FINANSIJSKA MATEMATIKA Finansijska matematika je grana primjenjene matematike, koja se bavi proučavanjem matematičkih problema u primjeni složene kamate u privrednoj i društvenoj aktivnosti. Njen osnovni princip je princip ekvivalencije. Vrijednost uplata = vrijednost budućih isplata u istom trenutku. Ova se jednakost matematički ostvaruje metodom prolongacije ili metodom diskontovanja. Prosta i složena kamata 1. Ako se plaćanje kamate ugovori tako da se kao elemenat računa uzima isključivo čista glavnica, bez obzira na vrijeme trajanja ovog odnosa, onda je riječ o prostoj (jednostavnoj) kamati. 2. Ako se plaćanje kamate ugovori tako da se kamata svaki put računa od uvećane glavnice, onda je riječ o složenoj kamati. Vremenska jedinica za koju se obračunava kamata može se nazvati obračunskim periodom / periodom ukamaćenja / periodom kapitalisanja. Kamata se obračunava na kraju ili na početku obračunskog perioda. Na kraju kamata se računa unazad ili dekurzivno Na početku kamata se računa unaprijed ili anticipativno Razlika između dekurzivnog i anticipativnog načina računanja kamate je u tome što korisnik zajma kod anticipativnog računanja kamate efektivno ne prima iznos na koji je potpisao dokument o dugu, već umanjeni iznos pošto se kamata, iz platno-tehničkih razloga, naplaćuje obustavom. Na osnovu godišnje stope može se izračunati stopa za nižu vremensku jedinicu. Ako se broj takvih jedinica u jednoj godini obilježi sa m vidi se da je stopa za m-ti dio godine p/m. Na ovaj način izračunata stopa koja se obilježava sa p' naziva se relativna kamatna stopa.
Elementi računa vezani za jednu glavnicu Konačna vrijednost je suma početne vrijednosti, kojom se ulazi u ciklus kontinuiranog ukamaćivanja i kamate. r - dekurzivni kamatni faktor I tablice Faktori prve tablice predstavljau dekurzivne kamatne faktore i njihove stepene. I tablice sadrže faktore koji pokazuju na koji će iznos narasti 1 jedinica nakon n obračunskih perioda uz dekurzivnu kamatnu stopu p. Zbog toga se ovaj faktor može nazvati akumulacionim faktorom. Početna vrijednost je razlika između konačne vrijednosti i kamate. 1/r = v – diskontni kamatni faktor II tablice Faktori druge tablice predstavljaju diskontne kamatne faktore i njihove stepene. II tablice predstavljaju brojeve koji govore koliko treba uplatiti danas da bi se nakon n obračunskih perioda imala 1 jedinica. Prilikom planiranja sredstava za izgradnju raznih objekata i prilikom definitivnog utvrđivanja iznosa potrebnih sredstava potrebno je izračunati interkalarnu kamatu. Interkalarna kamata je kamata koja se plaća na investicione zajmove u fazi njihovog korištenja. Dvije su podjele interkalarne kamate: 1. odgođena (obračunava se polugodišnje)
1
2. umetnuta (javlja se u toku određenog perioda kada je obračun kamata češći od efektivnog plaćanja anuiteta) 1. planska (obračunava se polugodišnje) 2. stvarna (računa se kada su nam elementi kredita poznati) Relativna i konformna (ekvivalentna) kamatna stopa → Relativna k.s. p'=p/m, uz češće obračunavanje daje više kamate. → Konformna k.s. je k.s. koja uz češće obračunavanje daje kamatu koju daje godišnja stopa uz godišnji obračun. Rezultati pokazuju da povjeriocu odgovara češće, a dužniku rjeđe obračunavanje kamate. Srednji rok- više dugovanja ili potraživanja različitih rokova mogu se spojiti i realizovati u jednom iznosu. Srednji rok je dan realizacije fin. obaveza prema izmjenjenim uslovima ugovora. Srednja kamatna stopa- kada se govori o srednjoj kamatnoj stopi misli se na stopu kojom se može zamijeniti više stopa bez izmjene ukupnog iznosa kamate.
Račun uloga U smislu finans. mat, ulozi su uplate koje se vrše privremeno u jednakim iznosima , odnosno iznosima koji rastu ili opadaju po nekom matematskom zakonu. Karakteristike uloga: 1. ulaganje se vrši u određenom vremenskom intervalu (konačnom) 2. ulaganje se vrši u jednakim vremenskim intervalima 3. ulozi su međusobno jednaki ili je njihov varijabilitet utemeljen na aritmetičkoj ili geometrijskoj progresiji. Ulozi mogu biti anticipativni ili dekurzivni. Period ulaganja i period obračuna kamate mogu biti isti ili različiti jer se može ulagati i češće i rjeđe od obračunavanja kamate. Uplaćeni ulozi mogu se realizovati na dan posljednje uplate, odnosno jedan period kasnije, to su neposredne realizacije ili po isteku dva ili više perioda, a to su ulozi odgođene realizacije. Kod računa uloga osnovna jedinica mjere jeste interval ulaganja. Konačna vrijednost uloga je zbir položenih uloga i kamate koju ulagač prima. Jednaki ulozi-period ulaganja i obračuna kamata isti Ulozi su anticipativni ako se svaki, pa i posljednji, uključuje u konačnu vrijednost sa odgovarajućom kamatom. Ulozi su dekurzivni, ako se posljednji ulog uključuje u konačnu vrijednost neukamaćen, što znači u svom čistom iznosu. III tablice Faktori III tablice složenih kamata predstavljaju zbirove faktora I tablica složenih kamata. Faktori III tablice predstavljaju konačne vrijednosti n uloga od 1 jedinice jedan period nakon posljednje uplate. To zanči, faktori III tablice složenih kamata predstavljaju brojeve koji nam pokazuju na koji će iznos narasti n jednakih anticipativnih uloga od po 1 jedinicu jedan period ulaganja nakon posljednje uplate, pod uvjetom da su periodi ulaganja i periodi obračuna kamata isti. Jednaki ulozi- ulaganje češće od obračuna kamata Za ovaj model uloga karakteristično je da su svi ulozi jednaki i da su periodi ulaganja i periodi obračunavanja kamata nepodudarni. U toku godišnjeg obračuna npr. može biti položeno više uloga, 2 ako je ulaganje polugodišnje. Broj uloga u toku jednog obračunskog perioda se obilježava sa m. Iako periodi ulaganja i periodi obračunavanja kamate stvarno nisu jednaki oni
2
se mogu izjednačiti u postupku izračunavanja elemenata pod uslovom da se koristi ekvivalentna kamatna stopa (c) Jednaki ulozi- ulaganje rjeđe od obračuna kamata Ovaj model uloga karakterističan je po tome što se u okviru jednog perioda ulaganja npr. 1 godina, pojavljuje više obračunskih perioda, 2 ako je obračunski period 6 mjeseci, 4 ako se kamata obračunavala tromjesečno itd. Iznosi uloga predstavljaju aritmetičku progresiju Ovdje je riječ o promjenljivim ulozima koji rasu ili opadaju po aritmetičkoj progresiji. Iznosi uloga predstavljaju geometrijsku progresiju Ulozi formiraju geometrijsku progresiju ako je količnik dva vremenski sukcesivna uloga neprekidno isti. Ulozi rastu po geometrijskoj progresiji ako je npr. prvi ulog 100, drugi 200, treći 400, itd. Iznos uloga se može izračunati ako su poznati konačna vrijednost, broj uloga i kamatna stopa. Kamatna stopa se može izračunati ako su poznati konačna vrijednost, iznos jednog uloga i broj uloga. Iznos kamata predstavlja iznos akumulirane kamate od dana uplate prvog uloga do dana realizacije. To je razlika između konačne vrijednosti uloga i zbira njihovih iznosa.
Račun rente U smislu finansijske matematike rente su periodične isplate koje trebaju ispunjavati kumulativnosti uplata. 1. jednaki iznosi ( ili iznosi čiji varijabilitet počiva na aritmetičkoj ili geometrijskoj progresiji) 2. to su iznosi čija je isplata u jednakim vremenskim intervalima 3. to je, u principu, ograničeni broj isplata, osim pojedinih izuzetaka kada su te isplate vremenski neograničene (vječna renta) Prema dužini vremena primanja renta imamo: - privremene (temporalne) - doživotne (lične) - vječne Prema danu dospjeća prve rente: - neposredne ( ako isplata počinje na dan uplate na osnovu koje se ona prima ili krajem prvog perioda primanja rente - odgođene (ako isplata počinje dva ili više perioda nakon uplate) Imamo još: - anticipativne - dekurzivne Prema iznosima u kojima se realizuju rente mogu biti: - jednake - promjenljive Rente se mogu isplaćivati samo onda ako je prethodno izvršena neka uplata koja je namjenjena za periodične isplate (rente). Sredstva za periodične isplate formiraju se na 2 osnovna načina: a) polaganjem više uplata b) polaganjem jedne uplate Jednokratna uplata za periodične isplate naziva se MIZA MIZA je jednaka vrijednosti svih budućih renti (isplata) tog dana, na određeni dan. To je DISKONT. VRIJ. SVIH RENTI.
3
Jednake isplate- period isplata i obračuna kamata isti IV tablice Pomoću faktora IV tablice diskontuje se istovremeno više jednakih veličina. Zbir faktora II tablice čine IV tablice. To je broj koji nam pokazuje koliko treba uplatiti danas da bismo u toku narednih n perioda mogli primati rentu od po 1 jedinicu dekurzivno, pod uvjetom da su periodi primanja renti i obračuna kamata isti. Kod odgođenih isplata karakteristično je to što njihova realizacija počinje dva ili više isplatnih perioda nakon polaganja uplate. Osnovna mjerna (vremenska jedinica) je ciklus primanja renti. Jednake isplate- primanje češće od obračunavanja kamate Suština ovog modela renti je u tome što se u toku jednog obračunskog perioda renta prima više puta. Jednake isplate- primanje rjeđe ob obračunavanja kamata Ako se u jednom periodu primanja renti, odnosno isplate kamata obračunava n puta. Isplata predstavlja aritmetičku progresiju Ovo je jedan od modela promjenljivih periodičnih isplata, odnosno renti, karakterističan po tome što je sljedeća isplata veća ili manja od prethodne za isti iznos. Isplate predstavljaju geometrijsku progresiju Ovo je model promjenljivih isplatau kojem je količnik dvije vremenski sukcesivne isplate isti. V tablice V tablica složenih kamata je recipročna vrijednost IV tablice i obrnuto. Faktor V tablice predstavlja iznos koji se može primiti n puta na osnovi uplate 1 novčane jedinice, počevši jedan period nakon uplate u vremenskom razmaku koji je jednak periodu obračuna kamate. Za lice koje je primilo tu jednu jedinicu uz obavezu da vrši periodične isplate, to je iznos kojim će likvidirati obavezu u toku n perioda. Vječna renta Karakteristika vječne rente jeste neograničena trajnost toka isplata. Zbog toga ona ne može biti vezana za jedno fizičko lice, njeni korisnici mogu biti npr. dječije i školske ustanove. Ova renta se može isplaćivati vječito samo onda kada je uplatom obezbjeđena kamata koja je jednaka iznosu rente. U tom se slučaju isplaćuje samo kamata, a uplata ostaje nenačeta.
Amortizacija zajma Zajam- zbir otplata, zbir diskontovanih anuiteta Finansijska matematika bavi se proučavanjem zajmova na koje se računa kamata na kamatu. Zajam se odobrava na osnovu ugovora koji zaključuju davalac i korisnik zajma. Davalac može doznačiti zajam u jednom iznosu ili u obrocima (tranšama) prema odvijanju radova. Za vrijeme korištenja zajma, od dana doznake prve tranše, pa do dana kada počinje redovno vraćanje zajma, korisnik plaća interkalarnu kamatu. Zatezna kamata je kamata koju plaća korisnik kredita ako ne uplati dospjeli iznos u ugovorenom roku. Za vrijeme prekoračenja roka, plaća se i redovna kamata. Dio zajma kojim se zajam postepeno likvidira naziva se otplatom. Otplate mogu biti konstantno jednake, jednake u serijama i promjenljive. Zajedno sa otplatom korisnik zajma plaća kamatu na iznos neotplaćenog duga. Zbir otplate i kamata naziva se anuitet. Prema tome, otplatom se postepeno likvidira osnovni dug, uključujući i interkalarnu kamatu, ako nije ranije plaćena, a anuitetom ukupna obaveza korisnika zajma.
4
Imamo dvije vrste zajma: 1. modeli s primarno datim otplatama 2. modeli s primarno datim anuitetima Amortizacioni plan je pregled koji pokazuje kako se kreću ostatak duga, otplata, kamata i anuitet u toku otplaćivanja zajma. On je za korisnika zajma pregled iznosa i rokova njegovih obaveza, a za davaoca plan priliva sredstava od datih zajmova i kamate na ta sredstva. Amortizacija zajma sa primarno datim otplatama Prvo se računa otplata, a zatim anuitet. Konstantno jednake otplate, anuitetski i obračunski periodi jednaki Plan treba kontrolisati i u toku izrade (tekuća kontrola) i kada bude izrađen (konačna kontrola). Konačna kontrola se zasniva na zbirovima pojedinih kolona plana. Korisnik i davalac zajma mogu ugovoriti da se u jednom anuitetskom periodu kamata obračunava m puta, ali da se efektivno plati zajedno s otplatom. Zahvaljujući računu kamata na kamatu, obračunski period izjednačava se, suštinski, s anuitetskim periodom. Tada je anuitet zbir otplate, redovne kamate i kamate na kamatu, koja se ovdje naziva interkalarnom kamatom. Otplate rastu (opadaju) po aritmetičkoj progresiji kada razlika između dvije vremenski sukcesivne otplate neprekidno ostaje ista. Otplate rastu ( opadaju) po geometrijeskoj progresiji ako u toku amortizacije količnik između dvije vremenski sukcesivne otplate ostaje isti. Amortizacija zajma s primarno datim anuitetima Zajednička karakteristika ovih modela amortizacije je u tome što se izrada amortizacionog plana započinje izračunavanjem anuiteta. Zajam je zbir diskontiranih anuiteta. Anuiteti mogu biti jednaki ili promjenljivi. Konstantno jednaki anuiteti- anuiteti se plaćaju dekurzivno Kod medela amortizacije sa primarno datim anuitetima sve formule koje su vrijedile za račun renti vrijede i za račun zajmova. Anuitet i renta su isto, samo što dužnik i povjerilac mijenjaju mjesta. Ostatak duga je diskontovana vrijednost na njegov rok. Otplata je razlika anuiteta i kamate. Posljednja otplata je jednaka posljednjen ostatku duga. Konstantno jednaki anuiteti- anuiteti se plaćaju anticipativno Kada se anuiteti plaćaju anticipativno, pri dekurzivnom računanju kamate, prvi anuitet se plaća u momentu doznake zajma i upotrebljava isključivo za otplatu. Zaokrugljeni anuiteti Stepen zaokrugljenja zavisi, u prvom redu, od vrijednosti valutne jedinice. Zaokrugljivanje anuiteta nalažu razlozi administracije zajma kako bi se jednostavnije vršili obračuni i plaćanje, ili pak razlozi finansijske prirode kada korisnik zajma ističe koliki anuitet može prihvatiti. Taj se cilj može ostavriti na više načina: a) anuitet se izražava postotkom kojim se obezbjeđuje željeni stepen zaokrugljivanja b) neposrednim isticanjem iznosa anuiteta c) ugovaranjem kako treba zaokružiti anuitet primjenom faktora V tablice Posljednji anuitet nije poznat, pa se ne može izvesti kao razlika između anuiteta i kamate. Posljednji anuitet se još zove krnji auitet. Anuiteti konstantno rastu ( opadaju) po aritmetičkoj progresiji Zajam se amortizuje anuitetima koji konstantno rastu (opadaju) po aritmetičkoj progresiji ako je razlika između ova dva sukcesivna anuiteta ista.
5
Anuiteti konstantno rastu ( opadaju) po geometrijskoj progresiji Amortizacija zajma anuitetima koji konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji je model amortizacije karakterističan po tome što je količnik dva vremenska sukcesivna anuiteta neprekidno isti. Ako je zajam dat jedankim anuitetima tada otplate rastu geometrijskom progresijom za kamatnu stopu. Polugodišnji naizmjenično jednaki anuiteti s polugodišnjim obračunavanjem kamate Suština je u tome da se javlja u svakoj godini jedan anuitet od, recimo a i jedan od aq valutnih jedinica. Podešavanjem faktora q, koji može biti veći ili manji od 1, prema finansijskim mogućnostima korisnika zajma postiglo bi se da njegove obaveze za njega budu snošljivije. Anuiteti konstantno jednaki; anuitetski period kraći od perioda efektivnog plaćanja kamate Ovdje anuitetski period i period efektivnog plaćanja kamate nisu jednaki. U toku perioda efektivnog plaćanja kamate polažu se dva ili više anuiteta. Ovdje se anuiteti nazivaju ispodgodišnjim ili parcijalnim anuitetima. Nepodudarnost perioda može se neutralisati primjenom ekvivalentne kamatne stope. Finansijski i matematički ovaj model odgovara renti koja se prima češće od obračunavanja kamate. Anuiteti konstantno jednaki; obračunski period kraći od otplatnog , kamata se efektivno plaća s otplatom U toku jednog otplatnog perioda kamata se obračunava i dospijeva za plaćanje m puta, što zanči da je broj obračunskih perioda u amortizacionom ciklusu mn. Kamata se može ugovoriti za obračunski ili anuitetski period. Ako je ugovoreno za anuitetski period → kamata se obračunava pomoću relativne kamatne stope. Međutim, svaka se kamata plaća u svom roku. One se efektivno plaćaju na dan roka otplate,tako da se jedino m-ta kamata plaća na dan svog dospjeća. Na dospjele, a ne neiplaćene kamate plaća se također kamata zbog čega se u anuitetu pojavljuje, pored i proste , još i interkalarna kamata.
Zajmovi podijeljeni na obveznice Za pribavljanje sredstava koriste se i zajmovi podijeljeni na obveznice. Zajam se dijeli na više manjih iznosa koje mogu da daju ne samo banke, već i duga pravna i fizička lica. Na svaki iznos zajma izdaje se OBVEZNICA. Obveznica je pismena isprava kojom se potvrđuje prijem zajma i izjavljuje da će biti isplaćen zajam i kamata po ugovorenoj kamatnoj stopi u određenim rokovima. Obveznice se emituju u okruglim iznosima. Nominalni iznos na koji glasi obveznica naziva se APOENOM. Obveznice se mogu emitovati upisivanjem ili prodajom na berzi. Emisioni kurs je cijena po kojoj se nude nove obveznice. On može biti jednak nominalnoj cijeni ( kurs po paritetu) AL PARI, iznad nominalne cijene ( iznad pariteta) SUPER PARI, ispod nominalne cijene ( kurs ispod pariteta) SUB PARI. Obveznice se sastoje iz dva dijela: u prvom dijelu ( obveznica u užem smislu) moraju biti sadržani svi bitni elementi obveznice, drugi dio ( talon) sastoji se od anuitetskih ili kamatnih kupona zavisno od toga kako se obveznica amortizuje. Obveznice se mogu isplaćivati po nominali ( kako piše na obveznici ili na kuponu), iznad nominale ( s ažijom- dodatkom), i ispod nominale ( s disažijom – s odbitkom).
6
Kamata se može isplaćivati svim imaocima obveznica u punom iznosu i u čistom obliku. Ovako urađen zajam se naziva običnim zajmom podijeljenim na obvezice. Ponekad se ukupna kamata ili njen dio koristi za zgoditke koji se lutrijskim izvlačenjem dijele na sve ili samo neke imaoce obveznica. U prvom je slučaju riječ o beskamatnom lutrijskom zajmu, a u drugom o lutrijskom zajmu s kamatom. Smisao lutrijskih zajmova je o tome da se potencijalni povjerioci jače zainteresiraju za kupnju obveznica. Jedan od načina koje zajmotražilac može da koristi kada želi da lakše daje zajam jeste da izjavi da će amortizovane obveznice isplaćivati iznad njihove nominalne vrijednosti. Razlika između stvarnog iznosa kojom dužnik isplaćuje obveznicu i njenog nominalnog iznosa naziva se AŽIJOM. ANUITET je zbir otplate, kamate po ugovorenoj stopi i ažije na amortizovane obveznice. DISAŽIJA je razlika između nominalnog iznosa kojim se obveznica stvarno isplaćuje. ANUITET je zbir kamate i otplate umanjen za iznos disažije na obveznice koje se amortizuju u istom periodu. Amortizacija obveznica može biti pomoću: a) kamatnih stopa b) anuitetskih kupona (pored otplate, dužnik plaća imaocu kamatu na neotplaćeni dio obveznice u ugovorenim rokovima)
Konverzija zajma Promjena odredaba ugovora u toku amortizacije naziva se konverzijom. Dužnik pribjegava konverziji kada se promjene uslovi na tržištu kapitala u tom pravcu da bi se tada zajam mogao dobiti pod povoljnijim uslovima. Konverzija zajma može biti: prinudna i dobrovoljna. Prinudna konverzija se izvodi jednostranom odlukom dužnika. Konverzija je dobrovoljna ako je ugovorom predviđena, odnosno ako se izvodi na osnovu pristanka druge strane. Konverzija zajma može biti: direktna i indirektna. Direktna konverzija → ciljevi se postižu mijenjanjem bitnih elemenata ugovora Indirektna konverzija→ mijenjanje beneficija koje je dužnik dao povjeriocu Konsolidacija je spajanje dva ili više dugova u jedan, odnosno pretvaranje kratkoročnog duga u dugoročni. Postupak izrade: a) izračunavaju se svi bitni elementi kao da neće biti konverzije b) kada se saznaju okolnosti za konverziju tada je neminovno izračunati ostatak duga na dan kada počinje konverzija u primjeni c) izračunavanje svih bitnih elemenata konverzije zajma pod novim okolnostima proisteklih iz izmjenjenih okolnosti ZAJAM JE ZBIR OTPLATA ILI DISKONTOVANIH ANUITETA!!!!! LUTRIJSKI ZAJAM S KAMATOM Izvučene obveznice koje sadrže nominalni iznos treba oduzeti od broja obveznica koje sadrže zgoditak ( koje treba amortizovati) kako bi dobili one koje nemaju.
7
