Fungsi gamma Dari Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Fungsi gamma sepanjang sumbu nyata Dalam matematika , Fungsi gamma mengembangkan fungsi fungsif f aktorial aktorial ke nomor kompleks nomor kompleks dan bukan integer integer (ia (ia telah didefinisikan pada yang asli, dan memiliki kutub sederhana pada integer negatif. fungsi faktorial untuk integer n integer n ditulis sebagai n ! dan bersamaab dengan hasil perkalian n ! = 1 × 2 × 3 × ... × n . Fungsi gamma "mengisi" fungsi faktorial untuk bukan integer dan nilai kompleks untuk n . Jika z adalah z adalah variabel nyata, maka untuk nilai nomor asli saja, kita peroleh
tetapi untuk nilai bukan asli untuk z , z , persamaan di atas tidak bisa digunakan karena fungsi faktorial tidak tertakrif. Disebabkan fungsi gamma dan faktorial berkembang dengan cepat untuk argumen yang agak besar, banyak lingkungan perhitungan yang melibatkan fungsi ln (gamma) yang kembali ke logaritma asli untuk fungsi gamma; ini berkembang lebih lambat, dan untuk kombinasi perhitungan kombinatorial mengizinkan penambahan dan penolakan log dibandingkan mengalikan dan membagi nilai yang sangat besar. Isi
[ sorokkan ] •
1 De Defi fini nisi si
•
2 Def Defini inisi si lai lain n
•
3 Fi Fitu tur r
•
4 Hubu Hubunga ngan n deng dengan an fungsi lain
•
5 Plot
•
6 Nilai tertentu
•
7 penganggaran
•
8 Aplikasi
•
9 Lihat juga
•
10 Pranala luar
[ sunting ]Definisi Notasi Γ ( z ) diambil pencarian Adrien-Marie Legendre . Jika bagian nyata nomor kompleks z adalah positif, maka kamirnya
terkonsentrasi secara mutlak . Dengan menggunakan diferensial menurut bagian , seseorang itu bisa menunjukkan
Disebabkan Γ (1) = 1, hubungan ini menandai
untuk nomor asli n .
Nilai mutlak untuk fungsi gamma pada satah nomor kompleks. Fungsi meromorfik untuk x dengan pola sederhana pada x = - n ( n = 0, 1, 2, 3, ...) dan saldo (-1) n / n !. [1] Ia bisa digunakan untuk mengembangkan Γ ( z ) kepada fungsi meromorfik yang ditarkif untuk semua nomor kompleks z kecuali z = 0, -1, -2, -3, ... oleh koneksi analitik . Ia adalah versi tambahan yang merujuk pada fungsi gamma.
[ sunting ]Definisi
lain
Berikut adalah definisi hasil perkalian tak terhingga untuk fungsi gamma, diambil dari penemuan Euler dan Weierstrass , adalah sah untuk semua nomor kompleksz yang bukan negatif dan nol
yaitu γ adalah konstanta Euler-Mascheroni .
[ sunting ]Fitur Persamaan fungsi lain yang penting untuk Fungsi gamma adalah rumus pantulan Euler
dan rumus duplikasi
Rumus duplikasi merupakan kasus khusus untuk teorema pendaraban
Nilai fungsi gamma pada argumen bukan integer adalah
yang bisa ditemukan dengan mengatur z = 1 / 2 pada rumus pantulan atau dengan mengambil fungsi beta untuk (1 / 2, 1 / 2), yaitu
.
Terbitan untuk fungsi gamma dijelaskan dalam istilah fungsi poligamma . Misalnya:
Fungsi gamma memiliki pola untuk tingkat 1 pada z = - n untuk setiap nomor asli n ; saldo diberikan oleh
Teorema Bohr-Mollerup menyatakan yang sepanjang semua fungsi yang mengembangkan fungsi faktorial untuk nomor nyata positif, hanya fungsi gamma adalah log-cembung , yang logaritma aslinya adalah cembung . Notasi lain yang diperkenalkan oleh Gauss dan yang terkadang digunakan fungsi pi , yang dalam istilah fungsi gamma adalah
jadi
Dengan menggunakan fungsi pi, rumus pantulan mengambil bentuk
yang sinc fungsi sinc yang dinormalkan, sedangkan teorema pendaraban mengambil bentuk
Kita juga akan menemukan
yang merupakan fungsi keseluruhan , tertakrif untuk setiap nomor kompleks. π ( z ) tidak memiliki pola, maka Γ ( z ) tidak memiliki nol .
[ sunting ]Hubungan
dengan fungsi lain
Dalam kamiran satu pada, yang menentukan fungsi gamma, batas kamiran adalah ditetapkan. Fungsi gamma tak sempurnamerupakan fungsi yang diperoleh dengan mengizinkan salah satu batas atas atau bawah kamiran menjadi variabel. Fungsi gamma berhubungan dengan fungsi beta dengan rumus
Terbitan logaritma untuk fungsi gamma disebut fungsi digamma ; terbitan lebih tinggi adalah fungsi poligamma . Analog fungsi gamma ke atas bidang terbatas adalah jumlah Gaussian , sejenis jumlah eksponensial .
Fungsi gamma salingan merupakan fungsi keseluruhan dan telah dikaji sebagai topik khusus.
[ sunting ]Plot
Bagian nyata Γ (z)
Bagian imajiner Γ (z)
Nilai mutlak Γ (z)
Bagian nyata log Γ (z)
Bagian imajiner log Γ (z)
Nilai mutlak log Γ (z)
[ sunting ]Nilai
tertentu
Artikel utama: Nilai tertentu fungsi gamma
[ sunting ]penganggaran Nilai kompleks untuk fungsi gamma dapat dihitung secara numerik dengan menggunakan penghampiran Stirling ataupenghampiran Lanczos . Dengan kamiran berbahagian untuk kamiran Euler, fungsi gamma dapat ditulis sebagai
yaitu, jika Re ( z ) dikurangi ke selang [1, 2], kamiran terakhir adalah lebih kecil dari x e - x <2 - N . Maka dengan memilih x yang sesuai, fungsi gamma dapat dinilaikan ke bit N dengan akurasi seri pada. Jika z adalah rasio, perhitungan dapat dilakukan dengan pisahan biner dengan waktu O ((log N ) 2 M ( N )) yaitu M ( N ) adalah waktu yang diperlukan untuk mengalikan dua angka bit N . Untuk argumen yang merupakan daraban integer untuk 1 / 24, fungsi gamma juga dapat dinilaikan dengan cepat menggunakan urutan min aritmatika-geometrik (lihat nilai tertentu fungsi gamma ).
[ sunting ]Aplikasi Fungsi gamma merupakan komponen berbagai fungsi distribusi probabilitas dan sesuai untuk digunakan dalam bidangprobabilitas dan statistik .
