FUNGSI GAMMA, BETA DAN ERROR SERTA APLIKASINYA DALAM FISIKA O L E H
KELOMPOK 2 : 1.
Fajrul Wa!" G"#$"#% &'1()1*++-
2.
F/r"a#" Ha0$"#" N0$ &'1()1*+)-
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA PROGRAM PASA SARANA UNI3ERSITAS UNI3ERSITAS NEGERI MEDAN 21(
FUNGSI GAMMA, BETA DAN ERROR
A. Fungsi Faktorial Integral berikut ini (untuk α > 0) dapat dihitung dengan cara biasa, yaitu :
∞
1 −α x ∞ α x − e dx = − e
∫
α
0
=
1 α
0
….. () !arena integral dapat di"e"inisikan sebagai: b
b
d f ( x ,t ) dt = dx
∫
∂f ( x ,t ) dt ∂ x
∫
a
a
….. (#) $ehingga integral di atas bila didi"erensialka% terhadap α akan %e%berikan: b
d e−α x dx = dα
∫ a
b
(∂ e− x )dx = ∞ − xe− x dx =
∫ ∂
α
α
a
∫
α
0
1 d 1 = − 2 dα α α ….. (&)
'an bila prosesnya diulangi %aka: b
d xe−α x dx = dα
∫ a
b
∞
∂( xe−α x ) d 1 ( 1)( 2) = − 3 dx = − x 2e−α x dx = ∂α dα α 2 α
∫ a
∫ 0
….. () 'an ika: b
d x 2e−α x dx = dα
∫ a
b
∫ a
∞
3! ∂ ( x 2e−α x ) d 2 ( 1)( 2)( 3) 3 dx = − x 3e−α x dx = = − = − 4 4 ∂α dα α α α
∫ 0
… (*) +aka, secara u%u% dapat dinyatakan: ∞
∫
n −α x x e dx =
0
n! n+1
α
….. () -ntuk nilai α , diperoleh:
∞
∫
x ne− x dx = n!
0
….. (/) di%ana, n , #, &, …. -ntuk n 0 diperoleh
∞
∫
− x ∞
− x
0!= e dx = − e
0
=1
0
1. Fungsi 2a%%a Fungsi perta%a yang kita tinau adalah "ungsi 2a%%a 3( x) yang dide"inisikan sebagai hasil dari bentuk integral berikut:
∞
Γ( p) =
∫
x p−1e− x dx ;
0
….. (4) p > 0 di%ana, p tidaklah harus bilangan bulat. -ntuk bilangan bulat n bila digunakan integral yang telah diperoleh pada persa%aan (/), %aka:
∞
Γ( n) =
∫
x n−1e− x dx = ( n− 1)!
0
….. (5)
∞
Γ( n+ 1) =
∫
x ne− x dx = n!
0
….. (0) 'iperoleh:
∞ Γ ( p + 1) = x pe− x dx = p!
∫ 0
….. () 1ila persa%aan tersebut diintegralkan (%enggunakan %etode integral parsial dengan x p = u %enggunakan
e− x dx = dv dan ) %aka:
du= px p−1dx v = −e− x ,
∞ Γ( p+ 1) = − x p e− x 0
∞
− (− e− x ) px p−1dx
∫ 0
∞ Γ( p+ 1) = p x p−1e−x dx = pΓ( p)
∫ 0
$ehingga %enghasilkan hubungan :
Γ( p + 1) = pΓ( p) ….. (#) 6ilai "ungsi 2a%%a u%u%nya telah ditabelkan untuk 7 p 7 #. 8ubungan tersebut dapat digunakan untuk %encari nilai "ungsi 2a%%a untuk p tertentu yang tidak ditabelkan. +isalnya: 3(*9#) 3(&9# ) (&9#) 3(&9#) 3(/9#) 3(*9# ) (*9#) 3(*9#) (*9#) (&9#) 3(&9#) !arena, 3( p) p3( p), %aka:
Γ( p) =
Γ( p+ 1) p , sehingga:
Γ ( 0,5) =
Γ ( 1,5) 0,5
'engan cara yang sa%a dapat dicari nilai "ungsi 2a%%a unruk nilai p negati;e
Γ ( − 0,5) =
1
− 0,5
Γ ( 0,5)
Γ( − 1,5) =
1
1
− 1,5 − 0,5
Γ( 0,5)
dan !arena 3() dan dari hubungan tersebut diatas, %aka dapat dinyatakan:
Γ ( p) =
Γ ( p+ 1)
∞
p
, ika p
∞
1 Γ = 2 0
∫
1
t
0
e−t dt (de"inisi "ungsi 2a%%a untuk p 0,*)
….. (&)
t = y → t = y 2 'engan %engubah ;ariabelnya %enadi
dt = 2 yd <
%aka 3(9#) dapat
dinyatakan %enadi:
∞
∞
1 1 − y Γ e 2 ydy = 2 e− y dy = 2 0 y 0
∫
∫
2
2
….. () 'apat pula dituliskan %enadi
∞
1 Γ = 2 e− x dx 2 0
∫
2
…... (15)
1ila keduanya dikalikan:
∞∞
2
1 −( x 2+ y 2 ) dxd Γ = 4 e 2 00
∫∫
….. (16)
dan diselesaikan dengan %enggunakan syste% koordinat polar, %aka didapat 2
1 Γ 2 = 4 = θ 0
π / 2
∞
∫ ∫
2
e−r rdrdθ = 4
r =0
−r 2 π e 2
−2
∞
= π 0
….. (17)
$ehingga, 1 Γ = 2
π
….. (4)
=. Fungsi 1eta Fungsi 1eta dide"inisikan sebagai: 1
∫
− B( p,q) = x p−1 ( 1− x ) q 1 dx 0
….. (19)
p > 0 q > 0 dengan,
<
bentukbentuk lainnya dari "ungsi 1eta dapat diperoleh dengan %engganti ;ariable ;ariabelnya. +isalnya dengan %enggunakan ;ariable baru y ax yang berarti x y / a, %aka akan diperoleh dx dy / a. 1atas integral pun harus diubah. ?ika x 0 %aka y 0 dan untuk x %aka y a. "ungsi 1eta B( p,q) dituliskan ke%bali dala% bentuk: a
p−1
y B( p,q) = a 0
∫
q−1
1− y ( dy / a) a ….. (20)
@ang akan %e%berikan: a
a
p−1 q−1 y y dy = p+1q−1 y p−1 ( a − y ) q−1dy B( p,q) = 1 − a a a a 0 0
∫
∫
….. (21)
-ntuk %endapatkan bentuk "ungsi 1eta dala% ;ariable sudut (trigono%etri), lakukan substitusi x sin#θ yang %e%berikan dx # sin θ cos θ dθ .
( 1 − x ) = 1 − sin2 θ = co s2 θ ….. (##) akukan substitusi untuk batas integral. -ntuk x 0 berarti θ 0 sedangkan ika x berarti θ B4#. 'engan de%ikian "ungsi 1eta B( p,q) dituliskan dala% ;ariable baru %enadi: π /
B( p,q)
=
2
p−1 q−1 ( ( sin2 θ ) 1 − sin2 θ ) 2sinθ co sθ dθ ∫ 0
….. (23) π /
B( p,q)
2
∫
= 2 ( sinθ ) 2 p−1 ( co sθ ) 2q−1 dθ 0
….. (24)
1entuk lainnya yang %elibatkan batas integral dari 0 sa%pai C.lakukan substitusi dengan ;ariable baru y di%ana x y4( y) dengan ;ariable baru tersebut dapat dinyatakan:
dx =
dy ( 1 + y ) − ydy
( 1 + y )
=
2
dy
( 1 + y )
1 − x = 1 −
2
y = 1 + y − y = 1 1 + y 1 + y 1 + y
dan +aka,
∞
∞ p−1 q−1 y 1 dy dy p−1 ( 1 + y ) ( 1 + y ) = B( p,q) = y 1 + y ( 1 + y ) 2 2 p q 1 + y ( 1 + y ) ( 1 + y ) ( 1 + y ) 0 0
∫
∞
∫
y p−1
∫ ( +
B( p,q) =
0
p+ q
1 y )
dy ….. (25)
Fungsi 1eta dapat dihitung dengan %enggunakan hubungannya dengan "ungsi 2a%%a yang beberapa nilainya telah ditabelkan. Fungsi 2a%%a untuk p dinyatakan sebagai
∞
Γ ( p) =
∫
t p−1e−t dt
0
….. (26)
?ika digunakan ;ariable baru y di%ana t y2 %aka "ungsi 2a%%a tersebut %enadi
∞
Γ ( p) =
2 p−1
∫ ( y )
2
∞
∫
∞
∫
2 e− y 2 ydy = y 2 p−2e− y 2 ydy = 2 y 2 p−1e− y dy
0
0
2
0
….. (27)
?ika ;ariable dala% integral diubah %enadi ;ariabel lain, dapat dituliskan:
∞ 2 Γ ( p) = 2 x 2 p−1e− x dx
∫ 0
….. (28)
1ila kedua integral tersebut dikalikan dan digunakan syste% koordinat polar %aka akan diperoleh:
∞ ∞ 2 2 x 2 p−1 y 2 p−1e−( x + y ) dxd Γ( p) Γ( q) = 4
∫ ∫ 0
0
….. (#5)
∞
π / 2
∫ ∫
Γ( p)Γ( q) = 4
0
(r cosθ )
2 p−1
(r sin θ )
2 p−1
−r 2 e rdrdθ
0
….. (&0)
∞
∫
Γ( p)Γ( q) = 4
r
π / 2
∫
2 e−r dr
2 p+2q−1
0
( cosθ )2 p−1 (sinθ )2p−1dθ
0
….. (&)
∞
∫
2 e−r dr =
2 p+2q−1
r
0
∞
∫ 0
2 1 r 2( p+q) −1e−r dr = Γ( p+ q)
2
!arena, ….. (&#) π / 2
∫ 0
( cosθ ) 2 p−1( sinθ ) 2 p−1dθ =
1 2
B( p,q)
$edangkan, ….. (&&) 1 1 Γ ( p) Γ ( q) = 4 Γ ( p + q) B( p,q) 2 2
$ehingga, ….. (&) 'engan de%ikian "ungsi 1eta dapat dinyatakan:
B( p,q) =
Γ( p) Γ( q) Γ( p+ q) ….. (&*)
'engan hubungan tersebut, bentuk integral yang dinyatakan dala% "ungsi 1eta dapat diperoleh nilainya dengan %enggunakan table "ungsi 2a%%a. +isalkan untuk %enghitung integral:
∞
I=
x 3dx
∫ ( + ) 0
5
1 x
….. (36)
Integral tersebut dapat dinyatakan dala% "ungsi 1eta dengan p dan q . 'an %enggunakan "ungsi 2a%%a dapat dituliskan:
I
= B( 4,1) =
Γ ( 4) Γ ( 1) ( 4 − 1)!0! 3!0! 1 = = = 4! 4! 4 Γ ( 5)
'. Fungsi Drror Fungsi Drror dide"inisikan dala% bentuk: x 2 −t 2
erf ( x ) =
∫
e dt
π
0
….. (37)
'e"inisi tersebut adalah de"inisi standard "ungsi Drror, %eskipun de%ikian terdapat beberapa bentuk integral yang dapat dinyatakan dala% "ungsi Drror.
P( − ∞, x ) =
1 2π
−t 2 2 e dt
x
∫
−∞
….. (38)
t 2 = 2u2
t = u 2 +isalkan
%aka
Φ( x ) = P( − ∞, x ) =
1 2π
dt = 2du dan
, %aka
x / 2
∫
2
e−u
−∞
2du=
1 π
x / 2
∫
2 e−u du
−∞
….. (39)
0 x / 2 1 Φ( x ) = P( − ∞, x ) = e−u du+ e−u du π −∞ 0
∫
∫
2
2
….. (40)
$uku kedua dapat dinyatakan sebagai "ungsi Drror x / 2
∫
2 e−u du=
π
2
(
)
erf x / 2
0
….. (41)
$edangkan suku perta%a karena %erupakan integral dari suatu "ungsi genap %aka dapat dituliskan sebagai: 0
1 Γ 2 e−u du= e−u du= =
∫
∞
2
−∞
∫
2
2
π
2
0
….. (42)
$ehingga,
0 x / 2 Φ( x ) = P( − ∞, x ) = e−u du+ e−u du = π −∞ 0 1
∫
1 1
Φ( x ) = P( − ∞, x ) = + 2
2
2
∫
2
π
1
π
2
+
π
2
x erf 2
x 2
erf
….. (43)
Φ( x ) Fungsi
dikenal sebagai "ungsi distribusi nor%al standard "ungsi distribusi ku%ulati"
2auss yang banyak diu%pai pada persoalan statistika. Ada uga "ungsi yang disebut sebagai "ungsi error pelengkap yang dinyatakan dengan:
erfc( x ) =
∞
2 π
∫
t 2 − e dt
x
….. (44)
1ila integral tersebut diuraikan, dapat dinyatakan:
∞ 0 2 2 e−t dt + e−t dt erfc( x ) = e− t dt = π π x 0 x ∞
∫
∫
2
∫
2
2
….. (45)
∞ x − t − t − e dt + e dt = erfc( x ) = π 0 0 2
∫
2
∫
− π
2
2
π
2
erf ( x ) +
π
2
$ehingga dapat dinyatakan:
erfc( x ) =
2 π
∞
∫
t 2 − e dt = 1 − erf ( x )
x
….. (46)
'engan %enggunakan de"inisi "ungsi error, %aka dapat dinyatakan:
erf ( ∞ ) =
2 π
∞
2 2 1 1 e− t dt = Γ = 1
∫
π
x
2
2
….. (47)
-ntuk nilai x yang kecil "ungsi erf ( x) dapat dinyatakan dengan deret: x x 4 2 2 2 − t 2 t
erf ( x ) =
∫
e
π
0
dt =
π
1 − t + 0
∫
dt − .... 2!
….. (48)
3 5 x x erf ( x ) = x − + − .... π 3 5.2!
2
….. (49)
Fungsi error i%ainer yang dinyatakan dengan erfi ( x) dide"inisikan sebagai:
er( x ) =
2 π
x
∫
t 2
e dt
0
….. (50)
D. Aplikasi dala% "isika . $ebagai contoh kasus sederhana kita tinau gerakan bandul sederhana yang teradi akibat dipengaruhi oleh gaya gra;itasi.
1erdasarkan huku% kedua 6eEton, pengga%baran dina%ika gerak bandul dengan %assa m tersebut diberikan oleh persa%aan di"erensial berikut:
d 2θ dt 2
=−
g sinθ l ….. (*)
ersa%aan (*) dapat dipecahkan sebagai berikut< kalikan kedua ruas persa%aan dengan dG9dt, sehingga,
d 2θ d θ dt 2 dt
=−
g d θ l dt
sinθ
….. (*#) !e%udian berdasarkan identitas,
d 2θ d θ dt 2 dt
2
=
1 d d θ
2 dt dt
− sinθ dan
d θ dt
=
d ( co sθ ) dt
$elanutnay kalikan persa%aan (*#) dengan ml 2 sehinggan persa%aan (*) dapat dituliskan sebagai berikut:
d 1
dt 2
2 d θ − mglcosθ = 0 dt
2
ml
….. (*&) $uku perta%a pada persa%aan diatas tidak lain %erupakan energi kinetik dari bandul tersebut, yaitu:
Ek =
1 2
2
d θ dt
2
ml
$edangkan suku kedua tidak lain %erupakan energi potensial bandul, yaitu:
E p = −mglcosθ @ang diukur dari pangkal tali, sehingga elas suku pada kurung siku tersebut adalah energi total bandul E . !arena ruas kanan persa%aan (*) sa%a dengan nol, %aka ungkapan didala% kurung siku pada ruas kiri harus %erupakan konstanta: 1 2
2
d θ − mglcosθ = E dt
2
ml
…. (*) 'i%ana E > 0. 'engan sedikit %anipulasi akhirnya diperoleh: 1 2
2g = dt l
d θ
E mgl
+ co sθ
….. (**) @ang %erupakan persa%aan di"erensial nonlinier orde satu. ersa%aan (*) dapat diselesaikan secara i%plisit dengan %engubahnya %enadi: 1 2
2g l
dt =
d θ E + cosθ mgl ….. (*)
$ehingga solusinya adalah: t
1 2
2g l 0
∫
dt =
θ
∫ 0
d θ E + cosθ mgl ….. (*/)
Atau 1 θ 2
l t = 2g
∫ 0
d θ E + cosθ mgl
….. (*4) Huas kanan pada solusi i%plisit (*4) dapat ditrans"or%asikan %enadi integral eliptik. -ntuk %e%perolehnya, gunakan identitas trigono%etri cos θ = 1 – 2 sin2θ/2 ke%udian de"inisikan, 1 2
E k = + 1 mgl
, sehingga ungkapan (*5) berubah %enadi, 1 θ 2
l t = g 2
∫ 0
d θ k 2 − 2sin2θ / 2 ….. (*5)
!e%udian dide"inisikan , sinθ / 2 = k sinφ /
(θ / 2) d θ = cos
2
φ d φ 2k cos
dengan 1 φ 2
l t = g
, sehingga,
d φ
∫
2
2
1− k sin φ / 2
0
….. (0) $elanutnya tinau integral pada ruas kanan persa%aan (0), %isalkan x = sin ϕ dengan dx = cos ϕ d ϕ dan cos2ϕ = 1 – x2, sehingga: φ
∫ 0
x
d φ 2
=
2
1− k sin φ / 2
∫ 0
dx 2
1 − x
2 2
1 − k x / 2
….. () 'an elas bahEa: x
u=
∫ 0
φ
dx 2
1 − x
2 2
1 − k x / 2
=
∫ 0
d φ 2
2
1− k sin φ / 2
….. (#) 'ari sini, kita dapat %e%"or%ulasikan solusi eksplisit bagi persa%aan non linier (*) dengan %enuliskan ke%bali integral (*5) sebagai:
1 2
l t = g
1 2
l sn−1( sinφ ) = g
sn−1
[(
) ]
2 sinθ / 2 / k
….. (&) $ehingga dengan de%ikian solusi eksplisit yang dicari adalah :
1 θ ( t ) = 2sin−
1 2 l sn t g 2
k
….. () k / 2
'engan %odulus
. Da5$ar Pu0$a6a
Alatas, 8usin. Fisika Matematika Edisi I . 1ogor: Fakultas +IA Institut ertanian 1ogor. +ary, .1oas. 54&. Matematical Metods in !e "ysical #ciences #econd Edition. !anada: ?ohn iley and $ons, Inc. http:99EEE.lunibuk.co%9ho%e.phpJ actionlistKdir-$LA!A9LD!6I!.'A6.$AI6$Korderna%eKsrtyesKna%a-$LA!A9L D!6I!.'A6.$AI6$9"ungsi.khusus."ungsi.ga%%a.beta.error.integral.dan."ungsi.eliptik.pd".sE" KcekdokKlinkKna%a"ile"ungsi.khusus."ungsi.ga%%a.beta.error.integral.dan."ungsi.eliptik.p d"
