PARA RECORDAR....
EJERCICIOS DE DERIVADA DE FUNCIONES Por. Ana Dulcelina López Rueda En su interpretación geométrica tenemos que la función derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en un punto. La función derivada de y=f(x) se denota por f'(x), dy/dx, y'. Para hallar la función derivada se aplican reglas que a su vez generan nuevas funciones. Ejemplo: a) Si f(x)= x4-3x2+5x-2 f'(x)= 4x3-6x+5 b) Si f(x) = 9x5+4x3+8x²-1 hallar f'(2). Así f'(x)=45x4+12x²+16x f'(2) = 45*16 + 12*4 + 16*2 = 800 c) Hallar la ecuación ecuación de la recta tangente tangente a f(x)= 6x3-5x²+11 en el punto P(1,y) ¿Qué se requiere? Como la ecuación de la recta es y-y0 = m(x-x0) hay que hallar la pendiente m y P(x0, y0). P(1,f(1)) = (1, 12) f'(x) = 18x² - 10x f'(1) = 18-10 = 8=m Reemplazando; y - 12 = 8(x-1) y-12 = 8x-8 y = 8x+4
Ejercicios: 1. Calcular por definición definición la derivada de: a) La función función contante contante f(x) = k f ' ( x) lim lim
x 0
f ( x x) f ( x) x
f ' ( x)
lim lim
x 0
k k x
lim lim 0 0
x 0
La derivada de la función constante es 0. Recordamos que la gráfica de la función constante es una recta paralela al eje X. Esta no tiene pendiente, es decir m=0.
b) La función idéntica f(x) = x f ' ( x) lim
f ( x x) f ( x) x
x 0
f ' ( x)
( x x) x
lim
x
x 0
lim
x 0
x
1
x
La derivada de la función idéntica es 1. En este caso, la gráfica de la función idéntica es una recta que hace un ángulo de 45° con el eje horizontal. Por lo tanto, su pendiente es 1. c) La función f(x)=x² f ' ( x) lim
f ( x x) f ( x) x
x 0
f ' ( x) lim
x 0
x(2 x x) x
f ' ( x)
lim
( x x)² x²
x
x 0
x ² 2 x( x) ( x)²
lim
x 0
x
lim (2 x x) 2 x
x 0
La pendiente de la recta tangente a f(x)=x² en cualquier punto es de la forma 2x. d) La función f(x)=x³ f ' ( x) lim
x 0
f ' ( x) lim
f ( x x) f ( x) x
f ' ( x)
x(3 x ² 3 x x ( x)²) x
x 0
e) La función: f ( x)
lim
x0
( x x)
3
x ³
x
x 0
lim
x³ 3 x²( x) 3 x( x)² ( x)³ x³ x
x 0
lim (3 x² 3 x x ( x)²) 3 x²
x 0
3 x 5 2 x 1 3( x x) 5
f ' ( x) lim
f ( x x) f ( x) x
f ' ( x )
lim
2( x x) 1
3 x 5 2 x 1
x
x 0
[3( x x) 5](2 x 1) (3 x 5)[2( x x) 1] lim
x 0
2( x x) 1(2 x 1) x
lim
x 0
[3 x 3 x 5](2 x 1) (3 x 5)[2 x 2 x 1]
2( x x) 1(2 x 1)
x
Haciendo las operaciones respectivas, queda:
lim
[3 x 3 x 5](2 x 1) (3 x 5)[2 x 2 x 1]
2( x x) 1(2 x 1)
x
x 0
f ' ( x) lim
x 0
7
2( x x) 1(2 x 1)
x
lim
x 0
7
2( x x) 1(2 x 1)
7
(2 x 1)²
2. Calcular la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas para derivar funciones. a) f(x) = x³ - x² + x - 4 Se aplican las siguientes reglas: -
Derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las respectivas funciones. Derivada de una potencia n de x es igual al exponente por la base elevada a la n-1 Derivada de la función idéntica es 1 Derivada de la función constante es 0.
Por lo tanto, f'(x) = 3x²-2x+x-4 b) f(x) = x Es la potencia 1/2 de x. Se aplica la derivada de la función potencia f'(x) = (½)x-1/2 f'(x)=
1 2
x
c) f(x) = 7x³ - 6x² + 5x - 8x¾ - 1 f'(x) = 21x² - 12x +5 - 6x-¼
d) La función: f ( x)
3 x 5 2 x 1
f ' ( x)
(2 x 1) * 3 (3 x 5) * 2
2 x 1²
f ' ( x)
6 x 3 6 x 10
2 x 1²
2
1 1 e) La función: f ( x) x x x x
f ' ( x)
7
2 x 1²
2
La expresión se simplifica significativamente si antes de calcular la derivada resolvemos las potencias de los binomios y después la resta indicada. 2 2 1 1 1 1 f ( x) x 2 x * x 2 x * x x x x
2
2
1 1 1 x 2 x * f ( x) 4 f ' ( x) 0 f ( x) x 2 x * x x x x 1
7
f) Para la función: dy dx
dy du
*
du dx
y
dy dx
u3;
7 3
u
5x³ - 7x²
9 ; hallar dy/dx
4
u 3 (15 x ² 14 x)
dy dx
7 3
4
(5 x ³ 7 x ² 9) 3 (15 x ² 14 x)
Esta es la regla de la cadena, la cual también se aplica en los ejercicios que aparecen a continuación.
g) La función: f ( x) 2 x ³ 5 x ² 3x 8
4
f ' ( x) 42 x³ 5 x ² 3 x 8 6 x² 10x 3 3
Se aplicó la regla de la cadena de tal modo que se derivó la potencia y se multiplicó por la derivada interna, en este caso: 6x²-10x+3 h) La función: f ( x) x 5 7 x³ 6 x² 9 x 4 Se deriva el producto teniendo en cuenta que uno de sus factores es a su vez una función compuesta.
1
f ' ( x) x 5 *
2 7 x ³ 6 x ² 9 x 4
f ' ( x)
21 x 7
12 x 6
9 x 5
21 x² 12 x 9
7 x ³ 6 x² 9 x 4 * 5x 4
10 x 4 (7 x ³ 6 x ² 9 x 4)
2 7 x ³ 6 x ² 9 x 4
f ' ( x)
f ' ( x)
21 x 7
12 x 6
9 x 5
70 x 7
60 x 6
90 x 5
40 x 4
2 7 x ³ 6 x ² 9 x 4 91 x 7
72 x 6
99 x 5
40 x 4
2 7 x ³ 6 x ² 9 x 4
i) La función: f ( x) e 5 x ln(3 x³ 7 x 2) f ' ( x) e 5 x
f ' ( x)
1 3 x³ 7 x 2
e 5 x (9 x ² 7) 3 x ³ 7 x 2
* (9 x ² 7) ln(3 x³ 7 x 2)e 5 x * 5
5e 5 x ln(3 x ³ 7 x 2)
j) Encontrar y4 si y= xex y' = xex + ex y''= xex + ex + ex = xex + 2ex y'''= xex + ex+ 2ex = xex + 3ex yIv= xex + ex + 3ex = xex + 4ex 3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función y=f(x) en el punto dado: y= f(x) = 7x4 - 6x³ + 9x² - 8x + 5; P(1,y) f'(x)= 28x³-18x²+18x-8 f'(1)= 28-18+18-8 f'(x) = 20 Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es m=20. La ecuación de la recta cuando se conoce la pendiente y un punto es: y-y0 = m(x-x0); m=20 y P(1, 7) y=f(1)= 7(1)4 - 6(1)³ + 9(1)² - 8(1) + 5=7 Así: y-7 = 20(x-1) y-7 = 20x-20 y= 20x -13
3
3 x 8 2 4. Encontrar f'(0), f'(-2) para la función: f ( x) 2 x ² 1 1
1
3 x 8 2 6 x ² 3 12 x 32 x 3 x 8 (2 x ² 1) * 3 (3 x 8) * 4 x 3 f ' ( x ) 2 (2 x ² 1)² (2 x ² 1)² 2 x ² 1 2 x ² 1 2
f ' ( x) 32
1
3 x 8 2 6 x ² 44 x 3 3
f ' ( x) 2
2 x ² 1
f ' (0)
3 2
(2 x ² 1)²
1
82 * 3
f ' (0) 9 2 1
1
3(2) 8 6(2)² 44(2) 3 115 2 2 2 24 88 3 f ' (2) 32 f ' (2) (2(2)² 1)² (8 1)² 162 9 2(2)² 1 2
f ' (2) 32
La derivada también significa una razón de cambio de una variable con respecto a otra. Revisemos algunos conceptos: 1. Incremento de x. Se denota por x y se define como el cambio en el valor de x de un primer valor a un segundo valor. 2. Tasa de cambio promedio de una función sobre un intervalo de x a x+x. Se denota por: y/x= [f(x+x)-f(x)]/x. Ejemplo: costo promedio por artículo C/x 3. Tasa de cambio instantánea de una función. Es: Lim
y
dy
x dx
x
4. C(x)/x: costo promedio por unidad producida de ciertos artículos. 5. d/dx[C(x)/x]: costo promedio marginal. Es el incremento en el costo promedio por artículo por cada incremento de una unidad en la cantidad producida. Ejemplo: Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está dado por: C(x)=0,001x3 - 0,3x²+40x+1000. a. El incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60 unidades es:
C = C(60)-C(50) = 2536-2375 = 161 b. El costo promedio por unidad adicional de incremento en la producción de 50 a 60 unidades es:
C/x = 161/(60-50) = 161/10 = 16,1
c. El costo promedio de producir x artículos es: ___
C ( x)
C ( x) x
0,001 x ² 0,3 x 40 1000 / x
d. El costo promedio por unidad adicional de un pequeño incremento en la producción (ó costo marginal) es: C'(x) = 0,003x²-0,6x+40
Ejercicios sobre problemas de optimización Para y=f(x), se realiza el siguiente proceso: 1. Se halla y'=f'(x) 2. Se hallan los valores críticos de f. Para eso se hace f'(x)=0 o f'(x) cuando no existe "esto se hace cuando f' es fraccionaria". 3. Se llevan los valores a un eje numérico y se examina el signo de f'(x) en cada intervalo para determinar las regiones de crecimiento y decrecimiento. De esta misma información se puede obtener cuándo existe un valor máximo y cuándo un valor mínimo. Otra manera de determinar estos valores es a través de la prueba de la segunda derivada 4. Se halla f''(x) y se evalúa en cada valor crítico encontrado. Si f''(x)>0 existe un valor mínimo y si f''(x)<0 existe un valor máximo. Ejemplo: Para la función de costo: C(x)=0,001x3 - 0,3x²+40x+1000. Hallar: i) El costo marginal cuando c = 50 C'(x) = Cmarg(x)=0,003x²-0,6x+40 Cmarg(50)=0,003*50²-0,6*50+40 = 17.5 ii) .Determinar las regiones en que la función de costo marginal es creciente o decreciente: C'(x) = 0 => 0,003x²-0,6x+40=0
x
0,6 0,6² 4 * 0,003 * 40 2 * 0,003
0,6
0,12
0,006
No existe x para el cual C'(x) es 0. De antemano se sabe que no existen valores máximos o mínimos.
Recurrimos a C''(x) = 0,006x-0,6 Si C''(x)=0 x=0,6/0,006 así x=100 Para determinar el crecimiento se prueba en C'(x) C'(100) = 0,003*100² - 0,6*100 +40 C'(100) = 10 como 10>0 entonces C(x) es creciente para x=100. Sin embargo analizando los intervalos: 0100
C'(x)>0, C crece C''(x)<0, C es cóncava hacia abajo C'(x)>0, C crece C''(x)>0, C es cóncava hacia arriba
La gráfica para C(x) es:
EJERCICIOS : CAPÍTULO 11 LIBRO DE ARYA Y LARDNER Ejercicio 11-1. Determinar los incrementos de las funciones siguientes para los intervalos dados Numeral 2.
f(x) = 2x2+3x-5; x=2, ∆x =0,5
Incremento de la variable: x+ ∆x= 2+0,5 → x+ ∆x= 2,5 Incremento de la función: ∆y= f(x+∆x)-f(x) = f(2,5)-f(2) → ∆y= [2*(2,5)2+3*2,5-5] -[2*(2)2+3*2-5] →∆y=15-9 = 6
Numeral 8.
G(t) = 300
5
t 1
; t a t t
Incremento de la variable: t+ ∆t Incremento de la función: ∆G
5 5 300 G G (t t ) G (t ) G 300 t t 1 t 1 G 300
5
300
5
5
G
5
t t 1 t t 1 t 1 t 1 5(t 1) 5t t 1 5t 5 5t 5t 5 5t G t t 1(t 1) t t 1(t 1) t t 1(t 1) Calcular la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado 2
Numeral 12. h(x) =
3 x 1
; x 5, x 0,3
x
La tasa de cambio promedio de la función h sobre el intervalo de 5 a 5+0,3 es: ∆h/ ∆x h / x
h( x x) h( x)
3(5,03) 2
x
1
3(5) 2
5,03
1
5
h / x 16,952 15,2
h / x 1,752
∆y/∆x= [f(x+∆x)-f(x)]/∆x ∆y/∆x= [f(2,5)-f(2)]/∆x → ∆y/∆x= [2*(2,5)2+3*2,5-5]-[2*(2)2+3*2-5] /∆x →∆y/∆x= (15-9)/0,5 ∆y/∆x= 12
Numeral 16. f ( x)
3 2 x 1
; x a x x
La tasa de cambio promedio de la función f sobre el intervalo de x a x+ ∆x es: ∆f/ ∆x f / x
f / x
f ( x x ) f ( x ) x
3
2( x x ) 1
6 x 3 6 x 6 x 3 (2 x 2 x 1)(2 x 1)
f / x
3 2 x 1
f / x
3(2 x 1) 3[2( x x ) 1]
2( x x) 1(2 x 1)
6 x
(2 x 2 x 1)(2 x 1)
Numeral 18. Un fabricante descubre que el costo de producir x artículos está
dado por: C=0,001x³ - 0,3x² + 40x +1000. a) Determinar el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60 El incremento en el costo es: ∆C=C(60)-C(50) ∆C= [0,001(60)³ - 0,3(60)² + 40(60) +1000]- [0,001(50)³ - 0,3(50)² + 40(50) +1000] ∆C= 2536-2375 161 Rta. El incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60 es de 161. b) Calcular el costo promedio por unidad adicional de incremento en la producción de 50 a 60 unidades. El incremento de la variable x es: ∆x=60-50 = 10 El costo o tasa de cambio promedio de la función C sobre el intervalo de 50 a 60 unidades es: ∆C/ ∆x ∆C/∆x = 161/10 16,1 Rta. El costo promedio por unidad adicional de incremento en la producción de 50 a 60 unidades es de 16,1. Numeral 20. Cuando el precio de cierto artículo es igual a p, el número de artículos que pueden venderse por semana (esto es, la demanda) está dada por la fórmula: x =1000/(p+1). a) Determinar el incremento de la demanda cuando el precio se incrementa de $1 a $2,25. x = 1000/p + 1 ∆x= x(2,25) - x(1) ∆x= [1000/2,25 + 1] - [1000/1 + 1] ∆x= [400] - [500] ∆x= -100 Al incrementarse el precio del artículo de $1 a $2,25 la demanda disminuye en 100 unidades. b) Determinar el incremento en el ingreso bruto cuando el precio del artículo se incrementa de $4 a $6,25 La función Ingreso es: I(p) = p*x "precio por unidad". Luego: I(p) = p*1000/(p+1) I(p) = 1000p/(p+1) El incremento en el ingreso bruto cuando el precio del artículo se incrementa de
$4 a $6,25 es de: $452,38 porque: ∆I(p)= I(6,25)-I(4) ∆I(p)= [1000*6,25/(6,25+1)]- [1000*4/(4+1)] ∆I(p)= [1785,71]- [1333,33] ∆I(p)=452,38 c) Calcular el incremento promedio en el ingreso total por dólar de incremento en el precio que ocurre con este incremento en p. El incremento promedio en el ingreso total sobre el intervalo de 4 a 6,25 es: ∆I/∆p el cual es de $201,06 porque: ∆I/∆p= 452,38/2,25 ∆I/∆p= 201.06
5. Resolver los siguientes problemas:
Ejercicio 11-4. Numeral 58. Encontrar todos los puntos en la gráfica de f(x)= x³-5x+2 donde la recta tangente es perpendicular a la recta x+7y+4=0 Si dos rectas son perpendiculares el producto de sus pendientes es ( -1). La recta es de la forma ax+by+c=0, su pendiente es m= -a/b. Entonces: La pendiente de la recta dada es mR= -1/7 como es perpendicular a la recta tangente, la pendiente de la tangente es 7 dado que (-1/7)*7= -1 Para f, f'(x)= 3x²-5 Luego 3x²-5=7 3x²=12, x²=4 x = 2 Para x= 2 f(2) = 8-10+2 f(2) = 0 Para x= -2 f(-2) = -8+10+2 f(-2) = 4 Por lo tanto los puntos de la gráfica de f(x)= x³-5x+2 donde la recta tangente es perpendicular a la recta x+7y+4=0 son P(2,0) y Q(-2,4)
Numeral 60. Una partícula se lanza directamente hacia arriba con una velocidad inicial de 60 pies/seg. Después de t segundos, su altura sobre el nivel del suelo está dada por s= 60t - 16t². Calcular su velocidad instantánea después de t segundos. ¿Qué tiene de especial el instante t=15/8? La velocidad instantánea después de t segundos se denota por ds/dt: ds/dt = 60-32t Si ds/dt = 0 entonces 60-32t=0 Luego: t= 15/8. Significa que a los 15/8 seg la
partícula llega con velocidad cero alcanzando la máxima altura, en ese momento comienza a descender.
Numeral 68. Una enfermedad infecciosa y debilitante se propaga lentamente en una población. El número de individuos infectados después de t meses está dado mediante la fórmula: N(t) = 1000(t3/2 + t²). Encontrar N'(t). Evaluar N(9) y N'(9) e interpretar estos valores. N(t) = 1000(t3/2 + t²) N'(t) = 1000(3/2t1/2 + 2t)
N(9)
= 1000(93/2+81) N'(9) 1000(3/2(9)1/2 + 2*9)
N(9)=108000 N'(9)=22500
En el noveno mes se infectaron 108000 individuos con una tasa de crecimiento en este mes de 22500 individuos.
Ejercicio 11-5. Numeral 16. Si la ecuación de demanda es 10p+x+0,01x² =700 y la función de costo es C(x)=1000+0,01x², evaluar la función de utilidad marginal si: a) x=100; b) p=10 Utilidad= Ingresos menos Costos; Ingresos = precio*unidades Despejando p y dividiendo la ecuación por 10, tenemos: p = 70 - 0,1x - 0,001x² I(x) = (70 - 0,1x - 0,001x²)¨x I(x) = 70x - 0,1x² - 0,001x³ U(x)= (70x - 0,1x² - 0,001x³) - (1000+0,01x²) U(x)= - 0,001x³ - 0,11x² + 70x - 1000 Umarg(x) = U'(x)= -0,003x² - 0,22x + 70 Para x= 100. U'(100)= -0,003(100)² - 0,22(100) + 70 ( U'(x)= 18 Para p=10; se averigua el valor de x a partir de la ecuación de p: 10= 70 - 0,1x - 0,001x² x1=200 y x2= -300
0,001x²+0,1x-60=0 Resolviendo la cuadrática dá
Tenemos en cuenta solamente x=200 U'(200)= -0,003(200)² - 0,22(200) + 70 U'(200) = -94
La utilidad adicional cuando al producir y vender el artículo 100 se sufre un pequeño incremento, es de $18 mientras que en el artículo 200 se tendría ya una pérdida de $94
Ejercicio 11-6 Numeral 12.
Lim x 2
x ²
x
2
x 2
Por definición de valor absoluto:
x
x 2 2 ( x 2)
2 0 x 2 x 2 x 2 0 ( x 2)
si x si
2 x 2
si x si
Por la izquierda de 2, x-2=-(x-2). Luego el límite pedido es: Lim x 2
x²
x
2
( x 2)
0 0
Lim x 2
( x 2)( x 1)
( x 2)
x Lim x 2
1
1
3
Numeral 38. Determinar los valores de x para los cuales la función f(x) = x 2/3 no es diferenciable. Una función f(x) es diferenciable en el punto x si la derivada existe en ese punto. f(x) = x 2/3 f '(x) = 2/3 x diferenciable en x=0.
-1/3
f'(x) no existe cuando x=0. Luego, f no es
Numeral 43. Denotemos con f(x) el costo por semana que una empresa gasta en el contrato de un empleado que trabaja x horas por semana. Este costo consta de (1) un costo fijo de $20, (2) un sueldo de $6 por hora durante las primeras 35 horas, (3) un salario extra de $9 la hora por horas laboradas más allá de las 35 pero sin llegar a las 45 horas y (4) un salario extraordinario de $12 por hora laboradas sobrepasando las 45. Estudiar la continuidad y la diferenciabilidad de f(x). Datos: Costo fijo: 20 Sueldo 6/hora durante las primeras 35 horas Salario extra de 9/hora de trabajo entre 35 y 45 horas Salario extraordinario de 12/hora de trabajo para más de 45 horas Para x 35 horas: 6x+20 Para 3545 horas: (6x+20)+3(x-35)+3(x-45) "3 es el excedente de 12-9"
Por lo tanto:
6 x 20 si 0 x 35 f ( x) 9 x 85 si 35 x 45 12 x 220 si x 45
Ejemplo: Si se trabajan 40 horas. Se le paga el salario fijo más las primeras 35 horas a $6 y las 5 horas extras a 9. Entonces: S = 6*35 + 20 + 9*5 S= 210 + 20 + 45 S = 275 Ahora, 40 está en el intervalo (35,45]. Entonces S= 9*40 - 85 S= 360-85 S=275.
Dónde es f continua? En cada intervalo la función es polinómica, luego es continua en principio en cada intervalo abierto. Miremos en los puntos extremos: Si x = 35, f(35) = 230. El límite cuando x 35 es 230 porque a la izquierda y derecha de 35 vale 230. Como f(35)=L la función es continua en x=35 Si x = 45, f(45) = 320. El límite cuando x 45 es 320 porque a la izquierda y derecha de 45 vale 320. Como f(45)=L la función es continua en x=45 Dónde es f diferenciable?.
6 si 0 x 35 f ' ( x ) 9 si 35 x 45 12 si x 45 En x=35, f'(35-) f'(35+) Luego f no es diferenciable en 35 En x=45, f'(45-) f'(45+) Luego f no es diferenciable en 45 F es diferenciable en los intervalos abiertos (0,35)(35,45) (45,)
Ejercicio 12-2 Numeral 51. La ecuación de demanda del producto de una compañía es 2p+x=300, en donde x unidades pueden venderse a un precio de $p cada una. Si la demanda cambia a una tasa de 2 unidades por año cuando la demanda alcanza 40 unidades, ¿a qué tasa está cambiando el ingreso si la compañía ajusta su precio a la demanda cambiante? I(x) = p(x)*x
Es un problema de regla de la cadena, las variables cambian con respecto a una tercera variable tiempo. dI/dt = dI/dx * dx/dt I(x) = (300-x)/2 * x I(x) = 150x - 0,5x² dI/dt = (150-x)*2 dI/dt (40) = (150-40)*2 dI/dt= 220 El ingreso está cambiando a una tasa de $220 por año cuando la demanda alcanza 40 unidades.
Numeral 54. Se está inflando un balón esférico. Si el radio es de 10 pulgadas y está creciendo a razón de 2 pulgadas cada 5 segundos, ¿con qué razón crece el volumen? El volumen de la esfera es V= 4/3 r³ Según los datos del problema dr= 2/5 pulg/seg Este es un problema de regla de la cadena donde las variables están cambiando con respecto al tiempo. dV/dt = dV/dr * dr/dt dV/dt = 3*4/3 r² * dr/dt dV/dt = 4 r² * dr/dt dV/dt = 4*100pulg² *2/5 pulg/seg dV/dt = 160 pulg³/seg El volumen del balón esférico crece a razón de 502,65 pulg³ por segundo
Ejercicio 12-3 Numeral 82. El porcentaje de abejas que muere durante el invierno de cierto grupo de colmenas es una función de la temperatura promedio. Supongamos que p=100e-0,1e^0,1T donde T es la temperatura (en grados celsius) y p es el porcentaje de abejas muertas. Si T decrece a razón de 2°C por semana, calcular la razón en la cual cambia p cuando T= -10°C dP/dt = dP/dT * dT/dt dP/dt = 100e-0,1e^0,1T(-0,1e0,1T)*0,1 * 2°C/semana dP/dt = 100e-0,1e^0,1(-10)(-0,1e0,1(-10))*0,1 * 2°C/semana dP/dt= -0.709 °C/semana
Rta: p decrece a razón de 0,71 °C/semana cuando T= -10°C y T decrece a razón de 2°C por semana.
EJERCICIO 13.1 Para la función de costo y relación de demanda siguiente determinar las regiones en que a) la función de costo, b) la función de ingreso y c) la función de utilidad son crecientes o decrecientes
Numeral 26. C(x) = 4000 + x²; p=300-2x En regiones de crecimiento f'(x) >0 y en regiones de decrecimiento f'(x) <0 a) C'(x) = 2x 2x=0 x=0 Luego C(x) crece en el intervalo (0,) porque C'(x) >0. Decrece en el intervalo (-,0) porque C'(x) <0. No obstante esta región no tiene sentido en el contexto del problema. b) I(x) = p*x I(x) = (300-2x)*x I(x) = 300x - 2x² I'(x) = 300-4x si I'(x)=0, x=75; I(x) crece en el intervalo (-,75) porque I'(x) >0 y decrece en el intervalo (75, ) porque I'(x) <0. Para el problema se toma que el ingreso aumenta en (0,75) y
d) U(x) = (300x - 2x²) - (400 + x²) U(x) = -4000+300x - 3x²
U'(x) = 300-6x U'(x) = 0 300-6x = 0 Luego x = 50 U(x) crece en (-,50) y decrece de (50, ). Para el problema, U(x) aumenta en el intervalo (0,50) y disminuye en (50, )
Ejercicio sobre aplicaciones de las derivadas en el trazado de gráficas Trazar la gráfica de: f(x) = 3x4 - 4x³ - 12x² a) Se halla f'(x): f'(x) = 12x³ - 12x² - 24x b) Se hallan los puntos críticos: f'(x) = 0 12x³-12x²-24x=0 12x(x²-x-2)=0 12x(x-2)(x+1)=0 12x= 0 (x-2)=0 (x+1)=0 x=0, x= 2, x= -1. 0, 2, -1 pertenecen al dominio de la función que es R. c) Regiones de crecimiento:
Del signo que toma f' en cada intervalo se deducen las forma de crecimiento de la curva de f f crece en (-1,0) (2, ) f decrece en (-,-1) (0,2) d) Valores máximos y mínimos P(-1,-5) mínimo porque f' cambia de menos a más alrededor de -1 Q(0,0) máximo porque f' cambia de más a menos alrededor de 0 R(2,-32) mínimo porque f' cambia de menos a más alrededor de 2. e) Se halla f''(x): f''(x)= 36x²-24x-24 f) Se hallan los valores especiales f''(x)=0
36x²-24x-24=0 3x²-2x-2 =0
x
2
4 24 6
x
1
1,22
x
2
0,55
g) Regiones de concavidad. Del signo que toma f'' en cada intervalo se deducen las forma de crecimiento de la curva de f
f es cóncava hacia arriba en crece en (-,-0.55) (1.22, ) f es cóncava hacia abajo en (-0.55,1.22) h) Puntos de inflexión: T(-0.55,1.22); W(1.22, -18,47) i)
Asíntotas: No hay
j) Gráfica:
Problemas de optimización. En la práctica existen muchas situaciones en las que deseamos maximizar o minimizar cierta cantidad. Se sugiere tener en cuenta los siguientes pasos: 1. Identificar y simbolizar las variables involucradas en el enunciado del problema. 2. Identificar la variable que debe ser maximizada o minimizada. Esta debe expresarse en términos de las otras variables.
3. Expresar la función en términos de una sola variable 4. Hallar los puntos críticos y determinar cuál o cuáles dan respuesta a la pregunta de problema.
Ejercicio 13.5 Numeral 4. Determinar dos números positivos con suma igual a 12 de modo que la suma de sus cubos sea un mínimo. Sean x y y los números positivos. La suma de dos números positivos es 12: x+y = 12 y=12-x La suma de cubos se ha de minimizar: S= x³+y³ S= x³+(12-x)³ Se halla la función derivada dS/dx = 3x² + 3(12-x)²(-1) dS/dx = 3x² - 3(144-24x+x²) dS/dx = 72x-432 Se hallan los puntos críticos: dS/dx = 0 72x-432=0 Luego x = 6 Prueba de la segunda derivada: dS²/dx² = 72 como 72>0 entonces existe un mínimo. Los números positivos cuya suma es 12 y la suma de sus cubos es mínima son x=6, y=6
Numeral 8. Un granjero desea delimitar una parcela rectangular de área 900 m². La cerca tiene un costo de $15 por metro. ¿Cuáles deberían ser las dimensiones de la parcela de modo que se minimice el costo del cercado?. Area del rectángulo: xy = 900 y= 900/x Perímetro 2x+2y
Y X
Costo de la cerca = 15(2x+2y) C = 30x + 30y C = 30x + 30 (900/x) dC/dx = 30 + 2700*(-1/x²) dC/dx =0 30 + 2700*(-1/x²) = 0 30x²-2700 = 0 x² =900 Luego x=30 El rectángulo es un cuadrado de 30 m de lado.
Numeral 10. Un folleto impreso ha de contener 48 pulg² de espacio impreso
xy= 48
3
A = (x+2)(y+6) A = (x+2)(48/x + 6) A = [6x²+60x+96]/x
1 X Y
con márgenes de 3 pulg en la parte superior e inferior y márgenes laterales de 1 pulg. ¿Qué dimensiones del folleto consumirán la mínima cantidad de papel? dA/dx=
x
(12 x 60) (6 x² 60 x 96) x
²
dA/dx=0
6x² = 96 x² = 16 Luego x = 4 y = 48/4 = 12 Así las dimensiones del folleto deben ser: ancho: 4+2=6 y largo: 12+6 = 18
Numeral 22. Una compañía advierte que puede vender toda la existencia de cierto producto que elabora a una tasa de $2 por unidad. Si estima la función de costo del producto como (1000 + ½(x/50)²) dólares por x unidades producidas: a) Encontrar una expresión para la utilidad total si se producen y venden x unidades b) Determinar el número de unidades producidas que maximizarían la utilidad c) ¿Cuál es la cantidad de utilidad máxima? d) ¿Cuál sería la utilidad si se produjeran 6000 unidades? Función ingreso: 2x Función de costo: 1000 + ½(x/50)² a) Función utilidad: U(x) = 2x - (1000 + ½(x/50)²) b) U'(x) = 2 - x/2500 U'(x) = (5000-x)/2500 Hacemos U'(x) = 0 x = 5000 El número de unidades producidas que maximizan la utilidad es de 5000 unidades. c) U(5000) = 2*5000 - (1000 + ½(5000/50)²) U(5000) = 4000 La utilidad máxima es de $4000 y se obtiene cuando se producen 5000 unidades. d) U(6000) = 2*6000 - (1000 + ½(6000/50)²) U(6000) = 3800 La utilidad cuando se producen 6000 unidades es de $3800.
