TUGAS KELOMPOK MATEMATIKA LANJUT
FUNGSI GAMMA DAN BETA
Oleh Kelompok IV
ARMAN USMAN EDI BARAMULI FRENSIANI TADUNG’ALLO MUH.HIDAYATULLAH MUH.TAUFIK OCTAVIAN RESKY SRIMULYANA TENRI SANNA
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2011
Fungsi Gamma dan Beta
A. Fungsi Gamma 1. Definisi Fungsi Gamma Secara umum fungsi gamma didefinisikan sebagai integral tak wajar dengan bentuk umum sebagai berikut. ( )
∫
( )
∫
2. Sifat-sifat Fungsi Gamma Berikut adalah sifat-sifat yang dimiliki fungsi gamma: ) ( ) a) ( ) ( Bukti ( )
∫ Dengan menggunakan integral parsial, maka : [
( )
(
)
( ( )
b)
(
∫
)[ ( (
(
)
]
)∫
)]
) (
)
( ) ( ) Sifat ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama pada sifat (a), yaitu: (
)
∫ * [
∫ ]
∫
(
) +
c)
( ) →
(
∫
]
)
( )
( ) Bukti ( )
∫ [ (
) ( [ (
) ]
)
( )
d)
(
( )
)
Sifat ini diperoleh dari manipulasi sifat (b) dan berlaku untuk x ≠ 0, -1 < x < 0. Hal ini menunjukkan bahwa untuk x < 0, Г(x) juga mempunyai nilai. Kejadian ini akan dibahas pada mata kuliah yang lebih lanjut. e)
(
)
( )
(
)
(
) (
)
Bukti Berdasarkan sifat (b) => (
)
( )
) ( ) ( Karena ( ) ( ), ( ( ) ( ) dan seterusnya sampai ( ( yang diperoleh melalui reduksi sifat (b), maka : (
f)
)
( )
(
)
(
) (
) ( ))
), ( (
) ) (
)
( ) Sifat tersebut merupakan ciri utama dari fungsi gamma. Jelas bahwa sifat tersebut merupakan hasil reduksi dari sifat (e). Jika dipilih maka,
)
(
)
(
( (
)( )(
)( )(
) )
(
( ( ) ( )
(
) (
))
)
Dengan memeriksa sifat/definisi dari notasi faktorial (!), maka x haruslah bilangan bulat positif. Jadi, sifat ini hanya berlaku untuk . Kemudian, untuk x yang nilai faktorialnya akan sulit dihitung. Dengan menggunakan rumus trirling, yaitu : √
Kita dapat mengetahui bahwa (
)
√
Dengan menggunakan pendekatan Gauss fungsi gamma yaitu x!, dapat dihitung. ( ) ( ) ( ) ( ) Untuk nilai k yang membesar sampai apapun, hasilnya akan tetap sama yaitu n!. Sehingga, persamaan di atas dapat ditulis ( (
) ( ) (
( (
) )
) ) (
)
Sebab (n+k)! = (k+n)!, maka ( ) ( )( ) ( ( (
*(
)( )(
) ( ) (
)
)(
) (
)
)
) (
+.
)(
(
Pertama, Kita akan mencari nilai dari (
)(
)
(
)
) (
)(
)
) (
)
[
]
[
]
(
)
(
)
[
] (
)
Karena (
)(
)
(
)
( )( )( )( )
(
Karena
[
)(
(
)(
(
)(
( Jadi, (
) (
) ) (
)
( ) ( )
∫ ∫ Jawab
( ) ( )
∫
∫
Jadi, ∫
∫ Misal,
, maka
] )
(
)
(
Tentukan nilai dari
( )
)
3. Contoh Soal
)
(
( )
∫
)
)
(
)
(
)
∫
∫( )
(
)
∫
∫
∫ ( ) ∫
B. Fungsi Beta 1. Definisi Fungsi Beta Fungsi Beta sering disimbolkan dengan β(x,y). Bentuk umum fungsi beta adalah ( dimana
(
)
(
∫
)
) konvergen untuk
2. Sifat Fungsi Beta Sifat fungsi beta adalah simetris, yaitu: ( ) Bukti (
)
(
(
∫
Dengan menggunakan transformasi (
)
)
∫(
) (
(
) , maka diperoleh :
∫ (
)
)
( ) )
3. Hubungan Fungsi Gamma dan Fungsi Beta Hubungan fungsi gamma dan fungsi beta adalah bahwa fungsi beta dapat dinyatakan dalam fungsi gamma. Persamaanya adalah sebagai berikut : ( ) ( ) ( ) ( ) Untuk , yang merupakan syarat agar ( ) ( ) konvergen. Persamaan di atas dapat ditunjukkan transformasi kordat polar 4. Bentuk Integral yang dapat dinyatakan dalam Gamma dan Beta Berikut adalah integral spesial yang dinyatakan dalam fungsi gamma dan fungsi beta : a) ∫ (
)(
)
(
)
(
( ) ( ) (
)
)
Bukti : (
)
∫
(
((
∫
b)
)
(
∫
Tentukan nilai dari :
(
)
(
)
∫
(
)
Jawab:
(
)
)( )(
) )
( ) (
∫
5. Contoh Soal
)
(
∫ (
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
)
(
)
∫
(
)
(
)
(
=∫
)
∫
(
)
( ) ( ) (
)
