KALKULUS 4 Dr. D. L. Crispina Pardede, SSi., DEA.
SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS 4 - SILABUS 1. Deret Fourier 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
Fungsi Periodik Fungsi Genap dan Ganjil, Deret Trigonometri, Bentuk umum Deret Fourier, Kondisi Dirichlet, Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.
2. Integral Fourier 3. Transformasi Laplace 3.1. Definisi dan sifat Transformasi Laplace 3.2. Invers dari transformasi Laplace 3.3. Teorema Konvolusi 3.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D. dengan syarat batas. 4. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta 4.1. 4.2. 4.3.
Fungsi Gamma Fungsi Beta Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta
4.1. Fungsi Gamma Tabel Nilai Fungsi Gamma n 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00
Γ (n) 1,0000 0,9514 0,9182 0,8975 0,8873 0,8862 0,8935 0,9086 0,9314 0,9618 1,0000
4.1. Fungsi Gamma Grafik Fungsi Gamma
4.1. FUNGSI GAMMA FUNGSI GAMMA : Γ(n) b
∞
Γ (n ) =
∫x
n −1
−x
e dx = lim
0
konvergen untuk n>0
b→ ∞
∫x 0
n −1
−x
e dx
4.1. Fungsi Gamma Contoh: ∞
Γ (1) =
∫x
1 −1
−x
e dx
0 b
= lim
b→ ∞
= lim
b→ ∞
∫x
1 −1
e dx
0 b
e dx ∫ −x
0
[
= lim − e b→ ∞
−x
]
−x b 0
[
= lim − e b→ ∞
−b
+e
0
]= 1
4.1. Fungsi Gamma Contoh: ∞
Γ (2) =
∫x
2 −1
−x
e dx
0 b
= lim
b→ ∞
∫x e 1
0
= ..........
−x
dx
4.1. Fungsi Gamma Rumus Rekursi dari Fungsi Gamma
Γ(n+1) = n Γ (n) dimana Γ(1) = 1 Contoh: 1. Γ(2) = Γ(1+1) = 1 Γ(1) = 1. 2. Γ(3) = Γ(2+1) = 2 Γ(2) = 2. 3. Γ(3/2) = Γ( ½ +1) = ½ Γ(½).
4.1. Fungsi Gamma Bila n bilangan bulat positif
Γ(n+1) = n! dimana Γ(1) = 1 Contoh: 1. Γ(2) = Γ(1+1) = 1! = 1. 2. Γ(3) = Γ(2+1) = 2! = 2. 3. Γ(4) = Γ(3+1) = 3! = 6.
4.1. Fungsi Gamma Contoh: Hitunglah 4. Γ(6) 5. Γ(5)/ΓΓ(3) 6. Γ(6)/2Γ(3)
4.1. Fungsi Gamma Bila n bilangan pecahan positif
Γ(n) = (n-1) . (n-2) . … α Γ(α α) dimana 0 < α < 1 Contoh: 1. Γ(3/2) = (1/2) Γ (1/2) 2. Γ(7/2) = (5/2)(3/2)(1/2)Γ(1/2) 3. Γ(5/3) = (2/3)Γ(2/3).
4.1. Fungsi Gamma Bila n bilangan pecahan negatif Γ ( n + 1) Γ (n ) = n
atau Γ (n + m ) Γ (n ) = n ( n − 1)...
m bilangan
4.1. Fungsi Gamma Contoh: 3 Γ − 2
3 1 1 Γ − + 1 Γ − Γ − + 1 2 2 2 = = = 3 3 3 1 − − − − 2 2 2 2 1 1 Γ Γ 2 2 = = 3 1 3 − − 4 2 2
4.1. Fungsi Gamma Contoh: 5 Γ− + 1 2 5 Γ− = 5 2 − 2 1 Γ− 2 = 5 3 − − 2 2 1 Γ 2 = 5 3 − − 2 2
3 3 Γ− Γ − + 1 2 2 = = 5 5 3 − − − 2 2 2 1 Γ− + 1 2 = 5 3 1 − − − 2 2 2 1 Γ 2 = 1 15 − − 8 2
4.1. Fungsi Gamma Beberapa hubungan dalam fungsi gamma
Γ ( 12) =
π
Γ ( n ) = ( n − 1)! Γ ( n + 1) Γ (n ) = n π Γ ( n ) Γ (1 − n ) = sin n π
4.1. Fungsi Gamma Contoh Soal:
( 2)
1.
Γ 5
2.
Γ − 1
(
) 2
) 2 Γ (1 ) 2
3.
( 2) Γ (1 ) 2
4.
Γ (3 )Γ (2 , 5 ) Γ (5 , 5 )
Γ 5
(
Γ − 1 3.
( 3) 5 Γ (2 ) 3
6Γ 8 5.
4.1. Fungsi Gamma Penggunaan Fungsi Gamma ∞
1 . Hitung
∫x
6
−2x
e
dx
0
J awab : Misalkan
2x = y → dx = 1 2 dy bila x = 0, maka y = 0 bila x = ∞ , maka y = ∞
∞
∫x
∞ 6
e
−2x
dx =
0
∞
∫(
1
6
2
y) e
−y
1
2
dy =
0
∫(
1
=( =(
) y e
2
−y
dy
2
)
7
∫y
∞ 6
e
−y
dy = (
1
2
)
7
0 1
6
0 ∞
1
7
0
) Γ (7) = 6! 7
2
∫y
2
7
= 45
8
7 -1
e
−y
dy
4.1. Fungsi Gamma ∞
2 . Hitung
∫
y e
−y
3
dy
3
dengan substitusi
y =x
0 3
J awab :
∞
∫ 0
y e
−y
2
Misalkan y = x → dx = 3y dy bila x = 0, maka y = 0 bila x = ∞ , maka y = ∞ ∞
3
dy =
1
∫
x
3
e
-x
1 3 x 3
0
1 = 3 1 = 3
∞
∫
x
0 ∞
∫x 0
1 −2 6 3
1 −1 2
e
∞
1
e
-x
-x
2
dx =
1 dx = 3
∫x
1
6
e
-x
3x
0 ∞
∫
x
− 12
e
-x
dx
0
1 1 1 dx = Γ ( 2 ) = 3 3
1
π
2
dx 3
4.1. Fungsi Gamma 1
3 . Hitung
∫
dx - ln x
dengan substitusi
− ln x = u
0
J awab : -u -u Misalkan − ln x = u → x = e → d x = - e du Bila x = 0, maka u = ∞ dan bila x = 1, maka u = 0 1
∫ 0
dx - ln x
0
=
∫ ∞ ∞
=
- e du u
∫u 0
-u
− 12
e
-u
0
=
∫u
− 12
(− e
-u
) du
∞
du = Γ ( 1 2 ) =
π
4.2. FUNGSI BETA FUNGSI BETA dinyatakan sebagai 1
B(m , n ) =
x ∫
m −1
(1 − x )
0
konvergen untuk m > 0 dan n > 0. Sifat: B(m,n) = B(n,m)
Bukti: … … …
n −1
dx
4.2. Fungsi Beta Bukti:
1
B(m , n ) =
∫x
m −1
(1 − x )
n −1
dx
0 1
=
( 1 − y ) ∫
m −1
n −1
dx
m −1
dx
(y)
0 1
=
∫ (y)
n −1
(1 − y )
0
= B(n , m ) ∴ Terbukti
4.2. Fungsi Beta HUBUNGAN Fungsi Beta dengan Fungsi Gamma
Γ (m ) Γ (n ) B(m , n ) = Γ (m + n )
4.2. Fungsi Beta Contoh: 1. Hitung B(3,5). Jawab: Γ (3) Γ (5 ) Γ (3) Γ (5 ) B ( 3,5 ) = = = ...... Γ (3 + 5) Γ (8 )
4.2. Fungsi Beta Contoh: 2. Hitung B(5 , 2). Jawab: 3. Hitung B(3/2 , 2). Jawab: 4. Hitung B(1/3 , 2/3). Jawab:
4.2. Fungsi Beta Penggunaan Fungsi Beta 1
1 . Hitung
∫x
4
3
(1 − x ) dx
0
Jawab : 1
∫x 0
1
4
3
(1 − x ) dx =
∫x
5 -1
(1 − x )
4 −1
dx
0
= B (5,4 ) Γ (5) Γ (4) 4! 3! = = 8! Γ (5 + 4) 1 = 280
4.2. Fungsi Beta 2
2
x dx 2−x
∫
2 . Hitung
0
Jawab : Misalkan 2
∫ 0
2
x dx = 2−x
1
x = 2u 2
1
dx = 2 du
→ 2
( 2 u ) 2 du 8 u du ∫0 2 − 2 u = ∫0 2 1 − u 2 1 1 − 12 8 u du 2 = = 4 2 ∫ u (1 − u ) du ∫ 2 0 1− u 0 = 4 2 B (3, 1 2 ) = ...
4.2. Fungsi Beta Penggunaan Fungsi Beta a
3 . Hitung
∫
0
y
4
2
a −y
2
dy
LATIHAN 1 . Hitung
Γ (3) Γ ( 3 2 ) b). Γ (9 2)
Γ (7 ) a). 2 Γ ( 4 ) Γ (3) ∞
2 . Hitung
∫
4
x e
−x
dx
0 ∞
3 . Hitung
∫
4
x e
− x
dx
0
4 . Hitung
a). B ( 3 2 , 2)
b). B ( 1 3 , 2 3 )
1
5 . Hitung
∫
2
3
x (1 − x ) dx
0 4
6 . Hitung
∫ 0
u
3/2
( 4 - u)
5/2
du
