Sistem Dua Derajat Kebebasan
PENGERTIAN Siste Sistem m yang yang membu membutuh tuhka kan n dua dua buah buah koord koordina inatt beba bebas s untuk untuk menen menentuk tukan an kedudukan-nya disebut sistem dua-derajat-kebebasan. Sistem dua-derajat-kebebasan dibagi atas tiga sistem yaitu : 1. Dalam Dalam sistem massa massa pegas pegas seperti seperti terlihat terlihat dalam dalam Gambar Gambar 2-1 di bawah ini, ini, bila gerakan massa ml dan m2 secara ertikal dibatasi maka paling sedikit dibutuhkan satu koordina koordinatt x(t) guna menentukan kedudukan massa pada berbagai waktu. !era !erart rtii sist sistem em memb membut utuh uhka kan n dua dua buah buah koor koordi dina natt
bers bersam amaa-sa sama ma untu untuk k
menentukan kedudukan massa" sistem ini adalah sistem dua-derajat-kebebasan. 2. !ila ma massa m ditumpu dengan dua buah pegas yang sama seperti terlihat dalam Gam-bar 2-2 di bawah ini gerakannya dibatasi secara ertikal, maka dibutuhkan dua buah koordinat untuk menentukan kon#igurasi sistem. Salah satu kon#igurasi ini merupaka merupakan n perpinda perpindahan han lurus, lurus, seperti seperti perpinda perpindahan han massa massa $%&'. (oordin (oordinat at yang lain yaitu perpin-dahan perpin-dahan sudut, 8(t), yang mengukur rotasi massa. (e dua koordinat ini satu sama lain bebas" oleh karena itu sistem ini adalah sistem dua derajat kebebasan. ). *ntuk *ntuk pendu pendulum lum ganda ganda seperti seperti terlih terlihat at dalam dalam Gamba Gambarr 2-) di bawah bawah ini, jelas bahw bahwa a untuk untuk menen menentu tukan kan posisi posisi massa massa m1 dan m2 pada pada berbaga berbagaii waktu waktu dibutuhkan dua buah koordinat dan sistem adalah dua derajat kebebasan. +etapi $1 dan x 2 2 atau y1 dan y 2 2, atau 1 dan 2 , mungkin merupakan kelompok koordinat sistem ini.
KOORDINAT UMUM (GENERALIZED COORDINATES) Seperti yang dibicarakan sebelumnya, adakalanya masih mungkin menentukan kon#igurasi sistem dengan lebih dari satu kelompok koordinat bebas atau parameter sepert sepertii panja panjang ng,, sudut sudut,, atau atau bebe beberap rapa a param paramete eterr #isik #isik lainn lainnya ya"" setia setiap p kelom kelompo pok k koordinat seperti itu disebut koordinat umum (generalized coordinates).
MODUS NORMAL (NORMAL MODES) da dua buah persamaan persamaan gerakan untuk sistem dua-derajat dua-derajat kebebasan, kebebasan, satu untuk ma-sing-masing massa. Sebagai hasilnya, ada dua buah #rekuensi pribadi untuk sistem sistem dua-de-r dua-de-raja ajat-keb t-kebeba ebasan san.. rekuen rekuensi si pribadi pribadi diperol diperoleh eh dengan dengan menyele menyelesaik saikan an persamaan persamaan frekuensi (frequency (frequency equation) equation) sistem sistem tanpa tanpa pered peredam am atau persamaan persamaan karakteristik sistem dengan peredam. !ila massa sistem beroskilasi sedemikian rupa hingga mencapai perpindahan maksi-mum secara serempak dan melewati titik keseimbangan secara serempak, atau seluruh sistem bagian mesin yang bergerak beroskilasi dalam satu #asa dengan satu #rekue #rekuens nsi, i, keada keadaan an gerak gerakan an sepert sepertii itu diseb disebut ut modu modus s norma normall (norma (normall mode mode)) atau modus prinsipal getaran (principal mode of vibration).
KOORDINAT PRINSIPAL (PRINCIPA (PRINCI PAL L COORDINAT COORDI NATES) ES) dakalanya dakalanya diperoleh koordinat khusus sedemikian sedemikian rupa sehingga sehingga tiap persa persamaa maan n gerak gerakan an meng mengan andu dung ng hany hanya a satu satu harga harga yang yang tidak tidak diketa diketahu hui. i. /alu /alu
persamaan0gerakan persamaan0gerakan satu sama lain dapat diselesaikan diselesaikan secara bebas. (oordinat khusus seperti itu disebut koordinat prinsipal (principal coordinates
KOORDINATE KOUPLING (COORDINATE COUPLING) (onsep ini merupakan konsep gerakan koupling di mana getaran salah satu bagian sistem menyebabkan bagian lain dalam sistem yang sama bergetar akibat gaya yang yang ditr ditran ansm smii-si sika kan n mela melalu luii pega pegas s koup koupli ling ng dan dan dash dashpo pot. t. Deng Dengan an kata kata lain lain,, perpindahan salah satu massa akan dirasakan oleh massa lain dalam sistem yang sama karena keduanya dikopel. da dua tipe koupling : koupling statis yang diakibatkan oleh perpindahan statis, dan koupling dina!mis yang diakibatkan oleh gaya inersia.
PERSAMAAN LAGRANGE ersamaan /agrange, untuk koordinat umum qt dalam bentuk dasar, adalah
dimana
(.. 3 energi kinetis sistem 3
.. 3 energi potensial sistem 3 1"2kx 2 D.. 3 energi terbuang sistem 3 1#"2cx 2 $i % gaya luar umum yang bekerja pada sistem.
*ntuk sistem konserati#, persamaan /agrange bisa dituliskan seperti
dimana & % (.. - .. .. disebut /agrangian.
enggunaan enggunaan persamaan /agrange /agrange secara langsung akan menghasilkan menghasilkan persamaan persamaan gerakan sebanyak jumlah derajat kebebasan sistem bila dasar pernyataan energi sistem diketahui.
PENERAP GETARAN DINAMIS enyerap enyerap getaran dinamis adalah sistem satu-derajat-kebe satu-derajat-kebebasan basan sederhana, biasanya biasanya dalam bentuk sistem massa-pegas massa-pegas sederhana. !ila ditambahkan ditambahkan ke sistem
satu-derajat-ke-bebasan yang lain sebagai sistem pembantu, keseluruhan sistem akan berubah bentuk men-jadi dua-derajat-kebebasan dua-derajat-kebebasan dengan dua buah #rekuensi pribadi getaran. Salah satu dari #re-kuensi pribadi dibuat di atas #rekuensi eksitasi sedangkan yang lain dibuat di bawahnya sehingga massa utama dari keseluruhan sistem akan mempunyai amplitudo getaran yang sangat kecil alih-alih amplitudo yang sangat besar akibat eksitasi yang diberikan.
PRINSIP KETEGAKLURUSAN (ORT!OGONALIT PRINCIPLE) 4odu 4odus s prins prinsipa ipall getar getaran an sistem sistem yang yang mempu mempuny nyai ai dua dua atau atau lebih lebih deraj derajat at kebeb kebebas asan an adala adalah h tegak tegak lurus. lurus. rinsi rinsip p ini diken dikenal al deng dengan an prinsi prinsip p kete ketega gaklu klurus rusan an %orthogo %orthogonali nality ty principl principle'. e'. Si#at Si#at penting penting modus modus prinsipa prinsipall yaitu yaitu getaran getaran satu satu sama lain saling tegak lurus yang sangat berguna untuk menghitung #rekuensi pribadi. 4eskipun modus prinsipal sistem dengan lebih dari tiga derajat kebebasan secara har#iah tidak boleh tegak lurus ke yang lain-nya, prinsip ketegaklurusan masih berlaku.
rinsip ketegaklurusan sistem dua derajat kebebasan bisa ditulis menjadi :
m1 ' ' ' l 2 5 m2!1!2
3
6
di mana 'l , '2 , ,l , ,2 , adalah adalah amplitud amplitudo o dua buah buah koordina koordinatt modus modus getaran getaran pertama pertama danke dua.
SISTEM SEMI"TERTENTU (SEMI"DE#INITE SSTEMS) (adang-kadang, (adang-kadang, bila salah satu akar persamaan #rekuensi sistem getaran sama dengan dengan nol, hal ini menunju menunjukkan kkan bahwa salah satu #rekuensi #rekuensi pribadi pribadi sistem sama dengan nol. Sistem seperti itu dikenal dengan sistem semi-tertentu. Secara sederhana hal hal ini ini bera berart rtii bahw bahwa a sist sistem em akan akan berg berger erak ak sepe sepert rtii bend benda a kaku kaku tanp tanpa a adan adanya ya penyimpangan pegas dan dashpots yang menghubungkan bagian-bagian dari sistem.
7.1. ersamaan Gerak 8ukum 9ewton . Gambar.7.1 memperlihatkan sistem dua derajat kebebasan yg dpt diturunkan dengan menggunakan hk 9ewton untuk setiap indiidu massa.
Gambar 7.1. Sistem Dua Derajat (ebebasan
ssumsikan peredam peredam adalah iscous dan displacement displacement nya adalah adalah $ 1%t' dan $2%t' diukur dari posisi keseimbangan keseimbangan kedua massa.Dari massa.Dari !D dpt dihitung jumlah jumlah gaya 2 dalam arah sumbu ertical:
= − k 1 x1 − k ( x1 − x 2 ) − c1 x 1 − c( x 1 − x 2 ) + F 1 (t ) 2 = − k 2 x 2 − k ( x 2 − x1 ) − c 2 x 2 − c( x 2 − x 1 ) + F (t ) m2 x 1 m1 x
yg dapat diatur kembali:
+ (c + c1 ) x 1 + (k + k 1 ) x1 − c x 2 − kx2 = F 1 (t ) 2 + (c + c 2 ) x 2 + ( k + k 2 ) x 2 − c x 1 − kx1 = F 2 (t ).....( 4.1) m 2 x 1 m1 x
(edua gerakan tsb saling mempengaruhi satu sama lain,yaitu gerak $ 1%t' dari massa m1dipengaruhi oleh $ 2%t' dari massa2 dan sebaliknya. +erm kopel dalam pers.%7.1.' pertama adalah adalah
−
(c x 1
+
kx1 ) .
Dalam bentuk matri$ pers.%7.1' ditulis:
− (c x 2 + kx 2 ) dan dalam pers.%7.1' kedua
m1.0x c+1.−xk1. x F1(t)
+ .= (4.2) 0.m2x c+2x−k. 2xF2(t)
atau :
} M { x
+
C { x } + K { x}
=
{ F (t )}........(4.3)
4atri$ 2 $ 2 : 43mass matri$,;3damping matri$,dan ( sti##ness matri$. 4atri$ 2 $ 1 : { x}
=
displ .vector ..{ x }
=
} vel .vector ..{ x
=
acc.vector .
Dan matri$ 2 $ 1 { F (t )} 3#orce ector.
!entuk umum pers.gerak untuk sistem dua derajat kebebasan,yaitu:
m 1 . 2 q c1 2 k 1 . 2 q Q 1 ( t ) + =.(4) m21.qc21k21.qQ2(t)
atau:
} + C { q } + K { q} M { q
= {Q(t )}......( 4.5)
ers.%7. ers.%7.<' <' juga menyataka menyatakan n gerak gerak bagi sistem sistem n derajat derajat kebebasan kebebasan bila 4,;,dan 4,;,dan ( adalah order ke n,yaitu: M
=
mij ,..C = c ij ,.. K
=
k ij .....( 4.6)
i , j. : 1, 2,3,...., n.
Generali=ed coordinates { q} ,dan ector generali=ed #orce { Q (t )} adalah:
{ q} = { q1 ....q n }.....( 4.7 ) { Q (t )} = { Q1 (t )....Qn (t )}......( 4.8) 7.2. *ndamped ree >ibration: rincipal 4odes Dalam kasus ini akan dibahasa, Gambar.7.2.: 1. 4etoda 4etoda bagi bagi perhitu perhitunga ngan n #re?uen #re?uency cy natura naturall 2. mode i ibras rasi
Gambar.7.2.4ode >ibrasi
Dengan tidak adanya damping,pers.7.2.menjadi:
xm1.0 1 k+ x1.−k 1 0
+ =.(49) x0. m2 −k x. +k2 0
(arena pers.tsb adalah linear dan homogeneous,maka solusinya dapat diekpresikan sbg:
x1
=
B1 e st
x 2
=
B 2 e st .........( 4.10 )
B1 , B 2 , s : kons tan ta.
sumsikan ,satu ,satu dari komponen komponen harmoniknya harmoniknya : x1
=
A1 sin(ω t + ψ )
x 2
=
A2 sin(ω t + ψ )......( 4.11)
A1 , A2 ,ψ : cons tan t . Substitusikan pers.7.11 kedalam 7.@,dan membaginya dengan #aktor:sin% ωt5ψ ',didapat: ',didapat: ( k + k 1
− ω 2 m1 ) A1 − kA2 = 0 − kA1 + (k + k 2 − ω 2 m2 ) A2 = 0.......(4.12)
pers.7.12 adalah homogenous homogenous linear dalam 1 dan 2.Determinan ∆%ω' dari koe#isien 1 dan 2 disebut characteristic determinant,yg determinant,yg bila nilainya disamakan dengan nol,didapat persamaan #rekuensi dari sistem tsb yg kemudian didapat nilai ω yaitu:
∆(ω ) =
2 k + k 1 − ω m1
. . . . − k 2 k + k 2 − ω m2
− k . . . . . . . . . .
= 0. . (4.13)
Dari sini kita dapatkan: ω
4
k + k 1 k + k 2 2 k 1k 2 + k 1k + k 2 k − + = 0.....( 4.14) ω + m m m m 1 2 1 2
8arga ω dari pers.7.17 adalah ±ω1 dan ±ω2 dan kita ambil nilai yang positi#.Dan dengan superposition,solusi pers.7.11:
x1A A12 = sin(ω1t+ψ) sin(ω2t+ψ).415 x2A1 A2 Subscrip Subscriptt menunjuk menunjukkan kan sebagai sebagai contoh, contoh,yait yaitu u 12 adala adalah h amplit amplitud udo o dari dari $ 1%t' pada pada #rekuensi ω3ω2. Dengan mensubstitusikan A11 A21 A12 A22
k =
k + k 1
2 − ω 1 m1
=
k =
k + k 1
2 − ω 2 m1
=
dan..ω 2 kedalam pers.7.12, didapatkan:
ω 1 ..
k + k 2
2 − ω 1 m 2
k k + k 2
2 − ω 2 m 2
k
=
=
u11 u 21 u12 u 22
≅
≅
1 u1
1 u2
....(4.16)
dimana u adalah konstanta yg menentukan relatie amplitudo pada masing 2 #rekuensi natural ω1 dan ω2. +hus,pers.7.1< menjadi:
x11 1 = A1sin(ωt+ψ1)A2sin(ωt+ψ2).417 x2u1 u2 disini: A11 , A12 ,ψ 1 ,ψ 2 :konstanta integrasi yg ditentukan berdasarkan kondisi awal. rinsipa rinsipall atau atau natural natural mode terjadi terjadi bila semua sistem sistem menjadi menjadi synchroni synchronisasi sasi
gerak gerak
harmonik pada satu #rekuensi natural seperti dalam Gambar.7.2%b'.Sbg contoh ,mode pertama terjadi bila 1236 dalam pers.7.1A,yaitu:
x1 1 A = 1sin(ω1t+ψ 1) x 2 u1
u1 x{ }= p 1(t)≅ pu p{u}1 1(t). (4.18) u21
atau
disini: { u } 1 :diseb :disebut ut moda modall ecto ectorr atau atau eigen eigene ecto ctor. r. 8arga 8arga
p1 (t )
= A11 sin(ω 1t + ψ 1 )
adalah harmonik. nalog ,mode ,mode kedua kedua %2 nd mode' terjadi bila 11 dlm pers.7.1A sama dengan nol,yaitu:
x11 u12 p=A12sin(ωt+ψ).au{x}=2(t≅u).419 x2u u2 { u} 2 :2nd mode dari modal ector. ungsi harmonik dari gerak $ 1%t' dan$2%t' dalam pers.7.1A dapat diekpresikan sbb:
x1 A1. 1sin(ω1t+ψ 1) pu1. 121(t) = ≅ . (420) x2 Au1. 212sin(ω2t+ψ 2) pu21. 22(t) atu: x p{}=[u]{ }. (4.21) dan modal matri$ [ u ] adalah:
u1. u12 1. 1 [ u] = = u 21. u2 u1.u2 [u]=[uij]=[{u}1u2]. (4.2) disini: p1 (t )
= A11 sin(ω 1t + ψ 1 )..dan.. p2 (t ) = A12 sin(ω 2 t + ψ 2 )
dan { p} disebut principal koordinat. 4odal matri$
[u] i , j
= =
[{ u} 1 ...{ u} 2 .......{ u} n ]
=
u ij ......( 4.23)
1, 2,....., n.
;ontoh: 1./ihat
{ x (0)}
Gambar.7-2%a',bila =
{1...0}..dan...{ x (0)}
displacement { x} sistem tsb.
$a%ab&
=
m13m23m
{ 0....0} ,hi ,hitun tunglah lah
dan
k13k23k,kondisi
#re #rekue kuensi
natural ral
dan
awal ec ector tor
9ama : dity ditya a 4andra 4andra ang angestu estu 94
: 267122)B
(elas : ) );61
Sumber: PENGEM-ANGAN -A!AN A$AR"UMDr' Ir' Abu Abu !ami !ami M'En*+ M'En*+ Getaran Me,anis+ Me,anis+ PUSAT PENGEM-ANGAN AN MEKANIS
