XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 Solución de un modelo matemático para el estudio del oído interno Yarith Nayue del Ángel1(*), J. G. González-Santos2 1
Sección de Estudios de Posgrado, ESFM-IPN, México D.F., México 2 Departamento de Matemáticas, ESFM-IPN, México D. F., México Teléfono (55) 5729-6000 Ext. 55313 Fax (55) 5729-55051 E-mail:
[email protected]
Resumen –– En este trabajo analizamos un modelo matemático propuesto para el estudio del oído interno, específicamente la cóclea, donde se llevan a cabo los eventos más importantes del proceso de audición. La cóclea es modelada como una banda infinita bidimensional donde el movimiento del fluido coclear satisface las ecuaciones de Navier-Stokes sin considerar la no linealidad. La membrana basilar, una de las membranas que divide longitudinalmente la cóclea, se modela como un oscilador armónico amortiguado con masa nula y rigidez que decae exponencialmente a lo largo de su longitud. Además, el movimiento de cualquier parte de la membrana se supone ser independiente del movimiento de sus partes vecinas. Hemos estudiado el modelo de la cóclea utilizando la transformada de Fourier en el sentido no clásico a través de la teoría de distribuciones temperadas. Presentamos el análisis del modelo con y sin viscosidad incluida. Se obtuvo una aproximación asintótica para el caso que incluye viscosidad. Los resultados obtenidos generalizan a los presentados previamente por Peskin [11]. Asimismo, los resultados obtenidos son similares cualitativamente con las observaciones hechas por Békésy.
I. INTRODUCCIÓN La cóclea es la responsable de convertir las ondas sonoras en impulsos nerviosos que llegan al cerebro por lo que no es de extrañarse que se considere como el órgano más importante en el proceso de audición. A pesar de las dificultades para observar experimentalmente lo que sucede dentro de la cóclea el conocimiento acerca del funcionamiento de ésta ha ido en progreso durante los últimos 50 años. Desde las primeras observaciones experimentales realizadas por Békésy [1] en 1928 varios modelos matemáticos [4-6,8-13,15] se han venido proponiendo para simular el comportamiento de la cóclea y gran parte de ellos se han limitado en estudiar la propagación de ondas sobre la membrana basilar. Cada uno de estos modelos debería, en principio, reproducir las observaciones hechas por Békésy; la presencia de una onda viajera en respuesta al estimular la cóclea con un tono de una sola frecuencia [5]. En este trabajo hemos estudiado el modelo de la cóclea propuesto por Leveque, et al. [8,9] utilizando la transformada de Fourier en el sentido no clásico a través de la teoría de distribuciones temperadas. En la sección II se describe algunos aspectos de la anatomía del oído humano así como del modelo matemático por el cual será representado. En la sección III se presenta la solución, al problema con y sin viscosidad en el espacio de frecuencia. En la sección IV se presenta una aproximación de la solución para el comportamiento de la membrana excluyendo viscosidad del fluido y una introducción de la teoría de distribuciones es presentada. Los resultados obtenidos son similares cualitativamente con las observaciones hechas por Békésy.
Palabras Clave –– distribuciones temperadas, membrana basilar, oído interno, transformada de Fourier
Abstract –– In this work we deal with a model proposed to study the inner ear, specifically the cochlea, which is modeled as an infinite strip in x-y space. The motion of the cochlear fluid satisfies the Navier-Stokes equations without considering the nonlinearity. Additionally, is included the motion equation of the basilar membrane; each point of the membrane is modeled as a damped harmonic oscillator where its mass, stiffness and damping vary along the length of the membrane. Besides, is assumed the movement of any part of the membrane as independent of the movement of neighboring parts. We have studied the cochlear model through the theory of tempered distributions and their Fourier transforms. We analyze the model with and without viscosity and we obtained an analytical approximation to model with viscosity. The results are in agreement with the observations made by Békésy.
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA En esta sección se presentan algunos aspectos importantes de la anatomía del oído humano y como en éste se lleva a cabo el complejo proceso de la audición. Seguido de esto, continuamos con la descripción del modelo matemático que simplifica lo primero expuesto.
Keywords –– basilar membrane, Fourier transform, inner ear, tempered distributions
Anatomía del oído La anatomía del oído se divide en tres partes principalmente: oído externo, oído medio, y oído interno. El oído externo consiste del pabellón auricular (comúnmente
Este trabajo está patrocinado en parte por la Secretaría de Investigación y Posgrado del IPN, proyecto SIP-20130922. (*) Becario Conacyt.
229
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 llamado oreja) y el meato acústico externo (conducto auditivo externo) que termina en la membrana timpánica. El tímpano es una membrana delgada que separa al oído externo del oído medio. El oído medio es una cavidad que se encuentra entre el tímpano y el oído interno, del cual está separado por una lámina de hueso con dos orificios llamados ventana vestibular (oval) y ventana coclear (redonda). En el interior del oído medio hay una cadena de huesos muy pequeños, también llamados huesecillos, que debido a la forma que tienen reciben los nombres de martillo, yunque y estribo, articulados entre sí. El oído interno está formado por el laberinto óseo que a su vez contiene en su interior el laberinto membranoso; entre ambos hay un líquido llamado perilinfa y adentro del laberinto membranoso hay otro líquido llamado endolinfa. Los dos laberintos tienen la misma forma y están constituidos por las siguientes partes: tres conductos llamados canales semicirculares, el vestíbulo y un conducto enrollado, aproximadamente dos vueltas y media, llamado cóclea. Este conducto desenrollado mide aproximadamente 35 mm y en su interior tiene una membrana que divide y recorre longitudinalmente la cóclea, la membrana basilar, en la cual está el órgano de Corti; el órgano receptor especializado de la audición. La cóclea funciona en la percepción del sonido. Los estímulos llegan al oído en forma de ondas sonoras, que, captadas por la oreja son conducidos por el meato acústico externo hacía el tímpano; éste vibra y mueve la membrana timpánica convirtiendo las ondas sonoras en energía mecánica. El movimiento de los huesecillos, debido al movimiento de la membrana timpánica, amplifica 20 veces la energía mecánica y hacen mover la ventana oval. Los movimientos de la ventana oval inducen ondas de presión en la perilinfa que aumentan la presión sobre la endolinfa para estimular la vibración de la membrana basilar, la cual está llena de terminaciones nerviosas sensibles al movimiento. Estas terminaciones nerviosas forman parte del órgano de Corti donde diferentes frecuencias estimulan diferentes grupos de nervios.
Fig. 2.1 Cóclea idealizada bidimensional.
La membrana divide los dos compartimentos y yace sobre 𝑦 = 0 cuando se encuentra en reposo, fuera del equilibrio su desplazamiento se denota por ℎ(𝑥, 𝑡). Se considera un solo fluido en la cóclea y su movimiento en ambos compartimentos satisface las ecuaciones de NavierStokes junto con la ecuación de continuidad: 𝜕𝑢 𝜕𝑣 + = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 1 𝜕𝑝 𝜇 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢 +𝑢 +𝑣 + = ( + ) , 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜌 𝜕𝑥 𝜌 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣 1 𝜕𝑝 𝜇 𝜕 2 𝑣 𝜕 2 𝑣 +𝑢 +𝑣 + = ( + ) , 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜌 𝜕𝑦 𝜌 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
… (1) … (2)
… (3)
donde 𝑢 ⃗ = (𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡), 𝑣(𝑥, 𝑦, 𝑡)) es la velocidad, 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑡) es la presión y 𝜇 es la viscosidad dinámica. Obsérvese que no hay un término forzante para este modelo. Las ecuaciones (2-3) pueden simplificarse si se considera que las amplitudes de la membrana son pequeñas. De acuerdo con lo reportado por Békésy, el desplazamiento máximo, ℎ𝑚𝑎𝑥 , es alrededor de 10−7 𝑚 en condiciones normales de presión sonora y 𝑙~3 × 10−2 en la cóclea humana. Si el período de oscilación de la membrana es 𝑇 entonces: ℎ𝑚𝑎𝑥 𝑣 𝜕𝑣 ( 𝑇 ) (ℎ𝑚𝑎𝑥 /𝑇𝑙) ℎ𝑚𝑎𝑥 ~ ~ ≪1 , (𝜕𝑣/𝜕𝑡) 𝜕𝑦 ℎ𝑚𝑎𝑥 /𝑇 2 𝑙
Modelo matemático 𝑢 𝜕𝑢 𝑢 𝜕𝑣 𝑢 (ℎ𝑚𝑎𝑥 /𝑇𝑙) ℎ𝑚𝑎𝑥 ~ ~ ~ ≪ 1. (𝜕𝑢/𝜕𝑡) 𝜕𝑥 (𝜕𝑢/𝜕𝑡) 𝜕𝑦 𝑢/𝑇 𝑙
De acuerdo con algunos resultados reportados [10, 13, 15], el efecto de espiral parece no afectar significativamente la respuesta mecánica de la cóclea, por lo que, por simplicidad y como una posible aproximación aceptable, ésta se considera desenrollada como se muestra en la Figura (2.1) considerando el caso bidimensional.
Así, si se suponen pequeñas amplitudes de la membrana, 𝜂𝑚𝑎𝑥 ≪ 1, los términos no lineales en (2-3) pueden ignorarse 𝑙 cuando estos se comparan con el término que depende del tiempo. Con estas suposiciones las ecuaciones (2-3) se reducen para 𝑦 ≠ 0 a:
La cóclea, idealizada como se muestra en la Figura 2.1, se divide en dos compartimentos: superior e inferior. El primero se llama escala vestibular y el segundo escala timpánica.
𝜕𝑢 𝜕𝑝 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 + = 𝜇 ( 2 + 2) , 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑣 𝜕𝑝 𝜕2𝑢 𝜕2𝑢 𝜌 + = 𝜇 ( 2 + 2) . 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜌
230
… (4) … (5)
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 La cóclea se modela como una banda infinita (−∞, ∞) × (−𝑙, 𝑙) en el espacio 𝑥𝑦 pero de acuerdo con Keller y Neu [3] el comportamiento mecánico de la cóclea parece no verse afectado, al menos en este modelo, cuando se incrementa el ancho. Por lo tanto, por simplificación consideraremos 𝑙 = ∞ y así el modelo de la cóclea ocupa todo el plano 𝑥𝑦 . Se tienen las siguientes condiciones de frontera: en 𝑦 = 0 ;
𝑢, 𝑣 → 0 cuando 𝑦 → ±∞ ,
… (6)
𝑢(𝑥, 0, 𝑡) = 0 , 𝑣(𝑥, 0, 𝑡) =
anterior simplifica la condición de frontera justificándose por las pequeñas amplitudes de la membrana. Note también que la presión que experimenta la membrana basilar debido al fluido en la escala timpánica, 𝑝2 (𝑥, ℎ(𝑥, 𝑡), 𝑡), se denota como 𝑝(𝑥, 0− , 𝑡) y se ha omitido el subíndice del hecho que está evaluada en 𝑦 = 0. Caso similar para la escala vestibular. Las ecuaciones (4-9) junto con (1) conforman nuestro problema de la cóclea. III. SOLUCIÓN DEL MODELO EN EL ESPACIO DE FRECUENCIA
… (7)
𝜕ℎ(𝑥, 𝑡) . 𝜕𝑡
Se busca soluciones periódicas de la forma: ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝐑𝐞(Η(𝑥)𝑒 𝑖𝜔𝑡 ) , 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝐑𝐞(𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑡)𝑒 𝑖𝜔𝑡 ) ,
… (8)
y similarmente para 𝑣 y 𝑝. Sustituyendo la forma de estas soluciones en (4-5) y (1) obtenemos respectivamente:
El espesor y la rigidez de la membrana basilar no son constantes a lo largo de ésta. Tanto la rigidez como el espesor varían de más grueso y rígido cerca de la ventana oval a más delgada y flexible en el otro extremo. En la mayoría de trabajos reportados cada punto de la membrana basilar se modela como un oscilador armónico amortiguado con masa, amortiguamiento y rigidez que varía a lo largo de su longitud. El movimiento de cualquier parte de la membrana se supone ser independiente del movimiento de sus partes vecinas. La posición de la membrana basilar, 𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑡), se especifica como: 𝑚(𝑥)
𝜕𝑃 =𝜇△𝑈 , 𝜕𝑥 𝜕𝑃 𝑖𝜔𝜌𝑉 + =𝜇△𝑉 , 𝜕𝑦 𝜕𝑈 𝜕𝑉 + =0 , 𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝑖𝜔𝜌𝑈 +
𝜕2ℎ 𝜕ℎ + 𝑟(𝑥) + 𝑠(𝑥)ℎ 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡 = 𝑝2 (𝑥, ℎ(𝑥, 𝑡), 𝑡) − 𝑝1 (𝑥, ℎ(𝑥, 𝑡), 𝑡) ,
+
𝑝(𝑥, 0 , 𝑡) − 𝑝(𝑥, 0 , 𝑡) = 𝑠0 𝑒
−𝜆𝑥
(ℎ + 𝛽
𝜕ℎ 𝜕𝑡
… (11) … (12)
donde ∆ es el operador Laplaciano. Las condiciones de frontera, Ecs. (6-9), se transforman en: 𝑈, 𝑉 → 0 cuando 𝑦 → ±∞ , 𝑈(𝑥, 0) = 0 , 𝑉(𝑥, 0) = 𝑖𝜔Η(𝑥) , [𝑃](𝑥) = −𝑠0 (1 + 𝑖𝜔𝛽)𝑒 −𝜆𝑥 Η(𝑥) ,
donde 𝑚(𝑥) es la masa por unidad de área de la membrana basilar, 𝑟(𝑥) es el coeficiente de amortiguamiento y 𝑠(𝑥) es la rigidez por unidad de área. Obsérvese que la membrana experimenta una fuerza restauradora debido a la diferencia de presión en el punto ℎ(𝑥, 𝑡). La ecuación anterior puede simplificarse si se considera que la membrana basilar tiene masa cero, 𝑚(𝑥) = 0. Además, como observado por Békésy [1], la rigidez decae exponencialmente con la distancia a la ventana oval, esta variación de la rigidez en función de la posición es representado por 𝑠0 𝑒 −𝜆𝑥 . El factor 𝜆 en la dependencia exponencial fue medido por Békésy y para la cóclea humana tiene un valor aproximado de 𝜆−1 ≅ 0.7 cm, 𝑠0 es una constante de rigidez. El coeficiente de amortiguamiento debido a la variación en la rigidez también depende de la posición. Éste es representado por 𝑠0 𝑒 −𝜆𝑥 𝛽, donde 𝛽 es una constante. Por lo tanto, la ecuación anterior puede reescribirse como: −
… (10)
… (13) … (14) … (15) … (16)
donde [𝑃](𝑥) = 𝑃(𝑥, 0+ ) − 𝑃(𝑥, 0− ). Utilizaremos la transformada de Fourier en la variable 𝑥 para resolver el sistema (10-12). Sea ∞
̂(𝜉, 𝑦) = ∫ 𝑈(𝑥, 𝑦)𝑒 −2𝜋𝑖𝜉𝑥 𝑑𝑥 , 𝑈 −∞
y similarmente para Η, 𝑉, 𝑃. Entonces, las ecuaciones (1015) se transforman para 0 < |𝑦| < ∞: ̂ 𝑑2𝑈 ), 𝑑𝑦 2 𝑑𝑃̂ 𝑑 2 𝑉̂ 𝑖𝜔𝜌𝑉̂ + = 𝜇 (−4𝜋 2 𝜉 2 𝑉̂ + 2 ) , 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑉̂ ̂+ 2𝜋𝑖𝜉𝑈 = 0, 𝑑𝑦 con las condiciones de frontera, ̂ + 2𝜋𝑖𝜉𝑃̂ = 𝜇 (−4𝜋 2 𝜉 2 𝑈 ̂+ 𝑖𝜔𝜌𝑈
) (𝑥, 𝑡) . … (9)
̂, 𝑉̂ → 0 cuando 𝑦 → ±∞ , 𝑈 ̂(𝜉, 𝑦 = 0) = 0 , 𝑈 ̂ (𝜉) . 𝑉̂ (𝜉, 𝑦 = 0) = 𝑖𝜔Η
Obsérvese que en (9) la fuerza restauradora que experimenta la membrana debido a la presión ahora está evaluada sobre 𝑦 = 0 y no en su posición instantánea 𝑦 = ℎ(𝑥, 𝑡), lo
231
… (17) … (18) … (19)
… (20) … (21) … (22)
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 𝑉̂ (𝜉, 0+ ) = 𝑉̂ (𝜉, 0− ) , 4𝜋 2 𝜉 2 [𝑃̂ ] . [𝑉̂𝑦𝑦𝑦 ](𝜉) = 𝜇
Para transformar la Ec. (16) hacemos uso de la identidad ∞
̂ 𝑒 2𝜋ℎ𝑥 Η(𝑥) = ∫ 𝑒 2𝜋ℎ𝑥 Η(𝑥)𝑒 −2𝜋𝑖𝜉𝑥 𝑑𝑥 −∞ ∞
−∞
̂ (𝜉 + 𝑖ℎ) , =Η la cual es válida siempre que la transformada exista, es ̂ (𝜉) puede ser extendida en el plano decir, siempre que Η ̂ (𝜁), 𝜁 = 𝜉 + 𝑖ℎ. De esta complejo a la función analítica Η manera, la ecuación (16) se transforma como: 𝜆𝑖 ), 2𝜋
−(𝜎1 𝑠1+ + 𝜎2 𝑠2+ ) = 0 , 𝜎1 𝑠1− + 𝜎2 𝑠2− = 0 , 𝑠1+ + 𝑠2+ = 𝑠1− + 𝑠2− ,
… (23)
𝑉̂ (𝜉, 𝑦) = 𝑠1 𝑒 −𝜎1 |𝑦| + 𝑠2 𝑒 −𝜎2|𝑦| ,
𝜎1 𝑠1 + 𝜎2 𝑠2 = 0 , 𝜎1 3 𝑠1 + 𝜎2 3 𝑠2 = −
2𝜋2 𝜉2
[𝑃̂ ] , 𝑖𝜔𝜌𝜎1 2𝜋2 𝜉2 [𝑃̂ ] , 𝑠2 = 𝑖𝜔𝜌𝜎2 𝑠1 = −
… (36) … (37)
… (25) y así (35) se expresa finalmente:
Dado que 𝑉̂ → 0 cuando |𝑦| → ∞, se considera:
𝑉̂ (𝜉, 𝑦) = − (
𝑒 −𝜎1 𝑦 y 𝑒 −𝜎2 𝑦 para 𝑦 > 0 , 𝑒 +𝜎1 𝑦 y 𝑒 +𝜎2 𝑦 para 𝑦 < 0 .
𝑒 −𝜎1 |𝑦| 𝑒 −𝜎2 |𝑦| 2𝜋2 𝜉2 [𝑃̂ ] . … (38) − ) 𝜎1 𝜎2 𝑖𝜔𝜌
De (22) y (38) obtenemos: 1 1 1 2𝜋2 𝜉2 𝑉̂ (𝜉, 0) = ( − ) 2 [𝑃̂ ](𝜉 ), 𝑖𝜔 𝜎1 𝜎2 𝜔 𝜌 1 𝜋|𝜉| = − (1 − ) 2 [𝑃̂ ] . 2 2 𝜔 𝜌 √1 + 𝑖𝜔𝜌/4𝜋 𝜉 𝜇
De esta manera se tiene:
̂ (𝜉) = Η 𝑦 > 0, 𝑦 < 0.
… (26)
Obsérvese que se desconocen cuatro constantes (en función de 𝜉) que pueden determinarse usando las siguientes condiciones de frontera: 𝑉̂𝑦 (𝜉, 0+ ) = 0 , 𝑉̂𝑦 (𝜉, 0− ) = 0 ,
2𝜋 2 𝜉 2 [𝑃̂ ] . 𝜇
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene:
La solución de (24) es una combinación lineal de 𝑒 ±𝜎1𝑦 y 𝑒 ±𝜎2 𝑦 donde:
𝑠 + 𝑒 −𝜎1 𝑦 + 𝑠2+ 𝑒 −𝜎2 𝑦 , 𝑉̂ (𝜉, 𝑦) = { 1− −𝜎1 𝑦 𝑠1 𝑒 + 𝑠2− 𝑒 −𝜎2 𝑦 ,
… (35)
donde se ha omitido los superíndices ±. Obsérvese que (35) es una función par, 𝑉̂ (𝜉, 𝑦) = 𝑉̂ (𝜉, −𝑦). Las constantes 𝑠1 y 𝑠2 se determinan resolviendo el sistema:
𝑑2 𝑖𝜔𝜌 𝑑2 2 2 − (4𝜋 𝜉 + )) ( − 4𝜋 2 𝜉 2 ) 𝑉̂ = 0 . … (24) 𝑑𝑦 2 𝜇 𝑑𝑦 2
𝑖𝜔𝜌 , 𝜎2 = 2𝜋|𝜉| . 𝜇
4𝜋 2 𝜉 2 [𝑃̂ ] . … (34) 𝜇
Manipulando las ecuaciones (31-33) podemos concluir que 𝑠1+ = 𝑠1− y 𝑠2+ = 𝑠2− y entonces (26) puede escribirse en la forma:
̂ (𝜁) = Η ̂ (𝜉 + 𝑖ℎ) es analítica para – < ℎ < 0 donde Η 2𝜋 [14]. Si 𝜉 se considera un parámetro fijo el sistema de ecuaciones (17-19) forma un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. El objetivo será entonces resolver el sistema de ecuaciones de tal manera que podamos expresar 𝑉̂ (𝜉, 0) (y por lo tanto ̂ (𝜉)) en términos de [𝑃̂](𝜉) y así (23) se reduce a un Η problema que involucra solamente a la membrana basilar. ̂ de (19) para así expresar (18) en Despejando 𝑃̂ de (17) y 𝑈 términos de la función 𝑉̂ obtenemos:
𝜎1 = √4𝜋 2 𝜉 2 +
… (31) … (32) … (33)
−(𝜎1 3 𝑠1+ + 𝜎2 3 𝑠2+ ) − (𝜎1 3 𝑠1− + 𝜎2 3 𝑠2− ) =
𝜆
(
… (30)
Las ecuaciones (27-28) se obtienen a partir de (19) y (21). La ecuación (29) es consecuencia de (22). La ecuación (30) ̂ de (19) y sustituyendo en (17) y se obtiene despejando 𝑈 ± evaluando en 𝑦 = 0 . De (26) junto con (27-30) obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
= ∫ 𝑒 −2𝜋𝑖(𝜉+𝑖ℎ)𝑥 Η(𝑥)𝑑𝑥
̂ (𝜉 − [𝑃̂](𝜉) = −𝑠0 (1 + 𝑖𝜔𝛽)Η
… (29)
… (39)
̂ (𝜉) y La ecuación (39) es la relación que se buscaba entre Η ̂ [𝑃 ](𝜉). Sustituyendo (23) en (39) se tiene:
… (27) … (28)
̂ (𝜉) = 𝛼|𝜉| (1 − Η
232
1 √1 +
𝑖𝛾/𝜉 2
̂ (𝜉 − )Η
𝜆𝑖 ), 2𝜋
… (40)
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 donde 𝛼 =
𝜋𝑠0 𝜌𝜔2
(1 + 𝑖𝜔𝜌) y 𝛾 =
𝜔𝜌 4𝜋2 𝜇
ℎ(𝑥) = 𝑘(𝑥) + 𝑒 −𝜆𝑥 ℎ(𝑥) , donde podemos despejar ℎ(𝑥) :
. La ecuación (40) es
la ecuación funcional cuya transformada inversa determina el comportamiento de la membrana basilar. Por simplicidad, en la siguiente sección estudiamos la Ec. (40) suponiendo viscosidad nula.
ℎ(𝑥) =
En esta sección se estudia un caso particular del modelo de la cóclea. Suponemos que el fluido coclear tiene viscosidad nula, 𝜇 → 0, entonces 𝛾 → ∞ y la ecuación (40) se reduce a la siguiente ecuación funcional: 𝜆𝑖 ). 2𝜋
… (41)
Para encontrar la transformada inversa de (41) consideremos el caso generalizado siguiente: ̂ (𝜉) = 𝐾 ̂ (𝜉)Η ̂ (𝜉 − Η
𝜆𝑖 ). 2𝜋
Teoría de distribuciones La teoría de distribuciones se desarrollo para formalizar el uso de las funciones singulares, como la función delta de Dirac, que dada la inconsistencia con el concepto de función no podían estudiarse desde la teoría del análisis clásico [3]. Aquí revisaremos algunos conceptos y resultados necesarios para continuar nuestro problema en estudio. La teoría de distribuciones y sus transformadas de Fourier puede encontrarse, por ejemplo, en [2,3,14,16]. Sea 𝔇(Ω) el conjunto de todas las funciones 𝜙 ∈ 𝒞 ∞ (Ω), Ω ⊂ ℝ, con soporte compacto 𝒦 ⊂ Ω. Los elementos de 𝔇(Ω) se conocen como funciones prueba. 𝔇 es una espacio lineal. Una sucesión de funciones prueba {𝜙𝑣 }∞ 𝑣=1 se dice converger en 𝔇 si 𝜙𝑣 ∈ 𝔇 ∀ 𝑣, si desaparecen ∀ 𝑣 en un mismo intervalo fijo acotado y si para todo entero k la
… (42)
La dificultad para encontrar una solución analítica al problema en estudio se debe, en gran parte, a la condición de frontera dada por la ecuación (9) cuya transformada de ̂ (𝜉 + 𝑖ℎ) es la continuación analítica de Fourier existe si Η ̂ (𝜉). La función Η ̂ (𝜁) que satisface la ecuación que Η funcional (42) está definida para 𝜁 ∈ 𝑆𝜆̅ , donde 𝑆𝜆̅ = {𝜁 = 𝜉 + 𝑖ℎ ∶ −𝜆/2𝜋 ≤ ℎ ≤ 0} , y además debe satisfacer las siguientes condiciones:
(𝑘)
𝜆
c)
ℎ→0 𝜆𝑖
̂ (𝜉 − Η
2𝜋
)=
lim
𝜆 +
̂ (𝜉 + 𝑖ℎ) , Η
… (43)
ℎ→(− ) 2𝜋 𝜆𝑖
̂ (𝜉) = 𝐾 ̂ (𝜉)Η ̂ (𝜉 − ) ∀ 𝜉 ∈ ℝ , d) Η 2𝜋 ̂ (𝜉 + 𝑖ℎ) tiene transformada de Fourier inversa 𝐻ℎ e) Η para todo ℎ, −𝜆/2𝜋 ≤ ℎ ≤ 0 . La idea de la solución se describe a continuación. Sea ̂ (𝜉) y ̂𝑘 (𝜉) = ln 𝐾 ̂ (𝜉) . ℎ̂(𝜉) = ln Η
1) Linealidad de 𝑓: para 𝛼1 , 𝛼2 ∈ ℂ arbitrarios y cualesquiera dos funciones 𝜙1 y 𝜙2 ∈ 𝔇 se tiene: 〈𝑓, 𝛼1 𝜙1 + 𝛼2 𝜙2 〉 = 𝛼1 〈𝑓, 𝜙1 〉 + 𝛼2 〈𝑓, 𝜙2 〉. 2) Continuidad de 𝑓: un funcional 𝑓 se dice ser continuo en 𝔇 si cualquier sucesión de funciones prueba {𝜙𝑣 }∞ 𝑣=1 que converge a 𝜙 en 𝔇 la sucesión de números {〈𝑓, 𝜙𝑣 〉}∞ 𝑣=1 converge al número 〈𝑓, 𝜙〉 en el sentido usual.
… (44)
Tomando el logaritmo a (43.d) obtenemos: ℎ̂(𝜉) = ̂𝑘 (𝜉) + ℎ̂ (𝜉 −
𝜆𝑖 ). 2𝜋
∞
sucesión {𝜙𝑣 (𝑡)}𝑣=1 converge uniformemente para −∞ < 𝑡 < ∞. Diremos que 𝑓: 𝔇 → ℂ es un funcional lineal continuo sobre 𝔇 si existe una regla de correspondencia tal que ∀ 𝜙 ∈ 𝔇 asigne un número complejo 〈𝑓, 𝜙〉 y satisfaga las siguientes dos características:
̂ (𝜁) es analítica en 𝑆𝜆 = {𝜁 = 𝜉 + 𝑖ℎ ∶ − < ℎ < 0}, Η 2𝜋 ̂ (𝜉) = lim Η ̂ (𝜉 + 𝑖ℎ), b) Η − a)
… (47)
Tomando la transformada de Fourier de (47) obtenemos ̂ (𝜉) y de ésta última tomar ℎ̂(𝜉) de donde podemos obtener Η la transformada inversa para finalmente obtener la solución ̂ (𝜁) no al problema. Obsérvese que se ha supuesto que Η tiene ceros en 𝑆𝜆 ya que de lo contrario ℎ̂(𝜁) no sería analítica y por lo tanto (46) no tendría sentido. Por otro lado, ̂𝑘 (𝜉) crece logarítmicamente cuando 𝜉 → ∞ por lo que su transformada inversa, 𝑘(𝑥), no existe en el sentido clásico y debe tratarse desde la teoría de distribuciones (funciones generalizadas).
IV. ANÁLISIS DEL MODELO SIN VISCOSIDAD
̂ (𝜉) = 𝛼|𝜉|Η ̂ (𝜉 − Η
𝑘(𝑥) . 1 − 𝑒 −𝜆𝑥
… (46)
Un funcional lineal continuo es una distribución o función generalizada. El espacio de todas las distribuciones se denota como 𝔇′ . 𝔇 es un subespacio lineal de 𝔇′ , 𝔇 ⊂ 𝔇′ . Sea 𝑓: ℝ → ℂ una función localmente integrable, es 𝑏 decir, ∫𝑎 |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 existe ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ . Se puede definir una distribución 𝑓 a través de la integral convergente:
… (45)
Si ℎ̂(𝜁) es analítica en 𝑆𝜆 entonces (45) tiene transformada inversa y se obtiene:
233
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 ℎ𝜂 (𝑥) = (
∞
〈𝑓, 𝜙〉 = 〈𝑓(𝑡), 𝜙(𝑡)〉 = ∫ 𝑓(𝑡)𝜙(𝑡)𝑑𝑡 .
… (48)
−∞
𝑘(𝑥) ) 𝑒 2𝜋𝜂𝑥 . 1 − 𝑒 −𝜆𝑥
Entonces ℎ̂(𝜉) = ℎ̂𝜂 (𝜉 + 𝑖𝜂) existe y es analítica en 𝑆𝜆 . Además,
La distribución 𝑓 se dice que estar generada por la función 𝑓. Las distribuciones generadas por (48) de funciones localmente integrables se llaman distribuciones regulares, de lo contrario serán llamadas distribuciones singulares. El espacio de Schwartz sobre ℝ, 𝒮(ℝ), consiste de todas las funciones 𝑓 suaves tal que 𝑓 y todas sus derivadas 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ , … , 𝑓 (ℓ) , … , decaen rápidamente, en el sentido que:
ℎ̂(𝜉) = lim− 𝑓̂(𝜉 + 𝑖𝜂) , 𝜂→0
𝜆𝑖 ℎ̂ (𝜉 − ) = lim + 𝑓̂(𝜉 + 𝑖𝜂), 2𝜋 𝜂→(𝜆/2𝜋)
… (49)
y se satisface la ecuación (45). Más aún, esta solución es única (salvo una constante) y toma valores en 𝒮′ sobre la frontera. Demostración. Obsérvese que ℎ𝜂 (𝑥) es una distribución temperada en −𝜆/2𝜋 ≤ ℎ ≤ 0. Dado que la transformada de Fourier y su inversa establecen una correspondencia uno a uno en el espacio 𝒮′ basta probar que 𝑔𝜂 , definida como
sup |𝑥|𝑘 |𝑓 (ℓ) (𝑥)| < ∞ ∀ 𝑘, ℓ ∈ ℕ ∪ {0} . 𝑥∈ℝ Esta propiedad también puede escribirse en otra forma. 𝑓 ∈ 𝒮(ℝ) si: lim |𝑥|𝑘 |𝑓 (ℓ) (𝑥)| = 0 ∀ 𝑘, ℓ ∈ ℕ ∪ {0} .
|𝑥|→∞
Toda función prueba es una función que decae rápidamente, 𝔇 ⊂ 𝒮. Toda función de 𝑓 ∈ 𝒮 es absolutamente integrable. Una distribución 𝑓 se dice ser de bajo crecimiento si es un funcional lineal continuo sobre el espacio 𝒮(ℝ). Estas distribuciones también son llamadas distribuciones temperadas. El espacio de distribuciones temperadas se denota como 𝒮′. Una función se dice ser bajo crecimiento si
𝑔𝜂 (𝑥) =
𝑒 2𝜋𝜂𝑥 , 1 − 𝑒 −𝜆𝑥
es una función de bajo crecimiento. En efecto, basta poner 𝑁 = 1 para verificar que lim |𝑥|−1 𝑔𝜂 (𝑥) = 0 ,
|𝑥|→∞
lim |𝑥|−𝑁 𝑓(𝑥) = 0 ,
|𝑥|→∞
para todo 𝜂. Por el teorema 1 ℎ̂(𝜉 + 𝑖𝜂) es analítica en 𝜆 − < ℎ < 0 y se satisface (49). Además, la ecuación (45) 2𝜋 también se satisface. En efecto,
para algún entero 𝑁. Toda función localmente integrable de bajo crecimiento define una distribución temperada de la forma (48). Toda distribución temperada 𝑓 ∈ 𝒮′ tiene una transformada de Fourier 𝑓̂ ∈ 𝒮′ definida por 〈𝑓̂ , 𝜙〉 = 〈𝑓, 𝜙̂〉 〈ℱ𝑓, 𝜙〉 = 〈𝑓, ℱ𝜙〉 ) donde 𝜙̂ es la (o bien como transformada de Fourier clásica y 𝜙 ∈ 𝒮. Si ℱ𝑓 = 𝑔 y ℱ𝜙 = 𝜓 entonces:
ℎ̂(𝜉) − ℎ̂ (𝜉 −
𝑖𝜆 𝑘(𝑥) ^ 𝑘(𝑥)𝑒 −𝜆𝑥 )=( ) − ( ) 2𝜋 1 − 𝑒 −𝜆𝑥 1 − 𝑒 −𝜆𝑥
^
^
1 − 𝑒 −𝜆𝑥 = (𝑘(𝑥) ) = 𝑘̂ (𝜉) . 1 − 𝑒 −𝜆𝑥
〈ℱ −1 𝑔, 𝜓〉 = 〈𝑔, ℱ −1 𝜓〉 ,
Para mostrar la unicidad de ℎ̂ basta suponer que existen dos soluciones, ℎ̂1 y ℎ̂2. Ambas soluciones satisfacen (49) y además:
donde 𝑔 ∈ 𝒮′ y 𝜓 ∈ 𝒮. ℱ −1 𝑔 es también una distribución temperada. Teorema 1. Supongamos que 𝑓𝜂 (𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑒 2𝜋𝜂𝑥 es una distribución temperada para 𝜂1 ≤ 𝜂 ≤ 𝜂2 . Entonces la transformada de Fourier, 𝑓̂𝑛 (𝜉) = 𝑓̂(𝜉 + 𝑖𝜂), existe como una función ordinaria para 𝜂1 < 𝜂 < 𝜂2 y es analítica en la banda 𝜉 + 𝑖𝜂 del plano complejo. Además,
𝑖𝜆 ) = 𝑘̂(𝜉) , 2𝜋 𝑖𝜆 ℎ̂2 (𝜉) − ℎ̂2 (𝜉 − ) = 𝑘̂(𝜉) . 2𝜋 ℎ̂1 (𝜉) − ℎ̂1 (𝜉 −
Por lo tanto, ℎ̂0 (𝜉) = ℎ̂1 (𝜉) − ℎ̂2 (𝜉) satisface la ecuación homogénea 𝑘̂(𝜉) = 0,
𝑓̂(𝜉 + 𝑖𝜂𝑗 ) = lim 𝑓̂(𝜉 + 𝑖𝜂) , 𝜂→𝜂𝑗
para 𝑗 = 1,2 cuando 𝜂 se aproxima por el interior de la banda. Teorema 2. Supongamos que 𝑘̂ (𝜉) es una distribución temperada con transformada de Fourier 𝑘(𝑥). Sea
ℎ̂0 (𝜉) = ℎ̂0 (𝜉 −
234
𝑖𝜆 ). 2𝜋
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 ∞
Dado que ℎ̂1 y ℎ̂2 son analíticas en 𝑆𝜆 y además con valores de frontera 𝒮′ se concluye que ℎ̂0 (𝜉) hereda estas mismas propiedades y por lo tanto tiene sentido la transformada de Fourier inversa ℎ0 (𝑥) = 𝑒 −𝜆𝑥 ℎ0 (𝑥). Así, ℎ0 (𝑥) = 𝐶𝛿(𝑥) lo cual implica que ℎ̂0 = 𝐶, donde 𝐶 es una constante. Se concluye que ℎ̂(𝜉) es única salvo una constante. ̂ (𝜉), ver (44), se tiene: Dado que ℎ̂(𝜉) = ln Η ̂ (𝜁) = 𝐻 ̂𝜂 (𝜉) = 𝑒 ℎ̂(𝜁) , 𝐻 para −
𝐼3 = ∫ 2𝜋𝑖𝒰(𝜉)𝑒 2𝜋𝑖𝑥𝜉 𝑑𝜉 .
Las integrales de arriba pueden obtenerse a partir de las propiedades de distribuciones. Por ejemplo, mostramos el cálculo de (54.a). Sea 𝜙 ∈ 𝒮, entonces: 〈ℱ𝛿 𝑘 (𝑥 − 𝜏), 𝜙(𝜉)〉 = 〈𝛿 𝑘 (𝑥 − 𝜏), 𝜙̂(𝜉)〉 = (−1)𝑘 〈𝛿(𝑥 − 𝜏), (𝜙̂(𝜉))𝑘 〉 = (−1)𝑘 (𝜙̂(𝜏))𝑘 𝑑𝑘 ∞ = [(−1)𝑘 𝑘 ∫ 𝜙(𝜉)𝑒 −2𝜋𝑖𝜉𝑡 𝑑 𝜉] 𝑑𝑡 −∞ 𝑡=𝜏
… (50)
𝜆
< 𝜂 < 0 , 𝜁 = 𝜉 + 𝑖𝜂. Sin embargo, no siempre ̂ (𝜁) satisfaga todas las condiciones podemos asegurar que 𝐻 ̂ (𝜁) satisface (43.a) del de (43). Observemos primero que 𝐻 hecho que ℎ̂(𝜁) es analítica en 𝑆𝜆 . ̂ (𝜁) = 0 para algún 𝜁 ∈ 𝑆𝜆 Obsérvese también que si 𝐻 entonces este procedimiento no aplica ya que esta raíz no podría recuperarse a partir de (50). 2𝜋
∞
= ∫ (2𝜋𝑖𝜉)𝑘 𝑒 −2𝜋𝑖𝜉𝜏 𝜙(𝜉)𝑑𝜉 −∞
= 〈(2𝜋𝑖𝜉)𝑘 𝑒 −2𝜋𝑖𝜉𝜏 , 𝜙(𝜉)〉.
Para el caso particular del modelo de la cóclea en estudio se tiene: donde 𝛼 =
𝜋𝑠0 (1 + 𝑖𝜔𝜌). 𝜌𝜔 2
… (51)
𝜉 ≥ 0 ∫ ln 𝜉 𝑑𝜉 = 𝜉 ln 𝜉 − 𝜉 ,
Tomando el logaritmo a (51), obtenemos: 𝑘̂(𝜉) = ln 𝛼 + ln|𝜉| − 2𝜋𝑖𝒰(𝜉) ,
∫ ln|𝜉| 𝑑𝜉 = { 𝜉 < 0 ∫ ln(−𝜉)𝑑𝜉 = 𝜉 ln(−𝜉) − 𝜉 .
… (52)
Entonces, ∫|ln|𝜉||𝑑𝜉 = 𝜉 ln|𝜉| − 𝜉 y así ln|𝜉| genera una distribución regular. Además, ln|𝜉| no está acotada cuando 𝜉 → 0, es decir, tiene una singularidad en 𝜉 = 0. Para calcular (55.b) similarmente como se hizo en (55.a) se debe tener en cuenta que: 𝑑(ln|𝜉|) 1 = , 𝑑𝜉 𝜉
0 𝜉<0 es la función de Heaviside. La 1 𝜉≥0 justificación del último término en (52) será hecha más adelante. Calculando la transformada inversa de (52) se obtiene (ver tablas en Lavoine[7]): donde 𝒰(𝜉) = {
𝑘(𝑥) = {ln 𝛼 𝛿(𝑥)} − {
1 + 𝛾𝛿(𝑥) + (ln 2𝜋) 𝛿(𝑥)} 2|𝑥|
1 + { − 𝑖 𝜋𝛿(𝑥)} 𝑥
= (ln 𝛼 − 𝑖 𝜋 − ln 2𝜋 − 𝛾)𝛿(𝑥) −
1 1 + , 2|𝑥| 𝑥
… (55)
De (55) se deduce que ℱ{𝛿(𝑥)} = 1 ⇒ 𝛿(𝑥) = ℱ −1 {1} y por lo tanto (55.a) ha quedado justificada. Obsérvese que la función delta, 𝛿(𝑥), no es una función localmente integrable y por lo tanto, de acuerdo con (48), define una distribución singular. Por otro lado, la función ln|𝜉| es localmente integrable ya que la integral indefinida existe y es un número finito:
Solución del modelo de la cóclea
̂ (𝜉) = 𝛼|𝜉|, 𝐾
… (54. 𝑐)
−∞
y ésta última función no es localmente integrable, además de tener una singularidad en 𝜉 = 0, y por lo tanto no genera una distribución regular. Sin embargo, es posible obtener distribuciones teniendo en cuenta que en integrales con alguna singularidad pueden obtenerse a partir de la parte finita de Hadamard o el valor principal de Cauchy [16].
… (53)
donde 𝛾 = 0.57721 … es la constante de Euler. Antes de continuar conviene observar lo siguiente. Para calcular la transformada inversa de (52) las siguientes integrales debieron haberse calculado:
Podemos descomponer 𝑔𝜂 (𝑥) de la forma siguiente: 𝑔𝜂 (𝑥) =
∞
𝐼1 = ∫ ln 𝛼 𝑒 2𝜋𝑖𝑥𝜉 𝑑𝜉 ,
… (54. 𝑎)
𝐼2 = ∫ ln|𝜉| 𝑒 2𝜋𝑖𝑥𝜉 𝑑𝜉 ,
… (54. 𝑏)
−∞ ∞
𝑒 2𝜋𝜂𝑥 1 1 2𝜋𝜂 = +( + ) + 𝑔̃𝜂 (𝑥) , −𝜆𝑥 𝜆𝑥 2 𝜆 1−𝑒
donde lim 𝑔̃𝜂 (𝑥) existe y además si − 𝑥→0
𝜆 2𝜋
< 𝜂 < 0 entonces
𝑔𝜂 (𝑥) decae exponencialmente cuando |𝑥| → ∞. Por otro
−∞
235
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 lado, lim 𝑔0 (𝑥) = 1 y lim 𝑔−𝜆/2𝜋 (𝑥) = −1. Utilizando 𝑥→+∞
La transformada de Fourier de la función 𝑓0 (𝑥) ha sido aproximada de la siguiente manera. Descomponemos la función 𝑓0 (𝑥) como
𝑥→−∞
el teorema 2 y descomponiendo ℎ𝜂 (𝑥) de la siguiente forma: ℎ𝜂 (𝑥) = (ln 𝛼 − 𝑖 𝜋 − ln 2𝜋 − 𝛾)𝛿(𝑥)𝑔𝜂 (𝑥) 1 1 +( − ) [𝒰(𝑥)𝑒 2𝜋𝜂𝑥 − 𝒰(−𝑥)𝑒 (𝜆+2𝜋𝜂)𝑥 𝑥 2|𝑥| 1 1 2𝜋𝜂 + 𝑒 −𝜆|𝑥| ( + + )] + 𝑓𝜂 (𝑥) , 𝜆𝑥 2 𝜆 donde 𝑓𝜂 está dada por
1 1 1 1 𝑓0 (𝑥) = ( − ) 𝑔 (𝑥) + ( − ) Φ(𝑥) , 𝑥 2|𝑥| 0 𝑥 2|𝑥| donde 𝑔𝜂 (𝑥) es como definida antes y Φ(𝑥) es: 1 1 2𝜋𝜂 Φ(𝑥) = {−𝒰(𝑥) + 𝒰(−𝑥)𝑒 𝜆𝑥 − 𝑒 −𝜆|𝑥| ( + + )} . 𝜆𝑥 2 𝜆
1 1 ) [𝑔𝜂 (𝑥) − 𝒰(𝑥)𝑒 2𝜋𝜂𝑥 𝑓𝜂 (𝑥) = ( − 𝑥 2|𝑥| 1 1 2𝜋𝜂 +𝒰(−𝑥)𝑒 (𝜆+2𝜋𝜂)𝑥 − 𝑒 −𝜆|𝑥| ( + + )]. 𝜆𝑥 2 𝜆
La transformada de Fourier de Φ(𝑥) puede obtenerse de forma cerrada consultando las tablas en Lavoine [7]. Por otro lado, hemos utilizado la expansión en serie de 𝑔0 (𝑥) hasta de orden 10 y ya truncada la serie es posible completar la transformada de 𝑓0 (𝑥) consultando, una vez más, las ̂ (𝜉) puede tablas de Lavoine. La influencia de 𝑓̂0 (𝜉) sobre 𝐻 observarse en la Fig. (2). Note que la función decrece para |𝜉| → ∞ y contribuye muy poco en (57).
Obsérvese que 𝑓𝜂 es absolutamente integrable, 𝑓𝜂 (𝑥) ∈ 𝐿1 (ℝ), y por lo tanto su transformada de Fourier 𝑓̂𝜂 existe 𝜆 para todo 𝜂 ∈ [− , 0]. Por lo tanto, ℎ̂𝜂 (𝜉) = ℎ̂𝜂 (𝜉 + 𝑖𝜂) 2𝜋
está dada por (utilizando tablas de Lavoine [7]): 1 2𝜋𝜂 (𝜂 − 𝑖𝜉)) ℎ̂(𝜁) = ℎ̂𝜂 (𝜉 + 𝑖𝜂) = (ln 𝛼 − 𝜋𝑖) ( + 2 𝜆 1 5 𝜋 𝜆 2 − ln(−𝜂 + 𝑖𝜉) + ( + (𝜂 − 𝑖𝜉)) ln (𝜉 2 + ( ) ) 2 4 𝜆 2𝜋 3 𝜆 4𝜋 2𝜋𝜉 − ln ( + 𝜂 − 𝑖𝜉) − (2𝑖 + (𝜉 + 𝑖𝜂)) tan−1 ( ) 2 2𝜋 𝜆 𝜆 ∞ 2𝜋𝑖𝜉 + ∫ 𝑓𝜂 (𝑥)𝑒 2𝜋𝑖𝜉𝑥 𝑑𝑥 + − 2. … (56) 𝜆 −∞ ̂ (𝜁) = 𝑒 ℎ̂(𝜁) y por (43.b) Ahora, de (50) sabemos que 𝐻 ̂ (𝜉) = lim 𝑒 ℎ̂(𝜉+𝑖𝜂) = 𝑒 ℎ̂(𝜉) . Además, del teorema 2 𝐻 − 𝜂→0
sabemos que ℎ̂(𝜉) es única salvo una constante y por lo ̂ (𝜉) también. Así, tomando la exponencial a (56) tanto 𝐻 obtenemos:
Fig. 2: Aproximación de |exp (𝑓̂0 (𝜉))| con 𝑔0 (𝑥) aproximada hasta de orden 10, 𝜉[cm]. La función es acotada cuando |𝜉| → ∞ y, ̂ (𝜉) se ha para nuestros propósitos, su influencia sobre 𝐻 considerado insignificante.
2𝜋𝜉 ̂ (𝜉) = 𝐴 exp { 𝐻 [(𝑡𝑎𝑛−1 𝜔𝛽 − 2𝜋𝒰(𝜉)) + 𝜋 sgn(𝜉) 𝜆 2𝜋𝜉 1 𝜆 2 −2 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝑖 (1 + 𝜆𝑥0 − ln (𝜉 2 + ( ) )) 𝜆 2 2𝜋 2 𝜆 𝜉2 + ( ) 1 2𝜋 ) … (57) + ln ( |𝜉| 2
̂ (𝜉) tiene una singularidad en 𝜉 = 0, sin Obsérvese que 𝐻 ̂ embargo 𝐻 (𝜉) decae exponencialmente cuando |𝜉| → ∞. Lo anterior puede observarse en la Fig. (3a-3c) donde se han tomado valores de 𝑠0 = 1 [gm/cm2 seg 2 ], 𝜌 = 1[gm/cm3 ], 𝜆 = 0.7−1 [cm], 𝛽 = 10−4 seg −1 .
𝑖 2𝜋𝜉 𝑖𝜋 − tan−1 ( ) − sgn(𝜉) + 𝑓̂0 (𝜉)} , 2 𝜆 4
El comportamiento de la membrana basilar está dado por la transformada inversa de (57), sin embargo deseamos aproximar esta ecuación y obtener una expresión aproximada para 𝐻(𝑥).
donde 𝐴 es, en principio, una constante arbitraria y 1 𝜋𝑠0 𝑥0 = − ln ( 2 √1 + 𝜔 2 𝛽 2 ) . 𝜆 𝜌𝜔
236
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 1 2𝜋𝜉 ̂ (𝜉) = 𝒰(−𝜉) exp { 𝐻 tan−1 𝜔𝛽 + ln|𝜉| 2 𝜆 i2𝜋𝜉 }. +(1 + 𝜆𝑥0 − ln|𝜉|) 𝜆
a)
… (58)
La aproximación para 𝐻(𝑥) estaría dada por ∞
∞
−∞
−∞
̂ (𝜉)𝑒 2𝜋𝑖𝜉𝑥 𝑑𝜉 = ∫ 𝐻 ̂0 (𝜉)𝑒 2𝜋𝑖𝜓(𝜉) 𝑑𝜉 , 𝐻(𝑥) = ∫ 𝐻 donde:
1 2𝜋𝜉 tan−1 𝜔𝛽 + ln|𝜉|} , 2 𝜆 1 𝜓(𝜉) = 𝜉 {(𝑥 + 𝑥0 ) + (1 − ln|𝜉|)} . 𝜆
̂0 (𝜉) = 𝒰(−𝜉) exp { 𝐻
Haciendo el cambio de variable 𝜉 ̅ = −𝑒 𝜆(𝑥+𝑥0 ) se tiene:
b)
𝜓(𝜉 ̅) =
𝜉̅ , 𝜆
𝜓 ′ (𝜉 )̅ = 0 ,
𝜓 ′′ (𝜉 )̅ = −
1 𝜆𝜉 ̅
.
̂0 (𝜉) y 𝜓(𝜉) alrededor de 𝜉 ̅ y aproximando a Expandiendo 𝐻 primero y segundo orden, respectivamente, se obtiene: ̅ 2𝜋𝑖𝜓(𝜉̅ ) ∫∞ 𝑒 −𝑖𝜋(𝜉−𝜉̅ )2/𝜆𝜉̅ 𝑑𝜉 , ̂0 (𝜉 )𝑒 𝐻(𝑥)~𝐻 −∞ ∞
̅ 2 /𝜆𝜉̅
Dado que ∫−∞ 𝑒 −𝑖𝜋(𝜉−𝜉 ) simplificando se tiene:
𝑑𝜉 = 𝑖√𝜆𝜉 ̅ 𝑒 −𝑖𝜋/4
[]
y
𝐻(𝑥)~ exp {𝜆(𝑥 + 𝑥0 )
c)
−
2𝜋 𝜆(𝑥+𝑥 ) 0 (tan−1 𝜔𝛽 + i)}. 𝑒 𝜆
… (59)
A partir de (59) se obtiene que el punto máximo 𝑥𝑝 es alcanzado cuando 1 𝜆 𝑥𝑝 = −𝑥0 + ln ( ). 𝜆 2𝜋 tan−1 𝜔𝛽 Considerando tan−1 𝜔𝛽 =
𝜔𝛽 1
(1+𝜔2 𝛽 2 )3
+ 𝑂(𝜔5 𝛽 5 ) entonces
𝑥𝑝 toma la forma: ̂ (𝜉), Re[𝐻 ̂ (𝜉)]. Fig. 3a-3c. Comportamiento de la parte real de 𝐻
𝑥𝑝 =
̂ (𝜉)|, en todos Para cada caso se muestran ambas envolventes, ±|𝐻 los casos 𝐴 = 1.
1 𝑠0 𝜆(1 + 𝜔2 𝛽 2 )5/6 ln ( ). 𝜆 2𝜌𝜔 3 𝛽
Finalmente, la Ec. (59) se expresa en términos de 𝑥𝑝 como:
̂ (𝜉) está cercanamente a cero Obsérvese que la función 𝐻 ̂ (𝜉) alcanza un máximo y un para 𝜉 > 0. Para 𝜉 < 0, 𝐻 mínimo muy cerca del origen y decae exponencialmente cuando 𝜉 → −∞. De esta manera, obtenemos que (57) puede aproximarse por la siguiente expresión:
𝜆 𝐻(𝑥)~ exp{𝜆(𝑥 − 𝑥𝑝 ) + ln ( ) 2𝜋 𝑡𝑎𝑛−1 𝜔𝛽 𝜆(𝑥−𝑥𝑝 ) (1 −𝑒 + 𝑖/(tan−1 𝜔𝛽))} . … (60)
237
XVIII Reunión Nacional Académica de Física y Matemáticas 2013 El comportamiento de la membrana basilar puede observarse en las siguientes figuras para distintas frecuencias y con los mismos valores de 𝑠0 , 𝜌, 𝜆, y 𝛽 considerados anteriormente.
CONCLUSIONES Se analizó un modelo para estudiar el oído interno, específicamente la cóclea. Una aproximación analítica es obtenida a través de la teoría de distribuciones temperadas. Los resultados obtenidos generalizan a los ya presentados por Peskin[11] y son similares cualitativamente con las observaciones hechas por Békésy; la membrana basilar alcanza un punto máximo dependiendo de la frecuencia a la qué es estimulada.
a)
REFERENCIAS [1] [2] [3] [4] [5]
[6]
b)
[7] [8]
[9]
[10] [11]
[12] [13] [14]
c)
[15] [16]
Fig. 4a-4c. Se muestra la parte real de la fórmula asintótica (60) y sus respectivas envolventes, ±|𝐻(𝑥)|. Las graficas están normalizadas y tomando como origen el punto 𝑥𝑝 respectivo a cada caso.
238
Békésy, G. von. 1960. Experiments in Hearing. McGraw-Hill. Gel’Fand, I. M. and Shilov, G. E. Generalized Functions: Properties and operations. Vol. 1, Academic Press Inc, New York, 1964. 423 pp. Griffel, D. H. Applied Functional Analysis. John Wiley & Sons, New York, 1988. 390 pp. Holmes, Mark H. 1982. A mathematical model of the dynamics of the inner ear. J. Fluid Mechanics. 116: 59-75. Inselberg, A. and Chadwick, Richard S. 1976. Mathematical model of the Cochlea. I: Formulation and Solution. SIAM J. Appl. Math. 30(1): 149-163. Keller, Joseph B. and Neu, John C. 1985. Asymptotic analysis of a viscous cochlear model. J. Acoust. Soc. Am. 77(6): 2107-2110. Lavoine, J. Tranformation de Fourier des pseudo-fonctions. Centre National de la Recherche Scientifique, Paris, 1963. 157 pp. Leveque, R. J., Peskin, C. S., and Lax, Peter D. 1985. Solution of a two-dimensional cochlea model using transform techniques. SIAM J. Appl. Math. 45(3): 450-464. Leveque, R. J., Peskin, C. S., and Lax, Peter D. 1988. Solution of a two-dimensional cochlea model with fluid viscosity. SIAM J. Appl. Math. 48(1): 191-213. Loh, C. H. 1983. Multiple scale analysis of the spirally coiled cochlea. J. Acoust. Soc. Am. 74(1): 95-103. Peskin, Charles S. Partial Differential Equations in Biology. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University, 1976. 227 pp. Steele, Charles R. 1972. Behavior of the basilar membrane with puretone excitation. . Acoust. Soc. Am. 55(1): 148-162. Steele, Charles R. and Zais, Jeffrey G. 1985. Effect of coiling in a cochlear model. J. Acoust. Soc. Am. 77(5): 1849-1852. Strichartz, Robert S. A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms. CRC Press, Inc., USA, 1994. 213 pp. Viergever, Max A. 1978. Basilar membrane motion in a spiral-shaped cochlea. J. Acoust. Soc. Am. 64(4): 1048-1053. Zemanian, A.H. Distribution Theory and Transform Analysis. McGraw-Hill, New York, 1965. 371 pp.
