Sistem Dua Derajat Kebebasan

SISTEM DUA DERAJAT KEBEBASAN

PENDAHULUAN Sistem dua derajat kebebasan yang membutuhkan dua buah koordinat bebas untuk  menentukan menentukan kedudukann kedudukannya ya disebut disebut sistem dua-derajatdua-derajat-kebeba kebebasan. san. Sistem dua derajat kebebasan dibagi atas tiga sistem yaitu :

1. Daam Daam sistem sistem massa massa !egas !egas se!er se!erti ti teri terihat hat daam daam "amba "ambarr #-1 #-1 di ba$a ba$ah h ini% ini% bia bia gerakan massa ml  dan m2 se&ara 'ertika dibatasi maka !aing sedikit dibutuhkan satu koordinat x(t) koordinat x(t) guna guna menent menentuka ukan n kedudu kedudukan kan massa massa !ada !ada berbag berbagai ai $aktu. $aktu. (erarti (erarti sistem membutuhkan dua buah kordinat bersama-sama untuk menentukan kedudukan massa sistem ini adaah sistem dua derajat kebebasan. #. (ia ma massa m ditum! ditum!u u dengan dengan dua buah buah !egas !egas yang yang sama se!erti se!erti teriha terihatt daam daam "ambar #-# di ba$ah ini gerakannya dibatasi se&ara 'ertika% maka dibutuhkan dua  buah kordinat untuk menentukan kon)igurasi sistem. Saah satu kon)igurasi ini meru!akan !er!indahan urus% se!erti !er!indahan massa *+,. oordinat yang ain yaitu !er!in-dahan sudut% 8(t), yang mengukur rotasi massa. e dua koordinat ini satu sama ain bebas oeh karena itu sistem ini adaah sistem dua derajat kebebasan. 3. Untuk !enduum !enduum ganda se!erti terihat daam "ambar #-/ di ba$ah ini% jeas bah$a untuk menentukan !osisi massa m1 dan m # !ada berbagai $aktu dibutuhkan dua buah koor koordi dina natt dan dan sistem sistem ada adaah ah dua dua deraj derajat at kebe kebeba basan san.. 0eta!i ta!i *1 dan dan *# atau atau y1 dan y#%atau 1 dan  #% mungkin meru!akan keom!ok koordinat sistem ini .

223D4NA0 U5U5 +"ENE3AL46ED 7223D4NA0ES

Se!erti yang dibi&arakan sebeumnya% adakaanya masih mungkin menentukan kon)igurasi sistem dengan ebih dari satu keom!ok koordinat bebas atau !arameter se!erti  !anjang% sudut% atau bebera!a !arameter )isik ainnya setia! keom!ok koordinat se!erti itu disebut koordinat umum +generai8ed &oordinates.

52DUS N235AL +N235AL 52DES Ada dua buah !ersamaan gerakan untuk sistem dua derajat kebebasan% satu untuk  masing-masing massa. Sebagai hasinya% ada dua buah )rekuensi !ribadi untuk sistem dua derajat kebebasan.

9rekuensi

!ribadi

di!eroeh

dengan

menyeesaikan!ersamaan

)rekuensi (frequency equation) sistem tan!a !eredam atau !ersamaan karakteristik sistem dengan !eredam. (ia massa sistem beroskiasi sedemikian ru!a hingga men&a!ai !er!indahan maksimum se&ara serem!ak dan mee$ati titik keseimbangan se&ara serem!ak% atau seuruh sistem bagian mesin yang bergerak beroskiasi daam satu )asa dengan satu )rekuensi% keadaan

gerakan

se!erti

itu

disebut modus

norma (normal

mode) ataumodus

 !rinsi!a getaran (principal mode of vibration).

223D4NA0 P34NS4PAL +P34N74PAL 7223D4NA0ES Adakaanya di!eroeh koordinat khusus sedemikian ru!a sehingga tia! !ersamaan gerakan mengandung hanya satu harga yang tidak diketahui. Lau !ersamaan gerakan satu sama ain da!at diseesaikan se&ara bebas. oordinat khusus se!erti itu disebut koordinat  !rinsi!a (principal coordinates).

223D4NA0E 2UPL4N" +7223D4NA0E 72UPL4N" onse! ini meru!akan konse! gerakan kou!ing di mana getaran saah satu bagian sistem menyebabkan bagian ain daam sistem yang sama bergetar akibat gaya yang ditransmisikan meaui !egas kou!ing dan dash!ot. Dengan kata ain% !er!indahan saah satu massa akan dirasakan oeh massa ain daam sistem yang sama karena keduanya diko!e. Ada dua ti!e kou!ing : koupling statis yang diakibatkan oeh !er!indahan statis% dan kou!ing dinamis yang diakibatkan oeh gaya inersia.



PE3SA5AAN LA"3AN"E

Persamaan Lagrange% untuk koordinat umum qt  daam bentuk dasar% adaah se!erti di  ba$ah ini :

Dimana : .E.  energi kinetis sistem P.E.  energi !otensia sistem  12kx2 D.E.  energi terbuang sistem  1!2cx2 "i # gaya uar umum yang bekerja !ada sistem Untuk sistem konser'ati)% !ersamaan Lagrange bisa dituiskan se!erti di ba$ah ini :

Dimana : L  .E. - P.E. disebut Lagrangian.

Penggunaan persamaan Lagrange secara langsung akan menghasilkan persamaan gerakan sebanyak jumlah derajat kebebasan sistem bila dasar pernyataan energi sistem diketahui.



PEN;E3AP "E0A3AN D4NA54S Penyera! getaran dinamis adaah sistem satu-derajat-kebebasan sederhana% biasanya

daam

bentuk

sistem

massa !egas

sederhana.

(ia

ditambahkan

ke

sistem

satu derajat kebebasan yang ain sebagai sistem !embantu% keseuruhan sistem akan berubah  bentuk menjadi dua derajat kebebasan dengan dua buah )rekuensi !ribadi getaran. Saah satu dari )rekuensi !ribadi dibuat di atas )rekuensi eksitasi sedangkan yang ain dibuat di  ba$ahnya sehingga massa utama dari keseuruhan sistem akan mem!unyai am!itudo getaran yang sangat ke&i aih-aih am!itudo yang sangat besar akibat eksitasi yang diberikan. 

P34NS4P E0E"ALU3USAN +230H2"2NAL40; P34N74PLE 5odus !rinsi!a getaran sistem yang mem!unyai dua derajat kebebasan adaah tegak 

urus. Prinsi! ini dikena dengan !rinsi! ketegak urusan +orthogonaity !rin&i!e. Si)at  !enting modus !rinsi!a yaitu getaran satu sama ain saing tegak urus yang sangat berguna untuk menghitung )rekuensi !ribadi. 5eski!un modus !rinsi!a sistem dengan ebih dari tiga

derajat kebebasan se&ara har)iah tidak boeh tegak urus ke yang ainnya% !rinsi! ketegakurusan masih beraku.

Prinsi! ketegakurusan sistem dua derajat kebebasan bisa dituis menjadi : m1 $l $2 % m2 &1 &2 # ' di mana  $ ,l  $2 ,& ,& l  2 % adaah am!itudo dua buah koordinat modus getaran !ertama dan ke dua.



S4S0E5 SE54-0E30EN0U +SE54-DE94N40E S;S0E5S adang-kadang% bia saah satu akar !ersamaan )rekuensi sistem getaran sama dengan

no% ha ini menunjukkan bah$a saah satu )rekuensi !ribadi sistem sama dengan no. Sistem se!erti itu dikena dengan sistem semi tertentu. Se&ara sederhana ha ini berarti bah$a sistem akan bergerak se!erti benda kaku tan!a adanya !enyim!angan !egas dan dash!ots yang menghubungkan bagian-bagian dari sistem.