Practicamos SOLUCIONARIO 4 Final

ESTRATEGIAS PROPUESTAS PARA EL SOLUCIONARIO 4

COMPETENCIA

CAPACIDAD

Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y situaciones de regularidad, equivalencia estrategias y cambio.

INDICADORES

usa Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad.

ITEM 1:

Observa el anuncio de rebajas:

Antes:

S/. 63,00

Ahora: S/. 47,80 Antes: S/. 119,70 Ahora: S/. 100,00

a. ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente? b. Si la respuesta anterior es negativa, responde: ¿cuál de las dos prendas prend as han rebajado más? Resolución: a) determinamos la tabla:

Precio pijama S/. Precio zapatillas S/.

119,70 63,00

Precio antes de la rebaja:

100,00 47,80

 

Precio después de la rebaja:

 

 

Observamos que no se conserva la constante de proporcionalidad, entonces no se rebajaron proporcionalmente proporcionalmente

 

Rpta: Los artículos no están es tán rebajados proporcionalmente.

B) Para determinar que prenda han rebajado más, necesitamos hallar el porcentaje: (Aplicamos parte/todo) Descuento del pijama = S/. 63,00 – S/. 47,80 = S/. 15,20

% pajama =

 

     

Zapatillas = S/. 119,70 – 100,00 = S/. 19,70 

% zapatilla =        Rpta: El pijama fue la que tuvo más rebaja.

EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES ÁREA MATEMÁTICA

1

COMPETENCIA

CAPACIDAD

Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y situaciones de regularidad, equivalencia estrategias y cambio.

INDICADORES


Los ingredientes de una receta para un postre casero son los siguientes: 1 vaso de mantequilla; 3 huevos; 1,5 vasos de azúcar y 2 vasos de harina. Si solo tenemos 2 huevos, ¿cómo debemos modificar los restantes ingredientes de la receta para poder hacer el postre?

2. ITEM:

Resolución: 1era forma: Elaboramos la tabla, reducimos a la unidad :3

Huevos Mantequilla Azúcar Harina

3 1 1,5 2

x2

1 1/3 0,5 2/3

2 2/3 1 4/3

2da forma: determinando la constante de proporcionalidad

Huevos Mantequilla Azúcar Harina Hallando:  

3 1 1,5 2

2

 

M = 1* 2 = 2 3 3

A = 1,5 * 2 = 3 = 1 3 3

H= 2* 2 = 4 . 3 3

Rpta: Necesitamos 2/3 de vaso mantequilla, 1 vaso de azúcar y 4/3 de vaso de harina.


2

COMPETENCIA

CAPACIDAD

Actúa y piensa matemáticamente en Razona situaciones de regularidad, argumenta equivalencia y cambio.

INDICADORES

y Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín.

En una prueba de ciclismo se reparte un premio de S/. 9250 entre los tres primeros corredores que lleguen a la meta, de modo inversamente proporcional al tiempo que han tardado en llegar. El primero tarda 12 min; el segundo, 15 min, y el tercero, 18 min. ¿Cuánto le corresponde a cada uno, según el orden de llegada? a. S/. 2472; S/. 3090 y S/. 3708 respectivamente. b. S/. 2466,72; S/. 3083,40 y S/. 3700,08 respectivamente. c. S/. 2466,60; S/. 3083,25 y S/. 3699,90 respectivamente. ITEM 3:

d. S/. 3750; S/. 3000 y S/. 2500 respectivamente. Resolución: Premio S/. Tiempo - minutos

a 12

b 15

c 18

Deducimos que: a + b + c = 9250

Aplicamos la constante de proporcionalidad: k = 12 * a

a = k/12

K = 15 * b

b = k/15

k = 18 * c

c = k/18 Sabemos que:

a + b + c = 9250

Reemplazamos: k + k + k = 9250 12 15 18 15k + 12k + 10k = 9250 180



 

 

b

 

 

Hallamos mcm (12, 15, 18) = 180

37k = 9250 * 180



 

Rpta: el primero recibe S/. 3750, el segundo S/. 3000 y el tercero S/. 2500


k = 45000

 

CLAVE: D

3

COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio.

Razona y Argumenta.

Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. ITEM 4: El precio de un pasaje varía inversamente con relación al número de pasajeros. Si para 14 pasajeros el precio es S/. 15, ¿cuántos pasajeros habrá cuando el pasaje cuesta S/.6? a. 35 pasajeros b. De 5 a 6 pasajeros

c. 84 pasajeros

d. 56 pasajeros

Resolución:

1era forma: Elaboramos la tabla

N° Pasajeros Precio

14 S/.15

X S/.6

Número de pasajeros= x Entonces

35 = x

2da forma: Empleando la constante de proporcionalidad: K= (N° de pasajeros) (Precio del pasaje) K= 14 x 15= 210

210= 6X



Rpta.: Habrá 35 pasajeros cuando el pasaje cueste S/. 6


 

 

Clave: A

4

COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES


Razona y Argumenta.

Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín. ITEM 5: El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 80 g cuesta S/.3200, ¿cuánto valdrá otro diamante de 100 g de peso? a. S/. 5 000

b. S/. 4 000

c. S/. 2 048

d. S/. 50

Resolución: 1era forma: Elaboramos la tabla

Peso al cuadrado Precio

(80g)2 S/.3200

(100g)2 S/.X

Precio del diamante de 100g = x 

Reemplazamos los valores de la tabla en la relación generalizada





Desarrollamos los cuadrados







 

 

Simplificamos

  

Hallamos el valor de x

2da forma: Empleando la constante de proporcionalidad:  

  



=         



















Rpta.: El otro diamante de 100 g de peso cuesta S/. 5 000


X = 5000

CLAVE: A

5

COMPETENCIA

CAPACIDAD


INDICADORES

Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad.

Elabora y usa estrategias

ITEM 6: El gráfico muestra el comportamiento de dos magnitudes (cantidad de obreros y tiempo);

halla numéricamente el valor de y/x a. b. c. d.

440 10 275 6

Resolución:

Se ubican las coordenadas en el gráfico mostrado:

1era forma: Elaboramos la tabla

Observando el gráfico, completamos la Tabla: Obreros Tiempo ( días)

100 80

200 x

y 20

Observamos que la cantidad de obreros aumenta y la cantidad de días disminuye por lo tanto son magnitudes Inversamente proporcionales: Hallamos el valor de “x”

(100)(80) 8000

= (200)(x) = 200x 40 = x

Hallamos el valor de “y”

8000 = 20y 400 = y Hallamos el valor de y/x 400/40 =10 EQUIPO DE COORDINADORES MACRO REGIONALES ÁREA MATEMÁTICA

6

2da forma: Empleando la constante de proporcionalidad: K= (Números de obreros) (Número de días) = (100) (80)= 8000

Hallamos “x”

8000=200x

x= 40

Hallamos “y”

8000=20y

y=400

Hallamos “y/x”

400/40 = 10

Rpta. : El valor de y/x es igual a 10

COMPETENCIA


CLAVE:

CAPACIDAD

B

INDICADORES


Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad.

ITEM 7: En el siguiente gráfico ilustra dos variables, x e y , en proporcionalidad directa. Señale el

valor de x.y

a. b. c. d.

3 16 48 60,75

Resolución: De acuerdo, al enunciado se trata de Magnitudes directamente proporcionales, por lo tanto:    

=

=



entonces 6 . 6 = 9 . Y

 

entonces X . 6 = 8 . 9



 

= Y

X=

 

4=Y

X = 12

El valor de X.Y = 12 . 4 = 48 Rpta. El valor de X.Y es 48 .


CLAVE: C

7

COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES


Emplea estrategias heurísticas, Elabora y usa estrategias recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 8 Dos amigos han obtenido la misma calificación en dos exámenes de Matemática con distinta cantidad de preguntas. Todos los ejercicios tenían la misma puntuación. Si Sergio resolvió correctamente 24 de las 30 preguntas que tenía su examen, ¿cuántos aciertos tuvo Jorge si su prueba constaba de 20 preguntas? a. 14 aciertos.

b. 16 aciertos.

c. 20 aciertos.

d. 24 aciertos

Resolución: Elaboramos una tabla:

Número de preguntas resueltas correctamente

24

X

Total de preguntas del examen

30

20

Aplicamos proporcionalidad:  



 



   



 

 

  

Respuesta. Jorge tuvo 16 aciertos.


8

COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES


Emplea estrategias heurísticas, Elabora y usa estrategias recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 9: La distancia que cae un cuerpo partiendo del reposo varía en relación con el cuadrado del tiempo transcurrido (se ignora la resistencia del aire). Si un paracaidista de caída libre cae 64 pies en 3 s, ¿qué distancia caerá en 9 s? a. 576 pies

b. 192 pies

c. 7,11 pies

d. 567 pies

Resolución: Elaboramos una tabla:

  

  

Aplicamos proporcionalidad relacionando la distancia y el tiempo:  



 



 



 



  

 



  

Rpta. La distancia que caerá en 9s es 576 pies. COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES

Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y usa Emplea estrategias heurísticas, recursos situaciones de regularidad, equivalencia estrategias gráficos y otros, al resolver problemas y cambio. relacionados a la proporcionalidad. ITEM 10: Se necesita envasar 600 L de una sustancia química en recipientes. Hay recipientes de 10; 15; 20; 25; 30; 40 y 50 L. Además, se quiere envasar el total de la sustancia en un solo tipo de recipiente. Completa la tabla con el volumen del recipiente y la cantidad de los recipientes necesarios. Volumen

10

Cantidad

60

¿Qué cantidad mínima de envases se puede utilizar para envasar los 600 L de la sustancia química? a.15 envases. b. 12 envases. c. 10 envases. d. 14 envases.


9

Resolución: 1° Vamos a completar la tabla, donde visualizamos el volumen del recipiente “ base ” y qué

cantidad de este necesitamos para envasar: Volumen

10

15

20

25

30

40

50

Cantidad

60

40

30

24

20

15

12

2° Analizamos qué relación existe entre el “ volumen de cada recipiente ” y “ la cantidad de envases que necesitamos ”. Así tenemos que:

-

Si utilizo envases de 10 L, entonces para envasar 600 L necesitaría 60 recipientes. Si utilizo envases de 15 L, entonces para envasar 600 L necesitaría 40 recipientes. Si utilizo envases de 20 L, entonces para envasar 600 L necesitaría 30 recipientes. Si utilizo envases de 25 L, entonces para envasar 600 L necesitaría 24 recipientes. Si utilizo envases de 30 L, entonces para envasar 600 L necesitaría 20 recipientes. Si utilizo envases de 40 L, entonces para envasar 600 L necesitaría 15 recipientes. Si utilizo envases de 50 L, entonces para envasar 600 L necesitaría 12 recipientes.

3° Ahora leo la pregunta del problema; como me piden la cantidad mínima ( la menor cantidad ) de envases, la respuesta es la última opción: “ Si utilizo envases de 50 L, entonces para envasar 600 L necesitaría 12 recipientes ”

Respuesta: La cantidad mínima de envases que se puede utilizar para envasar los 600 L de la sustancia química es 12 recipientes. COMPETENCIA

CAPACIDAD

Actúa y piensa matemáticamente en Elabora y situaciones de regularidad, equivalencia estrategias y cambio. ITEM 11:

INDICADORES


En una institución educativa, de los 210 estudiantes de segundo grado de secundaria, se inscriben en una actividad extraescolar 170; mientras que de los 160 alumnos de tercer grado, se apuntan 130. ¿Cuál de los grados ha mostrado más interés por la actividad? a. Han mostrado más interés los estudiantes de tercer grado porque va más del 90 %. b. Han mostrado más interés los estudiantes de segundo grado porque van más estudiantes que tercero: en segundo van 170, mientras que en tercero solo van 130. c. Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque va el 81,25 %, mientras que en segundo solo va el 80,95 %. d. Han mostrado más interés los estudiantes de segundo porque va el 80,95 %, mientras que en tercero solo va el 81,25 %.


10

1° Del enunciado del problema comprendemos que me hablan de dos grupos de estudiantes: “ los estudiantes de 2° ” y “ los estudiantes de 3° ” ; además el total de estudiantes de cada

grado me representa el 100%. Así tenemos que: 2° grado de secundaria N° de estudiantes Porcentaje 210 ……………..…….. 100%

3° grado de secundaria N° de estudiantes Porcentaje 160 ……………..…….. 100%

2° Ahora queremos saber qué porcentaje del total de estudiantes de cada grado me representan los estudiantes que se inscribieron a esa actividad extraescolar. Veamos: 2° grado de secundaria N° de estudiantes Porcentaje 210 ……………..…….. 100% 170 ………………….... X

3° grado de secundaria N° de estudiantes Porcentaje 160 ……………..…….. 100% 130 …………………… Y

3° Calculamos “ X ” e “ Y ”. Para calcular estos valores tenemos que analizar qué clase de magnitudes son “ N° de estudiantes ” vs “ Porcentaje ” y llegamos a la conclusión que son

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES, porque si una aumenta la otra también aumenta proporcionalmente. Así encontramos el valor de “ X ” e “ Y ”.

X = 100 .



Y = 100 .



X = 80,952380…

 

Y = 81,25

X = 80,95 Aprox.

4° Analizando los valores de “ X ” e “ Y ” . Concluimos que Y me representa mayor

porcentaje; en tal sentido la respuesta a la pregunta del ítem es: El tercer grado ha mostrado mayor interés en inscribirse a la actividad extraescolar. 5° Para responder el ítem tenemos que leer una por una las alternativas y sólo una será la correcta. De acuerdo a lo calculado sólo la alternativa “ c ” es la correcta.

6° Respuesta: c. Han mostrado más interés los estudiantes de tercero porque va el 81,25 %, mientras que en segundo solo va el 80,95 %.

COMPETENCIA

CAPACIDAD

Actúa y piensa matemáticamente en Razona situaciones de regularidad, equivalencia argumenta y cambio.

INDICADORES

y Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín..

ITEM 12: Con 2 L de leche, César puede alimentar a sus cachorros durante 6 días. ¿Para cuántos días tendrá comida


11

si compra una caja de 5 L de leche? a.15 días.

b. 24 días.

c.2,4 días.

d. 18 días.

1° Del enunciado comprendemos que me hablan de dos magnitudes “ Volumen de leche ” y “ Número de días ”. Además me dicen que con 2L de leche César puede alimentar a sus cachorros

por 6 días. Podemos representar matemáticamente así: Volumen de leche N° de días 2 L ……………….…….. 6 días

2° La pregunta del ítem es: para cuántos días tendrán comida los cachorros si se compran 5 L de leche. Escribamos el dato y la incógnita: Volumen de leche N° de días 2 L ……………….…….. 6 días 5 L ……………………. X 3° Nos tocaría analizar cómo son las magnitudes “ Volumen de leche ” y “ Número de días ”.

Así tenemos que al aumentar el volumen de leche también aumentaría el número de días proporcionalmente. Entonces estamos hablando de dos MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES: Si una aumenta la otra también aumenta proporcionalmente y si una disminuye la otra también disminuye proporcionalmente. 4° Calculamos el valor de “ X ” : 

X=6.  X = 15 5° Respuesta: a. César tendrá comida para sus cachorros para quince días, si compra una caja de cinco litros de leche.

COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES


Razona y argumenta

Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín..

ITEM 13: Con un depósito de agua se llenan 36 jarras. ¿Cuántas jarras se podrán servir si solo se llenan hasta tres cuartos de su capacidad? a. Se podrán servir 48 jarras.

b. Se podrán servir 27 jarras.

c. Se podrán servir 24 jarras.

d. Se podrán servir igual cantidad de jarras.

Corregir las alternativas de solución: en lugar de la palabra “llenar ” es “servir.” Resolución:


12

1: Usando regla de tres CAPACIDAD DE AGUA POR JARRA 1

NÚMERO DE JARRAS SERVIDAS 36 X

¾

Analizamos que si llenamos la jarra menos cantidad de agua se podrá servir más jarras de agua. Nos damos cuenta que es una relación de proporcionalidad inversa. Planteamos la regla de tres simples inversas:

1 jarra llena

DISMINUYE -

 



¾

3 6 jarras servidas

de jarra llena

X jarras servidas

Formamos la propiedad de proporcio  



36 (1) = X (

¾)

,

entonces

AUMENTA +

  

Respuesta: Se podrán servir 48 jarras de agua. COMPETENCIA

CAPACIDAD



INDICADORES

Emplea estrategias heurísticas, recursos gráficos y otros, al resolver problemas relacionados a la proporcionalidad. ITEM 14: Para construir un puente de 1200 m se cuenta con 300 vigas, que se colocarían cada 40 m. Después de un estudio minucioso, se decide reforzar la obra y se utilizan 100 vigas más. ¿A qué distancia se deben colocar las vigas? Se deben colocar a 53,3 m de distancia entre ellas. b. Se deben colocar a la misma distancia entre ellas; es decir, cada 40 m. c. Se deben colocar a 30 m de distancia entre ellas. d. Se deben colocar a 300 m de distancia entre ellas a.

Resolución:

1: Usando regla de tres Número de vigas 300

400

Distancia entre cada viga(m) 40 X


13

Analizamos que si aumentamos el número de vigas la distancia disminuirá la distancia entre ellas. Por lo tanto será menor de 40 metros. Hay una relación de proporcionalidad inversa. Planteamos la regla de tres simples inversas:

300 vigas

AUMENTA+

 

40 metros

400 vigas

X metros

Formamos la propiedad de proporción inversa: 







(300)(40) = X (400)

,

entonces

DISMINUYE -

   

Respuesta: Se debe colocar a 30 metros de distancia. COMPETENCIA

CAPACIDAD

INDICADORES


Razona y argumenta

Determina el conjunto de valores que puede tomar una variable en una proporcionalidad inversa, función lineal y lineal afín..

ITEM 15 Entre tres pintores han pintado la fachada de un edificio y han cobrado S/. 4160. El primero ha trabajado 15 días; el segundo, 12 días, y el tercero, 25 días. ¿Cuánto dinero tiene que recibir cada uno?

a. Reciben S/. 1200; S/. 960 y S/. 2000 respectivamente. b. Reciben S/. 960; S/. 2000 y S/. 1200 respectivamente. c. Todos reciben la misma cantidad. d. Reciben S/. 2000; S/. 1200 y S/. 960 respectivamente. Resolución:

Empleando la constante de proporcionalidad: Pintores

Horas de trabajo 15 12 25 52

Pintor 1 Pintor 2 Pintor 3 TOTAL 

  

 

=    

Pintor 1:



 

Cobro por pintor S/. 15K 12K 25K S/.4 160   

15 K = 15(80) = 1200


14

Pintor 2:

12 K = 12(80) = 960

Pintor 1:

25 K = 25(80) = 2000

Respuesta: El primer pintor recibe S/. 1200, el segundo s/.960 y el tercer recibe S/.2000.


15

Practicamos SOLUCIONARIO 4 Final

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