) Cálculo del perímetro mojado

p

2y

cos( ) 2

;

p

2(1.5m)  3.78m cos(75 ) 2

c) Cálculo del radio hidráulico

R

A p

1.73m 2 R  4.58m 3.78m

;

d) Ahora, como el canal es revestido de concreto bien pulido se propone un coeficiente de rugosidad n=0.014, de donde queda: 2 1 1.73 3 Q 4.58 0.001 2  10.78m 3 / s 0.014

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Ejemplo II.2 Calcular el gasto que conduce un canal de sección rectangular, de 12m de plantilla y con tirante de 2.85m; el canal está construido de mampostería de piedra con rugosidad 0.020 y con una pendiente de 0.0009.

2.85m

b=12.0m

Solución:

a) Cálculo del área

A  by

A  (12m)(2.85m)  34.20m2 b) Cálculo del perímetro mojado

p  b  2y

;

p  12m  2(2.85m)  17.70m c) Cálculo del radio hidráulico

R 

A p

34.20m 2 R  1.93m 17.70m

;

d) Cálculo del gasto 2 1 34.20m 2 Q 1.93 3 0.0009 2  79.52m 3 / s 0.020

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Ejemplo II.3 Calcular el gasto que conduce un canal de sección trapecial, de 12m de plantilla, talud m=1.5 y tirante de 2.75m; el canal está revestido de concreto acabado burdo con rugosidad 0.018 y con una pendiente de 0.00016 Ancho superior B

Talud 1 m b Plantilla

Solución: a) Cálculo del Area hidráulica

A  by  my 2 A  12m(2.75m)  1,5(2.75m) 2  44.34m2 b) Cálculo del Perímetro mojado

p  b  2 y m2  1 p  12m  2(2.75m) 1.52  1  21.92 c) Cálculo del radio hidráulico

A R  p

;

44.34m 2 R  2.02m 21.92m

d) Cálculo del gasto 2 1 44.34m 2 Q 2.02 3 0.00016 2  49.80m3 / s 0.018

Flujo a Superficie

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34 I.T.CH.


Ejemplo II.4 Calcular el gasto que conduce un canal de sección circular, de 2.50m de diámetro, tirante de 1.75m; el canal es un tubo prefabricado con acabado pulido fino con rugosidad 0.012 y con una pendiente de 0.0016

Y=1.75m

Solución:

D=2.50m

a) Cálculo del área hidráulica


yr )  ( y  r ) 2 yr  y 2 r

A  3.1416(1.25) 2  1.25 2 arccos( A= 4.03 m2

1.75  1.25 )  (1.75  1.25) 2(1.75)1.25  1.75 2 1.25

b) Cálculo del perímetro mojado

yr )) r 1.75  1.25 p  2(1.25m)(3.14  arccos( ))  4.96m 1.25 p  2r (  arccos(

c) Cálculo del radio hidráulico

A R  p

;

4.03m 2 R  0.8125m 4.96m

d) Cálculo del gasto 2 1 4.03m 2 Q 0.8125 3 0.0016 2  11.70m3 / s 0.012

Flujo a Superficie

Libre

35 I.T.CH.


Ejemplo II.5 Calcule el gasto en una sección compuesta. Sea una sección compuesta como la de la figura. La pendiente del canal es 0.0009, el coeficiente de rugosidad del cuerpo central es 0.014 y el de los cuerpos laterales es 0.018; los taludes son todos a 450.

2.5m

5m

Solución:

10m

10m

10m

Para el cálculo requerido, la sección se divide en tres cuerpos por medio de líneas verticales, y se calcula cada cuerpo tomando para la longitud del perímetro mojado solo en donde hay fricción. No divida de manera horizontal, puesto que la parte trapecial no trabajaría a superficie libre. a) Cálculo del gasto del cuerpo central A= by+my2+(b+2my)y A= (10)(5)+(1)(52)+{10+2(1)(5)}(2.5)=125 m2 P= b+2y(1+m2)1/2= 10+2(5)(1+1)1/2= 24.142 m R= A/P = 125/24.142 = 5.1 Q= (A/n)R2/3S1/2= (125/0.014)(5.12/3)(0.00091/2)= 793.67 m3/s b) Cálculo del gasto de cada cuerpo lateral. Como los dos canales laterales son iguales es suficiente calcular uno. A=(2.5/2)(5+7.5)= 7.81m2 P= 5+(2.5)(1+1)1/2= 8.54 m R = A/P = 7.81/8.54= 0.92 m Q=(7.81/0.018)(0.922/3)(0.00091/2) = 12.31 m3/s

c) El gasto total es Qt = 793.67 + 2(12.31) = 818.29 m3/s

Flujo a Superficie

Libre

36 I.T.CH.


Cálculo de la pendiente Una de las variantes de cálculo de las ecuaciones de fricción es el cálculo de la pendiente, lo que se logra mediante el despeje de esta variable en la ecuación del gasto.

Ejemplo II.6 Determinar la pendiente necesaria para que un canal rectangular de concreto con rugosidad de 0.014 , y plantilla de 10m, pueda conducir un gasto de 95 m3/s con una relación y/b =0.40 . Solución: a) Si la plantilla es de 10m y y/b =0.4 , entonces y=0.4(10m)=4m b) Cálculo del área

A  by

A  (10m)(4m)  40m2 c) Cálculo del perímetro mojado

p  b  2y ; p  10m  2(4m)  18m

d) Cálculo del radio hidráulico

R 

A p

;

40m 2 R  2.22m 18m e) Cálculo de la pendiente

 Qn  S  2   AR 3 

2

;

 95(0.014) S 2  40(2.22) 3 Flujo a Superficie

2

   0.000382  Libre

37 I.T.CH.


Ejemplo II.7 Determinar la pendiente que se requiere para que un tubo de concreto con n=0.012, de 2.50m de diámetro pueda conducir un gasto de 12 m 3/s con una relación y/D =0.5 . Solución:

D=2.50m Y=1.25m

a) Como y/D =0.5 y el diámetro es D=2.50m , entonces y=1.25m

r 2 A 2

b) El área hidráulica es

3.14(1.25) 2 A  2.45m 2 2 c) El perímetro mojado es p  r p  3.14(125)  3.92m d) El radio hidráulico es

R

A p

2.45m 2 R  0.625m 3.92

e) Cálculo de la pendiente

 Qn  S 2   AR 3 

2

;

 12(0.012) S  2 3  2 . 45 ( 0 . 625 )  Flujo a Superficie

Libre

   

2

 0.00646

38 I.T.CH.


Cálculo de tirante normal La siguiente variante de los problemas de fricción es el caso del cálculo del tirante normal, es decir de acuerdo con las características geométricas y físicas del canal, este impone un tirante para cada gasto. Ejemplo II.8 Determinar el tirante normal en un canal rectangular que conduce 100 m3/s , si la rugosidad es de 0.016 la pendiente es de 0.16% y la plantilla es de 12m.

Q = 100 m3/s n =0.016 s=0.0016 12 m

Solución:

Q

a) De la ecuación

A 2 3 12 R S obtenemos una n

transformación que nos separe en un miembro de la igualdad los términos conocidos y en el otro los desconocidos.

AR

2

3



Qn S

1

2

b) Sustituyendo el área y el radio hidráulico por sus expresiones correspondientes en términos del tirante, y el gasto, rugosidad y pendiente por sus valores, queda:

by 23 100(0.016) )   40 1 b  2y 2 (0.0016) 12 y 23 12 y ( )  40 12  2 y

by (

de donde por aproximaciones sucesivas el tirante normal es y=2.35

Flujo a Superficie

Libre

39 I.T.CH.


Ejemplo II.9 Determinar el tirante normal que ocurre en un canal trapecial de concreto con rugosidad de 0.017, taludes m=2, plantilla de 10 m y que con una pendiente S=0.00086 conduce un gasto de 100 m3/s

Ancho superior B

Talud 1 2 10m Plantilla

Solución:

a) Como

AR

2

3



Qn 1

S

b) entonces; AR

2

3



2

100(0.017) (0.00086)

1

 57.97 en consecuencia:

2

2 3

 by  my     57.97 by  my y al sustituir los valores  b  2 y m2  1   



2



2

de la plantilla y el talud: 2 3

 10 y  2 y     57.97 10 y  2 y  10  2 y 2 2  1   



2



2

aproximaciones resulta y=2.85

Sección de máxima eficiencia Flujo a Superficie

Libre

en donde al resolver por

40 I.T.CH.


En un canal el principal factor que provoca la disipación de energía es la fricción con las paredes y el fondo del canal, de ahí que la sección que tiene el óptimo funcionamiento es aquella para la cual con un área determinada tiene un perímetro mojado mínimo. La determinación de las condiciones geométricas con estas características, conocidas como de máxima eficiencia, se logran mediante el proceso de cálculo diferencial, determinando el valor de y para que la sección tenga un perímetro mínimo. En términos generales la mejor sección es la que tiene geometría circular, y para cada caso se tienen las condiciones de máxima eficiencia en la tabla siguiente: Sección Triangular Rectangular

Trapecial

Circular

Condición Geométrica Vértice de Medio cuadrado y  0.5 b Medio hexágono Talud de 60° Medio círculo y  0.5 D

Area Hidráulica

Perímetro Mojado

A  2y 2

p  4y

A  3y 2 p  2 3 y A

y 2 2

p  y

Radio Hidráulico

R

y 2

R 

R 

y 2

y 2


Flujo a Superficie

Libre

41 I.T.CH.

2.5


Relaciones externas del flujo uniforme

Consideremos como relaciones externas a la interacción del flujo con el medio físico, es decir el medio que determina los factores que intervienen en el fenómeno de resistencia al flujo. Como en la generalidad de los casos existen restricciones para definir la geometría del canal y sus dimensiones, se han desarrollado procesos para ese objetivo. El proceso de diseño consiste en proponer, a partir de las restricciones técnicas y económicas, las características geométricas del canal y las especificaciones constructivas. Por la naturaleza del problema, se puede diferenciar entre dos casos principales en atención al efecto erosivo del flujo sobre los materiales que conforman el cuerpo del canal: el problema de diseño de canales revestidos, en los que el canal está recubierto por algún material resistente a la erosión del flujo, como mortero, concreto, mampostería de piedra, mampostería de tabique, zampeado, etc. ; el segundo problema de diseño es el de canales sin revestir, en donde es necesario restringir las velocidades y las dimensiones a los límites de velocidad permisibles y a las condiciones de estabilidad del material en el que se va construir el canal. Los parámetros que intervienen son definidos por factibilidad técnica, como la geometría, el talud en su caso, y el tipo de revestimiento que determina el coeficiente de rugosidad; y características del terreno en el que se va a construir, como es el caso de la pendiente, para la cual interviene la topografía del terreno. El tipo de revestimiento depende de la disponibilidad y costo de los materiales, en el caso de la pendiente es necesario definir una subrasante que economice los costos por excavación del canal (conocida como excavación en cubeta), por terraplenes y acarreos. Volumen de excavación

Volumen de terraplén


Flujo a Superficie

Libre

42 I.T.CH.


En el problema de diseño de canales revestidos se puede plantear el problema de diversas formas, dependiendo de cuales son las restricciones o el criterio que se desea que prevalezca. Relación b/y En este caso el criterio es mantener una proporción entre el ancho del canal y la profundidad a la que funcionará para el gasto de diseño. Este criterio permite usar la expresión para el cálculo del tirante normal al sustituir la plantilla por su relación con el tirante. Ejemplo II.10 Diseñar un canal para conducir un gasto de 120 m3/s , el canal será revestido de mampostería de piedra angulosa y la pendiente del terreno permite una pendiente hidráulica del 0.25% Solución: a) En principio, la mampostería de piedra braza implica un coeficiente de rugosidad n=0.025 y por lo tanto la expresión

AR

2

3



Qn S

1



2

120(0.025) (0.0025)

1

 60

2

b) Ahora suponiendo que el material tiene una muy buena estabilidad, consideremos que la sección va a ser rectangular, de tal forma que las paredes del canal serán también el soporte del terreno natural. Consideremos también una relación b/y =2.5 lo que permite establecer:

by(

by 23 )  60 b  2y

y como b=2.5y la expresión se transforma en:

 2.5 y 2.5 y 2   4.5 y 

2

Flujo a Superficie

Libre

   

2 3

 60

43 I.T.CH.


ecuación que se puede resolver simplificando y se obtiene y=3.78 m ; por lo que la plantilla deberá tener un ancho b= 9.45 m Las dimensiones definitivas se ajustan a consideraciones prácticas una vez agregado al tirante el bordo libre del agua, el cual en este caso puede ser de 0.50 m quedando la altura de la mampostería en 4.30 m y un a plantilla de 9.45 m Ejemplo II.11 Diseñar un canal para un gasto de diseño de 150 m3/s para ser revestido de concreto bien terminado, con taludes a 45° y con una pendiente hidráulica de S=0.0009. Solución: a)

Calculando el término

AR

2 3

con n=0.016

Qn 150(0.016)   80 S 0.0009 b)

Ahora considerando b/y =2 ; y para 45° m=1 las ecuaciones del área, perímetro mojado y radio hidráulico se transforman de modo que:

A  by  my2

A  2 y2  y2  3y2 P  b  2 y 1  m2

P  2 y  2 y 2  2 y  2.8284 y 3y2 R  0.622 y 4.82 y AR

2

3

 3 y 2 0.622 y 

2

2.18 y

8

3

3

 2.18 y

 80

y  3.86m Flujo a Superficie

Libre

8

3

44 I.T.CH.


y entonces para este valor del tirante corresponde un valor de la

plantilla b  7.72m , a estas dimensiones hay que agregar un bordo libre y ajustar para efectos prácticos constructivos.

Altura de bordo libre

Ancho superior B=15.44 m Talud 1

Y=3.86 m 1 b = 7.72

Sección de máxima eficiencia Con este criterio se efectúa un proceso similar al anterior, auxiliándose de las ecuaciones para el área y el radio hidráulico de secciones de máxima eficiencia.

Ejemplo II.12 Diseñar un canal para que funcionando en condiciones de máxima eficiencia conduzca un gasto de 90 m3/s , si el revestimiento será de mortero con un aplanado fino y la pendiente hidráulica es 0.0014 Solución: a) como n=0.012

Flujo a Superficie

AR

2

3



Qn S

Libre

1

2



90(0.012) (0.0014)

1

2

 28.86

45 I.T.CH.

c)


Como es sección de máxima eficiencia, y siendo mortero el revestimiento lo mas conveniente es la geometría trapecial, se usan las expresiones correspondientes al área y al radio:

A  3y 2 ; R   y 3y   2 2

d)

2

3

y 2

 28.86

Al resolver la ecuación se obtiene un valor de y=3.42 m y por lo tanto la plantilla es de un ancho b= 3.95 m

Y= 3.42 m 60°

b = 3.95 m


Flujo a Superficie

Libre

46 I.T.CH.


Para el problema de diseño existen dos criterios; en uno lo importante es no rebasar el rango de velocidad permisible, para que no ocurra arrastre, del tipo de material que constituye el cuerpo del canal; En el otro se procura no rebasar el esfuerzo cortante superficial que soporta el material que constituye el lecho. Algunos valores de esta velocidad son los siguientes: VELOCIDADES MAXIMAS PERMISIBLES SEGÚN ASCE(1926) En m/s Material Agua libre Agua con excavado De Sedimento sedimento coloidal Arena fina no coloidal 0.46 0.76 Arcilla arenosa 0.53 0.76 Sedimentos saturados 0.61 0.91 Sedimentos aluviales no 0.61 1.07 Coloidales Arcilla no consolidada 0.76 1.07 Ceniza volcánica 0.76 1.07 Grava fina 0.76 1.52 Arcilla consolidada muy 1.14 1.52 Coloidal Material graduado de arcilla a 1.14 1.52 guijarros, no coloidal Sedimentos aluviales, 1.14 1.52 coloidales Material graduado, de 1.22 1.68 sedimentos a guijarros, coloidal Grava gruesa, no coloidal 1.22 1.83 Guijarros y cascajos 1.52 1.68 Pizarras y conglomerados 1.83 1.83

Agua con Arrastre grueso 0.48 0.61 0.61 0.61 0.69 0.61 1.14 0.91 1.52 0.91 1.52 1.98 1.98 1.52

En general, cuando se cuenta con suficiente información acerca de las características físicas del material, se pueden utilizar algunas fórmulas empíricas desarrolladas en la hidráulica fluvial para determinar la denominada velocidad crítica para la ocurrencia del arrastre de sedimentos.

Flujo a Superficie

Libre

47 I.T.CH.


En 1978 los ingenieros mexicanos J. Antonio Maza Alvarez y Manuel García Flores propusieron, para evaluar la velocidad media crítica la expresión: Uc=4.71 1/2D0.35RH0.15 en donde la velocidad media crítica esta en m/s; El diámetro de la partícula D está en metros, con validez en el rango 0.0001m < D < 0.4m y con la sugerencia de usar D=D m si la distribución granulométrica del material tiene una distribución extendida, D=D90 si es distribución log-normal y D=D84 para todas las

demás; finalmente, la expresión:



s a a

; es decir

la

diferencia de pesos específicos del sedimento y el agua entre el peso específico del agua. Otra opción es el uso de las tablas de Lischtvan y Levediev para suelos granulares. VELOCIDADES MEDIAS ADMISIBLES EN SUELOS GRANULARES Ym D mm 0.005 0.05 0.25 1.0 2.5 5 10 15 25 40 75 100 150 200 300 400 500

0.40m 0.15 0.20 0.35 0.50 0.65 0.80 0.90 1.10 1.25 1.50 2.00 2.45 3.00 3.50 3.85

Flujo a Superficie

1.0m 0.20 0.30 0.45 0.60 0.75 0.85 1.05 1.20 1.45 1.85 2.40 2.80 3.35 3.80 4.35 4.75

Libre

2.0m 0.25 0.40 0.55 0.70 0.80 1.00 1.15 1.35 1.65 2.10 2.75 3.20 3.75 4.30 4.70 4.95 5.35

3.0m 0.30 0.45 0.60 0.75 0.90 1.10 1.30 1.50 1.85 2.30 3.10 3.50 4.10 4.65 4.90 5.30 5.50

5.0m 0.40 0.55 0.70 0.85 1.00 1.20 1.45 1.65 2.00 2.45 3.30 3.80 4.40 5.00 5.50 5.60 6.00

Más de 10m 0.45 0.65 0.80 0.95 1.20 1.50 1.75 2.00 2.30 2.70 3.60 4.20 4.50 5.40 5.90 6.00 6.20

48 I.T.CH.


Para obtener la velocidad permisible hay que hacer un muestreo del material que constituye el lecho del canal, proponer un tirante aproximado y obtener el valor en la tabla. Proceso de diseño por medio de la velocidad máxima permisible: a) Se determina el tipo de material que conformará el canal, y las características topográficas del terreno, lo que define el coeficiente de rugosidad n, el talud estable m, la pendiente hidráulica s, y la velocidad máxima permisible V. b) Conocidos el gasto de diseño y la velocidad máxima permisible se determina el área requerida mediante la expresión:

A 

Q V

c) Conocidos el coeficiente de rugosidad n, la pendiente S, y la velocidad máxima permisible, se determina el radio hidráulico mediante la ecuación de Manning:

 Vn  R   1  S 2 

3

2

d) A partir del área requerida y el radio hidráulico determinado se obtiene el perímetro mojado mediante:

p 

A R

e) Como ya conocemos el área hidráulica y el perímetro mojado requeridos, se establece un sistema de ecuaciones con las expresiones del área y del perímetro mojado igualados a los valores requeridos f) Resolviendo el sistema de determinan el tirante y la plantilla del canal.

Flujo a Superficie

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49 I.T.CH.


Ejemplo II.13 Diseñar un canal para ser excavado en pizarra bien consolidada, para un gasto de diseño de 9 m3/s de agua limpia. La pendiente hidráulica es de S=0.0009, el coeficiente de rugosidad recomendado es n=0.018, el talud m puede ser de 0 a 0.25 y la velocidad máxima permisible se acepta de 1.8 m/s Solución: a) Como el gasto de diseño es de 9 m3/s y la velocidad máxima permisible es 1.8 m/s , el área requerida es:

A

Q 9   5m 2 V 1.8

b) Conocidos el coeficiente de rugosidad n, la pendiente S, y la velocidad máxima permisible, se determina el radio hidráulico mediante la ecuación de Manning:

 1.8(0.018) R   1 2   (0.0025)

   

3

2

 0.75m

c) A partir del área requerida y el radio hidráulico determinado se obtiene el perímetro mojado mediante:

p 

5  6.67 0.75

d) Como ya conocemos el área hidráulica y el perímetro mojado requeridos, se establece un sistema de ecuaciones con las expresiones del área y del perímetro mojado igualados a los valores requeridos

by  my 2  5

by  0.25 y 2  5

;

b  2 y 1  m 2  6.67

;

b  2 y 1  0.25 2  6.67

e) Resolviendo el sistema de ecuaciones se determinan el tirante y la plantilla del canal. Las dos opciones de solución: Y1=2.65 m ; b1=1.21 m

ó

y2=1.04 m ; b2=4.52 m

Evidentemente la opción a considerar es la de plantilla de 4.52 m ya que la plantilla de 1.20 m implica un tirante de 2.65 m

Flujo a Superficie

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50 I.T.CH.


Fuerza tractiva (cortante crítico) Otra opción para el diseño de canales no revestidos es el criterio del cortante crítico, es decir, la sección propuesta para un gasto debe ser la necesaria para que el agua no produzca sobre las paredes una fuerza de arrastre mayor que la que el material que forma el lecho del canal puede soportar en equilibrio. El agua genera al circular en el canal, en la superficie de contacto, un esfuerzo cortante que depende de la velocidad media del flujo. Existen dos efectos, uno es el del arrastre en las paredes laterales, el otro en el fondo y ambos están relacionados a partir del ángulo de reposo del material que forma el cuerpo del canal, el cual generalmente determina la inclinación de los taludes. Siendo expresión que permite calcular la proporción del cortante crítico en el talud al cortante crítico del fondo, es :

Sen 2 K  1 Sen 2

ct

c0

t    El cortante que resiste el suelo depende de las características físicas del mismo, tales como: la distribución granulométrica en suelos granulares; y en los suelos cohesivos la relación de vacíos y el contenido de arcilla.

Flujo a Superficie

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51 I.T.CH.

Ing. José Espinosa Organista El cortante que actúa

   odS

se determina mediante la expresión

   dS

si se trata del fondo; y si se trata del t 2 talud, en donde el cortante resulta en Kg/m , el tirante d está en m, el 3 peso específico del agua g/m son adimensionales. Se recomienda consultar el resumen gráfico de las diferentes fórmulas empíricas, figuras I.8, I.9, I.10 y I.11 del tomo 11 Hidráulica Fluvial, Sección Hidrotecnia del Manual de Diseño de Obras Civiles de la Comisión Federal de Electricidad, para la determinación de los coeficientes que aparecen en las ecuaciones. Proceso de diseño El diseño de canales sin revestir básicamente es recomendado solo para canales de gasto pequeño y para la rectificación de cauces naturales, sin embargo en este último caso es conveniente considerar el fenómeno incluyendo el arrastre y el transporte de sedimentos. A continuación se explica el procedimiento. 1) Se definen los datos de proyecto, tales como gasto, topografía del terreno y características del suelo. 2) Se propone un valor para la relación b/y 3) Se determinan los parámetros de cálculo como talud, pendiente del fondo, los cortantes críticos en el fondo y el talud, y los coeficientes para el cortante actual en el fondo y en el talud. 4) Se calculan los cortantes críticos y actuantes para el fondo y el talud. 5) Se igualan las expresiones correspondientes y se calcula el tirante, resultando dos valores, uno a partir de las condiciones del talud y otro a partir de las condiciones del fondo. Se escoge como resultado el tirante menor. 6) Se calcula el gasto con el tirante obtenido y el talud propuesto, para verificar si la sección tiene capacidad para el gasto propuesto. 7) Se hacen iteraciones del proceso propuesto, hasta que se obtenga el gasto de diseño.

Flujo a Superficie

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52 I.T.CH.


Ejemplo II.14 Diseñar un canal para conducir un gasto de 150m3/s, para ser excavado en un suelo arenoso con un diámetro medio de 50mm, con la pendiente de 0.0015, el ángulo de reposo es de 360 y el talud recomendado para este material es de 2H:1V. Considérese un coeficiente de rugosidad de 0.025 Solución: (a)

0

0

, y el talud tiene un , por lo que la relación entre los cortantes críticos

Sen 2 K  1  0.65 Sen 2 (b) El cortante crítico en el fondo de acuerdo con la gráfica I.8 del Manual de Diseño de Obras Civiles de la C.F.E. y tomando el criterio de 2 co g/m . 2 2 (c) ct g/m )=3.25 Kg/m (d) Proponemos una relación b/y igual a 5 con lo que se obtiene de las gráficas I.10 y I.11 ya citadas, t=0.73 3 (e) g/m )(0.0015)d ; y 3 g/m )(0.0015)d. (f) Al igualar los cortantes críticos y los actuantes correspondientes se obtienen los tirantes de 3.51m al analizar el fondo, y de 3.17m al analizar el talud. Se toma el valor de 3.17 y el ancho de la plantilla queda de 15.85m. (g) Con los datos obtenidos se obtiene el gasto de 192 m3/s (h) Como se puede observar el gasto es mayor, por lo que se necesita revisar, proponiendo ahora un tirante de 3m y una plantilla de 15m, se conserva una relación b/d de 5 y siguiendo el mismo procedimiento se obtiene una capacidad del canal de 166m3/s, lo que puede ser aceptable para conservar unidades enteras.


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CONTENIDO

53 I.T.CH.


TERCERA UNIDAD

III. Energía específica Objetivo Desarrollo en el estudiante, del dominio cognitivo de los conceptos, características y propiedades de la energía específica de un flujo; así como el desarrollo de habilidades para la aplicación de los algoritmos, relativos al dimensionamiento y revisión de canales bajo determinadas consideraciones de energía.

TEMARIO DE LA TERCERA UNIDAD 3.1 3.2

Concepto de energía específica Características de la energía específica

Curva de energía específica 3.3 3.4

3.5 3.6

Energía específica mínima Propiedades de la energía específica Régimen subcrítico Régimen supercrítico Relaciones internas de la energía específica Cálculo del flujo crítico Escalones en el fondo Ampliaciones y reducciones de la plantilla Cambios de sección Relaciones externas Ocurrencia del flujo crítico Aplicaciones CONTENIDO

Flujo a Superficie

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54 I.T.CH.


III. Energía específica

3.1

Concepto de energía específica

Al revisar las propiedades del flujo a superficie libre, se hizo referencia a las propiedades conservativas, y una es la de la conservación de la energía. Esta propiedad permite establecer relaciones que posibiliten mantener un control acerca de las variaciones, que en el flujo pueden ocurrir, al modificar características del canal, de hecho se conoce como control, a cualquier situación física que sea factible de modelar matemáticamente una relación tirante – gasto. Como ya se discutió anteriormente, la ecuación de la energía adecuada a canales toma la forma:

V2 H  Z  y 2g en donde cada término representa una componente de la energía, así entonces, Z representa la energía potencial del flujo debida a la posición con respecto a un plano de referencia, y se conoce como carga de posición Y representa la energía potencial del flujo debida a la presión, se conoce como carga de presión y se V2 manifiesta como la profundidad del flujo; y finalmente corresponde a la 2g energía cinética del flujo que se manifiesta con la rapidez del movimiento y se representa idealmente como una altura sobre el plano de referencia, a partir del tirante, equivalente al valor de ese cociente y se conoce como carga de velocidad. Es particularmente importante recalcar que la energía expresada en esta relación, corresponde a la energía por kilogramo de agua que fluye, de ahí que las dimensiones para la expresión de esta energía son

Energía fuerza * distancia  peso( fuerza) fuerza

lo que justifica que hagamos referencia a

una energía medida en metros. Como se puede observar en siguiente figura, el plano de referencia tiene una importancia fundamental para el control del flujo, ya que al comparar las condiciones de energía entre dos o más secciones, es importante conservar la misma referencia, es decir, conservar el mismo plano de referencia a lo largo de todo el canal.

Flujo a Superficie

Libre

55 I.T.CH.


Línea de energía

V2 2g

Y

Fondo del canal Z Plano de referencia En la práctica la condición del plano de referencia constante implica la necesidad de colocar bancos de nivel en diferentes puntos a lo largo del canal, esto sin embargo se puede facilitar si el banco de nivel lo constituye el propio fondo del canal, de donde surge el concepto de energía específica como la energía del flujo referida al fondo del canal.

Esta nueva definición modifica la ecuación original, ya que al ser el plano de referencia el fondo del canal, el término Z que es la carga de posición se hace cero y por consiguiente desaparece de la expresión. Como es una expresión derivada de la energía H, se adopta otro símbolo para representarla quedando la expresión como:

V2 E  y 2g Que es conocida como la ecuación de la energía específica.

TEMARIO DE LA TERCERA UNIDAD Flujo a Superficie

Libre

56 I.T.CH. 3.2

Ing. José Espinosa Organista Características de la ecuación de energía específica

Curva de energía específica Al analizar la ecuación de la energía específica se puede observar que su gráfica corresponde a una curva con las siguientes características. Observemos la estructura de la ecuación y comparemos con una sección cualquiera:

V2 E  y 2g

Analizando la sección para un gasto constante a) Si el tirante aumenta, el área de la sección aumenta b) Si el área aumenta la velocidad disminuye, c) Es decir que cuando el tirante tiende a infinito ( y  velocidad tiende a cero ( V  0 ) y

 ), la

V2  0 ), d) entonces también la carga de velocidad tiende a cero ( 2g e) por lo tanto la expresión tiende a ser una ecuación lineal

V2 E  y 2g

Ey

Pero como

la velocidad nunca podrá ser cero, pues ello implicaría la ausencia de flujo, entonces la ecuación de la energía específica resulta tener como asíntota a la recta con inclinación a 45° que pasa por el origen del sistema de coordenadas E – y Ahora consideremos el otro caso a) Si el tirante aumenta el área de la sección disminuye b) Si el área disminuye la velocidad se incrementa c) Es decir, que cuando el tirante tiende a cero la velocidad tiende a infinito

Flujo a Superficie

Libre

57 I.T.CH.


si

y0

entonces

V 

d) y en consecuencia la carga de velocidad tiende a infinito

V2  2g f) Y por lo tanto la energía tiende a infinito, pero como el tirante nunca podrá ser cero la curva de la energía tiene como asíntota al eje de abscisas en este caso al eje de la energía.

Las dos consideraciones que hemos revisado nos indican que por fuerza debe existir un valor mínimo de la energía. La gráfica tendrá una configuración del siguiente tipo

Y

E La ecuación de la energía específica puede adoptar otras formas, al sustituir la velocidad del flujo por la expresión de la velocidad media queda:

Q Si V  entonces A

Flujo a Superficie

Libre

Q2 E  y 2gA2

58 I.T.CH.


Y si se transforma en una expresión exclusiva para canales rectangulares, haciendo uso del concepto de gasto unitario, es decir el gasto por unidad de ancho del canal

queda de la forma:

q 

Q b

entonces la ecuación

q2 E  y 2gy 2

Energía específica mínima Como se puede observar en la gráfica de la curva de energía específica, la energía para un gasto determinado implica la existencia de un valor mínimo y se extiende hasta un valor infinito, el cálculo del valor de la energía específica mínima se puede efectuar mediante un análisis matemático de cálculo diferencial, así para el caso general se parte de la ecuación ya conocida, en función del área considerada como función del tirante:

De

Q2 E  y 2gA2

en donde el área es función del tirante se

dA dE dy  1 dy gA3 Q2

obtiene al derivar

como se puede observar en la figura

B

dA

dy

Flujo a Superficie

Libre

59 I.T.CH.


dA dA  Bdy  B dy

; y entonces

como es un punto mínimo

dE Q2 B  1 0 dy gA3 energía

específica

dE Q2B  1 dy gA3

dE  0 y por lo tanto dy

de donde se obtiene la condición para la

Q2B 1 gA3

mínima

también

denominada

condición de flujo crítico. Para canales rectangulares se puede sustituir el área por su expresión en términos del tirante y el ancho de la plantilla, que en esta geometría coincide con el ancho de la superficie libre, de modo que la expresión se puede transformar en

q2  1 ; de donde queda 3 gy c

yc  3

q2 g

: otra transformación

de la misma condición nos conduce a la expresión Para determinar la velocidad crítica

Vc  g

A B

expresión que se puede transformar para canales rectangulares en

Vc 

gyc

Por otra parte, se puede obtener una expresión para relacionar la energía específica mínima Eo con el tirante crítico.

De

V2 E y 2g

Flujo a Superficie

Libre

se obtiene

Vc2 Eo  yc  2g

en la

60 I.T.CH.


Vc  g

que si sustituimos

Eo

   yc  

A g  B 2g

A B

se transforma en:

2

;

Eo  yc 

1 Ac 2 Bc

y

nuevamente se obtiene una expresión para canales rectangulares si se sustituye el área por su expresión en términos del tirante y ancho de

plantilla quedando:

Eo  yc 

1 3 yc  yc ; si ahora 2 2

consideramos que está ecuación proviene de la mas general, podemos generalizar que la energía específica mínima equivale a 1.5 veces el tirante crítico.

TEMARIO DE LA TERCERA UNIDAD

Flujo a Superficie

Libre

61 I.T.CH.


3.3

Propiedades de la ecuación de la energía específica

Ya se han analizado algunas características generales de la ecuación de la energía específica, sin embargo ahora es necesario puntualizar las propiedades que implica para el fenómeno físico, estas características gráficas y matemáticas de la ecuación. Observemos la gráfica y comparemos con la ecuación; para este análisis nos vamos a auxiliar de la sección rectangular por que es la figura geométrica más sencilla y nos genera una expresión cúbica, sin embargo, su validez se extiende para cualquier caso.

q2 E  y 2gy 2 es una ecuación cúbica, por el término cuadrática del tirante en el denominador, a la vez que el término lineal.    

  

Por ser una ecuación cúbica tiene tres raíces para cada valor de la energía. Dos raíces las muestra la gráfica en el cuadrante positivo, y es el que nos interesa desde el punto de vista práctico. La tercera raíz se encuentra en el cuarto cuadrante, es decir, que implica un tirante negativo, el cual no tiene sentido físico Si utilizamos cualquier otra sección, el área resulta ser una función cuadrática del tirante, que induce a que la ecuación de energía sea una ecuación de quinto grado y por consiguiente tenga cinco raíces. Tres raíces son reales que corresponden a las analizadas en el caso rectangular y dos raíces son imaginarias. Por esta razón el trabajo con la curva de energía se reduce a la gráfica del cuadrante positivo para cualquier caso. Es decir para cada valor de la energía existen dos valores del tirante, excepto en la condición de flujo crítico, en donde la energía específica mínima corresponde con un solo valor del tirante, denominado flujo crítico.

Flujo a Superficie

Libre

62 I.T.CH.


Y1 Yc Y2 E0

E1

Régimen subcrítico Ahora analicemos el caso en que para una energía dada ocurre el tirante mayor de los dos posibles, a esta condición del flujo se le denomina flujo subcrítico, en virtud de que la velocidad del flujo resulta ser menor que la velocidad crítica para el gasto que está circulando, y al tirante que le corresponde se le denomina de tirante subcrítico o conjugado mayor. De modo que para conocer el régimen de energía en el que está funcionando un canal, se puede optar por comparar su velocidad o su tirante con los parámetros correspondientes al régimen crítico. Ahora bien, existe otro parámetro indicativo del régimen de energía, este es el número de Froude que representa la relación entre las fuerzas de inercia del flujo y las fuerzas de gravedad, la forma en que se utiliza en el análisis de la energía específica es Fr 

rectangulares se usa

Fr 

V gy c

V A g B

y para canales

. Como se puede observar, si la

velocidad de un flujo subcrítico es menor que la velocidad crítica, y la expresión del denominador corresponde a la velocidad crítica, el numerador es menor que el denominador, por lo tanto esta relación es menor que 1 y en conclusión, si el número de Froude es menor que 1 el flujo se encuentra bajo régimen subcrítico o lento.

Flujo a Superficie

Libre

63 I.T.CH.


Régimen supercrítico Ahora, al considerar el tirante menor es evidente que ocurre un flujo muy rápido, puesto que al ser la sección de un área muy pequeña, las velocidades son muy altas. Esta consideración nos conduce a que la velocidad es mayor que la velocidad crítica para el gasto dado y por lo tanto el flujo es considerado como supercrítico. Del mismo modo que para el flujo subcrítico, el número de Froude es un indicativo del régimen de energía. Si el número de Froude es mayor que 1, el flujo es supercrítico


Flujo a Superficie

Libre

64 I.T.CH.


3.4 Relaciones internas de la energía específica Cálculo del flujo crítico Ya se han desarrollado las ecuaciones para el cálculo del flujo crítico, sin embargo exceptuando al caso de canales rectangulares, en todas las demás geometrías el tirante crítico y la velocidad crítica no están explícitos, por lo que es necesario obtenerlos a partir de las condiciones críticas

Q2B 1 gA3

V

y

A g B

1

Ejemplo III.1 Calcular las características hidráulicas para flujo crítico, en un canal rectangular de 10 m de plantilla, para un gasto de 85 m3/s Solución: Las condiciones de flujo crítico en este caso se pueden calcular de manera directa mediante:

q2 yc  3 g

;

q

Q b

;

Vc 

gyc

calculando mediante la hoja anexa

Gasto Q 85

Plantilla b 10

Flujo a Superficie

Libre

Gasto unitario tirante crítico Velocidad crítica q Yc Vc 8.5 4.1059768 6.3466237

65 I.T.CH.


Ejemplo III.2 Calcule las condiciones de flujo crítico de un canal trapecial con talud m=2 y plantilla de 12m, para un gasto de 180m3/s Solución: a) Para calcular las condiciones de flujo crítico nos apoyamos en la condición

Q2B 1 gA3 y en la expresión

Vc  g

A B

b) Para la sección trapecial

A  by  my2

;

B  b  2my

c) Usando una hoja de cálculo, proponemos valores a Yc, hasta que la condición resulta igual a 1

Datos Tirante crítico Yc Gasto Q Plantilla b Talud m

Flujo a Superficie

Unidades 2.46 m 180 m3/s 12 m 2

Libre

Area A Ancho B Froude Velocidad C.

41.62 m2 21.84 m2 1.00 4.32 m/s

66 I.T.CH.


Asignamos un valor a Yc, si Fr >1 se disminuye el valor, si Fr<1 se incrementa el valor; se recomienda ir aumentando o disminuyendo la mitad de la diferencia entre dos valores subsecuentes. Ejemplo III.3 Calcular el tirante y velocidad críticos, para una tubería de 3 m de diámetro trabajando para un gasto de 14 m3/s Solución: a) Las expresiones fundamentales para las condiciones críticas son las mismas que para el ejercicio anterior, lo que cambia ahora son las expresiones para el cálculo del área y el ancho de la superficie libre del agua

Q2B  1 ; Vc  gA3

g

A B

b) Las expresiones para el área y el ancho de la superficie libre son ahora


B2

yr )  ( y  r ) 2 yr  y 2 r

2 yr  y 2

c) Ahora mediante un programa en hoja de cálculo podemos determinar el valor del tirante que cumple con las condiciones de energía específica mínima. Para proceder primero verificamos para un valor del tirante igual al radio, si el valor de Froude resulta menor que 1, usamos las columnas izquierdas de las secuencias de cálculo; si Froude es mayor que 1 usamos las columnas derechas incrementando o disminuyendo hasta que sea igual a 1.

Flujo a Superficie

Libre

67 I.T.CH.


Del cálculo correspondiente en la hoja siguiente, se obtiene que el tirante crítico tiene un valor de 1.63 m y que la velocidad crítica es de 3.58 m/s

Datos

Unidades

Gasto 14 m3/s Diámetro 3m Condición 1.000505 Condición de y
Cálculos Area Ancho sup. Froude y>r 1.626 m 3.58124962 m/s

Geométricos Unidades 3.91 m2 2.99 m 1.00


Flujo a Superficie

Libre

68 I.T.CH.


Escalones en el fondo Una de las relaciones más importantes, que es posible analizar a partir de la ecuación de la energía específica, es la de los cambios en el alineamiento vertical, es decir los cambios bruscos del nivel de la plantilla, conocidos como escalones, los cuales pueden ocurrir de manera ascendente o de manera descendente, y en un flujo subcrítico, crítico, o supercrítico cada caso con sus respectivas limitaciones y características en la variación de los tirantes. Escalón ascendente en flujo subcrítico Consideremos un flujo con una energía E1 en régimen subcrítico, lo cual implica una situación como la del punto A de la curva de la gráfica; Al subir el fondo del canal la energía específica se modifica, como el fondo es el plano de referencia, al subir este la energía con respecto a el disminuye a un valor de E2  E1  Z , lo que produce un cambio en el punto de la curva al punto B, en el cual se puede observar que corresponde a flujo subcrítico también y el tirante disminuye.

A

Y1 Y2 Yc

B

C

E2 E0

Flujo a Superficie

Libre

z

E1

69 I.T.CH.

Ing. José Espinosa Organista Línea de energía

Línea de energía

Línea piezométrica (superficie del agua)

E2 Línea piezométrica (superficie del agua)

E1 

Fondo del canal ( P.R.) En conclusión, en FLUJO SUBCRITICO un escalón ascendente produce una disminución del tirante y un incremento de velocidad y el máximo escalón, que se puede construir sin modificar las condiciones de energía, es la diferencia

Flujo a Superficie

Libre

Zmax  E1  E0

70 I.T.CH.


Escalón ascendente en flujo crítico Consideremos un flujo con una energía E1 en régimen crítico, lo cual implica una situación como la del punto A de la curva de la gráfica; Al subir el fondo del canal la energía específica se modificaría, como el fondo es el plano de referencia, al subir este la energía con respecto al disminuye a un valor de E2  E1  Z , lo que produce un valor de la energía menor que la energía mínima, y entonces un cambio en el punto de la curva no sería posible, ya que la curva no es continua para ese valor de la energía. El fenómeno físico implicaría un remanso hasta que gane energía y continúe el gasto circulando por el escalón.

A

Yc C

E2

E1 z Línea de energía

Línea de energía E2



E1

Eo

 Fondo del canal ( P.R.) En conclusión, en FLUJO CRITICO un escalón ascendente no puede ocurrir sin producir un remanso, hasta ganar la energía necesaria para alcanzar la mínima para ese gasto, es decir hasta producir nuevamente el flujo crítico. Flujo a Superficie

Libre

71 I.T.CH.


Escalón ascendente en flujo supercrítico Consideremos un flujo con una energía E1 en régimen supercrítico, lo cual implica una situación como la del punto A de la curva de la gráfica; Al subir el fondo del canal la energía específica se modifica, como el fondo es el plano de referencia, al subir este, la energía con respecto a el disminuye a un valor de E2  E1  Z , lo que produce un cambio en el punto de la curva al punto B, en el cual se puede observar que corresponde a flujo supercrítico también y como el valor de la energía se desplaza hacia la izquierda el tirante aumenta

Yc YC2 Y1

B

E0 E2

z

E1

Línea de energía Línea piezométrica (superficie del agua)

Línea de energía

E2 Línea piezométrica (superficie del agua)

E1 

Fondo del canal ( P.R.)

En conclusión, en FLUJO SUPERCRITICO un escalón ascendente produce un incremento del tirante y una disminución de la velocidad y el máximo escalón, que se puede construir sin modificar las condiciones de energía, es la diferencia

Flujo a Superficie

Libre

Zmax  E1  E0

72 I.T.CH.


Escalón descendente en flujo subcrítico Consideremos un flujo con una energía E1 en régimen subcrítico, lo cual implica una situación como la del punto A de la curva de la gráfica; Al bajar el fondo del canal la energía específica se modifica, como el fondo es el plano de referencia, al bajar el nivel de éste, la energía con respecto al fondo aumenta a un valor de E2  E1  Z , lo que produce un cambio en el punto de la curva al punto B, en el cual se puede observar que corresponde a flujo subcrítico también y la energía se desplaza hacia la derecha, entonces el tirante aumenta.

Y2 B Y1 Yc

A

C

E1 E0 energía Línea de piezométrica (superficie del agua)

E2

z

Línea Línea piezométrica de energía (superficie del agua)

E1

E2




En conclusión, en FLUJO SUBCRITICO un escalón descendente produce un incremento del tirante y una disminución de la velocidad

Flujo a Superficie

Libre

73 I.T.CH.


Escalón descendente en flujo crítico Consideremos un flujo con una energía E1 en régimen crítico, lo cual implica una situación como la del punto A de la curva de la gráfica; Al descender el fondo del canal la energía específica se modificaría, como el fondo es el plano de referencia, al bajar este su nivel, la energía con respecto al fondo aumenta a un valor de E2  E1  Z , lo que produce un valor de la energía mayor que la energía específica inicial, y entonces ocurre un cambio en el punto de la curva hacia el punto B. Ya que la energía se desplaza hacia la derecha, el tirante aumenta y la velocidad disminuye si en el canal aguas abajo se propicia flujo subcrítico, o a la inversa si el canal aguas abajo produce flujo supercrítico.

Y2

B A

Yc =Y1 C

Línea de energía


E1

z

E2

E2 E1 Línea piezométrica (superficie del agua)




En conclusión, en FLUJO CRITICO un escalón descendente puede propiciar un incremento o un decremento del tirante, dependiendo de las condiciones de control existentes aguas abajo, flujo subcrítico o supercrítico respectivamente. Flujo a Superficie

Libre

74 I.T.CH.


Escalón descendente en flujo supercrítico Consideremos ahora un flujo con una energía E1 en régimen supercrítico, lo cual implica una situación como la del punto A de la curva de la gráfica; Al bajar el nivel del fondo del canal, la energía específica se modifica, como el fondo es el plano de referencia al subir este la energía con respecto a el se incrementa a un valor de E2  E1  Z , lo que produce un cambio en el punto de la curva al punto B, en el cual se puede observar que corresponde a flujo supercrítico también y como el valor de la energía se desplaza hacia la izquierda el tirante disminuye

Yc YC1 Y2

A

E0 E1

z

E2 Línea de energía

Línea de energía

E2


E1





En conclusión, en FLUJO SUPERCRITICO un escalón descendente produce un decremento del tirante y un incremento de la velocidad TEMARIO DE LA TERCERA UNIDAD Flujo a Superficie

Libre

75 I.T.CH.


Ampliaciones y reducciones de la plantilla En canales rectangulares existe otro problema por estudiar, el relativo al cambio que puede ocurrir en el ancho de la plantilla. Como para este tipo de canales se ha definido al gasto unitario como el gasto que conduce el canal por unidad de ancho del canal, recordemos que:

q

Q b

y por lo tanto, si el ancho del canal aumenta entonces el gasto unitario disminuye; por otra parte, si el ancho del canal disminuye, el gasto unitario aumenta. Por otra parte, para el análisis que se va a desarrollar a continuación, es importante tener en cuenta la siguiente consideración. La ecuación de la energía específica para canales rectangulares es

q2 E  y 2gy 2 de donde se puede observar que, si se mantiene un valor del tirante y el gasto unitario se modifica, al aumentar el gasto unitario el segundo término es el que cambia, y en consecuencia el valor de la energía es mayor. Por el contrario, si el gasto unitario disminuye, es evidente que se asocia una menor energía. Este razonamiento implica que la curva de energía específica está más a la derecha cuanto más grande es el gasto, lo que se ilustra en la gráfica

Aumenta q

Flujo a Superficie

Libre

76 I.T.CH.


De ahí se puede observar que:

Para ampliaciones Si el flujo es subcrítico, al incrementarse la plantilla disminuye el gasto unitario, la curva para este nuevo gasto unitario se encuentra más a la izquierda y entonces el tirante correspondiente es mayor, como se observa en la rama superior de la curva. Si el flujo es supercrítico, al incrementarse la plantilla disminuye el gasto unitario, la curva para este nuevo gasto unitario se encuentra más a la izquierda y entonces el tirante correspondiente es menor, como se observa en la rama inferior de la curva

Para Contracciones Si el flujo es subcrítico, al disminuir el ancho de la plantilla aumenta el gasto unitario, la curva para este nuevo gasto unitario se encuentra más a la derecha y entonces el tirante correspondiente es menor, como se observa en la rama superior de la curva. Si el flujo es supercrítico, al disminuir el ancho de la plantilla aumenta el gasto unitario, la curva para este nuevo gasto unitario se encuentra más a la derecha y entonces el tirante correspondiente es mayor, como se observa en la rama inferior de la curva. La máxima contracción que puede ocurrir en un canal se producir remanso es aquella que al modificar el gasto unitario, esté asociado al tirante crítico, es decir que se presenten las condiciones de flujo crítico

Cambios de sección Un último problema típico es la ocurrencia de un cambio en la geometría de la sección, en este caso el análisis implica determinar la energía específica inicial y determinar las condiciones que ocurrirán en la nueva sección, verificando que la energía específica mínima correspondiente a la nueva geometría sea menor que la energía disponible, de lo contrario ocurrirá remanso. TEMARIO DE LA TERCERA UNIDAD Flujo a Superficie

Libre

77 I.T.CH.


3.4 Relaciones externas de la energía específica Ocurrencia del flujo crítico La presencia de flujo crítico en un canal tiene que ver con una de las dos siguientes circunstancias: Una pendiente crítica, es decir, una pendiente cuyo tirante normal correspondiente al gasto que circula, resulte ser el tirante crítico; o bien, la acción aguas arriba y aguas abajo, de controles asociados a flujos subcrítico y supercrítico respectivamente. Algunos de los casos de controles pueden ser: a) Un cambio de pendiente suave (subcrítica) que impone un tirante normal mayor que el tirante crítico, a una pendiente fuerte (supercrítica) que impone un tirante normal menor al tirante crítico (figura A) b) Un escalón ascendente máximo, o una contracción máxima (figuras B1 y B2) c) Un canal que termina en una caída libre (figura C) d) Una compuerta que descarga, con una abertura mayor que el tirante crítico, a un canal con pendiente fuerte o supercrítica (figura D) Tirante crítico

Pendiente suave

FIGURA A

Flujo a Superficie

Libre

Pendiente fuerte

78 I.T.CH.


tirante crítico en una caída al final de una pendiente adversa

Yc b mínimo Z=E1-Eo Perfil de escalón para Flujo crítico FIGURA B

Flujo a Superficie

Libre

Contracción para flujo crítico

79 I.T.CH.


Yc

Pendiente suave FIGURA C

Yc

FIGURA A D


Flujo a Superficie

Libre

80 I.T.CH.


Aplicaciones Existe una amplia variedad de problemas de aplicación, en este trabajo solo plantearemos algunos, pero debe quedar claro que existen múltiples combinaciones en la aplicación de las propiedades y relaciones inherentes al concepto de energía específica. EJEMPLO III.4 Un canal rectangular de 9.0 m de plantilla conduce agua con una velocidad de 2.0 m/s y un tirante de 3.5 m; Calcular el tirante que se produce al subir el fondo 0.40 m mediante un escalón. Solución: a) En primer lugar es preciso conocer el régimen en que se encuentra el flujo, para saber la variación que se debe esperar para el tirante: como

Fr 

V  gy

2m / s

 0.34

2

9.81m / s (3.5m)

,

de

donde

observamos que está en régimen subcrítico, y como el escalón es ascendente se obtendrá un tirante menor que 3.5 y mayor que el tirante crítico que es

yc  3

2 q2 (vy) 2 [( 2 m / s )( 3 . 5 m )] 3 3  1.71m g g 9.81m / s 2

q2 72 E1  y1   3.5   3.7 2 2 2 gy 2 x9.81x3.5

b) La energía después del escalón será

E2  E1  Z

y como la energía del flujo antes del escalón es , entonces la energía después del escalón es

c) Ahora

entonces

E2  E1  Z  3.7  0.4  3.3 queda

72 E2  y 2   3.3 2(9.81) y 22 Flujo a Superficie

Libre

planteada

la

ecuación:

81 I.T.CH.


d) La que se puede resolver mediante aproximación de raíces

Energía específica Gasto unitario

3.29383136 7

Tirante

3.02

el nuevo tirante es de 3.02 m EJEMPLO III.5 Un canal rectangular que conduce un gasto de 120 m3/s, tiene una plantilla de 8 m y un tirante de 2.15 m. Calcular el tirante que se produce cuando ocurre un cambio en el fondo mediante un escalón ascendente de 0.30 m de manera suave. Solución: a) Como el gasto es de 120 m3/s, y el ancho de la plantilla es de 8m, entonces el gasto unitario

q  Q / b  (120m3 / s) / 8m  15m2 / s

b)

yc  3

q2 (15) 2 225 3 3  2.84m de donde g g 9.81m / s 2

se observa que el flujo es supercrítico c) Ahora bien, la energía del flujo antes del escalón es

q2 15 2 E1  y1   2.15   4.63 y entonces la 2 gy 2 2(9.81)(2.15) 2 energía después del escalón es:

E2  E1  Z  4.63  0.3  4.33m

Flujo a Superficie

Libre

82 I.T.CH.


d) y entonces queda planteada la ecuación

15 2 E2  y2   4.33 2 2(9.81) y 2

la cual se puede resolver por medio de

aproximaciones sucesivas:


4.33027109 15

Tirante

2.51

por lo que el tirante será de 2.51m EJEMPLO III.6 Determinar cual es el máximo ascenso que puede tener el fondo de un canal rectangular de 10 m de plantilla, que conduce un gasto unitario de 14 m2/s cuando el tirante es de 3.60 m. Solución: a) La energía específica del flujo es:

q2 14 2 E1  y1   3.60   4.37 2 gy 2 2(9.81)(3.6) 2 b) El tirante crítico para ese gasto unitario es:

yc 

3

q2  g

3

(14) 2  g

energía específica mínima

3

196  2.71m 9.81m / s 2

E0  1.5 yc  1.5(2.71)  4.07

c) Entonces el máximo escalón es:

Z max  E1  E0  4.37  4.07  0.30m Flujo a Superficie

Libre

y la es:

83 I.T.CH.


Ejemplo III.7 Un canal rectangular de 10 m de plantilla conduce agua con una velocidad de 2.5 m/s y un tirante de 3.5 m; Calcular el tirante que se produce al bajar el fondo 0.40 m mediante un escalón suave. Solución: a) En primer lugar es preciso conocer el régimen en que se encuentra el flujo, para saber la variación que se debe esperar para el tirante:

V 2.5m / s   0.43 2 gy 9.81m / s (3.5m)

Fr 

de donde observamos que está en régimen subcrítico, y como el escalón es descendente se obtendrá un tirante mayor que 3.5 b) La energía después del escalón será energía del flujo antes

E2  E1  Z del

y como la escalón es

q2 [(2.5)(3.5)]2 E1  y1   3.5   3.82m 2 2 2 gy 2 x9.81x3.5 la

energía

después

del

entonces escalón

es

E2  E1  Z  3.82  0.4  4.22m c)Ahora

E2  y2 

entonces

queda

planteada

la

2

8.75  4.22m 2(9.81) y 22

d) La que se puede resolver mediante aproximación de raíces


4.2175917 8.75

Tirante

3.97

el nuevo tirante es de 3.97 m

Flujo a Superficie

Libre

ecuación:

84 I.T.CH.


Ejemplo III.8 Un canal rectangular que conduce un gasto de 120 m3/s, tiene una plantilla de 8 m y un tirante de 2.15 m. Calcular el tirante que se produce cuando ocurre un cambio en el fondo mediante un escalón descendente de 0.60 m de manera suave. Solución: a) Como el gasto es de 120 m3/s, y el ancho de la plantilla es de 8m, 3 2 entonces el gasto unitario q  Q / b  (120m / s) / 8m  15m / s b) El tirante crítico es

yc  3

q2 (15) 2 225 3 3  2.84m de donde se g g 9.81m / s 2

observa que el flujo es supercrítico c) Ahora bien, la energía del flujo antes del escalón es

q2 15 2 E1  y1   2.15   4.63 y entonces la 2 gy 2 2(9.81)(2.15) 2 energía después del escalón es:

E2  E1  Z  4.63  0.3  4.93m d) y entonces queda planteada la ecuación

15 2 E2  y2   4.93 2 2(9.81) y 2

la cual se puede resolver por medio de

aproximaciones sucesivas:


4.93097677 15

Tirante

1.967

por lo que el tirante será de 1.97 m

Flujo a Superficie

Libre

85 I.T.CH.


Ejemplo III.9 Un canal rectangular de 12 m de plantilla conduce un gasto de 150 m3/s, con un tirante de 3.2 m. Se pretende reducir el ancho de la plantilla en 0.60 m. Calcular el nuevo tirante. Solución: a) Como el gasto es de 150 m3/s, y el ancho de la plantilla es de 12 m, entonces el gasto unitario

q  Q / b  (150m3 / s) / 12m  12.5m2 / s yc  3

2 4 2 q2 ( 12 . 5 ) 156 . 25 m / s 3 3  2.51m 2 g 9.81 9.81m / s

de

donde se observa que el flujo es subcrítico b) Ahora bien, la energía del flujo antes de la contracción es

q2 12.5 2 E1  y1   3.2   3.98m 2 gy 2 2(9.81)(3.2) 2

y entonces

c) La energía después de la contracción es la misma, pero ahora con el nuevo gasto unitario que es:

q  Q / b  (150m3 / s) / 11.6m  12.93m2 / s ecuación

queda

planteada

q2 12.93 2 E1  y1   y  3.98m 2 2 2 gy 2(9.81) y Energía específica Gasto unitario

3.99 12.93

Tirante

3.10

Y el tirante resulta ser de 3.1 m.

Flujo a Superficie

Libre

de donde

, la como

86 I.T.CH.


Ejemplo III.10 Un canal rectangular conduce un gasto de 150 m3/s, con un tirante de 2.5 m y un Fr=1.4; determine el tirante si se produce una contracción de 0.50m Solución: a) Como el número de Froude es mayor que 1, el flujo es supercrítico, y en consecuencia con una contracción el tirante va a aumentar. b) Para obtener la velocidad, del número de Froude se obtiene que

V  1.4

gy  1.4

c) La energía del flujo es d) Como

b

9.81(2.5)  6.93m / s

V2 6.932 E  y  2.5   4.95m 2g 2(9.81)

q  vy  6.93  2.5  17.33

Q 150   8.65m q 17.33

b=8.15 m queda

q 

,

y

entonces

por lo que al reducirse la plantilla a

Q 150   18.40m b 8.15

d) Y la ecuación de energía queda planteada para la sección reducida como

q2 18.40 2 E1  y   y  4.95m 2 gy 2 2(9.81) y 2


4.95 18.40

Tirante

2.90

Y el tirante resulta ser de 2.9 m.

Flujo a Superficie

Libre

de donde

87 I.T.CH.


Ejemplo III.11 Un canal rectangular de 10 m de plantilla conduce un gasto de 120 m3/s, con un tirante de 3.2 m. Se pretende ampliar gradualmente, en 1 m el ancho de la plantilla. Calcule el nuevo tirante. Solución:

a) El gasto unitario en el canal es

q

Q 120   12m 2 / s b 10

b) El tirante crítico para este gasto unitario es

yc 

3

q2  g

3

(12) 2  9.81

3

144m 4 / s 2  2.45m 9.81m / s 2

de

donde se observa que el flujo está en régimen subcrítico c) La energía específica del flujo es

q2 12 2 E1  y   3.2   3.92m 2 gy 2 2(9.81)(3.2) 2 d) Ahora, como la plantilla aumenta 1 m, entonces el nuevo ancho de plantilla es 11 m, y por lo tanto el nuevo gasto unitario es

q

Q 120   10.91m 2 / s b 11

energía

E1  y 

específica 2

con

el

nuevo

gasto

unitario

es

2

q 10.91  y   3.92m 2 gy 2 2(9.81) y 2

valor del nuevo tirante


3.92 10.91

Tirante

3.4

El nuevo tirante es 3.4 m

Flujo a Superficie

y la ecuación para la

Libre

cuya solución arroja el

88 I.T.CH.


Ejemplo III.12 Un canal trapecial de 10 m de plantilla y taludes m=1, conduce un gasto de 150 m3/s, con un tirante de 2.2 m. Se pretende un cambio de sección a una rectangular. Determine el ancho mínimo de la plantilla que puede tener la sección rectangular y calcule el nuevo tirante. Solución: a) La energía del flujo en el canal trapecial es

Q2 (150) 2 E  y  2.2   3.34m 2 gA2 2(9.81)(31.68) 2 b) En el canal rectangular se debe verificar la misma energía, y el ancho mínimo corresponde al régimen de flujo crítico, por lo que igualando E 0 con la energía del canal trapecial se puede obtener el tirante crítico, que es el nuevo tirante en la sección transformada.

Yc 

2 E0  2.23m 3

c) Como se puede observar es casi idéntico con el tirante aguas arriba, y corresponde a un gasto unitario de

q  gyc3  10.4m2 / s

d)Para este gasto unitario se requiere de un ancho de la plantilla de

b

Q 150   14.42m q 10.4

Flujo a Superficie

Libre

89 I.T.CH.


Ejemplo III.13 Un almacenamiento de agua descarga sobre un canal trapecial de concreto, cuya sección tiene un ancho de plantilla de 12m, el talud es m=1.5, pendiente S=0.0008 y rugosidad de 0.014. Determine el gasto, si entre el nivel de plantilla en el inicio del canal y el nivel estático del agua hay una diferencia de 10m.

10 m

Solución: La energía específica del flujo es E=10 y si aceptamos que hay flujo uniforme en el canal, se verifica que:

V2 E  yn  2g

y

como

V 

1 2 3 12 R S n

hay que determinar un

valor del tirante, que satisfaga la igualdad, lo que podemos hacer mediante una hoja de cálculo, asignando valores al tirante hasta que se cumpla el valor de la energía

Yn m 8.29

b m 12

m 1.5

A R S n V E m2 m m/s m 202.57 4.84 0.0008 0.014 5.78 9.993 Q= 1170.9 3

por tanto el gasto es de 1170.9 m /s TEMARIO DE LA TERCERA UNIDAD

Flujo a Superficie

Libre

CONTENIDO

90 I.T.CH.


CUARTA UNIDAD

IV. Fuerza específica Objetivo

Desarrollo en el estudiante, del dominio cognitivo de los conceptos, características y propiedades de la cantidad de movimiento que contiene un flujo; así como el desarrollo de habilidades para la aplicación de los algoritmos, relativos al dimensionamiento y revisión de canales bajo las mismas consideraciones de impulso.

TEMARIO DE LA CUARTA UNIDAD 4.1 4.2 4.3

Concepto de Impulso y cantidad de movimiento Características del impulso Fuerza hidrodinámica Propiedades de la función momentum

Análisis de la curva de fuerza específica Flujo subcrítico Flujo crítico Flujo supercrítico 4.4 Relaciones internas de la fuerza específica Cálculo del Salto hidráulico 4.5 Relaciones externas Fuerza hidrodinámica sobre pilas Fuerza hidrodinámica sobre contracciones

CONTENIDO

Flujo a Superficie

Libre

91 I.T.CH.


4.1 Concepto de Impulso y Cantidad de movimiento El flujo a superficie libre tiene la propiedad de la inercia, es decir, la propiedad de conservar su estado de movimiento a menos que un agente externo la modifique, a este agente externo lo denominamos fuerza. Recordando la segunda ley de Newton, y la definición de aceleración cuyas expresiones matemáticas son:

F  ma

a

y

dv dt

al sustituir la aceleración en la segunda ley de Newton la expresión queda de la siguiente forma:

F m

dv dt

la cual se transforma en

Fdt  mdv

expresión

diferencial que puede ser integrada como: v2

 Fdt  

v1

mdv y

desarrollando el término de la integral v2

Ft   mdv  m(v2  v1 )

definida:

v1

de

donde

Ft  mv  mv

queda: 2 1 , y donde se observa que intervienen dos cantidades dimensionalmente homogéneas, estas son: El término Ft que representa el concepto de impulso, el cual es cambio del estado de movimiento de un cuerpo, producido por el efecto de una fuerza actuando sobre él durante un tiempo t; y la otra cantidad es el término mv, que representa el concepto de cantidad de movimiento, es decir el estado de movimiento uniforme de un cuerpo de masa m. F

V1

Masa 1

F

Masa 2

V2

t TEMARIO DE LA CUARTA UNIDAD

Flujo a Superficie

Libre

92 I.T.CH.


4.2 Características del impulso y la cantidad de movimiento

El impulso y la cantidad de movimiento son dos cantidades vectoriales, a diferencia de la energía, por lo que si por el efecto de una fuerza resulta un cambio en la dirección del movimiento, el problema es bidimensional, o tridimensional según sea el caso. Se puede expresar la ecuación del impulso como: v2

Ft   mdv  m[(v2  v1 ) x i  (v2  v1 ) y j  (v2  v1 ) z k ] v1

además la ecuación se puede expresar en términos de características del flujo, si la masa la expresamos en términos de la densidad

m   (masa = densidad x volumen), si ahora enfocamos la atención

a la fuerza asociada al estado de movimiento, se observa que: de F 

m(v2  v1 )   (v2  v1 )  Q(v2  v1 ) o bien, t t

F  Q[(v2  v1 ) x i  (v2  v1 ) y j  (v2  v1 ) z k ]

,

expresión

que determina la fuerza hidrodinámica asociada al estado de movimiento del flujo. Si ahora se plantea el análisis de equilibrio de un volumen de control de un canal, en la dirección del flujo, se obtiene lo siguiente:

Q V1

V2 F1

Fh

Flujo a Superficie

Libre

F2

93 I.T.CH.


En la figura se puede observar que sobre el volumen de agua, caracterizado como un volumen de control aislado con sus condiciones de frontera, actúan tres fuerzas en el sentido del flujo: La primera fuerza es el empuje hidrostático que actúa sobre la cara aguas arriba del volumen de control; la segunda fuerza en considerar es el empuje hidrostático que actúa sobre la cara aguas abajo; por último, la fuerza asociada al movimiento del agua, y que por lo tanto actúa en la dirección del flujo es la llamada fuerza hidrodinámica. De esta observación se puede establecer:

F1  F2  Fh

F  Z g A de donde queda:

el empuje se expresa como:

Z g A1  Z g A2  Q(V2  V1 ) 1

2

Z g A1  Z g A2  QV2  QV1 1

2

ordenando y agrupando términos correspondientes para cada sección

( A2V12  Z g1 A1 )  ( A2V22  Z g 2 A2 )  0 mediante la sustitución de V 

,

Q y dividiendo todo entre el peso A

específico la ecuación se transforma en:

Q2 Q2 (  Z g1 A1 )  (  Z g 2 A2 )  0 gA1 gA2 donde a cada agrupamiento entre paréntesis se le denomina “Fuerza específica” y la ecuación de equilibrio dinámico se expresa:

M1  M 2  0

, donde

Q2 M   Zg A gA TEMARIO DE LA CUARTA UNIDAD

Flujo a Superficie

Libre

94 I.T.CH.


4.3 Propiedades de la Fuerza específica La fuerza específica de un flujo tiene la propiedad de ser conservativa, enfatizando en esto, implica que el estado de movimiento, es decir la cantidad de movimiento del flujo no se modifica a menos que una fuerza externa actúe. Como consecuencia, si la cantidad de movimiento es constante, entonces la fuerza asociada al movimiento es decir la fuerza F específica también es constante en el tiempo  0 ; ahora, t analicemos las propiedades matemáticas de la ecuación de la fuerza específica, también llamada Función Momentum.

Q2 M   Zg A gA La función momentum es una suma de dos términos, un término en el que en el denominador se encuentra el área; y un término lineal con relación al área A, en donde Z g representa la profundidad al centro de gravedad de la sección transversal, por lo que se puede decir que el producto Z g A es el momento estático de la sección transversal. Ahora bien, reflexionando acerca de la extensión de la ecuación: Si el

tirante tiende a cero y  0 , entonces el área tiende a cero A  0 y el momento estático tiende a cero

Zg A  0 ;

pero el primer término

Q2   , y el tiene al área en el denominador, por lo tanto gA g momentum tiende a infinito M curva es asintótica al eje M.

  por lo que se puede decir que la

Por otra parte, si el tirante tiende a infinito tiende a infinito

A y

y   , entonces el área

el momento estático

Zg A   ;

pero el

primer término tiene al área en el denominador, por lo tanto tiende a

Q2  0 , y el momentum tiende al momento estático cero gA g M  Zg A

por lo que se puede decir que la curva es asintótica a

una curva que en el caso mas simple es una parábola.

Flujo a Superficie

Libre

95 I.T.CH.


Fuerza específica mínima

De manera similar a la energía específica, existe una fuerza específica mínima necesaria para que ocurra el flujo con un cierto gasto, y su valor se puede determinar mediante un proceso de diferenciación de la curva M– y; además, esto se puede afirmar en virtud, de que si cuando el tirante aumenta el momentum aumenta y cuando el tirante tiende a cero el momentum tiende a infinito, necesariamente existe un valor en el que la pendiente de la curva es mínima con respecto al momentum

dZ g dM Q2 B   Z B  A 0 g 2 dy gA dy

. Esta expresión

no se puede desarrollar a mas detalle, hasta conocer la geometría de la sección y las expresiones para el área y consecuentemente para el centro de gravedad. Para el caso de canal rectangular se puede verificar que como B=b y A=by, entonces la expresión se simplifica y se verifica que para condiciones de fuerza específica mínima q  gy lo que coincide con la condición de energía específica mínima. Además resulta congruente esta afirmación, puesto que la fuerza y la energía se corresponden. La gráfica correspondiente es como se muestra en la figura, hay que enfatizar que solo se pueden graficar las raíces reales, y que de estas solo dos tienen sentido para efectos prácticos. 2

3

y Y1

Q2 M   Zg A gA

yc

Y2 Flujo a Superficie

Libre

Mo

M

96 I.T.CH.


Flujo subcrítico. Como se puede apreciar, también en la curva de fuerza específica existen dos casos de tirantes para un valor de M, el primer caso es el y 1 que evidentemente es mayor que el tirante crítico, y por lo tanto implica un flujo lento con tirante grande, es decir se trata de un flujo subcrítico. Flujo supercrítico. El segundo caso es el del tirante y2, el cual es evidentemente un tirante menor que el correspondiente a la fuerza específica mínima, lo que implica un flujo muy rápido, con un tirante pequeño, es decir se trata de flujo supercrítico. Tirantes alternos En esta propiedad conservativa se puede decir que para un valor de la fuerza específica existen dos posibilidades de tirante, a los cuales se denominan tirantes alternos, donde existe un alterno mayor cuando el flujo es subcrítico, y un alterno menor cuando el flujo es supercrítico. Existen diversos tipos de problemas que pueden ser resueltos por medio de la propiedad conservativa de la energía, sin embargo en los casos en los cuales hay disipación de energía inconmensurable, no es posible esa vía de solución, quedando entonces la posibilidad de usar el principio de conservación de la cantidad de movimiento.

Flujo a Superficie

Libre

97 I.T.CH.

Ing. José Espinosa Organista TEMARIO DE LA CUARTA UNIDAD

4.4 Relaciones internas del impulso y cantidad de movimiento Cálculo del salto hidráulico. Como se ha mencionado anteriormente, existen características físicas de los canales que se constituyen en un control, es decir, establecen una relación tirante – gasto de manera intrínseca. Cuando los controles propician en distancias muy cortas un cambio de régimen supercrítico a un régimen subcrítico, la características de estos implican un cambio brusco de un flujo rápido a un flujo lento y de un tirante pequeño a un tirante grande, esto produce un conflicto por el frenado del agua y produce turbulencias con pérdidas importantes de energía que no se pueden cuantificar, lo que obliga a usar la propiedad conservativa de la función momentum, dado que no existe fuerza alguna actuando sobre el flujo.

Tirante subcrítico Tirante supercrítico

Flujo a Superficie

Libre

Longitud del salto

98 I.T.CH.


Q2 Q2 (  Z g1 A1 )  (  Z g 2 A2 )  0 gA1 gA2 La ecuación anterior es la que posibilita el cálculo de las características del salto y se puede desarrollar con mas detalle cuando se conocen las características geométricas de las secciones aguas arriba y aguas abajo. Para el caso de canales rectangulares la ecuación se puede simplificar sustituyendo el área y la profundidad del centro de gravedad, por las expresiones correspondientes para canales rectangulares

Q2 y1 Q2 y (  by1 )  (  2 by2 )  0 gby1 2 gby2 2 Y dividiendo todo entre el ancho de plantilla b y sustituyendo el gasto unitario, la expresión se transforma en

Q2 y12 Q2 y22 (  )(  )0 gb 2 y1 2 gb 2 y2 2 q2 y12 q2 y22 (  )(  )0 gy1 2 gy2 2 expresión, que mediante el adecuado proceso algebraico, conduce a la ecuación:

y2 1  y1 2





1  8 Fr11  1

La cual posibilita el cálculo del tirante que ocurre aguas abajo, si se conocen las características del flujo aguas arriba; o bien la expresión que posibilita el cálculo del tirante aguas arriba cuando se conocen las características aguas abajo:

y1 1  y2 2

Flujo a Superficie

Libre





1  8 Fr21  1

99 I.T.CH.


En el caso de los canales en flujo uniforme, el problema se reduce a garantizar la ocurrencia del tirante normal aguas arriba y aguas abajo, como lo muestran los ejercicios correspondientes a este capítulo, sin embargo en la mayoría de los problemas prácticos, los tirantes aguas arriba y aguas abajo se afectan por controles aguas arriba y aguas abajo respectivamente, lo que produce perfiles de flujo que producen un salto cuya longitud es la existente entre las dos secciones en las cuales el momentum es igual.

M1 = M2

L

Flujo a Superficie

Libre

100 I.T.CH.


Ejemplo IV.1 Un canal trapecial de 10m de plantilla y taludes m=1 conduce un gasto de 90m3/s, con una rugosidad de 0.016 y pendiente del 0.5%. Determine, si es factible, proponer una pendiente aguas abajo para que se produzca el salto hidráulico. Solución: a) Primero hay que determinar las condiciones del flujo aguas arriba, calculando el tirante normal y definiendo el régimen del flujo, ya que si el flujo aguas arriba está en régimen supercrítico. 2 3

Qn S 2 (90m 3 / s)(0.016) 2 3 (10 y  y )(10  2 y 1  1)  0.005 AR



2 3

(10 y  y )(10  2 y 1  1)  20.36 2

usando una tabla de cálculo para resolver por aproximaciones, introducimos un valor para el tirante y verificamos que el valor de la ecuación sea 20.36, si esto no ocurre aumentamos o disminuimos el valor del tirante según convenga, hasta obtener el valor deseado. Gasto Rugosidad Pendiente talud Plantilla Tirante 1.555 Velocidad

90 0.016 0.005 1 10

Qn/s1/2

20.3646753

Area Perímetro Radio AR2/3 B 17.968025 14.5242136 1.23710829 20.6770909 5.00889775

13.11

Froude 1.28245598

Froude

Como se puede observar el tirante normal es 1.55 m y el flujo es supercrítico pues tiene un número de Froude de 1.28, por lo que resulta factible propiciar el salto hidráulico con una pendiente cuyo tirante

Flujo a Superficie

Libre

101 I.T.CH.


normal sea el tirante subcrítico cuyo momentum sea igual al de la sección aguas arriba.

b) Ahora, como ya conocemos las condiciones aguas arriba, calculamos el tirante subcrítico y con ese tirante se determina la pendiente necesaria

Q2 Q2 (  Z g1 A1 )  (  Z g 2 A2 )  0 gA1 gA2 Q2 Q2 (  Z g1 A1 )  (  Z g 2 A2 ) gA1 gA2 Datos Gasto Rugosidad Talud Plantilla

90 0.016 1 10

Sección Area Perímetro 1.555 17.968025 14.5242136 Sección Tirante Area B 2.269 27.838361 14.538 Tirante

Froude 1

1.28245598 Froude 2

0.00485005

Momentum

59.2966583 Pendiente 2

0.00132285

Supercrítica Radio AR2/3 B Velocidad 1.23710829 20.6770909 13.11 5.00889775 Subcrítica Momentum Perímetro Radio H. 59.2957642 16.4177011 1.69563088

Como se puede observar el tirante subcrítico es 2.7 m y la pendiente necesaria para que ocurra como tirante normal es S=0.001323

Flujo a Superficie

Libre

102 I.T.CH.


Ejemplo IV.2 Un canal rectangular de 12 m de plantilla conduce un gasto de 150m3/s, la rugosidad es 0.014 y la pendiente es del 0.9%; determinar la sección rectangular aguas abajo y la pendiente para que se produzca el salto hidráulico. Solución: a) En este caso primero hay que determinar el tirante normal aguas arriba, y el número de Froude

AR

2 3



Qn S

entonces AR

2 3



150(0.014) 0.009

sustituyendo la expresión del área y el radio hidráulico 2

by 150(0.014) (by )( )3  b  2y 0.009

Fr1 

V1 gy 1

b) Con los valores obtenidos se calcula el tirante 2 y con este la pendiente necesaria. Este proceso se puede trabajar mediante una hoja de cálculo Gasto Factor de Pendiente 1 Tirante 1 Area 1 Perímetro 1 Radio H. 1 Velocidad 1 Froude 1

150 Rugosidad Sección 22.1359436 0.009 1.585 m 19.02 m2 15.17 m 1.25379038 m 7.88643533 m/s 2.00000743

Flujo a Superficie

Libre

0.014 Plantilla 22.1170165 Pendiente 2 0.000268 Tirante 2 5.3450823 Area 2 64.1409876 Perímetro 2 22.6901646 Radio H. 2 2.82681897 Velocidad 2 2.33859823 Froude 2 0.32295641

12

m m2 m m m/s

103 I.T.CH.


Entonces la solución es un tirante subcrítico de 5.35 m con una pendiente de S=0.000268 TEMARIO DE LA CUARTA UNIDAD

4.5 Relaciones externas del impulso y cantidad de movimiento La fuerza específica asociada al flujo produce en los canales que lo conducen, un efecto de fuerzas de contacto cuando alguna superficie del canal está expuesto en contrasentido al movimiento, esta fuerza de contacto es el empuje hidrodinámico sobre obstáculos, pilas, contracciones y transiciones. El problema del cálculo del empuje hidrodinámico sobre obstáculos Consideremos un volumen de control sujeto al sistema de fuerzas, en contacto con un obstáculo en el lecho del canal

E2 E1

F1  F2  P  Fh expresión que transforma en

mediante

un

proceso

algebraico

conveniente

( A2V12  Z g1 A1 )  ( A2V22  Z g 2 A2 )  P para finalmente ser transformada en

Q2 Q2 P (  Z g1 A1 )  (  Z g 2 A2 )  gA1 gA2  P M1  M 2 



Flujo a Superficie

Libre

se

104 I.T.CH.


y al multiplicar la diferencia de momentum por el peso específico, el resultado es la fuerza que el obstáculo soporta. Problema del cálculo del empuje en pilas Un segundo problema es el efecto que se genera en las pilas que soportan un puente, el cual se puede resolver de manera similar, considerando que la fuerza total se reparte de manera proporcional al área expuesta de las pilas y los estribos. Observemos las figuras siguientes

Las ecuaciones válidas son:

M1  M 2 

P



Q2 Q2 P (  Z g1 A1 )  (  Z g 2 A2 )  gA1 gA2  P es la suma de las fuerzas actuantes en las tres pilas.

Flujo a Superficie

Libre

105 I.T.CH.


El problema del cálculo del empuje sobre contracciones de canales rectangulares Un caso común es cuando en un canal rectangular se reduce su plantilla, produciendo una disminución del área hidráulica, fenómeno tratado en el apartado de energía específica. Este caso, conocido como contracción, genera un fuerza sobre las paredes como se muestra en la figura.

En el caso de los canales rectangulares las ecuaciones se pueden transformar de acuerdo con las expresiones correspondientes a la sección rectangular, de la manera siguiente:

M1  M 2 

P



q 2b1 b1 y12 q 2b2 b2 y22 P (  )(  ) g1 y1 2 g 2 y2 2  Flujo a Superficie

Libre

106 I.T.CH.


Cálculo del empuje en transiciones Otra variante del cálculo de empujes hidrodinámicos, es el caso de una transición, es decir, el cambio gradual de sección. De acuerdo con la figura se puede observar que se reduce al mismo tipo de problema.

Las ecuaciones válidas son:

M1  M 2 

P



Q2 Q2 P (  Z g1 A1 )  (  Z g 2 A2 )  gA1 gA2  Flujo a Superficie

Libre

107 I.T.CH.


P corresponde a la suma de fuerzas que de manera simétrica actúan en las contracciones.

Ejemplo IV.3 Calcule el valor del empuje que sobre las pilas de un puente producirá un gasto de 250 m3/s, si el puente está apoyado en tres pilas iguales de 3m de ancho y 12m de largo, y los dos estribos laterales que exponen al flujo 3m del ancho como se muestra en la figura y con las características geométricas que se indican. El tirante en el cauce aguas arriba de la sección de las pilas es de 6.5 m

Solución: a) Como la sección aguas arriba tiene un tirante de 6.5 m y un ancho de 63 m, la velocidad del flujo es 0.61 m/s y la energía en la sección aguas arriba es prácticamente el mismo tirante. b) Como la sección se reduce por las pilas, el ancho en la sección del eje del puente es de 48 m, lo que implica un gasto unitario de 5.20 m2/s y entonces se debe cumplir la ecuación:

(5.2) 2 y   6.5 obteniéndose y=6.48m. 2 gy 2 Flujo a Superficie

Libre

108 I.T.CH.


c) Ahora entonces es válida la ecuación

Q2 Q2 P (  Z g1 A1 )  (  Z g 2 A2 )  gA1 gA2  sustituyendo en la ecuación los datos del problema A1  63(6.5)  409.5m2

A2  48(6.48)  311.04m2

Zg1  0.5(6.5)  3.25m Zg2  0.5(6.48)  3.24m

250 2 250 2 P (  3.25  409.5)  (  3.24  311.04)  9.81  409.5 9.81  311.04 

297.705463 

P



y de donde finalmente se obtiene

P   (297.705463)  1000(297.705463)  297705.46Kg la que repartida entre las cinco pilas queda un empuje para cada pila de 59541 Kg es decir, que cada pila soporta casi 60 toneladas

Flujo a Superficie

Libre

109 I.T.CH.


TEMARIO DE LA CUARTA UNIDAD

CONTENIDO

QUNTA UNIDAD

V. Vertedores Desarrollo del dominio cognitivo del concepto, características, propiedades y relaciones de un flujo vertido sobre una estructura de retención. TEMARIO DE LA QUINTA UNIDAD

5.1 Concepto de vertedor Componentes de la estructura

5.2 Características de los vertedores Vertedores de pared delgada Vertedores de pared gruesa Flujo crítico Vertedores libres Vertedores ahogados

5.3 Propiedades de los vertedores Distribución de presión Distribución de velocidad Efecto de contracción lateral Flujo a Superficie

Libre

110 I.T.CH.


Influencia del umbral

5.4 Relaciones Internas Ecuación general del gasto Ecuación del gasto para vertedores con una geometría específica Coeficientes de descarga

5.5 Relaciones externas Diseño de vertedores

Flujo a Superficie

Libre

111 I.T.CH.

Ing. José Espinosa Organista CONTENIDO

5.1 Vertedores Concepto de vertedor En el campo de estudio de la hidráulica se entiende por control a toda aquella estructura que posibilite el establecimiento de un modelo matemático, que relacione el gasto del flujo con la profundidad del mismo. Las características fisiográficas de un canal constituyen por si mismas un control; sin embargo todo canal tiene un comienzo y un final, y estas estructuras inicial y terminal pueden ser consideradas como controles. Una estructura muy frecuente en canales es una pantalla de retención, sobre la cual se vierte el flujo, y cuyo objetivo puede ser simplemente el control, o además la elevación del nivel del agua para garantizar la energía necesaria para una conducción. A esta estructura de control se le denomina vertedor y en consecuencia podemos concluir que. Un vertedor o estructura vertedora es un conjunto de elementos físicos que, con el objetivo de elevar el nivel del agua, establecen una relación elevación – gasto válido para el flujo que derrama sobre su borde superior

Componentes de la estructura vertedora Los principales componentes de un vertedor son: La pantalla vertedora, constituida por un muro opuesto en forma normal a la dirección del flujo, y por sobre la cual circula el agua, haciendo contacto en la zona definida como cresta vertedora; el canal de llegada, cuya función es la de encauzar el agua hacia la estructura de descarga , así como la de evitar la propagación de efectos del almacenamiento, que puedan influir en el funcionamiento convencional; las paredes del vertedor, que pueden propiciar contracciones de la vena líquida si su alineamiento no coincide con el de las paredes del canal de llegada, o producen una vena líquida libre de contracciones si el alineamiento de las paredes del canal coinciden con el alineamiento de las paredes del vertedor; y finalmente la zona de descarga, es decir la zona en la cual se puede considerar como la sección de salida. Flujo a Superficie

Libre

112 I.T.CH.


La pantalla vertedora tiene una altura hasta su cresta vertedora, a partir del fondo, esta dimensión en si el muro que retiene el agua, permitiendo subir el nivel hasta la carga piezométrica necesaria para verter el gasto requerido. En la siguiente figura se muestran los componentes y la denominación de las principales dimensiones del vertedor.

Zona de descarga

H carga

W umbral

Flujo a Superficie

Libre

113 I.T.CH.


Longitud de cresta

Sin contracciones laterales Con contracciones laterales

Componentes y dimensiones de vertedores

Flujo a Superficie

Libre

114 I.T.CH.



5.2 Características de los vertedores En el funcionamiento hidráulico de los vertedores reviste una gran importancia el espesor de la cresta vertedora, en razón de la adherencia que la vena líquida tiene con la superficie de contacto, incidiendo esto en la eficiencia de la descarga. Es entonces el espesor de la pared en la zona de descarga, un criterio de clasificación de los vertedores para el estudio de sus relaciones carga – gasto.

Vertedores de pared delgada Un vertedor de pared delgada se considera cuando la descarga no se ve influida por la adherencia de la vena líquida a la cresta, y esto ocurre así cuando el borde de la cresta es agudo. La sección hidráulica de los vertedores de pared delgada tienen variadas formas geométricas, las mas comunes son: La sección rectangular, sección trapecial, sección triangular, sección parabólica, y algunos tipos especiales de vertedor para usos muy específicos.

h

VERTEDOR RECTANGULAR

Flujo a Superficie

Libre

115 I.T.CH.


h

VERTEDOR TRIANGULAR

VERTEDOR DE SECCION PARABOLICA

En general el uso de los vertedores de pared delgada se usan para aforos.

Flujo a Superficie

Libre

116 I.T.CH.


Vertedores de pared gruesa Cuando en un vertedor al borde de contacto con el agua se adhiere la vena líquida la eficiencia de la descarga se ve disminuida. Este efecto depende del espesor del vertedor y de la forma y agudeza del borde o cresta.

VERTEDORES DE PARED GRUESA CON ARISTAS VIVAS

VERTEDORES DE PARED GRUESA CON ARISTAS REDONDEADAS

Flujo a Superficie

Libre

117 I.T.CH.


Existe un vertedor de pared gruesa de mucha utilidad, es de aristas redondeadas y en la inmediata vecindad de la zona de descarga, el perfil corresponde a la lámina de agua que produciría un vertedor de pared delgada con descarga libre a la atmósfera, se denomina tipo Creager por ser este ingeniero quien lo desarrolló. Este vertedor tiene la característica de que si funciona con el gasto que se diseño, la lámina de agua toca apenas la superficie del cimacio, pero si el gasto es distinto puede tener uno de los dos siguientes comportamientos: Si el gasto de operación es mayor que el de diseño, la lámina de agua se despega; si el gasto de operación es menor que el de diseño la lámina se pega y funciona deprimido.

H

VERTEDOR TIPO CREAGER

Otro criterio de clasificación de los vertedores es en función de su carga hidráulica.

Flujo a Superficie

Libre

118 I.T.CH.


Los vertedores de funcionamiento hidráulico libre tienen la particularidad de que la vena líquida descarga directamente a la atmósfera, en tanto que los vertedores con funcionamiento hidráulico ahogado ven disminuida su carga hidráulica a causa de que la vena líquida VERTEDOR CON DESCARGA AHOGADA

VERTEDOR CON DESCARGA LIBRE

Flujo a Superficie

Libre

119 I.T.CH.



5.3 Propiedades de los vertedores Distribución de presión Debido a que en la zona de descarga de un vertedor se antecede a una caída libre, la velocidad del flujo se incrementa produciendo una mayor fuerza hidrodinámica y alterando la distribución hidrostática de presiones, por lo que hay presencia de presiones negativas sobre la superficie del vertedor.

Distribución de velocidad Por otra parte, la misma aceleración que produce las presiones negativas, provocan una distribución de velocidades diferente a la del cuerpo del canal, esto es las velocidades son mas intensas en la vecindad del borde del vertedor.

Efecto de contracción lateral Cuando el ancho del canal de llegada es mayor que el ancho de la cresta o borde del vertedor, las líneas de corriente del flujo se contraen produciendo esto una contracción de la vena líquida, disminuyendo la longitud efectiva de la cresta. Si el vertedor es tan ancho que esta dividido por estructuras como pilas o estribos de puentes, cada una de estas produce una contracción por cara expuesta. La expresión que J.B. Francis propuso en 1852 para determinar la longitud efectiva de la cresta del vertedor está en función de la carga, esta expresión es:

Le  L  0.1NH En donde Le es la longitud efectiva, L es la longitud real, N es el número de contracciones (cada cara de pila expuesta es una contracción) y H es la carga sobre el vertedor. Esta ecuación fue comprobada para relaciones

Flujo a Superficie

Libre

L 5 H

120 I.T.CH.


Influencia del umbral El umbral produce también una contracción, situación que está contemplada en un coeficiente de descarga que depende de la relación entre la carga y el umbral. En el siguiente subtema se abordan las formas para determinar los valores que toman los coeficientes para cada forma y tipo de vertedor.

Flujo a Superficie

Libre

121 I.T.CH.

Ing. José Espinosa Organista TEMARIO DE LA QUINTA UNIDAD

5.4 Relaciones Internas Ecuación general del gasto En un vertedor, se puede establecer un balance de energía entre dos secciones del flujo, lo que da origen a una ecuación general del gasto, esta es:

H

h

V2 H2  w  h  2g

H1  w  H

Sección 1

Sección 2

igualando la energía en las dos secciones se obtiene

V2 H2  w  h   w  H  H1 2g V2 H h 2g V  2 g ( H  h) Flujo a Superficie

Libre

122 I.T.CH.


la diferencia entre la altura de la carga en la zona de descarga y en la zona de almacenamiento se debe a la carga de la velocidad, sin embargo este fenómeno se ve influido por otros factores mas, tales como la contracción, la adherencia a los bordes, la distribución de velocidades, la distribución de presiones, y otros . La mayoría de los trabajos experimentales para determinar los parámetros que representan a cada uno de los efectos mencionados, pueden tomar una forma o modelo general, por ejemplo, el gasto para un vertedor rectangular es de la forma:

Q  CLH

3

2

en donde L es la longitud de cresta del vertedor, H es la carga sobre la cresta medida al menos a una distancia 2H de la zona de descarga aguas arriba. Y C es un coeficiente de descarga que puede ser evaluado por medio de alguna de las siguientes expresiones.

Francis

H2 C  1.84{1  0.259 } ( H  h) 2

para velocidades de acceso menores de 1.5 Fteley y Stearns

C  1.83(1  1.5

h 3 2 0.00065 )  3 H H 2

Bazin

 0.0133   H2  C  1.793  1  0 . 55  2   H h  H    

Frese

 0.00619  H2    C  1.815  1  0 . 55  2  H h  H     1 H C  1.786   0.236 357 H  1.014 hH

Rehbock King

C 

Sociedad Suiza de

1.78 H 0.0 3

  1  0.56 

H2 h  H



2

   

1 H2   C  1.815  1  0 . 5  551H  0.888  h  H 2  

Flujo a Superficie

Libre

   

123 I.T.CH.


Ingenieros

5.5 Relaciones externas Un vertedor se ve influido en su funcionamiento hidráulico por los efectos aguas arriba y aguas abajo, sin embargo el vertedor también determina condiciones del flujo. En el caso de los vertedores de pared gruesa, los mas comunes en las obras hidráulicas son los de aristas y particularmente el tipo Creager, el cual se considera con la ecuación del gasto válida como si se tratara de un vertedor de pared delgada, siempre y cuando el perfil del vertedor se determine como el perfil de la lámina de agua que descarga libremente sin adherirse a la superficie. En el caso de que el vertedor tenga aristas agudas y sea de cresta muy ancha, se puede resolver el diseño como si se tratara de un canal en descarga, sabiendo que si tiene pendiente subcrítica ocurrirá el tirante crítico al final de la zona de descarga.

H yc

2 1  3 1  AR S 2 H  y 2g  n 

Flujo a Superficie

Libre

   

2

124 I.T.CH.



CONTENIDO

SEXTA UNIDAD

VI Flujo gradualmente variado Objetivo Desarrollo en el estudiante, del dominio cognitivo de los conceptos, características y propiedades del flujo gradualmente variado; así como el desarrollo de habilidades para la aplicación de los algoritmos, relativos al dimensionamiento y revisión de canales bajo la consideración de la ocurrencia y síntesis de los diversos tipos de perfiles del flujo. TEMARIO DE LA SEXTA UNIDAD 6.1 6.2

6.3

6.4 6.5

Concepto de flujo gradualmente variado Características del flujo gradualmente variado Gasto Características físicas y geométricas, Tirantes Pendientes Propiedades del flujo gradualmente variado Flujo permanente Continuidad Régimen de energía Pendiente de energía y pendiente del fondo Relaciones internas Ecuación dinámica Tipos de perfiles Relaciones externas Ocurrencia del tipo de perfil

Síntesis de perfiles Cálculo de perfiles

Flujo a Superficie

Libre

125 I.T.CH.


CONTENIDO

6.1

Concepto de flujo gradualmente variado

En un canal existen diversos controles del flujo - por la naturaleza misma de las estructuras necesarias para la función asignada al canal como compuertas, vertedores, transiciones, caídas, cambios del nivel del fondo, y la misma pendiente longitudinal del canal, que cumple una función de control. Cada control, establece una magnitud del tirante, de acuerdo con su relación tirante – gasto modelada matemáticamente; sin embargo para que ocurra un cambio de tirante entre dos controles consecutivos, este se produce gradualmente a lo largo del tramo de canal entre los controles, en donde además también el tirante normal se establece si el canal es lo suficientemente largo. El hecho implica un tramo de flujo en el que el gasto es constante, pero en cada sección transversal el tirante es distinto, y por consecuencia es distinta la velocidad. Cuando en un canal ocurren los cambios referidos, se dice que existe un flujo gradualmente variado y lo definimos como “un flujo en el que sus características, tales como velocidad y tirante, cambian de una sección a otra”. El fenómeno se puede concebir como la transición del tirante determinado por un control 1, al tirante de un control 2, con la tendencia del flujo uniforme definido por las características físicas y geométricas del canal.

Yi Y2

Yn Y1

Control 2

Control 1

Flujo a Superficie

Libre

Flujo Gradualmente variado

126 I.T.CH.


TEMARIO DE LA SEXTA UNIDAD

6.2

Características del flujo gradualmente variado

El flujo gradualmente variado tiene una serie de atributos que resultan de gran importancia para su descripción y su consiguiente modelación. La primera característica del flujo es evidentemente el gasto que se conduce, ya que las demás características van a depender en la magnitud de esta. Las características fisiográficas del canal, tales como la rugosidad, la geometría de la sección transversal y la pendiente del fondo, determinan el tirante normal, que a su vez influye en a la configuración del flujo. La pendiente del fondo del canal es considera como la variación de su nivel con respecto a la distancia en el sentido del flujo, y como el nivel en un canal va bajando, esta derivada es negativa

S0  

dZ dx

dZ dx El tirante del flujo es la característica mediante la cual se manifiesta el flujo gradualmente variado, puesto que al ir cambiando el tirante a lo largo del canal, se visualiza físicamente la configuración de un perfil del flujo, cuya pendiente en cualquier punto representa el gradiente de presión.

Pendiente del perfil Perfil de flujo

Flujo a Superficie

Libre

127 I.T.CH.


Por último otra característica del flujo gradualmente variado es que, como ya no pueden ser paralelas las líneas de energía y el fondo del canal, puesto que ello implicaría flujo uniforme, es necesario distinguir entre la pendiente del fondo So y la pendiente de energía Sf definida como la variación de la energía del flujo con respecto a la distancia en el sentido del mismo, y como la energía va disminuyendo por la fricción, entonces se considera una derivada negativa

Sf  

dH dx

y se calcula para cada sección como:

2

 Qn   Vn  Sf   2  o Sf   2  3 R   AR 3 

2

dx dy

Sf   dz dx

Flujo a Superficie

Libre

dH dx

128 I.T.CH.



6.3 Propiedades del flujo gradualmente variado Flujo permanente. El flujo gradualmente variado es un flujo permanente, es decir que aunque exista variación de las características del flujo de una sección a otra, esto no implica variación de las características de un instante a otro, por lo menos en el lapso de análisis. Continuidad. Un flujo gradualmente variado tiene las propiedades conservativas, una de ellas es la continuidad, lo que implica que a lo largo de todo el canal se tiene el mismo gasto, que aunque hay variación del tirante y velocidad, eso no implica la variación de la cantidad de agua por unidad de tiempo. Régimen de energía. La otra propiedad conservativa importante es la referente a la energía, ya que debido a que la variación del flujo es gradual, no implica pérdidas de energía importantes, lo que posibilita el cálculo de los tirantes que se suceden a lo largo del canal. Es conveniente recordar que, si en una sección del canal el tirante es menor que el tirante crítico para ese gasto, entonces el flujo está en régimen supercrítico y el número de Froude es mayor que 1; Si en una sección del canal el tirante es igual que el tirante crítico para ese gasto, entonces el flujo está en régimen crítico y el número de Froude es igual a 1; Si en una sección del canal el tirante es mayor que el tirante crítico para ese gasto, entonces el flujo está en régimen subcrítico y el número de Froude es menor que 1. Acerca de la pendiente de energía y pendiente del fondo. En el flujo gradualmente variado las líneas de energía y del fondo del canal ya no son paralelas, pues ello implicaría flujo uniforme, ahora en cada sección puede darse uno de los siguientes tres casos: a) Si en una sección transversal el tirante del flujo es menor que el tirante normal para ese gasto, la pendiente de energía es mayor que la pendiente del fondo del canal.

Flujo a Superficie

Libre

129 I.T.CH.


y  yn  V  Vn ; R  Rn  S f

2 V n   Vn    2   S0   n2   Rn 3  R 3 

2

b) Si en una sección transversal el tirante del flujo es igual que el tirante normal para ese gasto, la pendiente de energía es igual que la pendiente del fondo del canal.

V n   Vn    2   S 0   n2   Rn 3  R 3  2

y  y n  V  Vn ; R  Rn  S f

2

c) Si en una sección transversal el tirante del flujo es mayor que el tirante normal para ese gasto, la pendiente de energía es menor que la pendiente del fondo del canal.

V n   Vn    2   S 0   n2   Rn 3  R 3  2

y  y n  V  Vn ; R  Rn  S f

Flujo a Superficie

Libre

2

130 I.T.CH.

6.4


Relaciones internas

Al establecer relaciones adecuadas entre las diferentes propiedades del flujo gradualmente variado se pueden obtener elementos de análisis y fundamentos para desarrollar procesos de cálculo. Ecuación dinámica del flujo gradualmente variado La energía del flujo en un canal está dada por la expresión:

V2 H  z y 2g en donde H es la energía por Kg de agua; Z es la carga de posición; y es la carga de presión representada por el tirante; V es la velocidad del flujo; y g es la aceleración de la gravedad. Si se sustituye la velocidad en términos del gasto y el área queda:

Q2 H  z y 2gA 2 Si esta expresión se deriva con respecto a la distancia x en el sentido del flujo se obtiene:

 Q2  d 2 gA2  dH dz dy      dx dx dx dx y como Q y g son constantes, la derivada se puede expresar como:

 1  d 2  dH dz dy Q A     dx dx dx 2g dx 2

TEMARIO DE LA SEXTA UNIDAD Flujo a Superficie

Libre

131 I.T.CH.


cuyo equivalente es



dH dz dy Q 2 d A 2    dx dx dx 2g dx



y al efectuar la derivada indicada para el término del área queda de la siguiente manera

dH dz dy Q 2 dA    dx dx dx gA3 dx Ahora si se sustituyen las expresiones

S0  

dZ dx

dH dx 2 dy Q dA   3 dx gA dx y

 S f   S0

Sf  

de donde se obtiene

S0  S f

dy Q 2 dA dy Q 2 dA dx    (1  ) dx gA3 dx dx gA3 dx dy

S0  S f

dy Q 2 dA dy Q 2 dA    (1  ) dx gA3 dx dx gA3 dy

de donde finalmente queda:

S0  S f

dy Q2 B  (1  ) dx gA3

y como se puede observar, el segundo término dentro del paréntesis es el cuadrado del número de Froude, por lo que la expresión en forma explícita para el término que representa la pendiente del perfil del flujo es:

S0  S f dy  dx 1  Fr 2 ecuación que es conocida como ecuación dinámica diferencial para el flujo gradualmente variado.

Flujo a Superficie

Libre

132 I.T.CH.


Al ser analizada esta ecuación, para los casos que son susceptibles de ocurrir, se pueden identificar los posibles casos de configuración de perfiles para cada condición.

Tipos de perfiles Como se ha enfatizado en el desarrollo de este tema, un perfil de flujo lo produce la interacción de mas de un control en el flujo de un canal, es por esta razón que para analizar los tipos de flujos factibles de ocurrir, primero hay que revisar los posibles controles y sus efectos en el tirante del flujo.

Pendiente del lecho de un canal Ya se ha mencionado que un canal tiene asociado un tirante normal, de tal suerte que un flujo se estabilizará en una cierta distancia, con el tirante normal correspondiente a las características físicas y geométricas del canal, así entonces, definiremos los primeros controles del flujo, de los cuales, siempre habrá al menos uno presente en un canal. Pendiente suave o subcrítica. Es la pendiente que produce como tirante normal uno mayor que el tirante crítico, una velocidad menor que la crítica y en consecuencia un régimen subcrítico. El rango de valor de la pendiente subcrítica o suave depende del gasto y geometría de la sección transversal. Se representa con la letra M. Pendiente fuerte o supercrítica. Es la pendiente que produce como tirante normal uno menor que el tirante crítico, una velocidad mayor que la crítica y en consecuencia un régimen supercrítico. El rango de valor de la pendiente supercrítica o fuerte depende del gasto y geometría de la sección transversal. Se representa con la letra S. Pendiente crítica. Es la pendiente que produce como tirante normal uno igual que el tirante crítico, una velocidad igual que la crítica y en consecuencia un régimen crítico. El valor de la pendiente crítica depende del gastoy geometría de la sección transversal. Serepresenta con la letra C.

Flujo a Superficie

Libre

133 I.T.CH.


Pendiente nula. Es el caso en el que el canal no tiene desnivel, es decir está horizontal, sin embargo el flujo ocurre por una diferencia de presiones en los extremos del canal. No existe un tirante normal, la tendencia sería un crecimiento del nivel del agua por estancamiento. Se representa por la letra H.

Pendiente adversa. También puede darse el caso en que un canal tenga una pendiente adversa al flujo, sin embargo, igual que en el caso del canal horizontal el flujo ocurre por una diferencia de presiones en los extremos. Se representa por la letra A. Un segundo grupo de controles es el que representan las estructuras que cumplen esa función. Cambio de pendiente. Cuando un canal cambia de una pendiente subcrítica a una pendiente supercrítica, necesariamente produce en la sección donde ocurre el cambio, un tirante crítico. Caída libre. Cuando un canal con pendiente subcrítica termina en una caída libre, ocurre un fenómeno similar al del cambio de pendiente por el cambio de régimen, generándose un tirante crítico justo antes de la caída libre. Cambio de sección. Cuando un canal sufre una transición de su sección transversal, por cambio de dimensiones, de forma geométrica, o de características físicas como la rugosidad necesariamente transforma su tirante normal. Compuerta. Una compuerta establece necesariamente una relación entre los niveles del agua en las secciones aguas arriba y aguas debajo de la compuerta, puesto que la carga y la abertura de la compuerta necesarias para descargar un gasto especificado, no puede variar sin variar el gasto, son elementos de decisión al efectuar cálculos por ser tirantes obligados. Vertedor. Un vertedor cumple una función similar al de la compuerta, por lo que representa un punto de partida de cálculo. Represa. La represa siempre obliga al almacenamiento y velocidad tendiente a cero, por lo que resulta un nivel obligado. Flujo a Superficie

Libre

134 I.T.CH.


Clasificación de los perfiles Los perfiles de flujo pueden ocurrir de acuerdo con cualquiera de las combinaciones que se pueden dar de acuerdo con los tipos de pendiente y las regiones de flujo posibles.

Perfiles para pendiente subcrítica o suave. Existen tres regiones de flujo en las que es factible clasificar un perfil. Puesto que el tirante normal es subcrítico, el tirante normal es mayor que el tirante crítico. Se denomina región 1 a la que se encuentra arriba del tirante normal; existe una región 2 entre el tirante normal y el tirante crítico; y una región 3 entre el tirante crítico y el fondo del canal.

Para la región 1: En la región 1 ocurre

y  yn  S f  S0 ; y  yc  Fr  1 el numerador y el denominador de la ecuación toman valores positivos:

( S0  S f )  0()

y

(1  Fr 2 )  0()

y la ecuación dinámica resulta con un valor positivo

Flujo a Superficie

Libre

135 I.T.CH.


S  Sf dy  0  0( ) dx 1  Fr 2 es decir que la pendiente es positiva. Ahora bien, cuando el tirante aumenta

y  Sf 0

( S0  S f )  S0 (1  Fr 2 )  1

Fr  0

dy  S0 dx la superficie del agua tiende a la horizontal. Ahora, cuando el tirante decrece

y  yn  S f  S 0

( S0  S f )  0

el denominador tiende acero y por lo tanto todo el cociente tiene la misma tendencia y se configura como asíntota la línea del tirante normal

dy 0 dx

M1

Flujo a Superficie

Libre

136 I.T.CH.


Para la región 2 Como

yn  y  yc  S f  S 0 ; Fr  1

entonces

( S0  S f )  0()

y

(1  Fr 2 )  0()

y entonces de la ecuación dinámica

S  Sf dy  0  0() 2 dx 1  Fr

de modo que la pendiente es

negativa

Por otra parte cuando el tirante crece

y  yn  S f  S 0 y por lo tanto

dy 0 dx

y

( S0  S f )  0

es decir que la superficie del agua tiende

a ser asíntota de la paralela al fondo que pasa por Yn Ahora, cuando el tirante decrece

y  yc  S f  k como

y

( S0  S f )  c

2 Fr  1 entonces (1  Fr )  0

Flujo a Superficie

Libre

pero

137 I.T.CH.


y por lo tanto

dy  dx

es decir, el perfil corta en ángulo recto a la

línea del tirante crítico.

M1

M2


y  yc  yn ; S f  S 0 ; Fr  1 ( S0  S f )  0()

entonces

y

(1  Fr 2 )  0()


S0  S f dy   0( ) dx 1  Fr 2


positiva Por otra parte cuando el tirante crece

y  yc  Fr  1; (1  Fr 2 )  0 tanto

y

por

lo

dy   es decir que la superficie del agua tiende a dx

cortar en ángulo recto a la línea del tirante crítico. Ahora, cuando el tirante decrece

y 0 Sf  como

Fr  

y por lo tanto

entonces

y

( S0  S f )  

pero

(1  Fr 2 )  

dy  1 es decir, el perfil corta en ángulo de 45° al dx

fondo del canal, situación que en la práctica no se presenta por que

Flujo a Superficie

Libre

138 I.T.CH.


nunca puede ser cero el tirante. Finalmente quedan los tres perfiles posibles como lo muestra la figura.

M2 M3

Perfiles para pendiente supercrítica o fuerte. Existen tres regiones de flujo en las que es factible clasificar un perfil. Región 1 Puesto que el tirante normal es supercrítico, el tirante normal es menor que el tirante crítico. Se denomina región 1 a la que se encuentra arriba del tirante crítico; existe una región 2 entre el tirante normal y el tirante crítico; y una región 3 entre el tirante normal y el fondo del canal.

Yc Región 2 Yn Región 3

Flujo a Superficie

Libre

139 I.T.CH.


Para la región 1: Como

y  yc  yn  S f  S 0 ; Fr  1 ( S0  S f )  0()

entonces

y

(1  Fr 2 )  0()


S  Sf dy  0  0( ) dx 1  Fr 2


positiva. Por otra parte cuando el tirante crece

y  Sf 0

Fr  0

y

(1  Fr 2 )  1

( S0  S f )  S0

y

y por lo tanto

dy  S0 dx

es

decir que la superficie del agua tiende a la horizontal. Ahora, cuando el tirante decrece

y  yc  S f  k

pero como

entonces

y

( S0  S f )  c

y  yc  Fr  1; (1  Fr 2 )  0 dy  dx

es decir, el perfil tiende a cortar en ángulo

recto a la línea de Yc S1 Flujo a Superficie

Libre

140 I.T.CH.



y n  y  yc  S f  S 0 ; Fr  1

entonces

( S0  S f )  0()

y

(1  Fr 2 )  0()


S0  S f dy   0( ) dx 1  Fr 2


negativa Por otra parte cuando el tirante crece

y  yc  S f  k

y

( S0  S f )  c pero como

2 Fr  1 entonces (1  Fr )  0

y por lo tanto

dy  dx

es decir, el perfil corta en ángulo recto a la

línea del tirante crítico. Ahora, cuando el tirante decrece

y  yn  S f  S 0

Flujo a Superficie

Libre

y

( S0  S f )  0

141 I.T.CH.


dy 0 dx

y por lo tanto

es decir que la superficie del agua tiende

a ser asíntota de la paralela al fondo que pasa por Yn

S2


y  yn  yc ; S f  S 0 ; Fr  1

entonces

( S0  S f )  0()

y

(1  Fr 2 )  0()


S0  S f dy   0( ) dx 1  Fr 2 de modo que la pendiente es positiva Por otra parte cuando el tirante crece

y  yn  S f  S 0 y por lo tanto

y

( S0  S f )  0

dy  0 es decir que la superficie del agua tiende dx

a ser asíntota de la paralela al fondo que pasa por Yn Ahora, cuando el tirante decrece


Fr  

entonces

Flujo a Superficie

Libre

y

( S0  S f )  

(1  Fr 2 )  

pero

142 I.T.CH.


y por lo tanto

dy  1 es decir, el perfil corta en ángulo de 45° dx

al fondo del canal, situación que en la práctica no se presenta por que nunca puede ser cero el tirante. Finalmente quedan el perfile como lo muestra la figura.

S3

Y los tres perfiles de pendiente fuerte quedan como se muestra en la figura siguiente

S1

S2

S3

Perfiles para pendiente crítica Existen dos regiones de flujo en las que es factible clasificar un perfil. Puesto que el tirante normal es crítico, el tirante normal es igual que el tirante crítico. Se denomina región 1 a la que se encuentra arriba de la línea coincidente del tirante normal y tirante crítico; existe una región 3

Flujo a Superficie

Libre

143 I.T.CH.


entre la línea coincidente del tirante normal y el tirante crítico y el fondo. No existe una región 2 por ser coincidentes los tirantes normal y crítico.

Región 1 Yc Región 3 Yn

Para la región 1: Como

y  yc  yn  S f  S 0 ; y  yc  Fr  1 ( S0  S f )  0()

entonces

y

(1  Fr 2 )  0()

y entonces la ecuación dinámica

S0  S f dy   0( ) dx 1  Fr 2


positiva. Por otra parte cuando el tirante crece

y  Sf 0 Fr  0

y

(1  Fr 2 )  1

y

( S0  S f )  S0

y por lo tanto

dy  S0 dx

es

decir que la superficie del agua tiende a la horizontal. Ahora, cuando el tirante decrece

y  y c  y n  S f  S 0 ; ( S0  S f )  0 Flujo a Superficie

Libre

144 I.T.CH.


pero como entonces

y  yc  Fr  1; (1  Fr 2 )  0 dy  dx

es decir, el perfil tiende a cortar en ángulo recto

a la línea de Yc Región 1 C1

Yc

Yn

Región 3


y  yn  yc ; S f  S 0 ; Fr  1

entonces

( S0  S f )  0()

y

(1  Fr 2 )  0()


S0  S f dy   0() dx 1  Fr 2


positiva Por otra parte cuando el tirante crece

y  y n  yc  S f  S 0 ; ( S 0  S f )  0 al tiempo que:

Fr  1; (1  Fr 2 )  0

y por lo tanto

dy  dx

es decir que la superficie del agua

tiende a cortar a la línea coincidente en un ángulo recto. Ahora, cuando el tirante decrece

Flujo a Superficie

Libre

145 I.T.CH.



Fr  

y por lo tanto

entonces

( S0  S f )  

y

pero

(1  Fr 2 )  

dy 1 dx

es decir, el perfil corta en ángulo de 45° al

fondo del canal, situación que en la práctica no se presenta por que nunca puede ser cero el tirante

Finalmente los dos perfiles Región 1 Yc

Región 1 C

Yn

3

Región 3

Yc

C1 Yn

Región 3 C 3

Pendiente Horizontal En la pendiente horizontal no existe tirante normal, ya que el agua tiende al estancamiento, el flujo ocurre en virtud de la existencia de una diferencia de presiones en los extremos aguas arriba y abajo del canal, y por lo tanto solo existen dos regiones, la región 1 donde el tirante es

Flujo a Superficie

Libre

146 I.T.CH.


mayor que el tirante crítico y la región 2 donde el tirante es menor que el tirante crítico.

Región 1; el tirante normal tiende a infinito

Región 2

Para la región 1

Si

y  yc ; Fr  1 y entonces (1  Fr 2 )  0()

Ahora si

S0  0 de donde ( S0  S f )  S f  0()

Por lo que

S0  S f dy   0( ) dx 1  Fr 2

; es decir que la

pendiente es negativa. Por otra parte cuando el tirante crece

y  Sf 0

Fr  0

y

(1  Fr )  1 2

y

( S0  S f )  0

y por lo tanto

dy 0 dx

es decir

que la superficie del agua tiende a ser paralela al fondo del canal, pero

Flujo a Superficie

Libre

147 I.T.CH.


como el fondo es horizontal entonces la superficie del agua tiende a la horizontal. Ahora, cuando el tirante decrece

S0  0 entonces ( S0  S f )  S f

Como y como

y  yc  Fr  1; (1  Fr 2 )  0

entonces

dy  dx

es decir, el perfil tiende a cortar en ángulo

recto a la línea de Yc.

H1


y  yc  Fr  1 y

(1  Fr 2 )  0()

S0  0 y ( S0  S f )  S f  0() y entonces la ecuación dinámica

S  Sf dy  0  0() dx 1  Fr 2

de

modo que la pendiente es positiva. Por otra parte cuando el tirante crece

y  yc entonces Fr  1; (1  Fr 2 )  0 como S 0  0 ; ( S0  S f )   S f y por lo tanto

como y

dy   dx

es decir que la superficie del agua tiende a cortar

a la línea coincidente en un ángulo recto.

Flujo a Superficie

Libre

148 I.T.CH.


Ahora, cuando el tirante decrece


Fr  

y por lo tanto

entonces

y

( S0  S f )  

pero

(1  Fr 2 )  

dy 1 dx

es decir, el perfil corta en ángulo de

45° al fondo del canal, situación que en la práctica no se presenta por que nunca puede ser cero el tirante

H3

Finalmente los dos tipos de perfil para la pendiente horizontal quedan como en la siguiente figura

H1

H3

Flujo a Superficie

Libre

149 I.T.CH.


INDICE

Pendiente Adversa En la pendiente adversa como en la horizontal no existe tirante normal, y también el agua tiende al estancamiento, el flujo ocurre en virtud de la existencia de una diferencia de presiones en los extremos aguas arriba y abajo del canal, y por lo tanto solo existen dos regiones, la región 1 donde el tirante es mayor que el tirante crítico y la región 2 donde el tirante es menor que el tirante crítico.

Flujo a Superficie

Libre

150 I.T.CH.


Región 1; el tirante normal tiende a infinito

Región 2

Para la región 1

Si

y  yc ; Fr  1 y entonces (1  Fr 2 )  0()

Ahora

S0  0 de donde ( S0  S f )  0()

Por lo que

S0  S f dy   0( ) ; es decir que la dx 1  Fr 2

pendiente es negativa. Por otra parte cuando el tirante crece

Flujo a Superficie

Libre

151 I.T.CH.


y  Sf 0

Fr  0

(1  Fr 2 )  1

y

y

( S0  S f )   S0 dy   S0 dx

y por lo tanto

es decir que la superficie del agua tiende a la horizontal. Ahora, cuando el tirante decrece

S0  0 entonces ( S0  S f )  0()

Como

y  yc  Fr  1; (1  Fr 2 )  0 dy   es decir, el perfil tiende a cortar en ángulo entonces dx y como

recto a la línea de Yc.

A1 Región 1


y  yc  Fr  1 y

S0  0

y

(1  Fr 2 )  0()

( S0  S f )  0()

y entonces la ecuación dinámica

S0  S f dy   0( ) de dx 1  Fr 2

modo que la pendiente es positiva. Por otra parte cuando el tirante crece como

y  yc entonces Fr  1; (1  Fr 2 )  0

Flujo a Superficie

Libre

152 I.T.CH. y


como

S0  0

dy  dx

;

( S0  S f )   S f

y

por

lo

tanto

es decir que la superficie del agua tiende a cortar a la

línea coincidente en un ángulo recto. Ahora, cuando el tirante decrece

y 0 Sf 

y

( S0  S f )  

pero

2 Fr   entonces (1  Fr )   dy  1 es decir, el perfil corta en ángulo de 45° al y por lo tanto dx

como

fondo del canal, situación que en la práctica no se presenta por que nunca puede ser cero el tirante

A3

Finalmente los dos tipos de perfil para la pendiente horizontal quedan como en la siguiente figura

Flujo a Superficie

Libre

153 I.T.CH.


A1

A3


6.3

Relaciones externas

En este apartado del trabajo se va a hacer una reflexión acerca de las relaciones de las estructuras de control con las relaciones de las características del flujo gradualmente variado, lo que permite identificar mediante una inspección trivial el tipo de perfil que habrá de generarse en un canal. Para el efecto se parte de una serie de interrogantes cuya respuesta orientan hacia la conclusión del tipo de perfil.

Ocurrencia del tipo de perfil

Flujo a Superficie

Libre

154 I.T.CH.


La ocurrencia de cada tipo de perfil se puede identificar a partir de cuatro premisas, que son la respuesta a tres interrogantes, de las cuales se deriva la conclusión del tipo de perfil. Interrogante 1 ¿Qué tipo de pendiente tiene el canal, suave, fuerte, crítica, horizontal o adversa? Premisa 1. El canal tiene pendiente ______________ Interrogante 2 ¿Los tirantes obligados aguas arriba y aguas abajo a qué región corresponden? Premisa 2. El control aguas arriba genera un tirante (mayor, menor o igual) que el tirante (normal o crítico) Premisa 3. El control aguas abajo genera un tirante (mayor, menor o igual) que el tirante (normal o crítico). Interrogante 3 ¿La distancia entre dos controles es suficiente para que se estabilice el tirante normal? Premisa 4. La distancia entre los controles _______ es lo suficientemente larga para que se estabilice el tirante normal. Conclusión. Como el canal es de pendiente ________; y como el tirante aguas arriba es _________ y aguas abajo es___________ , entonces el perfil se encuentra en la región ____; y como la distancia _____ es suficiente para que se estabilice el tirante normal el perfil es de tipo ____. Ejemplificaremos con tres casos generales, los cuales ayudarán posteriormente a integrar o construir el conjunto de perfiles de un canal con presencia de varios controles.

Caso 1. Perfil M1 Un canal con pendiente subcrítica con una represa Interrogante 1 ¿Qué tipo de pendiente tiene el canal?

Flujo a Superficie

Libre

155 I.T.CH.


Premisa 1. El canal tiene pendiente suave Interrogante 2 ¿Los tirantes obligados aguas arriba y aguas abajo a qué región corresponden? Premisa 2. El control aguas arriba genera un tirante igual que el tirante normal Premisa 3. El control aguas abajo genera un tirante mayor que el normal. Interrogante 3 ¿La distancia entre dos controles es suficiente para que se estabilice el tirante normal? Premisa 4. La distancia entre los controles si es lo suficientemente larga para que se estabilice el tirante normal. Conclusión. Como el canal es de pendiente suave y como el tirante aguas arriba es el tirante normal y aguas abajo es mayor que el normal formando represa, entonces el perfil se encuentra en la región 1; y como la distancia si es suficiente para que se estabilice el tirante normal el perfil es de tipo M1.

Caso 2. Perfil M2 Un canal con pendiente subcrítica terminado en una caída libre Interrogante 1 ¿qué tipo de pendiente tiene el canal? Premisa 1. El canal tiene pendiente suave Interrogante 2 ¿Cómo son los tirantes obligados de los controles aguas arriba y aguas abajo del tramo de canal? Premisa 2. El control aguas arriba genera un tirante igual que el tirante normal Flujo a Superficie

Libre

156 I.T.CH.


Premisa 3. El control aguas abajo genera un tirante crítico Interrogante 3 ¿La distancia entre los controles es lo suficientemente larga para permitir que se estabilice el tirante normal? Premisa 4. La distancia entre los controles es suficientemente grande para estabilizar el flujo uniforme y por lo tanto el tirante normal. Conclusión. Como el canal es de pendiente suave el perfil es de tipo M; y como el tirante aguas arriba es el tirante normal y aguas abajo es el tirante crítico el perfil se encuentra en la región 2, y como la distancia es suficiente para alcanzar el tirante normal, entonces es un perfil M2

Caso 3 Perfil M3

Caso 3. Perfil M3 Una compuerta descarga a un canal de pendiente subcrítica terminada en caída libre, por medio de una abertura de la compuerta a
Flujo a Superficie

Libre

157 I.T.CH.


Premisa 2. El control aguas arriba genera por el tamaño de abertura de la compuerta un tirante menor que el tirante crítico Premisa 3. El control aguas abajo, por tratarse de una caída libre genera un tirante crítico Interrogante 3 ¿es la distancia entre los controles, suficiente para estabilizar el tirante normal? Premisa 4. La distancia entre los controles es insuficientemente para que ocurra el tirante normal Conclusión. Como el canal es de pendiente suave el perfil es de tipo M; y como el tirante aguas arriba es el tirante menor que el crítico y aguas abajo es el tirante crítico, entonces como la distancia es insuficiente no se alcanza el tirante normal y se trata de la región 3 por lo que es un perfil M3.

En estos ejercicios las respuestas a las interrogantes han sido de manera apreciativa, es decir una estimación, sin embargo en cualquier caso para la respuesta generalmente se requiere de corroborar los supuestos mediante el cálculo de algunas características.

Síntesis de perfiles La síntesis de perfiles de flujo es la construcción del sistema de perfiles que corresponde a un sistema de canales y estructuras de control, el proceso implica entonces: La identificación de los controles presentes en el sistema de conducción; análisis de ocurrencia de tipo de perfil en cada tramo entre dos controles; y finalmente integración de los Flujo a Superficie

Libre

158 I.T.CH.


segmentos de perfile obtenidos en cada tramo entre dos controles, cuidando de la eventualidad de que entre los dos controles exista una distancia lo suficientemente grande para que ocurra el tirante normal, lo que secciona el tramo en dos perfiles unidos por una recta horizontal a la altura del tirante normal (ver el ejemplo).

M2

Síntesis del sistema de perfiles en un canal largo de pendiente subcrítica, con una compuerta aguas arriba y una caída libre como sección terminal.

Ejercicio 1 Construir el sistema de perfiles que ocurriría en el siguiente sistema de conducción a superficie libre.

Flujo a Superficie

Libre

159 I.T.CH.

Ing. José Espinosa Organista Tirante normal

M2 M3

S1 S2

Control 1

Control 2 Control 3

a) Existen en el sistema de conducción tres controles: la abertura de la compuerta, necesaria para descargar el gasto; el cambio de perfil, donde ocurre el tirante crítico; y en el vertedor, donde la carga del vertedor es obligada por el gasto. b) En el primer tramo, como la abertura de la compuerta es menor que el tirante crítico, y si la distancia entre los controles es larga (es un cálculo necesario), entonces ocurre el salto hidráulico iniciando con un perfil tipo M3 hasta el tirante supercrítico necesario para el salto hidráulico. c) Por otra parte, a partir del tirante crítico, hacia aguas arriba se genera un perfil M2, se estabiliza el tirante normal hasta antes de llegar a la zona de turbulencias una distancia L (longitud del salto) de la compuerta. d) Del tirante crítico hacia aguas abajo, ocurre un perfil S2, hasta estabilizarse el tirante normal; después se producirá un salto hidráulico formado por un perfil S3, seguido de un S1 al término de las turbulencias.

Cálculo de perfiles El cálculo de perfiles implica la posibilidad de la manipulación de los modelos matemáticos, para predecir la ocurrencia de los perfiles de flujo en casos preestablecidos. Esta posibilidad implica a su vez construcciones más seguras y económicas.

Flujo a Superficie

Libre

160 I.T.CH.

Ing. José Espinosa Organista Para el cálculo del perfil, es decir para obtener una tabla de pares

ordenados con tirantes y distancias en las que ocurrirán, se requiere la integración de la ecuación dinámica del perfil de flujo;

S0  S f dy  dx 1  Fr 2 sin embargo esta integración representa una imposibilidad mediante los métodos matemáticos conocidos, razón por la cual se recurre a las técnicas de integración aproximada, que arrojan resultados lo suficientemente satisfactorios para su aplicación práctica. Existen varias propuestas para la integración de la ecuación dinámica, muchas de ellas con alcances para el cálculo de perfiles en canales no prismáticos, como cauces naturales, sin embargo el curso de flujo a superficie libre está enfocado a canales prismáticos y será suficiente la presentación de tres técnicas lo suficientemente sencillas y a la vez formales, que son aplicables a los problemas prácticos de la actividad cotidiana del ingeniero civil. Los métodos a considerar son el método de integración gráfica, el método del paso directo y el método de diferencias finitas. Todo método implica una forma de pensar para el desarrollo de la actividad, y haremos una reflexión acerca del fundamento de cada uno de estos métodos así como el proceso de cálculo.

Método de integración gráfica El método de integración gráfica se fundamenta mediante el siguiente análisis.

S0  S f dy  a) La ecuación , se puede transformar en dx 1  Fr 2 su recíproco.

dx 1  Fr 2  dy S0  S f

b) Tanto la pendiente de fricción como el número de Froude son funciones del tirante, razón por la cual todo el segundo miembro de

Flujo a Superficie

Libre

161 I.T.CH.


la igualdad puede ser concebido como una función del tirante.

1  Fr 2  f ( y) S0  S f c) Entonces expresamos la ecuación dinámica como

dx  f ( y) dy

de

donde queda dx  f ( y )dy d) Expresión que se corresponde con la siguiente figura

f(y) A=dx

dy

y

y1 y2 e) Donde se puede observar que el área bajo la curva, acotada por los valores de y1 y de y2,corresponden al valor dx y en consecuencia es la distancia existente entre dos valores consecutivos del tirante.

Proceso de cálculo a) Se determinan los valores de frontera del tirante, es decir el tirante inicial y el tirante final del tramo de perfil. b) Se determinan los valores intermedios del tirante comenzando con y i agregando en cada etapa un dy de acuerdo con el número deseado de tirantes intermedios. c) Para cada tirante definido se calcula primero el número de Froude y la pendiente de fricción, para que a partir de estos parámetros se determine el valor de la función f ( y ) d) Se construye la gráfica y  f ( y ) Flujo a Superficie

Libre

162 I.T.CH.


e) Se determina el área acotada por cada dos valores consecutivos de los tirantes definidos y la curva f) El área entre dos tirantes en la gráfica es la distancia física entre los dos tirantes en el canal. g) Finalmente las distancias se van acumulando para calcular la distancia total

xi  xi 1  x

h) Existe la posibilidad para la determinación del área, de hacerlo gráficamente mediante un planímetro, lo cual resulta un proceso muy tedioso y con el margen de error por la calibración del aparato, así como por las lecturas del vernier; Ahora bien, si los incrementos del tirante son muy pequeños, existe el recurso de calcularlos por medio de la fórmula de los trapecios, el área entre cada dos valores consecutivos del tirante será

xi  0.5 f ( yi 1 )  f ( yi )y Una propuesta de organización de los cálculos es la siguiente tabla de cálculo mediante excel que se presenta enseguida: Para el cálculo se requiere conocer datos del canal como la plantilla, el talud, la rugosidad y la pendiente del fondo; y el gasto del flujo. Con esta información se determinan los tirantes obligados en los controles, a los que llamaremos tirantes 1 y 2. Tabla de cálculo de perfiles por el método de integración gráfica

Flujo a Superficie

Libre

163 I.T.CH.


y1 y2 Dy y 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5

1.5 2.5 0.05 A 18.38 19.10 19.84 20.58 21.34 22.09 22.86 23.63 24.42 25.20 26.00 26.80 27.62 28.43 29.26 30.09 30.94 31.78 32.64 33.50 34.38

m b i B 14.5 14.65 14.8 14.95 15.1 15.25 15.4 15.55 15.7 15.85 16 16.15 16.3 16.45 16.6 16.75 16.9 17.05 17.2 17.35 17.5

1.5 10 20 P 15.41 15.59 15.77 15.95 16.13 16.31 16.49 16.67 16.85 17.03 17.21 17.39 17.57 17.75 17.93 18.11 18.29 18.47 18.65 18.83 19.01

Método del paso directo Flujo a Superficie

Libre

Q 150 n 0.016 R 1.19 1.23 1.26 1.29 1.32 1.35 1.39 1.42 1.45 1.48 1.51 1.54 1.57 1.60 1.63 1.66 1.69 1.72 1.75 1.78 1.81

V 8.163 7.852 7.56 7.287 7.031 6.789 6.562 6.347 6.144 5.951 5.769 5.596 5.432 5.275 5.126 4.984 4.849 4.719 4.596 4.477 4.364

S0 Fr 2.32 2.20 2.08 1.98 1.89 1.80 1.72 1.64 1.57 1.51 1.44 1.39 1.33 1.28 1.23 1.19 1.14 1.10 1.07 1.03 0.99

0.0016 Sf 0.0135 0.0120 0.0108 0.0097 0.0087 0.0079 0.0071 0.0065 0.0059 0.0054 0.0049 0.0045 0.0041 0.0038 0.0035 0.0032 0.0030 0.0028 0.0026 0.0024 0.0022

f(y) 366.79 366.09 364.88 363.13 360.76 357.71 353.89 349.19 343.47 336.56 328.24 318.22 306.12 291.42 273.44 251.15 223.13 187.13 139.62 74.53 -19.35

DX

X

18.32 18.27 18.20 18.10 17.96 17.79 17.58 17.32 17.00 16.62 16.16 15.61 14.94 14.12 13.11 11.86 10.26 8.17 5.35 1.38

0 18.32 36.60 54.80 72.89 90.86 108.65 126.22 143.54 160.54 177.16 193.32 208.93 223.87 237.99 251.10 262.96 273.22 281.39 286.74 288.12

164 I.T.CH.


V2 H  z y 2g

De la ecuación de la energía

y la ecuación de

V2 energía específica E  y  , se transforma en H  z  E . 2g dH dz dE   Derivando con respecto a X y recordando que dx dx dx dH dz Sf   S0   y , la ecuación se puede escribir dx dx dE dE E  S f  S0  S  S   o de donde queda 0 f dx dx X E X  S 0  S f en donde la distancia entre dos tirantes puede ser calculado mediante la diferencia de energías y el valor medio de

S0  S f

. Para el cálculo de la distancia se puede seguir el siguiente

proceso: a) Se da el valor del tirante inicial y se va incrementando hasta el valor del tirante final b) Con cada tirante se calcula el área hidráulica

A  by  my

c) Se calcula el perímetro mojado

P  b  2 y m2  1 d) Con el área hidráulica se calcula la velocidad

V  Q/ A

e) Se calcula el radio hidráulico

R  A/ P

f) Se calcula la energía específica

V2 E  y 2g

Se calcula la pendiente de energía Flujo a Superficie

Libre

165 I.T.CH.


Sf

 Vn   2  R 3 

2

g) Se calcula la diferencia de energías

E  E2  E1 h) Se calcula el promedio entre dos secciones consecutivas de diferencias entre la pendiente del fondo del canal y las pendientes de energía en cada sección.

S0  S fm  S0 

Sf1  Sf 2

i) Se calcula la distancia entre los dos perfiles

X 

2

E S 0  S fm

j) Finalmente se calcula la distancia total desde el origen

X  X i  X i

Flujo a Superficie

Libre

166 I.T.CH.

y 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 2.25 2.3 2.35 2.4 2.45 2.5


A 18.38 19.10 19.84 20.58 21.34 22.09 22.86 23.63 24.42 25.20 26.00 26.80 27.62 28.43 29.26 30.09 30.94 31.78 32.64 33.50 34.38

P 15.41 15.59 15.77 15.95 16.13 16.31 16.49 16.67 16.85 17.03 17.21 17.39 17.57 17.75 17.93 18.11 18.29 18.47 18.65 18.83 19.01

R 1.19 1.23 1.26 1.29 1.32 1.35 1.39 1.42 1.45 1.48 1.51 1.54 1.57 1.60 1.63 1.66 1.69 1.72 1.75 1.78 1.81

V 8.16 7.85 7.56 7.29 7.03 6.79 6.56 6.35 6.14 5.95 5.77 5.6 5.43 5.28 5.13 4.98 4.85 4.72 4.6 4.48 4.36


Flujo a Superficie

Libre

B 14.5 14.7 14.8 15 15.1 15.3 15.4 15.6 15.7 15.9 16 16.2 16.3 16.5 16.6 16.8 16.9 17.1 17.2 17.4 17.5

Fr 2.32 2.20 2.08 1.98 1.89 1.80 1.72 1.64 1.57 1.51 1.44 1.39 1.33 1.28 1.23 1.19 1.14 1.10 1.07 1.03 0.99

Sf 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

f(y) 366.79 366.09 364.88 363.13 360.76 357.71 353.89 349.19 343.47 336.56 328.24 318.22 306.12 291.42 273.44 251.15 223.13 187.13 139.62 74.53 -19.35

DX 18.32 18.27 18.20 18.10 17.96 17.79 17.58 17.32 17.00 16.62 16.16 15.61 14.94 14.12 13.11 11.86 10.26 8.17 5.35 1.38

CONTENIDO

X 0.00 18.32 36.60 54.80 72.89 90.86 108.65 126.22 143.54 160.54 177.16 193.32 208.93 223.87 237.99 251.10 262.96 273.22 281.39 286.74 288.12

167 I.T.CH.


Flujo a Superficie

Libre

Flujo a Superficie Libre

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