sistema por unidad

ELC-30514 Sistemas de Potencia I

Sistema Por Unidad Prof. Francisco M. González-Longatt [email protected] http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

1. Introducción al Sistema por Unidad • Debido a los valores significativos de energía que mane an los SP. • Obligan al uso de cantidades que poseen valores elevad ados os en oten otenci cias as de diez diez MWatt cuantitativos elev MVA, MVAr, kA, etc.), • Sendas cantidades de potencias de diez son poco prácticas en el calculo. calculo. • Con la la idea de redu reducir cir el tamañ tamaño o de las cifra cifrass que se crea el sistema por unidad.

SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


1. Introducción al Sistema por Unidad • El valo valorr por por unid unidad ad de una una magn magnit itud ud cual cualqu quie iera ra se define como la ra ón de su valor real a un valor particular particular denominado denominado base , quedando expresado el valor por unidad como un decimal. • El valor por por ciento ciento es igual a 100 veces el valor por unidad. • Los Los méto método doss de cálc cálcul ulo o que que util utiliz izan an las las magn magnit itud udes es en por unidad o por ciento, son mucho más sencillos que usan usan o os va ores ores en magn magn tu es rea rea es es .



2. Definición de SPU • Sea una cierta Variable, su su valor en por unidad Variable .u ó Variable 0 1 se defina como la relación entre el valor real de la Variable y un valor de referencia o base.

Variable por Unidad ≡ Valor Real de la Variable



2. Definición de SPU • Esta Esta def defin inic ició ión n s umamente sencilla es una poderosa herramienta de cálculo. • Brin Brinda da un gran gran núme número ro de bond bondad ades es;; espe especi cial alme ment ntee análisis de sistemas sistemas de otencia otencia . en el análisis • Los cálcu cálculos los en en SP son son efectua efectuados dos en en la forma forma de de por unidad • Todas las cantidades son expresadas como una fracción decimal de valores de base que son seleccionada apropiadamente .



2. Definición de SPU • Los valores base son arbitrarios. • básicas que rigen las leyes de los circuitos eléctricos. •

Cuando Cuando se seleccion seleccionaa una base, base, normalm normalmente ente se toman toman como como valore valoress bases, bases, los valores nominales de los generadores y de los transformadores.

•

os va ores nom na es e os genera ore ores y e os rans orma ore ores son diferentes, se toma como base a los valores nominales de voltaje y potencia aparente más repetidos.



3. Ventajas del SPU • Las impedancias de los generadores y transformadores varían en un estrecho mar en sin que dependan del tamaño de los mismos , por lo cual permiten detectar errores de cálculo . • Evita tener que referir las cantidades de un lado a otro de los transformadores . • Evita el reconocer el tipo de conexión transformadores.

Δ ó

Y en los

Evita el trabajo con cantidades muy grandes en • Ev potencias de diez. SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


3. Ventajas del SPU • Seleccionadas convenientemente las sistemas con varios transformadores ahorrar trabajo .

bases en se uede

• Reduce Reduce el em leo de √ 3 en cálculos trifásicos. • Los fabricantes especifican sus equipos, en por unidad de los valores. • El sistem sistemaa por unid unidad ad se prest prestaa por lo lo sencill sencillo o para el cálculo mediante computadores .



4. Variables Eléctricas Básicas • Las redes eléctricas de los sistemas de potencia, usualm alment ente re uiere ere de seis eis 06 vari ariabl ables ue están estrechamente relacionadas con la solución de la red.

Cantidad

Voltaje Potencia Impedancia Factor de Potencia Tiempo SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

Símbolo

Dimensión

Voltios V S = P + Volt-Am eres Ohmios Z=R+jQ F.P, cosφ Adimensional t Segundos Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4. Variables Eléctricas Básicas • El tiempo t , es una variable que se omite cuando se hace uso de la re resentación resentación fasorial • Se pasa del dominio temporal al de la frecuencia. •

, de manera que al fijar estas dos variables las otras quedan determinadas

ejemplo : si se conoce conoce el voltaje voltaje y la corriente, corriente, se se • Por ejemplo puede conocer la potencia potencia o la impedancia, impedancia, y lo opuesto también es cierto ).

= SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

*

= Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4. Variables Eléctricas Básicas • Los valores por unidad para las cuatro variables básicas V I Z S: V .u =

p.u =

V [Volt ] V base

Z Ω Z base


I [ p.u ] =

I [ Amp ] base

.

=

S [Volt − Amp ] S base


4. Variables Eléctricas Básicas • Para que el sistema por unidad pueda ser correcta correctament mentee em leado leado en los sistemas sistemas eléctri eléctricos cos de potencia; potencia; deben satisfacer las identidades y leyes de circuitos eléctricos ; a saber:

– Ley de Ohm. –

.

– Leyes de Kirchoff. –

ent a es r


s cas.


4. Ejemplo • Supon Suponga ga que se esta esta traba trabajan jando do en el sistem sistemaa de 400 kV este volta e corres on onde al nominal U en EDELCA, y tómese ese valor como base. • Si una de las bar barras en la Su Subestación S/E Santa Teresa se tiene un voltaje de 390 kV en un instante dado. • Deter Determin minar ar el valor valor de este este voltaje voltaje en el siste sistema ma por unidad V [p.u]. [p.u]. V [ p.u ] =


V Volt V base Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4. Ejemplo • La base base es un valor valor arbit arbitrari rario, o, pero pero se toma toma el voltaj voltajee nominal del sistema de EDELCA 400 kV como base para este problema. problema. V

= 400 kV línea-línea rms

• Tomando en cuenta la definición de la variable voltaje en el sistema por unidad resulta:

V [ p.u ] =

V [Volt ] base

V base = 400 kV



4. Ejemplo V [ p.u ] = V [ p.u ] =

V [Volt ] V

390kV 400kV

= 0.975 p.u

V [ p.u ] = 0.975 p.u

•

vo a e en a arra e a a e a u es ac n an a Teresa está 2.5% por debajo de su valor nominal .

más o menos 5%



4.1 Ley de Ohm en el SPU • Hay algunas propiedades elementales im edanc edancia ia en el sistem sistemaa or unida unidad. d.

de

la

• Sea la impedanc impedancia ia por unidad unidad Z [p.u] [p.u] definida por: Z Ω Z = R + jX Z p.u = Z base

Z [ p.u ] =

Z [ p.u ] = R[ p.u ] + jX [ p.u ]

Z [ p.u ] =

+ Z base R[Ω] base


+ j

X [Ω] base


4.1 Ley de Ohm en el SPU Z [ p.u ] = R[ p.u ] + jX [ p.u ] • De lo antes antes expues expuesto to,, se concl concluy uyee que la impedan impedanci ciaa , la reactiva. R[Ω] X [Ω] Z [ p.u ] = + j ase

R[ p.u ] =


Z base

ase

X [ p.u ] =

Z base


4.1 Ley de Ohm en el SPU • La Ley de Ohm establece que la diferencia de otencial V a través través de un cond conduct uctor or es ro orcio orcional nal a la corriente a través del; • Siendo la constante resistencia eléctrica R;

de

ro orcionalidad

la

• Operacio Operacionalm nalmente ente en en unidades unidades reale reales, s, la Ley Ley de Ohm Ohm queda expresada por:



4.1 Ley de Ohm en el SPU • Por definic definición ión el volt voltaje, aje, la la corrient corrientee y la impedan impedancia cia en el sistem sistemaa or unidad unidad son: son: V [ p.u ] =

V [Volt ]

Z [ p.u ] =

ase

V

u V ase = Z

Z [Ω] Z ase

u Z ase I

I [ p.u ] =

I [ Amp ] I

u I ase

• las cantidades por unidad cumplen con la Ley de

V [ p.u ] = Z [ p.u.] I [ p.u.] SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

Z base =

V base I


4.1 Ley de Ohm en el SPU • Las cant antidade ades por unidad cumpl mplen con con la Ley de Ohm. V V [ p.u ] = Z [ p.u.] I [ p.u.] Z base = base I



4.2 Identidades de de Po Potencia • Se conoce que la potencia aparente (S ) eléc eléctr tric icaa mono monofá fási sica ca or defi defini nici ción ón es el rodu roduct cto o del del volt voltaa e (V ) por la corriente ( I ) conjugada. ∗

−

S [Volt − Amp] = P[Watt ] + jQ[Var ]

.


S [Volt − Amp ] S base


4.2 Identidades de de Po Potencia S [ p.u

P [Watt ] + jQ[Var ] ]= base

S p.u =

P[ p.u ] =

+ j

S base

P[Watt ]

Q[ p.u ] =

S ase

. SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

S base

.

Q[Var ] S ase

. Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4.2 Identidades de de Po Potencia • Con esta esta demos demostr traci ación ón tan sencil sencilla la se demues demuestr traa que que la base S ara otencia es única común ara la potencia activa y reactiva.

p.u =

p.u +

P[ p.u ] = Q[ p.u ] = SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

p.u

S base Q[Var ] S Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4.2 Identidades de de Po Potencia • Se conoce que la potencia cia de un sistem tema eléct éctric rico viene da dado or el el roducto de de la la te tensión la corriente. • Se cum cum le en vari variab able less real reales es ue: ue: ∗

S [Volt − Amp] = V [Volt ] I [ Amp]

p.u =


V Volt V base

.

I [ Amp ] I base


4.2 Identidades de de Po Potencia S p.u =

S [Volt − Amp ] base

S .u S

∗

= V .u V I

∗

.u I

• esta esta relació relación n es válid válidaa cuando cuando los valor valores es por unidad unidad , relaciones son utilizadas:

S p.u. = V p.u. I ∗ p.u. base SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

=

∗ base

base Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU • Las Las leye leyess de Robert Gustav Kirchoff son son las que rigen el com com ortamiento ortamiento de los los circuitos circuitos eléctricos eléctricos • Son las relaciones que pe permite el cálculo de las variables eléctricas . • Estas Estas leyes leyes son dos: dos: – Ley de tensiones tensiones y – Ley de Corriente; Corriente;

Gustav Robert Kirchhoff (12 de marzo de 1824 - 17 de octubre de 1887

• Ambas Ambas se basan basan en en el princip principio io de de conservación conservación de la energía y de la carga .



4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU • Primera Ley de Kirchoff también conocida como Ley Kirchoff también de las Corrientes. • Es Establece que la sumatoria algebraica de las intensid intensidades ades de corrie corriente nte en un nodo debe debe ser i ual a cero, se debe verificar si las cantidades por unidad m satisfacen esta ley. I

I kp

k

I pm

n I pj

p

j

I p 1

1



4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU • Suponga un nodo cualquiera p, dond dondee entr entran an n corrientes 1 p , 2 p , 3 p K, np Corrientes en ran o

I np

I

I pm

m

n I pj

k

j

I p

1



4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU • Suponga un nodo cualquiera p, don donde sale alen m Corrientes corrientes p1 , p 2 , p 3 K, pm saliendo

I np

I

I pm

m

n I pj

k

j

I p

1



4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU I pm

I np

I kp

k

m

I pj

p

j

I p 1

Nodo genérico con n+m ramas n m

∑ I [ Amp] = ∑ I ip

i =1 SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

pj

[ Amp]

j =1 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU n

m

∑ I [ Amp] = ∑ I ip

pj

i =1

[ Amp]

j =1

• si se aplica la definición de sistema por unidad a

I

.u =

I ip [Amp ]

I pj [ p.u ] =

basei

I pj [ Amp] basej

• Sustituyendo las definiciones anteriores con los n

∑ I [ p.u] I ip

i =1 SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

basei

m

= ∑ I pj [ p.u ]I basej j =1 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008


I i [ p.u ] I basei =

i =1

m

I [ p.u ]I base

j =1

• para que se cumpla cumpla la ley ley de de corrientes corrientes de Kirchoff Kirchoff en . n

m

∑ I [ p.u] = ∑ I ip

pj

i =1

[ p.u]

j =1

• se debe debe satisf satisface acer: r: basei


=

basej


4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU • Se concluye concluye que los los valores valores por unidad unidad de la corriente corriente cum len co con la la rimera le le de Ki Kirchoff siem re cuando las bases de las corrientes que entran y salgan sean iguales y únicas .

I basei = I basej

∑ I [ p.u] = ∑ I ip

i =1


pj

[ p.u]

j =1


4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU • Segunda Segunda Ley de Kirch Kirchoff off o ley ley de de tensio tensiones nes • alrededor de un lazo cerrado debe ser igual a la sumatoria de las elevaciones de tensión. n

E [Volt ] =

j =1

m

V [Volt ]

j =1

•




m

j =1

j =1

∑ E [Volt ] = ∑V [Volt ] • Si se aplica aplica la defi definic nició ión n de sistema sistema por por unidad unidad a las E [ p.u ] =

E [Volt ]

V [ p.u ] =

V [Volt ] ase

base

• Si se toma oman est estas defin efiniiciones con los los resp especti ctivos n

∑ E [ p.u ] E

base

j =1 SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

=

m

∑V [p.u]V

base

j =1 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4.3. Le Leyes de de Ki Kirchoff SPU • Para Para que la ley de tensio tensiones nes de Kirch Kirchoff off cump cumpla la con el sistema por unidad. n

m

∑ E [ p.u ] = ∑V [ p.u] • Se debe debe verifi verificar car que: que: base

=

base

• Los Los valores valores de volta voltaje je en por unidad unidad cumpl cumplen en con la se unda Le de Kirchoff cuando la base de tensión en un lazo cerrado es única.



4.4. Identidades Trifásicas • Los si sistemas trifásicos también estudiad estudiados os en cantidad cantidades es or unidad. unidad.

pueden

ser

• En esta esta área es donde donde se emple empleaa generalm generalment entee ya que que lo ra una una ran ran cant cantid idad ad de ve vent nta a as . • Todos los aspectos aspectos antes antes mencionados mencionados del sistema por unidad, son igualmente igualmente valederos en el caso en que se opere con sistemas trifásicos. • Solo algunas algunas salvedad salvedades es aplican aplican



4.4. Identidades Trifásicas • Solo que realizand realizando o dos salvedad salvedades: es: – línea (V L-L, rms).

– como potencia trifásica (S 3φ ).

V base = V linea −linea S base = S 3φ SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


4.4. Identidades Trifásicas • Toda Todass las las rela relaci cion ones es circ circui uita tale less váli válida dass en circ circui uito toss trifásic trifásicos os e uilibrad uilibrados os se res etan. etan. • Por Por tan tanto to,, par paraa una una V base expresada en kV y una S base ex resada resada en MVA se tiene: tiene:

S [ MVA] =

3V [kVolt ] I ∗ [kAmp ]

V base = V linea −linea S base = S 3φ



4.4. Identidades Trifásicas S [ MVA] =

3V [kVolt ] I ∗ [kAmp ]

• tensión, corriente y potencia en por unidad. S p.u =

− S base

V p.u =

V base ∗

I p.u =

I base

∗

S [ p.u ]S base = 3V [ p.u ]V base I [kAmp ]I base

la potencia en por unidad es el producto de la tensión



4.4. Identidades Trifásicas S .u S

= 3V .u V I ∗ .u I ∗

• De modo modo que que para para que se mante manteng ngaa el hech hecho o de que y la corriente conjugada por unidad.

p.u. = •

p.u.

∗

p.u

.

S base = 3V base I base SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


4.4. Identidades Trifásicas ∗

S [ p.u.] = V [ p.u.] I [ p.u ]

S base = 3V base I base

• Resulta fácilmente demostrable con el uso de la . Z base [Ω] =

2

V base

[kVolt ]

∗ base

base

mp =


S

VA

3V base [kVolt ]


4.4. Identidades Trifásicas • Es de uso uso muy común común para deter determin minar ar la impedan impedancia cia base cuando se conocen las bases de tensión tensión potencia.

[kVolt ] = ∗ S base [ MVA] V base

base


2


4.4. Identidades Trifásicas • Las cargas cargas trifá trifásica sicass simétric simétricas as dentro dentro de los los sistema sistemass de otencia cia uede eden estar conect ectadas en estr strell ella Y o en delta (Δ). I r

r

I r

r

s

s

Y

s

Z Δ

Z Y

I s

N

Z

Conexión Estrella

I t Z Y

t

I t

t SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

Conexión Delta Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4.4. Identidades Trifásicas • Considérese Considérese dos cargas trifásicas simétricas:

Z Y = RY + jX Y

Z Δ = RΔ + jX Δ

I r

r

I r

r

s

s

Y

s

Z Δ

Z Y

I s

N

Z

Conexión Estrella

I t Z Y

t

I t


Conexión Delta Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

4.4. Identidades Trifásicas • Si se aplica aplica le defi definic nició ión n de sistema sistema por por unidad unidad a las im edancias edancias de ambas ambas car as trifásic trifásicas as simétric simétricas. as. Z [Ω] Z [ p.u ] = Z base


4.4. Identidades Trifásicas Estrella Y p.u =

Delta

Z Ω

Δ p.u =

Z baseY

⎛ V base ⎞ Z baseY =

(V base [línea − neutro])2

3 ⎠ = ⎝ S base

S base1φ

Z Ω Z baseΔ

2

Z baseΔ =

base

nea − nea S base1φ

base

S base

3

3 2 V base

Z baseY =

=

Z baseΔ =

3 S base

V base S base

3

3 Z baseY =

2 V base base


2

Z baseΔ =

3V base ase


4.4. Identidades Trifásicas Z baseY =

2

V base

Z baseΔ =

2 3V base ase

base

• Si se compara compara las ecuacion ecuaciones: es: baseΔ

=

baseY

• Tomando en cuenta que para sistemas trifásicos conexión delta es tres veces la impedancia en unidades reales de la im edancia en estrella. estrella.

Z Δ [Ω] = 3 Z Y [Ω] SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


4.4. Identidades Trifásicas Z Δ [Ω] = 3 Z Y [Ω]

Z baseΔ = 3Z baseY

• cargas simétricas en por unidad.

Z Y p.u =

Y

Z baseY

Z Δ p.u =

Δ

Z baseΔ

Z Δ [ p.u ] = Z Y [ p.u ]



4.4. Identidades Trifásicas Z Δ [ p.u ] = Z Y [ p.u ] • que existe entre sistemas conectados en delta o en estrella siem re ue las bases cum lan con la equivalencia entre delta y estrella.

Z


= 3 Z


5. Transformadores Monofásicos • Los transf transforma ormador dores es son uno uno de los los element elementos os dentro dentro del siste sistema ma de otenc otencia ia de ma or uso. uso. • Se le dedi dedica ca espe especi cial al inte interé réss en su trat trato o dent dentro ro del del sist sistem emaa or unid unidad ad.. 1


N 1 : N 2

2


5. Transformadores Monofásicos • Supo Supon nga un un transformador de potencia monofásico , ideal ideal de dos arrollad arrollados os . • Se considera ideal, no posee asociado pérdidas o reactancia interna • Re Resultando en forma explícita le relación transformación es N 1:N 2,

de

• El cual es conectado a una una carga de impedancia Z 20. 1

I Transformador de Potencia Monofásico de Dos Arrollados


N 1 : N 2

2

I

Z 20


5. Transformadores Monofásicos 1

I 1

N 1 : N 2

2

I 2

Z 20

Transformador de Potencia Monofásico de Dos Arrollados

• Sati Satisf sfac acee que que el coci cocien ente te de los los volt voltaj ajes es prim primar ario io a 1

2

cociente del número de vueltas primario y secundario N N . 1 o 1 ue as

=

V 2 [Volt ] N 2 [Vueltas] SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


5. Transformadores Monofásicos V 1[Volt ]

=

N 1[Vueltas]

2

2

• Si se sele selecc ccio iona na las bases bases de tens tensió ión n de maner maneraa que que .

V base1 base 2

=

N 1 2

• sien siend do: 1base

V 2base : Voltaje base en la barra 2 SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


5. Transformadores Monofásicos V 1 [Volt ]

N 1[Vueltas]

=

2

V base1

=

N 1

base 2

2

2

• Si se procede procede a igual igualar ar las ecuacion ecuaciones: es:

V 1 [Volt ] V Volt

=

V base1 V

V 1 [Volt ] V

=

V 2 [Volt ] V

• En atenció atención n a la definici definición ón de los los valores valores por por unidad, unidad,

V 1 [Volt ]

V 1 [ p.u ] =

base1 SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

V 2 [Volt ]

V 2 [ p.u ] =

base 2 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

5. Transformadores Monofásicos V 1 [Volt ]

=

base1

V 1 [Volt ]

V 1 [ p.u ] =

V 2 [Volt ] base 2

V

V 2 [Volt ]

.u =

base1

base 2

• resultan resultando do evidente evidente que:

V 1 p.u. = V 2 p.u.



5. Transformadores Monofásicos .u. = V

V

.u.

• Se concluy concluyee que cuando cuando se expre expresan san las las tension tensiones es de la relación de transformación .

• Esto Esto solo solo es cier cierto to cuan cuando do las las base basess cum cum len len con con la relación de transformación. transformación. 1

V 2 [Volt ] SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

=

ase1

V base 2 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

5. Transformadores Monofásicos • Por Por otra otra part parte, e, en un tran transf sfor orma mado dorr mono monofá fási sico co,, se cum cum le ue las las cor corri rien ente tess sati satisf sfac acen en a la rela relaci ción ón de de transformación:

I 2 [ Amp]

N 1 [Vueltas]

I 1 [ Amp]

N 2 [Vueltas]

• Si las bases de corriente son seleccionadas convenientemente para que satisfagan la relación de transformación:

I base 2 I base1 SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

=

N 1 N 2 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

5. Transformadores Monofásicos • entonces entonces igualand igualando o las expresio expresiones: nes: I 2 [ Amp ]

=

ase

I base 2

I base1

=

I base 2

unidad parta la corriente, en cada una de las barras del transformador:

I 1 [ p.u ] =

I 1 [Amp ] base1


I 2 [ p.u ] =

I 2 [ Amp ] I


5. Transformadores Monofásicos I 1 [ Amp ]

I 1 [ p.u ] =

I 1 [Amp ]

base1

=

I 2 [Amp ] base 2

I 2 [ p.u ] =

base1

I 2 [Amp ] base 2

• Resu Result ltan ando do:: 1


. .

2

. .


5. Transformadores Monofásicos • Si se eligen las bases bases de de corrientes corrientes en ambos ambos lados lados del transformador ara ue cu cum lan co con la la re relación de de transformación, transformación, el valor de corriente corriente en el sistema por unidad de un lado y otro del transformador son iguales. I Am I base1


=

I Am I base 2

1

. .

2

. .


5. Transformadores Monofásicos • Nótes Nótesee que el hecho hecho de que que en los valore valoress de tensió tensión n corr rrie ien nte en el sis sistema or uni unidad se elimina el acoplamiento magnético .

V 1 Volt V 2 [Volt ]

1

I base1

=

=


V base1 V base 2

2

I base 2

V 1 [ p.u.] = V 2 [ p.u.]

1

p.u. =

2

p.u.


5. Transformadores Monofásicos • En un transformador monofásico, se puede seleccionar como valores bases arbitrarias en cualquiera de las combinaciones de corriente y tensión; pero los restantes son calculados mediante el empleo de la relación de transformación .


V base1

N 1

I base 2

V base 2

N 2

I base1


5. Transformadores Monofásicos • Consi Considér dérese ese que que el transf transform ormad ador or de potenci potenciaa de dos arro arroll llad ados os mono monofá fási sico co osee osee una una car car a Z conectada en la barra 2: 1 2 N : N V 2 [Volt ] = Z 20 [Ω ] I 2 [ Amp ] I I 1

1

2

2

Z 20

• primario es Z 10, entonces es valedera la aplicación de la ley de Ohm en unidades reales al primero. SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


5. Transformadores Monofásicos • Si se asume que la impedancia Z 20 refe referi rid da al rimario es Z entonce entoncess es valedera valedera la a licación licación de la ley de Ohm en unidades reales al primero. 1

10

V 1 [Volt ] V base1

Z 10 Ω I 1 Amp V base1 SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

1

=

=

V 2 [Volt ] V base 2

Z 20 Ω I 2 Amp V base 2 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

5. Transformadores Monofásicos I 1 [ Amp ] = I 1 [ p.u ] I base1

I 2 [ Amp ] = I 2 [ p.u ] I base 2 10

1

.

base1

V base1

=

20

2

.

base 2

V base 2

I 1 [ p.u.] = I 2 [ p.u.] Z 10 [Ω ] I 1 [ p.u ] I base1 base1 SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

=

Z 20 [Ω ] I 2 [ p.u ]I base 2 base 2 Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

5. Transformadores Monofásicos I 1 [ Amp ]

• Si:

base1

=

I 2 [ Amp ] base 2

• Fina Finalm lmen ente te:: 10

⎛ V base1 ⎞ ⎜ ⎟ base1

=

20

⎛ V base 2 ⎞ ⎜ ⎟ base 2

Z 10 [Ω] Z 20 [Ω] Z 10base

=


Z 20base

10

1

⎛ V base1 ⎞ ⎜ ⎟ base1

.

=

20

2

.

⎛ V base 2 ⎞ ⎜ ⎟ base 2

Z 10 [ p.u.] = Z 20 [ p.u.]


5. Transformadores Monofásicos • Se ded deduce uce que que la imped impedan ancia cia Z 20 [Ω] referida al lado rimario Z Ω son i uales en cantidades or unidad, demostrando que en el sistema por unidad las impedancias [p.u] son iguales no importa de que lado del transformador se expresen.



6. Sistemas Monofásico con Varios • El sistema de por unidad es particularmente útil cuando se traba a con sistemas con varias estaciones de transformación. • Su on a ue se tien tienee un sist sistem emaa mono monofá fási sico co como como el de la figura, con dos transformadores ideales y una línea de transmisión. 1

2

3

4

Sistema de Potencia con dos transformadores



6. Sistemas Monofásico con Varios 1

• Se

2

disponen

3

4

de los datos nominales , carga. Se conocen de cada elemento:

de

los

• T1 : S 1n; V 1n / V 2n • T2 : S 2n; V 3n /V 4n • L.T : Z 23 [Ω] • SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

L


6. Sistemas Monofásico con Varios • Se desea desea calcul calcular ar el valor valor del del voltaj voltajee y la impeda impedancia ncia en la barra 1 V Z en or unida nidad. d. 1


2

3

4


6. Sistemas Monofásico con Varios • Para Para trab trabaj ajar ar el sist sistem emaa de pote potenc ncia ia de la figu figura ra en or unidad unidad se rocede rocede de la si uient uientee forma: forma: • Se seleccionan dos valores base arbitrarios; y se calculan el resto. • Por ejemplo: se toma la tensión V 1base y una poten potenci ciaa S base, esta capacidad puede ser la de alguno de los transformadores o bien un valor arbitrario el cual cual va a ser ser común común ara todo todo el el sistema. sistema.

• Se deli delimi mita tan n las las dife difere rent ntes es zona zonass para para las las cual cuales es los los valores bases son comunes y dependen del número de transformadores. • Se determinan los valores bases desconocidos. desconocidos. SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


6. Sistemas Monofásico con Varios 1

4

3

2

Sistema de Potencia con dos transformadores ,

Z 23 [ p.u ]

,

Z load [ p.u ] 1

.

Modelo equivalente de impedancia

Z 1 [ p.u ] = Z 23 [ p.u ] + Z 4 [ p.u ] SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


7. Transformadores Reales • En el trans transfo form rmad ador or de poten potenci ciaa real real hay hay que que toma tomar r en cuenta ara el an análisis en en si sistema ema or unidad los los siguientes aspectos: • La corrie corriente nte de excita excitación. ción. • La impedancia impedancia equivalen equivalente. te.

t

1

+

1'

=

I 2

I 3

−

−

' SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

2 +

+

I

V 1

3

'

V 2 −


7. Transformadores Reales • Si se selecci eccio onan dos valores res base ases Vbase1 y I base1, em lean leando do el sist sistem emaa or unid unidad ad se tien tienee ue: ue:

V 3 [ p.u ] = V 2 [ p.u ] • 1φ real real se puede representar por: Z + 1

. −

+

I 13 p.u

V 3 p.u −

Modelo equivalente para un transformador real en el sistema por unidad SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


7. Transformadores Reales 1

Z t

+

V 1 [ p.u ] −

3 +

I 13 [ p.u ]

V 3 [ p.u ] −

Modelo equivalente para un transformador real en el sistema por unidad

•

e cump e:

V 1 [ p.u ] = V 3 [ p.u ] + I 1 [ p.u ] Z T [ p.u ] •

n os trans orma or ores e va or e a mpe an anc a e transformador se puede obtener de las características .



7. Transformadores Reales • La placa placa de especifi especificaci cacione oness del transfor transformado mador, r, traen traen el valor de Z T . • Normalm Normalment entee el fabrican fabricante te específ específico ico este este valor valor en % dando R, X en en potencia. Req [% ] = X eq [% ] = •

Req [Ω ] I nominal V X eq I nominal [Ω ] V

× 100% × 100%

El porcentaje porcentaje representa representa la caída de tensión que se produce al circular circular por por R Req ó X eq la corr corrie ient ntee nomin nominal al del del trans transfo forma rmador dor expre expresa sada da en porce porcent ntaj ajee de la tens tensión ión ,



7. Transformadores Reales • Si por ejemp ejemplo lo se toma toma como como base base la corr corrie ient ntee y el volta e nominal como bases resulta:

% =

R

Req [Ω]I nominal

× 100%

nominal

eq

=

X e [Ω]I nominal V nominal

X eq % = X eq Ω ×


×

Z base Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

Ejemplo 1 • Sea un transformador de potencia monofásico de 50M 50MVA 11/132 132 kV reac eactan tancia i ual X =10%. ué significado tiene la esta reactancia? • Resolución • El signi signifi fica cado do físic físico o de este este 10% 10% es que que la caída caída de tensión en X e cuando el transformador está trabajando a plena es el 10% de la tensión nominal (13.2 kV), referida al secundario.



Ejemplo 2 • Dado un transformador transformador monofásico monofásico con los siguientes siguientes dato datoss de laca laca:: 50 MVA MVA 11/1 11/132 32 kV X = 0.242 Ω X 2 = 34.848 Ω (visto del lado de alta). Determinar el valor de la reactancia porcentual vista de ambos lados. Resolución Resolución

• La corriente nominal transformador es: I 1n =

50 MVA 11kV


= 4545.45 Amp

en

ambos

I 2 n =

50 MVA 132 kV

lados

del

= 378.78 Amp


Ejemplo 2 • Se determi determinan nan los los valores valores de react reactanci anciaa en porcent porcentaje aje ara ambos lados del transformador: transformador: I 1n

X alta [%] = X 2 [Ω]

V

X alta [%] = 34.848Ω

X alta = 10%

100%

378.78 Amp 132kV

100% I 2 n

X baja [%] = X 1 [Ω]

V 2 n

X baja [%] = 0.242Ω baja SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

100%

4545.45 Amp 11kV

100%

= Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

Ejemplo 2 • La reactancia del lado de alta y baja es igual, un resu result ltad ado o ue era era de es erar erarse se or teor teoría ía.. X alta = 10% X baja = 10%



8. Cambios de Base • Con frecu frecuenc encia ia cierto ciertoss parámetr parámetros os de un siste sistema ma son ex resados en en va valor or un unidad ero co con va valores de de base diferentes diferentes a los seleccionado seleccionadoss en el sistema • Se hace hace necesa necesario rio efectuar efectuar un cambi cambio o de base. base. • Dado que las impedancias de cualquier parte del sistema tienen tienen que ser expresadas respecto respecto a la misma impe impeda danc ncia ia base base,, al hace hacerr los los cálc cálcul ulos os,, es prec precis iso o tener un medio para pasar las impedancias de una ase a otra.



8. Cambios de Base • Se conoce que la impedancia por unidad de un elemento de circuitos es: Z [ p.u ] = Z [Ω ]

S base 2

V

• Las unid nidades típicas cas en el análi álisis de sistemas emas de otencia: MVAbase Z [ p.u ] = Z [Ω] 2 kV



8. Cambios de Base • Sean : –

. base 1

.

– Z 2[p.u] : Impedancia en p.u considerando los valores de base 2 – S base1 , V base1 Valores base para Z 1 [ p.u ] – base 2 , base 2 . 2

•

Se tiene :

Z 2 [ p.u ] = Z 1 [ p.u ]


S base 2 V base1 S base1

2

⎜ ⎟ ⎜ V ⎟ ⎝ base 2


8. Cambios de Base

2

.

1

.

S base 2 ⎛ V base1 ⎞

2

S base1 ⎝ V base 2 ⎠

transferencia del valor de impedancia de un lado a otro de un transformador.



Ejemplo 1 • La rea react ctan anci ciaa X de de un generador es 0.20 por unidad basada en los datos de laca del enerador: 13.2 kV 30 MVA. • La base base ara ara los los cálc cálcul ulos os es 13.8 13.8 kV 50 MVA. MVA. • Determin Determinar ar el valor valor de X para para las nuevas bases. Resolucion Resolucion

• Considerando Considerando la ecuación de cambio da bases: 2

X new [ p.u ] = X old [ p.u ]


⎜ old ⎟ ⎜ V ⎟ S old ⎝ new ⎠ new


Ejemplo 1 • Consider Considerando ando la ecuación ecuación de cambio cambio de •

2

X new [ p.u ] = X old [ p.u ]

⎜ old ⎟ ⎜ V ⎟ S old ⎝ new ⎠ new

• En est estee caso caso los los val valor ores es old son son aquellos en los que son aquellos a los que se quiere referir el valores por unidad de la reactancia. X old = 0.20 p.u V old = 13.2kV S old = 30 MVA new SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

=¿

new

=

.

new

=


Ejemplo 1 X old = 0.20 p.u V old = 13.2kV S old = 30 MVA

. new = • Sustituyendo Sustituyendo los respectivos valores se obtiene: new

=

new

=

X new [ p.u ] = 0.20 p.u

2

.

⎜ ⎟ 30 MVA ⎝ 13.8kV ⎠

X new = 0.306 p.u

•

ste va or esta re er o en as as ases e MVA.


.

y


Ejemplo 2 • Supó Supóng ngas asee que que se tien tienee un tran transf sfor orma mado dorr de 186. 186.6 6 MVA MVA 69/2 69/220 20 kV reac reacta tanc ncia ia de 8%. 8%. Deter etermi mina narr el valor valor de la react reactan ancia cia expr expresa esada da en las base basess de 230 kV, 100 MVA. Resolución Resolución

• Se conoce que el fabri abriccant ante ent entreg rega el val valor de la reactancia de este transformador en porcentaje (cien veces el valor por unidad), de los datos de placa. X old = 0.08 p.u V old = 220kV S old = 186.6 VA



Ejemplo 2 • Un transfo transforma rmado dorr ha de tener tener tanta tantass bases bases de volta voltaje je corriente e im edancia como devanados ten a el mismo. • En este este caso caso la base base de vol volta ta e se refie refiere re al lado lado de de 2 alta. S new ⎛ V old ⎞ ⎜ ⎟ X new [ p.u ] = X old [ p.u ] S ⎜ V ⎟ • Sustituy Sustituyendo endo los respectiv respectivos os valores: valores: 2

X new p.u = 0.08 p.u new SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

186.6 MVA ⎝ 230kV ⎠

= .


9. Transformador de 3 Devanados • El transfo transformad rmador or de tres tres devana devanados dos es es aquel aquel en el el que se inclu e un tercer devanado or cada fase se llaman también transformadores de circuitos o devanados múltiples. • El tercer tercer arrol arrollad lado o que se incluy incluyee por cada fase fase suele suele ser denominado terciario. p

s SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

t Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

9. Transformador de 3 Devanados • Util Utiliz izar ar las las vent ventaj ajas as de la cone conexi xión ón Y-Y Y-Y (est (estre rell llaaestrel estrella la de los trans transfor formad madore oress de dos dos devanad devanados os al tiempo que el terciario se conecta en delta, con el fin de reducir los efectos indeseables de la conexión Y-Y de sus otros dos devanados. p



9. Transformador de 3 Devanados • En cone conexi xión ón Y-Y Y-Y de los los devan devanad ados os de alta alta y baja, baja, y se conecta conecta el terciario en corto o delta delta lo cual cual tiene la finalidad de reducir en forma apreciable los terceros que de otra forma estaría armó armóni nico coss de tens tensió ión n qu presentes en el devanado devanado de baja de donde se alimenta la carga.



9. Transformador de 3 Devanados • Se requ requie iere re interconectar tres circuitos de diferentes niveles de volta volta e. • Es la opción más eco económica ica y práct ráctiica utiliz lizar un transformador de tres devanados no dos transformadores de dos arrollados con diferente relación de transformación. transformación. p



9. Transformador de 3 Devanados • Pa Para alimentar cargas que requieran una alta confiabilidad en el servicio ara lo cual se alimentarían de dos fuentes diferentes. • En la lanta de eneración Maca ua II ro iedad de la empresa EDELCA, en Venezuela, donde dos generadores son conectados a los devanados secundarios y terciario, terciario, y la carga en el primario.



9. Transformador de 3 Devanados • Solo que van a existir existir tres relaciones, relaciones, producto productoss de de las interacciones interacciones ma néticas de los los tres tres arrollados. arrollados. V primario

=

V secundario V primario V

=

V secundario

N primario N secundario

N primario N

=

terc ar o


p

N secundario terc ar o

t


9. Transformador de 3 Devanados • El mode modelo lo equi equiva vale lent ntee de un tran transf sfor orma mado dorr de tres tres devan devanado adoss idea ideall cons consta ta de de tres tres im edanc edancias ias Z Z Z t en conexión estrella. p p

V p


p

Rs

jX s

Rt

t

jX t

n' s

−

p

t

V s

V t

−

−


9. Transformador de 3 Devanados p

I p

+

V p

−

s

+ I s

R p

jX p

Rs

jX s

Rt n'

jX t I t

t

+

V s

V

−

−

+ j p • Z s : Impedancia del arrollado secundario . Z s = Rs + jX s • Z t : Impedancia del arrollado terciario . Z t = Rt + jX t •

p

: mpe anc a e arro a o pr mar o .


p

=

p


9. Transformador de 3 Devanados Z p = R p + jX p s

s

s

Z t = Rt + jX t

dos arrollados se obtienen a partir de los ensayos de cortocircuito cortocircuito realizados a la má uina • La única única dife difere renc ncia ia que que en el caso caso de la máqu máquin inaa de tres arrollad arrollados os a de a licarse licarse i ual número número de de veces veces el ensayo.



9. Transformador de 3 Devanados • En el ensay ensayo o de cortoc cortocircu ircuito ito de de un transf transforma ormador dor de tres arrollados se debe realizar en tres eta as or simplicidad en la representación solo se ha considerado la parte reactiva de la impedancia):



9. Transformador de 3 Devanados • Alimentar por el primario, se cortocircuita el secundario se mide es X : Reacta ctancia rim rimario secundario . p

+

I p

Z p

t

Z

V p

+ I t

=0

Z ps SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

I s

+ =

0

−

−

= Z p +

s

V s

V t −

n'

Z

Z s Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008


+ +

I p

Z p

t

s s

t

V p

n' t

V t − −

Z ps SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

s

V s

=0 −

= Z p + Z s Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

9. Transformador de 3 Devanados • Se alimenta por el devanado primario mientras se cortocircuita el terciario de i ual forma no se debe superar la menor de las potencias de los devanados en ensayo, en este caso por lo general el del terciario. • La impedancia que se obtiene del ensayo es X pt : Reactancia Reactancia primario primario terciario terciario . I p

+ +

s

Z p

Z s

V p

+

n'

I s

V s


= Z p +

+

I s V t

=0 −

− −

Z pt

=0

t

Z t

Z t Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008


+

+

I p

Z p

t

s s

t

V p +

'

I s

V s


=

p

0

+

I s V t

=0 −

− − pt

=

+


9. Transformador de 3 Devanados • Se Se alimenta por el secundario al tiempo que se cortocircuita el terciario . • Se obti obtien enee X st : Reactancia secundario terciario . p

+

V +

=0

I

s

Z p

Z

+

n'

+

I t

I s

t

s

−

− −

Z st SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

t

Z

= Z s +

Z t Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008


+

I p

=0

Z p

s s

p

t

n'

+ s

t

V t

V s

=0 −

− −

Z st SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad

t

= Z s + Z t Dr. Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] Copyright © 2008

9. Transformador de 3 Devanados • De los los tres tres ensay sayos de cortoc tocircu ircuiito se obtien iene un con unto de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas ( X p, X s, X t ): pt

p

t

⎪ ⎨ X st = X s + X t ⎩ X ps = X p + X s



9. Transformador de 3 Devanados ⎧ X pt = X p + X t ⎨ X st = X s + X t ⎪ X = X + X • Si se resuelve resuelven n las las tres tres ecuaci ecuaciones ones se tiene tiene:: p

s


= =

1

+

2 1

ps

pt

2 1

ps

st

2

pt

st

−

− −

st

pt

ps


9. Transformador de 3 Devanados • En En los transformadores de tres devanados los fabr fabric ican ante tess ro orci orcion onan an en la laca laca.. • Los valores en porcentaje (%) de las reactancias obtenidas en los ensa os de cortocircuito. cortocircuito.

Z ps [%] = 100% × Z ps [ p.u ] pt

=

pt

.

Z ps [%] = 100% × Z ps [ p.u ]



9. Transformador de 3 Devanados Z ps [%] = 100% × Z ps [ p.u ] pt

pt

.

Z ps [%] = 100% × Z ps [ p.u ]

por unidad de la impedancia impedancia de cortocircuito, cortocircuito, este valor valor ex resado resado en las bases bases del ensa o.



Ejemplo 1 • Supóngase un transformador monofásico de tres devanado devanadoss 100/1 100/100/1 00/10 0 MVA MVA 765/√3:400/√3:13.8/√3 kV, X = 10% X = 8% X = 5%.

• Estos Estos valor valores es en porcenta porcentaje je represen representan: tan: X = 0.1 .u X st = 0.08 p.u pt =


.

.


• Ahora bien las bases de esto valor por unidad se obtienen obtienen de los ensa os. se hace alimentando por el primario y 1. X ps , se cort cortoc ocir ircu cuit itan ando do el secu secund ndar ario io es deci decirr ue la base base de tensión de X ps es 765/√3 kV, y la potencia base la meno enor de las de los arro arrolllado ados inv involucrad crado os 100 100 MVA. 2. X st se alimenta por el secundario, por lo que la base e tens n es , y a e potenc a es a e arrollado de menor potencia en ensayo, 10 MVA, la . SISTEMAS DE POTENCIA I Sistema Por Unidad


3. X pt , se alimenta por el primario y se cortocircuita el terciario or lo ue las bases son 765/ √3 kV 10 MVA. X ps = 0.1 p.u X st = 0.08 p.u p.u pt = .


765/√3 ; 100 400√3 ; 10 ;


sistema por unidad

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