Solucion Taller de Transporte 2015

BOGOTA 20 DE JUNIO 2017

UNIVERSIDAD ECCI PROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL INVESTIGACION DE OPERACIONES OPERACIONES

PRESENTADO PRESENTAD O POR: LINA BUITRAGO COD. LESLY BARRERA COD. 29179

PRESENTADO A:


Taller 1 MODELO DE TRANSPORTE TRANSPORTE Objetivo El propósito del presente taller tiene como fin desarrollar habilidades en el estudiante para:  Que pueda caracterizar específicamente un sistema de transporte y distribución.  Desarrollar algoritmos alternativos de solución factibles y óptim os computacionales para la solución del problema  Utilice herramientas computacionales  Realice análisis que faciliten el proceso de toma de decisiones. 1. Una empresa manufacturera, elabora su producción en cuatro fábricas, y las distribuye a seis centros de consumo. La gama de producción son productos semejantes, que se diferencian por color, presentación y modificaciones en el diseño, cuyas tasas de consumo son aproximadamente iguales. La demanda agregada de los productos en kilogramos por semana en cada centro de consumo, la tasa de producción agregada en kilogramos elaborados por semana en cada centro de producción y los costos unitarios de transporte se muestran en la tabla I

PP1 PP2 PP3 PP4 DEMANDA

CC1

CC2

165 163 162 160 16600

170 169 163 165 16200

CENTROS DE CONSUMO $/Kilogramo CC3 CC4 CC5 168 164 169 170 16600

163 171 168 166 16800

165 161 164 168 16800

CC6 162 163 169 171 16600

Capacidad de Producción Kg/Semana 24600 25900 24800 24700 Kg/semana

Determinar el plan óptimo de distribución de costo mínimo. 



 

 

Concretamente formular el modelo específico de transporte, si el sistema es abierto cerrarlo. Resolver el problema por el método simplex utilice software de programación lineal (Gams; Solver de Excel) Llevar el problema al tablero simplex del transporte. Encuentre solución básica factible, por el método MEN. (Método de Esquina Noroccidental). Encuentre una solución básica factible por el método de aproximación de Vögel Realice el proceso de optimización por el método del cruce del arroyo (Steeping Stone)

BOGOTA 20 DE JUNIO 2017 





Encuentre una solución básica factible por el método de aproximación de Russell Realice el proceso de optimización utilizando el método de distribución modificada (MODI) Formule el modelo Dual del transporte DESARROLLO

EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE El problema del transporte o distribución es un problema de redes especial en programación lineal que se fundamenta en la necesidad que se debe enviar por cada una de las rutas desde los puntos de suministro (fuente u origen) hasta los puntos de demanda (destino). El mejor plan es aquel que minimiza los costos totales de envio, produzca la mayor ganancia u optimice algun obejtivo corporativo. EJERCICIO 1. 

Concretamente formular el modelo específico de transporte, si el sistema es abierto cerrarlo.

Para desarrollar el ejercicio primero se debe verificar si es abierto o cerrado, con la siguiente formula:

 m a  n b    i  j  j   i   1

1

Total Oferta = 100.000 Total Demanda= 99.600

Dado que la capacidad de producción es mayor que la demanda del producto se considera que el sistema es abierto, con esta condición utilizamos la siguiente formulación para este modelo:

BOGOTA 20 DE JUNIO 2017 m

n

inimizar F    C i j X i j ,

,

i  1 j 1

ujeto a

:

n

X i j  ai

para

cada

i  1 ,2 , , m

X i j  b j

para

cada

j  1 ,2 , , n

,

j 1 m ,

i 1

X i j  0 ,

para

cada

i  1 ,2 , , m



j  1 ,2 , , n



Resolver el problema por el método simplex utilice software de programación lineal (Solver de Excel)

Variables de decisión:

 = Cantidad de kg a enviar desde la planta de producción “i” hasta el centro de

Consumo “j”, Donde “i” = 1, 2, 3, 4 (son 4 plantas) y Donde “j” = 1, 2, 3, 4, 5, 6, (son 6 centros de distribución) Parámetros:  = Costo de enviar 1 kg de producto desde la planta de producción “i” hasta el

centro de Consumo “j”, Donde “i” = 1, 2, 3, 4 y “j” = 1, 2, 3, 4, 5, 6,  = Capacidad ofertada de la planta de producción “i” Donde “i” = 1, 2, 3, 4   = Demanda requerida en el Centro de Consumo “j” Donde “j” = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Para cerrar el sistema es necesario crear un centro de costo ficticio, con capacidad igual a la diferencia entre la oferta y la demanda. En este caso un “CC7” con una demanda de 400 Kg, y un costo de transporte de cero ($ 0/Kg) de tal forma que se cumpla la siguiente condición. Total Oferta: 100.000 kg - Total Demanda: 99.600 kg = 400 kg

Función Objetivo: Minimizar costo MIN F =

165X + 170X + 168X + 163X + 165X + 162X +   + 163X + 169X + 164X + 171X  + 161X + 163X +   + 162X + 163X + 169X + 168X  + 164X + 169X +   + 160X + 165X + 170X + 166X  + 168X + 171X +  


Sujeto a: Restricciones de capacidad de las Plantas de Producción:

PP1 PP2 PP3 PP4

X11 X21 X31 X41

X12 X22 X32 X42

X13 X23 X33 X43

X14 X24 X34 X44

X15 X25 X35 X45

X16 X26 X36 X46

X17 X27 X37 X47

24600 25900 24800 24700

>= >= >= >=

Restricciones de demanda en los Centros de Consumo:

CC1 CC2 CC3 CC4 CC5 CC6 CC7

X11 X12 X13 X14 X15 X16 X17

X21 X22 X23 X24 X25 X26 X27

X31 X32 X33 X34 X35 X36 X37

X41 X42 X43 X44 X45 X46 X47

>= >= >= >= >= >= >=

16600 16200 16600 16800 16800 16600 400

Restricciones de no negatividad

 ,  ,  ,  ,  ,  ,   ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ≥ 0

MÉTODO DE SOLUCIÓN Solución con la herramienta de Excel SOLVER: ver archivo de Excel con el título “EJERCICIOS INVESTIGACION DE OPERACIONES” I en la pestaña “EJERCICIO 1” . INTERPRETACIÓN Luego de plantear el modelo en Solver obtenemos como resultado un plan óptimo de distribución que se detalla a continuación:

Xij

CC1

CC2

CC3

CC4

CC5

CC6

CC7

PP1 PP2 PP3 PP4

0 0 0

0 0

0

8700

0

15900

16600

8600

700

16200

0 0

0 0

8200

16600

0

8100

0

0 0

0 0

Se deben enviar 8700 Kg de la PP1 al CC4 Se deben enviar 15900 Kg. de la PP1 al CC6

400

0


Se deben enviar 16600 Kg de la PP2 al CC3 Se deben enviar 8600 Kg de la PP2 al CC5 Se deben enviar 700 Kg de la PP2 al CC6 Se deben enviar 16600 Kg de la PP3 al CC2 Se deben enviar 8200 Kg de la PP3 al CC5 Se deben enviar 16600 Kg de la PP4 al CC1 Se deben enviar 8100 Kg de la PP4 al CC4 Adicionalmente, el plan de distribución contempla que en la Planta de Producción “PP3” quedara un inventario de 400 Kg, teniendo en cuenta que la capacidad de producción es mayor que la demanda. FUNCION OBJETIVO $ 16.201.000 SOLUCION OPTIMA MIN

Cuyo costo es de $16.201.000



Llevar el problema al tablero simplex del transporte .

TABLERO SIMPLEX DEL TRANSPORTE A continuación se presenta el tablero simplex del transporte para llevar a cabo los métodos de solución básica factible más conocidos como Esquina Noroccidental, Aproximación de Vögel, Aproximación de Russell, y posteriormente el proceso de optimización mediante los métodos cruce del arroyo (Steeping Stone) y distribución modificada MODI




Encuentre solución básica factible, por el método MEN. (Método de Esquina Noroccidental).

Método de la esquina Noroeste o Noroccidental (MEN) El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución mediante la consecución de una solución básica factible inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. Se deben tener en cuenta los siguientes pasos: PASO 1: En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda. PASO 2: En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso. PASO 3: Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse". La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1". Este método tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado. Su nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o esquina Noroeste. Es común encontrar gran variedad de métodos que se basen en la misma metodología de la esquina Noroeste, dada que podemos encontrar de igual manera el método e la esquina Noreste, Sureste o Suroeste. La Solución y desarrollo se encuentra en el archivo de Excel con el título “ EJERCICIOS INVESTIGACION DE OPERACIONES” I en la pestaña “ ESQUINA NOROESTE” .


CENTROS DE CONSUMO

abla I CC1

CC2 CC3 CC4 CC5 CC6 CC7 165 170 168 163 165 162 0 PP1 16600 8000 163 169 164 171 161 163 0 PP2 8200 16600 1100 162 163 169 168 164 169 0 PP3 15700 9100 160 165 170 166 168 171 0 PP4 7700 16600 400 DEMANDA 16600 16200 16600 16800 16800 16600 400


$ F.O.

16.657.500,00

SOLUCION FACTIBLE PERO NO ÓPTIMA Método de aproximación de Vogel El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica factible de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo generalmente se obtienen mejores resultados. El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método. PASO 1. Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas. PASO 2. Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal). PASO 3. De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0).


La Solución y desarrollo se encuentra en el archivo de Excel con el título “ EJERCICIOS INVESTIGACION DE OPERACIONES” I en la pestaña “ VOGEL” .

CENTROS DE CONSUMO

Tabla I CC1 165

PP1

CC2 170

CC3

CC4 168

CC5 163

16800 163

PP2

169

164

171

16600 162

PP3

163

100 169

168

8100 160

PP4

CC6 CC7 165 162 0 7400 400 161 163 0 9200 164 169 0

16700 165

16600 DEMANDA 0

8100 0

FO

$ 16.226.900,00

170 0

166 0

168 0

171 0

0 0


SOLUCION FACTIBLE PERO NO ÓPTIMA Método de aproximación de Russell Este método proporciona un criterio excelente y fácil de llevar a la práctica en computador pero no para la forma manual, debido a que es necesario realizar numerosos cálculos del índice a ij = cij –ui –v j Se necesita más experimentación para determinar cuál es más eficiente en promedio (respecto al método de Vogel), pero con frecuencia este criterio proporciona una mejor solución. En un problema grande, es común aplicar ambos criterios y posteriormente utilizar la mejor solución que se obtenga para iniciar las iteraciones que permitan obtener la solución óptima. El desarrollo de este procedimiento se encuentra en archivo adjunto “Problema 1 Transporte” Hoja “RUSSELL”


OPTIMIZACION Y MEJORA DE UNA SOLUCIÓN Si la solución básica obtenida no es óptima, la mejora es posible y se puede llevar a cabo mediante diferentes métodos. Optimización por el método cruce del arroyo (Steeping Stone) El método del Cruce del Arroyo, Trampolín, o de Salto de Piedra en Piedra (Stepping Stone) es un método de resolución de problemas de transporte en programación lineal que consiste en calcular cuál sería la variación del costo del envío a través de las ruta posibles, es decir asignar cierta cantidad de artículos desde varios orígenes (fábricas/fuentes) a un conjunto de destinos (clientes/depósitos) de tal manera que se disminuyan los costos, hasta optimizar el objetivo. Se parte de una solución factible de Costo Mínimo, Vogel, o Esquina Noroeste. Si la solución de partida no es relativamente favorable en costos, el método requerirá una mayor cantidad de repeticiones para llegar a la solución óptima. El algoritmo de Stepping-Stone consiste en calcular cuál sería la variación del coste al enviar una unidad de producto por una ruta no utilizada, es decir, calcula los costes marginales de cada ruta no utilizada. Partiendo de una solución inicial factible (Esquina Noroeste, Vogel, Russell, etc.) es necesario probar la optimización de la asignación evaluando todas las celdas no asignadas (vacías) y determinando la conveniencia de asignar en ellas. En la evaluación de las celdas vacías para un posible mejoramiento, una ruta cerrada (ciclo) es seleccionada. Para evaluar la celda vacía se realiza la sumatoria de los costos de cada una de las celdas en la ruta. Si alguna de estas evaluaciones arrojará un signo negativo (para un problema de minimización), entonces se deberá asignar en aquella celda con la evaluación más negativa, esto indicará que una reducción en el costo total puede lograrse transfiriendo tantas unidades como sea posible a esa celda. El número de unidades posibles a ser transferido será igual a la mínima cantidad que se encuentra asignada en las celdas de la ruta con costo negativo. Al realizarse esta transferencia debe asegurarse que las restricciones de la capacidad y de requerimientos no sean violadas (esto se hace agregando las unidades encontradas a asignar en las celdas con signo positivo y restando estas unidades de las celdas con signo negativo). Si la evolución de todas las celdas vacías arroja valores positivos, entonces se dice que la asignación es óptima. El desarrollo de este procedimiento se encuentra en archivo adjunto “Problema 1 Transporte” Hoja “STEEPING”


Optimización por el método de distribución modificada (MODI) El algoritmo MODI conocido como el método de los costes ficticios, consiste en añadir a la matriz de costos una fila y una columna que recogen unos costes ficticios determinados arbitrariamente (los números MODI), tal que permite calcular los índices de mejora para las celdas (casillas) no utilizadas sin tener que trazar todos los circuitos (ciclos) que requiere el algoritmo de Stepping-Stone. En general, supone ahorros en tiempo respecto a la utilización del algoritmo de Stepping-Stone en la resolución de problemas de transporte, debido a su rapidez y el fácil tratamiento de las soluciones degeneradas. El método MODI o u-v utiliza el dual del problema de transporte y viene dado por:

Para aplicar el algoritmo correspondiente a este método, se introducen los llamados números MODI, definidos así:  

 = –  (ú       − é)  = –  (ú       − é)

Estos valores se sitúan en sus respectivas filas y columnas a la derecha y en la parte inferior de la tabla de transporte. El valor indicador aij de cada variable xij es:  =  +  +  El desarrollo de este procedimiento se encuentra en archivo adjunto “Problema 1 Transporte” Hoja “MODI”


Soluciones degeneradas Se dice que una solución básica en programación lineal es degenerada cuando tiene menos variables positivas que el número de restricciones existentes en el problema. En los programas lineales de transporte se presenta con alguna frecuencia el problema de la degeneración. En el problema de transporte simple existen (m+n-1) restricciones independientes. La degeneración se presentará cuando en una solución básica el número de posiciones localizadas o rutas utilizadas sea menor que (m+n-1). Una solución óptima puede ser degenerada, es decir, cuando el número de posiciones localizadas es menor que (m+n-1). Sin embargo, para comprobar si la solución actual es o no óptima y en su caso mejorarla, es necesario que sea no degenerada. La consecuencia de la degeneración es que los métodos paso a paso, costes indirectos, MODI, no se pueden aplicar. A fin de evitar los inconvenientes que presenta la degeneración y poder aplicar los métodos paso a paso y MODI, existen diferentes métodos para el tratamiento de las soluciones degeneradas.

MODELO DUAL DEL TRANSPORTE La idea fundamental de la dualidad en programación lineal es que todo programa lineal llamado primal, lleva asociado un programa dual, de manera que al resolver el programa lineal original se obtiene una solución para su problema dual. En consecuencia, si un problema económico puede formularse mediante un problema de programación lineal, en general, existe otro problema económico relacionado con el inicial, que corresponde al problema dual. Existen unas relaciones estructurales entre un programa lineal y su dual que resumidas son: 1. El dual de un problema de maximización es uno de minimización y viceversa. 2. El programa dual tiene una variable por cada restricción del programa original o primal. 3. El programa dual tiene tantas restricciones como variables existen en el programa original. 4. Los coeficientes de la función objetivo del programa original son los términos independientes de las restricciones del dual, y los términos independientes de las restricciones del programa original son los coeficientes de la función objetivo del programa primal.


5. La matriz de los coeficientes de las restricciones del programa dual, es la traspuesta de la matriz de las restricciones del programa primal. 6. El sentido de las desigualdades del programa dual es inverso del sentido de las desigualdades del problema primal (para programas duales simétricos). Si las restricciones del programa primal son igualdades (para programas duales asimétricos), las restricciones del programa dual son del tipo (≤). 7. En el caso de la forma simétrica, las variables duales no pueden ser negativas. Para el caso de la forma asimétrica, las variables duales pueden estar o no restringidas (pueden tomar cualquier valor).

La formulación matemática del problema dual de transporte es:

m

n

i 1

j 1

Maximizar F   aiU i   b jV j

(2.14)

Sujeto a : U i  V j  C i , j U i ,V j

no

para

cada

restringid as

i  1,2,, m



j  1,2,, n

i  1,2,, m



j  1,2,, n

FORMULACIÓN ESPECÍFICA Variable de decisión:



 = es el precio de 1 kg de producto en la planta de producción “i” Donde “i” = 1, 2,

3, 4  = es el valor de 1 kg del producto en Centro de Consumo “j” Donde “j” = 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7 Las restricciones del tipo:  −  ≤  , significan que el precio en destino  del producto menos el precio en origen  de dicho producto puede ser, a lo sumo, igual al costo de transporte desde el origen i al destino j correspondiente. 

Función Objetivo:

  = 24600 + 25900 + 24800 + 24700 + 16600 + 16200 + 16600 + 1600 + 16800 + 16600 + 400


Sujeto a:  +  ≤  ,  +  ≤ 165  +  ≤ 170  +  ≤ 168  +  ≤ 163  +  ≤ 165  +  ≤ 162  +  ≤ 0  +  ≤ 163  +  ≤ 169  +  ≤ 164  +  ≤ 171  +  ≤ 161  +  ≤ 163  +  ≤ 0  +  ≤ 162  +  ≤ 163  +  ≤ 169  +  ≤ 168  +  ≤ 164  +  ≤ 169  +  ≤ 0  +   +   +   +   +   +   + 

≤ 160 ≤ 165 ≤ 170 ≤ 166 ≤ 168 ≤ 171 ≤0

 ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,    . El desarrollo de este procedimiento se encuentra en archivo adjunto “Problema 1 Transporte” Hoja “DUAL P1”



EJERCICIO 2 Debido a las fuertes lluvias que se han presentado en las últimas semanas en la ciudad de Bogotá la empresa EL AGUA-0 S.A.S. dedicada a la fabricación de paraguas, ha experimentado un incremento en la demanda de sus productos. Los paraguas se fabrican en dos plantas ubicadas en la localidad de PUENTE ARANDA y SAN CRISTÓBAL, según la siguiente información

Planta PTE. ARANDA SAN CRISTÓBAL

Capacidad de Costo de producción producción (unidades ($/Paraguas) de paraguas) 2600 2300 1800

2500

Cuatro almacenes multi-tiendas localizados en diferentes sectores de la ciudad están interesados en adquirir los paraguas, según la siguiente información. Almacenes FONTIBÓN KENNEDY USAQUÉN USME

Máxima demanda (paraguas) 1800 2100 550 1750

Precio dispuesto a pagar ($/Paraguas) 3900 3700 4000 3600

El costo de transporte por cada paraguas a cada tienda se muestra en la siguiente tabla. ALMACENES

PLANTAS FABRICACIÓN

Costo transporte

FONTIBÓN

KENNEDY

USAQUÉN

USME

PTE. ARANDA

600

800

1100

900

SAN CRISTÓBAL

1200

400

800

500

Determinar la mejor estrategia de ventas mediante la red de distribución que permita a la empresa EL AGUA-0 S.A.S. obtener la máxima utilidad.


FORMULACIÓN En este caso el objetivo de este problema es determinar el plan de distribución para obtener la máxima utilidad, por lo tanto, antes de iniciar la formulación se debe construir una matriz de utilidad calculada a partir de la información suministrada. Dado que la capacidad de producción es menor que la demanda se considera que el sistema es abierto. Total Oferta = 4.400 Und Total Demanda= 6.200 Und Para cerrar el sistema se puede crear un centro de costo ficticio, con capacidad igual a la diferencia entre la oferta y la demanda. En este caso no lo vamos a emplear ya que para utilizar SOLVER no es necesario. DATOS GENERALES DEL PROBLEMA

Tabla II

CENTROS DE CONSUMO $/Und CC1CC2CC3CC4FONTIBON KENNEDY USAQUEN USME

PP1-PUENTE 600 ARANDA PP2- SAN CRISTOBAL 1200 (SUR) Precio 3900 DEMANDA 1800

Costo

Capacidad de Producción Kg/Semana

$/unidad

800

1100

900

2300

2600

400

800

500

2500

1800

3700 2100

4000 550

3600 $/unidad 1750 Und/semana

Realizando los respectivos cálculos de acuerdo a la formulación se debe construir una matriz de utilidad calculada a partir de la información anterior hallamos la siguiente tabla:


Tabla II

CENTROS DE CONSUMO $/Und CC1CC2CC3CC4FONTIBON KENNEDY USAQUEN USME

PP1-PUENTE ARANDA PP2- SAN CRISTOBAL (SUR) Precio DEMANDA

Costo

Capacidad de Producción Kg/Semana

$/unidad

1000

600

600

400

2300

2600

200

800

700

600

2500

1800

3900

3700

4000

3600

$/unidad

1800

2100

550

1750 Und/semana

 =  − ( +  )  = Utilidad percibida al enviar 1 und de producto desde la planta de producción “i”

hasta el centro de Consumo “j”, Donde “i” = 1, 2, y Donde “j” = 1, 2, 3, 4,  = Precio de venta en el Centro de Consumo “j” Donde “j” = 1, 2, 3, 4,  = Costo de producción en la Planta de Producción “i” Donde “i” = 1, 2,  = Costo de transportar 1 und de producto desde la planta de producción “i” hasta

el centro de Consumo “j”, Donde “i” = 1, 2, y Donde “j” = 1, 2, 3, 4,  = Capacidad de la planta de producción “i” Donde “i” = 1, 2,  = Demanda requerida en el Centro de Consumo “j” Donde “j” = 1, 2, 3, 4,

Variables de decisión:  = Cantidad de kg a enviar desde la planta de producción “i” hasta el centro de

Consumo “j”, Donde “i” = 1, 2, y Donde “j” = 1, 2, 3, 4,


Función Objetivo: M   = 1000 + 600 + 600 + 400 + 200 + 800 + 700 + 600

Sujeto a:

Restricciones de capacidad de las Plantas de Producción: PP1:  +  +  +  +  ≤ 2600 PP2:  +  +  +  +  ≤ 1800 Restricciones de demanda en los Centros de Consumo: CC1:  +  CC2:  +  CC3:  +  CC4:  + 

= 1800 = 2100 = 550 = 1750

Restricciones de no negatividad  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  , ≥ 0

MÉTODOS DE SOLUCIÓN Con la ayuda de la herramienta SOLVER de Excel, el problema se puede resolver sin necesidad de estandarizar, es decir, sin cerrar el sistema. Solución con la herramienta de Excel SOLVER: ver archivo de Excel con el título “EJERCICIOS INVESTIGACION DE OPERACIONES” I en la pestaña “ EJERCICIO 2” .

INTERPRETACIÓN Luego de plantear el modelo en Solver obtenemos como resultado un plan óptimo de distribución que se detalla a continuación:

Xij

CC1FONTIBON

CC2KENNEDY

CC3USAQUEN

CC4USME

PP1-PUENTE ARANDA

1800

300

500

0

PP2- SAN CRISTOBAL (SUR)

0

1800

0

0


Luego de correr el modelo en el software descrito, obtenemos como resultado un plan óptimo de distribución cuya utilidad asciende a $3.720.000, y se detalla a continuación: Se deben enviar 1800 Und de la PP1 al CC1 Se deben enviar 300 Und de la PP1 al CC2 Se deben enviar 500 Und de la PP1 al CC3 Se deben enviar 1800 Und de la PP2 al CC2 Adicionalmente, el plan de distribución contempla que en la Planta de Producción “PP3” quedara un inventario de 400 Kg, teniendo en cuenta que la capacidad de

producción es mayor que la demanda. F.O.

$

3.720.000,00

SOLUCION ÓPTIMA Cuyo costo es de $3.720.000 El plan de distribución contempla que en el Centro de Consumo “CC1” habrá una demanda insatisfecha de 500 Kg, ya que la Planta de Producción “PP4” que suministra

esta cantidad realmente corresponde a un nodo ficticio. El costo de enviar este plan de distribución es:

CC1FONTIBON

CC2KENNEDY

CC3USAQUEN

CC4USME

PP1-PUENTE ARANDA

1080000

240000

550000

0

PP2- SAN CRISTOBAL (SUR)

0

720000

0

0

550000

0

TOTALES

COSTO DE ENVIO

1080000

960000

$ 2.590.000,00


2. TALLER EJERCICIO 1. Una cadena de restaurantes de comidas rápidas ubicados en Bogotá D.C., está planificando expandirse a Medellín. La compañía dispone de 27000 millones de pesos para su expansión. Se ha realizado un estudio de localización y se han determinado las posibles ubicaciones para los restaurantes tanto en la zona centro, como en la periferia de la ciudad. Cada restaurante en la periferia requiere 2000 millones en inversión, y cada local en el centro requiere de 5000 millones. Se proyecta que luego de los gastos, la ganancia neta semanal en los locales de la zona periférica será en promedio 12 millones. Los restaurantes del centro tendrán mayor gran cantidad de clientes, por tanto, las proyecciones indican que la ganancia neta semanal será de 28 millones. La compañía desea abrir al menos 2 restaurantes en el centro. Se tienen disponibles 15 administradores para asignar al proyecto. Cada local en la zona centro requerirá 3 administradores para su funcionamiento, y se cree que con sólo un administrador por restaurante en la periferia será suficiente. La compañía desea saber cuántos restaurantes podrá abrir para maximizar su ganancia neta semanal. X1 12 2000 1 0

X1 6

X2 28 5000 3 1

X2 3

SOL 156 27000 <= 15 <= 3 >=

27000 15 2

Z 156

EJERCICIO 2. Un fabricante de mantequilla desea optimizar la producción diaria de su planta. Fabrica dos tipos de mantequilla (Estándar y Media Sal). Un Kilo de mantequilla Estándar proporciona un beneficio de 10 € y uno de Media Sal de 15 €. Para la

producción de mantequillas se usan tres procesos, pasterización, centrifugado, y batido. La capacidad de pasterización es de 6 horas/día, de centrifugado es de 3 horas/día y de batido es de 3,5 horas/día.


Los tiempos (en minutos) de proceso por cada kilo de mantequilla se recogen en la siguiente tabla:

Pasterización

Estándar 3

Media Sal 8

Centrifugado

3

2

Batido 3 4 Formular un modelo de programación lineal que permita al fabricante conocer la cantidad de mantequilla Estándar y Media Sal que debe producir diariamente para obtener la mayor ganancia. F,O v1= utlidad para cada Kg de mantequilla estandar v2= utlidad para cada Kg de mantequilla media sal

Parametros Bi= cantidad de recursos disponibles en las etapas i B1=6 horas /dia en la planta de pasterizacion B2= horas dias en la planta de centrifugado B3=3,5 horas /dia en la planta de batido aij= Cantidad de recursos tipo j consumido por el producto j Variables de decisiones xj= Kg diarios de producto j a producir X1= Kg diarios de mantequilla estandar a producir x2= Kg diarios de mantequillamedia sal a producir Sujeto a X1

X2 10 3 3 3 1

SOL 15 8 2 4 1

760 354 138 210 58

<= <= <= E

360 180 210 z


X1 22

X2 36

Z 760

EJERCICIO 3. Una aerolínea está pensando añadir más vuelos desde y hacia su aeropuerto base y por lo tanto necesita contratar más personal de servicio al cliente. Sin embargo, no está claro cuántos más debe contratar. La administración es consciente de la necesidad de controlar el costo y al mismo tiempo brindar un excelente nivel de atención. Se ha hecho un análisis del número mínimo de personas que deben encontrarse en servicio en los diferentes momentos del día para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio.

Se ha acordado que cada agente trabaje un turno de 8 horas en los turnos mostrados en la tabla anterior. Por ejemplo, el turno 3 va desde las 12:00 hasta las 20:00. Los sueldos de cada turno son diferentes debido a que unos son más deseables que otros. Por ejemplo, a cada agente que cumpla el turno 3 debemos pagarle diariamente $175. Se busca formular y resolver un modelo Programación Entera que permita a la línea aérea encontrar el plan de asignación de agentes al menor costo posible y que cumpla los requerimientos impuestos.


EJERCICIO 4. 4. Suponga que en una compañía hay 5 ingenieros que deben ejecutar 7 proyectos. La tabla 1. resumen el tiempo que tarda cada ingeniero (en horas) en completar un determinado proyecto. El problema consiste en determinar una asignación óptima que permita realizar cada uno de los proyectos con la limitante que por motivos estratégicos cada ingeniero debe desarrollar al menos un proyecto y en ningún caso hacer más de 2 proyectos. Por supuesto se busca que el tiempo requerido para realizar los 7 proyectos sea el menor posible. Tabla 1.


EJERCICIO 5. 5. Suponga que usted tiene una pequeña empresa que se dedica a la prestación de servicios de auditoría técnica a procesos de producción. Actualmente su compañía está incluida en el listado de proveedores de la multinacional INTERNATIONAL AUDIT que presta este tipo de servicios. Hace algunas horas recibió un correo donde la multinacional le informa que tiene 5 proyectos de auditoria en diferentes ciudades del país (Colombia), de los cuales se le dará la oportunidad de seleccionar 2 proyectos como premio a sus buenas calificaciones obtenidas en la última evaluación de proveedores que realizo la multinacional. Se requiere que haya mínimo 3 expertos técnicos en el equipo de trabajo para cada proyecto (un experto técnico puede tomar parte en ambos proyectos), y la siguiente es ganancia obtenida en los diferentes proyectos: PROYECTO Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Proyecto 4 Proyecto 5

DÓLARES $ 8.700,00 $ 9.000,00 $ 8.700,00 $ 8.600,00 $ 8.800,00

Después de numerosas llamadas a diferentes expertos técnicos que tiene incluidos en su base de datos para ofrecerles formar parte de su equipo auditor usted ha logrado reunir la siguiente información sobre lo que cada experto técnico cobra (en dólares) por la participación en los diferentes proyectos. PROY / EXP

EXP 1

EXP 2

Proyecto 1

$ 200,00

NA

Proyecto 2

$ 400,00 $ 400,00

Proyecto 3

NA

EXP 3

EXP 4

EXP 5

$ 400,00 $ 200,00

Proyecto 5

$ 300,00

NA

EXP 7

$ 250,00 $ 300,00 $ 400,00 $ 300,00 $ 400,00 NA

$ 300,00 $ 400,00 $ 400,00

$ 300,00 $ 250,00 $ 300,00 $ 200,00

Proyecto 4

EXP 6

NA

$ 200,00

NA

$ 200,00

NA

$ 400,00

NA

NA

NA $ 300,00

$ 200,00 $ 200,00

$ 300,00 $ 200,00 NA

EXP 8

NA

$ 300,00 $ 200,00

Le han pedido la información correspondiente a los equipos de trabajo para cada uno de los proyectos que ha decidido tomar.


Qué pasa si le exigen que un experto técnico no puede participar en los 2 proyectos. ¿Sigue tomando los mismos proyectos?.¿Cambia la conformación de cada equipo de trabajo?

BIBLIOGRAFIA HILLIER, Frederick y LIEBERMAN Gerard. Introducción a la investigación de operaciones. 8º ed. México, D.F. : McGraw-Hill, 2007. 1060 p. WAYNE, L. Winston. Investigación de Operaciones : Aplicaciones y algoritmos. 4 a ed. México, D.F. : THOMSON, 2005. 1418 p. EPPEN, Gary D. Investigación de operaciones en la ciencia administrativa : construcción de modelos para la toma de decisiones con hojas de cálculo electrónicas. 5 a ed. México, D.F. : Pearson Educación, 2000. 702 p. SANCHEZ, Luis Carlos. Modelos cuantitativos lineales con escenarios en Excel - Solver. 1° ed. Bogotá D.C. : Universidad EAN, 2008. 483 p. TAHA, Hamdy. Investigación de operaciones. 7ª ed. México, D.F.: Pearson Educación, 2004. 848 p. RENDON, gallego y ALFONSO, Ramón. Técnicas de optimización combinatorial 1° ed. Pereira Risaralda : Universidad Tecnológica de Pereira, 2006. 176 p.

Solucion Taller de Transporte 2015

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