SISTEMA POR UNIDAD
Definición: Una variable en por unidad unidad es la relación de su Valor Real Real a un un Valor Base o de referencia [V PU ].
V PU = VENTAJAS DEL SISTEMA EN POR UNIDAD (P.U) a) Seleccionando las bases de tensión convenientemente se facilita la solución de circuitos que poseen varios transformadores. b) En el caso de componentes del mismo tipo general las caídas de tensión y pérdidas son del mismo orden independientemente del tamaño. Esto permite detectar valores erróneos. c) Se reduce el empleo de la
en los circuitos trifásicos.
d) Los fabricantes especifican las impedancias de sus equipos en P.U de sus valores nominales de placa. e) Se prestan más convenientemente al uso de un computador. En una red eléctrica intervienen las siguientes cantidades eléctricas:
CANTIDAD Corriente, A Tensión, V Voltamperes, S Impedancia, Ω Angulo de fase Tiempo, sec
SIMBOLO
DIMENSION
I V
[I] [V]
S = P + ĵQ Z = R + ĵX Ø, Ө, etc. t
[ VI ] [ V/I ] Sin dimensión [T]
Si se toman dos (02) Cantidades Bases arbitrarias se fijan automáticamente las cantidades bases restantes.
V PU =
I PU =
Z PU =
S PU =
Z PU =
S PU =
=
=
=
+
=
= R PU PU + ĵX PU
+
= P PU + ĵQ PU
Los valores Bases deben cumplir con las siguientes leyes: ra
a) 1 ley de KIRCHOFF
K
δ
I
Para que
Se debe cumplir
I Bi
= I Bδ
La corriente de base debe ser común a un mismo nivel de tensión.
b) 2
da
ley de KIRCHOFF: En un circuito cerrado la tensión base debe ser igual
c) Ley de OHM
V=ZxI
V(0/1) x VBase = Z(0/1) x ZBase x I(0/1) x IBase V(0/1) = Z(0/1) x I(0/1) Se debe cumplir
VBase = ZBase x IBase ZBase =
d) Ley de Potencia
S = V x I*
S(0/1) x S Base = V(0/1) x VBase x I*(0/1) x I Base S(0/1) = V(0/1) x I*(0/1) SBase = VBase x IBase
BARRA BUS
Es una CONEXIÓN DE IMPEDANCIA CERO, que conecta diferentes elementos del sistema como por ejemplo: líneas de transmisión, cargas, etc.
SISTEMAS MONOFASICOS
Eligiendo las Bases Arbitrarias: V B , I B Valores Bases Calculados:
A fin de explicar claramente los fundamentos de Sistema por Unidad (P.U.) se ha dividido este Capítulo en las siguientes partes:
1. Sistema P.U en transformadores Monofásicos 2. Expansión de un fasor en P.U 3. Sistemas P.U. en Transformadores Monofásicos reales 4. Sistema P.U. en Transformadores 3Ø reales
Sistema P.U. en Transformadores sin impedancia propia, sin pérdidas y con acoplamiento perfecto en los que se verifica:
Donde: : N° de espiras del Primario : N° de espiras del Secundario , : Módulos de Tensión y Corriente del Primario , : Módulos de Tensión y Corriente del Secundario : Relación de Transformación
El principio del sistema P.U. se basa en tres observaciones relativas a Transformadores Ideales Observación N° 1
V1
V2 N1: N2
1
2 ZL
0 El modulo de la tensión en el lado de carga de un Transformador ideal Referido a una tensión arbitraria, es igual al Modulo de la tensión vista desde el otro lado del Transformador referida a otra tensión base; Siempre que las tensiones de referencia cumplan con la relación de transformación.
En efecto, supongamos el circuito anterior:
Se eligen los valores Base, de tal forma de cumplir
=
Si se expresan las Tensiones del Sistema en P.U. se elimina la relación de transformación
Ejemplo:
(TRANSFORMADOR IDEAL)
Relación de Transformación: (r.t): 230/115 KV Tensión nominal V 1 : Tensión Barra (1): 240 KV Tensión nominal V 2 : Tensión Barra (2): 120 KV
K= Eligiendo la Tensión Base en (2) Calculamos
(1)
Entonces las Tensiones Nominales de Barras en P.U. son:
Si se hubieran tomado como V Bases : 230 Kv y 115 Kv. Las Tensiones Nominales hubieran sido 1.0 (P.U), lo cual es más simple
Si se expresan las Tensiones del Sistema en P.U. se elimina la relación de transformación
Observación N° 2
V1
V2 N1: N2
1
2 ZL
0 Si I 2B es el módulo de la corriente arbitraria que fue elegida como base en el lado (2) del Transformador Ideal, el módulo de la corriente respectiva en el lado (1) será:
Por tanto la relación entre los módulos fijados y los módulos fijados es:
cuyos valores no están
Que se puede escribir como:
Esta relación de corriente, expresada en P.U., puede escribirse como: (2)
Es decir, los módulos de las corrientes en ambos lados de un Transformador Ideal son iguales siempre que estas estén expresadas en P.U. de unos módulos de corriente denominados base, a condición de que todas las corrientes consideradas cumplan con la relación de transformación. Por lo cual, solo un modulo base pueda elegirse arbitrariamente.
Observación N° 3
V1
V2 N1: N2
1
2 ZL
0
V 2B , I2B V 1B , I1B V 1B , I2B V 2B , I1B Se eligen estas dos magnitudes arbitrariamente, las restantes serán calculadas:
Valores Reales
(3)
En un Transformador Ideal, los módulos de las impedancias vistas desde el primario ó secundario son iguales si están expresadas en P.U. Por lo que, definir el modulo de una impedancia en P.U., equivale a identificar dicho módulo con la caída de tensión producida por el módulo de una corriente conocida (Corriente de base), expresando esa caída de tensión en P.U. de una tensión conocida (Tensión base). Observe que se eligieron arbitrariamente dos magnitudes calculándose todas las demás.
,
Eliminación del acoplamiento Magnético:
Las expresiones (1), (2) y (3) resumen el fundamento del Sistema P.U., ósea tratándose de Transformadores Ideales, los módulos de las tensiones, impedancias y corrientes vistas desde uno u otro lado son iguales si se expresan en P.U. de módulos base que cumplan con la relación de transformación y calculados en función de dos de ellos elegidos arbitrariamente.
El siguiente paso es inmediato ya que dicha igualdad permite sustituir el Transformador Ideal por una conexión solida de impedancia cero.
P.U
P.U
P.U
P.U
P.U
P.U
= 1
2
P.U
P.U
=
0
P.U
P.U P.U
Aparente restricción del Sistema P.U.
Por lo visto hasta ahora pareciera que el Sistema P.U. tiene la restricción de operar únicamente con módulos . Se puede decir al respecto que operar con módulos es rigurosamente correcto, sin embargo, no es necesario hacerlo así, resulta más conveniente utilizar fasores teniendo en cuenta lo siguiente: a) Si en los cálculos de una red se utilizan fasores expresados en P.U., en lugar de sus módulos, los fasores calculados en cualquier punto de la red son correctos siempre que no haya Transformadores que introduzcan cambio de fase b) Si existen en la red Transformadores que introducen cambios de fase, los fasores calculados en ciertos puntos de la red son correctos únicamente en magnitud. El ángulo de fase deberá ser corregido.
Si el Transformador introduce
Expresión de un fasor en P.U.
Hay que dividir tanto la parte real como la imaginaria por la base elegida. EJEMPLO
D
V1 N1: N2
V2
I D0 (D)
(1) Z D0
(2) Z D0 Z0 ; Base Z DBA
En general: Si F es un fasor, su expresión en P.U. es
Caída de tensión en un elemento:
I
(1)
Z1.2
(2)
Sistema en P.U en circuitos con Dos (2) ó más Transformadores Ideales:
Como ya hemos visto en el caso de un Transformador ideal, es posible elegir dos valores Bases arbitrariamente en función de las que se calculan otros valores base. η Transformadores es posible Se demuestra a continuación que un circuito con elegir 2η Valores Base arbitrarios (Por ejemplo η Tensiones y η Corrientes); Pero
si se desea extender los principios anteriormente expuestos para eliminar los Acoplamientos Magnéticos, solo es posible elegir arbitrariamente Dos Bases. Supongamos el siguiente circuito con dos Transformadores ideales T R1 , T R2; interconectados a través de la impedancia Z 2.3 , una carga y un generador G.
L.T (1)
(2)
I D0 (3)
(4) Z 4.0
Datos: Valores Nominales de los Transformadores Valores Nominales de la Línea de Transmisión Valores Nominales de la Carga Calcular: La Tensión, Corriente y Z vistas desde la Barra 1 (V 1 , I 1 , Z 1 ) T 1: S 1N ; Datos conocidos
T 2: S 2N ; L.T
(Ω)
Solución adecuada de las bases
(Metodología)
a) Se eligen dos bases arbitrarias. Ej.: una Potencia aparente y una Tensión: - La potencia aparente se selecciona ya que es la única magnitud que no cambia al pasar de un lado a otro de un Transformador ideal - Se elige como Tensión de base arbitraria la Tensión de Línea (fase a fase) de uno de los Transformadores del Sistema ya que siempre aparece como dato de placa b) Indicar en el diagrama las zona con valores base comunes N° de Transformadores
depende del
c) Determinar los Valores Bases desconocidos a partir de los valores base arbitrarios: B C = Base Calculada B A = Base Arbitraria d) Determinar un circuito equivalente para el Sistema en P.U sin acoplamientos magnéticos SOLUCION: a) Seleccionamos Bases arbitrarias: V 1B = V 1N S 1B = S 1N b) Ver diagrama las zonas elegidas c) Bases Calculadas
d) Determinar un circuito equivalente para el Sistema en P.U
Impedancias Bases: Línea de Transmisión Corriente
:
Como si no existieran transformadores
Tensión
:
Como si no existieran Transformadores
Impedancia
:
SISTEMA POR UNIDAD EN TRANSFORMADORES MONOFASICOS REALES
Los transformadores monofasicos reales se pueden representar por la Impedancia en P.U de éste, en serie con un transformador ideal, de igual relacion de transformacion que el real. A 1 :A 2
Z TR (Ω)
I R
ID R
D
A 1 :A 2
I R ≡
ID R
F
(a) Transformador Real de Impedancia Z TR (Ω)
D
≡ ≡
(b) Circuito Equivalente F: Barra Ficticia Entre F y D el Transformador es ideal es ideal
Todo lo expuesto para Transformadores Ideales es válido entre las Barras F - D
Eligiendo como Bases arbitrarias en D: Bases calculadas:
.
: Las cuales deben cumplir con la relacion de transformación
Para el circuito B podemos escribir:
Dividiendo la expresión por
y el segundo termino por
:
Para un Sistema Monofasico:
A 1 :A 2
(Z TR ) P.U
I R
ID R
D
(a) Transformador Real
(I R ) P.U ≡
( I D ) P.U R
D
(b) Circuito Equivalente
Equivalente en P.U
Nota sobre la reactancia en P.U
I (KA)
ΔV
X (Ω) S (MVA) Bases:
V B = V(KV) S B = S (MVA)
Recordando:
Ejemplo: Trafo.: S = 10MVA nominales Relación.: 8:64 KV Reactancia Dispersión: 9% Significa: Cuando circulan 10MVA por el Transformador (Potencia Nominal) a 8KV (Tensión Nominal) en el primario la Caída de Tensión en el secundario es
SISTEMA P.U EN TRANSFORMADORES MONOFASICOS REALES
8:64 KV
(1)
T1
70:10 KV
Z23 = (5 + ĵ 25)(Ω)
(2)
(3)
T2
(4)
I40 = 130A
Z40 = (40 + ĵ 20)(Ω)
DATOS: Potencia Nominal Relación de Transformación Reactancia de Dispersión Desfasaje Primario - Secundario
T1 10 MVA 8:64 KV 9% 180°
T2 3 MVA 70:30 KV 7% 0°
Calcular: a) El fasor de Impedancia visto desde la barra 1 (Z 1 ) b) El fasor de Tensión en 1 (V 1 ) Resolución: Interpretación de las reactancias de Dispersión:
9% y 7%
La reactancia de Dispersión de 9% para T 1 , significa que cuando por el Transformador 10MVA (Potencia Nominal) a 8KV (Tensión Nominal) en el primario, la caída de Tensión en el secundario es: 64KV *(9/100) = 5.76 KV
Graficando: 8:64 KV
9% 10MVA
(1)
T1
(F)
F: Barra Ficticia T1: Transformador Ideal
Selección de Bases Arbitrarias: En la barra (4) BA:
V 4BA = 10KV I 4BA = 200Amp Bases Calculadas En la barra (4):
En la Línea Barra (2)
En lado del Generador Barra (1)
(2)
Nota: Z 1BC ; pudo haberse calculado de la siguiente manera (Ω) Cálculo de las Bases en que están expresadas las reactancias de los Transformadores: Recordando:
Lado 64KV: Transformador 1 Lado 8KV:
Lado 70KV: Transformador 2 Lado 10KV:
Calculo de las Impedancias en P.U
El circuito Equivalente en P.U; es el siguiente: ĵ 0.0150
(1)
ĵ 0.0467
0.0020 + ĵ 0.0102
(2)
(3)
(4) 0.800 + ĵ 0.400
Bases:
V4B0 = 10KV I4B0 = 200Amp
La Impedancia vista desde la Barra (1) es:
Por lo tanto:
Calculo del fasor Tensión en la Barra (1): A partir del valor (S 10 )P.U , Obtenemos el circuito equivalente referido: 0.8020 + ĵ 0.4719
(1)
(I0)P.U O
Por lo tanto: (V 10 )P.U = (0.8020 + ĵ 0.4719) (0.65) (V 10 ) P.U = (0.5213 + ĵ 0.3067) Recordando que el transformador 1 introduce un desfasaje de 180°, por lo tanto: (V 10 ) KV = (V 10 )P.U x (V 1BC ) KV = (0.5213 + ĵ 0.3067) x 8.75 (V 10 ) KV = 4.5613 + ĵ 2.6836 = 5.2922
****30.4700 *****************
SISTEMA P.U EN CIRCUITOS CON TRANSFORMADORES TRIFASICOS REALES
Elección de Bases: a) Se elige como una de las Bases arbitrarias. Una Potencia aparente S MVA Trifásica; por ser la única magnitud que no cambia al pasar de un lado al otro de un Transformador Ideal b) La Tensión Base debe ser una Tensión de Línea (fase a fase) Nominal de uno de los Transformadores del Sistema. c) La Potencia Base Trifásica debe ser la Potencia Nominal de uno de los Transformadores del Sistema, o un Número Arbitrario conveniente como: 10MVA, 100MVA, etc.
Expresiones usuales para Calcular Bases:
Impedancia en P.U para cargas Trifásicas conectadas en
Δ
ZΔ
ZΔ
ZY ZY
ZΔ
ZBΔ: Impedancia Base por fase para una carga conectada en Delta ZBY: Impedancia Base por fase para una carga conectada en Estrella
–Y
N
ZY
Cambio de Bases: Base Vieja: υ
Dividiendo
Tenemos:
Base Nueva: η
y despejando
