UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA EXAMEN FINAL - ECONOMETRIA II Docente: Rafael Capar´o. o. Secci´ on on: L. Fecha: 15 de diciembre 2016.
1.
Preg regun unta tass
P1. Los turistas llegan en auto a una ciudad de playa de acuerdo a un proceso de Poisson de intensidad λ intensidad λ y permanecen un tiempo Z con distribuci´ on on P ( P (Z t) = G(t).El tiempo de permanencia de cada auto es independiente del proceso de llegadas y de los otros tiempos de permanencia. Si se consideran solo los autos que llegan a partir de un instante fijo t fijo t = = 0,llamamos 0,llamamos X X ((t) al n´ umero umero de autos de turistas turistas que se encuentran en la ciudad en el instante t instante t..
≤ ≤
a) Halle la distribuci´on on de X (t), t ), t 0. b) Si µ(t) = E (X (t)), halle limt µ(t). c) Halle el valor de µ(t) si Z tiene distribuci´on on exponencial de par´ ametro. ametro.
≥
→∞
Soluci´ on: on:
a) Un auto que llega en el instante s est´a en la ciudad en el instante t > s con probabilidad probabilidad P ( P (Z > t s) = 1 G(t s)
−
−
−
Dado que N ( N (t) = n los tiempos de llegada τ 1 , τ 2 ,...,τ n de los n autos a la ciudad tienen distribuci´ on on uniforme en [0, [0, t] y son independientes. Para el c´alculo alculo que queremos hacer el orden de las llegadas no es importante. Por lo tanto la probabilidad de que uno cualquiera de los n autos que llegaron en [0; t] todav to dav´´ıa est´e en la ciudad ciu dad es
− t
p( p(t) =
(1
G(t
0
−
1 1 s)) ds = ds = t t
− t
(1
G(s))ds ))ds
0
Como los tiempos de permanencia son independientes entre si y del proceso, P ( P (X (t) = i N ( N (t) = n) n) =
|
n ( p( p(t))i (1 i 1
p(t)) − p(
n−i
, i = 0, 1,...,n.
Usando la ley de la probabilidad total
∞
P ( P (X (t) = i) i ) =
P ( P (X (t) = i N ( N (t) = n) n)P ( P (N (t) = n) n)
n=i ∞
=
n ( p( p(t))i (1 i
n=i
∞
= e
p(t)) − p(
n!
λt
−
n=i
(1)
|
i!(n !(n
(λtp( λtp(t))i λt = e i!
)!n! − i)!n
∞
n=i ∞
(λt) λt)n e n!
− i)!
(λtp( 1 λtp(t))i λt = e (λt(1 λt(1 i! n ! n=0
(λt(1 λt(1
λt
−
(λtp( λtp(t))i (λt(1 λt(1
1 (n
n−i
(2) n−i
p(t))) − p( n−i
p(t))) − p(
(4)
n
p(t))) − p(
(5)
(λtp( λtp(t))i λt λt(1 p(t)) = e e i! (λtp( λtp(t))i λtp(t) = e i! de modo que X (t) tiene distribuci´ on on de poisson con par´ametro ametro λtp( λtp(t). −
b) Sea µ(t) = E ( E (X (t)) = λtp( λtp (t).Ademas:
− − − − − → t
p( p(t) =
G(t
(1
0
cuando t cuando t
→∞
t
1 1 s)) ds = ds = t t
(1
G(s))ds ))ds
0
∞
(1
G(t
s))ds ))ds
E (Z )
0
y µ(t)
→ λE (Z ) c) Si Z ∼ Exp (α) entonces: ∼ Exp( 1 p( p(t) = t
− t
(1
t
G(s))ds ))ds = =
0
e
αs
−
ds = ds =
0
y µ(t) =
λ (1 α
αt
−e
)
Observamos Observamos que cuando: t
→ ∞, µ(t) → αλ 2
1 (1 αt
(3)
−e
αt
−
)
(6) (7)
P2. Suponga que la agencia de protecci´ on ambiental (APA) es quien establece los est´andares para Garantizar la calidad de las emisiones de aire por parte de las empresas. El l´ımite m´ aximo Permitido de cobre en las emisiones es de 10 part´ıculas por mill´ on y usted trabaja en una empresa Donde el valor medio en sus emisiones es de cuatro part´ıculas por mill´ on. a) Si se define X como el n´ umero de part´ıculas por mill´on en una muestra ¿Cu´al es la desviaci´on est´ andar de X en su empresa?. b) Si el n´umero medio de part´ıculas por mill´ on en su empresa es efectivamente de cuatro por mill´ on ¿Tendr´ıa usted temor de que la agencia lo multe por contaminar el aire? Soluci´ on:
a) Usamos una distribuci´on de Poisson con par´ametro:
λ = 4 La varianza de una distribuci´ on de Poisson es λ,por lo tanto su desviaci´ on 0,5 estandar esta definida por λ = 2 part´ıculas por mill´on. b) La probabilidad que la empresa supere las 10 part´ıculas por mill´ on es: P (x > 10) Esta probabilidad es igual a: 1 =1
− P (x ≤ 10)
− [P (x = 0) + P (x = 1) + P (x = 2) + ... + P (x = 9) + P (x = 10)]
F´ormula de poisson:
e
λt
−
P = (x = k) =
( λt)k e λ ( λ)k = k! k!
−
−
−
Por lo tanto e 4 40 e 4 41 e 4 42 e 4 49 e 4 410 [ + + + ... + + ] 0! 1! 2! 9! 10! −
1
−
−
−
−
−
1 [0,0183+0,0733+0,1465+0,1954+0,1954+0,1563+0,1042+0,0595+0,0298+0,0132+0,0053]
−
3
Por lo tanto: 1
− [0,9972] = 0,0028
La probabilidad, pues, de ser multado es muy baja, o.oo28 .
2.
Preguntas para marcar 1
1. Se usa la Binomial Negativa; como una generalizaci´ on de la distribuci´ on de Poisson; debido a que: a )
La propiedad de equidispersi´ on es violada comunmente, dado que es m´as com´ un la infra-dispersi´on.
b)
La propiedad de equidispersi´ on es violada comunmente, dado que es m´as com´ un la sobredispersi´ on.
c )
La propiedad de infradispersi´ on es violada comunmente, dado que es m’as com’un la equidispersi´on.
d )
NA
2. La Binomial Negativa es una generalizaci´on de: a )
La distribuci´ on normal.
b)
La distribuci´ on exponencial.
c )
La distribuci´ on Chi-Cuadrado.
d )
La distribuci´ on de Poisson.
3. La heterogeneidad no observada podr´ıa ser generada por :
1
a )
Introducir aleatoriedad adicional a la variable aleatoria.
b)
Introducir aleatoriedad adicional a la variable end´ ogena.
c )
Introducir aleatoriedad adicional al valor esperado de la variable end´ogena.
d )
NA
Se debe haber asistido a todas las clases para responder la pregunta.
4
Respuestas 1. b 2. d 3. a
P3. Sesgo de selecci´ on, un reconocimiento al premio nobel ganado por Heckman : Heckman gan´ o el premio nobel por criticar a los modelos que no consideraban el sesgo de selecci´ on, siguiendo lo expuesto en clase se le pide los siguiente:
P3.a(2ptos) Demostrar c´ o mo se obtiene el sesgo de selecci´ o n de Heckman. El sesgo de selecci´ on muestral surge cuando las muestras a disposici´ on de los investigadores no son .aleatorias”, es decir no representan adecuadamente la poblaci´on que se desea estudiar. Dentro de los sesgos de selecci´ on existen diferentes modalidades que pueden depender de los criterios del analista, de la decisi´on de los agentes econ´ omicos, etc. En base esto podemos decir que el propio analista, al decidir el dise˜ no muestral, puede realizar una mala selecci´on de los grupos que se comparan, o bien, lo que se puede dar es un problema de autoselecci´ on, cuando los individuos deciden autoseleccionarse para pertenecer a un determinado grupo lo que conducir´ıa a conclusiones err´oneas (”sesgadas”) sobre el efecto de las variables end´ ogenas. En este caso, al estar ”sobrerrepresentada.alguna variable ex´ogena en la muestra, se tiende a subestimar el efecto de esta variable. El procedimiento sugerido por Heckman para trarar con este tipo de problemas es conocido como el m´etodo de dos etapas. Heckman parte de dos ecuaciones , una ecuacion de inter´es que corresponde a la ecuaci´ o n del investigador y la ecuacion de seleccion o participacion(regresion auxiliar). La observaci´ on de la variable dependiente y 1i es funci´on del valor de otra regresi´on: la ecuaci´ on de selecci´on que relaciona la variable latente y2i con algunas caracter´ısticas observadas z i .
5
y2i = z i δ + ν 2i
(8)
y1i = x i β + u1i , si y2i > 0
(9)
Adem´as , se asume la exixtencia de una distribucion normal bivariada de los errores en la ecuaciones ( 1) y (2) 2 1
(10)
∼ N (0, 1)
(11)
u1
∼ N (0, σ )
u2
corr(u1 , u2 ) = ρσ 1
(12)
De esta forma la ecuaci´on de selecci´on se convierte en un modelo probit De esta maner ausando el supuesto de normalidad y las propiedades de la normal bivariada truncada podemos calcular el sesgo de selecci´ on: E (y1/y2 ) = xβ + E (u1 /u2 > = xβ + ρσ1 λ[
−zδ )
(13)
−zδ ]
1 φ( zδ ) = xβ + ρσ1 1 Φ( zδ )
−
− −
= xβ + ρσ1
φ(zδ ) Φ(zδ )
asi la magnitud del sesgo dependera de la correlacion entre los errores(ρ ), la varianza del error y la severidad del truncamiento( la razon inversa de Mills)
P3.b(2ptos) Describa la soluci´ on planteada por Heckman para superar el problema del sesgo. Desarrolle los componentes del modelo planteado por Heckman para superar este problema. La ecuaci´ on para y1i es una ecuaci´ on de regresi´ on com´ un. Sin embargo, bajo ciertas condiciones no observamos la variable dependiente de esta ecuaci´on. Denotaremos si observamos o no esta variable mediante una variable dummy D2i . 6
Ahora, para explicar la soluci´on de Heckamn, primero , estimamos el modelo de Heckman: E (Y 1 /Y 2 > 0) = X β + ρσθ(Zδ )/φ(Zδ ) El objetivo es estimar β en la ecuaci´on: y 1i = x i β + u1i , s i Y2 > 0 por MCO incluyendo en dicha ecuaci´ on la medida θ(Zδ ) φ(Zδ ). Con este fin Heckman (1979) sugiere realizar los siguientes pasos: 1. Estimar δ consistentemente usando un probit para la probabilidad de observar los datos en funci´on de z.
2. Calcular su valor a justado para la funci´on ´ındice o variable latente Y2 i = Z1 δ y calcular la raz´on inversa de Mills λi como funci´on de Y2 i
3. Inclu´ır λi la regresi´ on de Y 1 sobre X i para aproximar λ(Z i δ ). El coeficiente de λi ser´a una medida de ρσ1 y de esta forma una estimaci´ o n de ρ y de σ1 puede ser obtenida a partir de all´ı. Los valores resultantes (estimadores) de /beta ,ρ y σ1 son consistentes pero asint´ oticamente ineficientes bajo el supuesto de normalidad.
P3.c(1pto) Comente la soluci´ on planteada en base a la t´ ecnica de M´ axima Verosimilitud Lo primero que se procede a realizar es la especificaci´ on del modelo. En este caso al considerar e sesgo de selecci´ o n, cada grupo va a tener una funci´on de verosimilitud. i) Aquellas donde y1 es observada para lo cual sabemos que se cumple que y1 > 0. Para estas observaciones la funci´ on de verosimilitud es la probabilidad del evento y1 y tambi´en ocurra que y2 > 0.
P (y1i , y2i > 0/x,z ) = f (y1i )P (y2i > 0/y1i , x , z ) = f (ν 1i )P (ν 2i >
i
1i
∞
1 y1i xi β = φ σ1 σ1
−
−z .δ/ν , x , z) z σ
− i
7
f (ν 2i /ν 1i )dν 2i
1 = σ1
− − − − − − − − − − y1i
∞
x1 β
φ
σ1
ρ σ1
ν 2i
z σ
1 y1i x1 β = φ σ1 σ1
1
1 y1i x1 β = φ σ1 σ1
Φ
ρ σ1
z i σ +
ρ σ1
ρ2
xi β )
(y1i
1
−ρ
dν 2i
xi β )
(y1i
1
z i σ +
Φ
ρ2
1
− i
xi β )
(y1i
2
Aquellas donde yi no es observada para lo cual sabemos que se cumple que y2 < 0 del manera, no tenemos informaci´ on independiente para y1 .
≤ 0)=P(ν ≤ −z .δ ) =φ(−z ).δ =1-φ(−z ).δ P(y2
2i
i
i
i
De esta manera considerando la funci´ on de verosimilitud para todos los elementos de la muestra obtendr´ıamos la siguiente expresi´ on:
∞
logL(β,δ,σ1, datos) =
n
− ∞
log(1 φ(z i δ ))+
−
[ log(σ1 )+log(φ).
n
y1i
x1 .β
−
σ
+log(φ).
Estos estimadores ser´ an consistentes y asint´oticamente eficientes bajo el supuesto de normalidad y homocedasticidad de los t´erminos de error no censurados. Aunque unos de los problemas que tiene la estimaci´ o n por ML es que la funci´on no es estrictamente c´ oncava y en consecuencia no necesariamente existe una u ´ nica soluci´on.
P4. Modelando los beneficios de un conjunto de empresas con Datos de Panel Est´atico y Din´ amico: El siguiente ejercicio ha sido tomado de Novales(2002). Con el objeto de preveer el margen de beneficios de un conjunto de empresas productoras de un mismo bien, un investigador ha propuesto el siguiente 8
z i .δ +
ρ σ1
(y − x √ 1 1i
modelo:
yit = β 1 yit 1 + β 2 yit 2 + it −
−
(14)
it = µ it + αi ; n = 1...Nyt = 1...T E [µit ] = E [αi ] = 0, i, t;
∀
E [µit α j ] = 0, i,t,j
∀
E [µit µ js ] = σ µ2 ,sii = jyt = s E [µit µ js ] = 0, enotrocaso E [αi α j ] = σ α2 ,sii = j E [αi α j ] = 0,sii = j
Valor de la producci´on de la empresa i en el momento t Donde y it es el margen de la empresa i en el momento t , definido como: yit =
V it
− W
it
(15)
V it V it :Valor de la producci´ on de la empresa i en el momento t W it :Costos variables de la empresa i en el momento t
a) Demostrar porque MCO no seria una t´ecnica de estimaci´ on adecuada en este caso. ¿En qu´e caso el estimador intragrupos seria adecuado ? yit = β 1 yit 1 + β 2 yit 2 + it −
−
yit = β 1 yit 1 + β 2 yit 2 + αi + µit −
−
(16)
(17)
Si se utiliza MCO para estimar los β en el modelo din´amico anterior nos arrojara β etas inconsitentes debido a la correlaci´ on entre αi y yit 1 . Si los β son mayores que cero el sesgo asint´otico no tiende a cero: β > 0 , E β = β −
9
El estimador intragrupos consiste en utilizar MCO con las varibales de (11) transformadas en desviaciones con respecto a sus promedios individuales, es decir, c´alculados a tr´ aves del tiempo. A diferencia del caso est´atico, en el caso din´amico este estimador es inconsistente debido a la correlaci´on entre las variables transformadas: yit 1 = 1 yit 1 y it 1 y µit 1 = 1 µit 1 µit 1 . Bajo determinados supuestos , el sesgo asint´otico es positivo para β > 0 y aumenta con σα2 ; es de orden 1/T, por lo que disminuye al aumentar la dimensi´on temporal del panel, pero, habitualmente , T es muy peque˜ no en paneles microecon´omicos, por lo que el sesgo del estimador intragrupos es importante. Por lo anterior el estimador intragrupos es mas adecuado para paneles macroecon´ omicos con T grandes.
−
∗
−
−
−
∗
−
−
−
−
Explicado de manera similar, al igual que en otros modelos econom´etricos la utilizaci´on del estimador MCO directamente es inconsistente, debido a la autocorrelaci´ on entre α i y yit 1 y tambi´en α i y yit 2 , pudiendo demostrar que su sesgo asint´ otico no tiende a cero y es negativo para valores β i > 0. −
−
¿En qu´e casos el estimador intragrupos ser´ıa adecuado? El estimador intragrupos consiste en utilizar MCO con las variables de modelo (Ecu. 8) transformadas en desviaciones con respecto a sus promedios individuales, calculados a traves del tiempo, este estimador es incosistente debido a la correlaci´on entre las variables transformadas. yit 1 = y it
−
1
−
−y
it−1
y µit = 1 µit
∗ −
Donde hay correlaci´on entre yit
1
−
µit 1 . −
y µit
1
−
b) ¿Qu´e ventajas e inconvenientes se muestran al usar la t´ecnica de las primeras diferencias, al modelo planteado? yit = β 1 yit 1 + β 2 yit 2 + αi + µit −
yit 1 = β 1 yit 2 + β 2 yit 3 + αi + µit −
−
−
−
1
−
(18)
(19)
Una ventaja es que desaparece αi ya que al restar (12) y (13) tenemos: ∆yit = β 1 ∆yit 1 + β 2 ∆yit 2 + ∆µit −
10
−
(20)
Pero nos encontramos con que ahora ∆yit 1 y ∆µit 1 estan correlacionados. Tambi´en observamos que como el sesgo en muestras finitas de este estimador(primeras diferencias) no depende del tama˜ no muestral y, por consiguiente, no tiende a cero; de hecho, puede probarse que al tender T a infinito, se tiene pl´ım(β β ) = (1 + β )/2, que es negativo cuando β > 0, lo que implica que se subestima la estructura din´ amica del modelo de la ecuaci´on (8) −
−
−
−
El estimador MCO en primeras diferencias es asimismo inconsistente. El modelo se convierte en: ∆yit = β 1 ∆yit 1 + β 2∆yit 2 + ∆µit −
−
Del que ha desaparecido el efecto individual α i , sin embargo ahora ∆yit 1 y ∆µit estan correlacionados, puesto que yit 1 y µ it 1 lo estan. Lo mismo ocurre para yit 2 y µit 1 . −
−
−
−
−
Por lo tanto, el sesgo en muestras finitas este estimador no depende del tama˜ no muestral, por lo que el sesgo tiende no a cero c) Proponga un estimador consistente y eficiente de β 1 y β 2 en el caso de T=4 a˜ nos. Cuando el tama˜ no de T es muy peque˜ no, el estimador adecuado entre el estimador intragrupos y el estimador em primeras diferencias resulta ser el estimador en primeras diferencias , cuando el valor de T es igual a 2 es indiferente el uso de ambos estimadores en el caso de que T tome valores mayores a 4 como en este caso resulta mucho m´ as conveniente usar el estimador intragrupos. d) Cambiara su respuesta anterior en el caso de T=5? No, pues para muestras que constan de cuatro o mas observaciones temporales se utiliza el estimador anterior como T > 4 no es necesario.
11
Laboratorio (12 ptos.) Aqui expondremos s´o lo una parte de lo ya presentado en el trabajo de Laboratorio inclu´ıdo en el ex´ amen Final
Aplicacion a Lima Metropolitana Procedimiento Paso 1: Para construir los modelos descargamos la informacion secundaria de fuentes estad´ısticas del INEI y Ministerio del Interior. Analizamos los datos estad´ısticos de cada uno de los 49 distritos de Lima Metropolitana y observamos d´ onde hay mayor incidencia de algunas variables de criminalidad como ”Delitos denunciados”. Observamos que los distritos con mayores concentraciones de delitos en los ultimos ´ 2 a˜nos comprenden a: San Juan de Lurigancho, Callao (cercado), Comas, Ate, La Victoria, VMT y San Martin de Porres.
Figura 1: mapa del delito de Lima Metropolitana en 2014 y 2015
12
Paso 2: Se construye la matriz de vecindad o de pesos, cuyas filas y columnas representan las observaciones y cuyas celdas representan la distancia entre regiones, definidas del siguiente modo:
• La distancia de una regi´on consigo misma es 0. • La distancia de una regi´on con una vecina directa es 1. • La distancia de una regi´on con una no lim´ıtrofe es 0.
Figura 2: parte de la matriz de pesos espaciales estandarizada. Aplicando el paquete spmat es que podemos hacer un esbozo de la distribucion de la matriz de pesos espaciales (llevado a binario)
Figura 3: Distribuci´on de matriz de pesos espaciales en binario.
Paso 3: Luego se analiza si hay o no presencia de autocorrelaci´ on espacial, para tal motivo se utiliza el estad´ıstico I de Moran utilizando el comando spatgsa Dado que haremos un an´ alisis de Corte Transversal es que tomamos como referencia el a˜ no 2015: D´onde: DELITO 2015: Delitos por distrito en 2015 (variable atributo)
13
Regresores plausibles: POBLA 2015: Poblaci´ on por distrito en 2015. PV 2015: Precio del metro cuadrado de vivienda por distrito en 2015. POL 2015: N´ umero de efectivos policiales por distrito en 2015.
DELITO 2015
Figura 4: I de Moran para Delitos por distrito en 2015.
14
POBLA 2015
Figura 5: I de Moran para Poblaci´on por distrito en 2015.
15
PV 2015
Figura 6: I de Moran para Precio del metro cuadrado de vivienda por distrito en 2015.
16
POL 2015
Figura 7: I de Moran para N´ umero de efectivos policiales por distrito en 2015.
17
Resultados Como se menciona anteriormente, un objetivo de esta investigaci´ o n es corroborar la autocorrelaci´ on espacial. Para tal motivo hemos utilizado un modelo de datos de corte transversal, la informaci´on corresponde a cada uno de los 49 distritos de Lima Metropolitana incluyendo a la provincia constitucional del Callao, seg´ un datos oficiales del Instituto Nacional de Estad´ıstica (INEI). Interpretaci´ on del Estad´ıstico I de Moran Dado el car´acter geogr´ afico de las variables dependientes utilizadas en este trabajo, puede existir un cierto grado de correlaci´ on tanto con el valor de la misma variable dependiente como con la dependiente de los otros distritos. As´ı, la tasa de delincuencia de una unidad geogr´ afica puede estar correlacionada con la tasa de delincuencia la unidad geogr´ afica vecina, con las condiciones sociales de los vecinos o con factores generadores de violencia en los vecinos. variables I de Moran DELITO 2015 0.024 POBLA 2015 0.054 PV 2015 0.103 - 0.021 POL 2015 Cuadro 1: Estad´ısticos I de Moran de las variables en estudio. La prueba estad´ıstica I de Moran muestra, con base en los valores z, que las variables DELITO 2015, POBLA 2015 y PV 2015 poseen autocorrelaci´on positiva, y la variable POL 2015 presenta una autocorrelaci´ on negativa. Tras el an´ alisis de las variables en estudio, podemos afirmar que existe un esquema de dependencia espacial, rechaz´ andose la hip´ otesis de una distribuci´on espacial aleatoria dado que los 3 regresores elegidos influyen espacialmente en la variable atributo.
Estimaci´ on de par´ ametros En esta secci´ on se busca establecer las determinantes de la variable atributo con base en el uso de variables regresoras. Se inicia la estimaci´on del modelo incluyendo el retardo espacial: DELITO i = ρW DELITO i + β 1 POBLA + β 2 P V + β 3 P OL + u Donde: u N (0, σ 2 )
∼
∗
∗
18
∗
∗
A continuaci´on se realiza el modelo espacial en los errores: DELITO i = α + β 1 POBLA + β 2 P V + β 3 P OL + u Donde: u ρW u + e; e N (0, σ 2 )
∼
∗
∼
∗
∗
Donde se obtuvo :
Modelo espacial en errores
Modelo espacial en 1 retardo
19
Conclusiones
Figura 8: mapa del delito de Lima 2015 con diversas etiquetas generadas en el spmap A nivel distrital, la revisi´on de mapas nos revela el grado de centralidad principal que tiene la delictividad, concentrandose en los alrededores de la denominada Lima Moderna, donde se ubican los principales ”bolsones”de criminalidad. A nivel distrital, los distritos como San Juan de Lurigancho, Callao (cercado), Comas, Ate, La Victoria, VMT y San Martin de Porres, generan una alta persistencia en el tiempo y un patr´ o n de difusi´on contagioso en el espacio. Dada la autocorrelaci´ on positiva, podemos predecir apoyados del mapa, que distritos como R´ımac y Santa Anita al estar rodeados de regiones de alta delictividad, estar´ an decayendo en el tiempo a convertirse como ellas, elevando sus ´ındices de criminalidad, con lo que las pol´ıticas en seguridad ciudadana deben apunta a la prevenci´on de ello. Las estad´ısticas de seguridad ciudadana presentan un sesgo de autoselecci´on muestral que distorsiona la verdadera magnitud de la delincuencia e inseguridad en el pa´ıs, dado que no todos los delitos son denunciados en la comisaria del sector. 20
