SUCESIONES INFINITAS Una sucesión es una lista de números
en un orden dado. Cada
El término
etc., son los términos de la sucesión. etc.,
se llama n-ésimo término.
Ejemplo 1: 1: 2, 4, 6,…, 2n,…
e
El entero n se denomina índice de La sucesión n al n-ésimo término
e indica donde aparece
en la lista.
es una función que envía , por lo tanto:
y en general el entero positivo
Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos .
Ejemplo 2, la función asociada a la sucesión 2, 4, 6,…, 2n,… envía sucesivamente.
y así
El comportamiento general de las sucesiones se describe por medio de la fórmula
Igualmente podemos hacer que el dominio sea los enteros mayores un número dado
Ejemplo 3: 3: la sucesión 12, 14, 16, 18, 20,… se describe por medio de la fórmula medio de la fórmula
Las sucesiones pueden describirse anotando las reglas que especifican sus elementos:
√ O bien listando sus términos:
*+ {√ √ √ √ √ √ } *+ *+ *+ * +
.
o por
O también:
*+ {√ } Convergencia de sucesiones. Una sucesión {a n } tiene el límite L, o converge a L, lo cual se denota por
Si para todo
>
existe un número positivo N tal que
<
siempre que n > N.
Si tal número L no existe, la sucesión no tiene límite o diverge.
Teorema 1:
* + S eces . S ∞ be∞eces ∞ be∞. *+ Sea una sucesión infinita y sea f (n) = , donde f ( x) existe para todo número real .
Ejemplo 4: Sea
Determine si
converge o diverge.
Solución:
d e e ( ) Entonces por el teorema 1(i)
Por lo tanto, la sucesión
*+
( )
converge.
Ejemplo 5: Determine si cada sucesión diverge o converge.
a)
*+
*+*+
b)
Solución (a):
( )∞ Entonces,
( )∞ Por lo tanto la sucesión diverge. Solución (b): Si tomamos n = 1, 2, 3,… vemos que los términos de – 1:
*+
1, – 1, 1, – 1, 1, – 1,… Por lo tanto,
ese sces dee. Teorema 2:
< ∞ >
Ejemplo 6: Determine si cada sucesión diverge o converge
( )
*.+
Solución (a):
De acuerdo al teorema 2(i),
| |< Por lo tanto la sucesión converge.
Solución (b):
*.+ ∞
.>
Por lo tanto la sucesión diverge.
oscilan entre 1 y
Teorema 3: Teorema de intercalación para sucesiones infinitas.
* + * + * +
Si son sucesiones infinitas tales que para todo n, y si
Entonces,
e c e e de sces Solución:
, multiplicando la desigualdad por
() ee des
Por el teorema de intercalación se deduce:
Teorema 4: Las seis sucesiones siguientes convergen a los límites que se listan:
√ 1 > < ! ∞
En las fórmulas (3) a la (6), x permanece fija cuando n
EJERCICIOS En los ejercicios 1 a 20, escriba los primeros cuatro elementos de la sucesión y determine si es convergente o divergente. Si la sucesión converge, calcule su límite.
√
se *.+ √ ⁄ ⁄ ()
SERIES INFINITAS DEFINICION:
*+
Dada una sucesión infinita de números, una expresión de la forma:
si mo té rmino de la serie. es una serie infinita. El número es el n -é
La sucesión definida como:
. . .
∑ . . .
es la sucesión de sumas parciales de la serie, donde
sima suma parci al . Si la sucesión es la n -é
de sumas parciales converge a un límite L, se dice la serie converge y que su suma es L. es decir:
∑
Si la sucesión de sumas parciales de la serie no converge, decimos que la serie diverge .
