CURVAS y SUPERFICIES. En
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, las curvas están dadas por Γ = {( x, y ) / F ( x, y ) = 0} , que cuando se parametriza,
{
}
se encuentra dada de la forma Γ = ( x, y ) / F ( f ( t ) , g (t ) ) , x = f ( t ) , y = g ( t ) , t ∈ . En se
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, las curvas están dadas por Γ = {( x, y, z ) / F ( x, y, z ) ∩ G ( x, y, z ) = 0} , que cuando parametriza,
se
encuentra
dada
de
la
forma
Γ = {( x, y, z ) / x = f ( t ) , y = g ( t ) , z = h ( t ) / t ∈ } . Mientras que una superficie está dada por:
Σ = {( x, y, z ) / F ( x, y, z )} Unas ecuaciones paramétricas están dadas por:
x = f ( u, v ) y = g ( u, v ) z = h ( u , v )
u∈A⊂ v∈ A ⊂
Mientras que una ecuación vectorial de la superficie es:
Σ = {( f ( t ) , g ( t ) , h ( t ) ) / t ∈ A ⊂ } Para poder saber de manera muy simple (sin rigor matemático) cuantos parámetros necesita una superficie o una curva, pensemos en lo siguiente: -Una curva. Solo tiene longitud, por lo que solo se requiere un parámetro. -Una superficie. Tiene largo y ancho, por lo que necesita dos parámetros. De igual forma, para saber de manera muy simple (sin rigor matemático) cuantas ecuaciones cartesianas se necesitan para determinar una superficie o una curva, pensemos en lo siguiente: -Una curva. Se forma por la intersección de dos superficies, por lo que se requieren dos ecuaciones cartesianas. -Una superficie. Se forma solo con una ecuación cartesiana.
Clase 2,Discusión de una superficie
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DISCUSIÓN DE UNA SUPERFICIE. Se deben considerar los siguientes aspectos: 1. Intersección con los ejes coordenados. X, Y, Z. Con el eje X, y = z = 0. Con el eje Y, x = z = 0. Con el eje Z, x = y = 0. 2. Intersección con los planos coordenados. XY, XZ, YZ. (Trazas) Plano XY, z = 0. Plano YZ, x = 0. Plano XZ, y = 0. 3. Secciones de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados. (curvas de nivel).
Plano XY, z = k . Plano YZ, x = k.
k=constante.
Plano XZ, y = k. 4. Simetría con respecto a los ejes. Con el eje X, sustituir x, -y , -z. Con el eje Y, sustituir - x, x, y , -z. Con el eje Z, sustituir - x, x, -y , z. Si al sustituir no se alteran la ecuación, ecuac ión, entonces si hay simetría. 5. Extensión. De acuerdo a las curvas de nivel. 6. Dibujo. 7. Identificar el tipo de superficie. 8. Proponer unas ecuaciones paramétricas.
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Ejemplo:
{
}
Discuta la superficie dada por la ecuación Σ = 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4 y realice un dibujo de ella. Solución.
1. Intersección con los ejes coordenados. X, Y, Z. Con el eje X, y = z = 0. 2
2
4 x + 4 ( 0 ) + ( 0 ) = 4 2
4 x 2 = 4 x = 1 2
x − 1 = 0 2
( x − 1) ( x + 1) = 0 x1 = 1, x2 = −1.
Por lo que las intersecciones son los puntos (1,0,0 ) , ( −1,0,0 ) . Con el eje Y, x = z = 0. 2
2
4 ( 0 ) + 4 y 2 + ( 0 ) = 4 4 y 2 = 4 y = 1 2
y − 1 = 0 2
( y − 1) ( y + 1) = 0 y1 = 1, y2 = −1.
Por lo que las intersecciones son los puntos ( 0,1,0 ) , ( 0, −1, 0 ) . Con el eje Z, x = y = 0. 2
2
4 ( 0 ) + 4 ( 0 ) + z 2 = 4 z = 4 2
z − 4 = 0 2
( z − 2 ) ( z + 2 ) = 0
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z1 = 2, z 2 = −2.
Por lo que las intersecciones son los puntos ( 0,0,2 ) , ( 0, 0, −2 ) . Las intersecciones están dibujadas, los puntos de azul es la intersección con la parte positiva de los ejes, mientras que los de color naranja, son las intersecciones con la parte negativa de los ejes.
2. Intersección con los planos coordenados. XY, XZ, YZ. (Trazas) Plano XY, z = 0. 2
2 2 4 x + 4 y + ( 0 ) = 4
4 x 2 + 4 y 2 = 4
que se trata de la ecuación de una circunferencia circunferencia de radio 1.
x + y = 1 2
2
Plano YZ, x = 0. 4 x 2 + z 2 = 4 x + 2
z
2
4
= 1 que se trata de la ecuación de una elipse.
Plano XZ, y = 0. 4 y 2 + z 2 = 4
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y + 2
z
2
4
trata de la ecuación de una elipse. = 1 que se trata
Las trazas son entonces, con el plano XY color rojo, con el plano YZ de color azul, y con el plano XZ de color verde. Se muestran dos dibujos, que pertenecen a la misma figura, solo cambia un poco la vista del observador, para poder apreciar mejor las trazas.
3. Secciones de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados. (curvas de nivel).
Plano XY, z = k . 4 x 2 + 4 y 2 + k 2 = 4 x + y = 2
2
4 − k 2 4 2
⎛ k ⎞ x + y = 1 − ⎜ ⎟ Se trata de una familia de circunferencias. ⎝2⎠ 2
2
2
⎛ k ⎞ 2; 2] ∈ [ −2;2 Que solo existen si 1 − ⎜ ⎟ ≥ 0 , es decir k ∈ ⎝2⎠
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Plano YZ, x = k. 4k 2 + 4 y 2 + z 2 = 4 4 y 2 + z 2 = 4 − 4 k 2 y + 2
z
2
4
= 1 − k 2
Se trata de una familia de elipses, con eje mayor en el eje Z .
∈ [ −1;1] Que solo existen si 1 − k 2 ≥ 0 , es decir k ∈
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Plano XZ, y = k. 4 x 2 + 4 k 2 + z 2 = 4 4 x 2 + z 2 = 4 − 4k 2 x + 2
z
2
4
= 1 − k 2
Se trata de una familia de elipses, con eje mayor en el eje Z .
∈ [ −1;1] Que solo existen si 1 − k 2 ≥ 0 , es decir k ∈
4. Simetría con respecto a los ejes.
Σ = {4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4} Con el eje X, sustituir x, -y , -z. 2
2
4 x 2 + 4 ( − y ) + ( − z ) = 4
4 x + 4 y + z = 4 2
2
2
No cambia la ecuación. Si hay simetría.
Con el eje Y, sustituir - x, x, y , -z. 2
2
4 ( − x ) + 4 y 2 + ( − z ) = 4
4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4
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No cambia la ecuación. Si hay simetría.
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Con el eje Z, sustituir - x, x, -y , z. 2
2
4 ( − x ) + 4 ( − y ) + z 2 = 4
4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4
No cambia la ecuación. Si hay simetría.
5. Extensión. De acuerdo a las curvas de nivel, tenemos: Para x: 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4 2 2 2 4 y + z = 4 − 4 x
y + 2
z
2
4
= 1 − x2
Se trata de una familia de elipses, con eje mayor en el eje Z . Que solo existen si 1 − x 2 ≥ 0 , es decir x ∈ [ −1;1] Para y: 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4 4 x 2 + z 2 = 4 − 4 y 2 x + 2
z
2
4
= 1 − y2
Se trata de una familia de elipses, con eje mayor en el eje Z . Que solo existen si 1 − y 2 ≥ 0 , es decir y ∈ [ −1;1] Para z: 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4 x + y = 2
2
4 − z 2 4 2
⎛ z ⎞ x + y = 1 − ⎜ ⎟ Se trata de una familia de circunferencias. ⎝ 2⎠ 2
2
2
⎛ z ⎞ 2; 2] Que solo existen si 1 − ⎜ ⎟ ≥ 0 , es decir z ∈ [ −2;2 ⎝ 2⎠
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6. Dibujo.
7. Tipo de superficie Esta superficie se llama ELIPSOIDE. (Nota: Posteriormente veremos algunas superficies con sus respectivas paramétricas). 8. Unas ecuaciones parametricas. La ecuación es:
Σ = {4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 4}
Ordenando la ecuación queda como:
x + y + 2
2
z
2
4
=1
Unas ecuaciones paramétricas son:
x = cos θ senφ y = senθ senφ z = 2cos φ
;
0; 2π ] θ ∈ [0;2 φ ∈ [ 0;π ]
Por lo que la ecuación vectorial correspondiente es:
P = ( cosθ senφ , senθ senφ , 2 cos φ )
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