PEMODELAN SISTEM DUA MASSA PEGAS HORISONTAL
Disusun oleh:
1. Arvilisa Kusfitriasari
24010110120059 24010110120059
2. Beni Pridika Utama
24010110120060 24010110120060
3. Rahardian Widiarso
24010110130064 24010110130064
4. Fitriana Hasnani
24010110130065 24010110130065
5. Amilia Yuniarti
24010110130066 24010110130066
6. Rizkullilah
24010110130069 24010110130069
7. Hesti Rahayu
24010110130071 24010110130071
8. Rustania A L S
24010110130072 24010110130072
9. Rochani Puspitasari
24010110130074 24010110130074
10. Agustin Ayu Kusumawati
24010110130075 24010110130075
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG
A.
TUJUAN Mengontruksi persamaan differensial yang menjelaskan system dua massa-pegas horizontal.
B.
LATAR BELAKANG Dalam pemodelan ini, kita ingin membahas problem yang dikenal dengan sistem massa pegas, di mana suatu massa yang diikatkan pada pegas yang diilustrasikan secara horizontal seperti pada gambar di bawah ini.
Sebelum menyelesaikan problem ini, akan dijelaskan terlebih dahulu beberapa teori dan prinsip-prinsip dasar fisika yang terkait dengan fenomena ini. Sistem massa pegas ini tidak dapat terselesaikan tanpa memformulasikan persamaan yang menjelaskan gerakan ini. Berdasarkan Hukum Newton II, gerakan suatu titik massa dijelaskan dengan formula
d
F
dt
( mv )
dimana F adalah jumlahan vektor semua gaya yang digunakan untuk titik massa yang
mempunyai massa m. Gaya F sama dengan laju perubahan momentum mv , dimana
d x
kecepatan massa. Jika
x
adalah posisi massa, maka v
Asumsikan massa m konstan, maka
d
F
dt
dengan
( mv )
a
a
dt
ma
adalah vector percepatan massa
d 2 x
d v
dt 2
dt
v
Gaya pegas pada permasalahan ini, bergantung pada elastisitas pegas dan dinyatakan secara linier oleh posisi massa terhadap posisi setimbang. Hubungan ini didekati secara linier yang dikenal dengan hukum Hooke, hubungan ini dinyatakan dengan persamaan F = -k x
Dimana
k
adalah konstanta pegas, dan
x
adalah posisi massa terhadap posisi
setimbang. Dengan menggunakan hukum Hooke dan Hukum Newton II model matematika paling sederhana tentang sistem massa pegas dinyatakan oleh m
d 2 x dt 2
kx .
Identifikasi variabel Variabel Waktu
:t
Jarak
:x
Parameter
C.
Gaya
:F
Massa
:m
Konstanta pegas
: k
APROKSIMASI DAN IDEALISASI
a. massa konstan b. tidak ada gaya gesek luar yang mempengaruhi pergerakan pegas c. Gaya luar yang beraksi pada massa satu dan mass a dua tidak ada kecuali gaya pegas d. massa bergerak dari kiri ke kanan (dimensi satu) satu )
D.
MODEL
Gerakan
, 1
2
kedua
massa
ini
dinyatakan
dalam
arah
sumbu
X.
misalkan
menyatakan gerakan massa satu dan massa dua yang dihitung dari dinding kiri.
Pada kondisi saat waktu t yang digambarkan ini, menunjukkan bahwa
− (> 0) Rentang pegas dua sebesar − − (> 0) oleh karena itu besarnya gaya pegas Rentang pegas satu sebesar
1
1
2
1
2
yang bereaksi pada masing-masing massa adalah seba gai berikut: Gaya pada massa satu:
= − − , ℎ ℎ + = − ( − ) + ( − − ) 2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
Gaya pada massa dua:
= − ( − − ) 2
2
2
1
2
Sehingga menurut hukum Newton II, diperoleh persamaan gerak massa satu,
= + = − − + ( − − ) 2
1
1 2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
Persamaan gerak massa dua,
= = − ( − − ) 2
2
2 2
2
2
2
1
2
Dengan demikian persamaan model gerakan massa satu dan massa dua secara simultan dinyatakan sebagai berikut,
= − − + ( − − ) = − ( − − ) 2
1 2
1
2
2 2
2
E.
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
SOLUSI MODEL
∗, ∗ adalah posisi setimbang masing-masing dari massa satu dan massa dua ( ∗, ∗)=0 dan yang diukur terhadap dinding kiri, maka harus dipenuhi ( ∗, ∗)=0. Dari persamaan ini, maka - ∗ − + ( ∗ − ∗ − )=0 - ( ∗ − ∗ − )=0 diperoleh posisi setimbang ∗ = dan ∗ = +
Jika
1
2
2
2
2 2
1
1
1
2
2
1 2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
2
Jika gerakan massa dinyatakan terhadap masing-masing posisi setimbangnya, maka perlu melakukan transformasi koordinat yang berpusat diposisi setimbangnya. Transformasi
= − ∗ = −
ini misalkan
1
1
2
koordinat ini, maka
1
1
1 2
2
=
1 2
dan
1
2
dan
2 2
= − − . 2
2
=
. 2
2 2
1
2
Dari transformasi
Sehingga diperoleh system
persamaan diferensial berikut;
= − + + = − Jika diberikan = 2, = 1 dan = 4, = −6 + 2 2 = 2 − 2 2
1
2
2
1 2
1
2 2
2
2 1
2
1 2
2 2
2 2
2 2
1
2
1
2
1
1
2
= 2, maka persamaan di atas menjadi,
2
1
2
Atau
2
1 2
=
−3 + 1
2
(a)
2
2 2
− 2
=2
1
(b)
2
Untuk menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan dengan cara substitusi sebagai berikut. Dari persamaan (a), maka
2
dua kali diperoleh ,
2 2
4
=
1 4
+3
=
2
2
4
1 4
2
+5
1 2
+4
1
+ 3 1 , kemudian didiferensialkan ke t
, dan kemudian disubstitusi ke persamaan (b), 2
1 2
maka diperoleh persamaan diferensial dalam
1 2
dan t, sebagai berikut : 1
=0
(c)
Jika dinyatakan dalam bentuk operator D =
, maka persamaan (c) dalam bentuk
operator dituliskan oleh,
+ 5 4
(
2
+ 4)
1
=0
(d)
Solusi dari persamaan ini adalah
= , maka persamaan particular untuk persamaan 1
ini adalah,
4
+5
2
+ 4 = 0 atau (
2
+ 1)(
2
+ 4)=0
=±i dan =±2i. jadi solusi umum untuk adalah = + + 2 + 2. Dengan cara yang sama dilakukan untuk mendapatkan solusi . Dan diperoleh solusi = + + 2 + 2 Jika dan disubstitusikan ke (a), 0 = + 3 − 0 = - cos - sin - 4 cos 2t -4 sin + 3( cos t + sin + cos 2t + sin ) + -( cos + sin + cos2 + sin2) 0 = (2 - ) cos t +(2 - ) sin t + (- - )cos 2t + (- - ) sin 2t
Dan diperoleh akar – akar karakteristik : 1
1
1
2
1,2
3,4
1
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
2
2
Karena cost, sint, cos2t, sin2t adalah bebas linier, maka koefisien-koefisien harus sama dengan nol, yaitu diperoleh:
1
=2
= −
1
1
1
dan
2
=2
= −
2
2
2
(t) = cos + sin + cos 2t + sin (t) = 2 cos + 2 sin − cos 2t - sin
Jadi solusi umum: 2
1
1
1
2
2
1
1
2
2
Solusi ini dapat ditulis dalam bentuk yang lain sebagai berikut:
(t) = A cos (t-) + B cos (2t- ) (t) = 2A cos (t-) + 2B cos (2t- ) Dengan A= + , tan = , B= + dan tan = Dengan masalah syarat awal: (0) = -1, (0) = 0, dan (0) = 2, (0) = 0. Dengan 1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
menggunakan syarat awal ini, -1 = a1 + b1 0 = a2 + 2b2 2 = 2a1 – b1 0 = 2a2 – 2b2
−
Dari hubungan ini diperoleh, a 2 = 0, b2 = 0, a1 = 1 3 , b1 = 4 3 Jadi solusi eksak z1,z2 adalah 1
4
3
3
z1(t) = cos t - cos 2t 2
4
3
3
z2(t) = cos t + cos 2t grafik solusi digambarkan sebagai berikut :
Dari grafik diatas, dapat disimpulkan bahwa massa 1 dan massa 2 akan bergerak terus menerus tanpa pernah berhenti.
F.
INTERPRETASI Model yang didapat dari pembahasan diatas adalah
= − − + ( − − ) 2
1
1 2
1
1
1
2
2
1
2
= − ( − − ) 2
2
2 2
2
2
1
2
Solusi yang didapat dari pembahasan di atas adalah sebagai berikut
= − + + = − 2
1
2
2
1 2
2 2
dengan
1
2 1
2
1
2 2
2 2
m1, m2
:
Massa balok
k 1, k 2
: Konstanta pegas
t
: Waktu
z1 (t)
: rentang pegas satu (bergantung pada waktu)
z2(t)
: rentang pegas satu (bergantung pada waktu)
artinya rentang pegas satu dan dua dalam system pegas dua massa bergantung pada waktu, dan dipengaruhi oleh besar massa, konstanta pegas dan panjang pegas.
