Sucesiones y series infinitas - Eduardo Espinoza Ramos.pdf

Edu ardo ard o Espino Esp inoza za Ram os Graduado y Titulado en Matemática Pura Catedrático de las principales Universidades de la Capital

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ALGEBRA

/ ¡MATEMÁTICA }

.

EDITORIAL

EDUARDO ESPINOZA

SUCESIONES Y SERIES INFINITAS

EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERU

PROLOGO

3ra. Edición

IMPRESO EN EL PERU 01 - 02 - 2008

En la presente obra intitulada “Sucesiones y Series de Números Reales ” en su 3era. Edición, se expone en forma concreta y precisa los fundamentos teóricos de las Sucesiones y Series. Se resuelven gran número de ejemplos y ejercicios como aplicaciones de los diversos teoremas y técnicas. La selección de los ejemplos, ejercicios y problemas de cada capítulo, es consecuencia de la experiencia adquirida en la docencia universitaria y sugerencias bri nda das po r los cole gas del área de mat emát ica s de las dive rsas uni vers ida des del país. En el primer capítulo se estudia las Sucesiones, se establecen sus principales pro pie dad es y s e de mues tra n alg unos crit erio s d e co nve rge nci a no muy usual es. En el segundo capítulo se desarrolla el concepto de Series. En la solución de algunos ejercicios se han utilizado las llamadas funciones especiales y se han calculado explícitamente algunas sumas de series principalmente utilizando las reglas TELESCÓPICAS .

DERECHOS RESERVADOS | ^ ^ ' V ^ : : ' 5 i Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, j electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó g de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y E DITOR. i• • 1Z í: 1 i N ° 1007 0440 607 í RUC I1 | N ° 448 4 ¡ Escritura Pública :í i f i Hecho el Deposito Legal en la N° 2 0 0 7 - 12603 | ! Biblioteca N acional del Perú V. ' •;V !

Las series de potencia se desarrollan en el tercer capítulo, se calculan explícitamente el radio de convergencia y se estudia la diferenciación e integración de las mismas, así como las series de Taylor. La lectura del presente trabajo, requiere de un adecuado conocimiento de las pro pie dad es de los Núm eros Real es, del Cál cul o Dife renc ial e Inte gral y de las Funciones Especiales. »

La presente obra es recomendable para todo estudiante de Ciencias Matemáticas, Física, Ingeniería, Economía y para toda persona interesada en fundamentar sólidamente sus conocimientos matem áticos del análisis real.

■

1

j Ley de Der echo del Aut or j Edición 3ra - Reimpresión 1ro

N° 13714

j

jS :-% É i

*

*

Deseo expresar mi más profundo agradecimiento al Doctor Pedro Contreras Ch. por las observaciones y sugerencias brindadas. Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a esta pequeña obra: ••

•

.

.

■.

^

_

Eduardo Espinoza Ramos.

• • v.\

DEDICATORIA Este libro lo dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE y DIANA que Dios ilumine sus caminos para que pue dan ser guías de su prójimo

INDICE ©

CAPÍTULO I 1.

SUCESIONES.

1.1

Definición

i

1.2

Definición

1.3

Definición

1.4

Propiedades de Límites de Sucesiones

7

1.5

Teorema •

10

1.5.1.

Teorema de la Media Aritmética

10

*

'

3

■

5

1.5.2.

Teorema de la Media Geométrica

12

1.5.3.

Teorema

15

1.5.4.

Teorema del Encaje para Sucesiones

16

1.5.5.

Teorema (Criterio de la Razón por la convergencia de Sucesiones)

17

1.6.

Sucesiones Divergentes.

20

1.7.

Sucesiones Monótonas y Acotadas.

21

1.8.

Teorema

24

1.9.

Teorema

25

1.10.

S uc es io ne s de C au ch y

26

1.11.

Teorema - (Fórmula de STIRLING)

27

1.12.

Teorema.- (Criterio de Stolz-Cesaro)

28

1.13.

Ejercicios Desarrollados

29

1.14.

Ejercicios Propuestos

76

CAPÍTULO II 2.

SERIES INFINITAS.

2.1

Definición

98

!

Suc esio nes 2.3

Propie dades

103

2.4

Teorem a

106

2.5

Series Especiales

107

2.6

Series Infinitas de Términ os Positivos

112

2.7.

Teorem a

112

2.7.1.

Teorema (Criterio de Comparación Directa)

112

2.7.2.

Teorema (Criterio de Comparación por Límite)

115

1

CAPITULO I

i.

SUCESIONES

í.i

DEFINICIÓN.-

2.7.3.

Teorema (Criterio de la Razón o Criterio de D’ALEMBE RT)

117

2.7.4.

Teorem a (Criteri o de la Integral)

119

2.7.5.

Teorema (Criterio de la Raíz o Criterio de Cauchy)

122

2.8.

Series Infinitas de Términ os positivo s y negativos

125

2.8.1.

Teorem a (Criter io de Leibniz)

125

2.8.2.

Teorem a

127

2.8.3.

Teorema (Criterio de la Razón para Series Alternantes)

130

Consideremos una función

2.8.4

Teorema (Criterio de RAABE)

133

elemento de la sucesión.

2.8.5.

Teorem a

136

2.9.

Ejercicios Des «rollado s

137

2.10.

Ejercicios Propues tos

173

Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos, cuyo rango es un conjunto arbitrario. Trataremos solamente de sucesiones de números reales, es decir:

En vez de escribir S(n) escribiremos Sn y llamaremos n-ésimo término de la sucesión. No tac ión .-

SERIES DE POTENCIA. #

Definición

215

3.2.

Propiedades

216

3.3.

Definición

216

3.4.

Diferenciación 4e Series de Potencias

218

3.5.

I nt eg ra ci ón d ^ Se r ie s de P ot en ci a

218

3.1.

219

3.6.

Serie de Taylor

3.7.

Ejercicios Desarrollados

221

3.8.

Ejercicios Propuestos

242

•

A una suces ión infini ta S ¡ , S 2’,..., S n ,... representaremos por 1 " }} n > 1. Gráfica mente se tiene:

CAPÍTULO III 3.

S : Z + -» R, tal que, V /7 e Z+, S(n) e R, es un

Edua rdo Espin oza Ram os

?

Suc esio nes

3

Ejemplos: Luego la sucesión podemos escribir así:

/7(// + l)

ín>i

( 7 ) L a sucesión 1,4, 9, 16 .. .., n2, ... se escribe así ! n~ í//>) (í) (¿)

Los cinco primeros términos de la sucesión{-—— }/;>i ni i i _ 1 L ’ 2 ’ 6 ’ 24 ’

^3 ^

son;

Si la sucesión {Sn}n^ está definido por: S| = 1, S2

1, Sn+i - Sn + Sn.j,

hallar S7. En efecto: S. = 1

i 120

__

Hallar el términ o n-ésimo

S-»= de la sucesión 1,3, 6-, 10, 15, 2 1, .. .,

S? — S t + S i — 1 + 1

En efecto.

—2

54= S3+ S2= 2 + 1 = 3 por definición de la sucesión S, = 1= 1+ 0

55 = S4+ S3= 3 + 2 = 5

So = 3 = 2 + 1

S6 =

53 = 6 = 3 + 3

S7- S6+S 5= 8 + 5= 13

54 = 10 = 4 + 6

1.2

Ss = 15 = 5+ 10

Ss + S4 =

5 + 3 = 8

DEFINICION.Una sucesión {S n}/7>¡, se dice que tiene lí mite L, si para todo 8 > 0, exis te un

SA= 21 = 6 + 15

número N > 0, tal que: S n - L\ < s , para todo n > N y lini Sn = L . //— >x En forma simbólica , se tiene:

C / í _ l Sn= // H!------- J1 ?

lim S „ = I » V í > 0 , 3 N > 0 / n > N = > |5„ - L \ < s

De acuerdo a la regla de coiTespondencia de los primeros términos obtenemos que:

Ejem plos.n — 1 n h------- .n 1

©

Usando la definición de límite probar que:

n +1 Límite de {------}„>, , es 1, cuand o n -> oc n

denotar emos por

Edua rdo Espino za Ram os

4

Suc esio nes

5

Solución lim 2 II — > X

V¿r > 0. 3 /V = ?/» > S„ - L

fi

n +1

En efecto: \Sn - L

lim ;/->x

n

n > —,

de donde:

©

=1»

/7—>X

n +1 li m ------= 1 <=> V¿->0, 3 N > 0/.V« > N => |S„ - L \ < e

En efecto: -^1 —, pero nece sita mos que \Sn - L\ = —< £, n n

luego basta tom ar TV> —,

£

£

n

£

lim (1

n

■

xr . l oe 2 o tomar n > N > ( ----- ------)“ log O + 1)

1)" - ) = 1

n —>x

n < 1 N

— ) , basta — , de donde: n > ( — log(¿* +1 ) \0g( £ + l)

—pr lo g2 < log (£ + l) => y/7l

n +1

■

i i |S n - L\ < 11- 2^" | = 2 ^ -1 < £ => 2 ^ < £ +1 , entonces,

Luego:

es decir:

> o, 3 N > —//? > N , entonces

- i <=>

|S n - L

1 1- 2 ^ x /7

> 0, 3 ¿V = ? / n > N => | 5 „ - l | < f

Ejemplos.« En efecto:

\I SM„ -

L I\

= ] + ( - l ) "n- - l

—

límite,

en

caso

contrario la sucesión es divergente. Determinar si es convergente ó divergente las sucesiones siguientes:

#

( - i r -

n

Pero debe cumplirse que S „ ~ L < £,

para ello hacemos —< £ , de donde:

n

©

[ n+ x

¡

' 2n + l Solución Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular

n > N > —. £

©

Lueg o

> 0, 3 N > — / IS,, - L £

lim 2 ^ =1 H —>X Solución

el límite de la sucesión, es decir:


6

Suc esio nes

En forma similar a los ejemplos a nteriores, calcularem os el l ímite de la

_ .1 1 + 1 . Por lo tanto {------ es convergente. 2/7 + 1

©

3 + — 3 w , r c .. 3/7 +1 3+ 0 2 sucesión, es decir: lim Sn = lim — ----- = lim ------ — = ------ -- —. w->x "->3°2 /? ~+ l /;*^X2 + -Í 2+ ^ ^ /?'3

,2^+1, < 0 3/7“

~n

7

*/?>1

Solución

1 tanto: n lo Por

r ^ } >,, 1» es convergente. {— 2/7 +1

Para determinar la convergencia ó divergencia de una sucesión bastará calcular el límite de la sucesión, es decir:

1.4

PROPIEDADES DE LIMITES DE SUCESIONES.Conside remos dos sucesiones convergent es

2+ 1

{^„¡

„>1

y

y k, una

*

c r 2 " “ + 1 r 2 + 0 2 lim Sn = lim — = — -----= lim ------ — = -----//~>x /i—>oc3/7 — n 1 3-0 3 J ~ »

constante, entonces:

/?

i)

lim k = /c

ii)

lim /v 5/; = k lim

«~ >x

Por lo tanto:

{— ------}„>,, es convergen te. 3/7“ - n

Solución .

iii)

v)

C

>x

lim (S,, ±-SM„) = lim SMi lim S"w /?—>x

o lim lixn-^- = -^ £ --- , /7->x s 'n lim S\, n —>x

lim Sll.S\l = lim S,,. lim S'„

La demostrac ión de estas propiedad es es análoga,

sucesión, es decir: lim Sn-= lim ----- — = lim (—+ — 7 ) = —+ 0 = —. /7—>x //— 2/7“ //->x 2 2/7“ 2 2

funciones reales, por lo tanto se deja para el lector.

Observación.-

a la de los límites de

límite del término n-ésimo de la sucesión S n cuando n — » es decir:

Ejemplos.-

n —

Para hallar el límite de una sucesión {£„}„>,, se calcula el

. 3/?3 +1. ' 2 7 7 í ’ ''al Solución

n—>s.n—>v

* 0

En forma similar a los ejemplos anteriores, calcularemos el límite de la

/?“ +1 Por lo tanto: {-----“ }„>i , es convergente. 2/7“ ®

si lim 5* n-nc

iv)

5W

//—>x

Calcular los límites siguientes

00,

8

Edua rdo Espi noza Ram os

Suc esio nes

j

Q

1 1 + -1 + - 3y + 11 + 1 3 n n \ 2 / V n n~ lim —( 3 2 1 , 2 1 3 + - y - + 13— y — j /7 n V n n

lim(l + n + n 2)" n —>x

-------------------

Solución I

i

i

l i m ( l + / 7 + / 22 ) ' 7 = l i m [ ( / 7 + A22 ) ( l + — - ------ - ) ] " /í-*oc + fj-

2

n —>x

+ 1.

1

2

3 V3 + x/3 -> -

.1

lim (/? + /?“) ". lim (1 + ---------)"

//—>x

//—>x

¡_____________

^ _j_¿j -

_ 2 V3

3 %/3 _ 9

__________

3

lim (Vi// +1 - 7/í +1)( y¡2n~ + i - V/?2 +1 )se n2(—)

n —>x

1 lim eL"{"+"~>'. Hm [(l + — ^ ) " +" ]"("+":> //—>X

/? —>X

ft _j_ fj

ln(;/+;/ ) ¡jm---- ¡—_ ” £ -n (n +fr)

lime / ? —> X

Lil— — lim-----------—— = y y ..) / /—>x

e° . e° = (1) (1) = 1

Solución i

Primero racionalizamos a la expresión: lim (^2/7 + 1-V/ 7 + 1)(V2/?2 +1 - yin2 +l )s en 2(—)

/z — » 0 0

v /7

/I3 sen“ O

= lim //—»x

/.

” (72« + l + V/ í +1 )(v 2n~ +1 + V 7 7 I)

lim (14 n + /7“)" - 1 n —>x

~

2

3 sen(—) 3

.

:

©

,. l im

>/3/í3+ 2/ ?- l -V /

,

,

- 2 / / - I

3»3

—

11 >X y /n ' + /7~ + 3 / 7 - V / r

+77” -3/7

Solución Racionalizando el numerador y denominador. .. V3/73+ 2/7-1 - V3/73- 2/7 -1 4/?( V /73 + /r + 3/7 + Va + /7~-3/? ) lim ■■-.■■■-■- = = ---- ============== lim ------- ============---- =========//_>/ V«'' +/?2 +3/7 —yin3 + n~ -3 /7 /?_>/ 6n(y¡3n' + 2 / 7 - 1 + v 3 /? ' - 2 /7 - 1)

»•( )3 ( - v “ )" (-) = lim " (\l2n +1 + -\//7-t- 1)(\/ 2/7‘ -f 1+ yfñ~ ~+\) A

’ 3

se n( - ) 2 0 „ó lim ( ------¿?-)2 (2w)' //—>X (—) (V2« + 1 + -J n + \)(>¡2n~+1 + *Jn2 +1 ) ( n 22

2V2

(V2 +1) (V2 +1)

(V2 + 1)2


10

©

Suc esio nes

. K , na+\ i-l i m r-, + )] - ---[ 3 - 2 ( ------na ) a—ôo na

11

àp +1+^/h-2 + —+ +l + s p+ ¿ + ... + \ón\< M e , por lo tanto su limite

#1 + ¿J-) + ... -f £Z de, — ----- ------------, es: /?

Solución ti , n a + \ w

_

na

,

2

,• r, ~.,na + \^ ^‘s—<----) p/i - 2 ~ - r ( — ‘grX------» lim [3 —2( ---- — )] 2 = h m [ ( l + — ) 2 ] 2 "a n >00 na «->* na =e

1 K(----na+1, ) 4 -2 lim—til— na 2 na - e /T ,donde:

©

1 lim —i ~ ( \ ¡

1.5.1

TEORE MA DE LA MEDIA ARITMETICA .-

, 13 ^\ ^\

//—>x >/l6w2+ 3 »4

1415 ¡n + 2 , f"... + i /---------------- ) <6 V« + 3

Solución 1

lim

TEOREMA.-

77

Calcular los siguientes límites:

Ejemplos:

1 ir na +1 ■ tc 2 lim — -t g—-(--------) = limxtg —(1 + jc) = ---«->*>/?¿Z 2 /7¿7 -v— >0 27T

1.5

//— >x

k ,na+\^.

/?—> oq

5 \ji + 2 .3 14 (\I~7+\IT + a /t + ••• + J ----- r ) A7 -f 3 V5 Ví 6/72+ 3 lim

a;

', - > x V l 6 n 2 + 3

Consideremos una sucesión {an }„>, conv erge nte, si lim an = a , entonces: n —>x

"

f i J 5

¡5 )»(66

(—)(1) = —, de donde se tiene: 4 4 77 + 2 w->x V77+ 3

Demostración

además: lim n —>00

1 /

a \ + a 2 + ... + tf/7

n y4

77

/7£7 n

+ 32 + ... + n

^

+ &p+2 + —+ án n

Como la suma 8i + 82 + ...+ Sp = k (constan te) por ser una suma finita, corno: .

/<»

14

h4/

V5

f-4

15

V6

1/ 7 + 2 \

h... +. /------- I = 1. y n + 3

a ++ ••• + a + ^p + a + ^/j+i + —+ 0 +

/7

8

/3

lim —( . /

expresamos así:

< e , entonces:

®

1

4

5

V V " - 1- 3 lim - = i L = = = — — VÍ6¡^3 4

1 y por el teorema de la media aritmética se tiene:

Como lim an = a => an =a + Sn , donde: lim Sn = 0, por lo tanto, a la suma /; —>oc

. 1n +2

rt+3

(9 + —+ - +... + ------) • ' ^/i _ 8«3 5 6 " +4

/7—>Xi

Solución 1 4 5 «+3 lim — ----- (9 H H------- h... H----- —) ;j->ocl/ j_g 3 5 6 72+ 4

Edu ardo Espin oza Ramo s

12

.. 9 n 4 5 n +3 1 1 lim —= = = = + hm — ( - +- - + ... + —--- )— = Q+ (— )(1) = Vi - 8 «3 Vi - 8w3 5 6 ,1+ 4 n 2

Suc esio nes

1

13

'3 5 7 lim ", « —>x V5 8 11

1

2/2 + 1 3« + 2 Solución

donde:

lim—p ¿ = = 0, lim ~=^=====\ _ g/73 /,- >ocv i - 8n3

2

TI

*’ an

2 n +1 , de donde: 3n + 2

r 1 - 2/ 7 + 1 2 , lim an = lim ------ - = —, luego el teorema de la media geométrica se tiene: /;->oc3/2 + 2 3

«-»oo

TEOREMA DE LA MEDIA GEOMETRICA.-

'3 5 7 2/z + l lim "i • • w~>x \ 5 8 11 3/2 + 2

Consideremos una sucesión {an )n>x convergente, si lim an - a , entonces: •

1_

Se observa que: a,

14 5 /7+ ^ lim —(—+ —+...+----- -) = 1 /2 5 6 /?+ 4

por el te ore ma de la m edia arit mét ica se ti ene:

1.5.2.

y como lim —— = 1 n + 4

2 3

//-»x

©

lim

¡ M

U

ln6

l n (3 ” )

n—>ccVln(5) lnlO

ln(5/í) Solución

Demostración Se observa que: ax = Como

lim an - a

n —>x

=> ln( lim an) = ln(¿z), de donde: n —>x

]

=> lnz//? = ln^/a j.a2...aw = —(lna , + ln a 2 + ...+ ln
Toman do limite cuando n —>oc y aplican do el teorem a de la media aritmét ica

/ j- »x

Yl

Levantando el logaritmo en ambos miembros:

ln(3/2) , de donde: ln(5/?)

’ an


, , , , . luego por el teorema de la media geométrica se

//— >x y i n 5 In 10

ln(5/?)

Existen limites que se calculan mediante la integral definida (veamos el caso particular)

«-*x

lim ^j al .a2->-cin = /i—>x

Ejemplo.-

tiene:

/?—>x //

Ina, + ln a, + ... + lna„ ■ /------------. . In( lim u„ ) = lim -----1-------- - -------------- = ln( lim ^¡ax.a2- a n ) = In a « —» x

it- ln(3w) . íim aM= H lim -—— = 1, «-»x ln(5/i )

n —>x

OBS ERV ACI ÓN .-

lim ln(ww) = li m —(Ina, + ln a2 + ... + ln a„ ) //- >x

ln 6 LnTÓ

//—>x ______________

sea í/„ =!¡Ja].a2- a

lim (In(an)) = ln(rt),

ln3 Ín 5

Para la integral definida sobre el intervalo [0,1], de donde h ~ a 1 - 0 1 m i i i Ay = ------ = ------- - —, c¡ =a + lAx = 0 + —= — => c’j - — n n n n n n

í

f (x )d x ~ lim n-¥ »

n i-í

n n-+co UmJ

n n

Edu ardo Espin oza Ram os

14 Ejemplos.©

lim

Suc esio nes

15

, +. n 6 ,. 11 6 +-2«->6+... lim —— .7 ii —yx n


7 ,1 X 7/0

lim -V (-)6= jVdr «->« n jLmé n JL /=! ^

Al límite dado lo expresaremos en una integral definida lim >x

f e + '■& + ... + ' 4 7 , \ ,7, l L li m -------------------------- = lim — ( en + e n + ... +
1

7

0 = 1

7

116 +. 2->6 +. . . . +, /?( 7

/7//-»x 77

n —>x

1.5.3. i o

//—>x

TEOREMA.-

= e-1

lim r" = n~>r

N > 0, de tal man era que:

//

i¡my I yz-•2 ++, /12 /?->x /=!

Luego:

Solución

rn ~ 0

0 < r < 1, lim V 3 - ^ = 1 ™ V 1 1—>X¿ -j- /7~ /7— >0C

— - -----= lim ‘ Y ----- — / ^2 .i //— >X 77 ámmmi i / ^ \ 2

/=1 I“) +1

í

/=! l + V—J

í/x

—= ar rt g x / ’ = arct g ,1 - arc/g „0

1 + jT

«— ” >oo

l6+ 26 +... + tf6 n/77

lim r" = 0 ,

1

Solución

o

rn<8

+0 0

r" -

0

<9 8

> 0, buscar emos un numero

< s , V n > N

<=> n l n r < l n c

<=>

por lo tanto: dado s > 0, 3 N

V n > N = -^4- , es decir: lim r" = 0 //— >x ln / üL_o = iL

si 0 < r < 1 y si r > 1,

II —

De acuerdo a la definición 1.2 se tiene: V

/7

/=!

Demostrar que:

Demostración

/// , n 2 , , n¡n \¡e + <¡e + ... + >/*’ , h m ----------------- ---------= e - l

(¿)

/

5 £ ± .:;: +.Í Z

Solución

©

lim — ( ( — ) 6 + ( — ) 6 +... + (—)6) n >x n n n n

Ejemplos.-

®

2 lim (—)'f = 0 //-»x 3

©

4 4 lim (—)" = +oo pues to que r = —> 1 /?—>x 3 ^

2

puesto que r = —< 1

1

ln ^ n > ----- = N , pues to que ln r ln ^ , tal que: 0 < ¿\ ln r r tl

-


16

1.5.4.

Suc esio nes

TEOREMA DEL ENCAJE PARA SUCESIONES.-

17

1 eosn i ! 1 —< ------ < —, y como hm - - = lim —= 0 n

n

//

n

/?->x

n

Si V n e Z + , 3 N > 0, tal que: an < cn < bn , V n > N y si Luego por el teorema 1.8, se tiene:

lim an = lini bn = L , entonces lim cn = L

II —>00

/?—>x

Demostración

lim - --- --- = 0 n->y n

Ejemplo.- Demost rar que: lim yia" + b" = 6 , 0 < a x

Por hipótesis tenemos: lim an = I <=> V £>0, 3 TV, > 0 / a > N, => ¿/,7- ¿| < s ,

Solución

. //—»X

L - £
es decir:

...(i) Como 0 < a 0 < a " < ò" => b'\ < a" + 6" < 26" => b < \l a" + b" < yf lb

lim b n - L

«

V e > 0 , 3 N 2 > 0 / n > N 2 =>

- L\ < s , es decir:

como lim b = lim ^26 = b , entonces por el teorema 1.8 se tiene:

//—>X

H-» X

L - e
/ / —> X

. . . (2 )

lim yfa" + b" = />

11 —>oc

S ea /V = m ax { , N 2}, entonces tenemos:

1.5.5. L ~ £ < a n < c„ < bn < L + £ , de ( 1), (2) e hipótesis

TEOREMA .- (CRITERIO DE LA CONVERGENCIA DE SUCESIONES).-

Luego tenemos L - £ < cu < L + £ =>

Sea {5/;}//>i una sucesión de números reales.

cn- L\ < £

Por lo tanto, dado s > 0, 3 N = max { N ], N 2}, tai que: n > N => cn —L < £ , de donde: lim cn = L , por definición 1.2. n —>x

Si lim 1 1— >x

li

RAZON

PARA

< 1, entonces lim Sn - 0 y por lo tanto. La sucesión {S n } >x

li

es convergente.

Demostración Ejemplo.-

eos(n) n Probar que li m ------- - = 0 a —>x

yi

Por hipótesis se tiene: lim

< 1, sea r un número real, tal que:

li

Solución 1 V w g Z + , -1 < eos n < 1, c omo /7e Z ' => —> 0 , en tonces : n

sli

lim

n —>x

//—i < r < 1 => 3 N > 0 / ' lim S a-1 < r , siempre que n > N a s11 n

LA

,

Edu ardo Espi noza Ram os

18

5 p+ \ < r S, , de donde:

Sea /? e Z f / p > N =>

Suc esio nes

©

n lim — = 0 A7—>X

p

Solución

V 2 < r ' p +i < r ‘ S. , e n genera l se tiene:

3"

lim

/7 + I

/?

= lim

77—> X

s,

, de donde: -/*

< r

n +1 Vi ~ ~y,+\ , entonces

77

como 0 < r < 1 => lim r = 0 (teorema 1.7)

77-»X

(/? -h1).3/7 n +1 - lim /?+! n >x 3« /2.3

1 <1 3

A—>x

Luego lim -r A- > x

lim r A

A—>x

P

Luego por el teorema ( 1.9) se tiene: lim — = 0 77-»x y 1

= 0 y por el (teorema 1.8) se tiene: lim S„ = 0

lim 5 +A. = 0, por lo tanto:

>x

A—>x

®

lì * l im - - = 0 r t —> X f j n

Solución Demostrar que:

Ejemplos.-

Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes. 5" lim — = 0 /;->x /7!

Sea S n

Solución Sea S a

5" 11!

77 + 1

(/? + !)!

//—>x

/?+!

lim //—>x

(w + 1)!

lim //—>x

77+ 1

w!5w+l (« + 1) !5n

li m ------= 0 < l >7->x n +1

n\

Luego por el teorema (1.9) se tiene:

/7 + 1 77

lim 77-»X

, entonces:

(ti +1) #7+ 1 n\ nn

.. n"{ n + \)\ n Inr i--------------------:— = lim (---)" »-»»(n + l)"+l.w! "~>r- n + \

n = lim [(l + — —) (/í+!)] (/,+n ~ e n->oc

5" lim — = 0 n\

(n + l) "+l

(n +1)! lim

■77+I

(« + !)!

s

, entonces por el criterio de la razón: /?—>x

lim

ni 11./?

n +

// = e~l - i X f j >!


20

1.6

Suc esio nes

SUCESIONES DIVERGEN TES.-

c)

21 DE FI NI CI ÓN .- Si la sucesión { ^ } /?>! diverge,

Se ha dicho que una sucesión es divergente cuando no tiene límite, esto puede

fonna alternad a, diremos que la sucesión {*S'W}

, una sucesión, diremos que:

S n —» +oo,

cuando n —> oo, si para todo M > 0, existe

N > 0, tal

DEFINICIÓN.- Sea {S n }

j(- l)' ? { , es oscilante, pues la suce sión es ^ ' n>1 -1 ,1 ,-! ,... , si n es par lim (- l) ,?=l y cuando n es impar «— >00

lim (-l ),í ~ - l , Luego

Ejemplo.-

Probar que lim 3“ «— »oo

n —>oo

=

+oo

1.7.

V M > 0 ,3 N = ? (que depende de M), tal que:

b)

DE FI NI CI ÓN .- Sea {*$„}>, , una suces ión, dir emos que: cua ndo n —> oo, si para todo M > 0, existe

Sn ->

-oc,

N > 0, tal

Probar que lim l - 2n =

ni a - 0 0 , por lo tan to, es o scil ante por defi nici ón c).

DEFI NICIÓ N.- Sea {Sn }^ >{, una sucesión, entonces: i)

Si Sn N => la sucesión {«£„}> es creciente

ii)

Si Sn+] < S n , V n > N => la sucesión [Sn }

es decr ec ie nte .

A una sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona.

que: S n < - M , V n > N

Ejemplo.-

+ 00 ,

-vx

SUCESIONES MONÓTONAS Y ACOT ADAS^ a)

1 1 i/ 32""1> M => (2a? —1)l n 3 > InM , es decir n > —( ~ — + 1) = N 2 ln 3

¿í lim (-l )w, por lo tanto, no es convergente; pero n

tampoco diverge a

Solución

, es oscilante.

Ejemplo.- La sucesión

que: Sn > M , V n > N ^ n _ i

no a - oo, ni

a + oo, y además toma val ores positivos y negativos en

ser, dive rgen te a + oo ; a - oc u osci lante .

a)

pero

OBSERVACIÓN.Si 5 ; < Sn+{ -^> direm os que la sucesión es estrict amente creciente.

-o o

«-»OO

Si Sn+{ < Sn => diremos que la sucesión es estrict amente decreciente.

Solucem V M > 0 , 3 N = ? / l - 2 n < - M => n>

2

\ + M Luego V M > 0, 3 N = ------- /1 - 2n < -M, V n > N —

Ejemplos.-

= N O ^

Determinar si la sucesión { -------es creciente, decreciente o no monótona. 2 n +1 Solución

> Edu ardo Espin oza Ram os

22 Escribiremos los elementos de la sucesión

12 3 4 n // +1 3 ’ 5 ’ 7 ’9 ’ ’ 2/ 7 + 1 2n + 3

Suc esio nes

23

La desigualdad (1) escribiremos en otra desigualdad equivalente para ver su validez. n
...(2)

Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van creciendo La desigualdad (2) es validad porque el miembro de la derecha es igualdad al

cuando n crece.

miembro de la izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad (1) es valida. En general tenemos:

ti /?+1 — ----- ^ ~— ~r 2/7 + 12 / / + 3

•••

La desigualdad ( 1) se verifica si encontramos otra desigualdad equivalente en

Luego Sn+] < Sn , entonces la sucesión es decreciente. b)

DE FI NI CI ÓN .-

Al nume ro A le lla mar emos cota inf eri or de la

al cual podemos afirmar que es valida.

sucesión {¿y}^ si A < S n , V n e Z +, y al numero B le llamaremos cota superior, si Sn < B , V n e Z + .

Así por ejemplo en la desigualdad (1) podemos escribir: 2 n~ + 3/7 < 2/?“ + 3/7 + 1

••• (2)

La desigualdad (2) es valida porque el miembro de la derecha es igual al de la izquierda mas uno, por lo tanto la desigualdad ( 1) es valida.

Ejemplos,^

(V)

}

>t, una cota inferior es cero, cuyos elementos

inferior es menor o igual que ~ . 3

Determ inar si la sucesión {—}/;>i es creciente, dec reciente o no monót ona. n (5 ) »

Solución 1/ ^ , 1,, —,—, 1 1 1v ’-**» 1 ’1 Ll v " Escribir emos los elementos de la sucesión {— n 2 3 4 /7 n + i Se observa que los cuatro primeros elementos de la sucesión van decreciendo cuando n crece. En general tenemos: *

2/2 + 1

12 3 / 7 . 1 s on: - - — ------otra cota inferior es - , en general una cota 3 5 7 2/7 + 1 3

Es decir: Sn < S n+l, luego la sucesión es creciente.

©

En la suc esión {- ■■■” ■

En la sucesión

/?

el 1 es una cota superior, en general cualquier

número mayor o igual que 1 es cota superior. c)

DE FIN ICI ÓN .-

Si A es cota inferior de cota inferior C de

máxima cota inferior de {S n}

1 ,1 ----- 7 ^ ~ /7+1 n

/i\ •••va;

.

y A > C para toda entonces A ser llama la

Edu ardo Espi noza Ram os

24

Suc esio nes

Si B es cota superior de {Sn}n^ y si B < D para toda cota superior D de {S „ } ., entonces: B se llama la mínima cota superior de

25 Luego Sn < Sn pero n > N

.

.... (4),

De (1), (2), (3) y (4) , se tiene que: a - 8 <

Sn < Sn < a < a + c

r

d)

DEFINICIÓN.-

La sucesión

siempre que n > N => {S,,} ^ es converge nte y su límite es la mínima

diremos que esta acotada, si y

cota superior.

solo si, tiene cota superior e inferior, es decir: \Sk\< k , V « g Z + .

Ejemplo.-

ii)

La sucesión {—}„>i es acotada. n

»

La demostraci ón es similar que (i). r

OBS ERV AC ION .-

El teorema establece que toda sucesión monótona y acotada es convergente.

1.8

TEOREMA.1.9 Sea

}

TEOREMA.-

una sucesión, entonces: Toda sucesión convergente es acotada.

i)

Si

es creciente y acotada superiorm ente, entonce s

es Demostración

convergente.

ii)

Si {5W} , es decreciente y acotada interiorm ente, entonces

}/?>j >es

Para demostrar que:

Sn < k , V n

convergente. Sea

Demostración i)

| Sn }w>| , es acotada superiorm ente, por hipótesis a

= mínima cota

, una sucesión convergent e y sea L su límite, es decir:

lim Sn = L >x

V s> 0 , 3 Ar > 0 ! n > N => |S/; - L\ < s ,

superio r de {£„} >t, dado un número c > 0, se tiene que a - s, no es cota superior de

, pues a - £ < a

superio r de la sucesión como

y a es la mínima cota

a - £ no es cota superior, 3 un número

entero positivo N > 0, tal que: a - s < Sn , V n > N ... (1) Tenemos Sn < a , V n e Z + ... (2), Si Sn < Sn+1 , V n > N

... (3),

a es la mínim a cota superior. ( {S n

es creciente por hipótesis).

tenemos:

< £ , V n > N

S n = S n - L + L => s„n < S n- L + ¡L| < e + |¿|de donde: Sn <£- + |¿|,V n> N

Si,S2,—9SN,SN+l.:. acotada por s + \L\ Sea k ~ max

\S21, |S 3|, ... ,|S W|, s + \l \ | , luego se tiene: Sn < k , V n.


26

1.10. SUCESION DE CAUCHY.a)

DEFINICIÓN.-

Suc esio nes

K - s„

Sea {S„}h>| una sucesión, se dice que es una sucesión

27 m ~f 1 n + ] m n

1 m

1 , se reduce al ejemplo anterior, luego bastará n

tomar N

de cauchy, si para todo ¿r> 0, 3 N > 0 / m > N, n > N entonces

sm - S„

< £

1.11. TEOREMA.- (FORMULA DE STIRLING).-

Ejemplos.-

©

Demostrar que para n grande:

Pe mostración

La sucesi ón {—}„>| es de Cauc hy. n

Por definición de la función GAMA, se tiene:

En efecto: V g > 0 ,3 N = ? / V m > N, n > N => | S m - S n < £

i)

Si m = n => IS m - S n | =

ii)

Si m > n => IS m - S n

m

r (n +1) =

= 0 < £ , V n.

n

n

n

ni

f

I

x ne~xdx = [ e"ln'-'dx

La función n L„ x - x, tiene un máximo relativo para x = n (queda como ejercicio probar).

J L _ i - ------—< — pero debe cumplir qué: m

n

IS - S

< £ => —<£• de dond e: n> — = N , (m > n > N). Luego n £ 1 bast ará tom ar N =

Haciendo la sustitución x = n + y en la ec uación (i) .

í

r( « + l) = e-" I e"'ni"+y)-ydy = e '" | •J-/?

Í° e »

ln( 1+ —)—v

iîi) Si n > m => \Sm - S n

m

1 1 1 = --------< — como n m n m

- sH <£ ,

entonces: — < £ => m> — ~ N . Luego bastará tomar N = —(n >m>N). m £ s La sucesión {—— }n>\ , es de cauchy. n En efecto: V 8 > 0, 3 N - ? / n, m > N =>

< £

-

e

«

dy

... ( 2 )

dy

H r

X

2

3

X

Tambi én se conoce que: ln(l + x) = x ------+ — 2 3 Haciendo jc ~

©

n\ = y¡2nn nne ” aproximadamente.

, además y = \fñ v , se tiene:

... (3)

Edu ardo Espino za Ram os

28

Suc esio nes

29

Para n grande, una buena aproximación es:

Solución

*> i'**

f -’OC

é

~dv

=v27rn n"e~"

-,(5)

Sea

X

Además F(« + l) = w!

Calcular hm

//—> x

l n ( ^ l > ’) ni = lim - lim //->x («4-1) ln(w +1 ) - n ln .n //—>x

/7

1 2n f ^ Z 'i[ñ \ n e l i m ------ --- l i m —---------------= — h m oc

1 limln;
p

3

lim ll ~>x

e

/7

—

—

1

— £

1fi127Tw “

_ 1 !’™Ñ — _ 1 ,0 _— i C e e e

Sea {«„¡„>i y {6„}„>| .dos sucesiones tal que:

ii)

Si li m «„ = lim il—ït:

n —>x

Si lim

= +oc ,

= 0 y la suces ión {*•„}yi2| , es mon óto na o. y la suc esió n

{bn}n>\ ,.es monótona, entonces:

ln(l + w)H 1 ln(l + —) + ln(l + n)" n

ln(/7 -h1) , n +1 tf.ln(------) + ln(/i + l) n

ln e lnl + lne

1 1

r ln(/f!) l i m — -— - = 1 //->x in(77/;)

1.12. TEOREMA.- (CRITERIO DE STOLZ-CESARO).-

i)

= ln(n" )

lim — = lim — ■■■■ a" = lim ln(w + 1)! -l nw ! "->*>bn »->=0 6(I+| „-»* in( „ +1 )«+i _ in n"

n !- -sílñn n e

Solución

n —>cc 77

«,,+1 = ln(« + l)! A,+i = ln(« + l) //+!

—(6)

Por lo tanto de (6) en (5) se tiene:

Ejemplo.-

«„ =ln(n!)

1.13. EJERCICIOS DESARROLLADOS.Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión S.. =

(2ft + 5)2//+V ~ 3

(4« + i r 2( , - ^ Solución

lim — = lim ^"+l =■A „_>*= „->* ¿>„+l - bn Ejem plo.J

ln(/7!) Calcular lim — ”->*>ln(« )

n=

(2w + 5)2"+V ~ 3 (4« + 1)',+2(w+ 3)2"

(2«)2"+5(l + A)2»+5„»-3 ____________ 2n _________ __ (4/j)" +2(l + J - ) n+2w2" (1 + 1)2" 4n n

Edua rdo Espin oza Ramo s

30

Suc esio nes

31 ■•»nwra

22/,+V n+V ~ V 2"(1 + — )2"+5

_____________________2»

22,,+V +''(l + -5- ) 2"+s _ ________________ 2n ________

>y2/76 + 1

= lim ( * + 1)3 s e n ( ^ - ) . s e n ( ^ L ) . s e n ( - ^ ) »>->* (n-t-iV \ 7+ r /?+ 1 « + r (/7 + i O 3

4«+2n„+2 (, +J_y,+2 + l y - n2 2n+4/;»+2 + _L)»+2(j+ 1)2» n

4«

4n

n lim

2(1 + — )2,,+5 _ ______ 2n _______

\/ 2/76 + 1

^ ‘ . lim(« + l)'se n(— -).se n(- ^-) .sen (——) ... (1)

» - > * 1f /07 4+- l1iV) 3

»->xv

( i + - - ) " +2( i + - ) 2" n 4n

H+ l

V« + l

V2 l im — -

H+ l

= V2...(2)

n-»x- (w + |) 3

2n 5(2//+5) 2[(1 + — ) T

] ^

”

2 e 5 _ 5

Sea

lim 5 = lim ------------ ------------------ - — = —j— = 2e 4

„_>x

/»--»X

|

4 „(ZL_! 1 )

[1 + — ]

4n

4„

3

[ 1 -|------ ]

n

^(Ji)

--

z

= ------n -f 1

=>

n +1

= — ;.

z

cuando n

- » o c,

z

-»

O

€ €

"

lim (n +1)' sen(——).sen( --------------------------------------------------------- -) .s en ( ----- ) n+1 n+1 n+\ --->x

¿ /?/r* v , ,5/i;z\ Calcular lim \2 n + lsen( ------).sen(------ ).sen(----- -) «->x /7+ 1 n+1 n+1

r sen/rZ sen3;rZ _ sen5/rZ , „ , = lim n ----- — 3 a — ,5 n — ----- = 15/r3 z-+<*> ni 3 jt Z 5n

Solución

Ahora reemplazamos (2), (3), en (1) sen( ------) = sen(;r -------- ) = sen( ----- -) n +1 n+1 n +1 sen (^^ -) = sen(3/r n +1

n -r 1

lim 4 l ñ b +1 sen (-^ -).se n(—— ).sen (-^ ^) = 15V2/r3 n+1 a?+ 1 /?+1

= sen(-^-~) n +1

C s)

s e n ( ^ -" ) = se n (5 ; r - -------- ) = sen(—— ) , de donde: n +1 n +1 /?+1

Solución Hm nw‘ [[_ ~y— ---• -= _ 7_7 -~—— > = p¡ " — = uiim w6[|—p== ====rî — ( i ------- ________ ; )113/; — -=— n í // /7->X "“** \ / ¡ 2 +3 %/«" +3 "-** <¡//72 +3 Vw" + 3

lim V 2 « 6 + 1 s e n ( - ^ ) . s e n ( - ^ ^ ) . s e n ( - ^ ^ - ) /;- > x

W+ 1

/7 + 1

/7 + 1

= ljjn n/2/í6 +1 sen(-^—).se n( -^ -).s en (- ^- ) lì —>X

Calcular lim n6\ —=. ^ — --------1'” «-»» y¡n2 +3 <[7+3

n +1n

+1

n +1

■6 -5 ft2 . +3 lim — ^ — r O - ?/— — ) 3” /,->x(/7 +3) V«77+ 3

... (3)

Edu ardo Espin oza Rumo s

32

Suc esio nes

3

+3 n - > co

# - + 3

V / ?

—31i m /;

, /iw(/i2+3) r /r+ 3 = lnn n ---------------- = lim "I

1 _

" )

w->x ^

/?

1+3»

1+

3 /7

'

lim

^

li m -----------------------------------------------

= £h"

n

3 ^

0

^

^

2 i + ]+ ]

+3

11 —>x

2 V/?-f-1— \ n \

Calcular el límite: lim n{an --1 ),

a>0

//—> x

Solución —e

0

=1

Hacemos Z = yf a - 1 => <¡/a = Z +1 => -dn a = ln( 1+ z) de donde:

ff

1 l n( l + z ) _ __— ------ ln a n

_'(>/«+ 1->/«) 31

Evaluar

0

lim -) ___ ' ——( = 0

©

"

Aplicando la regla de L’Hospital

( 4)

0 +

Ln (/f+3)-£/f (1+3/? ' )

/ /r + 3 \

l i m — ¿ / / l ----------- r j

0 +

2¡{\fñ+\ -ifñ)

/7'/+2+3/7”

i3 =é? , donde: lim n'A — ------ = lim f¡ /7— >x \ n" +3 V

/ ? -> o o ^ f i n ( J + 3 n

^

2 %/TTo + a/Í + 0 +1

+ 3

x In + 3

(1) e v'

33

■■•- = ---- p r

' >- >* 2 Í V /7 + 1 - V /7 J

ín ^ . w~ — ------- ^cuancj0 /? —>oo z —>O, entonces: ln(l + z)

Solución lim n(a" - l ) = lim — - z = ln a.lim í— - = ln a. — = l n« . ln e //~>x r~>0 ln (1 + 2) r->0 I ln(l + z )2

Racionalizando numerador y denominador 3 1 II n -t- 1 //—> x

\[ñ j

3

1 ( > /w + 1 -

\[ñ j

L im ny a ” - l ) = \na n —>x

2 ( V / T + T - V / 7 ) 2 «- > * l (^ / ( ^ + l ) 2 + yfñyi n + T + ^ r t 2 )

Estudiar la convergencia ó divergencia déla sucesión

T

[Tn} n>l donde:

(3/7 + 1)2 (V?-f 7) 2 (3/7 + (/72 + 5) ^ ) (n + 3) /;

Solución Para determinar la convergencia ó divergencia de la sucesión calcularemos el límite de Tn, es decir:


34

( 3 / 7 4 - 1 ) 2 ( >? + 7 )/,+2

lim

__ .

= lim — --------------:— -------- = lim

n —>x

//— >x/ - .

,

2

« v U

/

"

(3/7 + (tf + 5)2)(/? + 3) / n + 7\ „

^

(n +

7 ) /? > / 3 w T Í V « + 7

Suc esio nes

®

Calcular lim (cos—+ xsen —)" n

/;->x ( «

v

+

3 )" (3 n

'

+

.

n

V / 7 2 + 5 )

Solución %

^ Cl Sea z = — de donde: n = — , Cuando n —» oo <=>z -> 0

>/3rt + l \¡n + 7

^ = »l>m( - » * ----M + 3- ) «l-i►m* --------3 n +J fn2 +5

lim((l4- ------ ) 4 )"+3.lim //->x - // + 3 «-•>*

35

n

z

/ Cl Cl\ ° lim(^cos^ (- x sen ) = lim ícosz + .vsen z) : — lim Ti + (co sz —1+ vs en z)l n n r-»xv r— >00L v 5 3 + J1 + —

_ _____ o(cos’-l+jrsenr) r/m / 1 lim[(l + (c os z-l + xsenz))cosz-l+xsenz]~ 5

n~

—>0

z

lim-^r -v/ _____ J + Ó __________ a/T+ Ó — £? 4. V3 >//7 +J __ , — 3 + %/Í + O

Como lim 7|( = — x

^ 7) ^

.. -------------cos~-l+.vsenz«.lim ,• f-l-cos r -+*-sen 2 í/.iim -

.—»«i e —

4 {7’,,

®

A7 -

+ 4 ,7

2 0 ^2~1 , lim( r\ — ) " = e >x n- + 4n

eax

I . Calcular lim (l + « + «2)" n —>x

.. ■ >,• in(l+«+/r) .. 1+2/; limln(l+/í+ w)" lim----------lim .. /. nmin(i+//+w)" nm-----------A 7\ =e n —en" l+/, +/r ~ e =1 lim ^1 + n + /7" ) " = enyr n~>x

/ r + 4 w

3 h— 4 3 -1, h— ^ lim" #r " — 4// ’+3/r +4//-3 lim :---- ;----- —g l+ g»-> ' ------n'+4n2 i)

- ' = e fl(-°+-v) = e «-v

Aplicando la propiedad ein" - a

-i a lim 3-4/7 n'~ lim[(l+ ——ZL) 3-4» ] ir+4/1 n = ¿ » » W n //- > x

-

Solución

Solución

«-*>x

~e ' v

lim (e o s - + x sen —)" «->« n 17

, es conv erge nte.

2 ^ «~-l Calcular el límite lim (—r— —) " n—ttt yi + 4 / 7

2 «2-l lim( J L ± l ) « =

-

e

1+0

, 1!

-1+0

1 lim (í + n + a2)" = 1 //— >0c

i

e

©

1- eos" Calcular

lim

/ —>x

/7

1

sen — n

36 t

. a—


— . ■■■i.

Suc esio nes

37

Solución l i m —■—=■----- :------------ - +

1—COS77— l i m ---------- —

n-*o o

1

sen—

/?—>x

----------- — — -------------- — 1

•—

2/? \ 3 n +Y

1

2 sen — .cos

n

lim

4 7 _r--------------------

« -» « ./9 + -L (- + l) " ^ CCj 9 + ± V » « V /r

(l-COS“ )( l+ COS ~ + cos2—+ ...+ cos'7 1—)

— l i r n ------------- -—:--- —

44

,22 1

2n

2n

5 , 1 2 5 2 17 , , 2/7 2 -------------+ = —+ —= — ?donde: li m ------- = — V9 + 0(0 + 1) V9.+ 0 3 3 9 9 "->»3/7 + 1 3

---

/i + cos--1 + cos ^1 1\ 2 sen 2—1 (l —+ ...+ cos»-I —) j i m ---------- _

i

//->x

n _ ------------- n _ ------------- n_ ---------------------------- , j _ 1

1

2 sen — .cos 2n 2/7

12J

Hallar lim /?->X

V

ln(10/i)

2 5 8

3/7- 1

Solución 0

limsen ‘ //-»x 2/7

1

0 1

+ cos —+cos —+ ... + cos

" cos

" 1

i \

—J "

En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media geométrica.

2//

/ t i +1 l +... +1) IX (1+1

0- --------------------~ = 0

(í l)

i.-l

1-cos — n A 1 /?—>x sen — n

r

nIim >x ^

ln(10/7)

2 5 8

3« —1

/?->x

ln(10//)

■«» ¡iy 2 .-.5 8 ...— 3/7 —1

li m -----------—^ = 0

Calcular lim ..(■— ................. + —+ —+ ...+ ^ x Vl + 9/T2 4 + " 4 7 3,7 + 1

= ( l ) .( l ). - = - , donde: = l i m V w = l >x 3 3 //—

y l im — — =1 >x ln( 10/ i)

r 3 8 13 5/7 -2 5/7 -2 5 lim W—.- . — ...-------- --- l i m -------- = «->x V2 5 8 3 /í - l «->« 3/7 -1 3

Solución En el presente ejercicio aplicaremos el teorema de la media aritmética.

2. In2 Ín3 ln(/?) . Calcular lim sen(2;r eos— ----- + — - + . . . + ------------ ) /7

ln3

ln4

ln(/z + 1)

<

Solución ln(/7) f ln(/7) /7+ 1 Sea an - — ----- — => lim a ~ lim — ------ —= l im ------- 1 ln(/7+ l)»->x n — >x ln(/7 + l) //-»x Yl en el cálculo de este límite aplicamos el teorema de la media aritmética.


38

Suc esion es

, 2. .In 2 In3 \n(n) . lim n seni 2/r cos—). ( ----- + ------+...+ -------- — ) «->*> n In 3 In 4 ln(/? + l)

En el presente ejercicio aplicaremos el criterio de la suma de Riemann es decir:

t f { x )d x = lim S ' / ( - ) . J) //~>X Áammé H U /=!

( 2 ^ 1 In 2 In 3 In(n) . lim n sen( 2 k co s—) —( ----- ■+ -----+...+------------) n —>x n n In3 I n4 ln(« + l)

» n 1 1 1 A = lim % 1(«“ + A:2) 2 = lim .....•= lim \ ^ ,7->x / ^ n-+ xj¿ Lj n->co¿mJ I 2 , ,2 /=! /=! V/l +A /=1 h + ( l ) 2 V n

( 2a 1 , In 2 In 3 In(n) . lim A?sen(2 /Tcos ) lim —(-—- + -— 7 +...+ "--------...( 1 )

»-♦oo

n n-âo«

v

ln3

In4

39

ln(^-hi)

Ahora calculam os cada uno de los límites. 1 .ln2

ln3

l n (n )

2

2

Sea z = — = > «= —, cuando n n z

= ln(x + \¡l + x 2) /

[

.

= lim —( ------ + ——+... +------------) = 1 (por el teorema de la media aritmética) >Xti ln 3 ln 4 ln(/7 + l)

J)

1 5J

x => z —>0

V 1 - +- J C2

= ln(l + V2 )

/ o

H al lar lim ± ( f c ( f o + t e ( ^ ) + ... + & & /?->x n 4n 4n 4n

Solución / 2x 2 /_ \ -2;rcos(2;rc osz)sen z hm «sen (2;rc os—) = lim —sen ^T rcos zj = 2 lim ----------- ------------------/?—>x

//

z—>0

2

r~»0

-4;r eos (2 tc). 0 = 0

1

Aplicando la suma de Riemann

l i m - ( / g ( ^ ) + í g A + ... + í g( -^ ) ) = lim V / g ( ^ ) . 4/7 4/2 n —> x 4/2 H /=!

/Í->X /2

Luego estos límites reemplazamos en (1) se tiene. , 2x /ln2 ln3 ln(n) x lim sen( 2 ;r eos—) ( -----+ ------ +...+ ------------) = ( 0 )( 1 ) = 0 >x w ln 3 ln4 ln(« + l) n — n

14)

Calcular A = lim

+ ^ 2) 2

| /g^

c/x = _ l l n | c° s ^ ¡ j

4 V2 4 , V2 2 — [In -------ln 1] = ------ ln— = —ln2 K 2 K 2 K

/7—>X _

"

A'=l

Solución

k 2/r n/ r. 2 , ^ \ . lim ~(/g ----- h/‘p'----- i-... + /g— ) = —ln 2 /7~»x /2 4« 4« K 4«

40

16 )

Edu ardo Espin oza Ram os Calcular lim ~[ln(¿/ + —) + ln(a + —) + ... + ln(¿/ + ~ ) ] , a > 0 n n n n

Suc esio nes

41 n 500

.ti500

/ /- >o c ( / 7 - j - l ) 5

(// 4- 2 )?

®

'

Calcular lim[— — r—4---------- - +

500

-— ---- — 1 (w + w)501

Solución Solución Aplicando la suma de Riemann.

/

Aplicando la suma de Riemann ^500

lim —[ln(¿/ 4- —) + ln (a + --) +... + ln(¿? 4- —)]

//-»<* n

n

n

n

/?500

^500

i - f enr+

+

+

1

n

= lim / l n( a-f—).—= I ln(a + x)dx n- ** Ámmmi i~n

H

U

n50]

... (1)

= i™

J)

Ahora integrando por partes se tiene:

Sea

u = ln(¿7 4-x) dv = dx

l¡m [ ( _ ü _ ) * » + ( - ^ - ) 501 + . . . + ( — )501 ] . í n >qc n 4*1 n + 2 n 4-/7 n

, dx du = ---- x + a V= A*

v r[-------1------ 4-—— --------1 1 i = — 1 lim f ... 4----------------]

»— ■(1+ I)«H

(1 + 2 )S01

n n

ll n(a + .Y)^Y = Ain(a + A')- I ------ dx - x \n(a 4- x) - 1(1----- - )dx J Jx+ a J xx + a - x ln (a + x) - x + a ln (x + a) = (x + a) ln (x + a) - x

... (2)

1 1 2 lim —[ln(tf + —) + ln(<7 + —) + ... + ln(¿/ + -— ))]] == |f ln(c/4-x)¿/x «->oo n n n n Jb = ((a + 1) ln (a+ 1 )- l )- (a ln a -0 )

(a + 1) ln (a'+ 1) - a ln a - 1

(1 + « )5o.

n

n

n

_

d.x .. . hm Ÿ — L - . ¿ - f 501 n J, (x + l)501 /=] (1+-) n

1

/'

500(.v+ 1)500 /' oo

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

[(x + a)\n(x + a) - x ] j

n5(n 1 + (/I + w)50i]- -

/z50! + (M+ 2)501 +

Calcular lim an , donde an es dado por: /?—>00

14- 20/7 2 4- 20/? ln ( ^ ' ln(2l) n a = --- ----ií----- + --------------- 4-... 414- 20/7 2 4- 20/7 n 4- 20/7

1 , 1

son(2s“ ?500 500

..

1 ..

soo 500

I 275

42

43

S u c e s io n e s

i

Solución

.

Aplicando la suma de Riemann se tiene: 1+ 2 0 ?.

.

,

.2 + 20 /?

ln(— — ) ln(— “ ) ln(21) lim a.. - lim[ -------------- + ---------------- + ... + ---------- ] h j —> X n —>xí 1+ 20/¡ 2 + 20« n + 20n

i -¿L-sen3y-)e" !L^sen\-)en l w lim a„ = lim V ------- * — »->» »-***-* senL n

rv.

l n ( 2 0 + —)

ln(20 + - )

ln(20 + - )

= lim[--------- -*- + ---------+ ',_>x 20 + 20 + n n

= Umy ‘"<20+¿ =

^

n '~ 1 T

2 0+

Jb

j_

se n3 (- )e n ^ a n — / ~ — •—, ahora tomando límite. /=i ^ /7 n

---------- — h~ 20 + - " ' n

.1 m 1¿ 3 a*- Asen x 11 = 1f sen 3 x v = |f 3.se/? ----------------- dx n J) sen x J, sen x

=

3ex dx -

4 se n2x.ex dx =

3ex dx - 4

=

ex dx + 2

ex eos 2x dx = [ex + —-(ex eos 2x

dx

20 á

A7

4- 2exsen 2jc)] j

= ln~(2._Q-í *2 / ' = l [ | n2 2 1- ln2 20] 2 / 0 - 2 — (Se - 7 + 2e eos 2x + 4esen 2 a*) 5

lim an = —[ln2 21 - ln2 20] /?—>00 2

©

n I 2 . ( se n —) en ( s en —) e n ( se n—)en Calcula r lim —[------ —— + ------- — + ... + --------- -----] 1 2 /;—>00n /i se n— se n— se n( -) n n n

20)

Verificar que:

n ,. r ------n ->x ] + 2/7 + 2n h m [—

n 4 + 4n + 2n~

+ — _ _ ---------- +

+

n , n~ +2 n( n) + 2n~

---------------------------- j =

Solución

Solución

0 n n n Sea a = ----------- — + -------------- —+ ...+ n 2+2n(n) + 2n2 1+ 2 « + 2/? 2 4 + 4n + 2n2 •

•

•

9

Dividiendo entre n al numerador y denominador

1

arctg(-)

3

o


44

1

1 4* 1 ^.2 1 ' 4 2 --- 1—~ 2 -f 2(—) + —

“n = [ . 2

n

n~

n

t

!

Suc esion es

45

l

Solución

¡r

rlim (— 1 i-------1 4-...-i------1 )x — _ lim r [1 ri H— , — 1 ■—i---------1 J— 1 -----------------

«->oo n

1 i + (—)2+ )2 + 2(—) + 2 ( 2-)-+ -) -+2( 2(-2 -2)) + 2 n

n

“

1

n

n

n

lim —4 lim [—

í

"~>x" ( - ) 2+2(-) 2+2(-) + 2 Í

dx nJ| ) x~ 4- 2:4"2x 4 4- 2 f1

1 4- -

n

n

(.v + l ) - + l

/O

" ”*X “

"

l+i

n

= In 2 - In 1= ln 2 - 0 = ln 2

1 ------------------1 lim (— i-----------------------------------------------------------h ---h----- h... -i-) —ln 2

ii — — kjo /2 n + 1 // 4- 2

2n

/1

arctgX X = arctg (-) = arctg2 - arctg /o

: = arctg 2 2

1

(sjjzlKL (sjjzlKL _ 2-1 - 1 1+ 2

3

íg(z -v) = -

Calcul ar lim (—~— 4- ——-—- +... + —r-^— r-^— 7 ) /,_>x /?^ 4 -1

n

4-2“

77- 4-/ 7 -

Solución

3

/g - = 2 tg y = 1

v = arcVg 1

'22 )

r

/?

/?

/7

..

+ 1 « “ 4 -2 -2“

=> z - y = ar c tg (- )

= iiii„i V

J T4 T4 -/ -/ T

1

— !—

”^x " l + (±)2 " n

^ ] + (I ) 2

/?

4)1 + *“

arctg 1 1- arctg 0 0 = ---- 0 = — 4

Probar Probar qu que: e: lim(—+ lim(—+ —- + ...4 ...4-— -— ) = ln2 ln2 //->x n n 4-1 2«

r

1

1

1

lim [—-----[—------ — ~------—4-... H— —) = lim [ ------------ :------ f —— —— K...4------------...4------------- J-— - i— ~------—4-...

= arcíg 2 - «rcíg 1= arctg — —

©

,7

//

dx -----= arctg(x +1) / ------- — -----=

l + így./ g-r

1+ ±

n

t

*4-1

1

+ —Í--- + ... + —-— ]— = 0 44- lim N ^(— — ).—

1+ 1

—— = ln( x 4- L) /

i //

n

j

n

I

j ,w n n

n

( - ) 2+ 2(—) + 2 "

n

( ~ )2 4- 2( ~) + 2 n

lim a„ n = lim

tg(z-y)

1

).—, ahora tomamos límites: límites:

n

NOTA.-

■i

«->=o

n

,;"*x

n an

n

1

2n

«+1

4

1+ ( ±) ±)2

/?

1o

l + ( - ) 2 77

n

Edua rdo Espi noza Ramo s

46

47

Suc esio nes

í

71 4

arctg(-) arctg(-) n + n Calcular lim ( n —>x 1 -f - lì 2 +n

n

n + n

n

Solución Como 1+ tgO

2

\_

n arctg n n n 1+ n

í

ln(l + a ) 1+ a 2

l + ( —)

77

n

it =

arc íg .v

dv =

dx 1+ A

du -

f1ln(l +x )

i) 1+ *2

dx

ln(1 + A) dx = T ln( l+f ? 6>) sec ¿ 0 d d 1+ A \ + tg~0

\/2 cos(-~ - 0) 4 eos#

)

f

v 2 cos(-~ -- 6)

ln(l + tg6)d0 = i ln-

eos#

de

K

,i|r J^4 ln y fí dO +

dx

í

1 + A*“

ln(cos(~ln(cos(~- - 0))d0 -

v = ln(l + x)

1+A‘

. . . (2 )

í

ín(cos0)í/0

8

Sea U- — -Q => d u = -dO, -dO, 0 = 0; 0; u - ~ \ 4 4 ;r ln(cos(—ln(cos(—- - #))c/ # = 4

ln eos 0 d 0

r

/T

ln(l-f-A') , -71 , ^ ^ ( * 4 / K —:— —:— — d x - — ln l n 2 + i ln(có s(— - 6 ) ) d 0

dx - arctg arctg x. x. ln( 1+ x) //* -- f lnU + *) dx 'O X 1+ A2

í

dx —

^+A*

Ahora haremos x = tg 0 => dx = sec" Od O , para para x - 0; 0 - 0, x - 1; 0 -

í

71

¿/a

= lim

= — ln 2

eos 6

/r

seni—- 0) + sen O i eos 6

4 4 eos#

" ui'ctgi n ) J ^ f1

1+A

n

2 sen — cosí —- 0)

a rc rc tg tg — a rc rc tg tg n n + = lim [ 2 +n //— // —>x \ + n

arctg

ln(l -vtgO)dO

o

4 n + n

Integrando por partes se tiene:

4

see" Qd6 -

eos O + sen O

71

arctg(-) arctg(-) n lim (----(----- n + //-»x 14 - n 2 4 4- n

n

\—

4 l n( n ( l + i g # ) ___ 2

... (3)

0 - — ; u = 0 4

r

ln(cosz/)( ”^ w) = I ln( cos u)du

... (4)

Ahora reemplazamos (4) en (3) se tiene:

\n(C0Sllyju _ j*4 ln(cos(9)<:/^ f* ln(l + .y .y) ^ _ n ln - + J*4 J*4 \n(C0Sllyju ln(cos(9)<:/^ = K ^ ^ ^

... (5)


48

Suc esio nes

49

Ahora reemplazamos (5) en (2) se tiene: 3

In k — 2 ln 2 — => A' = e 4

í

arctg x , n . ^ k \ x í2 í2 k . -— — dx = — ln 2 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------= ----------= — ln 2...(6) ... (6) 1+ x 1+ x 4 8 8

2 I n2 - -

--

4 = 4e 4

lim yi/“1.w”2...w“'' -4¿? 4

Por último reemplazando (6) en (1) se tiene:

>x

1 2 7T T ]9 arctg- arctg --- ^ —) = — lim (------(------- •fir H H---- ---- —+... H--= ———— «->« 1+ n 8 2 +n n +n

25) ^

Calcular lim — yj(an + b)(an + 2ft )...( )...( an + nb) /?— »00 n

Solución Est udia r la conv erge ncia de la sucesi ón {£>„ {£>„}„ }„>, >,,, donde:

b„ = b„ = ^wj'1.uy ^wj'1.uy .../í"" , Sea

P con itp = itp = 1+ — , calcular su límite si es convergente. n

ft

Solución Sea k = lim bfl bfl => ln k = ln( lim « — » 30 30

n

t)

2

2

ft

ft

ft

= [’I (a + —)(a +—b).. .(a + — b) b)

) = lim li m ln(¿ ln(¿> >,;)

/ ? —> —> X

ln /r — lim l

~ yj(an + b)(tm + 2b) .(an + nb)

« —»X

1 / 0 ln(6/;) = — [ln(a [ln(a + —) -f ln(c/ -f — .6) + ... + ln(a +—b)] ft

= lilim —ln^/j'1.w?2 — m*' )

ft

ft

ft

n —>x

/j->x

/?

//

ln(/?;, ) = ^ ln(a + —£) —, tomando límite lim ln(ft,.) ln(ft,.) = lim / ln(t f+ —/?).— /?).— ZmW ft ft / / -> -> X ' f Z m m j n n /=! /-I

lim —[í/ —[í/|| lní /t + u2 ln u2 + ... + un ln nn] « —> X Y\

l i m - [ ( 1 + - ) l n (l (l + - ) + (1 (1 + - ) l n( n( l + - ) + . . . + (1 (1 + - ) l n (l (l + - ) ]

/;— /; —>x

n

n

n

n

n

n

n

= lim ' ' S ' (l (l + —)l —)l n( l + —).—= j ( l + *)ln(l + *)áx «-><» ft ft Jh /=i /=i In k =

(1 + x ) ln(l + x) dx - [-Í—~ il _ ln (l + x ) -

-] j j ^= 2 ln 2

)- x] / ln( lim bn)= j \n(a + bx)dx = [x ln(c/ + bx) + —ln(c/ + b x )J) / 0 b -) - 1 ln(# + b) + ~ ln(a + b) - 1- — ln ln a - ln(a + b) + — ln(ln(- ---— ---— b b b a

3

ln , . v„ , , « + £ w/ . 1 , , {a + 6)A( 1a + b ) u , . - [ ln ln ( f l + A) + l n ( - — ) ] - ! = —l n ( - ------ — ------ — .... —— ) - 1

b

a

b

a“


50

Suc esio nes

í/

lim In(bn) = In ",

n->y

a a a a sen a .. lim eos—-.eos— .eos— ...eos— = -------

\a +,b)a+b

*->*>

a

a a .eb

.. a « a lim eos—.eos— .eos— ...eos —

_

tí —>0C

2

2

2

2“

2

2"

a

a h .e

2 1)

„ , , Calcular

51

>

Calcular lim n ( l - t g 2 — ) /?—>x /=1 y

Solución

• 2"

? ? eos2 a*- se n2 x Sea eos 2x = eos“ .y - sen “ a* sen2 a* + cos2 .y

Solución sen 2a Sea sen 2a = 2 sen a.cos a => eos c/ = 2 sen a

a

ci

a

sen — sen — sen ——a a a a sen a 2 9 eos —.eos- r-. eos — ...eo s— = ------------------------------------------------. ----- . ----- — ...---- — 3 a ^ a _ a a 2 2 2 sen 2" r "

2 x 2 l-tg-.v . , . , „ 2 COS2.V eos 2x = ----- — = (1 - tg .v) eos x , de donde : 1- tg .v = ---- — see “x eo s“x

lim *Y] - tg2 w—>x /= i

~

2

)

= l im (1 - t g 2 ~ ) 0 - t g 2 ^ ) . . . ( l - t g 2

.

//->x

2

2"

a 2"

eos.a. li m ---------. li m -----------------------------= co s. «( l) ( -------- ) = — «-»x a «->x a a a tu a //->x sen« b eos — — —eos —r-... — eeos os — e o s —r . . . eeos o s —

2"

2"

2

2

2"

a

z 1 Sea Z = — => —= — , cuando n —>x <=> z —> 0

a 2"

/,

/ H X / s I

>x

2

sen

ü

r->o a sen z

sen a lim a r->o sen z

2"

Ahora reemplazando

(2)

~> a \

a

2'

t g «

lim n \ \ - t g " — ) = - —

.. sen« h m -------------= sen a. lim

en

(1)

se tiene:

~ ) '

/ c o s í /

a a a a sene/ lim eos—.eos— .eos— ...eos— = li m --------2 2 2 2" 2" sen "

2"

1-1- tg 2 x

« / a eos — eos (¿r) 2 ,• c° s a = lim í --------- .------- — ...------ 2 ----- )\ = lim --------------- — -------------— • /;-->"c i a •> a?a//~> C OS " - COS - r C OS " ----C O S Í - j e o s l - r - ) . . . C OS “ 2 2 2" 2' 2" 2

sen a 2" sen

1- t g 2 y

sen « /iX sen a -------(1) = ------- ...(2) a a

C a l c u la r

l i m ( ...7- ¿ =

r - +

—=

1=

VT+T V^+2

+ ...+

.

1

■)

■ vTT«

Solución Este límite se obtiene acotando, es decir:

Edu ardo Esp inoza Ramo s

52

i

<-

\f n 2 4 1

yjn2 +n

1

<

-

\l n2 + 3

1 1 ~T=Z==="I— r~:

yjn2 + n

- J

=

= 2(1)+ 3(I)! + 4(l)> + .., + ,„ + ,)(i r

1

yjn" 4-1

1 — ------------H— " 4 1 .. . H— — —— —^ 1 —■ V

{s,,

= 2(^

+n

^

\rT+n

1 ------4*. —i 1 —— 4, \ n ~ +1 y n ~ +2

4

(1)

a la expresión (1) se tiene*

+ 3(^ ' +4^ > 4 + - + (« + l)(i)''+I

... (2)

Restando la expresión (2) de la expresión (1) se tiene:

...

//+! H—

1

....- <^ —.

V «2 4-/2

/7

^

4-... 4-

1

1

1

V/í +T

\[n2 +2

1

y¡7r +1

V/ T 4-1

,

,

< — ..... — H----==== r 4 ... H --- rr-

W +l 1

^

77

.

V«2 +/i

, donde:

Solución

\ín2 + 1

sumando

+n

- - —1

+ /7

1 -

<

yjn2 4- n

1

= 2(^ ) + 3(^) 2+ 4 (i )3 + .„ + (» + i)(i)»

Multipl icando por <

4-...4—

Estudi ar la convergen cia ó divergenc ia de la sucesión

Sea

1

-----

...........

1

1

53

,

<

1 2+ 1 Jn

\¡n2 4-/2

Suc esio nes

V/ r +/?

yjn ^ +1

i 5« = ^ + ^ )2P + ^ ) + (“)2 +--- + (^ f 2]-(« + l)(I)« + I

Ahora tomando límite se tiene: lim - jJ L = = < lim ( .----- — 4~ I = r r + ... + —= = = r ) < lílTl ',~>x V//2 +1 yjn“ +n V«2 4-2

/?_>x \Jn2+n

1 1 1 1< lim —j==== +-j== == + >..+ <1 yjn 2 +n /?_>xV/?2 4-1 yjn2 +2

----

+

4 S"

]- (« + l)( ~) /,+l

4-1

4

V

5 = - 4 . — r l ( i _ ( l v - i ) i

3

1 2 L3^

'j

4 ( /?+0 3 4 ,,+l

*

54


Suc esio nes

—

3 12 3

n n

lim S„ = lim ( 2 + - L [ l ( i _ ( l ) - i ) ] _ £ Í ^ ± > ) ) »->« n->® 3 12 3 4 /J 3 4"+l 7

li m

-,

T r - I

2

{1 - 0 ) ] - —(0) =-2 + !- 0 = ^

J 3

3 9

9

(3l)

Calcular

lim (— +

+ ^ + „. + Í^ -L L )

/. lim S„ = — n —>x

"

9

Solución

Estudiar la convergencia ó divergencia de la sucesión ^

—

"

{S n } n¿[, donde:

Um ( [ ^ + Í ! i± 0 1 + ...+ í f l 0 l + I ] _ i ) w2 „3 „« +1 « n

(23-1)(33-l>...(n3-1) n ki _ 1 — -------

TT ----- —— ,

*=2*3+l

«->00

(23+ I)(33+ 1)...(«3+1) Solución

= ii m ( «-»*

[i+ ± t i + f c i Æ

n

+ ...+ i g i O l ] l - j . )

n~

n"

n

n

" A?~1 _ (23-l) (33-l) (43-l)...(w3-l ) " s

"

*= U 3+1

(23+ 1)(33+ 1)(43+ 1)...(«3+ 1)

lim[(l + ( l+ —) + (l + —) 2+... + (l + —) ") — 1 n

"-><*

- (2 ~ 1)(22 + 2 4 1)(3 ~ 1)(32 + 3+1)(4~ 1)(42 +4 +

~ 1)(/?2 + - + (2 + 1)(22 - 2 + 1)(3 + 1)(32 - 3 + 1)(4 + 1)(42 - 4 +!)...(» + 1)(«2- n + 1)

n

l i m ( ( 1 + —) - l ) ( l 4- ( l +

n

n

n

n

n

4- ( l 4- - i - ) 2 4 - .. . 4- ( l 4- - ) " )

n

n

Como n3- 1= (n - 1 )(n" + n + 1 ), (n + 1 )3+ 1= (n + 1+ 1 ) ((n + 1 )" - (n + 1 ) + 1 ) = (n + 2)(n2+ n + 1) _ " A3 - 1 _ 1.2 .3.. .( /? -2 )(/?2 - n + l ) ( w - l) (« 2 + / 7 "

*=U-3+l

+

1)

■ Hm ( í l ü +

9A. 5.6.7...n(n2 —3w+ 3)(w+ l)( /r - n + 1)

n -* x>

1.2.3.4.5...(/7 - 2)(n - \)(n2 4-/7 4-1) _ 1.2.3.(/ /-2 )(a7-1)(/?“ 4-/7 4-1) 9.4.5.6.7.../7(/7 4- \)(n2 -3/7 + 3) 9.n(n + l)(/72 -3/7 + 3) ..

T T ^ 3- !

1-

lim I I -------- = lim

n x

A'3 +1

1 . 2 . 3 . ( / 7 - 2 ) (/ 7 - l ) (/ 7 2 4 - «4 -1 )

n -> X

9.//(/7 + 1)(/72 - 3/7 + 3)

l i m [ ( l 4- — V - 1 ] - — n n

6

2

9

3

= e - \ - 0 = e - \

/7->x

V

2 n-

( i ± i0 L + + 0 l ..l .i0 1 /) = n

j

n l¡+i

2" n !

32 ) Demostrar que: lim - — : = 0

Solución Aplicando el criterio de la razón para sucesiones convergentes

Ed ua rd o Es pi no za Ra m os

56

n"

^

"+l

lim */»+! ^lim

/»-*x

H->X

57

2"+\(n +1)!

_2%! "

Su ce sio ne s

l im — y ( l + 2 + 3 +. . .+ « )

(n + l)"+l

e' - «

2"+il(h+1)! (H+iy,+l = lim2- y ^ = ,im2^ 2".n\ »-»* 2"(« + I)',+'. ! "~* (n + 1) n" aí

.

t

)" =2 1im[(l + ----- 7)-("+1)f

/;->x n +1

/j->x

n +1

Luego por el criterio de la razón se tiene:

.33 )

Calcular

Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión,donde:

£

n

(/I2-1)(«2-2)(n2-3)...(«2-«)

lim — --------- ---------- ^— — ------ ;— — ---- —

(//2 +l )( /r + 3)(n" + 5)...(/)“ +( 2/7+ 1)) Solución

,

= 2 e 1 = -< 1

r —— 2”" ! = «U lim

»->*

_ i

e -£~ ~ 6

ljm (»2-l)(w 2 -2)(w2- 3 )...(n2-n) = *->* («2+ 1)(«2+ 3)(«2 + 5)...(«2+ (2n + 1))

(34 ) = 2 lim (—

-|¡m5íí± lí

e' " " e ' ” 2"’ )) ~ Imv «(«+ g lim(l+3+5+...+(2/1+1 — , 1)

Solución

Sea A - lim Pn - lim

n->»

n — v i

2 3

) , tomando logaritmos en ambos lados

ri

In(”)+*"(”)+^(3)+—+ln(”)

se tiene: In A = li m -----------------------:----------------------

(n2-l)(n2-2)(n2-3)...(n2-n)

lim — ----------r--------- ;------------ ^---------------

n-*K(n +!) («' + 3)(/ r + 5)...(w‘ +( 2n + l))

Por el criterio de STOLZ.

[ln( ) + ln( ) + ... + ln( ) ]- [ln ( ) + ln(' ) + ... + ln(" l n / f = l i m ------ ?----------?---------------” ______ _ J _________ ? ___________

y

«--»=0

(?) (!) 0 ( .) ( "2 ) Dn— 1 1 = Inn ------- — — --------------------------------------—

ln ( ------ —) + l n( -------— ) + ... + ln (— ^— )

w->oo

2/7 — 1

)]


58

(?) o o ) . ( ------ - ) . . . ( -------- T~) r ; 1) o (”:>

ln ( ------

Su ce si on es

59

. o

ln(n -------- j )

\n A = li m ------------------------------------- ------- = lim -------- ------ -----//-»oc 2 n --1 2n —\ -

... (1)

^5 )

Si b, = 1, bn - —

+ 3 ) para n > 2, de mo st ra r q ue la su ce si ón

converge. Solución

o

Calculando el coeficiente -------— se tiene:

1 robaremos que la sucesión es cr eciente y acotada superiormente:

a)

Ok} k

(n-k)'.k'.

(ai — 1 —A-)! / i!

( M~ 0 -

( n - k ) \ ( n - 1)!

Demostraremos por inducción que bn < bn+v V n. 0

psr»n = 2 => b2. = l ( 2 é i + 3 ) = - ( 2 + 3 ) = 4 4 4

ii)

Supongamos que se cumple n’^Ti (hipótesis inductiva)bh < bh+i

.... ( 2 )

(n-\-k )\k\

iii) Demostra remos

Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene:

cumple: Como

que se cumple para n — h + 1, esdecir, que se

bh+i 

X - b n 

3 4

1 2 ,+l

3 4

~ ( 2 ¿„ + 3 ) < ^ ( 2 ¿>/j+I +3 )

entonces bh+l < bh+2, cu mp le , por l o tanto : b)

=> b , < b2

e s c rec ie nte ,

Demostraremos que f e } n>i es acotada superiormente ó sea b n < 2. i)

Si n = 2 => b2 = —(2 + 3) = —< 2 , cumple.


60 i¡)

Supongamos que se cumple bh < 2 (hipótesis inductiva) t

Su ce sio ne s

=> 2bh < 4

=>

6

1 5

6

, . 1 1 5 15 i, , i 1 5 =3(V,-V2) =3.^rr.-=-.=>K-v.!=-•-. 3 3"“ 2 3" 2

Ade má s ¡Z>„ - bj | < |bll+í -b„ | ; V j > n +

+3 ) => b = - (2 6 + 3), de donde: b = 2 4 2

lim ¿> = — H-*X 2

Como lim ------= 0 , entonces V »-♦oo 3 " 2

es decir

3 .2

e

(I)

> 0, 3 M> 0, tal que-

y.2- - o < £ , V n > M,

< e => 3" > — , entonces: 2e

Si {a n} n2i, es una sucesión convergente entonces: 3a , tal que: 5 ln (——) // ln 3 > ln(— ) => n > -----= M,

2c’

lim a„ = lim = lim a„_2 = a

«->oc

(36)

3 2

_ 1

Sea b = lim bn => lim bn = lim —(2¿„_i +3) rt—>X /J->X■+X4

NOTA.-

=

I6» - V i I= 7 ( ¿ V i + 3) - 7 <2V * + 3)

Calculando el límite se tiene:

b = —(2 lim 4 »->*

*

6

bh+, < 2

K L > i es acotada. c)

V

6

1^3~b'i|— - ( 2 ¿2 + .3 ) — (2b¡ + 3) 6 6

=> 2bh + 3 < 7

=> ~ ( 2 b h + 3) < - < 2 4 4

'

6

^2 ~b\ = t (2 ¿> i + 3 ) - 2 = —- 2 = — , entonces: \b7

Demostraremos que: bh+[ < 2 es decir: bh<2

61

Si A, = 2,

w—>ao

Z>„ = 2 + 3 ) ,

n -* x

analizar la sucesión

{¿„}„>, y si converge

ln3

entonces : V n,j > M , tenemos de ( 1 ) y ( 2 ) ,

1

... ( 2 )

— ~ < e \« J I y 2

Ib

calcular lim b„ n—,

Solución

Por lo tanto, la sucesión

{£,,}„>¡, es una sucesión de Cauchy y por

consiguiente es convergente.' ^ =2,

= -(2¿>„_, + 3 ). Demostraremos que se trata de una sucesión de

6

(CAUC HY). primeramente observamos que:

l am b ié n qu e V i “A sucesión decreciente.

<0

es decir, bn+l x

r = lim ¿>„+1 = lim

Entonces

lim /:>„ = r ,

Su ce sio ne s La demostración lo haremos por inducción matemática.

entonces:

¡)

para n = 1,

a, = V I < 2 y «, = s¡2 < V ^ / F = a2

ii)

Suponien do que para n = h, ah< 2 y ah< ah, ,

iii)

Probaremos para n = h + 1

(2¿>„ + 3) = ^- lim bn+ ~ => r = i /- + i = > y = j

r = --

■• ,¡™ b" ~ 4

dh+i = y[ 2a ¿ < V? = 2 , pues 2 a h < 4 (hipótesis inductiva)

Determinar si la sucesión {-^ }„> . es creciente, decreciente o no monótona.

2

^ ah+\ - 2

Solución

n _ 2n» -K c " - n2"+ ^ —

63

<

--

...

1

v n e Z +, n > 1, sumando n se tiene:

’

n n > ^ + 1 , lo que es lo 2 n > n + 1 de donde al multiplicar por — se tiene: — >

y a /(+| -

< yj 2all+] = ah+1 pues 2ah < 2 ah+l (hipótesis

inductiva), entonces: a„+l < ah+2. Luego la sucesión @

converg e a 2.

Estudiar la convergencia o divergencia de la sucesión definida por xx = & , •v«+i = (2 + x„) 2 , n e Z +

mismo escribir en la forma:

Solncién

2"+\ 2"

H i l e —

de donde: se tiene S„+: < S„ V n > l. por lo tanto la suce sión

{— }((>|, es decreciente.

Sea

X| = V2 A", = V 2 + \¡2 = ^/2 + .V|

Probar la sucesión 7 5 , V 2 V 2 ,

,. .. , converge a 2.

x2 = V2 + V 2 + \/2 = -y /íí .Vt

Solución A la suce sión dada expresaremos así:

a, =V2, «2=^ -«3=

..... - V2^-1’n>L

Ahora demostraremos que la sucesión k U , superiormente por 2 .

es decreciente y acotada

= 'j2 + xn-\ • Para n > 1. Ahora veremos si superiormente.

es una sucesión no decreciente y acotada


64 Se observa que:

Su ce sio ne s 40 )

x¡ = VJ < 2 ,v2 = \¡2 + y[2 < 2 , dond e: .v, = V 2 < V 2 + V 2 = x 2

65

Sea

una

« 2 = 2

(ií„_ 2

suce sión

en

R,

definida

por:

w, = 1,

para n > 2. Estudiar la convergencia ó

divergencia de la sucesión y en caso de convergencia halle lim u„ . W-»00

a'3 = ^2 + A', < 2 ,donde: .v, = \¡2 + 'j2 < \]2 + \¡2 + V 2= .v3 Solución es decir,

que: .y, < x 2 < .v3 <..., luego {x n}„ al, es no decreciente.

Por definición de la sucesión

se tiene

Ahora demostraremos que es acotada superiormente por 2, probaremos esto •

por inducción matemática.

;/, = 1

Sea n eZ + tal que: xn < 2 y xn < x n+]

« 2 = 2 además

Í)

1E Z+

1 1 3 “3 -"^(“2 + “i) = —(2 + 1) = —

ii)

Suponemos que h e Z + es decir: xh < 2 y x,, < x/l+l. entonces: ■*/i+i = \l^ + xh - V 2 + 2 = 2 y x /)+1 = \jxjl+\ = yj2 + xh < ^2 + xh+i = X/,+2 Por hipótesis inductiva, es decir: h e Z+ => h + 1 e Z+ esto demuestra

^ (h„_2 + «,,_i)

"4 = — (»3 + *<2) = ~ ( ~ + 2) = - T 2 2

2

2

1/ \ 1 /7 3x i: «S=~(»4+»3.)=^(^T+-)=-

que: {x „}„ >,, e s no decreciente y acotada superiormente, entonces es 1/

es convergente. Sea lim x„ = a y desde que *»+i = P + Xn // —>X

lim x n+1 =a => a = \¡2 + a => a 2 - a - 2 = 0

«—>X

(a - 2 )(a + 1 ) = 0 => a = 2 y a = -1 Luego se toma a = 2 por ser sucesión de términos positivos lim xn = 2

11 —>X

^ 1/7

13 n

27

1/ \ 1/27 13x 53 ) = —(— +— ) =— , Ui =—(iu+iu

72

572 2 2

25

.. .

|«2-«i| =i, h-»2|= |. I»4- m3|=^^ h-«4|= ^ 1 1 1 1 r 7 ~ m6 = “T ’•••> mh+i ~ 1 25

1 1 2 ,• 2 A , = ------r = — como hm — = 0 , entonces, podemos 2 2" «-»« 2 ”

encontrar n tal que: — < £•, entonces V n .i > M.

2"


66

Tenemos \ a „ - a ¡ \< — p < e Ju eg o

Su ce si on es Solución

es una sucesión de cauchy, esto

Primero veremos si {«„}„>, es una sucesión monótona, como

es que V e > 0, 3 M > 0 / n, j >M.

i 1 I" 71 2

67

2 £

2 ^

ln(~)= M > 0 ln2

i/, = 1, u2

u3 = V ^ 7 , - , »„+|

, entonces :

=> \a„ - a , < — — < e => 2 " > — donde: n ln 2 > ln — => n > .. .

«i = 1, u2 = \[5, u, = \¡5y¡5, í /4 = \¡5\¡5\[5 ,... es decir: por consiguiente

< u2 < m3 < ¡/4 <...

es convergente Luego la sucesión {»„}„>! es una sucesión monótona creciente.

TE OR EM A.- Si

es una sucesión convergente, entonces cualquier Ahora veremos si

subsucesión de la sucesión {un}„>\ converge al mismo punto.

es una sucesión acotada, de la definición

tenemos: un >1 , V n e Z + además como : Vs < 5 => 5^5 < 25 => Vs T f < 5 Hallaremos una subsucesión de {«„}„>!■

1 1 1

< 5,...,^¡5\¡5\l...j5 < 5

■5-\/5V5 < 25 =>

W, = 1, » 3 = 1 + - , «5 = l+ - + p -, M2,l+i =1 + 2 + ^ ' + 'P' + - + ^ T entonces: ií„ < 5 , es decir: 1< í/(i < 5 , V n e Z +. Lueg o {«„ }„a les una sucesión acotada, por consiguiente la sucesión {u n} n>l, -m

« i4

lim u2n+x = lim ( l + ^ ( l -

/ / -» x

; / -> x

J

4

) ) = 1+ ^ J

La

sucesión

{un }„>,

está

También

podemos

calcular

lim «,,,

haciendo

r = lim u ,

y

como

/f->X

J

definida

“»+1 =

5 lim u„ = — como

sigue:

u2 =u„+1 = yj5un , analizar si {«/„}„>,, es monótona y acotada, calcular el límite si existe.

n —>x

|

Luego por la conservación anterior se tiene que:

,4j}

es converg ente, entonces: lim i<„ = 5, pues la sucesión es creciente.

( i + 7 + F + ' + 7 ^ ) = , + Í ( ~ í ") = i + ^ ' " ( í ) ' ) 4

ento nces lim u„+l = lim J5w 7 => r = V5r => r 2 = 5r, de donde:

r = 0 v r = 5,

//—>X

entonces

sucesión es creciente y

«, = 1, 12)

Calcular Hm »->*

/7 —>X

lim w„ = 5 ,

11 —>X

U„ > 1, V n e Z+.

+3 "+ 5"+ - + (2" - 1)2 12 + 2 2 + 3 2 + . .. + n2

no puede ser cero (“0”) pues la


68 Solución

Su ce sio ne s ..

69

1 + 4 + 7+ ... +(3/7 —2)

a a — a ■?„ "3 'V -------------------------------------------1 = lim - 2- = lim= lim — - 2- = 2 í »' +7/; +1 "-»*/>„ n-+*.bH- b „_| »—x 2/7 + 6 2

Para calcular este límite aplicamos el criterio de SI OLZ. lim

Sea z = — = > « = —, cuando n -> x, z -> O /7 2

= Hm a» = L b„ n-**bn-b„_ 1

. , t\ , XL_ /(“M--D lim (cos-) " = lim (cosz)- = lim |(l+ (c os z- l))cos-';-i 1 «->« /7 r—»0 7 r—»0 J

\a„ = l 2 + 3 2 + 5 2 +... + ( 2 /7- l )2 ^ ( «„ _ ,= l 2 + 3 2 + 5 2 + . .. + ( 2 n - 3 )2 \ b n = 12 + 2 2 + 3 2 +... + /Í2

{&„_i = l 2 + 2 2 +3" +... + (n -l) ' - e‘

»-»x h

»->«.

1¡m

= ,t a (2^ ¡ ¿ . 4

1- +2" + 32

= <’ = 1

... (3)

Ahora reemplazamos (2) y (3) en n i

=(2/7-1) ; b n - b „_| = /r

3 , = Um !i + 3^ f +

‘

¿ =(2)(1)_3

"-+*

77 +7/7 + 1

"->x

/I

2

2

Analizar la convergencia ó divergencia de la sucesión l 2 + 3 2 + 5 2 + . .. + ( 2 / ; - l )2 _ 2--4 llm — ],7 +2" +3 ---------------------,;-»X +. .. + /?

43)

, donde

U _ „í30 " + 40 " + ... + 60Q"

. 1+ 4 + 7 +...+ (3 n- 2) / f ^cos— J Calcular lim «->00 „ - + 7 ^ + 1 /j

Solución Vn e Z \

30" < 40", 40" < 50" ..... 590" < 600"

Solución Ann» 1+ 4 + 7 + ... + (3/7 —2) / t \,¡ li m ---------- — -----------------( e o s - ) /l-»x

77~ + 7/7 + 1

~

30 "+ 40 "+ ...+ 600"

—58x6 00 , donde: 58 es el número de sumandos

n

1+ 4 + 7 + ... + (3/? —2) .. / - l ¡ m --------------- - — --------- -lim íco s—) n2 + 7« + 1

t \ n/i-. ... (l) «

Ano í- n/30" +40" + ... + 600" '■ 600 < "i ------------------------------< 600>58" V n Luego según el teorema del encaje (1.8) se tiene :

Calcula ndo Hm l + 4 + 7 + ... + ( 3 /7- 2_) (por el crite rio de STO LZ) «-»» n +7/7 + 1 Ja,, =1 + 4 + 7+ ... + (3/7-2 )|a„_, = 1 + 4 + 7+ ... + (3/7 -5 )

=«2+7n+l

K-i =«2+5/7-5

lim 600 = lim 600*58« - 600 de donde : lim J 30"+ 4° "+ - + 60°" "-+® «->xV n por lo tanto la sucesión {un} n> j es convergente.

=

600

Ed ua rd o Es pin oz a Ra m os

70

45 )

Su ce sio ne s

, V l + l 2 + 4 1+ 2 2 +... + yf\ + n2 Calcular lim --------3n 2 + 5 n - 2

71

Sea F ( a ) =

Solución

1 eos X = i) 11+ s V + a«co cosa'

f ^ ía n =Vl + l 2 + V l + 22 +... + \l\ + n2

= 3 /t 2 - « - 5

Sea tg ^ = z => d x - - — ~ , cos.v = -—— 2 1+ z 2 ] + z 2

Ahora aplicamos el criterio de STOLZ. a«~an-\ lim bn —bn_i

^'nte8 rac'®n de función racional de seno y coseno)

( an_\ = Vl + 12 +Vl + 22 +... + i/l + (« -l) '

U = 3 « 2 + 5 h - 2

. — = ,• lirn

f ln(l + a eos x ) d x , derivando con respecto a a.

1- — v l + « ‘ — = --------w-*00 6 aí + 2

para x = 0 , z = 0 ; x = n , z -> <* hm — ---- —=1o

F \ a ) = f - c° sx dx = f J) 1 + a eo s x J[j ,

1+«(,1+z j)

Vi+i’ +Vi+2" +...+VT-H7 i

•h m ------------------r--------------------- — - 3«" + 5« - 2 o

©

Calcular lim — ln[(l + cos— )(l + cos— )...(l + cos

= 2 f _____ (z2 -i)& = _2 r J) [ l+ Z ‘ + « ( 1 - 2 “ )](1 + Z2) J, [l + a + (\ - a ) z 2] ( \ + z 2)

)]

Solución

=

lim — ln[(l + cos —)( l + c os— ) . .. ( l+ c o s — ) ] = h->® « n u n

,

= lim — 7 ln(l + cos— )= »-»cc n L~i n Jb

,

donde:

= lim —[ln(l + cos —) + ln(l + co s— ) + ... + ln(l + cos )] w->x /7 /í n n ln(l + cos x) dx . » ( 1 )

7=1

un parámetro.

___

r

2

(z2 - d a

2

r

( z 2 - i )d z

1 - « i» ( l ± « + z 2 )(I + r 2) ~ a - l 1 ( z 2 + « 2) ( z 2 + l ) 11 — -ort r

Aplicando Riemann se tiene:

Ahora calculamos la integral

r+ z2 2d z / 1 - z 2 J + z 2

a=

1+a -a

[ z 2 - \ ) d z

f (*2~1

)d z J ( z 2 + a 2)( z 2 + 1) C( A z + B

Cz + ZX ,

J ( z 2 + a 2 )( z 2 + l ) ~ ] \ 2 + a 2 + ~ 7 7 f )dZ ln(l + co s.r)í /x, mediante la introducción de

(O

íuTiy

calculando la integral

f

•"

z 2 - ' A z + B (z 2 + a “ X z ” + 1)

- (2)

C z + D _ ( A z + B) { z 2 +1) + (C z + D) (z 2 + a 2 )

z"+a*

z2 +l

( z 2 + a 2)( z 2 + 1)

Ed ua rdo Es pin oz a Ra m os

Su cesi on es

R (VT+o-Vi-ajVTâ 1-a 1+a +x/TTaVTâ

z " - 1 = A( z* + z) + C (z 3 + a~ z) + B(z ~ + 1 ) + D( z + a ) = (/l + C)z 3 + ( B + D ) z 2 + ( A + a 2 C ) z + B + a 2 D

71 ( Vl+a-Vl-g ^ Vl-a %/l+a(Vl+a+Vl-a)

A = O A + C = O

a2 + 1

5 =

B + D = 1

«2-l C= O

A + a 2C = O B + a 2D = -1

D

73

(3)

^ /2(l--y/l-or2), Vi - a

=

reemplazando (3) en (2) se tiene:

2 Vl + a

Ahora integrado F (a ) =

___ 2 (z2 -l)
f

^1-Vl-q2^ Ví -a 2

n

----

--------... .

Vi - a 2

(; r— -z-.- * ■- ) d a + k = n a - n: are.sen a+ k , para

J VÑv

calcular k hacemos a = 0 .

_

F(0) = 7t (0) - ji (0) = k = 0 => k = 0 , de donde: F( a) = ti a - Ji are.sen a. a 2 +1 1 z 2. = — ----- . - arctg -------- r— arctg z

íT-1 a a

a -1

(4) F ( a ) = I ln(l + a c o s x ) d x = n a -;rarcsenar

Ahora reemplazamos (4) en (1) F \ a ) = ----- — [

■

- ar c t g - —

1-aV -l a

a

2 a 2 +1

1-a a2-1 k

1-a

£

f l" -l

' 0

£

2

47)

o 2 a2 - 1 2

ra 2 + l - 2 a 1

"L , 2

( a2 - l)a

■*

1

n

/7(1)= jT ln(l + COSJf)í¿C= 71- ^( y ) = /T-

arct gz] /

l h + 2 6 + 3 6 + ... + /J6 Calcular lim -------------- ------------- , sin usar Riemann. /I—>0o ^ ' Solución

( a - 1)2 ,

' 2

1 - « (cT-\)a Aplicando el criterio de STOLZ, se tiene: lim — = lim — ---- — = ¿ , donde:

n r a - 1 -i f'(a) = 1-- b—tH - a (a + \)a =

1+ a -1 1-a ^r r 1 -a 1+ a 1+ a 1 - a + V1 - a

-V, \ a,i-\ - 1’+ 26 +36 + ... + (/»- l)6 (¿,,.!=(«-l)7 n~*Kb„ n->x>h

j an - l6 + 26 +3 6 +... + W6

Ibn="1

Su ce sio ne s


74

«

r6 a„ .. lim — = lim = lim — r, 4„ 32, n-yx bn bn - bn_\ »->x 7« 1-2 1« +35« -35 « +21« —7« + l

1 ______ ______

„1^

21

35

35+ 21

n

n

n

7 _ _ +

_

n

7+

_

n

r

",,(« + D .. l"+l+ 2"+ l+3 a+l+ ... + «"+1 -i— m 7 T ~ »->x --------- «]" ’ Para =o »->*■ nu„(a) +« 2"+ ... +a«"+l

i =I _____

1

1+ 2 + 3 + ... + « = lim -----------------— « + « + ... + «

7 - 0 + 0 - 0 + 0 - 0 + 07

Ahora calculamos para a > 0 (aplicando el criterio de STOLZ)

/

n

lim “"(q + 1)- lim "«(a + 1) ~ “«-i (a + 1>

n un(a)

^

l/ + 2f + 3'+ ... + «r

48J

1

Demostrar que: lu n -------^ ---------P + T

"

(«1"+ «2 Ü + .. . + « . « " ) - ( ( « - 1)1"+ („ - 1)2" 4 . .. + ( « - ! ) ( « - ! ) " )

lim[(ir+(tiír +...+(i)'-]i /i — n ti ti

^ +

= lim

w-ü- ■

1 r1 ( - ) ' - = i xpdx ¿-j n « J) /=!

1F + 2^ +3 +... + « li m ------« p+l

®

»-»* « 1«„(a)-(«-!) «„_! (a)

. |jm _____ (la+l + 2"+l +... + «‘'+l) - ( l I,+l + 2 u+i + ... + (« - l) ‘,+1)

Solución

(moc

«(« + 1) 1 = lim —— ~ = - . »-»r, 2 « ' 2

n

1+2+3 +...+« 1 lim------ 7------=7

w->oo

75

p*\ ¡\ /i 1 y p+{ = —— / = "+1 / o

«"+l - hm —---------------------------------—

+2a +... + ( n -\ ) a +n.na

-o = -

P+l/o ^+*

(nueva ment e STOL Z)

1

P+1

»-♦*(1 +2" +... + («-1)" + «.«")-(l" +2 1' +... + («-2)" + (« -l) (« -l) " )

\+a

1

■■------ , a > 0.

P +l

Sea a e R, arbitrario, u (a) = 1“+ 2 “ + ..+ «

"

. Calcular lim —1 ——

n->rc n un(a)

Solución

1+ /?eo s" ¿o )

un(a) = 1° + 2“ +...+«"' , entonces: ^ h , , (a + 1) = l"+' + 2" M+3"+'+..+ « «í
1+ b eos ---

Calcular lim — [ln ( ------------ —) + ... + ln ( ------------- — )1 «-»*>« . .«/T l + ac os — 1+ c/cos — 1 « « Solución

E du ar do Es pi no za Ra m os

76

1 + b cos —

1 +ftcos”—

1 + a co s — n

1+ a eos — n

Su cesi on es

77

(«-!)!'

,im —[ln( ------------—) +. .. + ln(-----------"-)] II.

= lim —[(ln(l -f ic o s—) + ... + ln(l +¿>cos— )) —(ln(l + a eos —) + ... + ln(l + a eos ))] »->x n n n n n

£>

©

{ 5 --U - U n n

Escribir la expresión para el n-ésim o término de la sucesión. ©

1 ,4 ,7 ,1 0 ,. ..

©

©

J _ _2 _ J _ _4 _

(?) i-L-1 ___L_ ^ ’ 1.3 ’ 1.3.5 ’ 1.3.5.7 ’

- 1 ,2 , 7 , 1 4 ,2 3 ,. ..

(J) ^ 3

4

5”

= lim — 1 ln(l + 6 c o s — ) - S ' l n( l + a c o s — ) ] /í—>X ¡I ÁmmJ H jLmJ fl /=I /=I Z

n

n , Í7T 71 I7t. 71 ln(l + /?cos— ).----- lim > ln(l+acos— n n n-4<*. LmU ti n

= jf ln(l + b c o s x ) d x -

III.

ln(l + fle os x) dx

l

¿

1+ b eos

1+Vl-fl“

,

k

.

Usand o la definición de límite (1.2 ) demostrar que: ©

, /I + \ f \ - a ~ \ , (\ + \l\-b~ ^ , f \ + \¡ \- b ~ \ = n ln(- ----- ------- ) - /Tln(------- ------- ) = ;rln( ------ , = = ) nn

(? )

lim ——— = — «->*2« + l 2

© iiml±l10'" A

®

lim

1+ frcos— i 4 _. /i _/ ,2 .

(¿)

l i m k - k

©

lim ( 2 - i - i - ü - ) = 2 W —>00 fl

©

4// + 1 lim n->x 5/ 7- 4

1.14. EJERCICIOS PROPU ESTOS.Escribe los primeros cinco términos de la sucesión: ®

lw+Jí"21

{ - tt} * .

, ( -l )' '. v2"~' > t.1.3.5. , . ..(2/1-1)

^ ' „ —

©

/ OS

( CQSnx-y 1n 2+ n ^'~l

— (2/i-1) S7\

4-2/; 2

lim ím -------- = — n->x 3/í + 2 3

«->*5 + 3.10"

lim —[ln( ------------ - ) + . .. + l n (------------- — ) ] = n ln ( ----- 7= f ) ■ -’ » V a c o s™ > W l- V n n

I.

2.3’3.4’4.5’5.6’

<11 *j3" -+1 J +i

©

I lim 3» = 1

©

sen/7 „ li m ------- = 0 n —»x

I 13)

5-/7 lim «-»* 2 + 3/7

3

4 5

=

2

8J

lim -^ = 0 n->cc„-

10)

8/7 lim ■= 4 «->» 2/7 + 3

,2)

1

2n+1

14)

i™

"->* /7 +/7 + 1 lim (a + — ) = a


78

15)

1+ 2 2 + 3 2 +... + n2

lim

16)

lim %/« + l - V « -l = 0

5« + 8/2 + 1 ím -------------- — = -5 ->® 5 + 3/1 -« ' IV.

Su ce sio ne s

®

lim t f ñ *+ a n2 - y / n * - a n 2

Rpta:

UU

lim — — t 3 3 + - + /?3 /?->oq2 n + /?- 1

Rpta:

1+ 3 + 5 + ... + (2/7-1 ) 2/7 + 1 l , m -----------------------------¿ ----- —

Rpt a;

Calcu ar los siguientes límites. 12 ;

©

©

© © ©

-5n + 4

ím

2n¿+n

ím ->oo

( 3 - V « ) ( V « + 2) 8« - 4

. {2+22+32+__+n2 ím -------------- :-------------

l 2 + 2 2 + 3 2 +... + « 2

> (1+«)(2+«)2 im (yfñ + !-%/« + !)

© ,mv— ft+1t)

« + « A 2» +3

© ©

®

j_ 2 ¡m (/-/7n £ _ 4-hn ^ _ \y n —>x / im (y¡n2 +an + b - \ln~ + a' n + b') ->00 l |3+2ln(«+l) lim Í2 + 3 «4)3 n — ' >00 '

Rpta:

R p «:

V5

- -

79

®

»-**>

«+1

li m —1----- — 1 „->* 2 4 8

2

----- 2"

© ,!™(”^ _/í) Rptt:

3

R pt a:

-j

Rpta:

_ I e 2

, IS;

Üó )

( 17) Rpta:

e

Rpta:

\fab

Rpta:

Rpta:

a-a'

eA

2a

T

3_£

2

1

Rota:

RPta: ln(«)

ln(l + e") lim -------------

n —>oo

lim « 2 ( e o s - - 1 ) II — >00

Rpta:

1

R pta:

-ft?

( 3/72 +1 ) (l —eo s -—) i¡m ----------------------Rpta:

-

n->* («2 -2) ln(l + - y )

2

ft'

«§) »-»<» lim(M^)'n '"' ln(«6 )

^

19)

lim -— (6+1 8 + 30 + ..,+ 6( 2« -l)) A7

20 ) v -/

lim (■- + —+ —+ —+ —+ — + ... + ——) h->x 2 3 4 9 8 27 2"

Rpta: ln(£) b Rpta: 6

Rp ta .

2 2


80

/ C \

.. y¡n + 1-yfñ 12r

Rnta-

3/?4 . se n: ( - ) l n ( l + - ) f i ) li m ---------------n----------- n_ /í->0O

a

/

í

("+2)cosw

—

Rpta:

Su ce si on es

81

&>

3^2

Rpta: I

4,,’

®

(n + l)ln(n ) + ln(/i + 1) " h m ------------ — — ^------ — »->x ln(/j)

u3j ^

lim eos--.eos —...eos— »-*« 4 8 2"

Rpt a:

\

li.í^

Rp.a:

Rota*

©

lim

( J — —

RPta:

«-»* V3/1 + 4

lim í/ tg (—— —)

( f ) 5'

?

~

TTyfc

R pt a: ——

© ta-VÓ n->*>nr p

“pk: ir,r ’

28)

Rpta;

1 4

(3? ) Determinar el límite de la sucesión.

y¡2,\¡2+\Í2 , \j2+yj2+ V2.......

rt(arctg/;/¡)[(l+ — ) 2 ~ 0 + —) 4 ] n n v--/ lim n->®

(26)

n

3

RPta: 1 I —

—

1 (34) lim (-^ — + -^ — + ... + —1—) w »-♦* 2 - - 1 3 - - 1 i r —1

24)

i

°

■R pt a:

“ +3 /r 36) Calcular el límite lim (— ------- ) "

^

w— >x n + 4/2 i

I

e ”1

n Rp ta.

64 O —

i

^ 7) Calcular lim [- —— ■-+ C ]” , a, b, c > 0

O v r , , .. (4 h + 7) n 38 ; Calcular hm a„ , si a„ = — -------- - ------------- — ^ »->* • (16/7 + 1 ) 1 / 7 +3)

lim

Rpta:

I

A7/T

® a*## ©

fl—>CO

Rp,a: "* 3

Rp.a: ab

39) Calcular lim(— 4----- + ...+ -------------------------------------------------- )Rpta.1 "“** 1.2 2.3 z».(/i +l)

n(n+])(n+2)

40) Calcular h m —¡— + —-— + —í— + ... + «->*1.2.3 2.3.4 3.4.5

2


82

Su ce sio ne s

S T \ „ . , sen (e ")sen(
©

Calcular lim [>/ñ + l - V^+T ]'/"

©

//-»x

© w

(i+/¡)4" (JV)"

„> 8J

k=i -a" +c ” ■ 44) Calcular lim[ ----------- ]. a, c > 0 v /

(45) 2^

//—>X

lim »/5ii ( — »-»-V ln7 ln 14

ln7/j

)

Rpta: I

//— >x 9/7

Calcular lim —

w->x

83

9

.. 1 + V 2 + i f i + ... + yfñ li m ------------------------------

lim sj n~ + \ — n + \

Rpta: 1

_

1

//—> X

Rpta: 40 lim \Z2/i1' + 5 ;/ ’ +1 —>/2//* - 3n + 5// »->00

® V.

.

ío)

lim ^/«2 + pn + q - n/h•22 +rn + s

2

5

10

i r +_I

l im — ( 34 + 37 + 3 12+...+ 3,,:+3)

Rpta: —

« - > x 7 w

7

n—±rf:

Calcular los siguientes límites aplicando los criterios que les corresponde. ©

(7) ( ) 2

l im — + —+ —+ «->■» « 3 4 5 1

i

Üi

1 1

® @

3

®

7

-2 "-l

35 3

l¡m —= 2 = ^ ( 5 ! + 5 3 + 5 5 +... + 5 > ) R p . a : -

»->x\J\-21rr1'n(9'¡)

í~ 2 \ t ln 2 ln 3 limsen( 2 ;rcos —)(— - + -—- + „_>* v ln4 m ln3

ln(/¡) ^ — —) ln(« + l)

lim J — « - > * \ 3 /3

QnlQ. n Kpta.

Rp t a : 3 + 2 // + 1

6

12

6 /1

R Pta : ~5

5«" + 1 '

Calcular los límites siguientes:

VI.

Rp,a: |

lim — ( 22 + 2 4 + 2 8 +... + 2 r ) /í—>0c 5« S» ' n-»oo I

( 3)

R Pta: 1

n+2

Hm Y 8 23 «-»x

..

1+ 2V 2+3 V3 +.. , + n \f ñ

i“ ------ 7X—

( — — r + — ! — + „' + — — _ ) w »lim -»»(// +1) (/í+2) (//+/1)2

(T)

©

«->®

+1

@

nt «lim - > x (~

~ " r ~;~ ~ ~) +tj + -n~+2 ~ + - + ~n r +n~

w- + 2 ‘

n +n

2

Rp,a: ? R pta:

R Pta:

Rpta:

2I 74

2

Ed ua rd o Es pi no za Ra mo s

84

©

Ji m( »->» n

Q

I

.

I (« + 1)

¿)

® (ío)

R (2 1 1 )

p

t

+

/»—>x

( 7)

-

a

O

... 1+ 2" +3" +... + «* 15) lim ---------------- ----------- ^ »-»« na+'

Rp(a:

1 (2 ^ 2 -!)

16 )

l im ( . 1 - - iL = + . .. + ,— L ^ r) "■** V «2+1 V «2 + 22 \ln2+ n2

R pt a:ln(l + V2)

/ m n n n \ 'irn ( ■ > , ■> ■> + ~ — 7? r + ••• "l í rr) x* 0 n-»=c w +1 jt n'+2'x n'+n x

l

7C

2n

■-

2n 2n

_ R pt a:

„ .

nn

2«

_ 1 1 a l i m s e n ( - ^ - ) ( e " + e " +... + e ") //—>x n +1

Rpta: /r íl- íT 1) . . .

^ 7 ) Si f(x ) es continua en [a,b]. Demostrar que:

li m —— »->w n

arctg.v A

*=1

f \ a + k ———) = í f ( x ) d x JL n

18) Demostrar que: lim —(sen —+ sen — + ... + sen ——- /) = -* C° SÍ »-+* /; u n n i

1

Rpta: —

11 l i m - ^ y 1 P e /’ "' n—>f- y\~

1 Rpta: ------a+1

-

3

hm « sen-— .sen — ...sen—

85

:

Af

// —>X

Su ce si on es

2

R pt a:

P=\

®

-

|_

l im — (e ,,->r.n2

4_

,, Rpta.

j

j Rpta: - ( l — )

_

+2 e 1,2 +... + n.e~')

2

Ir 2 7 T 71 ■) 71 i 2 71 ti - 1 2 H - \ lim —Isen —.eos" —+ sen — eos" ------K.. + sen ------ ;r.cos -------

n

n

n

n

n

n

14 )

ln( ,?) 1 1 / ^ 'n( ” ) Um I [ - S + - 7- Í - + ... + - r M «->* n / 1 i 2 , n n

v

n

V

11

Rpta: — e

3

3

Rpta.

3,71

lim — 'yj(n + 1)(/í + 2)(/j + 3)...(n + «) «-» 30n

1

2 0 ) C al cu la r l i m [— — r + —~ — - + ... + — — r ] ^ »-**'V + l 4 1 1 + 2 1 1 +'//

Rpta: ——

(Í 3)

7

e

3

/(->* n

[~i

— \ a~ —1+ — aresen — 2a 2 a

ln(3 + 2 ^ 2 )

(2 l) Calcular el límite siguiente: lim em "sen(e~ WÜ")s en(— ^----- )[(I+ -)2 + (1 + - ) 2 +... + (1 + -)" ] »->* 5/7 - 6 1 2 /? ©

Calcular lim — [71 + V ? +... + 2\/22"'' ] /i-»x 5 «

16

E du ar do Es pin oz a Ra m os

86

©

(23) Calcular lim [l/' + 2 P + ... + n /’][t g—]7'

@ a

Rpta : Diverge.

,¡m w->x

©

{ ln(n) —ln(w + 1)}I|£|

Rpta: Converge.

J 1 1 sen(e"?r), l -------- -------- }«>i

Rpta: Converge.

R p t,. I Al V«

(27)

lim —[(a + — )3 + ( a + —)3+ ... + (a- ¿—)3] >x 77

/j

256 27 e

Rp*a-

a

n+ 1 n + 2 «• +1 n +2

Rpta. a +

n H

(28) Calcular el límite de la sucesión {an

línta 2.

2n n+n

RPta-

+ ... + - T —

RPta:

n~

Rp»a: Diverëe-

©

RPta:

2

R pt a: C on ve rg e.

1

n+1)}»>i

n+1

Rpta: Diverge.

( íü )

{ J e "^x}n>\

Rpta:

Converge.

^

{Í ^ n

L l

Rpta:

Converge.

( Í 2)

{>/"(" + 4) -«}„ >|

Rpta:

Converge.

©

{ J 1 ”, r——j-}/,ai n

*

Rp ta:

Con ver ge.

^4)

{ V « + \f ñ - y j n - y / ñ }„sl

Rpta:

Converge.

®

cV «2 + 5 w - l - V « 2 + 3> i ---------- ¡ 7 =;--------------- i«>i \ln~ + 3

.. „ Rpta: Converge.

Converge.

v-' {—n}„>, v-y n+1

2)

4

©

{_ ^ _ sen— }„>,

©

definida como:

Determinar si las sucesiones dadas son convergentes ó divergentes.

( 4 )

2"+10'

{ ln(

@

©

4" 1A6 ín>i

'

©

H->X /J

VII.

87

, tc ^ , 2 n n 2 k n ( n 7l \ í nn \ w - s e n ( - ) ( — ) se n — ( — ' sen( ). Calcular lim £ [ » + ---------- "- + ... + - * ------------* - ] «-»*. n „ ? 2 /r 2 nn l+cos~1+ c os “ — l +c o s A7

lim -^ (3 « + l)(3n + 2)...4n

^

Su ce sio ne s

Converge.

Rpta: Diverge.


88

Su ce sio ne s

ln(2 + e

© (

¡í> V«+v«

3n

,0 \ \2)

’} n>l

n. \ {— +T +- +T/nai n~ n~ n

¿O) I1.3.5

(2/7 —1) \ ~in>l

_

VIH. A.

U t r + n 2 + \ - U n 5 + >i A+ \ a n = —= = = = = ------== == == =-

2 Rpta: —

^

'Jn2+n+\-yfiiA+ir+\

® ..-V/?"+/?+1 — yjn^+4n~ +1

Rpta: —~

©

1 , 0 . 1 , 0 .0 1 , 0 . 0 0 1 , .. .

R pt a: 0

®

Í.r

Rp ta: 1

(¿)

V 2 , \¡2 + s[ l, \¡2 + V 2 + \Í2

©

0 . 2 , 0 . 2 3 ,0 . 2 3 3 , 0 . 2 3 3 3 ,. ..

©

7 2 ,y [ 2 yi r, y¡ 2 y l2 ^ 2 ,

Rpta: 2

©

{-Jñ{Jn + \ -sfñ)}n>t

Rpta: 1 2

6

i . o i ’ í .o o i ’ T .0001 ’

Demostrar que: (T) —

(T )

l im — = 0 «-»0 «!

©

(? )

B.

39

lim a" = 0

// —>cc

si 0 < a < 1

lim yfñ = 1 //~»x

/7 ¡

(ó )

M -=0 w «lim-»x(«!)

lim =0 «—>x( 2 /j)!

(9 )

lim ' 0 , c > a, c > b n —>x

(ÍJ)

| im » ( « - ' X ‘| - 2 ) - ( " - ”*-v’.'. = o

©

®

S i x 6 < . l . l >

Hallar el límite de las sucesiones siguientes cuyo n-ésimo término es:

C.

Rpta: i r/r 3 sen«!,

—«Tí—

Si an > 0 y

6

...... ^

Rpta: b

límites.

Rpta: °

lim n-*ao

a„ =

R pt a: — 30

, im (10- ° 00 )" = 0

//~->x

(? )

©

Rpta: 2

, entonces: d n

lim ufa^ = L . Calcule los siguientes >x n —

Ed ua rdo Es pi no za Ra m os

© l i m *

^

iim í ¡ / 7 ^ 7 /Í->X

R pta : 1

©

lim - 4 L y n"

R', ,a : °

Rp,a;Creciente

®

Rpta: Creciente

®

Rpta: No Monótona

{sen^ 7í}„>|

Rpta: No monótona

í

2"

Rpta:

w {-------2"+1“00}„>i

(13)

© (Au,

®

Qo) {costztj} í(>j

®

Determinar si cada sucesión dada es creciente, decreciente ó no monótona.

©

91

R|” a : 1

M-4X

r i)

Su ce sio ne s

|

W- “

®

{(-I)”

Rpta: Creciente

í1.3.5...(2m-1)1 \ ------^ —j------/„ >i

®

Decreciente

Rpta: Decreciente

i)}«>l

R Pt a: D ec re ci en te

R p ta : n o M on ót on a

f(n + l) 2-i ^---- (n>\ n

n\

4"

5" -----------

i Rpta:Creciente

i

Rpta: Decreciente

X. Rpta: Creciente

( n" >

16) {ln (-— )}„>i n

Rpta: Decreciente

Rpt a: Decr eciente «21

©

C alc ula r lim Pir siendo Pn = -

(2)

Caleular lim c osh — . c o s h c o s h c o s h - -

w

,,-» x

2

2

\

J

2

^

2''

Rpta: a

Rpta:

senh a

a

®

„ . . .. l/>+ 2 / +3 ; +... + // P+l 1 Caleular lim --------------- ----------------------------------------------------- Rpta: — «-»* n n 2

©

Calcular lim (1 + _v)(l + jc2)(1 + jc4)...(1 + Jc2”) si |x | <1 Rpta:

©

H all ar li m n'

% n !(

Rpt a: Crecient e

3"

®

frt3- h

I— l*

Rpta: Creciente

n —k-r

.a2--.a„ siendo

lim n a n - a

\ ~ x

Rpta: a.e'


92

©

(« + !)" -------------------- ------- !----------------- — Hallar lim ------------------- —

©

Sea m e R .arbitrario, .arbitrario, si la sucesión

n . />+ />+l Rp ta: e

Su ce sio ne s

(ñ )

93

P ro robar q ue ue la s uc uc es es ió ió n ^ 3 , ^ / 3 , ^ 3 ^ W , . . . c on on ve ve rg rg e a V 5

»->? ->?. n(n - \)(n - 2)...(n - p + \)(n - p) ( j 3 ) H al all ar ar el lí mi mi te te d e la su ce ce si si ón ón ,

a,,

a2, a3, . . . e n

la q ue ue cada

{S,, {S,, ("')},, ("')},,>,> >,> esta definido por término es media media aritmética aritmética de las dos que preceden.

Rpta:

a, +2a2

5 (m) = V"+2'"+...+n"'. V"+2'"+...+n"'. Calcular lim 5 «(/w + l) ii —>oo nS„(m)

Rpta: K ©

1 „ l + m n „ 1- ' » Si m = 0, S = - , s i m > 0 , S = - — , si m < 0 , S = - -----2 2+ m 2 -m

Determina Determinarr el paráme parámetro tro X para para que el limite cuando n —> °c

expresión. A = [ — ------------------------ ]"" sea finito y determina el valor Án2 (n + (n + 1) 1 ' _ 1 de u para para que valga e, se supone . finito. finito. Rpta: a - ^ n ^ lim a,,

>ii

siendo a, = 1, a-, a-, = 2, a 3 = 3, a4 = 4. Sabiendo

S

Calcular

que

10) Determinar

3 + f l i > -4 ’

+

el

número

a

n

>

de

sucesión

4 R P t 3 :3

manera

£ (Sug. Stolz-Cesaro) Stolz-Cesaro)

i

u „ .. 1+ 2 2 + 3 3 +... + «" Hallar lim ------------- - -----------//—► X

n-»x

4a„= a „ - 1 + an- 2

-l(2 -l(2 +~+ +~+ l- +...+^±lL) Rpta:

g ) H al all ar ar l im im ( « + l ) “2 “2 ( l Í + ^ Í + l Í + . .... + J í L ) «-+* 2 3 4 n+\

n

Hallar

Hall Hallar ar lim lim

de la

y V - A - + ! )( * + 2 )

©

g )

R pt pt a: a: 2

Rp ta: j r

lim J _ " ----- , siendo positivo todos los términos de la !¡/at.a2..xin y sabiendo que lim

que: que:

"->x

+ *= Rpta: \fk \fk (Sug. Stolz-Cesaro)

lim 'yja^n'" + w2 +1 + ' ^ ( a - 2 ) n m + n + \ , sea finito (m impar m > 1 ) y /7-»X

calcular dicho límite para los distintos valores de m.

V

'

v

A ?— >X

Rpta; , (S

(19) ^

Calcular Calcular lim /i-> /i->xx ln(w ln(w!) !)

Rpta: 1 (Sug. STIRLING) STIRLING)

¡20)

Calcular Calcular Jim

Rpta: -J ñ (Sug. STIRLING)

/»-► -► X yj " /»->X

Rpta: a = 1, ^ si m = 3 y si si m = 5, 7 _■> a -i a a 2 sen a + 2" sen — + 3" sen —+ ... ... + /J sen — (ÍT ) Ca lcular lim ---------------------------------------------- ----- ~

(Í 8 ) Hallar Hallar lim

a Rpta: Rpta: 17“ -

,

stolz-Cesar o)


94

Su ce sio ne s

95

(2 ^ Sea

(21) Hall Hallar ar lim''/(l lim''/(l + —)' (l + —) '( l+ —)'. ..(l+ —)' v— n->«. y n->«. y n n nn nn

{«„}„>|

a \ = *’ Rpta: (—)' (—)' (Sug. Fórmula de ST1RL1NG) ST1RL1NG) e

------- — —— ------ = — (llama do la fórmula (22 ) Demostrar Demostrar que: que: lim ------ —— —— «-*<*>1.3.3.5.5....(2«-1)(2«-1) «-*<*>1.3.3.5.5....(2«-1)(2«-1) 2

a 2

una

sucesión

~ 2 ..... a n -

de

números

- ■ "-l

reales

definida definida

para n > 3 probar que

por

}„>, es

convergente y que lim an = «-»» 3 (2 ^ Analizar la la convergencia de la sucesión y en caso de converger, calcular calcular

de WALLIS) e l li m i t e d e „

[23) Aplicando la fórmula fórmula de Wallis, calcular calcular , a)

„

b )

^ 4)

1.2.4.6...(2n) lim -----------------------------------------------= = «->« «.1..3.5...(2«-1)

li m

Calcular Calcular

1.2.4.6...( 1.2.4.6...(2w2) 2w2)

* J

V a +1

E

Z

Vfl +1

...........j i l í í L

V a +1

que: ,v0, a, b son reales fijos, a > 0 y 0 < x 0 < b.

r (30 )

Si a, > 0, bi > 0,

y a, tí b,

definimos a 2 =

a «+ «+i = V « A " >

= | ( « „ + * „) „) • Probar que:

./> , b2 = b2 = ^-( 0 , + ¿>,) ¿>,),,

fz

-------------------------- r ---------= ---------= \¡ X

h.1..3.5...(2w - 1)

2 - a ........................................ lim — ------- ------- r-.ln(------r-.ln( -------^ ^ -y ) s ie ie nd nd o {nil a ,,,, } una «->x «->x ln(i + tg- (a „)) 2 - a„ - a

sucesión infinitésima y, tal que: a n * 0, Vn

a)

b)

a2
c)

a„
(31 ) Si la suces ión {»„}„>, esta definido por: //, =1 , =1 ,

Rpta: Rpta: —

.

lim an = lim li m Z>„

// —>x

« —»x>

= yjl + u„

¿u n es monótona y acotada? acotada? si lo es, calcular lim !/,,.

©

Calcular lim 2 (/7 (/7¡) n->c n->coo (2w + l)!

Rpta: Rpta: — 2v ;r

n —>x

(Su (Sug. Stol Stolzz-Ces Cesar aro) o)

(32) Dada la sucesión {bn } ;¡> ;¡>| definida por: por: b, > 1 y

/''"N ■ 6;+10 l26) Defínase una sucesión 6 , tal que:' que:' b0 b0 = 1, o, o, = ——— .—,P .—,P„+ „+ii - rr ^ . . 2/)0 2bn

bn+l= 2 — 2 — -

¿>q + 1 0

n > 1, demostrar que {b n

K

para

, converge y luego calcular sus puntos de

convergencia.

estudiar la sucesión, en caso de convergencia calcular lim bn /?->X

27) Demostrar la c onvergencia

1

"

1

de la sucesión

7+

H-------- + ... + --------, --------, n 6 Z n +1 n + 2 n+n

{«„ }„>i }„>i

dado por por

©

Se a

{an)n >I - tal que : a, = 2 , a2 = 8 , a2ll+l = - ( a 2(f + «2„_,), «2„_,),

Cl 2 n+2 ~~ jdí— a 2n+\

, demos demostr trar ar que que {«„}„> {«„}„>,, conve converge rge a 4.


96 (3 ^

Su ce si on es

97

Estudiar Estudiar la convergencia de las sucesiones

í /t)ói > a) K

b)

11 +- +^1

S„ - 1, i'n i'n+| - —

¿1=1. b2=i, ¿3 =|, =|, ¿4 =| r... =6"-1 + 2b'rl

b) b)

— , n está está en Zo+.

“ + 1

a + 1

C7 + 1

donde ii 0,f l ,6 son reales fijos, tal tal que 0 < un 0 .

©

Calcula Calcularr li m lñ (-) .ln (l + - ) y diga diga si es convergen convergente te ó divergent divergente. e. n-* 1 nn d)

u, =1, « 2 = 2 . - . « # » ® - ( k w_ w_ 2 + m b _ i) i) , « > 3 .

e)

c —J _

($6) Demostrar que la sucpsión y¡ 3 , ^3\/3 , ^3^3 >/3 ,... converge (3 ^

}

Estudiar Estudiar la convergencia de la sucesión

((i)2+i>^ (& J -i

( & +é

Sea {7'„}„>] {7'„}„>] una una sucesión sucesión tal tal que 7 j= 3 ,

c _ 1 , 1

c

1

W

1

1

+- V ’p>1-

Si Ta = 1, 1, r j+, = — — , dond donde: e: a > 0 pro proba barr que: que: 3V 3 ( 1 +

)

T n + \ = — — —— ¿ Tn es i + Jn

Monótona y acotada?, acotada?, v erifique que lim T„ T„ = V3 . n —>cc

a)

7; 7; > 0, « e Z +

b)

7j > T2 > Ty ...> Tn > 0.

c)

Tn >a, ne Z

d)

{T n}^> converge.

C)

(.!íí (.!íín n/ » )3 = a

0

lim lim T„ > 0 .

«

(39 ) Dada la suce sión {i/(| {i/(|

está definida por //, =

= •v/5~+4i/„_|

para n > 2. Analizar si la suce sión es m onótona y acotada, de ser afirmativo, calcular lim u„ . ^ 0 ) Analizar sisi las siguientes sucesiones son monótonas y acotadas, acotadas, sisi lo son, son, calcular el límite de cada una.


98

Se ri es In fi ni ta s

99

CAPÍTULO II

Z

■ a. v-.-x ■:

•><> i ¿ sju ‘ > 1 í /■

> , 111

-------- — 1 H------1-----1----- K.. 2n -1

«=1

2.

S E R I E S I N F I N I T A S .-

2.1.

DEFIN1C1ÓN.Sea

®

. . . _ . La serie infinita:

3

5

7

,1.3 1.3.5 1.3.5.7 H ------- i----------1-------------- 1- ..., cuyo n-esimo términos es:; 1.4 1 .4 .7 1 .4 .7 . 1 0 a . y.

1.3.5 .7...(2« -1) . , a = ----------------- ------- es representado por: 1.4.7.10...(3n —2) F P

i.3.5.7...(2/7 -1) > ------------------------- — Z ^ 1.4 .7.] 0...( 3« -2 )

una sucesión de números reales, entonces a la expresión: (■l)

a { + a2 + ... + an +... se denomina serie infinita de números reales.

La serie infinita:

—+ — 4----- h----- f — + ..., 2 6 12 30 42

cuyo n-ésimo término es:

X

1 Wn ~ — ------ . se representa por: ‘ n(n 4-1)

X

A una serie infinita: a, + a2 +... + an +... repre sentar emos por

OBSERVA CIÓN.-

De

la

V 1 1 > ----------+ 1)

•

- /.m il

serie

¡?

A to le r o s'

reales

X

’jb'juq 38

j

Bíinílm

Ejemplos.(l) w

m el ab omua aornaiemull leus I.,. Z = u?. mil = B$> s \ = a\ S 72 — aa\, + ' u-,2 r~j/r .nc.iua ab a sm a .uinagiavib «*j uv> ^ eJimini -mae el iZ

.S3=a,+a2+cij,

La serie infinita: - + - + - + ... + - ^ - + ..., es representada por: 2 3 4 n +1 Z

X

»=1

©

»-i

}„>i definida de la siguiente forma:

Donde a¡,a2,...,a„,..., se denomina (o llaman) términos de la serie y an es llamado el n-ésimo término de la serie.

+••>■.fomar eiiios jiina jpíuc esión

~ a t +a 2 .

3 n _ 11+2—+ —+

n +1

2

1 11

La serie infinita: 1+ - + - + - + 3 5 7

3

4

■

k! Z3-jnoin3 . 3t8Í/3 z - s>'¿ mil x

n + ------ + ... w+ 1

es representada por:

‘

!

¡

v\

V¿

- ./ IÓ 1 3 A 7 3 1 3 8 8 0

83tsÍ3wp ^ S„ = a, +a 2 +... + an = ) a¡ »

3ín 38i 3vno 3 83

ßliniini sh sz ßrtU


10 0

A la sucesión infinita

se denomina sucesión de sumas parciales de la serie

Se ri es In fin it as

101

Eje mp lo.-

*

Hallar la suma de la serie infinita j

B=l

, siendo Sn la n-ésima suma parcial de la serie.

n(n + 1)

en caso de ser

convergente.

n-\

Solución

2 . 2 .

DEFINICIÓN.-

oo

El términos n-ésim o de la serie infinita N ' ----- !-----es -

QC Consideremos una serie infinita

y una sucesión de sumas parciales /l=l

t^B}B2l'

¿~ín {n + l)

n=1 (descomponiendo a an en fracciones parciales), es decir: a„ =■

1

n(n + 1)

Si el lim Sn = S existe, entonce s diremos que la serie infinita / , a" /l-»X W =1

Luego:

an =

convergente y converge a S. infinita

, es convergente,

se puede escribir así:

n+ 1

1

1 n n+1

w(n + l)

a, =1 — 2

11

B= l

00

= lim S„ = 5 , al cual llamaremos suma de la serie infinita. n

B

n

1

oc

Si la serie

A

— i------ , efectuando operaciones se tiene: A

a-, = ------2 3

11

n —>oc

/7=1

a-, = -----3

X

Si la serie infinita ^

i 4

a„ es divergente, carece de suma.

B=1

OBS ERV ACIÓ N.-

Si lim

n-+ce

= s existe, entonces la sucesión de las sum

parciales {s„ }„>,, es convergente, esto es:

«-1

00

Una serie infinita

es convergente <=> {s„}„>i es convergente. /í=l

"-2 n -12 _ n -11, 1. 1 an~I a

11

a„ = -----n n+1

n

1 n(n+1)

a = -----------


10 2

Se ri es In fin ita s

103

x

sn= a i +a 2 + ... + a„ - 1 -

n +1

1 zn=1 «(n + l)

es convergente y su suma es igual a 1 .

Por lo tanto: j„ = 1----- — y lim s„ = lim (1 ----- — ' ) = 1 existe, entonces: la n->x n->=o n + 1 n + 1

O C -

serie n~1 X

— !----n(n + l)

es convergente y su suma es igual a 1 , es decir: OBSERVACION.-

1

In-\ n(n + 1)■=1 OB SER VA CIÓ N.-

1

- =1 z n(n + l) 11=1

x

Io

A veces necesitamos que la serie infinita comi ence en el término n 0 o en el a2 ó en algún otro término, si k > 0 es entero, escribiremos:

Otra manera de hallar la n-ésima suma parcial de una j serie infinita, es usando la regla telescópic a, es decir:

• 1 1 1 Como a = ---------=> a . = ------------r» entonces: (« + 1) " n n+1 n(n

n sn = a] + a2 + >h + /=!

En caso de que carezca de importancia, al índice que se le asigne al — primer término, se acosti acostumbra con frecuen cia escribir para designar una serie infinita.

2°

Puesto que lim (s„ - c) , c constante existe o

fl-*x

lim s„ existe, se deduce

«—>co

que podemos omitir un número finito de términos
(I — L ) = - V ( ----------- ) = - ( / ( « ) - / ( O ) ) , d on de i ;+ l Z-J J+ l l ¿=l /=1

Z

serie, por supuesto el valor de la suma si existe, quedara afectado.

PROPIEDADES.x Si y an es convergente, entonces: lim an = 0 iwmmJ //-»X

n+l

lim s„ = 1 existe, entonces:

II -]

Demostración


Como la serie I

-

converge, la sucesión de sumas parciales {■$„}„>

Se rie s I nf in ita s

i)

lim a.

=

'^ca ,, = cS'a ,, «=i

«=i

= s ) pero i¡)

=>

ca n conv erge a c s , , es decir:

y "=l

«=i converge, esto es: 3 lim s n = s , ( lim n->x n-t-r.

a„ —sn

105

Jim(s„ - s n_x) = s - s

/

= O; luego: fon a„ = O

, K + K ) converge a s, + s 2 es decir: j T (a„ + b„ ) =

"=l

X (a„ -

Si lim a„ * O, entonces la serie infinita y a„ es divergente. M -»X ■ ^ (1=1

(«„ - b„ ) =

«=l

b„ «=i

V a „ - V bn n=l

n=l

Demostración

Demostración

Demostraremos ii. puesto que i . , iii, serán similares.

X Suponiendo que

) converge a s, - s 2 es decir: N

',=i

a„ + «=i

1

es convergente =>

lim «„ = 0 (por la propiedad

X

n-\

' 5 ' S a n + h n )~ ( a ¡ + b¡ ) + (fl2 + ¿>2 ) + ... + («„ +b„ ) + ...

X

n= l

pero esto contradice a la hipótesis. Luego

NO TA.-

^ ' a„ diverge. »=i

La n-ésima suma parcial de esta serie es:

Esta propiedad es muy importante, pues permite, en algunos caso;

+ ¿¿) - («i +¿>,) + (a2 +b2) + ... + (an+ bn)

determinar en forma inmediata la divergencia de una serie.

Ejem plo.-

La serie infinita

,? + \

In-\ ;

k-\ = (í7, + a 2 +...+« „ ) + (¿! +b2+...+bn)

es divergente puesto que:

+2 = sn + t , r donde:

n +1

, „ lim ü„ = lim —r----- = 1 * ü

«-»x

»-»X. n

X

X

gn n~I

y

2 ^ b „ son series convergen tes con sumas

y

n=\

respectivamente y c e R. Entonces:

i,

y

v-

son las n-ésima sumas parciales de:

X

+2

«=1

Si

y

respectivamente, luego 11=1

X

lim y (a A. + b k ) - li m(.s„ + ¿ ) = 5, + s-,, es decir: /;>->x —>x ¿ >x A=l


106

Se rie s In fi ni ta s

107 Demostración

lim y ' (ííA.+ ¿>A.) = s, + s2 // —>X A=l

existe,

entonces:

^

(a„ +

)

converge

X

Como / ân converge, sea s su suma, esto es: //=!

"=l

X

y'(all+bn)=s\+s2.

lim stl = í -o V f > 0,3 ,V > 0 / n > N => |s —si < £■.

n=\

©

Si ^ a „ „=1

es divergente y c € R, entonces: 2 _ jC'a” es diver8ente • n=\

En particular podem os considerar: ¡,vn - s | < ^ , p0r tanto, si R>N y T>N.

Demostración |-v* _ -s 7 '| = b ? - J + í - í r | ^ | s / f - i | + ¡ 5 - 5 r |

Ejercicio para el lector. X

©

Si ^

_

X ^

x^

b„ es divergente, entonces: / («„ + ¿>„) es .,=1 n=I

a„ es convergente y /

n=i\

_

divergente.

V £ > 0 , 3 N > 0 / R , T > N = > \ s „ - j r |< *

Demostración X

Suponiendo que ^ \ an+ n=i X

Luego

12.5

) es convergente.

SERIE S ESPEC IALES .a)

SER IE AR M ÓN ICA .-

= y ^ [ ( a „ + b „ ) - a „ ] seria convergente por 3iii., pero es una

n=l

V/ -1 = 1i + -1 + -1 + ... + —+ 1 ... *n 2 3 n n=l

n=l x

contradicción con la hipótesis por tanto:

2.4

La serie annónica es de la forma:

X

+ bn) es divergente.

La serie armónica es div ergente: En efecto 5 = 1 + i + i + 2 3

TEOREMA.Sea { s ¡ t} #(>I la suc esión de sumas pa rciales para una serie conv ergente X

’ entonces: para cualquier n=i que R > N, T >N.

£> 0, 3A í > 0 /| íR- ír |< £ '

siempM

s 2 11

11

11

1

-* + —+ —+ ... + —+ ------ + ... + — , entonces: 2 3 n 11 + ] 2n ■

+i n

Ed uu rd o Es pi no za Ra mo s

108 i

i

Par a n > l =>

Se rie s In fin ita s

l i i i _ J L - 1 ' + ^ > ^ + 2„ + ’ "+ 2„ " 2» ' 2

109

lim sn — lim £/(—

« -»o c

(pues hay n-términos en cada lado de la desigualdad)

n -* x

1 — y

) — lim -------- ]¡ m ------- , donde: li m ------- « ~>x 1 —/•

« -» x 1 — y

serie geométrica y a r n 1 , conv erge cuando |r| < I, y su suma es «=i

s 2n - s n se puede hacer tan

£ = - , 3 N > 0 /| s 2rt — sn1< ^

1- r ■,’

X

pequeño tomando n suficientemente grande, esto es:

Si

i _ y

X

... (a ) siempre que n > 1, pero por el teorema 2.4.,

establece que si la serie es convergente

existe

y es cero si |r| < 1, por lo tanto lim sn = ------ , si |r| < 1, entonce s: La «-»x

Luego s2n - s „ > -

« - > x 1 — y

es decir:

y ar"~ ] = —— / \r\'< 1 i - r /;=i

siempre que 2n > N, n > N, pero esto cirn Si \r\ > 1=> lim ------no existe, por tanto la serie geométrica

X

contradice a (a) , por lo tanto:

« - > x 1 — /•

es divergente. «=i

w ^ / ar" /

es

J

n=l

divergente, cuando |/-| > 1. Ejemplos:

b)

SERIE GEO MÉ TRIC A.-

Una serie geométrica es de la forma:

00

ar" 1 = a +a r + ar2 +... + ar" 1 +... E ‘

©

r La sen e

4 > ^ 3 ' »=i

4 i + ------ h... es una serie geométrica con r = ~ < 27 3

la serie converge y su suma es: 5 = — = 2 .

1 3'

cuando r > 1 . En efecto: La n-ésima suma parcial de ésta serie, está dado por:

4 9

4

n= \

La serie geométrica es convergente cuando r < 1 y es divergente

4 3

Z

«=0

')n -f-3 " ——- — , se pue de escr ibir

9” «=0

V1

,C“"i v n 'i (—)" + (-)" , n—0n=0

s n = a(\ ' + r + r2+...+r"~]), además se tiene: de donde: ^ Ay ) ” = ^+ T + TJ + ~"’ es una ser‘c geométrica convergente, \ - r n = ( \ - r ) ( \ + r' + r2 +. .. +r" ') Luego

= a(l + r + r 2 + . .. + r n_l) = —

^ , r # l. Entonces:


110

y¿ L (íy. V H-0

es 5

una

serie

geométrica

convergente,

pues

Se ri es In fi nit as c)

ii 1

LA SE RI E- P .-

La serie - p, tiene la forma:

25

3 r = - < 1 y su suma es:

5

1_ 5 s = — - - —

5

J.22

siendo p una constante.

s = —, por tanto: 2 X

Cuando p > 1, la serie-p, ^ — , es convergente. /?=i n X

Cuando p < 1 , la serie-p, y — es divergente. ¿—i nP n=I ,

2"+3" 25 ^ > c on ve rg e a — .

Para el caso cuando P - 1, se tiene la serie armónica

n =0

(3)

La serie

14 »

V "14” \T '/'4 \„ , diverge. En efecto: / / y = / , ( 7 ) ~ 3 "=° n=0 oc

4 16 es 3 + 9 + "”

es divergente. n=0

La serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... + ^

Ejem plos.*

que es n- 1

divergente.

una serie geométrica donde: r = —> 1 , luego

@

1 00

Detenninar la convergencia ó divergencia de las series.

("-0!

—

%

n=I Solución

Z

*'(»-!)! («-!)! _^V1 (/,-!)! (n-D! ^ 1

+ - es una serie convergente.

~ 2-j~ñ.{n -\) \n = 2 , 7 ’ CS Una SCrÍe-p’ d0nd e; ? = 2 ; 1 , que n=i ' ' „=i

. «=1

es convergente. En efecto: La serie 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... + ^ A + J L + J - + — + . .. , donde: 10 102 10 3 " 10 " convergente y su suma es:

s-

r = — < 1, 10 y

1_Tó

+ .... se puede escribir como por

lo tanto la serie es

i

«=i

Solución

Z

/i = |

s f ñ ( n - \ ) \ V ' W t t^ - I ) ! ~

\

"

que es divergente.

1

=

2L~’es . i

u n a s e ri e ' p ’ d o n d e :

P =


11 2

2.6.


113

SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS.-

" 'n ~

La serie infinita

^ ' a„ , donde:

a„ > 0, para todo

n

1,2,..., se llama

\

n

N

*=1

*=,V +1

*=|

+ / ^ , A; - ento nces:

ak = *=l

A'

«=i serie infinita de términos positivos.

/;

«-

En este caso, la sucesi ón de la sumas parciales

n

+ ^

A=A'+1

A'

yV' - entonces:

bn -

+ ¿ , es decir

, donde:

X

la sucesión de sumas parciales {^ „} (,al de la serie

s n = a¡ + a 2 + a 3+...+« „, es creciente, ósea: s, < s2 < s3 <...< sn < sn+i <...

es acotada n=l

superiormente y como es una sucesión creciente, concluimos que la serie

2.7.

TEOREMAS.-

2.7.1.

TEOREM A (CRITERIO DE COM PARACIÓN DIRECTA).-

s /í=l n= l

an es convergente. x

X

Consideremos la serie infinita ^ ' a„ de términos positivos, entonces:

ii)

Suponiendo que

n=\

converge,

entonces por i., tendremos que:

n= l

oc i)

Si la serie infinita

/

, es una serie de ténnino s positivos y es n=1

b„ conv erge, la cual contradice a la hipóte sis, por lo tanto: \ »=i

n=l es divergente.

x

convergente y además a n < bn , V n > N => ^ ' a„ , es convergente.

aH

Ejemplos.-

w=l

X

X

ii)

Si la serie infinita ^ b „

,

es una serie de ténninos positivos y es

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie

/!=1

- +n n~] l + «:

Solución X

divergente y además a n > b n , V n > N => ^

an , es divergente.

n > 1 , se tiene: 1 + /?2
n=l

Demostración

i luego

x i)

Se tiene que a n > b n , V n > N. Sea ^ ' bn = b , pues la serie / »=1 "=1 convergente, entonces: V n > N; tenemos:

CH

9 ]

1

t

n

, l + n2 ’

X

1 + w1 w V 11 ——- > —, v n > 1 y como y y~ es divergente (serie armónica) por n=1 X

lo tanto por el teorema 2.7.1 ii. concluimo s que: \ w=!

1 ——— es dive rgen te. I +/¡2

Ed ua rd o Es pi no za Ra m os X

Se ri es In fin ita s 2.7.2.

^

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie / — ^ >22 «=i

tiene

X

Consideremos las series infinitas ^ ^ an y

i 2”

, como

v i > — es una sene " 2 /1 = 1

i)

^

Si lim

77->cr

h

bn de términos positivos.

n=1

n=l

Entonces:

X

V n> l, se

TEOREMA (CRITERIO DE COMPARACIÓN POR LÍMITE).-

y-

Solución i n 2 " > 2 ” =í >— « 2"” ni

115

- k > 0 => ambas series convergen ó divergen.

geométrica convergente ( r = —< l) . X

Luego por la parte (i) del teorema (2.7.1), concluimos que n=i

1 — ni "

ii)

Si lim

=0

y

^ ' bn converge

es

^ ’ ü„ es convergente.

17=1

77=1

X

convergente.

iii)

Si

l i m = +cc y ' y ' hn es diverge nte

=>

la serie z

n = l

2 + sen3(w + l)

Determinar la convergencia ó divergen cia de la serie:

7 7 =1

divergente. Ejemplos.-

Solución X

V n e Z +, se cumple -1 < sen3(n + 1) < 1, sumando 2,

I< 2 + sen3(n + l) < 3

©

Determinar si la serie

es convergente ó divergente. 77=1 n

Solución iuego

„ ^ 2 + sen3(« + l) „

3

^3

, • es decir. Sea

3

0 < 2 + sen ^

2

"

+n

«77 = ~

. tomemos A,, = ~

X

< — como 2"

" V — es una serie geométrica convergente ^n=12 ^ _____ 3 2 + sen' (w + 1) ¿ 2 ñ” +, n3 «=i

^ 77=1

— es una serie geométrica convergente (/• = —< l) . '2

_

(r = —< l) concluimos por la parte 2.7.1(i) que la serie: 2 es convergente.

. es decir:

/

E nt on ce s :

a li m — = li m

/»—►x

1 n'

//—►x 1

2"

2n J = li m — = li m ( - ) ” = 0 /»—» x

n —>x

//

a„ , es


Se ri es In fin it as

117

X

Luego lim — = 0 n—>x h

y

Como

V * — es convergente. * 2 2" fl=l X

- sen( ) , tomemos «

bn - — es decir: S — una sene divergente, « L—À n n=i

^

por lo tanto por la parte (ii) del teorema 2.7.2 concluimos que la serie ^

~

>

entonces: lim ^ = lim — n —>x

n =1

n —>x

= lim « s e n ( -) = 1 > 0 .

1

/»—>00

n

es convergente. * 2 Determinar si la serie > - 4 — es convergente ó divergente. Z - f(4n 4 « 3 ++1l n=l

Luego

lim

a

00

= 1> 0 y

V' ' \

es divergente por lo tanto por la parte (i) del

»=i n X

Solución 2 j Sea a = — ------ , tomemos b = — es decir: ” 4 n 3 +1 n

v 1^ | / — una serie divergente, j-fn

entonces:

teorema 2.7.2 concluimos que la serie > s e n ( -) , es divergente. n n=1 2.7.3.

TEOREMA (CRITERIO DÁLEMBERT).-

DE

LA

RAZÓN

Ó

CRITERIO

DE

X

x

n lim — = lim n->°ob„ »-♦»

1 n

= Jim — '1 — = i > 0 , lueg o lim >0 « -» «4 «3 + l 4 #>-+«•£>„

y

1

Sea ' ^ a „

V -J-,

una serie infinita con an > 0 ,

convenga mos que:

lim >X

es divergente, por lo tanto por la parte (i) del teorema 2.7.2 concluimos que la serie

* j > -—r— , es divergente. 4« +1 *=i

V n

(de términos positivos) y

n =1

* = k , entonces: w/i ¿7

x

i)

Si k < 1, la serie ^ ' an es convergente. n =1

* x

X

Determinar si la serie ^

se n (-) convetge ó diverge.

ii)

Si k > 1, la serie J a„ es divergente ó J «=i

¡ii)

Si k —1, no se puede determinar nada.

n=i Solución

cuando lim — -+ 1 = «->oo a "

+oo


118


119

Ejemplos:

(7)

X

®

X

Determinar si la serie ^ 17=1

Determinarsi la serie ^ ^« 2~ " es convergente ó divergente.

'yfn(n + 1)

«=i

es convergente o divergente.

Solución Solución

Sea a 11 = n 2

•n

n +1

n

= -----^|/I~T~rI, calculando el límite se tiene:

=— 2» = > a

r—— — —' u )f+i - , V«(« + 0 J( n + \)( n + 2)

l _ r “‘«+1 r Jn (n + l) nm —— lim -t = 1• «->» fl„ «-»x y¡(n + l) {n + 2)

k -

fl„+l 2 "(n + l) n +1 1 k = l im — ~ = h m -------------------------:— = l im --------= - c 1 n —>x a 2 n w->x 2n 2

..

(2. / .3) no seconcluye X

límite s com o

Luego por la parte i) del teorema 2.7.2 se concluye que la serie ^ ' />2 " , es convergente.

©

a);= ,

nada. Ahoraaplicaremos elcriterio 1

^^ n e

-y//7(n+ l)

es convergente o divergente. j

«

-y^ i decir: % —es una seri e

X

del teorema (2.7.2) se concluye que la serie ^

n=\

Vw3 +1 Sea fl„= ----- — e

2.7.4.

'3+l >/(« + 1)3 => «,,+1 = ^ ----- ^ ------ , entonces: e

k = lím ■rî±L = lim - J v ' « ->oo e ^

«

es div erg ente

TEOREMA (CRITERIO DE LA INTEGRAL).-

n=I //=! /•fx conve rgente , si y solo si, la integral impropia I f ( x ) d x es convergente y si

e

Luego por la parte i) del teorema (2.7.3) con cluimos que a sen■e

1 —

Sea f uña función definida y positivos para todo x > 1 y además decreciente y X X que f ( n ) = an , V w gZ . Entonces la serie infinita s /(« ) es

—— = - < 1

+1

.. i

Solución

es convergente.

1 —, tom am os bn— —, es

de comparac ión por

divergente, entonces £ —lim - lim - y - = 1 > O . Luego por la parte i) ,,->oc¿>(i -Jn(n + l)


«

Luego por la parte iii) del teorema

> n—i

«3+1

e

|* fx

x

la integral impropia J f ( x ) d x es divergente, entonces la serie divergente.

es

77=1


12 0

Se rie s In fin it as Ejemplos.-

Demostración Sea 3e /

f

i e Z +, por el teorema del valor medio para las integrales +i f ( x ) d x = 1 , f(e) donde: k < s < k + 1 , como f es decreciente se

r

tiene: a k = f ( k ) > f ( s ) > f ( k + 1) = ak+] , entonces a k >

Luego V n e Z

i A=1

z

f

X

(T )

Demostrar que la serie - p, " V —-, es convergente si p > l y es divergente Z - j nP n=\ si p < 1

f (x)dx > ak,

Demostración

n f ( x ) d x > ' sy a k+\ , de donde

k =I

121

Como an = — = f{ n ) => /(.r) = — , entonces:

k =1

ak - a , : lim

*->*

Ahora veremo s para el caso en que n - 4

[----- --------------------] = ------- , s i p > l ( p - \) f) P

p - \

p - l

X

Yn

Entonces la serie - p,

^ -— es convergente, si p > 1; y es divergente para -i=i X

\ A 1

K. A 3

1

2

3

A,

aT

A 2

4

5

p < 1 , para el caso en que p = 1, se obtiene la serie armónica % ^—, que es /LmJ n n=1 divergente.

A,

x

0

X

1

2

3

4

5

X

(.’ )

Determinar si la serie ^ ’ ne~" , es convergente o divergente «=i

Luego por el criterio de comparación las expresiones

y«,, r /(#,y< *=1 simultáneamente.

A-=l

,

son

convergentes

Solución o

divergentes

Como a „ = n e ~ " = f ( n ) es decreciente en [ 1,+oc>

=> / ( * ) = xe~x , , además f(x) > 0 para x > l y f


12 2


123 X

Luego JP xe Xdx = lim jP xe xdx = \i m (x e ' —e ' ) j

Si k < 1, la serie ^

¡)

an es convergente

n~\ = lim [(ée-* />—>0c

) - 2e 1] = 2e 1 X

X

Por tanto

©

| xe xdx es convergente. Luego la serie z J »»=i

Si k > 1, la serie

¡i)

es divergente n=l

n es convergente.

Si k - 1, no se puede determinar nada.

iii) Ejemplos.-

Determinar si la serie > --------- es convergente o divergente. /;ln(«) n=2

X

®

Solución

Determinar si la serie / (— ----- )' es convergente o divergente. * 2/ i - l n=i Solución

Como a„ = — !— = A») => / (Jf) = - r — > 0 para x > 2 , además nln(/i) xln.v Como f \ x ) = — 1 + ln-AT < 0 (.y ln x) tanto::

para x > 2

Luego f es decreciente en [2,+«->, por

tíJ(

/7 + I

= ( - ------ )" 2n - l

y

de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:

k = lim "¡an = lim +1 )" = lim —- 1- = - < ] ,,->x „-»a. V 2 /í -l «->*2/7-1 2

f dí - = lim ( - A _ = lim l n (l n. Y )/ / = l im l n ( - ^ ) = co ¿ xl n.v />->+* ,vl nx />-»+* ' 2 *-»+00 2

X

Entonces se tiene que

f ¿

X

^

Lueg o la serie:

es divergente. Por lo tanto } ■ — , es xlnx a —

teorema 2 . 11 .

divergente.

2.7.5.

-y)" , es conve rgent e de acuerdo a la parte i) del »=1

TEOREMA (CRITERIO DE LA RAIZ O CRITERIO DE CALCHY).-

©

Determinar la convergencia o divergencia de la serie s 11=

X

Si en la serie infinita

a„ ,,de términos positivos, se tiene que lim i¡¡a^ = A-,

(//» - ir I

Solución

H=1 entonces:

Como an = (/í" -1 )” y de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:


124

2.8.

i i k = lim d a n - lim ]¡(n" - 1)" = lim («'’ - 1) = 1 - 1 = O< 1 fl-~> GC


125

SERIES INFINITAS NEGATIVOS.-

DE TÉRMIN OS

POSITIVOS Y

« —>00

Una serie infinita de la forma siguiente:

1

Luego por la parte i) del teorema 2.7.5 se concluye que la serie X

«=1

Y

es convergente.

n

r \ = a , - a 2 + « 3 - a 4 +...+(-1 ) n+lan +. ..

n=1

©

s r ^ n \ J 2 + 2)"

•‘Z11=1 :


3"

es convergente o divergente.

donde: a n > 0, Vn e Z +, se de nomina serie alternada.

Solución Como a„ =

k = lim

ny(J2+2)" 3" = lim í' n -*00 ]j

00

También las series de la forma: ^ (- l) " .a H= -« ¡ + a 2 ~a.} +... + (-l)''an +..., n=i donde: an > 0 , son series alternadas.

y de acuerdo al criterio de la raíz se tiene:

\42+2)" 3”

J V 2 + 2 _ V 2 + 2 lim n" ■ 3 3

I1-+OJ

2.8.1.

Luego por la parte ii) del teorema (2.7.5) se concluy e que la serie 1n i ( s ¡ 2 + 2 ) n

3"

n=1

Obs erva ción .-

TEOREM A (CRITERIO DE LEIBNIZ).La serie alternada de la forma:

es divergente.

El criterio de comparación, es un criterio de convergencia para series con

términos positivos, sin embargo se puede

usar para probar la convergencia de otras series. oo

00

Es convergente si se cumple: ¡)

0< «„ +i < a „ > V n e Z \

ii)

lim an = 0

Si y ' an , es una serie cualquiera de números reales, entonces ^ Ja„ j , n=l

',=1

Ejem plos: Determinar si la serie alternada dada es convergente ó divergente.

una serie de términos positivos y por tanto el criterio de comparación puede oo

aplicarse a la serie ^ \\a„ \ ■ n=i

oo

n=2

l ln(/7)

Ed ua rd o Es pin oza Ra m os

126


Solución

127

Como an - - => a j - -----— , V n e Z + , 2n -1 < 2n , sumando 3« 2 3« -1 3« + 2

*

-

Como a„ = — -— => a,,., = ----- ------ , además V n e Z +, n " 1 ln(n + 1) " ln(w)

3« + 2 n —1 < in" +2n,

( n + l ) ( 3 n - l ) < n (3 n + 2)

, . n ----- < ----- r es decir: a , < a 3« + 2 3/7 —1 n +1

ln (n) < ln (n+ 1) => ----------- < -------- , para n > 2 es decir: a n+¡ < an , V n > 2 ln(H + l) ln(n )

-

< I lim an = lim ------- = 0 . Í|-»X ln(«) * i Luego por el criterio de Leibniz, la serie alternada:

/í-» oe

y además:

-

-

,

, V n e Z , además:-

lim an - lim ------ - = - # 0 . Luego de acuerdo al criterio de Leibn iz, la serie

fl-»X

-

/i—>x .3/7 —.13

X

V '

n 1 / (-1 )" ------- , es ln(«) ii =2

alternada: \ (- l) ”+l --------es divergente. 3« -1 • n=1

convergente.

oo

©

NOT ACIÓ N.-

Zn=i H r'¥

A la serie alternada ^ "(-1 )"+]a„ , abreviaremos escribiendo n=i

Solución

donde:

= ( - 1)”+1

a |fc„| = a„

/!— 1

Como a„ n = — => a,,., n+i = —!— v ,+i ’, entonces: V n e Z ” , 2" < 2"' 1 , de donde:

2"

2

2"+\ < — 2—i»n , V n > 1, es decir:

n~T\

< a„ , además lim a,} = 0 ti tt oc

Luego por el criterio de Leibniz, la serie alternada: I h »"+1 n=l convergente.

2.8.2.

TEOREMA.-

Si la serie 1

es

es convergente, entonces la serie alternada y

i

convergente. Demostración

Como la serie y j nlt j es convergente (por hipótesis). «=1 n-\ Solución

Luego por la propiedad de valor absoluto se tien e:-|u n| < un < \un j, es decir:

es


128

0
+ |» „| ) ,


129

OBSERVACIÓN.- El teorema 2.8.2. establece que toda serie absolutamente

es una serie de

convergente es convergente.

n =i

términos positivos.

Sin embargo una serie convergente puede no ser absolutamente convergente. 00

Luego un +|ww| ^ 2|i/ J, V n > N y además la serie

es convergente,

x

x

entonces: por el criterio de comparación la serie

n=1 + |m„ | ) - | m„| ) , es convergente (suma de

«=i series de convergentes).

X

«=i

=£> ^ | » )(| converge. »=i

«=i Ejemplos: X

, es converg ente.

,1=1 a)

cr-

converge

convergente pero

es convergente. n=i

^ ' (»„ + |« „ |), es

x

n

Por lo tanto la serie

OC

Sí la serie s un| converge => «=i

n—\

(7 )

La serie alternada

—, //=!

DEFINICIÓN.-

X

»

,

00

sene ríe ^ n=1 '

30

Se dice que la serié alternada y

-

es absolutamente convergente, si la

e s una serie conve rgente , sin embarg o la n no es convergente.

'n-\

n=1 serie

(? )

|t/„| es conver gente.

— , es absolutamente convergente, pues la serie n=1

»=i b)

La serie alternada X

|

,

co

y -D" — = W=1 rt=I

DEFINICIÓN.-

, es una serie geométrica con razón r = —< 1 . Luego

X ;

Una serie alternada

X

un que es convergente, pero no absolutamente

la serie es convergente y por lo tanto: la serie

«=i

“

es convergente.

n=1 X

convergente, se dice que la serie ^ 'iin es condicionalmente convergente.

«=i

OB SER VA CIÓ N.-

Para determinar la convergencia o la divergencia de. las series alternadas, se usa el criterio de la razón.


130 2.8.3.

TEOREM A (CRITERIO ALTERNANTES).-

DE

LA

RAZÓN

PARA


131

SERIES

X

S ea ^ ' un una serie alternante, tal que un =£ 0 , Vn. Entonces: |«A'+3 |< ^K v+2|< '' |%|

«=i OC

i)

Si

lim ln+\

:k < 1 , entonces la serie

^ ' w„ n=i

es ab solutame nte

l%+/>| < , P \un \ > V p e z +

convergente y por lo tanto es convergente. Luego la serie

\un\ es convergente, pues r < 1 entonces: la serie

CO

ii)

= k > 1 ó lim

Si lim

w+l

:+oc, entonces: la serie ^ \ i n , es X—< ¿ \ uN+p\>

/J->X

/7= 1

divergente.

es convergente, y por lo tanto la serie J

p =i

x

un

es

„=1

absolutamente convergente. iii)

Si lim ‘«+i

1 , no se puede determinar nada, acerca de la convergencia

Si

ie de la serie

número' N > 0, n=1

Sea r un número, tal que: lim

‘»+1

-»=0 ■ ‘»+1

tal que:

cua ndo n —> 00, entonces: exis te un > 1,

siempre que n > N, es decir:

| Kl. siempre que n > N.

Demostración

i)

lim »«+i > 1 ó «->00

\un +\ >

Luego

ff+i < r < 1 , es decir k < r < 1 , entonces

es una sucesión creciente de términos positivos X

como:

lim *n+1 = k , existe

grande, tal que:

lim un * 0. Luego concluim os que un número N > 0,

suficientemente

»=1

Ejemplos:

¡ r\uA’

‘«+i < r , Vn > N, se ten drá que: |mjV+i <

mismo:< r ‘jV+l ; \un + í \ < ''kv+ 2|>etc->0 lo que es lo mi

es divergente.

X

(T )

^

Determinar si la serie alternada " V (- l) ',+l — , es convergente ó divergente ó n\ n=1

condicionalmente convergente.


132

2.8.4.

Solución H+l 3" Como w„=(-l) n\

133

Se rie s In fin it as TEOREMA (CRITERIO DE RAABE).X

«*+. =(-!)'

n+2

Sea } an una serie infinita de términos positivos, ¿ m m m d n=\

(» + !)!

//->X

Q

entonces:

( - l ) ' ,4'2 3/l+1»! = lim ------ = 0 < 1 lim «»+i = lim >x (—1)" 3” (/i +1 ) ! n ~» x n + 1

oc

como k < 1, de acuerdo a la parte (i) del teorema 2.8.3 la serie /

i)

k > 1, la serie ^ ' an es convergente. /!=i

ii)

k< 1 , 1a serie ^ ' an es divergente.

i '>n /- l) '^ ' — ,

n =1

es absolutame nte conver gente y por lo tanto la serie

si k = l i m n ( l - - ^ i ^ )

X -1 n+1 3”

X

n=l

es iii)

convergente.

k = 1, nada se puede afirmar de la serie ^ ' an H=l

00

@

Determinar si la serie alternada

H )”

Ejemplos:.

>es convergente ó divergente ó

n=\

©

condicionalmente convergente. Solución n ! Como u„ = (-!)" 2 /j+i

Luego

(-l)" +l(n + 1)! «»+i =■ y i+2

2 "+l(n + l)! .. n + 1 ^ «(l+i = lim -----^ ------ = lim ——- = -KK . k = lim n-*x 2 n\ "~>x 2

Por lo tanto de acuerdo a la parte (ii) del teorema 2.8.3 concluimos que la serie TO n' ( - 1)" —— es divergente.

Z <7=1

Determinar si la serie V ——— es convergente ó divergente. ^ « 2+l n=1 Solución V ’1 1 De la serie > —-——, se tiene: 1 n=\

an = — — d e d ond e: n +1

a „+1 = ----- — ---- ,de (« + 1)"+1

acuerdo al teorema 2.8.4 se tiene:

k = lim u(l-Í¡5±L) = lim n( 1- fr-.t .U ll l ) , jfc = lim w( 1 w->ob /72 + 1

+ 2/7 + 2

= 2 > 1.

Ed ua rdo Es pi no za Ra mo s

134

Se ri es Inf in it as

135

En la serie dada se tiene que: Luego de acuerdo a la parte (i) del teorema 2.8.4 00 Y - J - , ' es convergente. «" ++1 1 n=1

e concluye que la serie (2« + l)(2/ i —1)

=>

a .,

”+l

(2n + 3)(2 « + l)

Luego por el criterio del teorema 2.8.4 se tiene:

©

Determinar si la serie ^ «=i

---- ----- es convergente ó divargente. 2n +1

k = i ™ „ (] - £ b L ) „ I¡m „ ( 1 - ( 2 - - H X 2 - D ) «->*

a„

n->®

(2// + 3)(2 « + l)

Solución / i ■ í +4 \ A: = lim /¡(— -------------) = 2 > 1 «-»« 4« +3/J + 3

En la serie dada se tiene que: n2 - 1 "

2n2 +1

de donde:

(n + 1)2-1 n2+2n a „+1 = — ----- - y — 2{n +1) +1 2n + 4 « + 3

Luego de acuerdo a la parte (ii) de! teorema 2.8.4 se concluye que la serie

In=\;i ( 2 n + \ ) { 2 n - \ ) , es convergente.

Aplicando el teorema 2.8.4 se tiene: n2 + 2 n i , \ i/i 2n~ + 4 n + 3 ^ k = l im n ( l — — j = l im « (1 -----------------¿— ¡----------- > n->«¡ an "-*<*> n —1

oo

©

Determinar si la serie 'S ^ ----- es convergente ó divergente. ' In 2 /?¿ + +l 1 n=\

2«2+1

* = lim „(l . lim — -------- = 0 < 1 n->00(« -1)(2m +4/7 + 3) „->=0 V (« 2 - 1)( 2 h 2 +4/7 + 3)

Solución Como a,

n

n — 1 ~ í

2 /r +1

n

u n+\

,.9 , 2 (n + l)~ +1

Luego de acuerdo a la parte (ii) del teorema 2.8.4 se concluye que la serie luego por el criterio del teorema 2.8.4 se tiene:

Z n =i

(? ) ^

n 1-1 A -----»es divergente. 2n +1

* = l i m « ( l —- ^ ± ) = lim / i ( l------ - 2 "3 * n------ ) = 1 . »-><>c an »-»* 2 n + 2n ~ - n - 3

Determinar si la serie V -------- ---------- -- es convergente ó divergente. Z_w( 2 « + l)( 2 n - l ) n=! Solución

Luego de acuerdo a la parte (iii) del teorema 2.8.4, no se concluye nada y por lo tanto la converg encia se determina por uno de los criterios determinados.



Como en muchos casos, las series son decrecientes,

oc Y ^

136 OBSE RVA CIÓN .-

entonces: aquí se puede utilizar e! siguie nte teorema de

n=2

Cauchy. 2.8.5.

137 00 00 - y y . - L - . y - L . 2 "n ln 2 - ¿ - ' « l n 2 n=2 n=2

De acuerdo al ejemplo anterior es divergente por lo tanto por el teorema 2.8.5,

TEOREiMA.-

se concluye que la serie J --------- , es divergente. i n\n(n) n=2

30 Si a n+ j < a n , entonces: la serie ' ^ j a n es convergente, si y solo si, la serie

2.9.

/7=l

X

EJERCICIO S DESARR OLLADOS.-

2" aY es convergente.

00

©

fl=l

Ejemplos.00

(T )

Determinar la convergencia o divergencia de la serie

Hallar la suma de la serie S ----------- en caso de ser convergente. i n(n + 3) + 3) «=i Solución

1 ~

Z

/>=! Solución Como

' 00 an = — => , luego la serie / — es convergente o divergente si n n=1

^ ^2 ”a2„ es convergente o divergente, pero „=1 divergente.

(2 j

1 , esta serie es

11=1

H=1

% Determinar si la serie / --------- , es convergente o divergente. Z -J n\ n(n ) n-2 Solución 1 a„ = — — " nln(n)

1 => a r = • 2 2 ” ln 2 "

1 2 ,!nln 2

n=1

, ¡ ----------- es a = — —— n(n + 3) " n(n + 3)

ahora descomponemos an en fracciones parciales es decir:

n(n + 3)

= — + ^ , de donde efectuando operaciones se tiene: n n + 3

1 = (A + B)n + 3A (por igualdad).

138



N

l a 2 = -l (í -------) 3 2

, . 1 1 X"’ 1 . , lim s„ = t(- v entonces: > ----------- , es convergente y su suma es igual a »-** 18 / —J n( n + 3) //=!

5

«3 = “ ( ---------- )

3 3

,3

— , e s decir: Y _ i _ = H 18 ¿—m(n + 3) 18 rt=l

6

a 4 = -1,1 ( --------) 3 4 7

©

K

La siguiente serie es convergente, calcular su suma: ^ c os(--” + 1 )sen (--^~— ) #7 4 - / 7 /7 4 - « /;=!

l íl a5 ■=-(■-------) 3 5

139

8

Soiución

an- 3

[sen ( A + B) + se n{ A - B)}

scnA.cosB =

Aplicando la identidad siguiente:

1 1 . « „- 4 = - ( ----- T + ----- r) 3 n - 4 « —1 .

2n +1

1

1

2« + 2

1

2/7 + 1

n"'+n

n~+n

¿

n~+n

n +n

n~+n

(— — )je/7(—----------------------------------------------) = —[se«(—------)+ sen(— -----------

!/■ 1 N 5 n - 5 n -----------)

1r , 2/7 +1 -2/7 1 2 2 = —[sen (— ------- ) + seti(— ---------------)] = - [ s e n ( - ) - s en (------)] 2 «(/j + 1) 2 n(n +1 ) n n+1

1, 1 1 , fl»- 2 = r ( — —) 3 n- 2 n+ \

an = cos(-”—■- )sen (—^— ) = —[sen( — y~ se n (- ^ —)] n +n n~+n n 2 « +1

K 1 1 x «n-l “ TÍ T ----- 7 t ) 3 n - 1 n +■2

Como s„ - a¡ + a , + ... + an , entonces: r 1 1 ). «« = --• (----------t 3 « «+3

1

Sumando

s„ - a , + a 2 J_ L¡ _ S" ~ 3

6

2

1n 1 1, 1 1 1 - -[ l +- +- - ( ~+ r+ -)] 3 2 3 w+ I « + 2 «+3

2 '

2

2

2

2

+(sen ---------- sen —) + (sen ----- se n ------- )] n n n+ \ /7—1

3n +12« +11 (» + l)(w + 2)(n + 3) .

2

sn = —[(sen2 - seni) + (seni - se n —) + (sen —^s en—) + ...

2 «+ 1

sen 2 2

sn = — ( s e n i - s e n -------------- ) => lim 5 = - — "

2

«-»oo "

140


Luego

Se ríe s I nf in ita s

2« + l 1 sen 2 ----- )se n(— ------ ) = —— > cos( ~ +« n~ + n 2 /?=! QC

(3 ) w

La siguiente serie 7 --------------------- , es convergente. Calcula su suma. j (2n - 0(2« + 5) Z— n~\

fonna:

-

de

donde

al

2« - 3

lr 1 a«~3 = 76fc2 « - 7

1 , 2«-l

1r 1 6 2« - 5

1 . 2« + l

lr 1 «„-i = t [ 6 2 « - 3

a„ = ---------- ---------- , expresaremos en -una suma de fracciones en la " ( 2« -l) (2 « + 5) a„ = ---------- ------------ = ——— H----- — , ( 2 « - 1 ) (2 « + 5 ) 2 « - l 2 « + 5

i 1r ««-4 := t [ 6 2« - 9

a „ - 2 = - [ - ------- --------------- 7 ]

Solución Como

14J

efectuar

• U 1 an=rb 6 2n -1

2«+ 3 1 . 2« + 5

operaciones se tiene: ■(2A + 2B)n + 5 A - B (por identidad)

Sumando \2A + 2B = 0 ^ ^

A = -

1 m / 1 * 1 „ 1------------ 1------------ ------------ )] S — — [(1 H---1 t— K ) —(-----------------------------------6 3 5 2n -1 2« + 3 2« + 5 J

6

B = — s„

23 90

12 «2 + 3 6 « + 23 (2« + 1)(2« + 3)(2« + 5) 00

23 v~' 1 23 lim s„ = — ~ ent entonces onc es )7 ----------- ■---------- = — 90 ' ¿Lmí (2n - 1)(2« + 5) 90 «=1 (7 )

00 Hallar la suma de la serie infinita ^ arctg( ------- -------- ) l + «(« + l) n~\ <

Solución Al término n-ésimo de esta serie expresaremos en la forma: \

___

1 _

a„ = arctg{~------ j — —•) = a re tg ” + 1 ), donde tga = - ; i + « ( « + 0 i+i _L_ » « «+ 1

tg/3 -■

1

n + 1

Ed ua rdo Es pi no za R am os

142

Luego se tiene:

l_ 1 _ t g a - tg P __ n „ + i t g( a - p ) = \+tga.tgj3 | 1 n(n + 1)


143

Como a = ---------------------« —= h => (4m -1)(« + 15) n

1+ h(/í + 1)

a n2 1 lim — = lim — ----- -------------= —> 0 => n-»x (4/7 - l)(/7 + 15) 4

t g ( a - P ) = ------ ------ -- => a - p = a rc t g( ------ ----- - ) 1 + «(« + !) 1 + /?(/? + !)

—, serie divergente ¿->n n=1 por la parte i) del teorema (2 .7 .2 )

-

se tiene que la serie: 7 --------- --------- es divergente. ¿—‘ (4n- \M n + \5'\ H=l -

De donde: a = arcíg( ------- -------) = a - P = arctg(—) - arctg { —— ) 1 + n(n + \) n n+1 -

Ahora calculamos la sucesión de las sumas parciales.

(ó)

Estudiar la serie £

f

Solución

n

sn

l l > 1 X . = -(arctg( , (arctg ( — -) - arctg(-)) ----- - ) - arctg( 1)) / +1 i n +1 i=\

E

d x ; si conve rge hallar la suma.

n=l

r +1 _ r Primeramente calcul arem os la integral I e ' c/.r Jn

(Esto es por la regla Telescópica) Sea u = y[x => x = u2 => dx = 2u du n 1 s„ = arctg(l) - arctg{ ----- -) = — - arctg ( — - ) n +1 4 /; +1 1

S

«=1

arctg( ------- -------- ) = lim S = — - 0 = — l + /?(/2 + l). 4 4

'S_' arctg( ------- — -----) = — ¿ - é l + «(n + l) 4 n=\

f " 2 ¡/ í/h = 2 j*¡/e

(integrando por partes)

j e-^'d x = -2(ue~" + e~") = 2 (v/I
|

e ixdx = - 2 e ~ ^ ( - f x + \ )/ "+‘ = -2[e~J"+{ (V«TT + 1) - e"7"( +

1)]

sr--‘

e wTí/.v = - 2 y ; e- ^ ( ^ ¡ + I + l ) - ^ ( ^ + l)]

Estudiar la serie n=1

(4/7 - l)(w +15 )

H=l

Ahora calculamos la sucesión {.Sn Solución

mediante la regla Telescópica.

, la sucesión de las sumas parciales

144


.9,, = - 2 2 ( / (O - / ( < - D ) = - 2 ( / ( « ) - / ( O ) ) , donde: /=!


( 8)

145

00 Analizar la serie ^ ^ „=i «2 log (l + —) n

/ ( í ) = e ^ ( ^ + T+ l) => r ( í - l ) = e“V7(V7 + l)

Solución

n 1 1 Como an = — < —- , V n > 1 y adem ás »Jiog(i+-) n

s n = - 2 ^ [ e ~ ' IJ7[ (vTTÍ +1) - e ^ (4 ¡ + DJ - 2[e “'/^ 1( / i 7 + \ +1 ) - e~' 2 ] /=! De donde: s„ = 4e

,

-

2(V^7l + 1)

/

V""' 1 —— es con ver gen te, ti" '

entonces por la parte (i) del teorema 2,7.1 se concluye que la serie 00 1 es convergente. )í=i n2 log(l + - )

y . como lim sn = 4e n->ce

- =>- V / Ir.-n. e ' d x , es convergente y su suma es: Xw

CC

©

7+1• r

?r

e

Determinar que la convergencia ó divergencia de la serie infinita ^ ^ -2

dx = 4e~'

Solución

W =1

(7 )

1 1 V"-' 1 Se sabe que, V n > 2, se cumple Ln(n) < n de donde — < ------ - y como > — n ln(n) ln(w) ' *—d n

00 Analizar la serie ^ '

i+//=1 ft n

11=2

es divergente entonces por la parte (ii) del teorema 2.7.1 se concluye que la

Solución

Como

, 1 an = -—1 - = ----»1 —= bn, entonces í+I I « n « nn n

(serie armónica),

ln(«)

lim — = lim ~

serie 'V'' —— , es divergente. L a iln(«) ln(»)

v / 1 — • divergente j1 es una serie <« «=i

= 1 > O, y de acuerdo a la parte i) del

n=2

©

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie infinita ^ =1

CO teorema 2.7.2. resulta que la serie ^ ' ----- ¡-, es divergente. n=\ ,, ii

sfñ + 3 — n3

Solución V n > l , s e c u m p l e -Jñ +

3<4yfñ, ahora multiplicamos por

— «3

se tiene:

146

Ed ua rd o Es pi no za R am os

V«+3,4 yfñ n3

4

" n3

n5/3

Se rie s I nf in it as

■X

y como

- Ín=\4 >

—— es con ver gen te, ento nce s por la parte n513 n=1

Z

(i) del teorema 2.7 se concluy e que la serie infinita

^ es convergente.

Determinar

la

convergencia

o

divergencia

de

la

serie

s er ie ^ \ - l )" ( 3 ~ /' + 4 ~")2 es convergente, adem ás su suma es: 1 11 =

infinita

_i

2 + sen 3(n + 1) r\H . 3 2 +n n=1

V n =\

Solución V « e Z +, se cumple

n=\

sus series geométricas son convergentes puesto que ¡r | < 1 , por lo tanto; la 00

n=1 1 IJ

147

-1 < se n 3(n +1) < 1

_JL

_1

(-1 )" (3 ‘ " + 4 -")2 = ------ 5___ + ------ [6----- f ----- Í 2 _ i_(__L)

i_(__L)

9 16 12 1 1 1 691 10

17

13

221 0

1< 2 + sen3{n + 1) < 3

oc

Z

„ 2 + sen3(n + \) 3 3 0 < ------------------------------i - — < -2 ” + / 73 2" + n 2" 3 —

'(-1)"(3~" + 4 ~")2 =■ 691

2210

< —

1 es con ver gen te (ser ie geo mét ric a /• = —< 1 ), entonces por la

oc

(o )

Analizar la convergencia ó la divergencia de la serie n=1

n=1 ~

, -n j , , • X -12 + sen' (n + 1) parte (i) del teorema 2.7 .Í se concl uye que la serie > -------------- ----- , es ¿—¡ 7" + n3 n=1 convergente.

Solución

-

00

( 12 )

Analizar la convergencia ó divergencia de la serie ^ (- l) " ( 3 -" + 4 -'!)2 n=\ Solución

^ ( - l ) n( e 6- 3" . 5 ^ 2n) = ^ ( - l ) ne 6 .e -3n. 54. 5~2'' n=1

7i=l x>

= 625e6

00

( - i ) " ( e" 3. 5 2 )" = 62 .5 e6 ^ 11= 11

Se tiene una serie geométrica donde r = — ~ 25 e convergente donde su suma es dado por:

;/=l.

( ------ L - ) « 25 e

< 1, y por lo tanto; la serie es


---------

X

y (- 1 )“ (e6“3",54-2") = 625
(-1) " (e 6-3''.54~2"): «=1

1 25e3

-

(

12 ( — — )

= - -25<' 25e +1

625e6 25
149


1000

12 _ 4 9 99 “ 3 33

1 —

333

1000

©

Se deja caer una pelota desde una altura de 20 mts. cada vez que toca el suelo 3 rebota hasta “ de su altura máxima anterior. Encuentre la distancia total que

Determinar la convergencia de: 0.535353...

viaja la pelota antes de llegar a reposo.

Solución

Solución

Sea A = 0.535353..., se puede escribir: A = 0. 53 + 0 .0 0 53 + 0 .0 00 0 53 + ... = — + - 1 L + J ! L + 100 100 - 1003 de donde r = - - - < 1 ; por lo tanto la serie es convergente y su suma es:

La distancia que recorre la pelota representaremos mediante la serie infinita.

53(— ) 1

1 100

99

20 + 2 ( ~ ) ( 20 ) + 2 ( ^ ) 2( 20 ) +... + 2 ( 2 )" 20 +...

Determinar la convergencia de 0.012012012...

La serie geométrica es convergente y su suma es:

Solución

3 20 + 4 0 (- -~ -) = 20 + 40(3) = 140 mts !_ £ 4

Sea A = 0.0 1201 201 2..., se puede escribir: A = 0.0 12 + 0.0 00 01 2 + 0 .0 00 00 01 2 + . . . = — - + — H— ! 2 _ + ... 1000 100 02 10003 (T7 )

Determinar la convergencia o divergencia de la serie ^ n=1

de donde r = ------- < 1 ; por lo tanto la serie es convergente y su suma es: 1000

Solución

— 1 + se«2(«3)


150


151 Solución

V n > 1, se cumple que: 0 < sen2(n2) < 1, entonces' ^

2 " - 1 < 2” - 1 + sen 2 ( 1 1 s ) < 2" , por lo tanto

Como

0 < 2" -1 + sen2 (n3) < 2” , V n > 1, entonces:

0 < ----------------r T < - , 2 " - l + W ( « J) 2 "

c>

es convergente, entonces por la parte (i) del teorema (2.7.1 )

\

7 — r— — es convergente. L a 2" - \ + se n {n )

Como

1

n~ +1

n +1

1

n

^

n\

es convergente.

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ) —= = ¿»=i - » V ___ 2 n+ 1 Solución

n=\ /= l

n=\ /7=lA

|sen(«)¡ 1 v-i 1 i ' ... , , j----- 1 < — y / — , es convergente entonces por la parte (i) del n +1 n ¿—i n n=i

Z n=l

X

1 1 Como an = —= = .■ ~ —, entonces tomo V 2w+ 1 n

=>

V -' 1 7 — que es una serie divergente in n=\

entonces por la parte (ii) del teorema 2.7.2, 'X

|sen(«)| —- —— es conv erg ente .

d yi l i m— = lim — -------- = 4-nn y «->®V2 n + l

oc

.... = es una serie divergente. - es divergente se concluye que / n jLa j2n + \ «=1 «=1

Z

+I

.

X X

(HT)

la serie

X

(20 j W

Solución |sen(«)|

X

¿—¿{ n + 2)\ n=I

[sen(»)| se Detenninar la convergencia ó divergencia de la serie y ^ — 2+l

Como a„

2 ci n k = lim — = lim ------------------= l > 0 , «-»<» bn n->« (n + l)(w + 2 )

entonces , por la parte (i) del teorema (2.7.2) se concluye que

00

concluimos que la serie

es decir:

X

Aplicando el teorema (2.7.2 ) se tiene:

n=1

1 > —- , L u n2 n=\

V 1 y — es una sene geometrica. 11=l

oo

C° mo

n! 1 1 a = ---------- = -------------------* — , tomam os (n + 2)! (n + \)(n + 2) „2

n\ Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^ ^ (« + 2)1 =i

(2?)

Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^

*

Ed ua rd o Es pin oz a Ru mo s

152

Se ri es Inf in it as

153

Ahora aplicando el criterio de la razón se tiene:

Solución

Cl

Como a = ^ , tomemos bn = —r , es decir: N ' — 2" «" n=\ n~ ,

an

/?2 ln(”) -----

r,

, es una serit

lim — = lim ----= U< 1 y / e: n-> x h/) /i—>x 2 2" ” 5 ,,->x « n «=1 convergente entonces por la parte (i) del teorema 2.7.2 se concluye que la serie convergente,

Y

entonces,

' J j j

XT ™ 1 10 2" > ----------Z - i ( 2/ i - l ) !

es

h= i

convergente.

Z

ln(n) — es conv erg ent e.

n=i

^T )

í

parte (i) del teorema (2.7.3) se concluye que la serie

—'

i

iq2//+2

k = lim — +' = lim —— --------------------------------------------------------------- = 100 li m --= «->* a„ »->x 10 ,( 2 n + l)! «->*.2 /; + l

3"n ! -——- es conv erge nte o divergente.

n=1 n

ln(n) Determinar la convergencia ó divergencia de la serie ^ .. +2 «=i Solución

Solución „ 3"«! Lomo a - — — n"

ln(n) 1 , . 'ST' 1 Como a n = — - ----- , tomemos bn = — , es decir: y — es convergente. y, “ i O _ Lmmmd w" + 2 - _ „ 2

3"+l(n +1)! , , , a +, = ------------- —; ahora apli cand o el crite rio de la razón (/í + l) n+l

z. ,• a»+i 3"+ .(/; +1)! .«" « k = lim = lim ------ ^------ ----- = 3 lim (------ ) «-»«: a„ 3”.«! .(// + !) »-»» « + 1

«- 1

3

Ahora aplicamos el teorema 2.7.2 es decir:

« 2 ln(n) „ . lim —- = lim — - — - U< l y

h->x

(i->x

1 como 2 ?~ — - j- es con convergente ver gen te se co concluye ncl uye que que la ia se sene ne

:3 lim[(1H----- L)-("+l>]-"("+l>= 2e~l = - > 1 »->*> /?+ 1 e

n- + 2

ln(/;) V -1 ln( f/ — —-j-----//=!

es

Z

convergente.

H=1

^ | q 2/j Determinar si la serie / ----------- es convergente o divergente. Z—i( 2 « - l ) ! n=1 Solución

divergente. OC

25^


” ->----- ¡~ es convergente o divergente. Solución

3" 3''/;! ----- es n"


154


155

n\ _____ (n + iy. Como a„ = ■; . a plic and o el crite rio de ----- — => «,,+i = . , 1 1.3.5...( 2/1 + 1) ""1.3.5...( 2/ 1 - 1) ^ a"+'

Solución arctg(n) arctgx Sea a = — --------= f ( n ) => f ( x ) = — -------- entonces:

la razón se tiene:

n2+ 1

lim C - ^ ~ = lim - - --- = —*> an «-><*> 2/1 + 1 2 X

Z

f J

.y2 +1

- lim f " S i í d x - lim s s i / * *-*» J x" + 1 *->* 2 ' 1

a" +1

/i! --------------------es convergente.

n=I 1.3.5.

_

..(2/1-1)

X

Determinar si la serie > ---------------------- 7 es convergente o divergente. ü¡-J/( (n + IVlnÍM + n i/?=! « + l)(ln(n + l))"

arctg -(b)

arctg~(\)

2

2

n-

~ 8

n" _7>n

32 ~~32~

entonces la integral impropia es convergente, por lo tanto la serie

Solución

\

X

1 arctg(n)

n=1

Sea a „ = ----------- ?----------r = / ( « ) => / ( * ) = (n + l)(ln(/i + l))~ (.v + l)ln '(.v + l) s)

n~ +1

es convergente.

Determinar si la serie N ' --------—

es convergente.

r ______ * ______ « I t a f ---------- ^ ---------= l im - -------- i — / ‘ J (x + l)l n !( x+ l) *~>JI (* '+l)ln !(jr + l) f"*® ln(.v + l) ' I Solución = lim( ----- ---- 1 _) = _ ( 0 - - — ) = —— ln(/j + 1) ln 2 ln 2 ln 2

r

dx

1

(jc + l)ln (jt + 1)

ln 2

Luego la serie n=1 (2?)

, es convergente entonces: s:

---------------------- 7 es convergente. (n + l)(ln(/i + 1))'

oo Determinar si la serie ^

Sea a = -------^ = f ( n ) => f ( x ) = --------\ rW»Ylln<») /WvA\M*) [ln(/i)] (ln(x))

es convergente.

r dx J r e ' dy j j 1 ¡— d x = I —— , de donde:

J

(lnx)

j

\nt yv

y = In x => x = e y => dx = e vdy 00

E

, — es con ver gen te, por el crite rio de la raz ón n


156


157

lim a"+] = O< 1 , la serie convergente, luego por el criterio de la integral

Si ^

r ey r dx r ey , : — d y , es convergente y como: I --------r r = I — í/v , se tiene que. y y y A (ln.r) A /

Si — < 1 => p < 2 => la serie diverge , si p < 2

e s co n ve rg e nt e, p o r lo t an to l a se ri e ' S ' --------- ¡-7 — “ ^ [ ln ( « ) ]

p > 2 => la serie converg e, si p > 2

p

0)

f — — h ( ln x )

^

es

Verificar que la serie ^ 4 ñ(sjn (' + 2 - V « 6 + 1 ), conveige. »=1 Solución

convergente. TC

Pruébese que 1

n=1

(1-2 ^ " ^ - - —11 2.4.6 ...(2w)

Sea a

converge para p > 2 y diverge para p < 2.

^

.. V» .

1

«3

n¿

v « 6 + 2 - V « 6 + 1

Solución

Luego f>n = — «2

Aplicaremos el criterio de la razón: •

I

es una serie convergente, ahora aplicam os el »=1 „2

criterio de comparación por límite. 1.3.5...(2 n -l) p 2 A Z M ' =>

Sta

1.3.5...(2n + l) ,, 2.4.6...(2n + 2) l i m «-**

A: = lim

»->» an

4 = l i m »-»x

^ L 1

^ ) = lim. „ _ > x

= lim (—ÍÜ l- )/’ = 1, no hay informa ción

1

^

-(•y/«6 +2 +yjnb + 1)

»-*«■ 2« + 2

Ahora aplicaremos el criterio de Raabe. 1-

lím «( 1 - ^ ^ - ) = li m « ( l - ( /í—>oc Cl^ n —

1 1 „ = lim ..... .......-... ... = - > 0 "->x , 2 [ 1 2

h'- ,r r 7

(.% ± V

W+- ) /’ ) ~ *‘m ------ +~~— + 2 w—

Por lo tanto ^ Vw(V /;6 + 2 - 4 7 + 1) es convergente. «=i

= Um 2M _ ! ! _ ) i ( Í Í L t V , £

«-»x

2» + 2

2n + 2

Y de acuerdo al criterio de Raabe se dice que:

2 P l) ^

Estudiar la serie — ¡— + —!— + —!— + 2 1n 2 31 n3 4 1n 4


158


159

Solución 1 1 4 ----- + —— + --------- + ...

21n2

31n3

41n4

X

^3)

x Y - ; n=2

«2

»=1

¿-Jnlnn

Solución

Sea f ( x ) = — — , f cont inua V x > 2 , apli cand o e l crite rio de la integral x ln .t

f

Analizar la convergencia o divergencia de la serie y

- ^ — = ln(ln x) / ^= ln(ln(+oo)) - ln(ln 2 ) = +co , entonces x ln x '2

? 5 + ( -2 ) " Sea an = «"(------------ )" , aplicando el criterio de la raíz tenemos.

k = lim n —>x

= üm i! n2(——- ~ —)" /?— >x

X‘

f

dx - es divergente, por lo tanto la serie x l n x

—-— es divergente. ¿ -J nln n n=2 x^ 1

+1

Analizar la convergencia o divergencia de la serie

5 ( 2) /; 5 £ = //->x lim (\/tf)2(—+ —- — ) = — ± (oscila), entonces se tiene: 9 9 9 qc X

Z n=i

2 «" (-------------)" es divergente . 9

Solución l « + lx 1 , 7t. 1 n = —sen(x + —) = — sen — a„ = (-)sen ( - — " n n n n n n Para analizar la convergencia o divergencia de la serie usamos el criterio de

Analizar la convergencia o divergencia de la serie converge calcular su suma. Solución

comparación por límites, es decir: X

Sea b„ = -A r de donde n2

7 ~ es convergente. n=I n2

y V x sen(-) — seny—) 'ST^ hrn — = l im— -------- — = lim — se n — = 1 > 0 y como la serie 7 kn , es n — >x b n — >x -7Tw->x/7 w=1 1

X^

conv ergen te ento nces la serie

y* — — y si ¿ - ? n 2 (n + 2 )2 ' n —I

^ ^

)se «[(———)^r] es conve rgente .

oSea a„ = - n + 1 « _1 n (n + 2) n

, 1= — => sea b„ n

n+1 „3

r an ,■ « (w+ 2 ) n (n + 1) , „ v -' 1 lim — = lim ------- ------- = lim — -----------—= 1 > 0 y como 7 —- , es «->00 | "->«‘n (n + 2) ¿- J n3 n3 convergente entonces por la parte (i) del teorema ( 2 .7 .2 ) se concluye que

Zn=|

n + l

« 2(« (n + 2)2 2Y

es convergente.


160


161

Ahora hallamos su suma

"

Solución

/i + l

4w + 4

(w2 + 4 n + 4 ) - / r

m2(« + 2)

4n (n + 2)

4n~(n + 2 y

Como n/3 + ( -1 ) " = V 3 + 1 => 7 3 + ( - 1 ) " < 7 3 + 1 , V n e Z + =>

a"

1 .1 4 «2

1 v ( « + 2 )2

1f 1 4 (« + 2 )2

[ 7 3 + ( - 1)"]" <(7 3 + 1)" '=> ” "U)(7 3 + (- !) " )" ^ ai2(,0(7 3 + 1)"

6

1X «2

Calculamos la sucesión de las sumas parciales, para esto aplicamos la segunda

Esdecir:

+ W .

6"

6

"

y „

"

z+

6"

regla telescópica. Ahora analizaremos la serie > s = - I V (— -—- - - ) = - —[ / ( « + 1) + / ( « ) - / ( l ) ~ / ( O ) ] , donde: 4 - 6 - f (i + 2 ) i 4 M=1

" decir: i = li„ f c ,= ,¡m . E Z H „->x

o + 2 r

o + i)

»->* )/

> , ^ ± !

6»

luego por el criterio de comparación la serie

i i i L _ U - ± _ L ___ I ___ | 1 ) 4 (/ í + 2 )2 + (n + 1)2 4 16 4 (n + 2)2 ( « + 1)2

I í

« £ ,» > = V j± I „_>*

^

X~~*^ „ 200/ /T _j_/ _ i y/ y/ / ------ —— —— ^ 66 " " /;=!

es

1 ^ 3 Determinar si la serie: —+ (—)" + (—)3 +... + ( -------- )"" 1 +... es convergente o 2 3 8 3« -1 divergente.

5 1r 1 1 i 5 Iim 5,, = lim ---------[---------- - + ---------t J - 77 //->» w->xl6 4 (/; + 2)~ (« + !)“ 16 w+ 1

6

„ 73 + 1 v ^1 //200(73 + n" Lomo A:— — < 1, entonces la serie y — --------------- , es convergente, n=i

/ ( « + !) = ----- ^ - 7 = > / ( « ) = -----=> / ( 1) = ^ => f( 0 ) = l (« + 2 ) (n + 1) 4

■S"

i'\f3 ~l"1V* ------ L _ _ L >por el criterio de la raíz, es

Solución

.. 5 •= lim s„ = —

(« + 2 )¿

La serie dada se puede escribir en la forma: X

Estudiar la convergenc ia o diverg encia de la serie n=\

« 200( V 3 + ( - i y T 6"

X

Z

(~ r)2” ' donde an = ( - ----- , ahora aplicamos el criterio de la raíz. in - 1 3;; --1


162

A- = lim s f a i = lim »/(—^—)" = lim — „->*3/7-1 it~—>oo n— >x a/ 3 ,j_ i

Z «-i

7)


163

= - ( / ( « ) - / ( O )) = - ( -------- - - L )

7 < 1 , entonces la serie 3

(n + l)V« + 2

1 1 sn ~ ~ r -------------7 = V2 (« + l)V« + 2

(—- —)" es convergente. 3 n -1 3« -l

3n 2 +5n + 2

1 => hm í = — y= V2 »-»«

y ___ _

________ _

Estudiar

y

X

Calcular la suma de la serie

V2

1

„=1 n(« + l)7 «2 +3« + 2[(w + l)V« + 2 + W/7 + 1]

V2

~ f n {n +1 )\ ln 2 + 7>n+ 2[(n +1 )\ln + 2 + n-Jn +1] Solución

Para calcular la suma de la serie, tratamos de simplificar el n-ésimo término de

la

serie

en

caso

de

convergencia

calcular

su

suma

Y * l n ( l+ ----- í ----- ) n(n + n- 1

Solución

la serie, esto es:

Primero analizaremos si la serie es convergente y para esto aplicaremos el a., =•

3« +5/J + 2 «(« + \)y¡

criterio de comparación por límites.

+3n + 2 [(w + 1)V« + 2 + n-Jn +1 ] Sea an = ln(l + — ----- —) » ----------- = bn => S * ------ í ----- , que es una serie n(n + 2) n(n + 2) L a n (n + 2) n- 1 convergente.

(3/?2+5/7 + 2)[(w+1 )V» + 2 - Wñ+T] m(íj + l)\ln2 + 3« + 2[(n + 1)2(« + 2) - n2(« +1)]

(n + l)(3i» + 2)

__ 1_________1

(n + l)(3« + 2) n\¡n + 1

y a, =y n=l

(« + l)V n + 2

> ----- '

n^Jn + 1

n=l

»_____________ 1

(« f l)V/7 + 2

ny¡n + 1

(« + l)V« + 2

)

ln(l + ----- !----- ) lim — = lim -------- = lim n{n + 2 ) ln(l + -------------------í ----- ) »->« 1 »-»« n(n + 2) n(ri+2) = lim ln(l + ----- !----- )"("+2) = ln e = 1 > 0 «->« n(n + 2)

Ahora calculamos la sucesión de las sumas parciales. Z

/=!

I

1

S‘>/í+1 (í +1)>/»+ 2

V~^

1__________ 1

^

“/=‘é (Í+\)yJi +2 iyjí +1

Y como V ----- !----- es convergente => y ln(ln-------!-----) es una serie L a n ( n + 2) La n(n + 2) n=1 n=\

convergente.

164

Ed ua rd o Es pi no za R am os


Ahora calculamos su suma:

165 Yl +

l n2 +2n + \ 0 + 1)2 x ---------- ) a„ = ln(l + ----------- ) = ln ---------------= ln(— n(n + 2) n(n + 2 ) «(« + 2 )

oc

Z

«„ = ln(« + 1)2 - ln(«) - ln(n(n + 2 ))

n=I

an = 21 n(« + l)-ln(w )-ln(« + 2 ) Ahora calculamos el término n-ésimo de lasucesión de las sumas parciales, es decir:

1

s„ = ln 2 + ln(------- ) de donde lim sn = ln 2 n + 2 »->«

(39^

ln(l + ----- í ----- ) = ln 2 n(n + 2 )

\ p h 600 ( 2 + ( - i ) " ) " Estudiar la siguien te serie y ------------ -----------9" n=1 Solución

s„ = ax+ a 2 +... + a„ V n e Z +, 2 + ( - l) n <3

=> (2 + (-l)" )" < 3"

a l = 2 ln 2 - ln 1- ln 3 a 2 = 2 ln 3 - ln 2 - ln 4

^ ^ ° ° ( 2 + ( - l ) ” ) ” ^ 3 V 00 = m600( K„ 9"

9"

3

a 3 = 2 ln 4 - ln 3 - ln 5 a 4 = 2 1 n 5 - l n 4 - l n 6 a5 = 2 ln 6 - ln 5 - ln 7

V '' « 60° Ahora analizamos la serie —— , por el criterio de la raíz. n=i „600 1 1 m600 k =■lim a. ----- = —lim (%/«)600 = —< 1 => la serie N —— es convergente, , h » V 3" 3»-*» y 3 1 3" »=i -

a„_3 = 2 ln(« - 2) - ln(« - 3) - ln(/i -1) an_2 = 2 ln(« - 1) - ln(« - 2 ) - ln(n)

y por el criterio de comparación la sene

Analizar la serie

sn = a, + a 2 + ... + a„ = ln 2 *l-ln(n + l) -l n (« + 2 )

^

convergente.

an_x = 21 n « - l n ( « - l ) - l n ( « + l ) a n = 2 ln(« + 1) - ln n - ln(n + 2 )

)"

,/’00(2 + (-l)" > ------------ -------- — , es tamb ién /;=!

2 " + «2 + « > — ----------- r y si converge halle la suma. Z - J n ( n + 1) 2"+1 /;=!

Solución


166

Z

2" + n 2 + n 1X'' 1 , 1NT J_ n(n + n 2^ " 2 2 L n(n + 1) 2 2" n=\ K n=1 «=1

Como n + 1 > n =>

2 ' 1 1 n(n +1) > n2 => —- — < —r > V « e Z /?(// + 1) n~

Como la serie

“7 es convergente, entonces la serie

^ ,,= i

2


167

¿Para qué valores de “s” converge y para cuales diverge la serie

Z

' rL 3 .5 .7 .. .( 2n -l )lS „ . . . . . . . 2 4 6 8 ('>«) justificando con los criterios ya conocidos. 2.4.6.8...(2n) //=1 Solución

„ ^ ñ ’ CS

Para determinar los valores de s para la convergencia o divergencia, aplicaremos el criterio de la razón.

" =1

oc

convergente. La serie ^

^

es convergente por ser serie geométrica con

a _ r 1 3 5-7 -( 2w -l )iy " 2.4.6.8...(2«) J ~

"+l

_ r l.3.5.7...(2/7 + 1)-,, 2.4.6.8...(2n + 2)

/;=1

r = - < 1 como la suma e las series son convergentes, entonces la serie dada 2 ’ es convergente.

r 1.3.5.7...(2i? + 1)^ »->» an

Ahora calculamos la suma de cada una de las series: 00

/ j n i n 4-H n=1

„

30

Z -i n n=I

.

,

i n + 1 n »=>

n +1

» 1 Sea s „ = Y (— - - ) = - ( /( « ) - /( 0 ) ) = - (— r -1 ) Z - j i +1 i n + { /=! ce

s = 1 + ----- 1 _ ;=> Jim s = 1 de donde N — ----- — = hm s„ = 1 " Z - í /j ( « + 1) n+l n->* " ‘W =1

;; =

n +r 2n + 2

entonces no podemos afirmar nada, en este caso aplicamos el criterio de RAAB E, para lo cual hacemos. -+- I \5 \£ an+1 _ 1 . / ÁKl 2n +1 1 =::> —~ ) ~ -----------7 » entonces: «„ a +\ K2n + 2' a + 1 a ( 2« + l)'^ + ( 2 n + l)i = ( 2 n + 2 ) s => a = ( — ■2 ) s - l 2/7 + 1

na = n( 1+— !— Vs - n V

Además sabemos que :

2/7 + 1

= 2 ( - ) = 1. 1_2

/?ar = « [ i + s( — !— )

2n + l

+

2!

(

— !— ) + + ____ !____i _ „

(2« +1)2

n í(í-I) n na = n + s -------- + — ----------------------+ 2/7 + 1 2! (2/7 + 1)2

(2/7+ 1)5

n h----------------- n (2/7+ 1)5


168

S

lim (na) = —, /;—>cc 2

S

laserie converge si —>1 => s > 2y diverge 2

por lo tanto la serie dada conve rge, si s > 2 ydiverge,


169

5

(-I)"« 2"

—< 1 => s < 2 , 2

si s <

2.

2 "(« + l) „+1 1 _ |im — ^ — _ ]im — = — < 1 es decir k < 1 y de acuerdo 2 « «->* 2 « 2

A= lim /> — > X

62) ^

Analizar la serie ^ ----- '— r , donde “k” es una constante. t f ( l o g n )*

a la parte (i) del criterio de la razón para series alternadas se concluye que la serie alternada / / -! )” ~ «=1

Solución Hacem os log« =

=> 10" = « => 10" k = n k

sene W=I

Si k > 0 => —= log«' k

11

=>

, es absolutamente convergente y por lo tanto la

' ( - 1)"« es convergente. 2"

= Alog«' A. CO

i l Sabemos que: logn <« , V« > 2 => log«* <«* 1 log(«)
( - 1)"+1(« + 1) , “«+i = ------ 7^ ------- , luego

1 1 1 => A:log«* < kn k = > u< kn k

1 1 1 u < k n k < k n k => log(n) < kn k => (log n )k < k kn

1 1 . Como -i es divergente, entonces: — 1 , (« + \) e

de acuerdo a la parte a (ii) del criterio X

°°

Z /»=!

X° ^ 1 . 7 --------- 7-, es divergente V k > 0. ¿ - ^ ( lo g n ) n=2

- í - , diverge V k > 0. A«

de la razón, se concluye que la serie y * -- ^ !' es divergente. «=1

( - D "+l«2

Determinar si la serie alternada Í 3 )

Determinar si la serie alternada

^ (-1)" — 11=1

condicionalmente convergente. Solución

es convergente, divergente o

/;=! condicionalmente convergente. Solución Aplicando el teorema 2.8.2 se tiene:

+2

es convergente, divergente o


170 oc

X

(-l)"+1/72 «=i /73+2

Z

00

- — , de donde: por el criterio de la integral la serie: n} + 2

es dive rge nte, por lo tanto la seri e

Z

x 2 / ( - 1)" —:-------, no es n +2 »=1

absolutamente convergente.

(4?)

Determina r si

y además

4 1 n~ lima„ = lim —r= 0. «-»» „3 + 2

Luego la serie

/

? 'STA (-1)” —:— , ' /? + 1 n=1

j

( ------- “)" >de donde de acuerdo al criterio de la Z -u 3/7 + 1

( ~ 0 " ( t ----- != 3w +1

n =I

X

7 ( -------- ) ” e s convergente, luego la serie 3« +1 n=1

es

alternada ^ ' (~ 0 "( ~ ------ ) ” >es absolutamente convergente y por lo tanto la n =l

00

rc(ln( « ) ) 2

es convergente,

X

Determin ar si la serie alternada

(—l )"“1 — —— es con ver gen te ^ 7.9.11. ..(2/J + 5Ì b 7.9.11...(2«+ 5) //=1 divergente o condicionalmente convergente.

Solución De acuerdo al teorema 2.8.2 se tiene: 1

k/7+ 1

Z

F7(ln(n))J

—-— ) - - - -, de don de por el crite rio de la «(ln ( « ) ) 2 00

integral se tiene que la serie: / n =2

— — 5- es con verge nte, por lo tanto la /;(ln (/?))2

X

serie alternada

Z(-o

,«+1

----- -, es absolutamente convergente y desde («ln («))2

-

luego la serie es convergente.

conve rgent e,

serie alternada es convergente.

Determinar si la serie alternada ^~^ (- l) ' «=! divergente o condicionalmente convergente.

(-0

es

X

raíz se tiene que la serie:

condicionalmente convergente.

z n=2

3/7 + Y

De cuerdo al teorema 2.8.2 se tiene:

n= 1

n3+ 2

alternada

Solución

Z

(» + D 2 de donde: a n+] < f l w, V n > 1 a,i+\ = (n + 1)3 + 2

la serie

n=1 divergente o condicionalmente convergente.

00

Ahora aplicaremos el criterio de Leibniz, es decir: Como a„ =

171

2

oo

2 —— ¿+ 2 n=1


Solución Aplicando el criterio de la razón se tiene: »„ = ( - 1)'"'

- (3” ~ 2) => 1/ +1 = ( - 1)" 1A 7 - (3/? + 1) , luego 7.9.11...(2/7 + 5) ,,+l 7.9.11...(2/7 + 7) 3/7 + 1 3 , , 3 : ‘im ~ ------- = —> 1 , como k - —> 1 , de acuerdo a la parte a „->«2/7 + 7 2 2

A: = lim

/7+1

(ii)

criterio

w->x

del

de

la

V ( - i )'-1J . - f 7 -(3 » + l)

«=1

7.9.11...(2/7+ 7)

razón

se

es diver

concluye

que

la

serie

alternada

Ed ua rd o Es pi no za Ra m os Determinar la convergencia o I 2 ^ ' n 2(en +
de

la

serie

173

Ahora calculaiemos la suma de la serie. 3n

In=\'

an= n~2(e"+ e ” +. . . + e " ) , y tomemo s la serie 1

Sea

divergencia


[|eos3^+21] tl» sf +2|] [|cosf+2[] D « .f+2|]

3"

3

2

32

+

33

+

?

2,71 [ |c o s — + 2 |] [r |ic _o_ s — + 2-i|] n[ | c o s3;r - ^ + 2 |] --------- -r ---------+ ---------- 2--------- , ----------- 7 ______ 35 36 37 ,

que es n = 1

+

/í = l

divergente (serie armónica), ahora aplicamos el criterio de comparación por limite.

i l i

3;r

.

-

3 + 3 2 + 33 + 3 4 + 35 + 7 + F + 7 + '“ 1 1 ] lim — =l im - ( e" +e" +.. . + OC t )

n - > Q C n

\ - r1 e" =e'dx = e - 1 > 0 n -¥ t i

11

[|cos ^ + 2 [] 3"

X

y

48

«

2

L m m J J )

n= \

como \

'— ¿—t n

esdivergente,

se

concluye

que

la

2

3 6 + 37 + 3 8 + ...... ^

serie:

n=\

1

243

243 + ¿ ^ 3" Z T 3

Z

_ 2 . j L = i _ _ 3" , 2 3 5 ~ 32 “ 16 w=6 I --------3

n

r¡2 (en +e" +... + e") es divergente. n=1 ([| eos + 2 1] Analizar•si ¡ la serie > --------- ---------- es convergente. 3" ¿—i

reemplazando ( 2 ) en (1 ) ,

(2 )

- [ |c o s — + 2 |] > --------- H ----------- = — _ + —- = 3" 243 16 3888 /J=l

n=l

Solución [ | e o s— + 2 1]

Sea an = ------ ------------- = ---------- — — y como

serie

2.10. EJERCICIOS PROPUESTOS.Hallar la suma de las series infinitas en caso de ser convergente.

2 + [| c o s — |] 3

* 7 = *» => ¿ - F “ COnVergente «=i

< bn entonces por el criterio de comparación se concluye que la ” [ | c o s — + 2 |] --------- ”---------, es convergente.

~ 0)

X

^

Z ( 2 / í - l ) ( 2 n + l)

Rpt3 ' 2

©

2 ( 4 « -3 )(4 « + l) n=1

Rpta‘ 4


174

\¡n + \ - n ©

z «=I


© Z;

Rpta. 1

\ J n '1 + /7

2"~'

(n 2 -2n + 2){n2 + 1)

/l=l X

©

( 4 r ------- W ) V (n + l f

z n= 1

h(ü±l) n

oo

© In-2 ln(/7).ln(n + l)

-

©Z

R pt a. 1 ,P > 0

W=1

Rpta.

(n + l)(n + 2)(n + 3)

X

ln 2

©

7/? + 3 z n(« + l)(« + 3) W — 1

x

© Z n=2

— 1— «2-l

Rp ta . — 4

X

©

z (2n + l)(2/i + 3)(2n + 5) «=1

X

© Z w= 0

1 (/j + 2 )( 2 w+ 2 )

Rpta. — 2

2w + l

W =l

n(n + 2)(« + 4)

X

©

2/7 + 1 z n2(r: + 1) n=1

Rpta. 1

X

4n - 3

© Zw=3 («^—2)(« + 3)/

í

oo ©

z ln(«)"-0 n(n + l) ”+') n=2 x

®Z

2 // + 1

2/7 + 3

© Z (/7—l)(/7+2)/7

Rpta. . 21n2

n=2

X

Rpta. 1 ©

/;=! n2(« + l )2

z n=0n

3"+4" 5"

x

©Z

* n(n + !)(« + 2)

Rpta. — 4

© Z 2'"’ 3"


176 25

6

© Ite'ióF» n=3 @ Épr

,

2150

Rp,a'

■»

Rp,a- I

n =3

© tn=1r f -

1

© 1w=l ^ . -

R>* i

OC

© ^ ( r "+r"> «=i

© í^ n=\ 00

(2?)

Rpta- 2

© ©

4^ , ,, n _jl_ [ 5e/ (---- + 3 1 V --------- ^ 4" n=l

© ^í„=-1' (— ■ 4« + (4« + l)¿- 4 ^ '(e w=l

©Z ©

Rpta. — 12

,n Rpta. « : 2 +1

Rpta' 12

00

«=1

n= l

R pta . sen j

Rpta- f

;;=1

1 RPta- e -1

177

y c a g w l-jg /i-i- ) «=1

Rp- -!

® [| e o s — + 1 |] __ « _ ____ z 2”

(29) y * ________ !------------¿-u {n + l)(w + 2)(w + 3) W =1

(3 0)

2

«=1

©


+ e” )

«(w + 1)

3« -1 /¡(/7+ l)(« + 2)

2 ^ ( - 0 ' ' e 2"3"34^2" >1=1

(38) y

«=1

Rpta. Divergente

2n (w + 1)(/7 + 2)( « + 3)

5

Rpta.


178

Se ríe s In fin it as (4 ^

39)

Y — ------------------------------- i (n + x)(n + x + \)(n + x + 2) «=i

Kpta.

179

¿Cuál es la distancia total que recorre una pelota de tenis antes de llegar al reposo si se deja caer desde una altura de 100 m y si, después de cada

2(x + l)(x + 2 )

caída, rebota hasta — de la distancia desde el cual cayo? * 20 (40)

----

!-------------

¿-^(x + n-\)( x + n)(x + n + \ ) /!=1

Rpta . ------2 x(.\ + l)

^ 9 ) Un triángulo equilátero tiene catetos de 4 unidades de longitud, por lo tanto su perímetro es 12 unidades, otro triángulo equilátero se construye

X'

(4Í )

trazando segmentos de recta que pasan por los puntos medios de los

^ \ Tw + 2 - 2 7 « + ! + 7 w ) n=\

R pt a. 1 - 7 2

^ 2)

— +— +— + 1.2 2.3 3.4

Rpta. 1

^

- L + - L + — + ... + ---------- i----------+ ... 1.4 4.7 7.10 (3n -2)(3 w + l)

catetos del primer triángulo, éste triángulo ti£ne catetos de unidades de longitud y su perímetro es 6 unidades, si este procedimiento se puede repetir un número ilimitado de veces ¿Cuál es el perímetro total de todos

--------í ------------+ ... «(« + 1)

los triángulos que se forman? (5 ^

Rpt a. i 3

Después de que una mujer que anda en bicicleta retira los pies de los pedales, la rueda de freno gira 300 veces en los primeros 10 seg. luego en 4

cada período sucesivo de 10 seg. la rueda gira — partes de lo del primero 44)

7Í3

65)

^

— -t- + — 1 y fi .5 7(2« - 1X2»+ 1)

Y r - i v - r 2 "4 + 28w3 +150w2 + 364w.±3 37 ] in (rt++ 2)4(n 3) (« ++ 4)A 4)

n=l

Rpta. Divergente

anterior. Determinar el número de rotaciones de la rueda antes de detenerse la bicicleta.

Rpta

13

II.

Determinar la convergencia o divergencia de las series infinitas siguientes:

6

(46 ) Una pelota se deja caer una altura de 12 m cada vez que golpee el suelo salta a una altura de tres cuartos de distancia de la cual cayo. Encontrar la

(5i; > — n +n n=1 x

distancia total recorrido por la pelota antes de quedar en reposo. Se deja caer una pelota una altura de “a” metros, sobre un piso horizontal, cada vez que la pelota choca contra el suelo, después de caer desde una altura h rebota hasta alcanzar la altura rh, siendo r un número positivo menor que 1. Hállese la distancia total recorrido por la pelota.

R pta . C onve rge nte

(52) / ------¿ n + 5 n=1

®

ce V^ ieos n I / — -----n=\ n +n

Rpta. Divergente

Rpta . Convergente

180

Ed ua rd o Es pin oza Ru mo s

181

2

00

> — ---------1n3 + w +2

Rpta. Divergente

V ""1 Se«(«) + 1 > -------- — ----' tf n 3 +1 W =1

^ ^ Rpta. Convergente

(54)


*Jñ(n + 2\ n + \)

>7=1

55 J

00

f

nn —

ce

.

Z

Rpta. Divergente

©

x

'V - = = = = • ^n=2 V «3 1

Rpta. Divergente

(6 ? )

60)

\ —— —— n~\

Rpta. Convergente

©

«=i

Rpta. Converge

oo

59)

Z

'ST' 2 + 106se>/723« / ---------- r 1-------n~ n=\, sen(nO) / -----5 — n n=\

Rp ta. Con ver gen te

Rpta. Divergente

,

Rpta. Divergente

n-\

'ln(») ------nn

(S 8 r

see(«) e^-W) !

©

f—

y/n + 3 —p ----- — n=1 \ n n

Rpta. Convergente

(67J

/ /7= 1

Rp ta. Con ver gen te

2 — -------------------------------------------------------------------------------------------- Rpta.D n +100

00

^ — t= ^ = «=I w « 2 - i

n= 2

-------(/?- ln(«) v

R pt a. C on ve rg en te

Rpta. Convergente

’

ce . ■ ( ó l)

62j

) — n=1

Rpt a. Divergente

^ /?=!

Rpta. Divergente

©

y ^ ~ — ■— f

R pt a. D iv er ge nte

n=1 (ln(/?))" QC

' — y----

(71) /7=1

Rpta. Diverge

182


72)

y — -■=• 1i n + yjn n=i

@

R pt a.

D iv er ge

R pt a,

D iv er ge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

n=1

(74)

Y 1 ¿-ír+l /;=!

75}

-v « n=i

,76) )

---------------------------Z -r (w+ l)(« + 2)(n + 3) /?=!

( 77 )

y ^ ( —- e " )

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

00

R p ta . D iv er ge

n~\n

Rpta. Converge

00

(78)

Rpta. Converge /?=!

Rpta. Diverge

00

w

^n=i 2 ".«

Rpta. Converge

Rpta. Converge

00

—— n=1

Rp ta . Con ver ge

Rpta. Converge


184

9° )

n +10 n

n=\

® I/?=! S 92)

V ------ n + 2 «=1

93)

(94)

'(/7 + 2)V« + 3

QO Y ----------- 1 nln(n) + y¡\n}(n) 00 V*

, y-1 ■■■■=


185

RPta- DiverSe //=!

Rpta. Converge

© Z ^

Rpta. Converge

@ y ~

Rpta. Converge

/7=1

Rpta. Diverge

Rpta. Diverge

Rpta. Converge rt=l

Rpta. Converge

Rpta. Converge //=!

n=2

® nI=1 7 (n + 1)

Rpta. Converge

® t¡ r .+ 2

Rpta. Converge

Rp ta . Con ver ge

© In=1#

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

© Z ^f

Rpta. Converge

-

--------- —— 1---------

i ( m+ 1)( Z-Jí/7 lVnm+ 2(« 20? ++3)

n=l

M=1 OC

(97) v-'

--!----¿-J 12 2"- ‘(n + 4) 4) (n + W=1

/7=l

2 «-!

QO

®

y^ /gc -" ) 4 n=l

R p ta - c ° n ve rs e

©

z (n + l ) ( n - 2 ) A?=l

Rpta. Diverge


186

Rpta. Diverge


©

Rpta. Converge «=l

«=o

X

_ _ _

® í£

Rpta. Converge

187

(l^)

Rpta. Converge

'y \n e

n=i

oo

n +1 —r ^ = = w=/ yfn4 + n + 1

Z

© i£

Rpta. Diverge

© «=iI t£

Rpta. Diverge

© V_y È ¿ - J ( 2#n ) \ n- 1

Rpta. Converge

®

Rpta. Converge

*©

n=\

-

,

, n n l+ e o s (— ) , -------- --------

H=1 £

11=1. 2 "

Rp ta. Div er ge

V ( « + l)(rt + 2 ) / i— ;--- j-------n=]

Rpta. Converge

Rpta. Converge

Rpta- c °nverge

W=1 bo

© /i;=1 ;3

Rpta. Diverge

© í=^

Rpta. Converge

.

123/

v io / j~ ~

íi i

4~" n !

© Z n=n1 : 5.7.9...(2«-l) 00

W+ 1

Rpta. Converge ©

I , " n=l

Rpta. Converge

n= l

,

„=1 ( « + - ) n

Rpta. Converge


188 OC

®lik

189

2

«

------------i n\(n n\(n + + 1lV. ) n— \

Su ce si on es y S er ie s I nf in ita s

Rpt a. Conve rge

® Zn=I i2«

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

Rpta. Diverge

n=\

n=\

00 —

Rpta. Converge

U37)

n=1 OD

Z (130)

.

*» ------- —r « + i v ,+1

2 --- ----Z - i ( h + 1)! n- 1

Rpta. Converge

V - U n n-\

Rpta. Diverge

Rpta. Converge

(139)

y ---------- = = = = = ^ ( « + l)V ln (« + l )

R p ta . D iv er ge

Rpta. Converge

© È ; ln(«).ln(ln(/7))

Rpta. Diverge

oo

n=2

^

@

R pt a. C onverge «=i

1 3 4)

R pt a. C onv erg e

oo

© I «=1£5n"

(133 )

y — — -« 2 «=1

3 Y —- — iiln3ì" '(In 3)"

R p ta . C on verg e

2” ' y ----------i o( n(nn ++ 22 )

Rpta. Diverge

«=1

ln(« + 1)

© £«=1 V(n + 1)

®

x

Rpta. Converge

3

3 ——)2 ^ n ln(«)

Rpta. Converge

n=2 oo

©

'Z

^ T /7=1

F

Rpta. Diverge


190

Rpta. Converge

® I//=3 T

® ,__ ^

00 Y n= l

00

Rpta. Converge

i -t-;n © X«=1 tt

4

®

x

n=2

®

I53Ì ^

\ 1 ---------------------- — ^ ( / j + l)(ln(« + l ))2

191

Rp ta . Co nve rge e

Rpta. Converge

1 ( 2 /i + 1)2

Y

Su ce si on es y Se ri es In fin ita s

© l í

Rpta. Converge

>/=!

1

Rpta. Converge

2 ln(|n("))

(156)

Rpta- Diveree «=10

/j(ln(n))3

¿c sc /K «)

Rpta' Converge

© Sn=\

Rpta. Diverge

® U

Rpta. Converge

Rpta. Diverge

© S<§>"

Rpta. Converge

Rpta. Converge

160) ^

N ' ----------f ^ ( ln («))”

Rpta. Converge

y ' (—— )" J n + \ n=l

Rpta. Converge

( 4 a? - 3 ) ( 4 / ; 4 - 1 )

Rpta. Diverge

(1=1

(g )

£ ln ( ^ )

n=1

rt=l

©

Y 1 »=2 nln(/i)

(S) Y —

— 7 Z —i /i(ln(«))" n=2

2n + 3

@

1 «=i

:i ? 2 + 3 « +

Rpta. Diverge 2

©


192

y , 3»

©Z - i

0

2w -l

n=l

( D

Rpta. Diverge

Su ce sio ne s y Se ri es In fin ita s

n= \

©

Rpta. Diverge

(V5-1)" / — 2 —“ n=I

Rpta. Converge

z ^

(n " + 1)'' n=1

00 Y

(

)•

«

193

Rp ta. Div er ge

Rpta Diverse

Rpta. Converge n=\

3'"

n=\

< D

00

Rpta. Diverge

Rpta. Converge Z

‘ -

n=1

©

’ST1

Rpta. Converge

4

© Z í

Rpta. Diverge

© £ *

Rpta. Converge

© í>'

Rpta. Converge

(jT s)

Rpta. Converge

n- 1

Z - J 2 ” n =1

ce

©

4

n

'

Rpta. Converge

2L j

;?=1

2n

n= 1

Rpta. Converge

©

n= \

cc

©

Y (— —)" n+\

L u n—\

00

V

Rpta. Converge

«=i

2

©

'S

n~

* J gn n- 1

Rpta. Converge

..X

N ' (- 7=-----------pi— ) Vn-1 V « + l

Rpta. Diverge


194

y l . 1-3-5 7 - ^ - 1) ¿ - j 2 4.6.8...(2ft + 2) /j=i

Su ce sio ne s y Se rie s In fin ita s

Rpta. Converge

D (

C

®

y G ~ r ~ \ ¡ ~~r) Vn +1 v « +1 «=i

Rpta- Diverge

(182)

y ( l n( n + 2 ) _ i ) ¿L j InÍH ln(« + l) n-\

R pt a. D iv er ge

D

195

ln(«) 2 - j 4/ 5" „=1 V/I

Rpta. Converge

V * 1-3-5. ..(2 « - l ) Z j 4 .8 .1 2 .. .( 4 «) n=\

Rpta. Diverge

00

©

y

.......

y

w + 1t g (‘ ) . i n r + l )

1

Rpta. Converge

n ln(«)(ln(ln(«)))"

00

//=! 12

D (

Rpta- Diverge

n

00

00 1

n=1

3,n(«)

Rp ta‘ C°nVerge

n=1

X’

,'(ln(«)) n=2

R - “ - C»”^

oc ^ '— L_

+l n

Rpta. Converge

n

n + \y n n

Rpta. Converge

( 2 ) l + l , ( 7 ) l + ....+ ( 2« + 1 ) i + 4 7 V10 3« +1 '

Rpta. Converge

©

3 + ( 6 ) 2 + ( 9 ) 3 + .... + ( 3« ) " + ... 3 5 7 2« +1

Rpta. Diverge

©

CC T. n > — ¿—'ft ! «=1

D (

e

R p ta . D iv er ge

1+ 3"

n= l

n=1

n

Rpta. Diverge ( D

7 1 /7 n N Rpta. Convergente (sug. — < — ) ft! «

00

y ^ln(«).ln(n 1 + -l)

n=2

\

' n +n+ 2 ln(« ++1) l) I ln(/7

n=1

Rpta. Diverge

00

Rpta .

Divergente (sug. probar que / —; ----- diverge) 'l n 2 (w) n=2 V ’


196 X

------ í— ¿ - M + 21n(n)

Rpta.

n= 2

x j Divergente (sug. comparación / — ¿-O"

Su ce sio ne s y Se rie s In fin it as

(205 )

Demostrar que la

Xn=2«.. 2 - -se : n2(1 00")

v~* V« + 1 7 — ------n ln(rt) n=2

y/ ñ yf ñ 2 Convergente (sug. — -------- 7 — — < - j —- < — « ' - s e n * 100 « -1 «

Rp ta.

)

©

a > 1, diverge si

a< l, y que si

(3>1.

Rpta.

III.

y

(20^

---------- 7—7------- rrrr es c onvergente si y (208 ) En la hipótesis en donde la serie

Analizar la convergencia de la serie 2 " • n=2 Rpta.

(20 ^

p>a

Convergente

(3 < a

Divergente

y //=!

son convergente se //=1

pregunta: O

”

X a) ¿Es convergente ^ a 2 ? «-i

Com ’erge para a > 1 b)

_ __ _

tg a > 1 Convergente

(- , r « “ (in( — ) y n -1

j n ln(n).(ln(ln(«)))

Ejercicios sobre convergencia y divergencia.

a = 1 solo .converge

Estudiar según los valores de a y P la serie:

Rpta.

solo si P>1

X-

Analizar la serie ^ ' (n ln(-^ -j-) - 1) si es convergente ó divergente.

¿Es conv erge nte

Rpta. Si

» y ¿*„.0,, ? n=¡\

Rpt a. Si

x

n=l c) Rpta.

Divergente

)Y-’

tg a < 1 Divergente (2 0 ^

Demostrar que la serie y L

v v

Analizar la serie N —tg"(a + —) ¿-a a n n=i

, VTTi 1 , Divergente (sug. —:--------> ——) « ln(n) nln( n)

,20 l) Demostrar que la serie "S ' ------------ „ es convergente si y solo si P > 1. “ ? w( ln (" )) “

©

N 1-------- - — n=2

cuando

/'"'n (200 )

serie de términos positivos

»=>

converge si

Rpta.

197

¿Es convergente ^ T ^ /A n=\

?

Rpta. Si

198

Ed ua rd o Es pi no za Ru m os d)

Si la sucesión {«„

Se ríe s In fin ita s

199

es monótona, demuestre que la serie (2 Ï 4)

X

Demuestre que

ns ( V ^ + T - l J 7 i +

converge para S < ~

Y j a nbn es convergente. «=i

@

Para que valores de r converge la serie 'S~' - 7 — \ ,, ¿fn(\n(n)Y

00

1 /H—

.„=1

r 1 —— (« + —)"

,215) Pruebe que S

div erg e

Rpta. r > 1

©

Prueba que la serie

Determinar la convergenc ia ó divergencia de ia serie

—~ ) / , converge para P > 2 y n=1 2.4.6...(2«) V ’

/ 7i n \ ‘ n cos“(- ) ------------ «=i

Rpta. Converge

diverge para P < 2 (criterio de Roobe)

Determinar la convergencia ó divergen cia de la serie 11)

2.4.6.I Analizar la serie x ----------.4.6. 8 ..(_/?) •(2 / 1 - 1) 1.3.5.7. /i—i

Z

Rpta.

Zn =1

Divergente (criterio de Raabe)

^

V2/J-1 ln(4/i + l) «(/, + !)

^

Rp ta‘ C° nver 8 e

x

êa

’ (an> 0) divergente . Si Sn= ai + a2 + .... + andemostrar que: «=1

.212) Analizar la serie V ——-— ¿■Mn(/.)".(ln(ln(z,)))s

x

*) Rpta .

V

x

^ _

Diverge

— ~ r

Converge

¡i)

V

Diverge

Si S<1, la serie es Divergente. X

i ii )

Si S > 1, la serie es Convergente (2 Í 3 )

Detenninar para que valores del parámetro “a” converge y para cuales OC diverge la serie ^ \ \ / « 4 + n a ~ n 2 ) n=1 Rpta.

Converge para a < 1 y diverge para a <1

^ ^

(21 ^

/ X

Sea

(an > 0) una serie convergente, demostrar que la serie n=]

X

y , V a»-^,+1 Converge. n=l

200

E du ar do Es pin oz a Ra m os

.


20 1

V (_i)»+|— !—

(22 0 ) Sea {«„}„>, decreciente, (a „> 0) Si ^ ^ a „■“„+1 converge, demostrar

¿-J n=\

(2/7 —1)!

Rpta. Absolutamente Convergente

X

@

que la serie ^ ' an converge.

n=\

(221^ Determinar la convergencia ó divergencia de la serie n=\ Rpta.

3"+4n~ \+ln

x

V (-i)"+l —i— ir

(229)

y

( - d " +i — i —

Demostrar que

g


n(\n(n))

Converge cw W

0

( 222 )


«(« + 2 )

L a W=l

es divergente.


t1=\

n=l

IV.

Determinar si la serie dada es absolutamente convergente, condicionalmente

X

(223 )

—

Rpta. Divergente

Rpta. Absolutamente Convergente. /;=!

n=i

x ^ T n r '^ r «=1

©

(225 )

R p ta - A bs ol ut am en te C on ve rg en te

© í^


^ ( - 1 ) W+1 «=1

Rpta. Condicionalmente Convergente

«=1

n=1 n 2" (22 6)


A/=I

convergente ó divergente. _ .___

© Lt (a - i r ^ (2 /;)!

/?=1

Rpt a- Absolutamente Convergente

©

^ ^

,,+io

t (-■ )■ (■,3 ! ; ‘ 2r ' >); 2.4.6...(2/7) n=I



L a

%


202


203 X ■

O P

(2 3 ^

( - 1)”(

Rpt a. Absolutamente Convergente

© 2>

/;=!

n=] 00

(sug: n sen — <1 => ln(wsen—) < 0 ) n n

2

(—1)" n ■■ 1 +H 2

Z

Rpta. Divergente ^ s

^4^ (-l) — -— -------

X n-\

Rpta. Condicionalmente Convergente.

ln(e” + e~")

X ^ \ - l ) /?(l - a sen —) n=\

Rpta. Absolutamente

Convergente

Rpta. Absolutamente

Convergente

co (24ó) ^ \ -l )”( l-c o s—)

(Sug. e" +e~'" < 2e " )

„ = 1

Z - i „ l n 2 (/ j + l )

n=1

. Absolutamente Convergente • 1 ^ (sug: ----- ---------- < ------ r---- ) «ln ( h + 1) nl n (n)

00

y (-o D ( ^ l n ( l + - )

Rpta . Divergente (sug: lim u„ * 0)

t—d

(248J

n

© f> Z -/ W =1

©

C D

i)-

*’ (m + 1)!

y — — ------- — n=i n(l + —+ ...H— ) 2 n »(¡M) wioo y ¿(~1) 2 (— )


sen(l 1//) -----------n

Z

X

^ \ e n (l n (w ) ) «=i

(-1)" aretg(■■■- ■■) 2n +1

Rpta. Divergente

«=1


Rp ta. Div erg ent e


„ . . . ^ Rpta. Absolutamente Convergente

j , se n (- ) j ( su g. : s e n — < — d e d o n d e — —— < — ) n « n n~

Rpta. Absolutamente Convergente «=i *

Z n=\

x

-/

e — ) n

©

3

^ \ sen(—))2 //=!


Ed ua rd o E sp in oz a Ra mo s

204


Rpta. Divergente






Rpta. Divergente



n- 1 1 + cos(;tm) n=1

© È«=1

sen(^«) + sen( 2 OTj)

® zn=1: : , „ sen(/?) + cos(3w) n=1

Rpta. Divergente

Rpta. Divergente

11= 1

X .

(- D »+1

In=1 ln(« + 1) X

Z

( - 1)"

Rpta. Condicionalmente Convergente Rpta. Absolutamente Convergente

Rpta. Divergente Rpta. Absolutamente Convergente

/7=1 X

n=i

( 2 n + 1)!

Rptau Absolutamente Convergente Rpta. Condicionalmente Convergente

Ed ua rdo Es pi no za Ra m os

Rpta. Divergente


@


207 00 V "1

1.4.7...(3/?-2) ----- — //;=! ("1)” — —

y

Rpta. Divergente

n 2 .4. 6 ...( 2 /?)

/ n=1

----- 7;sen (—¡=) yjn

^ ~ \ - l) " 1 —— " +1 //=!1

Rp ta . Abs olu tam ent e C onv erg ent e


Rp ta . Co ndi cio nal me nte Con ver gen te

yV


4

(« 2 +l)3 Rpta. Absolutamente Convergente

283)

J ^ í - i r 1 ~ n=1

V

Rpta. Divergente

(- !) ”«

/ ---------- — *—‘ (n + l)e

Rpta . Absolutamente Convergente

Rp ta. Abs olu tam ent e Con ver gen te

n=l

2 3«



(28ó)


^"0

2 ,H r ^ r .

Rp*>- Absolutamente Convergente

^


—

^ n=1

Rpta. Divergente

208


Vñcos(«^) (//? + ])(« + 2 )



w — y

20 9

y iJ rn^jn »=1

r p ^ . Absolutamente

Convergente

QC (289.

_ 2 _ eos" (—) —- — . ni «=1

Rpt a. Abso luta men te Con ver gen te

(W )

Rp>a . Condicionalmente Convergente

6/7“

n=\

(299 ) ^9?)

’y n=\

( - l ) ”+l

+* ~ n

Rpta. Absolutamente Convergente 1 , y f ñ + i - 4 ñ (su g.: -----------------< — j-) n 2n 2

(2 , 2J

2 ^ 1 ^ 2 5 « R p„ . Absolutamente Convergente n-\

©

CC > ( - 1 )"-1 tg(— = ) n\n n=1



«=1


10 6« + 1

-9n + 2

W

00 n y (-l)"-y /J=l v ^

R pt a. D iv er gen te

1 /;+1 /í / í - 0 ”+ —---- «=1 n +^


1(-1)”« 77 "+3 X — ^ — 2 //=!

Rp ‘a- Absolutamente Convergente

© 2

sen(— + «(—)) 4 2

Rpta. Convergente

(sug.: tg(— [ -j=)<-^=) n^Jn nsjn 4 3"+> 7 ( - 1 ) " ----------¿- J (3n + 1)! n- 1

@

(30 3) Calcular la suma de la serie: —-— 1----- -----1---- ---- v... v 7 1.2.3 2.3.4 3.4.5 Rpta. Absolutamente Convergente ,304)

oc y

( - 1)"-' J — 7.9.1 1. ..(2/1 + 5)

Rpta. — 4

Rpt a. Divergente

Estudiar la serie N ' ----------- — -------- , si converge calcular su suma. *(n + a)(n + a + 1) n — 1 Rpta.

1+ a


210

TT „ , , . v (305 j Hallar la suma de la sene

E

33,r +183/7 2n~ , .„ _,_ ir2 « 3++33,i2 + 183«++ 341 34L (n + 5)3(n + 6)3

n=\


©

21 1

Calcular la suma de la serie \ /

n=l

- -+2 ¿ 2 " —1

^13 ^ Estudiar las siguientes series.

|306) Hallar la suma de la serie y * — -— ------¿-J J 2 *2n> 3(n ( n ++ i\Y y

a)

Rpta. 1

«=i

„

y n=I

,

ln(4 ± i , n2 +\

b)

V*

a)

X

ry

y < ^ ¿—¡ er n=1

(3 Í 5 )

1 1 3

b)

(310 ) Estudiar según los valores de a y b la serie siguiente

X

b)

, -

-

3

l+.v 2

X

Rp fa- Diverge

tf 7^(k+n)(k+n+1)

Sumar la serie

__^

(2 + 3«)( 5 + 3« )(8 + 3/z)

x

êa y , (~ 0 [y ~ arctg ,(ln(w))] analizar. n=l

íií

. . V

1

. ,

2w + 1

b| 2 >, 8-(rt ■ ■>=) + 1> f l =l ^18 J Demostrar 1 (311 ) Las siguientes series son convergentes, calcular sus sumas. n=l 2 x .316) \}Îï) 13n + 2 ' « IfA * _ « + 1 ^* Y ( -l )' V [ > n ( ^ l )] n- 1 «=i V '1 b) X 2=logT+log2+Iog Analizar la siguiente serie. n=I a> (« 0 2-2 " ( 2 «)! «=i 7 « -Jx Y [ ^ - l +(_!)■ -L ] ' h +4/? + l n /»=! r a v - i 2 f55 + ((_ - 22 )" )\„ r ------~ ----- ] l309 j Analizar la convergencia o divergencia de la serie n=1 *-3-5 L r i +i ; +ü . 6 +- 11— I Y t - L . + í -l )» ! ] < 4 « -1 /? n=1 V ! (30 8) Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series. a) b) 6”2 ~9” +4 «3 Analizar la convergencia o divergencia de la serie. (307^ Determinar la convergencia o divergencia de la serie. X y 1 que la suma , 1 1 de la 1 serie 1 de .. término n-ésim o .3 212 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os Se rie s I nf in it as ,3191 Sumar las series: cc a) I Determinar la convergencia ó divergencia de la serie. X (—l)"_l (2 «3 +3m 2 + 3w + 1) Z t t t — ^rr: 3 / „ , , >3 ac « 213 (322 ) 4/?2 + 8/7 z (2« + l)(2n + 3)(2n + 5)(2« + 7) n=\ Rp,a- Determinar la convergencia ó divergencia. a) XT' 1.6.11.16... (5/7 -4) 7 —— ---- ----- — — L a 2.6.10.14.„(4/7-2) Rp ta. Dive rge nte n=l o •» y arctg .(-4^ - l ± i ^ ) i + w (/j + 1) n=I d> L a zn=1£ o /i=l (3 2^ h, Rpta. Divergente - analizar la convergenc ia de la serie Rpta. V - 'lll L a n\ n=I j} Ly (r_ 5«)2.7 -2 n j n=l V l . 3 . 5 . 7 .. . (4 / 7 - l ) 7 ---------- — ------- /7=1 L a 2.4. 74 68 í4"’> 6 .8 ...(4") n=1 QO t — ^ ¿ - ' n ( « + l) 5" «=1 o ZL/ y iz( 2/1r +^1)!: 320J b) n=\ X g) - D _ L a n(n + \)( n +2 ) „=1 i) q> p + \ converge (por Raabe) ii) q ° W =1 00 c) AI—1 <(w + l)l n( « + l) ->' z W=1 cos"(« + l) + 4 3" + «3 (p + l)(/? + 2)(^ + 3).. .( p + n) (q + \ )(q + 2) (q + 3)...(q + n) Hallar la suma de las series. E du ar do Es pi no za R am os 21 4 @ rt+i¡^ leos (—)\ V~' Estudiar la serie -------- j y4 - y en caso de con ver gen cia , ha llar la (w + 3)! «=i suma. 32 7) Estudiar la convergencia de las series. a) Y [ - U ¿mmi 4 / ? - l n=l (- i r I ] n b> V [ / - 24+ 1 _ + ( - i r - L ] Á—i n + 4n + \ n~ Se ri es de Po te nc ia s 215 CAPÍTULO III 3. SERIES PE POTENCIAS 3.1 DEFINICIÓN.- n=\ Una serie de la forma: c0 + c¡(x - a) + c2(x - a)2 + .... + c„(x -a) " + ....... es decir: X n=1 , Y , c„(x - a)" = c0 + c, {x - a) 4 c2(x - a)2 +.... + c„ (x - a)n + .... 1=0 -------------------------------------------------------------------------------------S____ - donde: a y los c r i = 1,2 ....... n son constantes, es llamada serie de potencia en x - a. X Cuando a = 0, se tiene la serie que se denomina serie de potencia en x n=0 OBSERVACIÓN.Io Cuando x toma un valor particular, obtenemos una serie numérica de los que ya se ha estudiado. 2o Si una serie converge para ciertos valores de x, podemos definir una función de x'haciendo: X / ( . v ) = £ c „ ( * - «)" n=0 X ó g (x ) = y c„.y” /;=0 donde el dominio de estas funciones son todos los valores de x para los cuales la serie converge. Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 216 3o Para determinar los valor es de x, para los cm le s la serie de potenc ia Se rie s de Po te nc ia s 21 7 OB SER VA CIÓ N.- converge, se usan los criterios anteriores, especialmente el criterio de la ^ ' c n ( x - a ) " , entonces el intervalo de convergenci a «=0 razón. 3^7 es uno de los intervalos siguientes , [a - p, a + p> , p r o p i e d á d e s .Consideremos la serie de potencia siguiente: 00 y [a- p, a + p] Ejem plo.- y ' ^ j x - a ) " Hallar el intervalo de converge ncia de la serie de potencia 00 x" :— y el radio de convergencia. n ii —i Z n- Q _____________ Io Si P es radio de convergenci a de la serie de potencia 00 Si esta serie diverge para x - a = c, entonces diverge para todos los Solución valor es de x, para los cuales | x - a | > | c i. 2o Si ésta serie conve rge para x - a = b, enton ces es absolutamente convergente para todos los valores de x para los cuales !x - a |< !b I. 3o x" Sea un = — => n Se cumple exactamente una de las condicion es siguientes: i) La serie converge solamente cuando x -a = 0 ii) La serie es absolutamente convergente para todos losvalores de x. ¡ii) Exis te un número P > 0, tal que la serie es absolutam ente convergente para todos los valores de x, para los cuales Ix - a I «« +1 11 1 1 x ” (n + \)x" n como | x I < 1 => -1 < x < 1 . Ahora analizaremos para | x | = 1, es decir para y diverge para todos lo valores de x, para los cuales Ix - a | > P. 3.3. DEF1NICIÓN.i) Si X.- -1 se tiene “W x = ± 1. es convergente. El conjunto de todos los valores de x, para los cuales una serie de potencia converge, se llama intervalo de convergencia. ¡i) x "+1 = ------- , luego por el criterio de la razón se tiene: n + 1 Si x = 1 se:tiene i \ ' — divèrge (serie armónica). i—i n »=i El número P > 0 de la propiedad 3o iii) se llama radio de convergenc ia de la serie de potencia. Luego el intervalo de convergencia es [-1, l>y el radio de convergencia es p =1 Ed ua rd o Es pi no za R am os 218 3.4. Se rie s d e P ot en ci as 3.6. DIFERENCIACION DE SERIES DE POTENCIAS. SERIE DE TAYLOR.- X Sea x ^cn(x - a )n una serie de potencia con radio de converg encia p > 0 y si n=0 00 / (x) = y Sea y ' cn( x - a ) n una serie de potencia con radio de convergencia p, 11=0 entonces definimos la función f de la siguiente forma: cll( x - a ) " , entonces existe /7=0 / ( : x) = c0 + c , (x - a) + c 2 (x - a) +....+ cn(x - a )" + ... X f 219 = ' jfl C"^X ~ ^ n=1 ( 1) Para todo x e . ^ x & Además, p es también el radio de convergencia de ésta serie, es decir, si p * 0 Ahora buscaremos la relación que existe entre los coeficientes es el radio de convergencia de una serie de potencia, la cual define una función c0, c ¡, c2,....,cn, ...... con la función f y sus derivadas al evaluar en el punto a. f, entonces f es diferenciable en y la derivada de f se puede 3.5. obtener derivando la serie de potencia término a término. f ( x ) = c 0 + c [( x - a ) + c2 ( x - a ) + c i { x - a ) + ....... => / ( « ) = c 0 INTEGRACIO N DE SERIES DE POTENCIAS.- /'(* ) = c, + 2 c 2 ( x - a ) + 3c 3( x - a ) 2 + ....................... => f ' ( a ) = q x . / V) Sea y ' c„ (x - a)" una serie de potencia con radio de convergencia p > 0 y f ”(x ) = 2 c2 + 2 .3 c3( x - a ) + 3 .4 c4 ( x - a ) „=o 00 f ( x ) = ^ \ „ (x -a )" , entonces / ’"(x) = 1.2.3c3 + 2.3 A c 4( x - a) + 3 A. 5 c 5( x - a) +. f es integrable en todo subintervalo +. 2! „=o 00 y X f y ' c „ ( t - a ) " d t = ^ ^— ^ y( x - a )"+1 donde: n— 0 »=0 x e , además p es también el radio de convergen cia de la serie resultante. cerrado de < a - p, a + p> y * Es decir: Si p * 0 es el radio de convergencia de una serie de potencia, la cual f (n\x ) = 1 .2. 3.. ..ncn + 2.3....(« +1 )c „+1 ( x - a ) +. Reemplazando c 0 ,c , , c2 ■= 3! f n\ a ) = c„ n\ en la ecuación ( 1 ) define una función f, enton ces f es integrable en todo subintervalo cerrado de y la integral de f se obtiene integrando la serie de potencia término a término. 2! 3! n\ Ed ua rd o Es pi no za R am os 220 Se rie s de Po te nc ia s 22 1 f ( x ) = /(O ) + f ' ( 0 ) x + n=0 - — — ( x - a ) " . n\ oo n=0 t » f ( \ a ) --------- - ( x - a ) " se denomina serie de Taylor alrededor del punto a /?! v—i f {n)(a) Si en la serie de Taylor f ( x ) = / -----------( x - a ) " n! H=0 hacemos a = 0 , se tiene la siguiente serie. OBS ERV ACIÓ N.- ... ( 2 ) x 2x 3 x 4 x" Al reemplazar (1) en (2) se tiene: f ( x ) = 1+ x-t----- + ------1----- + ...— + .... 2! 3! 4! n\ Lueg o a la serie de potencia de la función f, representado por: S x 2 + ......+ / ( ">(^'Y" +. n\ 2! ,i=0 3.7. © EJERCICIOS DESARR OLLADOS.Determinar Z el intervalo de convergencia de la serie de ( -l ) B(x + l)" , J ------- - — -------y el radio de convergencia. n=i 3 M Solución (- l) ”+l(x + l)',+l (-l)"(x + l)n Sea ii„ = ----------- ------- = > u„,, -- --------- --------- y.n> "+‘ 3"+ .(« + 1) A esta serie se llama serie de Ma claur in. - Ejem plo.- Desarrollar en serie de Maclaurin la función f ( x ) = e x Ahora aplicamos el criterio de la razón: Solución f ( x ) = e x f ' ( x ) = e x f \ x ) = e x m lim M«+i = lim = 1 n —>oo / ' ( 0) = 1 / " ( 0) = 1 .»(I) Como Un /1~>00 x+1 3".«3( - l)',+l (x + l)',+l x + 3'!+1 ( « + 1) 3( —i)" (x + 1)" <1 => |x + l|<3 3 n-»® n + l = > -3 < x + l<3 -4 < x < 2 \n). Ahora analizaremos cuando Como el desarrollo de la serie de M acla urin es: x +1 = 1, es decir para x = -4, x = 2 potencia Ed uu rd o Es pi no za Ra m os 222 n=\ ' ■z? «=I 3"./í 3 223 ce 00 (-ir (-3)" Si x = -4 se tiene Se rí es de Po te nc ia s Si x = 10 se tiene es convergente. Luego S ix = 2 se tiene N ' (-1)"-^- es convergente. „ el In=\ (—1)"+l (/7 !)2 8'1 intervalo 2" (2/7) ! de es divergente (criterio de comparación). convergencia es <- 6 , 10> y el radio de Z x ( - 1)'' — n\ convergenc ia es p = 8 . 77=1 Por lo tanto el intervalo de convergencia es [-4, 2] y el radio de convergencia es p = 3. © Determinar el intervalo y ( - i r fV ) 2 ( - v - 2 r ti 2".(2n)\ de convergencia de la serie de © potencia Solución y el radio de convergencia. x" x "+1 Sea un = ( - 1)"— => un+l = (- l) ',+!—— — , aplicando el criterio de la razón 77! (« + !)! Solución Como u„ = (-l)"+2(/7!)2(-2)n 2".(2n)l lim n —►oc «»+1 «» se tiene: ( - i r 2( (» + l )! )2 ( * - 2)"+1 »«+i = 2 "+l.(2 // + 2 ) Aplicando el criterio de la razón se tiene: n=0 y el radio de convergencia. lim «-►00 W77+l = lim Un 77—>00 ( - 1)"+V x "+1 n —►oo 2 ( 2/7 + 2)!(-1) «->* n +1 4 Z 2 /,.( 2 «)!(-l)"+2((w+ 1)! ) 2 ( x - 2 )"+i = lim = \x\ lim ------ = I x I. (0 ) = 0 < 1 V x e R. (-!)"(« + 1)!jc" (n !) (x - 2)" »=o x n (-1)" :— ni es convergente, V x € R y el radio de c onve rgen cia p = oo. x - 2 x - 2 «+i) lim — (í;--------------= i-— 1 < 1 n->® 4 n¿ + 6 « + 2 8 Co mo Jjc—2¡ < 8 => - 8 < x - 2 < 8 = > - 6 < x < 1 0 (7) Determinar el intervalo x (— n ”+*(n n 2(— 8 )” --------- — ---------- e s divergen te (criterio de comparación) . »=i convergencia <7=0 Solución (- 1 )" nix" Sea “» = ----- -p ------ "«+1 = ( - ir +,(/7+i)!x"+i 377+1 - 2 "( 2 «) ! de V-* n ! x” y el radio de convergencia. y ( - 1)” ■■ \x-2\ Ahora analizaremos para -—-—- = 1, es decir para x = -6 , x = 10 Z de por el criterio de la razón se tiene: la serie de potencia Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 22 4 Se rie s de Po te nc ia Luego n +1 (-l) "+'(« + l)!x"+l3" = Lv lim — — = -H» lim lln+1 = lim W n—>oc 11„ — >00 (-1)" h !.t".3"+i 1 a — [ 3 — - - » oo, cuando x -> , por lo tanto la serie de 11n potencia converge cuando x = 0 y el radio de convergencia es p = 0 . Determinar el n'.(x- 3)" intervalo I«=o; .3.5...(2n-l) de convergencia de la serie de potencia conve rge en <1, 5> y el radio de converge ncia es p = 2 . Luego para x * 0, © la 225 serie de 00 sen(/;")x Estudiar la serie. L a nyj n «=i ( ft) Solución potencia y el radio de convergencia. ^ Consideremos la serie \sen(n"x)\ > -------= —■, como senn" x <1 ny]n n=\ Solución v+ VneZ (w + 1)!(jc—3)'H+l 1.3.5...(2 m+ 1) «!( jc-3 )" Sea u„ —3.5...(2/7-1) a |sen(/¡"x)| , ^ 1 V x g R = > ----- -=— < ———, y como la serie / sci i(/( i |sen(/7".v)| — — j =— n\ln Z por el criterio de la razón se tiene: n=I (/í + 1)!(a-3)" +1(1.3.5....(2/í-1) lim *//+! = lim /í —>00 «! ( x -3)"(1.3.5...(2/ í + 1)) n \l n n = lim |x - 3| convergente. => | x - 3 I < 2 => - 2 < x - 3 < 2 Z « 5=0 Si x = 5 se tiene Solución 2 => l < x < 5 Ahora analizaremos cuando |.v - 3¡ = 2 es decir para x = - l , x = 5 Six = -l se tiene Representar en serie de Ma claur in a la función / (x) = e x = |jr - 3| (-^) < l 2 /7 + 1 « - > « ««!(K - 4 y es divergente (probar). 1.3.5... (2/7-1) /;!_r /7 ____ 1.3.5.. (2/7-1) Z H=0 es divergente (probar). x" X2 Seconoceque g (x ) = e x = l + x +— + .... + — + .... 2! n\ f ( x ) = g ( - x 2) = e~x' = l - x 2 + ^ - + .... + ( - l) " — + .... 2! n\ A x ) = e-''~ = Y ( - l ) " ~ L a n ! n=0 n= l es convergente, luego es absolutamente W~»X (T ) La n —— 22 6 (F ) Ed ua rd o Es pi no za Ra m os Desarrollar en serie de Maclaurin la función f(x) = sen x. X 2' x " * 3 e X — 1 + x -\------1-----h __H------h. 2! 3! ni Solución / ( x ) = s en x O O I ' / ' ( x ) = c o sx /'(O) = 1 x 2 x3 xn v3 v5 r 2n+l ex - e~x = 2 x + 2 ( — ) + 2 (— ) + .... + 2 ( — -------- ) + . / " ( 0) = 0 f " (x ) = - s e n x / ' " (x ) = - c o s x => /'"( 0) = - i f " { x ) = senx / ,v( 0 ) = 0 / ' ( x ) = c o sx / ”( 0 ) = 1 f v '(x) = - senx r * ( 0 ) = 0 227 Se ri es de Po te nc ia V3K ( 1) 5! (2/7 + 1)! ex-e~x x3 x5 x 2,!+1 : x H------ 1------ f- .... -i-------------- h . 2 3! 5! (2/7 + 1)! / ( x ) - s e n h x = ----- Como la serie de Mac laurin es ---- - x 2n+I = / «=o , / " ( 0 )x 2 | / " ’( 0 )x 3 [ f n\ 0)x” _ , , AX , / M . y £ ^ É L . m + f m x + . ni 2! 3! n= 0 ( 2) P ro ba rq ue : 00 ^ \ - l ) ” x 2" = — -^ -y , s o b r e < - l , l > 1+ x n=0 Ahora reemplazando (1) en (2 ) se tiene: Solución 3 5 .7 „2«+l / ( x ) = s en x = x - — + — - — - + ..... + ( - 1)” — -------3! 5! 7! (2n +1)! oc / ( x ) = se nx = y ..2«+! (- l)" ( 2 « + l)! ( 2 « + l)! Mediante la serie geométrica convergente se tiene: 9 ¡I -1 1 1 + x + x + .....+ x" +.... = ------- , para |x | < 1 , 1 —x tenemos: valiéndo se de esta serie 00 (9 ) Desarrollar en serie de Maclaurin la función f(x) = sen h x. £<-»” X2" = 1- X2 + X4 - X6 + X8 + ... «= 0 Solución Se conoce que: = l + ( - X 2 ) + ( - X 2 ) ' + ( - X 2 ) 3 + ( - x 2 ) 4 + .. . ex — e~x sen hx -- -------- — y adem ás se tiene: - i-(-* 2) ’■ para x 2 < 1 228 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os Se ri es de Po te nc ia 229 X LuegoY(~0"*2”=— i—, para|x¡ < 1+ x = l + 2x + 3x" + ... + («-l )x " 2 +nx" 1 + ... ( 1 - x )2 /í=l 00 puesto que: x"-' =--n —, para| x|<1 Z I{ lI -- *r)i n~1 \x 2 < 1 => |x |2 <1 => |_v| < 1 , (11 ) Mostrarque: x 3 .t 5 x 1 arctg x = x — “ + si |x | < m 00 © 00 V er if ic a que: Solución Solución De acuerdo al ejercicio 10. se tiene: | ------ r = l - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - x 10 +... , 1+ x para |x ¡ < 1 Ahora integramos esta serie término a término. La serie (12 ) ^ si Solución De acuerdo a la serie geométrica convergente, se tiene: 1 1- x tiene: 1 + x + x 2 +... + x" '+ ..., si i x |< 1 , derivando miembro a miembro se sen(«x) 1 — —— < —n2 n y com o 00 1 _ V 1 sen(«x) — , e s con ver gen te, alir mam os que > ----- - — , e s con ver gen te, Vx, a la n2 n2 /?=1 n-\ Z Zn =1 -I I x <1 Obtener una representación en serie de potencia de — -——. ( 1 - x )2 V x, pue s X serie XJ X5 X7 arctg x = x ------ + --------- — + 3 5 7 00 ' sen(«x) > ----- - — , es con ver gen te n2 n=1 \ Z n=1 sen(wx) ..... -...... expresa remo s en la forma: n2 sen(/?x) sen 2 x sen3x sen(nx) -----1 — = s en x + — ----- + -— -— + ... + ------ — + ... rr 4 9 n2 Integrando miembro a miembro de 0 a 7i se tiene: T V 1 sen(nx) , y 1 - — j —d x = _ se n 2 x sennx v ( s e n x + -----------+ ...H------ t-...)dx 23 0 . ry , n 1 1 1 1 I( 1 + ~ ------------------------------H... ) ------------ 1-------------------H... 2 .4 3 .9 4 .1 6 5 .25 7 X3 3.9 x5 x 7 ( - l ) n x 2 " +l +l ---- ------------b... — X ------- 1---------------b... H------------------ f-... 3 2 !5 3 !7 n$2n + $ i, 1 --h------h 1 h ------1 (- -----1 + ... )MI “ \1+ ------h--------2.4 231 Se rie s de Po te nc ia Ed ua rd o Es pi no za R am os 4.1 6 5.25 = 2[ i+ —!—h— -— +...] = 2 [ i + -L - L + J L + .... . + — L — + - .] .] 3 ..99 5 ..22 5 J L 33 5 (2«-l)3 \" y2h+| «1(2/7í+ +TT 1n1= =0 i) 1 1 (j5^) (j5^) Calcular aproximadam ente con tres cifras deci ma les el valor de: é~' dt Solución - Y - 2— ¿ f ( 2 n - 1) 1)? De acuerdo al ejercicio 14 se tiene: tiene: X3 f i (h ) Encontrar Encontrar una representación representación en serie de potencia de: , I l l dt dt - --------- + 2 24 320 j* e~l dt 16J X X setiene: ■ t4 t 2" e~r = l - r + — + . .... .( .( - 1)" — + ... ... 2! n\ x 1 7 1 5370 = 0.5 - 0.041 17 + 0.0031 - 0.000 2 + ... ... = 0.4614 Solución Se conoce que: e' e' = l+ x + :— K.. K.. + — + ahor ahoraa reempla reemplazamo zamoss x por ■-/" -/" 2! n\ X5 dt = x ------ H----------------- K... para para x = — se tiene tiene:: 3 2 !5 3!7 2 e Encontrar Encontrar una una serie de potencias en x que sea convergente a la función función ln(l +x) 1+ x 2 Solución De acuerdo a la serie geométrica convergente se tiene: Luego integramos miembro a miembro de 0 a x. 1 ----- , , , = l+x+ x"+ ...+x" +..., si | x ¡< 1 , ahora reemp lazamos 1- x tiene: 1+ x = 1 - x + x 2 - x 3 +... + (- l) ”x" ”x" +... si | x ] < 1 integrando miembro a miembro se tiene: x por -x se Ed ua rd o Es pi no za Ra mo s 23 2 Se ri es de Po te nc ia 23 3 00 x 2 x 3 x4 x" • ln(l + x) = x ------ (-• (-•— ---------K. .+ ( - 1)” ------2 3 4 n+\ Ahora reemplazando (2) en (1) se tiene: -— -) 8 ¿ ~ , n \ 8" n= l Nuevamen te en la la serie geométrica reemplazamos x por - x ~obteniéndose ~ obteniéndose la serie: £ !!íí ! = i + y _ L ^ ) 8 8 /?!8 1 =1 - x 2 + x 4 - x 6 + ... ... + (- l)" x2"+ ... ... 1+ x 2 88 (w + 4V — ------- 1 , si converge calcular la suma 3!«!4" //=1 Solución oc Para determinar la convergencia ó divergencia de la serie 00 Analizar la serie-----— serie-----— , si es convergente. Hallar Hallar su su suma. suma. n=1 (« + 4)i 3!«!4" aplicaremos el criterio de la razón. n ' Solución Para Para determinar determinar la converge ncia aplicam os el criterio de la razón. Sea «=i Z ln(l + x) x 2 2 3 x 4 13 5, | ¡ — — --- = x --------+ —* + — + •— X -f ... SI X <1 1+ X 2 3 4 15 n= =ll ^ 1 (¿ ( ¿ 5 _ t) Y — 1 ^ = £Í_1 =¿—*n\ 8"+1 si ¡x | < 1 . Multiplicando las dos series se tiene: (T?) A do do n d e : 1 1 a„ = — i— => a ” 8"+ i n \ ~ n+' 8"+2(k + 1)! li m = l im im — -— = O < 1 => la serie es convergente. »-»» a H n-*™8 (n + (n + 1) Sea + 5)! -------------- ^ + 5)! 3! h !4" 3!(/? + 1)!4" a„+l a„+l (« + 5)!3!«!4" n+5 1 , li m ------ = lim ------------------------------ = lim -------- — — = — < 1 , entonces la serie «->x an + 4)!3!(/ 4)!3 !(/? ? + l)!4 «->« («+ 1)4 1) 4 4 »->°°(/7 00 +4)!, es convergente, ahora calcularemos la suma: Z-(«--------suma: «=i «=i 3!«!4" (« 4)! 4)! _ V~' V"' (n +!)(/? (n + 4) + 4)! (n +!)(/? + 2)(n + 3)(w + 4) 3!«! 4" Z 13!«!4n n=1 ¿—i n=\ oo 3! 4" n4 + n4 + 1 0 «3 + 35 /;2 + 50/; + 24 4« 8 23 4 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 00 GO. 0000 00 £ „ * ( ! ) ■ + l o | V ( i ) - + 3 5 ^ , r (I ( I ) " + 5 0 ^ n( j r + * £ ( } ) ” . . . ( I ) «= 1 / ?= ! H= 1 A7= l / x" = ------ , l- x ¿—i n=0 n=0 l + x + x2 + x 3 + ... + x" para | x ! < 1. derivando: l - x Como 235 X 2 +*X ^ *7 o o x + 2 x + 3"x + ... ... + « x " + ...= ------- ^.derivando: (l-x)3 rt= l 30 Ahora utilizamos la serie de potencia: Se rie s de Po te nc ia 2 i n3 ->3 2 3 h-1 + 4x + l 1+ 2 x + 3 x +... + n x +... = ---------- - — , mul tipl ico por x (l-x) x + 23x 2 + 3 3x 3 + . .... + « V - . . . = A"N 4 y ' ~ - Y (l-x)4 i r l l + 2 x + 3 x +... + wx" + ... .= ---------------- , multiplico multiplico por x ( l - x )2 Nuevame nte derivando la expresión: x + x + 2x + 3x3+ ,.. + «x + ...—— ...—— ( 1 - A )2 ^ r Como x + 2jc~ + 3x 3x +... + nx" + . . . = — —, d er eriva nd nd o: o: (l-x)2 1+ 2 2 x + 3 2 x 2 +... + « 2 x" 1 + ... ... = - -- ----, multipl multiplico ico por x (l-x)3 x + 2 3x 2 + 3 3x 3 +... + , ? x" + ... = ... = ( l - x )4 . ~4 _4 2 4 „-I X3 +1 lx “ +1 lx +1 . 1+ 2 x + 3 x +... + « x +... = - ----- — — — ----------------- , multiplico por x ( l - x )5 ,4 2 ,4 3 4 /i X4 + 1lx 3 + 1lx 2 + X x + 2 x +3 x +... + « x +... = ——— (l-x)5 Z 4 ;í X + 1lx + 1l x” + X n x = i1-") x + 22 x 2 +3 2 x 3 +... + n2 x" + x" + ..... = — + V ( l - x )3 z 2 „« _ X(X + 1) n x = 3 Ahora reemplazamos x = ~ en las series obtenidas obtenidas Zn=0 - ^ Z n=0 ^ r *- | 4 236 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os i+£n=1^ H = > £«=<1 í H 20 w=l 27 /?=! 2 X «=! ) '= 7 r > I ” 4^ ' ;<=1 1,40 Se rie s de Po te nc ia (2 ) w . — -v2 ------ h... H-------h x " ... —ln(l X) — X - H-------1 2 3 n (3) - x -l n (l - x ) = Y — = i V — ¿-J n +1 +1 n=1 n=1 (4) x" 1 > - = - 1 — ln ( l- x ) Reemplazando (2), (3), (4) en (1) se tiene: Z n=i (« + 4)! _ lr ll40 1320 ■ 200 Demostrar que 00 n Y .* = - ln(l - x ) - (- 1 - - ln( 1 - x )) n=1 V ' (w + 4)! _ 9372 zn=I 3 !«!4" ~^729~ = l + ( ——l ) l n ( l - x ) = 1 + - — —l n ( l - x ) / —- ----- = 1+ ¿ ^ nin(n í n + \) l) n=1 x -ln(l - x ), Ix | < 1 aplicar esta fórmula 00 V 1 para sumar la serie ^ h(w + 1) 10 2" ' n=\ 7 1 -x ( , ‘j " I“ ' 1 ) 0Q - = l + - ^ | M l n ( i — L ) = 1+ 99 1nj ^ _ ¿ ^ n ( n + \) "=1 (2 ^ Tn=I i ^ - i - i «=á1 «=1 Como —— = 1 + x + x2 + ... + x" 1 +... — ------1 — - = y ^ « ( « + 1)(10 2" ) Solución Ín=1 Cv . .. (3 ) Ahora reemplazando (2), (3) en (1) se tiene: J f¡ 00 ( 2) ^ — = -ln(l-x ) «=i 3!«!4" ~ 6 243 + 81 + 27 + _ 9_+ O C (l9 ) 700 237 si I x I < l 1 100 Desarrollar F(x) = — en serie de potencias alrededor de x = 2. Solución 1 XP F(,,)( 2 ) F(x) = - = > ( x - 2) x ' «! n=0 , de donde: lOO'100 Ed ua rdo Es pi no za Ra m os 238 Se ri es de Po ten cia 23 9 X F( x) = - = F( 2) + F'(2)(x -2 ) + X F(x) = - = F ’(x) = X 2 ! , F ’(x) = 4 > X 1 - 2 )2 + ^ - ^ ( * - 2 )3 +... 3! = — T ’- X X /?=1i Como — 2 * 1 = l + x + x 2 +... + x" 1 + x" +... 1 —X F ( 2 ) = l- = F \ 2 ) = - -X, F \ 2 ) = | , F - ( 2 ) = ( 2) * si Ix I < ■= l + 2 x + ... + «x ”~1 + ... (1 —x ) !_> x 2 1 , 22 2! ( x - 2 )2 33 2! 3! (.v-2 )3 24 3! //-■] , => o -* ) X ••• 1 N 1 // x T , 1 7 ^ n x" = - —í ——, donde: para x = 4 r t r o - * )2 /Í=0 e ce ¡2?) Hallar ¡a suma de la serie ' n=\ e2" C om o — - — - = x + 2 x 2 +... + mx" +... (1-x) Solución X *f" 1 ( 1- x ) «=i e «=i e~ e ----- e 00 E «=] x"-' = ------ => 1 —x «2 2 « —I si |x | <1 +.. . y „ v - < = ^ ± L => y „ v ( 1 - x )3 £ ¿ f donde: para x = ( > -) 3 «=1.«=1 Ahora aplicamos la serie geométrica convergente. 1 - = 1+X + X2 + ... + x"”' +x " + ... 1—X , ■= 1+ 2 X + ... + « x - (3) e e n=1 (« ' - O ' si I X! < 1 -y0 ^ I 7 x" = —— , donde: para x = — < 1 — x e~ n=l V V 1V e2+e4 2n=1/ e2 ~ ( e 2 - l ) v' 3 Ahora reemplazando (2), (3), (4) en (1). '"(4) Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 24 0 Se rie s d e Po ten cia 241 Multiplicando ambos miembros por x. (2 2) Comprobar la representac ión en serie de potencia: para- i x 2 + 1 7 ----- rr-= x + 2 2x 2 + ... + «2 x" + ..., de donde: X O- xy |X) < 1 Solución Aplicando la serie geométrica convergente, es decir: 2n X ^ la representación O-*)3 n=l — — = l + X+X 2 + ... + x''~' + x " + . . . , SÍ + X n x = - ------ — , 7 I I , para x < 1 | X | <1 \ - x [2 4j Comprobar Ahora derivamos miembro a miembro. I' ..«-1 + ..., si 1x I < 1 = l + 2x + ...+ nx" (1 - x f en serie de potenc ia „3 , a „2 „3y ,= £ + 4* + ,* si ¡x | Multiplicando ambos miembros por x, es decir: Aplicando la serie geométrica convergente. •= x + 2 x 2 + ... + n:c" + ..., de donde: ( l - x ) 2 1 , : 1+ X + X . +...+X + X +... SÍ I X I < I 1 — X , para ¡x | < 1 . Mediante el ejercicio (23) se tiene: 2 23) t - i Comprobar la representación en serie de potencia de: -----r = (í-A-y — 2 n X + X y n x = j - c j , »=1 ' ' -v + 2 2.y2 + 32 x 3 . .. + . m 2 x " + . . ., si Ix I < Derivando ambos miembros. para | x | < 1 Solución -V + 4.v +1 Del ejercicio (22) se tiene: ----- — = x + 2 x~ + ... + nx" + .. ., ( l - x )4 si |x i < 1 XT' 3 Luego / n x L a, n=l T X + ] =1 + 22x + ... + n2 xn~l + ... O - x f n-1 1 -, 2 3 ■1+ 2 x + 3 x + ... + « x +... 9 ^ ^ 0 x + 4x + l V 1 3 „ x +4 x~ + x - ----------- - — , de donde : 7 n x = ■ 4 L 0n -- xx iy4 ^n=\a (1- x ) de x: Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 24 2 (2 ^ Se rie s d e Po te nc ia 243 Comprobar la representación en serie de potencia de x: © x 4 + 1 l x 3 + 1 1a ' + x J t m í z S L Rpta. 2 £ x £ 4 11=1 —” 7—~T ~—~ ’ s' lx| < 1 ( 1 -A ) //=1 00 (¿ ) Solución GO Z 1 9 , x + 4x + x n x" = — ■■■■-- - - — , desarrollando x + 2 3 x 2 + 33 x 3 +... + n 3x" + .... = - f 4 'V ■- A , derivando ( 1 - x )4 (¿ ) y Y n=0 /tn ’s r'2"x" © -4 «4 2 4 rt-1 + 1 l x + 1 l.V+ 1 1+ 2 1 + 3 . r + ... + « x '+ ... = ---------------- 7-------( 1 - x )5 ST \ (à) Multiplicando ambos miembros por x tiene: x + 2 4 X 2 + 3 4x 3 +... + n4x" +...= R pt a. 1 - - < X < 1 + e e 00 ^ ^ n=1 y ( 1 + ~ ) ,, ( * -1 ) " n r¡=\ l)"x2" n=1 V ' 1 ( - l ) " i 3" y -------------n\ Rpta'. Ix i <: 1 1 Rpta. V x e R n =0 00 x 4 + 1 l x 3 + 1 l x 2 + x ( 7) ( l ~ x )5 £ ( -1 » " Rpta. IXI < A7—1 de donde: X 4 +1 l x 3 +1 l x - + X 1 4 4 7 n x = ------- — ----- :--------- , ¿—i a n- *- rr V rt=l X 1 I * , para !x | < 1 V /7=0 3.8 EJERCICIOS PROPUES TOS.- ti Hallar el intervalo de converge ncia de las siguientes series y dar el radio de . I. convergencia. ( 7) V —í f r i £ — ^--¿(w + l)ln(« + l) rt=l L i l _ (A )2" ¿ - i 2rt + l V Rp ta. 2 1 Rpta- ” 2 “ X < 2 Rpta -2 < x < 2 H Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 244 Se rie s d e Po te nc ia X © Z (-|) (2/7 —1)! Rpta. V x e R ® n=l Z 4 »A* n=1 R pta- es divergente V x € R x 1) „+. (X-1 )" ® Rpta. x e [0,2] n =I Rpta- n=1 00 Rpta. x = 0 @ ^ ^ ( - l ) " ( 2 w + l )' .v " »1=0 R p ta . -1 < x < 1 © H l Z T W n=\ ( 4 n - 3 )2 Rpta . -1 < x < /í=l «=o »=0 ( 2 «)! 00 © © * ‘ ( - 1)”_,jc" s«=1 n T sn=1 n (« + !)(« + 2) K «=1 Rp ta. -1 < x < 1 - Z Rpta. x e [ ——, —] 71 -> — ------ — n=O 2n + l 00 2 « ;z-V' c (w+ l) V " Z Rpta. x g [-2,2> Rpta. -1 < x < 1 /f=l n=l 00 A' 00 §> Rpta. V x e R x" — n” Rp ta. -00 < x < 00 1 00 © I? Rpta. x > 1 absolutamente convergente n =I rt=l 2n + l -x < 1 es condicionalmente convergente. X © ín=>O - Rpta. -1 < x < 1 © 5/v' n=0 Rpta. - - < * < — 3 3 < ^< *<1 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 24 6 Se rie s d e P ot en ci a 247 X Z n=1 ) O |00 n — 1 8=2 © n” n3".\n(n) z Rpta. -3 < x < 3 8=1 S*": Rpta. -1 < x < 1 2 L w! n-\ © Rpta. -1 < x < 1 (33 ) W y J-Y ~2) ( 2 n - 1) 2 ” £4) y ^ ^ ~ 00 I«=o n 00 ® 2 " " íJf + 3)" Z W=1 8=0 (_!)»->(x 5)" «3" (3n-2 ) n= 0 4 © Rpta. 1 < x < 3 2n Rpta. -2 < x < 4 ( 3 » - 2 ) ( jc- 3 ) w (n + 1)2 2',+1 n +1 Rpta. 1 < x < 5 Rpta. -3 < x < -1 n „ y¡n + 2 ® Rpta. 2 < x < 8 4 ( * - 1) n.9" Z £ 8=1 2n (x + 2)" Rpta. x = -3 Rpta. -2 < x < O /7=1 I Rpta. -e - 3 < x < e - 3 Rpta. 2 < x < 4 Rpta. -2 < x < 8 £<-«„-1 ( x -r 2 ) 00 Rpta. O< X< 4 n- 1 8=1 (*-3)5 «5" 1(n + l)ln (« +1) n=\ (32) (2 n +1 ) V« +1 8=0 Y * —— ------ * (-V-3 r n r, * -e <^x <ê Rpta. n]x" ------- (x-2)" Rpta. 1 < x < 3 00 x-2y Vc-ir1-(« +( l)ln(» + l) 8=1 Rpta. I < x < 3 Ed ua rd o Es pi no za R am os 248 © © Rpta. -2 < x < O r~\n n=1 _ i ----- Íl n- Ux " <(2n-l)x" n=1 Rpta . x > 1, x < -1 Z n- 1 ® ZW=1. ; 3" ( 50) ^ ------ — Z - < (r x --22Vf ! £ (i -- ud- i i . t - i í jc- 5 ) " © (-i)"x2fl /„ i \2 V (- i r ' í í 4 ' „.2" /í=l n — i ■A (^s? ) 12 yj ¿ -J ( n 2/11 + ] \5 x2n R pt a- x - 1 ’ x @ Y ^ ~ ¿-J n\ n=\ Rpta. - i < - v " w=l Rpta. a > 5— , x < 4 3 Rpt a. x > 3 , x < l - © J/-P" 2x^2n+1+ 1 g ) ^ ( - 2r ( « + i x x - i ) n /?=o Rpta. -1 < x < 1 I „=o n=1 w=l x Rpta. -4 < x < O Rpta. -oo< x < oo Rp ta. | x - 2 | < 2 Rpta. Ix I < 1 «=0 x n2x " ^ Rpta. O< x < 2 X X © 249 /?=! X (-D Se ri es de Po te nc ia (3x + 6 )" «! Rpta. -oo X n / 7£ _ 2 R p ta . - 2 < x < 2 © 1 ( 2 n - 2 )x 2/7 — £ < - d - , 2« -r ( « - ! ) ! ( « - l ) ! ( 2n - l ) 2 © In=\ ;n Rp ta. | x | < 1 2/i—l . -0 0 < X < 00 3 Rpta. -1 < x < 1 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 25 0 Se rie s de Po te nc ia 251 oc. (2) © ^ y H H * - 1) 2 " i(3/7-1) L a, 2" n=\ y —W t L a „ ( i + X2)" n-\ \_ £ y Rpta. -1 < X< 3 © 0C Rpta-v x*° 0 Rpta. x> 0 76) ] T ( l + ( -2 ) 'V ' ^ ( i +(_ !)> ” Rpta. x<0 Y ^ x " Rpta. Ixl < 4 (£) V l.3.5.-(2 «-l)y , ^ L a 2.4.6....(2«) »=1 © J V j¿" Rpta. -1 < X< 1 Rpta. x = 0 /í=l X n I»1=1 vs ’ 1" © ^ J ^ (l n (« ) ) 2x" Y - ^ V L//=! a (2n)\n v 7 V(3n)!-v" Rpta. -oo < x < oo > v 7, t f ("O /»=! n Rpta. -1 8l) \ ~ ' s e n ( 2 ^«) „ y ——-—— - x «=i »=2 n-2 R pta. | .v | < i n=0 Y @ Rpta. |a| < 1 «=o n=1 @ Rpta. x = 0 n= l n=\ ((*) ^ \ l + «)"x” iln(«) R pta . - 1< x <1 82) y / n=1 R p,a - w < 2 7 R pta. | x | < 4 * R pta. x = O Rpta. -oo n ' l\ + ^xn Rpta. -oo < x < oo 11 e2 Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 25 2 83) sen --------V ^ ~ x a " V Se rí es de Po te nc ia Rpta. -» < x < oo © Rpta. Ix | < 2 ® W 253 I/;=! f Rpta. x > 2, x < -2 X — Rpta. V x # 0 n=1 (g ) ¿W -=¿ n !.v" 1 n=I @ J - l + c o s 2£ « y l «=i ® Rpta_ | x | <3 n=0 3" i«=i: v Rpta. Ix I < e Y 4 íL (,-2 )" Z - j „ 3 + 4« /I=l Rpta. 1 < x < 3 @ R pta . -2 < x á 2 ® (3x)ff ^n+1 2 2 Rpta. — < .r < — 3 3 ( - l) V ’ i In 2 1 + * ® In=l "(x-w 3" Rpta. -1 < x < 1 Rpta. x > — l n-l Rpta. -2 < x < 4 n=l (-l)"+l(.v + l)2" (g ) ^ ( _ i ) " + l(2^ 3)2 _ 3n - 2 W=I Rpta. K x < 2 (90) ^ V — í— ( — ) 2n- 1 Z - » i22nn-l- \ 'xx ++l l n=l Rpta. x > 0 w= 0 w ^ W=1 (/3 + 1)2 5" 2 ' ji 1 OC __ J ___ ¿-J „1-xV W=1 Rpta. x > 1 , x < -1 n=0 n+1 R pt a. [ - V 5 - 1 , V 2 - l ] Rpta. -1 < x < 3 2 2 Rpta. — < r < — 3 3 Ed ua rd o E sp in oz a Ra m os 25 4 Se rie s de Po te nc ia 00 ce @ ^ ( - l) " ( » + l)x" Rpta. -1 < x < 1 © n=0 (Í 02 ) 255 ac ^ / j 2 ( x - 1 )2 Rpta. 0 < x < 2 ( D n=1 (-»"'(x + W 3".w2 Rpta. -7 < x < -1 Z «=1 00 zn= 1 00 Zn= 1 M + lxi n2 Rpta. ¡x | < (-1 )” 1.3.5. ..(2/7-1) 2n+l ------------ --------- - x 2"+1 2 .4. 6 .„( 2 «) Rpta. [-1,1] J sen [(2n -l) x ] Rpta. <-co, +oo> (2/7-l)2 sug: n=l (S ) V -/ y Á a 22"<2nV. "( 2 «)! n=l - (-I)"-'n\¿)"x" \ ---------------é ------ L a 1.3.5...(2n-l) 1.3.5...(2 /?-l) n=1 f i) V _y V Z - i ( « + l )l n( « + l ) n=\ ^ ' 2" sen(-^-) n=O © Z 3".«2 «=i 1.3.5...(2w-l) v ,v (m) Z yi^Lzl)(,-,r - 22.5.8...(3«~1) .5 . 8. .i 3 « ~ n j sug: 44 R pta. — < x < 3 3 © Rpta. -1 < x < 1 Verificar que: ln (-Í ^ ) = 2 y * — ------ , para !x | < 1- x 1 2n + 1 n=o rp (l is ) _3 3 2 2 1 . D t 5 Rpta. — < x < — 2 2 n= l © z «=o 2 «+l y5(" +l) ------------2« + l 1 < — ~ „2 Rpta. -00 < x < 00 OC Demostrar que: ——— - = x + (l- x )ln (l- x ) n=2 ( - i r - I nQ O ^ V (2/7- l )2 X Rpta. -6 < X < 10 4 4 sen( 2 « - l ) x 1 1 Rpta. - 77= < x < -77= \¡2 y¡2 ( li ó ) Comprobar la representación en serie de potencia de x: Z «=o (IT 7) (n + l)(„ + 2)(« + 3) „ = ---------------- ------------------ x 3! 1 = _ _ _ o . | | ( 1 - x )4 Comprobar la representación en serie de potencia de x: 00' ^ £ « + l)(/7 + 2 )x" 2! 1 "-«> si Ix ¡ < x x2" 2" sen(— ) < 3" 3" 256 ( íl^ Ed ua rd o Es pi no za Ra mo s Comprobar la representación en serie de potencia de x : Se ri es de Po te nc ia (n í) 257 Escribir el desarrollo en serie de potencia de x: 00 , 2"-\ x" R pt a. / ( x ) = x + ^ ' ( - l ) ' ' (»-!)! ¿7 7 =i 2 f ( x ) = xe ~2x a *'= X ^ r ~ x " , a > 0 (sug-: a X = e X ' n^ n=0 ^19 ^ 2/7 Comprobar la representación en serie de potencia de x: b) / ( x ) = c o s2 x R pt a. / ( x ) = 1+ ^ 00 (l2 o) si• 11x I ^< o2 2/7 c) / ( * ) = e o s2 x Z T d) . 9 2 /7-1 / ( x ) = s en 3 x + x c o s 3 x ( _ 1)"+1— — x 2" (sug.: cos2x = l-2 se n 2 x ) (2 n)\ ■ Comprobar la representación en serie de potencia de x: / ( -* ) = f l + x x 2n+1 l a . ------ = > --------- f) / ( x ) = l n (x + V x 2 + l ) .1 1 si x < 1 l + x -2 x 2 1 . . . . n=I .................... SI v / . (125) x < - 't 3 2 ” v 2 ' ,+1 9 + x X X2"+l R p ta . / ( x ) = V ( -1 )" :V'+! ' 11 =O Hallar la serie de potencia de x de /( x ) = ( l - x ) ( l + 2x) 2 00 • Rpta. / ( x ) = ^ ( l + ( - ir 2 " +1)x" n=0 3x 1 1 , (sug.: ------------- - = ------------------) l + x - 2 x 1—x l + 2 x 126) (123 ) V R p t a . / ( x ) = 2 > ( - l) " ( /j + 2 ) :— :------i— i ( 2 n + l)! _ . ,, , 1 X3 1.3 5 (-l)"1.3.5...(2n-l) x 2"+1 , . , Rpta. f ( x) —x — .— + ------- x + ... + -— -----------------------------------------------i ---------2 3 2.4.5 2.4.6...(2«) (2« + l) 1 1 Comprobar el desarrollo en serie de potencia de x: 3x ( 2 «)! n=0 e) +l Vl-x ¿L/2n n=O „ (2x)- /7=1 77= 1 (Í 22 ) Rpta. f ( x ) = 1+ — (-1 ) 2 ¿ —J Comprobar la representación en serie de potencia de x: 00 ^ 2 l) (2/7)! n= l 1 Y <2n+x — - 2 - x n=0 2/7 (-1)"-—-— Hallar la serie de potencia de x de la función: /( x ) = 1- eos X Integrando ténnino a término de O a x una representación en serie de potencia XP x2"+l 1 de t arctg(t). Demostrar: j ( ~ l ) 7----- ~ \7 -------- \ = _~IX*2 +l)arctgx-x] ( 2« - l ) ( 2n + l) 2 R p ta . / ( x ) = £ 00 ( _ 1)„+Ix 2«-1 =1 ( 2 «)! Ed ua rd o Es pin oz a Ra m os Se rie s de Po ten ci a (Í 34 ) Hallar la serie de potencia de x de la función: f ( x ) = ien3 x 25 9 Analizar la convergencia ó divergencia de las series siguientes y en caso de ser convergente calcular su suma. i y Rpta. / ( - y) = 4 n=0 (—1)'—'(32'--1 ) t 2, +i (2n +1 ) . 3) Muestre que: 2 x3 2 .4 5 2 .4 .6 7 arcsenx = xH------- H------- x H--------- x 3 3.5 3.5 .7’ ^ 2 2> ! ) 2 x2n+l (2n + 1)! — X n=0 ., Hallar la serie de potencia de x de la función: f ( x ) = Rpta. f ( x ) = • b) COS A* 2 24 n} + 2n +1 T V( « - ! ) ! Rpta. 20e /7=1 ----- - 1 + x . c) - 3 13 44 13 5 , X-2 X 1 - X H ------------------ h — X x -------— X + . 2 V -' n2(n + 1)2 L ......276 24 Hallar la serie de potencia de x de las funciones V -'/?2—5« + 2 -3e X d) »> R pt a. — ^ ( * - l )2 «=1 oc Z n=1 1 1 «!(« + 2 ) 2 ------------ = — e) Rpta- e 4 ~ i ,1=1 ce ' «3 + 2« +1 , —------j------ en caso de Z 135) 1 Hallar la suma de la serie V/ — ---------- _1, 2 ” «(« + 1) 136) Analizar y calcular la suma de la serie ^ «=i ,7'^ Rpta. ln(~— ) ^ v 137) ^ Calcular la suma de la serie Y * — 1—— -r 2" ( 2\/x + 1) Rnta. . Rpta. 1 n=0 ser convergente calcular su suma. Rpta. 8e Calcular la suma de la serie N ' ----------- j , sabiendo que: n{n +1 ) P I- X Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 26 0 * ' (l3 8) La siguiente serie es convergente, calcular su suma 1 139) In=I Si¡ y - L = e . Hallar la suma de la serie « n ! n=0 (l4 4j w n + 3n + 5 Hacer un análisis y calcular la suma de la serie ^ ' n=l (l^ ) Estudiar la serie si converge hallar su suma y ^ (« - 1)3 »=1 ^4 ft) Estudiar la serie si es convergente, hallar su suma n(n +1) R p t a . : -[ 2 1 0 1 n - + — ] 6 72 Analizar y calcular la suma de la serie ^ ' n(n + l)x" n=l Rpta. 1 y* n=0 (n + !)(« + 3)6" 00 ^41 ^ para 0 < x < — 3 R pt a. - s e n 2 x 00 (l4G^ Hallar la suma de la serie de la función 'Ñ 1 Rpta. 13- e (n + 2)! 261 7T~ y ~ n=0 Rpta. 00 Se ri es de Po te nc ia •, para | x | < 1 . (l-x)J ® 00 Estudiar la convergencia ó divergencia de la serie y ' - — -— '(» + 1) 8" 9 8 Rpta. — 8 ln — 9 8 convergencia, calcular la suma. Hallar la suma de la serie ^ ' (« + 2 )(w + l)x" y concluir que ^48 ^ n=0 Calcular la suma de la serie, analizando en que intervalo converge °° _ 1 y’'C~'(« (« + 2 )( )(n + 1) 7 143) Demostrar que oc (!-*)’ ~P 1 s n= 0 abreviación de „ 30 ---------- , y aplicar para calcular la suma de la serie 7 --------------«(« + 1) ¿ - ‘ n (n + 1)4" «=1 «! n-0 y en caso de para 11+ p todo entero positivo P, se tiene: ^ 4^ es una jc" , Ix I < 1 , donde el símbolo n= 1 OC La s ig ui en te se rie y — e s c on ve rg en te , c alc ula r su suma. ,.'(« +3)! n= \ P , (” +/>X " + /> + 1)- (^ ± l) 1.2.3 .. .p D * Rpta. deducir ia ’ V ry formula: © 4e- 2? ---------- 2 Estudiar la convergencia ó divergencia de la serie y -- ^ n , e n caso de Á - J (n + m n ser convergente calcular su suma. Ed ua rd o Es pi no za Ra m os 26 2 Se rie s d e Po te nc ia 26 3 00 rf. ' Analizar la serie ^ ^n(n + \) xn~x y calcular la suma ele la serie. Aplicar a 00 1 1 — Pruebe que N ' | — -'y dx c on ve rg e y F — — dx < 71 ¿-' J)l +x2 12 L a J, \ + x n=1 „=1 15 ^ Sumar la serie n=1 oo 3 n=1 Z na ---- ab = Z sumar oo co ln 5" ’ ;j=l i— v2 +7tn (160 j . ST ' F+ñ sen2 Analizar la serie ie 7 I ------ r L a j +i 14-.y + x 4 «=1 © 1*— ( 2/1 Usando serie de potencias, demostrar que \ ' (-1)''77— - + 1) = 1 Z -i « (« + 1) «(n /I=l 3" -2 Z a ^ \ -l)"+1— 2" n=1 aplicar el resultado para »=1 6 " (l 5 ^ r~- ' 158) n=l Halle el radio de convergencia de la serie ----- f — )x" para a,b > 0 n= l arbitrarios. - 1, |jc| < 1 154 J Demostrar que• V ( — _____ - ) = ^ S + . T 2" 1 +X 2"“2 n=l 2' 0 , IjcI > 1 17« Hallar el intervalo de convergencia de la serie:¿ ^ + r (155y n= 156 ) Calcular la suma de la serie arctg (y) + arctg(----- — —) + arc tg( ------ ----- - ) +... + arctg(----------------------i -------) r 1 + 1 .2 .x 1 + 1.2 .3 . x vi+//(«-i)x2/ rx 1 Rpta.: — 2 i«3[V2 + (-l) " ]" ^3 (26 + 1972 ) Pruebe que 3" „=i oc 157) 163 ) “ 34-2 4V 2 (I 64 ) tg" ( £ ) Pruebe que ^ ' -,----- ^ (n + 3)¡ w=0 J_ ^ ^ 16273 [ 5 4 e ^ - 63 - 19 -7 1 ] Analizar la serie si es convergen te calcular su suma: 00 Z /í=l senx a„ - _ - 2 sen2x sen3x 2- 23 + _ r - + _ _ _ + ... R p la . 2sen x 5-4 co sx Ed ua rd o Esp inor. a Ra m os 264 170J X (g ) Dadas las series infinitas: ^ n=1 Se rie s d e P ot en ci a , 1 > 1 a„ = 1+ —COS.V+ — cos2.v + — cos3.v + ... 2 2 2 Estudiar cada una de las series siguientes: , a) X- ' 1 1 1 7 b„ = —senx + —rsen 2x + ---sen3 x + ... Z - j " 2 T 2 V 1 «2 1)5"7 ¿/ - J (---------n ++ 1)5" (« «-1 c) a) Demostrar la convergencia b) Calcular la suma de cada serie n~1 d) CC ^ (^ 7l ) Siendo 0 < k < 1, Calcular la suma de cada serie Hallar la suma de la serie 1- Aeos a Asen a l + A2 - 2 A c o s a l + A2 - 2 A c o s a V"'' 4 (n + 1)! 7 (-----¡----- -------------) 3 «! 3!.«!.4 77=1 X 16^ Desabollando en serie de potencia la función / (x ) = ex , calcular ^ ' — 77=4 Rpta. 0.2128 X ^69^ Estudiar la serie Si la serie es convergente calcular su suma ^ M /J + 1)(-V 77=1 Rpta. p 4" , si converge calcular la suma 42 4 Rpta. Converge, su suma e s -------27 „=0 16 7 ) 71= 1 n-1 = Asen a + A-2 sen 2 a +... + A" sen na + ... Rpta.. ^ en caso de ser convergente. Hallar la suma cp ^ ’ a„ = 1+ Acosar +k ~ eos 2 a + ... + k" eos na + .. «=o e in x ^ [ ( 3 - n + 2 -2")«]2 «=1 Dada la serie infinita. 1( r t - 3 )2 b) «y 77=I Se pide 265 r -~ | O ' APENDICES SUMATORI \S . n =íj, +a 2 +•••+«„ <=i n ] T / ( / ) = /( l ) + / ( 2 ) + . .. + /( » ) i =i FÓRMULAS IMPORTANTES. © + © i=I /=! ^ . 3 = " ( ^ +1 )~ 0 ¿ í 2 = ^ ( « + 1)(2» + D © í=l = ^ ( n + l )( 6» 3 + 9 « 2 + / ; /= PROPIEDAD ES DE LA SUM ATORI A © y k = nk,, k constante. i=\ i=i n n n /=i /=i /=i © 2 > 0±g(0] =5 > ± 5 > © n £ [ / ( / ) - / ( / . - ! ) ] = f i n ) - f i f i ) (Ira. Regla telescópica) /=] n © / ( 0 ~ / (* •~ 1)] ~ / ( ” )~ f ( k - \ ) (Ira. Regla telescópica generalizad;

Sucesiones y series infinitas - Eduardo Espinoza Ramos.pdf

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