CAPÍTULO 3
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Y APLICACIONES CASO DE ESTUDIO: CAMPAÑA DE NAVIDAD El gerente de GRANDES ALMACENES DEL PERÚ. SAC para campaña de navidad 2012, decide presentar al directorio un proyecto de fabricación de 20 000 muñecas. Para la ejecución de este proyecto la empresa necesita: 20 trabajadores con un sueldo de 2250 u.m/hora cada uno de ellos. Maquinas especiales que tienen un costo unitario de 1 125 000 u.m. y que pueden fabricar, cada una de ellas, 50 muñecas por hora. Materia prima con un costo de 21 000 000 u.m. Un estudio de mercado realizado recomienda que el precio de venta de cada muñeca debe tener un precio unitario de 2500 u.m. Para aprobar el proyecto el directorio solicita que el gerente presente en forma detallada lo siguiente: a) Los ingresos totales, la función de costos y la función utilidad en función del número de maquinas suponiendo que todo lo que se produce se vende. b) El número de máquinas a adquirir para maximizar los beneficios anteriores. c) El beneficio máximo a obtener. ¿Podrías ayudarlo?, vamos ¡inténtalo¡ Si el beneficio máximo es superior a 15 000 000 U.m el proyecto será aprobado ¿Aprobaran el proyecto de la campaña navideña 2012?
1
En el mundo real los procesos económicos, físicos, demográficos etc, se desarrollan en el tiempo, por lo que es de interés natural estudiar su tasa de cambio respecto al tiempo. La pendiente de una recta, es una tasa o razón de cambio de la variable “y” respecto de la variable “x”. Por ello, empezaremos este tema dando la siguiente definición.
3.1. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN Punto de acumulación Sea X R . Un punto a R se llama punto de acumulación del conjunto X cuando todo intervalo abierto ]a ,a [ , de centro a , contiene algún punto x X diferente de a . Es deir:
]a ,a [X
Definición Sea f : X R R y a un punto de acumulación de X. Diremos que f es derivable en el punto a cuando existe el límite
f(x) f(a) f(a h) f(h) lim x a x a h0 h
f´(a) lim
f´(a) se llama la derivada de la función f en el punto a . Definición Cuando la función f :I R R posee derivada para cada punto del intervalo I , se considera la función derivada f':I R R , que asocia a cada x I la derivada f'(x) . Es decir:
f(x h) f(x) , si el límite existe. h0 h
f´(x) lim
La derivada de f respecto a x tiene las siguientes notaciones:
dy ' df , f (x) , (x) , Dx f(x) dx dx Interpretación geométrica de la derivada '
La derivada de una función denotada por f (x) se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva y f(x) en el punto x,f(x) . Sea el punto P x,f(x)
Y
Ls
Q
f (x x) y
f (x)
P Lt
x
x
2
x x
X
Si incrementamos x a x se tiene el punto Q x x,f(x x) . Con los puntos P y Q , se puede conocer la pendiente de la recta secante L s . Es decir:
mQ
y f(x x) f(x) x x
Si fijamos P y hacemos que x se aproxime a cero, entonces el punto Q se aproxima a P y la recta secante L s se aproxima a la recta tangente L t a la curva en el punto P . Tomando el límite se tiene:
y f(x x) f(x) ' lim f (x) x 0 x x 0 x
lim mQ lim
x 0
'
Luego, la pendiente de la recta tangente a la curva es f (x) . Ejemplos 1.
Dada la función f(x) x . Calcula la derivada de la función Solución
f(x h) f(x) (x h) (x) h = lim = lim = 1 h0 h0 h0 h h h
f(x) lim Por lo tanto:
2.
f'(x) (x)' 1
Halle la derivada de f(x) x y calcula después la pendiente de la gráfica de f en los puntos (1,1) y (4,2). Discutir el comportamiento de f en (0,0) Solución Por definición de derivada se tiene
f(x h) f(x) x h x = lim h0 h0 h h
f(x) lim Racionalice el numerador y se tiene
x h x x h x h 1 = lim f(x) lim = lim h0 ( x h x) h0 h x h x h0 h ( x h x) Por lo tanto, aplicando el límite en el denominador se tiene
f'(x)
1 2 x
En el punto (1;1) la pendiente de la recta tangente es f (1)
3
1 2
En el punto (4;2) la pendiente de la recta tangente es f (4)
1 4
En el punto (0;0) la pendiente de la recta tangente no está definida. Es decir la recta tangente en este punto es vertical.
f(x) x
m
Y
1 2
m
1 4
2 1 1
4
X
Recta tangente y Recta normal Recta tangente Dada la función f(x) llamaremos recta tangente a la curva y f(x) en x1 ó a la gráfica de f(x) en el punto x1 ,f(x1 ) a la recta L t que cumple: 1. 2. 3.
L t pasa por x1 ,f(x1 ) ' L t tiene por pendiente f (x1 )
Ecuación de la recta es: '
y f (x1 )(x x1 ) f(x1 ) Recta Normal. Pendiente es:
mLN
1 f'(x1 )
Ecuación de la recta:
y
1 '
f (x1 )
(x x1 ) f(x1 )
Observación Como una recta vertical tiene pendiente infinita, entonces la derivada no puede existir en ningún punto en que la línea tangente sea vertical. La derivada no existe en “esquinas” o vértices. Ejemplo 2
Dada la función f(x) x 2x 3 , obtener las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto P(2;3) . Solución Calculemos la pendiente de la recta tangente: m= f'(x) = 2x–2 m= f'(2) = 2. Luego las ecuaciones son: 4
Recta tangente:
y 3 2(x 2) y 2x 1 0
Recta Normal:
1 y 3 (x 2) x 2y 8 0 2
Derivadas laterales Definición Sea f una función real de variable real. La derivada de f por la derecha en el punto a se define como:
f(a h) f(a) f(x) f(a) ' ó f (a) lim x a h h0 x a
'
f (a) lim
Diremos que la derivada lateral existe, si el límite existe. La derivada de f por la izquierda en el punto a se define como:
f(a h) f(a) h h0
'
'
f (a) lim
f(x) f(a) x a x a
ó f (a) lim
Diremos que la derivada lateral existe, si el límite existe. Teorema Sea f una función real de variable real. Se dice que f'(x) existe si y sólo sí '
'
f (x) f (x); x I
Reglas de la derivada Sean f y g funciones derivables; k, a y b constantes entonces: 1. 2. 3.
kf(x)' kf' (x) af(x) bg(x)' af' (x) bg' (x) f(x).g(x)' f' (x)g(x) f(x)g' (x) '
'
“ Regla del producto”
'
4.
f (x)g(x) f(x)g (x) f(x) g(x) 2 g (x)
5.
(f g) (x) f(g(x)) f (g(x)).g (x) “Regla de la cadena” '
'
'
“ Regla del cociente” '
5
Derivada de algunas funciones especiales Función simple
Derivada
f(x) k
f (x) 0
f(x) x
'
f (x) nx
f(x) ln(x);x 0
a 0 ,a 1 x
'
f (x)
n1
x
f (x) a ln(a) f'(x) cos(x) f'(x) sen(x)
f(x) tg(x)
f (x) sec (x)
f(x) cotg(x)
f (x) csc (x) f'(x) sec(x)tg(x) f' csc(x)cotg(x) 1 f'(x) 2 1x 1 f'(x) 2 1x 1 f'(x) 2 1x 1 f'(x) 2 1x 1 f'(x) 2 x x 1
f(x) arcsen(x) f(x) arccos(x) f(x) arctg(x) f(x) arccotg(x)
f(x) arcsec(x)
f(x) arccsc(x)
'
'
f'(x)
f(x) loga (u) u
x x 1
'
f (x) '
'
u u
u' .loga e u u
f (x) a .ln(a)u' f'(x) .u'cos(u) f'(x) u'sen(u)
f(x) tg(u)
f'(x) u'sec (u)
f(x) cotg(u)
f'(x) u'csc (u) f'(u) u'sec(u)tg(u) f'(u) u'csc(u)cotg(u) u' f'(x) 2 1u u' f'(x) 2 1u u' f'(x) 2 1u u' f'(x) 2 1u u' f'(x) 2 u u 1
f(u) sec(u) f(u) csc(u) f(u) arcsen(u) f(u) arccos(u) f(x) arctg(u) f(x) arccotg(u) f(x) arcsec(u)
1 2
f ' (x)
'
.u
f(x) a f(x) sen(u) f(x) cos(u)
2
2
n1
'
f (x) n.u
f(x) ln(u)
1 ' f (x) loga e x '
n
f(x) u
1 x
f(x) a f(x) sen(x) f(x) cos(x)
f(x) sec(x) f(x) csc(x)
Derivada
u u(x)
'
n
f(x) loga (x);x 0
Función compuesta
f(x) arccsc(u)
2
2
f'(x)
u' 2
u u 1
Razón de cambio Sea f : R: R: una función definida por y=f(x). Si a Df y x 0 es tal que a x Df , x se llama incremento de x. el incrmemto de y o incremento de f en el punto a correspondente a x , se denota por y o f y está dado por y f f(a x) f(a) Entonces la razón de cambio se define como:
y f f(a x) f(a) : x x x Se lee la razón de cambio de y o f con respecto a x. 6
Ejemplo 2
Sea la función f(x) x , halle la razón de cambio para x=1 y x 1 Solución Reemplace y se obtiene 2
2
f f(1 1) f(1) 2 1 : 3 x 1 1
Costo marginal Supongamos la función costo c c(q) . Entonces el costo marginal es la razón de cambio instantáneo del costo C con respecto a la cantidad q. es decir:
c'(q)
dc dq
Ejemplo 2
Para la función costo c(q) 0,4q 4q 5 (en dólares), encuentre el costo marginal cuando q=2 unidades. Interprete el resultado. Solución Derive y se tiene el costo marginal. Es decir:
c'(q) 0,8q 4 Calcule el costo marginal cuando q=2 y se tiene:
c'(2) 0,8(2) 4 5,6 Esto significa que si la producción se incrementa en 1 unidad, desde 2 hasta 3, entonces el cambio en el costo es aproximadamente de 5,6 dólares. Esto quiere decir que el costo para producir esa unidad adicional es de $5,6.
Ingreso marginal Supongamos la función ingreso I I(q) . Entonces el ingreso marginal es la razón de cambio del ingreso I con respecto a la cantidad q. es decir:
I'(q)
dI dq
Ejemplo Los sociólogos han estudiado una relación entre el ingreso y el número de años de educación en miembros de un grupo urbano particular. De acuerdo con sus hallazgos, una persona con x años de educación, antes de buscar empleo regular puede esperar recibir un ingreso anual medio de y 5
dólares anuales, donde y 5 x 5900 ; 4 x 16 . Encuentre el ingreso marginal y evalúela cuando x =9. Interprete el resultado. 7
Solución Derivando la función ingreso se tiene:
y'
25 3 x 2
Evalúe cuando x=9 y se tiene:
y'(9)
25 3 25 27 9 337,5 2 2
Si los estudios de un apersona cuentan de 9 a 10 años, sus ingresos mensuales medios aumentan en $337,5 aproximadamente.
Ejercicios resueltos Halle la derivada de una función simple 1. f(x) = 4 Solución
2. f(x) x
f '(x) (4)' 0
2
Solución f '(x) 2x 5
21
2x
3
3. f(x) 3x 5x 15x Solución 5
4
3
2
f '(x) (3x )' (5x )' (15x)' 15x 15x 15 4. f(x) 3x sen(x)
Solución
f '(x) (3x sen(x))' (3x)' (sen(x))' 3x' cos(x) 3 cos(x)
5. f'(x) x cos(x) 4 Solución
f'(x) ( x)' [cos(x)]' (4)' (x
8
1/2
)' sen(x)
1 2 x
sen(x)
3
2
6. f(x) 3 x 4 x 5 Solución n1
n
Use la siguiente derivada: [x ]' nx Luego,
f'(x) 3(x
7.
f(x)
2x
3
12
5
3x
4x
2/3
)' 4(x
1/2
)' (5)' 2x
1/3
2x
1/2
2 2 x x
3
20
120
7
Solución Derive cada término y se tiene 2
19
x 2 2x f'(x) 15x 2 3 8.
2
f(x) 5(x 3 x 2) Solución Aplique la derivada sólo a cada término del paréntesis
f '(x) 5(2x
1 3 2
)
3 x 9.
3
2
f(x) x(x 5x ) 3 x Solución Antes de derivar se debe aplicar la propiedad distributiva y luego aplique las reglas de derivación. Es decir:
f'(x) (x
7/2
5x
5/2
x
1/3
7 5/2 25 3/2 1 2/3 )' x x x 2 2 3 f'(x)
10. f(x)
3
2
3
x 5x x x
7 5 25 3 1 x x 3 2 2 2 3 x
5
Solución Antes de derivar divida cada factor entre x y luego aplique la derivada a cada término 3
2
3
5
x 5x x 2 2 2/3 f'(x) ( )' (x 5x x )' 2x 5 3 x 3 x
9
3
2
11. f(x) (2x 5x ) 3 x Solución Aplique la propiedad distributiva y luego las reglas de las derivadas
f'(x) (2x
33
x 5x
23
x)' (2x
10/3
5x
7/3
3
3
7
20 x 35 x )' 3 3
4
12. f(x) = (x20 + 6x12 – 12)(x8 – 5x3 + 2x) Solución Use la derivada del producto
6x – 12 x – 5x 2x x 6x – 12x – 5x 2x f'(x) 20x 72x x – 5x 2x x 6x – 12 8x – 15x 2
f'(x) x
20
'
12
19
11
8
3
8
20
3
12
20
8
12
'
3
7
2
Efectue las multiplicaciones y simplifique 27
22
20
19
14
12
7
2
f'(x) 28x 115x 42x 120x 450x 156x 96x 180x 24 13. f(x) = (x13 – 12)(x14 – 5x7 + 2) Solución Use la derivada del producto
f'(x) x
13
– 12
12
f'(x) 13x
x
x
14
'
14
7
– 5x 2 x
7
– 5x 2 x
13
13
14
7
– 12 x – 5x 2
13
– 12 14x – 35x
26
19
6
13
'
12
f'(x) 27x 100x 168x 26x 420x
6
14. f(x) = (sen(x) + tg(x))(x8 – 2x) Solución Use la derivada del producto
' ' 8 8 f'(x) [sen(x) tg(x)] x –2x [sen(x) tg(x)] x –2x 2
8
7
f'(x) [cos(x) sec (x)] x –2x [sen(x) tg(x)] 8x –2
15. f(x) = xln(x) –x Solución Use la derivada del producto
1 f(x) x ln x +x ln x x ln x +x 1 ln(x) 1 1 ln(x) x 10
16. f(x)
x x 1
Solución Use la derivada del cociente
x x 1 x x 1 x 12
f (x)
17. f(x)
1 (x 1)2
2
x 4 3
x 4
Solución Use la derivada del cociente
x f (x) 18. f(x)
2
4
x
3
2
3
4 x 4 x 4
x
3
4
2
2x
4
4
8x 3x 12x
x
3
4
2
2
x(x
3
sen(x) cos(x) 2
3x 4x 2
senx cosx 3x2 4x 2 senx cosx 3x2 4x 2
f (x)
3x
4x 2
2
cos(x) sen(x) 3x2 4x 2 senx cosx (6x 4)
3x
f'(x)
19. f(x)
2
2
4x 2
2
2
2
(3x 10x 2)cosx (3x 2x 6)senx 2
2
(3x 4x 2)
csc(x) sec(x)
Solución Use identidades trigonométricas
1 sen(x) cos(x) f(x) 1 sen(x) cos(x) Aplique la derivada del cociente
f (x)
cos(x) sen(x) cos(x) sen(x) 2
sen (x)
11
3
2
(x 4)
Solución Use la derivada del cociente
f (x)
12x 8)
1 2
sen (x)
2
csc (x)
20. f(x)
x
x
2 1 3 1 – x x
Solución Use la derivada de un cociente y la derivada de la función exponencial
2x 3x f (x) x
' 2 3 x
x
x 2
x
x
x
3
2
x 2 xln(2) 3 xln(3) 2 x
x
x
x
x
3
2
1 x 1 ln(3) x ln(2) f'(x) 2 2 3 2 x x x x 21. f(x)
x
e 1 x
Solución Use la derivada de un cociente y la derivada de la función exponencial
e 1 x e 1 x xe f (x) x
x
x
'
'
x
x
x
e 1 e (x 1) 1 2 2 x x
2
2 2x 3, si x 2 8x 11, si x 2
22. Calcula f (2) f (2) de la función: f(x)
Solución
2
2
a)
' f (2)
8(2 h) 11 2(2) 3 f(2 h) f(2) 8h lim lim lim 8 h h h0 h0 h0 h
b)
' f (2)
2 2(2 h) 3 2(2) 3 f(2 h) f(2) 8h h lim lim lim 8 h h h h0 h0 h0
2
'
'
Por lo tanto, f(x) es derivable en x 2 pues f (x 0 ) f (x 0 ) 8 . Es decir f'(2) 8 23. Halle las derivadas laterales en el x 0 , si f(x) senx Solución '
senh f(0 h) f(0) lim 1 h h h0 h0
a) f (0) lim
'
b) f (0) lim h0
senh f(0 h) f(0) lim 1 h h h0 '
'
Por lo tanto, f(x) no es derivable en x 0 pues f (x 0 ) f (x 0 )
12
Halle la derivada de las siguientes funciones compuestas 1.
f(x)=sen(2x) Solución Use la derivada de una función compuesta. [f(g(x))]' f'(g(x))g'(x)
f(x)=[sen(2x)]'=[sen(2x)]'(2x)'=[cos(2x)](2)= 2cos(2x) 2.
f(x)=cos(4x) Solución Use la derivada de una función compuesta.
f'(x)=[cos(4x)]'=[cos(4x)]'(4x)'= -4sen(4x) 3.
f(x) tg( x) Solución Use la derivada de una función compuesta.
f'(x) [ tg(x
4.
f(x) sen(
1/2
)]'(x
1/2
2
1 1/2 2 1/2 sec ( x) )' x sec (x ) 2 2 x
3
x 2 x ) 3
Solución Use la derivada de una función compuesta.
' x3 2 x3 2 x3 2 2 f'(x) cos x x (x 2x)cos x 3 3 3 5.
x10 f(x) cos 2 x 5 Solución Use la derivada de una función compuesta '
x10 x10 x10 1 f'(x) sen 2 x 2 x 2x 9 sen 2 x 5 5 5 x 6.
2
f(x) tg(2x 2x) Solución Use la derivada de una función compuesta.
f(x) sec (2x 2x)(2x 2x)' 4x 2 sec (2x 2x) 2
2
2
2
13
2
7.
3
2
f(x) sen (x ) Solución Use la derivada de una función compuesta dos veces. 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
f'(x) 3sen (x )[sen(x )]' 3sen (x )cos(x )[x ]' 6xsen (x )cos(x ) 10
x 8. f(x) sen(x)cos( ) 5 Solución Use la derivada del producto y la derivada de una función compuesta '
x10 x10 f'(x) [sen(x)]'cos sen(x) cos 5 5
'
x10 x10 x10 f'(x) cos(x)cos sen(x)sen 5 5 5 x10 x10 9 f'(x) cos(x)cos 2x sen(x)sen 5 5 9. f(x)=
1 2
sen(2x 2x)
Solución '
u'(x) 1 Use la propiedad: 2 u (x) u(x) 2 2 2 2 sen(2x 2x) ' cos(2x 2x)(2x 2x)' (4x 2)cos(2x 2x) f (x) 2 2 2 2 2 sen (2x 2x) sen (2x 2x) sen(2x2 2x) 10. f(x) = (x20 cos(2x) – 12)(x8 – sen(x)) Solución Use la derivada del producto y de una función compuesta.
f'(x) x cos 2x – 12 20
x '
8
– sen x x cos 2x – 12 x – sen x 20
8
'
f'(x) [20x cos 2x – 2x sen(2x)][x – sen(x)] [x cos(2x) 12][8x – cos(x)] 19
20
8
20
7
11. f(x) = (x2 +3)–4 Solución n1
n
Use la derivada de una función compuesta [u (x)]' nu
f(x) 4 x 3 2
(x)[u(x)]'
x 3 8x x 3 4 1
14
2
2
–5
3
2
12. f(x) x – 3x 3
5
Solución n1
n
Use la derivada de una función compuesta [u (x)]' nu
3
2
f'(x) 5 x – 3x 3
x 51
3
'
2
2
(x)[u(x)]' 3
2
– 3x 3 5 3x 6x x – 3x 3
4
13. f(x) = ln(x+1) – ln(x2–1) Solución Use la derivada de una función compuesta [ln(u(x))]'
x 1
'
f'(x)
x 1
2
x 1 2
[u(x)]' u(x)
'
x 1
1 2x x 1 2x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) x 1
14. f(x) = ln(8x–2) + ln(x2 +x) Solución Use la derivada de una función compuesta [ln(u(x))]'
8x x x 16x f'(x) 2 '
2
2
2
8x
'
x x
8x
3
2
2x 1 2
x x
[u(x)]' u(x)
2 2x 1 2(x 1) 2x 1 1 2 2 x x x x(x 1) x x
15. f(x) = x2ln(2x+1) Solución Use la derivada del producto y de una función compuesta
f'(x) x
2 '
ln2x 1 x [ln2x 1]' 2xln2x 1
2 (x 3x)
16. f(x) e
2
4x
e
2
2x 2x 1
x 3 e
Solución u(x)
Use la derivada [e 2 (x 3x)
f'(x) e
cos(2x)
17. f(x) e
u(x)
]' u'(x)e
2
4x
(x 3x)'– e (4x)'
7 ex
x ( ) x ' 3 e
(2x 3)e 3
5x
e
Solución u(x)
Use la derivada [e
2 (x +3x)
u(x)
]' u'(x)e
15
x
1 ( ) – 4e e 3 3 4x
cos(2x)'
cos(2x)
f'(x) e
7 ' 7 x e
5x
cos(2x)
e (5x)' 2sen(2x)e x
7 x
2
7 ex
5e
5x
2)
18. f(x) = (x2 – 3x)e( 3x
Solución Use la derivada del producto y de una función compuesta.
' ( 3x2 )
2
f'(x) x – 3x e
'
2 ( 3x2 ) ( 3x2 ) 2 ( 3x ) 2 x – 3x e x – 3x e (2x 3)e 3x 2
3
2 3x
2
f'(x) (6x 18x 2x 3)e
19. f(x)
x
4 3
4
2
Solución Use regla de la cadena: [
f'(x)
20. f(x)
3
4 2(x 4)'
3
x 4
3
k n
u (x)
]' 2
8(3x ) 3
x 4
3
nk[u(x)]' n1
u
(x)
24x
2
3
x 4
3
2
sen(x ) x
3
Solución Use la regla del cociente y luego la regla de la cadena
sen(x ) x f'(x)
' 3
2
2x 1 x2 x
2
2x
sen(x ) x x
6
3 '
4
cos(x2 ) 3x2sen(x2 ) x
6
2cos(x2 ) 3sen(x2 ) 2 4 x x
3
21. f(x)
Solución Use la regla de la cadena y luego la regla del cociente 31
2x 1 f'(x) 3 2 x x
' 2 2 ' 2 2x 1 2x 1 2x 1 x x 2x 1 x x 2 3 2 2 2 x x x x x x
16
'
'
2 2 2 2 2 2x 1 2 x x 2x 1 (2x 1) 2x 1 2x 2x 4x 1 f'(x) 3 2 3 2 2 2 2 2 x x x x x x x x
f'(x)
2
2
3(2x 1) (2x 2x 1) 4
4
x (x 1)
4x 6
22. f(x)
2
x 3x 4
Solución Use la regla del cociente y luego la regla de la cadena Recuerde: [ u(x)]'
f'(x)
4x 6 '
u'(x) 2 u(x)
x 3x 4 4x 6 2
2
x 3x 4
'
2
x 3x 4 (x2 3x 4)' 2x 3 2 2 4 x 3x 4 4x 6 4 x 3x 4 4x 6 2 2 2 x 3x 4 2 x 3x 4 f'(x) 2 2 x 3x 4 x 3x 4 2 (2x 3) 2 4 x 3x 4 2 2 2 2 7 x 3x 4 4( x 3x 4) (2x 3) f'(x) 2 2 2 2 3 x 3x 4 (x 3x 4) x 3x 4 (x 3x 4)
23. f(x)
cos 3x 4 sen 4x 3
Solución Use regla del cociente y regla de la cadena
f'(x) f'(x)
f'(x)
[cos 3x 4 ]'sen 4x 3 cos 3x 4 [sen 4x 3]' sen2 4x 3
sen(3x 4)[3x 4]'sen 4x 3 cos 3x 4 cos(4x 3)[4x 3]' sen2 4x 3
3sen(3x 4)sen 4x 3 4cos 3x 4 cos(4x 3) sen2 4x 3
3sen(3x 4) 4cos(3x 4)cos(4x 3) f'(x) 2 sen(4x 3) sen (4x 3)
17
x2 24. f(x) ln cos 2 Solución Aplique la derivada de un logaritmo y la regla de la cadena. '
2 2 x x sen( ). 2 2
2
x )]' 2 f'(x) 2 x cos( ) 2 [cos(
2
cos(
x ) 2
2
x ) 2 2 x tan( x ) 2 2 x cos( ) 2 xsen(
ex 2 ex 2
25. f(x) ln
Solución Aplique propiedades de logaritmos x
x
f(x) ln(e 2) ln(e 2) Use la derivada del logaritmo natural x
x
x
x
x
x
x
x
x
(e 2)' (e 2)' e e e (e 2) e (e 2) 4e f'(x) x x x x 2x x x e 2 e 2 e 2 e 2 (e 2)(e 2) e 4 26. f(x) ln
1 cos(x) 1 cos(x)
Solución Aplique propiedades trigonométricas en el radicando
f(x) ln
2
2
1 cosx (1 cos(x))(1 cos(x)) 1 cos (x) sen (x) ln ln ln 2 2 2 1 cosx (1 cos(x)) (1 cos(x)) (1 cos(x))
senx f(x) ln 1 cosx Aplique propiedades de los logaritmos
f(x) ln
1 cos(x) sen(x) ln( ) ln(sen(x)) ln(1 cos(x)) 1 cos(x) 1 cos(x)
Ahora, aplique las propiedades de las derivadas y también las identidades trigonométricas 2
2
(sen(x))' (1 cos(x))' cos(x) sen(x) cos(x) cos (x) sen (x) f'(x) sen(x) 1 cos(x) sen(x) 1 cos(x) sen(x)(1 cos(x)) f'(x)
2
2
cos(x) [cos (x) sen (x)] cos(x) 1 1 csc(x) sen(x)(1 cos(x)) sen(x)(1 cos(x)) sen(x) 18
x
27. f(x)
3 2 3
(1 x )
Solución Aplique la derivada de un cociente
f'(x)
f'(x)
3
2 3
3
2 3
(x )' (1 x ) x [ (1 x ) ]' 2 3 2
[ (1 x ) ] 3x
2
2 3
(1 x ) 3x
4
1x
2
2 3
(1 x )
3x
3x
2
28. f(x)
2 3
2
2
2
1 x (1 x x ) 2 3
(1 x )
f'(x)
4x
3x3 (1 x ) 1 x2 (1 x2 )' 2 2 3 (1 x )
2
3x
2
1x
2
2 3
(1 x )
2
2 3
(1 x )
Solución Aplique la derivada de la raíz cuadrada '
f'(x)
f'(x)
4 x2 (4 x2 )'(1 x2 )3 (4 x2 )[(1 x2 )3 ]' ' 2 3 2 2 6 4 x (1 x ) (1 x ) 2 3 2 2 (1 x ) 4x 4x 2 2 3 2 3 (1 x ) (1 x ) 2 3
2
4x
2 6
2(1 x ) f'(x)
2 3
2(1 x )
2 3
3
2 3
2
2
4x 1x
3
2
26x 4x 2 3
2(1 x )
2
2
2x(1 x ) 6x(4 x )
(1 x )
2x 2x 24x 6x 2(1 x )
29. f(x)
2 2
2x(1 x ) 6x(4 x )(1 x )
4x 1x
2
2
3
4x 1x
2
2
1x 1x 1 x 1 x
Solución Racionalice el denominador f(x) f(x)
( 1 x 1 x )( 1 x 1 x ) ( 1 x 1 x )
2
1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 x
x 1 1 x2
19
2x 2 2 1 x 1 x
Ahora aplique la derivada del cociente y de la raíz cuadrada x ' 2 1 1 x 2 x 1 1 x 2 1 1 x x x ' 2 x 1 x f '(x) 2 2 2 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1 x '
Finalmente simplifique y se obtiene 1 x 2 (1 x 2 ) x 2 1 x2
f '(x)
1 1 x 2
2
1 x2 1
1 x2 1 1 x 2
2
1 1 x 1 1 x2 2
x
30. f(x)
2
a
2
a x
2
Solución Aplique la regla del cociente y la regla de la raíz cuadrada
x f'(x) a2 a2 x2
'
' 2 2 2 2 x' a x x a x 1 2 2 a a2 x2
2 2 2 2 (a x )' a x x 2 2 1 2 a x f'(x) 2 2 2 a a x
1 f'(x) 2 a
f'(x)
2x 2 2 a x x 2 2 1 2 a x 2 2 a2 a x
2 2 2 2 2 a x x x 2 2 2 2 2 2 a x a x x 2 2 2 2 1 a x 1 a x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2 a x a x a (a x ) a x
2 2 2 2 1 1 a x x a 1 a2 (a2 x2 ) a2 x2 a2 (a2 x2 ) a2 x2 (a2 x2 ) a2 x2
Racionalizando se tiene
f'(x)
20
2
a x 2
2
2 2
(a x )
31. f(x)
1 x 1 x
Solución Primer método Escribe la función como exponente fraccionario 1
1 x 1 x 2 f(x) 1 x 1 x Aplique la regla de la cadena:
1/2 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 21 x 1 x 1 1 1 1 1 x 1 x 2 1 1 x 1 1 x 2 1 x 1 x 2 x 2 x f'(x) 2 2 2 1 x 21 x 2 x 1 x 1 x 1 11 x 2 1 1 f'(x) 2 1/2 21 x x 1 x 2 x(1 x) (1 x)1/2 (1 x)(1 x) 1 1 1 f'(x) 1/2 1/2 1/2 2 x(1 x) (1 x) (1 x) 2 x(1 x) (1 x) 2 x (1 x)(1 x) 11 x f (x) 2 1 x
1/2
Segundo método Racionalice el radicando:
f(x)
1 x (1 x)(1 x) 1x 1x 2 2 1 x 1 x (1 x) (1 x)
Aplique la regla del cociente
(1 x) 1 x x x 1 x ' ' 1 x (1 x) 1 x 1 x 2 1x 2 x 2 x 1x f'(x) 2 2 2 1 x 1 x 1 x ( x 1) 1 f'(x) 2 x 1 2x 2 x (1 x)( x 1) 1 x Comentario A veces es mejor reducir la expresión dada usando propiedades algebraicas y luego aplicar las propiedades de las derivadas. 21
32. f(x)
2
x 2 2 a 2 2 x a ln(x x a ) 2 2
Solución Aplique la regla del producto en el primer término y en el segundo la derivada del logaritmo natural.
x f'(x) 2
2 2 2 x x a ' x a 2 2 2 2 x a x a 2 2 2 2 x x a
'
'
Ahora aplique la derivada de la raíz cuadrada ' x2 a2 2 a 1 ' 2 2 2 x a x2 a2 x 1 2 2 f'(x) x a 2 2 2 2 2 4 x a 2 x x a
x 1 2 2 1 2 2 x a x a f'(x) x a 2 2 2 2 x x2 a2 2 x a 2
2
Sacando mínimo común múltiplo se tiene 2
2
2
2
2
1 x a x a f'(x) ( ) 2 2 2 2 x a
2
x a x 2
2
2
2
x a x x a
Simplificando se tiene
f'(x)
2
2
2x a 2
2
2 x a
2
a 2
2
2 x a
2
2
2x 2a 2
2
2 x a
2
2
x a 2
2
x a
Finalmente racionalice y se tiene 2
2
f'(x) x a 3
4
5
3
33. f(x) x cos (x )sen(x ) Solución Aplique regla del producto dos veces y también regla de la cadena '
'
3 4 5 3 3 4 5 3 f'(x) x cos (x ) sen(x ) x cos (x ) sen(x ) ' ' 3 4 5 3 4 5 3 3 4 5 3 3 ' f'(x) x cos (x ) x cos (x ) sen x x cos (x )cos(x ) x 2 4 5 3 3 5 5 5 ' 3 5 4 5 3 f'(x) 3x cos (x ) 4x cos (x )(sen(x )) x sen x 2x cos (x )cos(x )
22
2
4
5
7
5
3
5
3
5
4
5
3
f'(x) 3x cos (x ) 20x sen(x )cos (x ) sen x 3x cos (x )cos(x ) Finalmente aplique la propiedad distributiva 2
4
2
5
3
7
5
3
5
3
5
4
5
3
f'(x) 3x cos (x )sen(x ) 20x sen(x )cos (x )sen(x ) 3x cos (x )cos(x )
34. f(x) arctg Solución
f'(x)
1
4x 1
2
4x 1
2 sen(x )
35. f(x) e
2
8x
'
4x 1
2
2 1 2 4x 2 1 1 4x 1 x 4x2 1
x arctan lnx
Solución Aplique la regla del producto 2 sen(x )
f'(x) e
sen(x )'arctan lnxx e
2 sen(x )
2
x arctan lnx '
Ahora, factorice y aplique la derivada de la función seno y arcotangente.
x ln(x) ' x 2 2 2xcos(x )arctan sen(x ) 2 f'(x) e ln(x) x 1 ln(x) ln(x) 1 2 2 x sen(x ) 2 ln x f'(x) e 2xcos(x )arctan 2 2 ln(x) ln (x) x 2 ln (x) Simplificando sen(x2 )
f'(x) e
x ln(x) 1 2 2xcos(x )arctan 2 2 ln(x) ln (x) x
23
2
8 x
2
2
36. f(x) arcsen cos (x ) Ln sec (2x) 10
Solución Aplique la derivada de la función arcoseno y sec(-x)=sec(x)
f'(x)
'
2 8 2 2 cos x x ln sec 2x 10
2
2 8 2 1 cos x ln sec 2x 10 x
Aplique regla de la cadena en el primer y segundo miembro del numerador
'
2 ' sec 2x 10 2cos x 8 sen x 8 x 8 ln sec2 2x 10 2 x x x sec 2x 10 f'(x)
2
2 8 2 1 cos x ln sec 2x 10 x
2 x2 8 16 4sec (2x)tg(2x) 2 2 sen 2x ln sec 2x 10 2 x x sec 2x 10 f'(x)
2
2 8 2 1 cos x ln sec 2x 10 x 2 x 8 16 4tg(2x) 2 ln sec 2x 10 2 sen 2x 2 x 1 10cos (2x) x f'(x) 2 2 8 2 1 cos x ln sec 2x 10 x
Problemas sobre recta tangente y recta normal 1.
3
2
Calcule los puntos en que la recta tangente a la curva f(x) x 3x 9x 5 es paralela al eje OX. Halle también la ecuación de la recta tangente y la recta normal en esos puntos. Solución Para que la recta tangente sea paralela al eje OX, su pendiente de ser cero. Es decir 2
m f'(x) 3x 6x 9 0 Al resolver esta ecuación se tiene x 1; x 3 . Por lo tanto, los puntos en donde la recta tangente es paralela al eje OX son (–1; 10), (3; -22)
24
Ecuación de la recta tangente:
y 10; y 22
Ecuación de la recta normal:
2.
x 1; x 3 3
Se ha trazado una recta tangente a la curva f(x) x , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0; −2). Halle los puntos de tangencia y las ecuaciones de la recta tangente y normal en cada punto. Solución La pendiente de la recta tangente es: 2
f'(x) 3x 3 x 1 Entonces los puntos de tangencia son:
(1; 1), (1;1) Ecuación de la recta tangente:
L T1 : y (1) 3(x (1)) y 3x 2 0 (Se descarta pues esta recta no pasa por (0;–2) ) L T2 : y 1 3(x 1) y 3x 2 0 Ecuación de la recta normal:
1 LN1 : y 1 (x 1) 3y x 2 0 3 Halle la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva f(x) ln(tg(2x)) en el punto de abscisa x . 8 mLN
3.
1 1 f'(x) 3
Solución Cálculo de la pendiente de la recta tangente y normal
f'(x) Entonces
tg(2x)' 2sec2 (2x) tg(2x)
tg(2x)
2 4 4csc(4x) cos(2x)sen(2x) sen(4x)
1 1 mLT f'( ) 4csc( ) 4 y mLN 4 8 2 f'( ) 8
Para calcular el punto de tangencia se debe de reemplazar la abscisa en la función dada. Es decir:
2 f( ) ln(tg( )) ln(tg( )) ln(1) 0 8 8 4
Entonces el punto de tangencia es:
( ; 0) 8 25
Por lo tanto, las ecuaciones de la recta tangente y la normal son:
L T : y 4x 4.
x ; LN : y 2 4 32 2
2
2
Demuestre que la recta normal a cualquier punto de lacircunferencia x y r pasa por el origen. Demostración Despejando la variable y setiene: 2
2
2
2
x y r y r x 2
2
2
Sea (a, r a ) los puntos de tangencia a la circunferencia. Entonces la pendiente de la recta nornal es:
1 mLN y'(a)
2
2
r a a
1 a 2
2
r a Por tanto, la ecuación de la recta normal es: 2
2
y ( r a )
2
2
r a (x a) y a
y
2
2
2
r a
2
2
r a x a
2
2
r a
2
r a x a
Esta recta demuestra que para cualquier punto de tangencia a la circunferencia, la recta normal en ese punto pasa por el origen. 5.
2
Dos circunferencias de radio 4 son tangentes a la gráfica y 4x , en el punto (1; 2). Encontrar las ecuaciones de esas dos circunferencias. Solución Si las circunferencias son tangentes a la parábola en el punto (1; 2) significa que tienen la misma recta tangente. Por otro lado, el centro de cualquier circunferencia está sobre la recta normal en cualquier punto. Entonces se debe encontrar la pendiente de la recta tangente a la parábola en el punto (1; 2) y luego la ecuación de la recta normal en ese punto. Es decir:
y 2 x y'(x)
1 x
Pendiente de la recta tangente:
mLT y'(1) 1 Pendiente de la recta normal:
mLN Le cuación de la recta normal es:
1 1 y'(1)
y 2 (x 1) y x 3
Los centros están ubicados sobre esta recta normal, esto quiere decir que el centro satisface dicha ecuación. Es decir:
k h 3
Usando la distancia entre dos puntos calculemos el radio de la circunferencia. Es decir: 26
(h; k)
2
2
2
2
2
2
(h 1) (h 3 2) 4 (h 1) (h 1) 16 2(h 1) 16 h 2 2 1 Entonces los centros son
(2 2 1; 2 2 2), (2 2 1; 2 2 2) Finalmente las ecuaciones de las circunferencias tangentes a la parábola son: 2
2
C1 : (x 2 2 1) (y 2 2 2) 4 2
C2 : (x 2 2 1) (y 2 2 2) 4
2
2
C1
LT : y=x+1
C2
LN : y= –x+3
6.
Dada la función f(x) tg(x) , halle el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas. Solución Cálculo de la pendiente de la recta tangente en el origen, es decir en el punto (0; 0) 2
mLT f'(0) sec (0) 1 Por otro lado, la pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación. Es decir:
tg() m ; donde el ángulo de inclinación es Entonces, en ángulo que forma la recta tangente a la la función dada en el origen con el eje de abscisas es el ángulo de inclinación de dicha recta. Es decir:
tg() 1 45 7.
2
Halle los coeficientes de la ecuación f(x) ax bx c , sabiendo que su gráfica pasa por (0; 3) y por (2; 1), y en este último punto su recta tangente tiene pendiente 3. Solución Si la función pasa por los puntos (0; 3) , (2; 1) entonces se cumple: 2
3 a(0) b(0) c c 3 27
(1)
2
1 a(2) b(2) 3 2a b 1
(2)
Por dato también se tiene que la pendiente de la recta tangente en (2; 1) es 3. Es decir:
f'(x) 2ax b f'(2) 4a b 3 De la ecuación (2) y (3) se tiene:
(3)
a 2 ; b 5
Por lo tanto, los coeficientes son:
a 2 ; b 5; c 3 8.
2
2
Determine los valores a, b y c de modo que f(x) x ax b y g(x) x cx tengan la misma recta tangente en el punto (2; 2). Solución f tiene la misma recta tangente que g entonces sus pendientes son iguales. Es decir,
mf mg 2x a 2x c a c (2; 2) es el punto de tangencia para ambas funciones entonces se tiene:
c 1 g : 2 4 2c c 1 b 0 f : 2 4 2a b 2 2c b a 1 9.
Determine la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) = x2 + x+ 1, sabiendo que dicha recta pasa por (37; 0) Solución Cálculo de la pendiente 2
Sea el punto de tangencia (x;y) (x;x x 1) entonces Use la derivada para calcular la pendiente de la recta tangente:
m1 f'(x) 2x 1
(1) 2
Calcule la pendiente usando los dos puntos por donde pasa la recta normal: (x;x x 1) y (37; 0)
m2
2
2
(x x 1) x x 1 37 x x 37
(2)
Como la recta normal y la recta tangente son perpendiculares se cumple:
x2 x 1 m1m2 1 (2x 1) 1 x 37 2 (2x 1)(x x 1) 37 x Efectuando se tiene 3
2
2x 3x 4x 36 0 28
Use el método de Ruffini y se tiene 2
(x 2)(2x 7x 18) 0 El término cuadrático es siempre positivo puesto que el discriminante es –95. Entonces x 2 y el punto de tangencia es (2; 7). Por otro lado, la pendiente de la recta normal es: m2
1 1 m1 5
Por lo tanto, usando la ecuación punto pendiente se tiene la ecuación de la recta normal:
1 y 0 (x 37) 5y (x 37) 5y x 37 0 5 3
10. Encuentre todos los puntos de la curva f(x) x x 1 tales que la tangente a la curva en dichos puntos sea perpendicular a la recta x 2y 12 0 y obtener las ecuaciones de las rectas tangentes: Solución Como la recta tangente (LT) es perpendicular a la recta L1 : x 2y 12 0 , se cumple que:
1 mTm1 1 m1 mT 2 2 Pero 2
f'(x) mT 3x 1 2 x 1 Entonces P0(1,1) y P1(-1,1) Por lo tanto, las ecuaciones de las rectas tangentes son:
L T1 : y 1 2(x 1) y 2x 1 0 L T2 : y 1 2(x 1) y 2x 3 0
Aplicaciones 1. Balística. Los expertos en Balística pueden identificar el arma que disparó cierta bala estudiando las marcas en el proyectil. Las pruebas se realizan disparando en un bulto de papel. Si la distancia 3
S, en centímetros, que la bala recorre en el papel está dada por s(t) 27 (3 10t) para 0 t 0,3 segundos, encuentre la velocidad de la bala en un décimo de segundo después de que golpea el papel. Solución Derive la función s(t) 3
2
2
s(t) 27 (3 10t) s'(t) 3(3 10t) (10) 30(3 10t) Analice la derivada en el décimo segundo
1 1 2 s'( ) 30(3 10 ) 120 10 10 La velocidad es de 120 cm/s 29
2. En el instante t 0 , un saltador se lanza desde un trampolín que está a 16 metros sobre el nivel 2
del agua de la piscina. La posición del saltador viene dada por s(t) 8t 8t 16 ; con s en metros y t en segundos. a) ¿Cuándo entra el saltador en el agua? b) ¿Cuál es su velocidad en ese momento? Solución a) Saltador entra al agua significa que s(t)=0. Es decir: 2
2
s(t) 8t 8t 16 0 8(t t 2) 8(t 2)(t 1) t=2 segundos b)
La velocidad es la derivada de la posición. Es decir:
s'(t) 16t 8 s'(2) 16(2) 8 24 El saltador entra al agua con una velocidad de 24 m/s 3. Velocidad promedio. Si se lanza un objeto hacia arriba a 64 pies / seg desde una altura de 20 pies, su altura S después de x segundos se determina por S(x) = 20 + 64x – 16x2. ¿Cuál es la velocidad promedio de los a) primeros 2 segundos después de que se lanzó? b) Siguientes 2 segundos? Solución La velocidad es la derivada de la función altura S. Es decir:
S'(x) 64 32x La velocidad promedio en los dos primeros segundos es:
S'(2) S'(0) 0 64 32 20 20 La velocidad promedio en los dos segundos siguientes es:
S'(4) S'(2) 64 0 32 4 2 4 2 4. Si la función del costo total de un fabricante está dado por C
2
6q 6000 encuentre la función q2
del costo marginal. Solución El costo marginal es la derivada del costo entonces aplicar la drivada de un cociente para el primer término y la derivada de una constante para el segundo término. 2
2
2
2
dC 12q(q 2) 6q 12q 24q 6q 6q 24q 6q(q 4) CM 2 2 2 2 dq (q 2) (q 2) (q 2) (q 2)
30
5. Si p
q 12 es una ecuación de demanda, encuentre la razón de cambio del precio p con q 5
respecto a la cantidad q. Solución Se sabe que el ingreso I es el precio p por la cantidad q, entonces el ingreso marginal se calcula:
IM
2 2 2 dI d q 12q (2q 12)(q 5) (q 12q) q 10q 60 2 2 dq dq q 5 (q 5) (q 5)
3
q 2m (2m 1) 50q unidades de productos diariamente. El ingreso total r (en dólares) está dado por r 1000 3q
6. Un empresario que emplea m trabajdores encuentran que producen
Determine el producto del ingreso marginal cuando hay 12 trabajadores Solución La derivada del ingreso con respecto del número de empleados se le llama producto del ingreso marginal. Entonces en nuestro problema nos piden calcular
dr . dm m12
Apliquemos regla de la cadena y se tiene:
50q ) 1000 3q d(2m (2m 1)3 ) dr dr dq dm dq dm dq dm 3 50 1000 3q 50q 2 1000 3q dr 3 2 (2m 1) 2m(3 2m 1) 2 dm 1000 3q d(
dr dm
75q 1000 3q 3 2 (2m 1) 6m 2m 1 (1000 3q)
50 1000 3q
3
3
3
Si m= 12, entonces q 2(12) (2(12) 1) 24 25 24(5 ) 3000 Luego, reemplazando los valores de m y q en la última ecuación se tiene:
25q dr 1000 3(3000) 3 2 (2(12) 1) 6(12) 2(12) 1 dm (1000 3(3000) 75q 50 10000 10000 dr 11 671 3 2 (25) 72 25 610 167,75 dm 10000 40 4 50 1000 3(3000)
Esto significa que si se emplea a un trece avo trabajador, el ingreso aumentará en aproximadamente 167,75 dólares.
31
Ejercicios propuestos 3.1. Nivel 1 Halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo dado. 1. f(x) 3 7x; x 2; x 0,5 3. f(x) 4 x ; x 5; x 0,24 2.
2
f(x) 3x 5x 1; x 3; x 0,2
2
2x 1 f(x) ; x 5; x 0,3 x
4.
Halle la derivada de las siguientes funciones 4
5
5.
f(x) 4x 2x 8x
6.
f(x) 3 x 4 4 x 2
3
2
5
7
15. f(x)
3
x 3x x 7. f(x) 5 5 21 3
16. f(x)
3
x 2 3 2011 8. f(x) 2 3 10 3 x x 9.
2
( x 2)
11. f(x) x
20
x
2
6x
12
x
8
2x
2
x 4 3
x 4 sen(x) 3
x 1 x
e 2 2x
18. f(x)
e sen(x) x
2
5
2
17. f(x)
f(x) x(x 5x) 5 x
10. f(x)
5
14. f(x) x 4x 5 lnx
x
19. f(x) arcsen(x) cos(x)
20. f(x) x
1
1 arctg(x) x
12. f(x) tg(x)[cos(x) sen(x)] 13. f(x) x sinx 3cosx
21. f(x)
arccos(x) e 3
x
x ln(x)
2
22. El costo de producir x artículos está dado por C(x) 0,001x 0,03x 4x 1000 . a) Determine el incremento en el costo cuando el número de unidades se incrementa de 50 a 60. b) Calcule el costo promedio por unidad adicional de incremento en la producción de 50 a 60 unidades. 23. El ingreso semanal total R (en Nuevos Soles) obtenido por la producción y venta de x unidades 2
de cierto artículo está dado por R(x) 500x 3x . Determine la tasa promedio de ingresos por unidad extra cuando el número de unidades producidas y vendidas por semana se incrementa de 100 a 120. 24. Durante el periodo de 1950 a 1970, el producto nacional bruto (PNB) de cierto país se 2
encontraba dado por la función I(x) 5 0,1x 0,01x en miles de millones de soles. (x=0 corresponde a 1970 y x=20 a 1990). Determine el crecimiento promedio en el PNB por año entre 1975 y 1980. 25. Cuando el precio de cierto artículo es igual a p, el número de artículos que pueden venderse por semana (demanda) está dado por x
1000 . Determine el incremento de la demanda cuando p 1
el precio se incrementa de S/. 1 a S/.1,50. 32
Nivel 2 Halle la derivada de las siguientes funciones 2
3
y 3sen(x)cos (x) tan (x) cos(x) 4 2. y cot(x) 3 3sen (x) 3 1.
8.
y
3sinx 2cosx 5 m
3.
y sen(x 2x)e
4.
y 2x 3 e
5.
y x 3 sen(3x 2)
a bxn 9. y a bxn 3 x 10. y 2 3 1x
6.
y 1 arcsen(x)
11. y
7.
y ln(x 1) ln
2
2 x 1
5 3x2 4
2
x 1
3
15 4 x 3
4
10 3 x 3
3
1 2 x 3
2
Resuelva los siguientes problemas 12. Si la recta tangente a y f(x) en (4,3), pasa por el punto (0,2) encuentre f(4) y f ' (4) . 13. Si f(x) 3x 2 5x encuentre f ' (2) y úsela para hallar la ecuación de la recta tangente a la función en el punto (2,2). 14. Encuentre una ecuación para la recta que es tangente a la curva y 5x3 6x 2 5x en el origen. 3
15. Se ha trazado una recta tangente a la curva f(x) x , cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0; 2) . Halle el punto de tangencia. 16. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a ambas gráficas de
2 f(x) x ,
2
g(x) x 6x 5 . 17. Halle el punto de tangencia a la gráfica de f(x) ln(x) de tal forma que la recta tangente sea paralela a la recta que pasa por los puntos (1; 0) y (e ; 1). 18. Demuestre que las gráficas de f(x) x y f(x)
1 tienen rectas tangentes perpendiculares x
entre sí en su punto de intersección. 5
3
19. Demuestre que la gráfica de la función f(x) x 3x 5x no tiene una recta tangente con pendiente 3. 20. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunferencia en el punto 2
2
indicado x y 25 en (4; 3), (–3; 4). 4
3
2
21. Buscar los puntos de la curva f(x) x 7x 13x x 1 , para los cuales la tangente forma un ángulo de 45 con OX. 3
22. La ley de movimiento de un punto sobre el eje OX es x 3t t . Halla la velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes t0 0 , t1 1 y t2 2 . ( x está dado en centímetros y t en segundos)
33
23. Un punto se mueve sobre la hipérbola y
10 de tal modo, que su abscisa X aumenta x
uniformemente con velocidad de una unidad por segundo. ¿Con qué velocidad variará su ordenada, cuando el punto pase por la posición (5; 2)? Nivel 3 1.
4
3
2
Halle los puntos en que las tangentes a la curva f(x) 3x 4x 12x 20 sean paralelas al eje de abscisas. 2
2. ¿En qué punto la tangente a la parábola f(x) x 7x 3 es paralela a la recta 5x 7y 3 0 ? 3. Halle las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y 3 x 1 en el punto (1, 0). 4. Halle las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y x punto (1, 0).
2/3
2
1/4
3x x
1 en el
2
5. Halle la ecuación de la parábola y x bx c que es tangente a la recta y x en el punto (1; 1) . 6. Escribir las ecuaciones de las tangentes y de las normales a la curva f(x) (x 1)(x 2)(x 3) en sus puntos de intersección con el eje de las abscisas. 2
7. Halle las ecuaciones de la tangente y la normal a f(x) 2x 6x 7 en el punto P donde la pendiente de la tangente es 2. 2
8. Halle el punto en que la normal a f(x) x x en (-2; 6) corta a la recta 2x 5y 5 . 3
2
9. Dada la función f(x) ax bx cx d , determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1; 2) , (2; 3) y que las rectas tangentes a ellos en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas. 2
10. La gráfica de la función f(x) ax bx c pasa por los puntos (2; 3) y (3; 13). Siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Halla el valor numérico de a, b y c. Halle la derivada de las siguientes funciones 11. f(x) x 1 x 12. f(x)
15. f(x) sen x sen(x sen (x))
2
1 x 1 x
2
2
4
16. f(x) (x x) x
13 1 3 8 3 5 1x 3 1x 8 5 1 sen(x) 14. f(x) ln 1 sen(x) 2ln x cos(x) 13. f(x)
2
1
17. f(x)
x
34
2 x sen(x)
5
x
2
6
3.2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA Función implícita Se dice que F:Df R R es una función implícita dada por la ecuación E(x;y) 0 , si E(x;f(x)) 0 para todo x Df . Ejemplo La ecuación 3x 8y xy 1 0 contiene a la función implícita y =
1 3x ; x 8. 8x
Pues,
1 3x 1 3x 3x 8 x 1 0 x R 8 . 8x 8x Sin embargo, no siempre es posible hacer explícita una función que está dada en la forma implícita. Ejemplo 5
De la ecuación y y 2x 0 no es posible despejar “y” en términos de “x”.
Derivada de una función implícita Hasta ahora hemos calculado la derivada de una función de la forma y f(x) donde se define y explícitamente en función de x. Sin embargo, también se puede definir y implícitamente como función de x, como en la siguiente ecuación 5 2
2
y x xy 2y x De la ecuación anterior no existe una forma obvia de despejar y, pero existe una técnica muy utilizada que se basa en la regla de la cadena, que nos permite obtener
dy . La técnica se denomina dx
derivación implícita. Ejemplo 2
3
Obtenga la derivada de la función y f(x) dada implícitamente por x y xy x 5 0 . Solución Derivando término a término con respecto a “x” y usando regla de la cadena se tiene: (x2y)’ + ( xy3 )’ + ( x )’ – ( 5 )’ = ( 0 )’ 2xy + x2y’ + y3 + 3xy2y’ + 1 = 0 Despejando y’ tenemos:
y'
3
2xy y 1 2
x 3xy
35
2
Nota Existe una TÉCNICA ALTERNATIVA que nos ayuda a encontrar la derivada de una función implícita usando la siguiente fórmula. '
dy E (x;y) x' dx E y (x;y) Donde: ' E x (x;y) es la derivada de la ecuación E(x;y) con respecto a la variable “x”. La variable y se asume
como constante. ' E y (x;y) es la derivada de la ecuación E(x;y) con respecto a la variable “y”. La variable x se asume
como constante. Ejemplo 2
3
Obtenga la derivada de la función y= f(x) dada implícitamente por x y xy x 5 0 . Solución Derive la ecuación dada '
2
3
3
Ex (x;y) (x )'y (x)'y (x)' (5)' 2xy y 1 '
2
3
2
Ey (x;y) x (y)' x(y )' (x)' (5)' x 3xy
2
Luego, reemplace en la fórmula y se tiene:
y'
3
2xy y 1 2
x 3xy
2
Ejercicios resueltos 1. Halle
dy 2 2 de la ecuación x y 25 dx
Solución Primer método Aplique regla de la cadena y se tiene:
2x 2yy' 0 y'
x y
Segundo método Use la fórmula
dy E '(x;y) x dx Ey '(x;y) La ecuación implícita: 2
2
E(x,y) x y 25 .
36
Derivando parcialmente se tiene: ' ' Ex (x;y) 2x y Ey (x;y) 2y
Luego, reemplace en la fórmula se tiene:
dy 2x x dx 2y y 2. Halle
dy 3 3 de la ecuación x y 6xy dx
Solución Primer Método Aplique regla de la cadena y se tiene: 3
3
2
2
2
x y 6xy 3x 3y y' 6y 6xy' 0 (y 2x)y' 2y x y'
2y x
2
2
2
y 2x
Segundo Método Use la formula
E '(x;y) dy x dx Ey '(x;y) La ecuación implícita: 3
3
E(x;y) x y 6xy 0 Las derivadas parciales son: ' 2 ' 2 Ex (x,y) 3x 6y ; Ey (x,y) 3y 6x
Luego, reemplace en la formula y se tiene: 2
2
2
dy 3x 6y x 2y 2y x 2 2 2 dx 3y 6x y 2x y 2x Nota Usted elige el método que mejor le conviene para hallar la derivada de la función dada implícitamente. De aquí en adelante para calcular la derivada de una función implícita, se usará la fórmula:
dy E '(x;y) x dx Ey '(x;y)
37
3. Halle
dy 4 2 de la ecuación x (x y) y (3x y) dx
Solución La ecuación implícita es 4
2
5
4
2
3
E(x,y) x (x y) y (3x y) x x y 3xy y 0 , Derivando la ecuación implícita en forma parcial se tiene: 4 2 4 3 2 Ex '(x;y) 5x 4x y 3y y Ey '(x;y) x 6xy 3y
Luego, 4
3
dy 5x 4x y 3y 4 2 dx x 6xy 3y 4. Halle
dy de la ecuación dx
2
2
xy x y
Solución Pasando todo al primer miembro se tiene la ecuación implícita: 2
E(x;y) xy x y 0 Entonces
Ex '(x;y)
y 2x 2 xy
y
Ey '(x;y)
x 1 2 xy
Luego,
y 4x xy y 2x 2 xy 2 xy y 4x xy dy x dx x 2 xy x 2 xy 1 2 xy 2 xy 5. Halle
dy 2 de la ecuación 1 x sen xy dx
Solución 2
La ecuación implícita es E(x,y) sen(xy ) (x 1) , derivando: 2
2
Ex ' y cos(xy ) 1 y
2
Ey ' 2xycos(xy )
Luego se tiene: 2
2
dy y cos(xy ) 1 1 y 2 2 dx 2xycos(xy ) 2xycos(xy ) 2x 38
6. Halle
dy xy 2 2 de la ecuación e x y 1 dx
Solución Pasando todo al primer miembro se tiene la ecuación implícita: xy
2
2
E(x;y) e x y 1 0 Entonces xy
Ex '(x;y) ye 2x
xy
Ey '(x;y) xe 2y
y
Luego, xy E '(x;y) dy ye 2x x xy dx Ey '(x;y) xe 2y
7. Halle
dy 1 2y 1 de la ecuación xe dx xy
Solución 2y 1
La ecuación implícita es E(x,y) xe
2y 1
Ex ' e
2 1
x y
1 0 , derivando: xy 2y 1
y
Ey ' 2xe
2y 1
1
1 xy
2
Luego se tiene:
e
2y 1
2
x ye
1
2y 1
2
dy y(x ye 1) x y x y 2 2 2y 1 2 2 2y 1 1 2y 1 dx 1 x(2x y e 1) 2xe 2 2x y e 2 xy xy 8. Halle
2
2
dy 2 3 de la ecuación arcsen y x y arcsen x dx
Solución Pasando todo al primer miembro se tiene la ecuación implícita: 2 3
E(x;y) arcsen(y) x y arcsen(x) 0 Entonces 3
Ex '(x;y) 2xy
1 1x
2
;
39
Ey '(x;y)
1 1y
2 2
2
3x y
Luego, 3
E '(x;y) dy x dx Ey '(x;y)
2xy 1 1y
1
2xy
1x
2
2 2
2
3x y
3
2
1 x 1 1x 2 2
1 3x y
2
1y
1y
2
2
1 y (2xy 2
3
2
1 x 1) 2 2
1 x (1 3x y
2
x2 1/x cos sen(e ) arcsec(x) 9. Halle la derivada implícita en y y ln x Solución La ecuación implícita es: 2 y x 1/x E(x;y) yln cos sen(e ) arcsec(x) 0 x 2 x 1/x E(x;y) yln(y) yln(x) cos sen(e ) arcsec(x) 0
Luego, la derivada de la función implícita es:
y x2 1/x x2 1/x sen[sen(e ) arcsen(x)][sen(e ) arcsen(x)]' Ex '(x;y) dy x dx Ey '(x;y) ln(y) 1 ln(x) 2 2 2 y 1 x 1/x x 1/x x 1/x sen[sen(e ) arcsen(x)][cos(e )(e )' ] 2 x dy 1 x dx ln(y) ln(x) 1 2 2 y 1 x2 1/x 1 x 1/x x 1/x sen[sen(e ) arcsen(x)][(2x 2 )e cos(e ) ] 2 x x dy 1 x dx y ln 1 x 3 y2 x 10. Halle la derivada implícita en arctan arcsec 18xy e 2x 10
Solución La ecuación implícita es: 3 y2 x E(x;y) arctan arcsec 18xy e 0 2x 10
Luego, la derivada de la función implícita es:
40
2
1y )
'
y2 3 18xy ' 2 x 2x 10 3x e 2 y2 18xy 18xy 2 1 1 2x 10 dy Ex '(x;y) ' dx Ey '(x;y) y2 18xy ' 2x 10 2 y2 18xy 18xy 2 1 1 2x 10 2 2y 2
(2x 10) 2
(2x 10) y dy dx
4
18 y
2 x
18xy 18xy 2 1
3x e
3
2
(2x 10) 2y (2x 10) 2
(2x 10) y
4
18x
18xy 18xy 2 1
2
(2x 10)
2y
2
2
4
1
2 x3
3x e
2 (2x 10) y x 18xy 1 dy 2y(2x 10) 1 dx 2 4 2 (2x 10) y y 18xy 1 2
2y x
18xy 2 1 (2x 10)2 y 4 3x 3ex
3
[(2x 10) y ] 18xy 1 2
2
4
x [(2x 10) y ] 18xy 1 2
dy dx
2
4
2y (2x 10) 18xy 1 (2x 10) y 2
2
2
4
y [(2x 10) y ] 3
2y x dy dx
2
4
18xy 2 1
18xy 2 1 y(2x 10)2 y5 3x3yex
3
[(2x 10) y ] 18xy 1 2
2xy (2x 10) 18xy 1 x(2x 10) xy 2
2
2
4
2
4
2
11. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva en x y x 1 cuya inclinación es de 45º. Solución La pendiente de la recta tangente a la curva es la derivada de la función implícita y(x) evaluada en el punto de tangencia.
m y'(x 0 ;y 0 )
41
'
Ex
' x x 0 y y 0
Ey
En este caso no se conoce el punto de tangencia, por lo cual la pendiente queda en función de las variables “x” e “y”. Es decir:
m y' =
2xy 1 x
(1)
2
Despeje “y” en función de “x”, de la ecuación 2
x y x 1 y
x 1 x
2
Luego, reemplace en (1) y se obtiene:
x 2
m y' =
x
(2)
3
Por otro lado, se sabe también que la pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de dicha recta. Es decir:
m tg(45º) 1
(3)
Entonces de (2) y (3) tenemos:
x 2 x
3
= 1 x3 + x + 2 = 0
Se resuelve la ecuación y se obtiene x = –1. Luego, reemplace el valor de x en la ecuación dada y obtendrá el punto de tangencia (-1;0). Por tanto, la ecuación de la recta tangente a la curva x2y = x + 1 en el punto ( –1 ; 0) es:
x y 1 0 12. Una escalera de 10pies de largo está apoyada contra una pared de un edificio. La parte superior de la escalera se desliza por la pared a razón de 3pies/seg. ¿Con qué rapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superior está a 6 pies del suelo? Solución La escalera se desliza (hacia abajo) a razón de 3pies/seg significa que:
y
dy 3 pies / seg dt
L=10
2
x
2
Del gráfico se tiene: x y 100 Si y=6 entonces x=8
dx . Entonces, por la regla de la cadena se tiene: dt dx dx dy y (3) ( 6 )(3) 9 2,025 dt dy x 8 dt x x 8 8 4 y 6 y 6
El problema pide calcular
La escalera se desliza en el piso a razón de 2,025 pies / segundo en el instante que la escalera está a 6 pies del suelo. 42
13. Suponga que la producción semanal de una compañía es $ 384 000 y que su producción se relaciona con las horas de trabajo “x”, y los dólares de inversión de capital “y”, por medio de 2 384000 30 3 xy . Encuentre e interprete la razón de cambio de la inversión de capital
respecto de las horas de trabajo cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital es de $64000. Solución La producción semanal relacionada a las horas de trabajo e inversión de capital está dada por la siguiente ecuación: 2
E(x,y) 30 3 xy 384000 . Entonces, la razón de cambio de la inversión de capital respecto de las horas de trabajo cuando las horas de trabajo son 512 y la inversión de capital $64 000 es:
dy dx x 512
y 64 000
10x 20x
2/3 2/3
y
1/3 1/3
y
x 512 y 64 000
y 2x x 512
y 64 000
125 62.5 2
Interpretación La inversión de capital respecto a las horas de trabajo disminuye a razón de 62.5 dólares. 14. Suponga que el volumen de ventas “y” de una compañía (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad “x” (en miles de dólares) de acuerdo con xy 20x 10y 0 . Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto el gasto de publicidad cuando x 10 (miles de dólares) Solución La ecuación que relaciona el volumen de ventas y el gasto de publicidad es:
E(x;y) xy 20x 10y 0 Derivada la ecuación implícita con respecto a x.
Ex (x;y) y 20 Derivada la ecuación implícita con respecto a y.
Ey (x;y) x 10 Luego, reemplace en la fórmula y tiene:
dy E (x;y) y 20 x dx Ey (x;y) x 10 Si el gasto de publicidad es x= 10, entonces el volumen de ventas es:
10y 20(10) 10y 0 y 10 Por lo tanto, la razón de cambio del volumen de ventas respecto el gasto de publicidad cuando x 10 (miles de dólares) es: 43
dy 10 20 1 dx x 10 10 10 2 y 10
El volumen de ventas varía en 500 dólares cuando se gasta en publicidad 10 mil dólares. 15. En cierta fábrica, la producción Q se relaciona con los insumos x e y mediante la ecuación: 2
Q(x;y) 3x
2x 3y
(x y)
2
. Si los niveles actuales de insumo son x = 10, y = 25, utilice el cálculo
para determinar el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una reducción de 0,7 unidades en el insumo x, de manera que se mantenga el nivel de producción actual. Solución El nivel actual de producción es: 2
Q(10;25) 3(10)
2(10) 3(25) (10 25)
2
73519 245
Entonces, la ecuación que representa el nivel actual es:
2x 3y
2
3x
(x y)
2
73519 245
dy para que se mantenga el nivel de producción cuando dt
Según el problema nos piden calcular
hay una reducción del insumo x, de 0,7 unidades. Es decir:
dx dy = ?, si 0,7 dt dt Entonces, usando regla de cadena se tiene:
dy dy dt dx Para calcular
dx dt
x 10 y 25
(1)
dy , calcule primero las derivadas parciales de Q(x;y) y evalué en los niveles dx
actuales de los insumos x e y. Es decir:
Ex (x;y) 6x
2
2(x y) 2(2x 3y)(x y) (x y)
4
6x
2(x y) 2(2x 3y) 3
(x y)
6x
2(x 2y) 514476 Ex (x;y) x 10 6x 3 y 25 8575 (x y) x 10 y 25
Ey (x;y)
2
3y(x y) 2(2x 3y)(x y) (x y)
4
3(x y) 2(2x 3y) 3
(x y) 44
x 3y 3
(x y)
2(x 2y) 3
(x y)
Ey (x;y) x 10 y 25
x 3y 3
(x y)
x 10 y 25
17 8575
Entonces, la variación del insumo y respecto del insumo x es:
514476 dy Ex (x;y) 514476 8575 17 dx Ey (x;y) x 10 17 y 25 8575 Por lo tanto, reemplace en (1) y determine el cambio que debe realizarse en el insumo y para compensar una reducción de 0,7 unidades en el insumo x, de manera que se mantenga el nivel de producción actual. Es decir:
dy dy dx 514476 7 1800666 ( )( ) 21184,305 dt dx dt 17 10 85 Esto quiere decir que para mantener el nivel actual de producción se debe de aumentar el insumo y en aproximadamente 21 184 unidades para compensar una reducción de 0,7 unidades del insumo x. 16. En cierta fábrica, la producción está relaciona con los insumos “x” e “y” mediante la ecuación 3 2 2 3 Q(x;y) 2x 3x y (1 y) . Si los niveles actuales de insumo son x 30 , y 20 , estime
el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una reducción de 0.8 unidades del insumo x, de manera que la producción se mantenga en el nivel actual. Solución El nivel actual de producción es: 3
2
2
3
Q(30;20) 2(30) 3(30) (20) (1 20) 66361 Entonces 3
2
2
3
2x 3x y (1 y) 66361 Según el problema nos piden calcular
dy para que se mantenga el nivel de producción cuando dt
hay una reducción del insumo x, de 0,8 unidades. Es decir:
dx dy = ?, si 0,8 dt dt Entonces, usando regla de cadena se tiene:
dy dy dt dx
dx dt
x 30 y 20
45
(1)
Para calcular
dy , calcule primero las derivadas parciales de la ecuación dada y evalué en los dx
niveles actuales de los insumos x e y. Es decir: 2 2 Ex (x;y) 6x 6x Ex (x;y) x 30 (6x 6x) x 30 5580 y 20
y 20
2
Ey (x;y) 2y 3(1 y) Ey (x;y) x 30 [2y 3(1 y)2 ] x 30 1363 y 20
y 20
Entonces, la variación del insumo y respecto del insumo x es:
dy E (x;y) 5580 x dx Ey (x;y) x 30 1363 y 20
Por lo tanto, reemplace en (1) para determinar el cambio que debería realizarse en el insumo y para compensar una reducción de 0,8 unidades en el insumo x, de manera que se mantenga el nivel de producción actual. Es decir:
dy dy dx 5580 8 25 ( )( ) 0,5319 dt dx dt 1363 10 47 Esto quiere decir que para mantener el nivel actual de producción se debe de aumentar el insumo y en 0,53 las unidades para compensar una reducción de 0,8 unidades del insumo x. 17. Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer 2
2
“x” cientos de unidades, donde 3p x 12 .¿Con qué rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 4.00 la unidad y está aumentando a razón de 87 centavos de dólar por mes? Solución
dp dx 0.87 . ? , cuando p=4 y dt dt 2 2 Cuando p=4, reemplace en la ecuación 3p x 12 y se obtendrá el número de unidades x. Es Según el enunciado los datos son:
decir: 2 2 3(4) x 12 x 6 x 6 (no es aplicable a unidades)
Luego,
dx dx dp 3p 4 (0.87) 3 0.87 1.74 dt x 6 dp x 6 dt x x 6 6 p 4
p 4
p 4
Como la oferta está dada en términos de cientos de unidades, se deduce que la oferta está aumentando en 174 unidades por mes.
46
18. Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer 2
2
“x” miles de unidades, donde x 2x p p 31 . ¿Con qué rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 9 la unidad y crece a razón de 20 centavos de dólar por semana? Solución Según el enunciado los datos son: Si p 9 entonces 2
dp dx 0,20 y p 9 ? , dt dt
2
2
x 2x 9 9 31 x 6x 112 0 x 14 La ecuación implícita es: 2
2
E(p;x) x 2x p p 31
dx . Es decir: dt x 14 14 2p 9 2(9) 3 18 p dx dx dp ( )( ) ( )(0,2) (0,2) (0,2) dt dp x 14 dt 28 2(3) 2x 2 p 2(14) 2 9 p 9 x 14
Por lo tanto, use regla de la cadena para calcular
p 9
dx 34 (0,2) 0,206 dt 33 Como la oferta está dada en términos de miles de unidades, se deduce que la oferta está aumentando en 206 unidades por semana.
47
Ejercicios propuestos 3.2. Nivel 1 En los problemas del 1 al 15, halle 2
1.
y 2xy 3y 3
2.
x y 2xy 5
3.
dy mediante derivación implícita. dx
3
9.
2
y x ln
3
1 2y 1 xe xy 11. x ln(xy) 31y 0 10.
2
y x xy
4. 2y 1 xy
3 2
5. 3xy 5x x y 2
2
y
x 1
y x
xy
2
12. e 2lny 2x 0
6.
yx xy x 2y 0
7.
ye e
8.
xy (x y)
2
2
13. acos (x y) b 14. tany xy 2 15. arctan(x y) x
2
Nivel 2 Hallar la derivada de las siguientes funciones. x
1. y (arctanx) 2
sen(x)
2. y [cos (x)]
3. y
x 1 3
2
3
(x 2)
(x 3)
2
3
4. (x y) (2x y) 1
y 1 x 2
2
5. arctan ln x y
y x
2
6. arctan x y
2
2
2
3
7. ¿En qué punto de la curva y 2x la tangente es perpendicular a la recta 4x 3y 2 0 ? 3
3
2
8. Escriba las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva x y y 2x 6 0 en el punto cuya ordenada es y 3 4
4
9. Escribe las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva y 4x 6xy en el punto (1, 2) 10. Hallar la ecuación de la recta tangente al folio de Descartes x3 + y3 = 6xy en el punto (3;3)
48
11. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por 2
2
medio de la ecuación: S 14 I SI I; donde S e I están en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I = 16 y S = 12. 12. Cuando el precio de cierto artículo es p dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a ofrecer 2
3
x cientos de unidades, donde 2p x 10 . ¿Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 10.00 la unidad y está aumentando a razón de 50 centavos de dólar por mes? 13. Suponga que la producción semanal de una compañía es $ 280 000 y que su producción se relaciona con las horas de trabajo, x, y los dólares de inversión de capital, y, por medio de
482000 30x
2/3 4/3
y
. Encuentre e interprete la razón de cambio de la inversión de capital respecto de las horas de trabajo cuando las horas de trabajo son 500 y la inversión de capital es de $44000. 14. Sea la ecuación de demanda de audífonos p
1000 3
(x 2)
donde p es el precio por audífonos en
dólares y x se da en cientos de audífonos demandados. Encuentre la razón de cambio de la demanda respecto del precio cuando se demandan 10 cientos de audífonos. 15. Suponga que el volumen de ventas de una compañía y (en miles de dólares) se relaciona con los gastos de publicidad x (en miles de dólares) de acuerdo con 2xy 10x 5y 0 . Encuentre la razón de cambio del volumen de ventas respecto el gasto de publicidad cuando x=20 (miles de dólares) Nivel 3 3
x2y2
3
1.
Halle la derivda implícita en la ecuaión y ln(xy ) e
2.
Halle la derivda implícita en la ecuaión x y x
3.
Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en x2y = x + 1 cuya inclinación es de 45 .
4.
Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra una pared de un edificio. La parte superior de la escalera se desliza por la pared a razón de 3pies /seg. ¿Con que rapidez se aleja del edificio la parte inferior de la escalera cuando la parte superior está a 6 pies del suelo?
5.
Suponga que una compañía puede producir 12 000 unidades cuando el número de horas de
y
x
5 xy 23
x o
3/4
2/3
trabajo calificado, y, y no calificado, x, satisfacen 300 (x 1) (y 2) . Encuentre la tasa de cambio de las horas de trabajo calificado respecto de las horas de trabajo no calificado cuando x=200, y= 200. Podemos usar esto para hacer una aproximación del cambio en horas de trabajo calificado requerido para mantener el mismo nivel de producción cuando se aumentan las horas de trabajo no calificado en una hora. 6.
En cierta fábrica, la producción que está relaciona con los insumos x e y mediante la ecuación 2
2
Q 3x xy (3 y) . Si los niveles actuales de insumo son x = 20, y = 10, estime el cambio que debería realizarse en el insumo y, para compensar una reducción de 1 unidad del insumo x, de manera que la producción se mantenga en el nivel actual. 7.
Un fabricante de calzado puede utilizar su planta con el fin de producir zapatos para dama o caballero. Si él fabrica x (en miles de pares) zapatos para dama a la semana, entonces x e y 2
2
están relacionados por la ecuación: 2x y 25. (Ésta es la ecuación de la transformación del producto). Si la utilidad es de S/. 30 por cada par de zapatos, calcule la utilidad marginal con respecto a x si x = 2. 49
8.
Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a 2
2
ofrecer x miles de unidades, donde 3x 2xp p 30 . ¿Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 5.00 la unidad y crece a razón de 10 centavos de dólar por semana? 9.
Cuando el precio de cierto artículo es “p” dólares la unidad, el fabricante está dispuesto a 2
2
ofrecer x miles de unidades, donde x 2x p p 31 . ¿Con que rapidez cambia la oferta cuando el precio es de $ 9.00 la unidad y crece a razón de 20 centavos de dólar por semana? 3
2
3
10. Suponga que la producción de cierta fábrica es: Q 2x x y y unidades donde “x” es el número de horas de trabajo calificado utilizado y “y” es el número de horas de trabajo no calificado. La fuerza laboral actual consta de 30 horas de trabajo calificado y 20horas de trabajo no calificado. Utilice el cálculo para hallar el cambio que debería realizarse en el trabajo no calificado “y” para compensar un aumento de 1 hora en trabajo calificado “x”, de manera que la producción se mantenga en su nivel actual. 2
3
2
16. La curva con ecuación y x 3x se llama cúbica de Tschirnhausen. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta curva, en el punto (1;–2). ¿En cuál de los puntos esta curva tiene una tangente horizontal? 2
2
2
2
17. Si la pendiente de la recta tangente a la curva x y a y x a en el punto de abscisa x 1 es 1, hallar el valor de “ a ”. 4
2
18. Si una recta tangente a la curva x 2x x y 0 en el punto (–1 ; 0) es también tangente a la misma curva en el punto P(a; b), halla las coordenadas de P. 2
2
19. Si las tangentes a las curvas 2x 8x y 1 0 y x 8x 2y 5 0 son paralelas y los puntos de tangencia están sobre una vertical. Hallar las coordenadas de dichos puntos. 20. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades hacia la derecha del eje Y y una 2
2
sombra creada por la región elíptica x 4y 5 . Si el punto (–5; 0) está en el borde de la sombra, ¿cuán arriba del eje X está la lámpara? Y
3
–5
50
X
3.3. TRAZADO DE CURVAS Valores máximos y mínimos de una función Definición. Diremos que una función f tiene un valor máximo absoluto en c Df si se cumple:
f(x) f(c); x Df Definición. Diremos que una función f tiene un valor mínimo absoluto en el punto c Df si se cumple:
f(x) f(c); x Df Definición. Diremos que una función f tiene un valor máximo relativo en el punto c Df , si existe 0 tal que se cumple:
f(x) f(c) si x c Definición. Diremos que una función f tiene un valor mínimo relativo en el punto c Df , si existe 0 tal que se cumple:
f(c) f(x) si x c Definición. Diremos que una función f tiene un extremo relativo en el punto c Df , si f(c) es un valor máximo relativo o un valor mínimo relativo. Máx. Absoluto
y Máx. Relativo
f
Máx. Relativo Min. Relativo Min. Absoluto
Min. Relativo
x
Teorema ( EXTREMO ESTACIONARIO) '
'
Si la función f tiene un extremo relativo en el punto c y si existe f (c) entonces f (c) 0 Demostración '
Sea c a,b , consideremos f(c) un valor máximo relativo suponiendo que f (c) existe entonces existe c ,c con 0 , tal que x c f(x) f(c) f(x) f(c) 0 Si x c ,c x c x c 0 Luego x c ,c ,
f(x) f(c) 0. x c 51
Aplique límite lateral por la izquierda se tiene:
f(x) f(c) ' 0 f (c) 0....................(1) x c x c
f '(c) lim
x c,c
x c x c 0 f(x) f(c) 0. x c
Luego x c,c ,
Aplicque límite lateral por la derecha y se tiene:
f(x) f(c) ' 0 f (c) 0....................(2) x c x c
f '(c) lim
'
'
Como f (c) existe entonces de (1) y (2) se tiene que f (c) 0 Definición (Valor crítico) Sea c Df , si f'(c) 0 o bien f'(c) no existe entonces c se denomina un valor crítico para f. Si c es un valor crítico, entonces el punto (c,f(c)) se denomina un punto crítico para f. Ejemplos 4
3
2
Encuentre los valores críticos para la función f si f(x) x 8x 2x 24x 1
1.
Solución '
Por definición se tiene f (x) 0 , es decir: '
3
2
f (x) 4x 24x 4x 24 0 3
2
2
4x 24x 4x 24 0 (x 1)(x 6) 0 x {6; 1;1} Por lo tanto los valores críticos para f son {6; 1;1}
x
4
2.
x 3 Encontrar los valores críticos de: f(x) x
Solución '
Al derivar la función dada se obtiene f (x)
4
3(x 1) x
2
' ' f (x) 0 ó no existen f (x) .
52
, luego los valores críticos se obtienen cuando
'
4
Si f (x) 0 etonces x 1 0 x 1 '
2
Si f (x) no existe entonces x 0 x 0 . Entonces podríamos decir que 1;0;1 son los valores críticos para f, lo cual no e cierto pues la función f no está definida en x 0 . Por lo tanto, los valores críticos para f son 1;1 . Luego x 0 es un punto de discontinuidad.
x
TEOREMA DE WEIERSTRASS Si una función f es continua en un intervalo
a,b (compacto)
entonces existen al menos
x1 ; x2 a,b tal que la función f alcanza sus extremos absolutos. Es decir f(x1 ) f(x) f(x2 ) , x [a,b] TEOREMA DE ROLLE Sea f una función tal que: (a) Es continua en el intervalo cerrado a,b (b) Es derivable en el intervalo abierto a,b (c) f(a) f(b) 0 '
Entonces existe un número c tal que a c b y f (c) 0 y
Interpretación geométrica
f '(c) 0 En algún punto c de la curva sobre el a,b la recta intervalo abierto
f(c)
Lt
tangente L t es paralela al eje x
a
53
c
b
x
DEMOSTRACIÓN De (a) se tiene que f es continua en el intervalo cerrado a,b entonces, por el teorme ade Weierstrass, f tiene un mínimo y un máximo absoluto en a,b . Es decir, existen c1 y c2 a,b tal que f(c1 ) f(x), x a,b f(c2 ) f(x), x a,b , por lo tanto f(c1 ) es mínimo relativo y
f(c2 ) es máximo relativo Si c1 a,b , f(c1 ) es mínimo relativo y f derivable en a,b entonces por el teorema de extremo estacionario se tiene: f '(c1 ) 0 y el teorema queda demostrado Si c2 a,b , f(c2 ) es máximo relativo y f derivable en a,b entonces por el teorema de extremo estacionario se tiene: f '(c2 ) 0 y el teorema queda demostrado Si c1 y c2 son los extremos del intervalo a,b , es decir c1 a ; c2 b entonces por (c) se tiene
f(c1 ) f(c2 ) 0 . Esto quiere decir, que el minimo y el máximo son iguales y valen cero por lo tanto la función es nula en todo el intervalo, es decir f(x) 0, x a,b . Entonces f'(x) 0, x a,b en particular para x=c y nuevamente se cumple el teorema. Ejemplo
Verificar si se cumple el teorema de Rolle para la función f(x) 2x 3x 2 , x 1 / 2,2 2
a) La función f es continua en 1 / 2,2 b) La función f es derivable en 1 / 2,2 c) f(1 / 2) f(2) 0 por lo tanto cumple con el Teorema de Rolle, entonces calcularemos
c 1 / 2,2 ' ' f (x) 4x 3 para c 1 / 2,2 f (c) 4c 3 0 c
3 4
TEOREMA DEL VALOR MEDIO Sea f una función continua en el intervalo a,b y derivable en a,b , entonces existe c a,b tal que:
f'(c)
f(b) f(a) ba
Demostración Sea m la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) , entonces
m
f(b) f(a) ba
Entonces la ecuación de la recta secante es:
g(x) f(a) m(x a) f(a)
f(b) f(a) (x a) ba
Luego, definamos la función:
F(x) f(x) g(x) f(x) f(a) m(x a) f(x) f(a) 54
f(b) f(a) (x a) ba
La función F está bien definida, es continua en el intervalo a,b y es derivable en el intervalo a,b pues las funciones f y g lo son.
F(a) f(a) f(a) m(a a) 0 y F(b) f(b) f(a)
f(b) f(a) (b a ) 0 , entonces F(a) F(b) 0 . ba
Por el teorema de Rolle existe c a,b tal que
F'(c) f'(c) g'(c) f'(c) m f'(c)
f'(c)
f(b) f(a) 0 ba
f(b) f(a) ba
Ejemplo
Determinar el valor de c que cumpla con el T.V.M para f(x) x 2x 1 , x 1,4 2
a) f(x) es continua en 1,4 b) f(x) es derivable en 1,4 '
Luego c 1,4 tal que f (c) 2
'
f(4) f(1) 9 4 1. 4 (1) 5 '
Si f(x) x 2x 1 f (x) 2x 2 f (c) 2c 2 1 c
3 2
3 2
Por lo tanto c 1,4
Funciones crecientes y funciones decrecientes Definición 1. Diremos que f es una función creciente en el intervalo I si para todo par de números x1 ,x2 I , se tiene que:
f(x1 ) f(x2 ) si x1 x2 Definición 2. Diremos que f es una función decreciente en el intervalo I si para todo par de números x1 ,x2 I , se tiene que:
f(x1 ) f(x2 ) si x1 x2 TEOREMA Si f es una función continua en el intervalo cerrado a,b y derivable en a,b , entonces: 1.
Si f'(x) 0 x a,b entones f es creciente en
2.
Si f'(x) 0 x a,b entonces f es decreciente en
a,b
a,b
Demostración 1.
Sea x1 ,x2 a,b entonces la función f cumple con la hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo x1 ,x2 a,b . Es decir x x1 ,x2 tal que f'(x) Por otro lado, 55
f(x2 ) f(x1 ) . x 2 x1
x1 ,x2 a,b x1 x2 x2 x1 0 y f'(x) 0 f'(x)
f(x2 ) f(x1 ) 0, x x1 ,x2 x 2 x1
Luego, f(x2 ) f(x1 ) 0; si x2 x1 0 x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) Por lo tanto, f es creciente en el intervalo a,b Sea x1 ,x2 a,b entonces la función f cumple con la hipótesis del teorema del valor medio
2.
en el intervalo x1 ,x2 a,b . Es decir x x1 ,x2 tal que f'(x)
f(x2 ) f(x1 ) . x 2 x1
Por otro lado,
f(x2 ) f(x1 ) 0, x x1 ,x2 x 2 x1 Luego, f(x2 ) f(x1 ) 0; si x2 x1 0 x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
x1 ,x2 a,b x1 x2 x2 x1 0 y f'(x) 0 f'(x)
Por lo tanto, f es decreciente en el intervalo
a,b
Criterio de la primera derivada para extremos relativos.
Supongamos que f es una función continua en a,b y sea c a,b un valor crítico para f y f ' definida en a,b excepto posiblemente en "a" , entonces:
y 1.
f'(x) 0
f(c)
Si:
f'(x) 0
'
a) f (x) 0 x a,c '
b) f (x) 0 x c,b entonces f(c) es un valor máximo relativo de f .
x a
c
b
y 2.
Si:
f'(x) 0
'
a) f (x) 0 x a,c '
b) f (x) 0 x c,b
f(c)
entonces f(c) es un valor mínimo relativo de f .
f'(x) 0 a
3.
c
x b
Si la deriva de f no cambia de signo cuando x pasa por c entonces f(c) no es un valor máximo ni mínimo relativo.
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
Supongamos que f'' es continua en algún intervalo abierto I que contiene a c y que f'(c) 0 , entonces: 1.
Si f''(x) 0, x I entonces f(c) es un valor mínimo relativo.
2.
Si f''(x) 0, x I , entonces f(c) es un valor máximo relativo. 56
TEOREMA Sea f una función de variable real derivable en a,b ''
a) si f (x) 0 x a,b , entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre a,b . ''
b) si f (x) 0 x a,b , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre a,b .
TEOREMA Sea f una función derivable hasta de segundo orden en c ,c , excepo tal vez en x=c pero continua en x=c , además
f''(c) 0 f''(c) y f'' tiene signos opuestos en c ,c y
c,c Entonces (c,f(c)) es un punto de inflexión Ejemplo Determina
los
4
intervalos 3
de
concavidad
y
los
puntos
de
inflexión
de
la
función
2
f(x) 3x 10x 12x 10x 9 . Solución Derivar la función dos veces y se tiene: 3
2
f'(x) 12x 30x 24x 10 2
f''(x) 36x 60x 24 12(x 2)(3x 1) Igualar a cero la segunda derivada de la función para encontrar los valores críticos para f'' y los intervalos de concavidad. Es decir: 2
36x 60x 24 0 (x 2)(3x 1) 0 x 2, x
1 3
Ubicarr los valores crítcos para f'' en la recta real y analizar el signo de cada intervalo de la función 2
f''(x) 36x 60x 24 12(x 2)(3x 1) –
+ -1/3
2
Por lo tanto, Intervalos de concavidad:
f es cóncava hacia arriba en ;
f es cóncava hacia abajo en ,2
+
1 2; 3
1 3
Puntos de inflexión:
1 1 1 128 3 ;f 3 3 ; 27 y 2;f 2 2; 51 57
Procedimientos para trazar una curva 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Dominio de la función Determine las intersecciones con los ejes coordenados. Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función. Calcule los valores máximos y/o mínimos relativos de la función, si existen. Determine los intervalos de concavidad Halle los puntos de inflexión de la función, si existen. Determine las asíntotas de la función Trazar la gráfica de la función
Ejercicios resueltos En las siguientes funciones del 1 al 8 determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, luego trazar la gráfica. 1.
3
f(x) x 3x
2
Solución a) Dominio de la función
Df b) Intersección con los ejes El eje X (y=f(x)=0) 3
2
2
x 3x 0 x (x 3) 0 x 0 x 3 Por lo tanto, los puntos de intersección con el eje X son: ( 0 ; 0 ) y ( 3 ; 0 ) Intersección con el eje Y (x=0) 3
2
y f(0) 0 3(0) 0 Por lo tanto, el punto de intersecció con el eje Y es: ( 0 ; 0 ) c) Intervalos de crecimiento Derivar la función e igualar a cero para encontrar los valores críticos para la derivada y los intervalos de crecimiento. Es decir: '
2
f (x) 3x 6x 0 x 0 y x 2
; 0 la función f crece
–
0; 2 la función f decrece
+
0
+ 2
2; la función f crece
58
d) Valores máximos y mínimos relativos Evaluamos los valores críticos de f ' en la función f y obtenemos los valores máximos y mínimos: Valor máximo: 3
2
f(0) 0 3(0) 0 Valor mínimo: 3
2
f(2) 2 3(2) 8 12 4 e) Intervalos de concavidad Derivar por segunda vez la función e igualar a cero para encontrar los valores críticos de la segunda derivada y los intervalos de concavidad. Es decir:
f''(x) 6x 6 0 x 1
; 1 la función f es cóncava hacia abajo
–
+
1; la función f es cóncava hacia arriba
1
f) Puntos de inflexión Evaluar los valores críticos de la segunda derivada en la función dada y se obtendrá el punto de inflexión. Es decir:
(1; f(1)) (1; 2) g) Asíntotas Vertical No existen asíntotas verticales Horizontal 3
2
lim (x 3x )
x
Punto máximo
No existe asíntota horizontal Oblicua 3
x
2
(x 3x ) 2 m lim lim (x 3x) x x x Por lo tanto, no tiene asíntota oblicua h) Gráfica Se construye el siguiente cuadro resumen. Intervalos Signo Signo Curva de f ' de f''
; 0
+
–
0; 1
–
–
1; 2
–
+
2;
+
+
Punto de inflexión Punto mínimo
Ubicar en el eje X, las intersecciones, todos los valores críticos, luego los valores máximos y mínimos, los puntos de inflexión y finalmente se grafica según el cuadro resumen.
59
2.
1
2
f(x) x
x
2
Solución a) Dominio de la función
0
Df
b) Intersección con los ejes El eje X (y=f(x)=0)
1
2
x
x
2
0
4
x 1 x
2
0 (Absurdo)
Por lo tanto, no existe intersección con el eje X El eje Y (x=0)
y f(0) no existe entonces no hay intersección con ele eje Y. c) Intervalos de crecimiento Derivar la función e igualar a cero para encontrar los valores críticos para la derivada y los intervalos de crecimiento. Es decir:
f'(x) 2x 4
2
(x 1) x
3
x
3
0
0 x 0 , x 1 , x 1
; 1 la función f decrece
1;0 la función f crece
–
2
–
+ –1
0
0;1 la función f decrece
+
1; la función f crece
1
d) Valores máximos y mínimos relativos Evaluamos los valores críticos de f ' en la función f y obtenemos los valores máximos y mínimos: Valor máximo: No tiene pues 0 Df Valores mínimos relativos: 2
f(1) (1)
1
2
2
(1)
1 1 2 ; f(1) (1)
1 2
(1)
11 2
e) Intervalos de concavidad Derivar por segunda vez la función e igualar a cero para encontrar los valores críticos de la segunda derivada y los intervalos de concavidad. Es decir:
60
f''(x) 2
6 x
0
4
+
4
2(x 3) x
4
0 x0
; 0 la función f es cóncava hacia arriba
+
0; la función f es cóncava hacia arriba
0
f) Puntos de inflexión No tiene punto de inflexión pues la segunda derivada no cambia de signo en toda la recta real. g) Asintotas Vertical
Horizontal
1 2 1 lim x 2 0 x 0 x 0
2 1 lim x 2 x x
Por lo tanto, x=0 es una asíntota vertical
Por lo tanto, no existe asíntota horizontal
Oblicua
2 1 x 2 x m lim x x
1 lim x 3 x x
Por lo tanto, no existe asíntota oblicua h) Gráfica Se construye el siguiente cuadro resumen. Intervalos
Signo de f '
Signo de f''
; 1]
–
+
1;0]
+
+
0;1]
–
+
1; ]
+
+
Curva
x
61
3.
3
2
f(x) x (1 x)
Solución a) Dominio de la función
Df b) Intersección con los ejes Eje X (y=0) 3
2
x (1 x) 0 x 0;x 1 Por lo tanto, los puntos de intersección son: ( 0 ; 0 ) y ( 1 ; 0 ) Eje Y (x=0) 3
2
y f(0) 0 (1 0) 0 Por lo tanto, el punto de intersección es: ( 0 ; 0 ) c) Intervalos de crecimiento 2
2
3
2
3
3
f'(x) 3x (1 x) 2x (1 x) (1 x)(3x 3x 2x ) 0 3 x2 (1 x)(3 5x) 0 x 0 , x 1 , x 5 ; 0 la función f crece +
–
+ 0
1
3/5
0; 35 la función f crece
+
3 ;1 5
la función f decrece
1; la función f crece d) Valores máximos y mínimos relativos Valor máximo:
Valor mínimo:
f(1) 0
3 f( ) 0,03456 5 e) Intervalos de concavidad 3
2
f''(x) (3x 5x ) (1 x)(6x 15x ) 0 2x(10x2 12x 3) 0 x 0 x a
6 6 6 6 x b 10 10
; 0 la función f es cóncava hacía abajo
0;b la función f es cóncava hacía arriba –
–
+ 0
b
+
a
b;a la función f es cóncava hacía abajo
a; la función f es cóncava hacía arriba
62
f) Puntos de inflexión (
6 6 6 6 6 6 6 6 ; f( )) = (0,36;0,0186) ; ( ; f( )) = (0,85;0,0145) 10 10 10 10
(0;f(0)) = (0;0) g) Gráfica Intervalos
Signo de f '
1. Signo de f''
;0]
+
-
+
+
6 6 3 ; ] 10 5
+
-
3 6 6 ; ] 5 10
–
-
–
+
+
+
0;
6 6 ] 10
6 6 ;1] 10
1; ]
f(x)
4.
Curva
x
50 8 x4
Solución a) Dominio de la función
Df
4
b) Intersección con los ejes Eje X (y=0)
50 50 9 8 0 8 50 8(x 4) 8x 18 x x4 x 4 4
9 4
Por lo tanto, el punto de intersección es: ( ;0)
Eje Y (x=0)
y f(0)
50 9 8 04 4
9 4
Por lo tanto, el punto de intersección es: (0; ) 63
c) Intervalos de crecimiento
f'(x)
50 2
(x 4)
–
0 La función f es decreciente en todo su dominio
–
4
d) Valores máximos y mínimos relativos No tiene máximo ni mínimo relativos
e) Intervalos de concavidad
f''(x)
100 3
(x 4)
–
0
; 4 la función f es cóncava hacía abajo
+ 4
4; la función f es cóncava hacía arriba
f) Puntos de inflexión No tiene punto de inflexión pues 4 Df g) Asintotas Vertical
50 lim 8 x 4 x 4
50 lim 8 x 4 x 4
Por lo tanto, la recta x=4 es una asíntota vertical. Horizontal
50 lim 8 8 x x 4 Por lo tanto, la recta y=8 es una asíntota horizontal Oblicua
8 50 m lim 2 0 x x 4x x Por lo tanto, no existe asíntota oblicua
64
h) Gráfica En resumen: Intervalos
Signo de f '
Signo de f''
;4]
–
–
4; ]
–
+
2
5.
Curva
3
(x 5) f(x) 125
Solución a) Dominio de la función
Df b) Intersección con los ejes Eje X (y=0) 2
3
(x 5) 2 2 0x 50x 5x 5 x 5 125 Por lo tanto, los puntos de intersección son: ( 5;0) ; ( 5;0) Eje Y (x=0)
y f(0)
2
3
(0 5) 1 125
Por lo tanto, el punto de intersección es: (0; 1) c) Intervalos de crecimiento
f'(x)
–
2 6x 2 2 x 5 0 x 0 x 5 0 x 0, x 5 o x 5 125
–
5
+ 0
+
5
; 5
la función f decrece
5; 0
la función f decrece
0; 5
la función f crece
5; 65
la función f crece
d) Valores máximos y mínimos relativos Valor máximo:
Valor mínimo:
f(0) 1
No tiene e) Intervalos de concavidad
6 2 2 2 2 (x 5) 4x (x 5) 0 125 2 2 6(x 5)(x 1) 0 x 5 x 5 x 1 x 1 25
f''(x)
–
+
–
+ –1
5
1
5
; 5
la función f es cóncava hacia arriba
5; 1
la función f es cóncava hacia abajo
1;1
la función f es cóncava hacia arriba
1; 5
la función f es cóncava hacia abajo
5 ;
+
la función f es cóncava hacia arriba
f) Puntos de inflexión
5;f( 5) 5;0 ;
5 ;f( 5)
5 ;0 ; 1;f(1) 1; 0,512 y
1;f(1) 1; 0,512 g) Asintotas Una función polinómica no tiene asíntotas. h) Gráfica Intervalos
; 5
Signo Signo de f ' de f'' – + –
–
1;0
–
+
0;1
+
+
1; 5
+
–
+
+
5; 1
5;
Curva
66
6.
f(x)
2
x 4x 2
x 8x 16
Solución a) Dominio de la función
f(x)
2
x 4x 2
x 8x 16
2
x 4x
2
(x 4)
Df
4
b) Intersección con los ejes Eje X (y=0) 2
x 4x 2
(x 4)
0 x2 4x 0 x 0 ; x 4
Por lo tanto, los puntos de intersección son: (0;0) y (4;0) Eje Y (x=0)
y f(0)
2
0 4(0) 2
(0 4)
0
Por lo tanto, el punto de intersección es: ( 0 ; 0 ) c) Intervalos de crecimiento
f'(x)
2
4
(x 4)
x
2(x 2)(x 4) 2x(x 4) 3
(x 4)
4(3x 4) 3
(x 4)
–
+
-4
4/3
; 4
la función f crece
4; 43
la función f decrece
4 ; 3
la función f crece
d) Valores máximos y mínimos relativos Valor máximo: No tiene pues 4 Df
Valor mínimo:
f( 43 )
1 8
e) Intervalos de concavidad
f(x)
0
4 x 4 3
+
2
(2x 4)(x 4) 2(x 4x)(x 4)
3
2
12(x 4) 3(12x 16)(x 4) 6
(x 4)
24(4 x) 4
(x 4)
67
0 x 4 x 4
; 4 la función f es cóncava hacia arriba +
–
+ –4
4
f) Puntos de inflexión
4; 4
la función f es cóncava hacia arriba
4;
la función f es cóncava hacia abajo
4;f(4) 4;0
g) Asintotas Vertical
x2 4x lim x 4 (x 4)2 Por lo tanto, no existe asíntota vertical Horizontal
x2 4x x2 4x lim lim 1 x (x 4)2 x x2 8x 16 Por lo tanto, la reta y=1 es una asíntota horizontal. Oblicua 2 x2 4x x 4x lim lim 0 2 3 2 x x(x 4) x x 8x 16x
Por lo tanto, no tiene asíntota oblicua 1. Gráfica: h) Gráfica Signo Signo Intervalos Curva de f ' de f''
; 4
+
+
4 3
–
+
4 ;4 3
+
+
4;
+
–
4;
x
68
7.
x
f(x)
1x
2
Solución a) Dominio de la función
Df b) Interseccion con los ejes Eje X (y=0)
x 1x
2
0x0
Por lo tanto, el punto de intersección es: (0;0) Eje Y (x=0)
y f(0)
0
0
2
1 0
Por lo tanto, el punto de intersección es: (0;0) c) Intervalos de crecimiento
1x
f'(x)
2
0 x 1 x 1
2 2
(1 x )
; 1 la función f decrece
–
–
+
–1
1
1; 1
la función f crece
1;
la función f decrece
d) Valores máximos y mínimos relativos Valor máximo:
Valor mínimo:
1 f(1) 2
f(1)
1 2
e) Intervalos de concavidad
f''(x)
2
2x(x 3) 2
3
(x 1)
0 x1 0, x 2 3 , x 3 3
; 3 la función f es cóncava hacia abajo –
–
+
3
0
+
3
3; 0
la función f es cóncava hacia arriba
0; 3
la función f es cóncava hacia abajo
3; 69
la función f es cóncava hacia arriba
f) Puntos de inflexión
3 3;f( 3) 3; y 4
3 3;f( 3) 3; 4
g) Asintotas Vertical No tiene asíntota vertical pues el denominador es diferente de cero. Horizontal
x lim 0 x 1 x2 Por lo tanto, la recta y=0 es una asíntota horizontal Oblicua
1 m lim 0 x 1 x2 Por lo tanto, no tiene asíntota oblicua. h) Gráfica Intervalos
; 3
Signo de f ' –
Signo de f'' –
3, 1
–
+
1;0
+
+
0;1
+
–
1; 3
–
–
–
+
3;
8.
f(x)
Curva
x
2x 2
x 1
Solución a) Dominio de la función
Df
1;1
70
b) Intersección con los ejes Eje X (y=0)
2x 2
x 1
0 x0
Por lo tanto, el punto de intersección es: (0;0) Eje Y (x=0)
y f(0)
2(0) 2
0 1
0
Por lo tanto, el punto de intersección es: (0;0) c) Intervalos de crecimiento
f'(x)
2
2(x 1) 2x(2x) 2
2
(x 1)
–
2
2(x 1) 2
–
2
(x 1)
0 x 1 x 1
; 1 la función f decrece
–
–1
1
1; 1
la función f decrece
1;
la función f decrece
d) Valores máximos y mínimos relativos No tiene valores máximos ni minimos la función pues es decreciente en todo su dominio e) Intervalos de concavidad
f (x)
2
4x(x 3) 2
3
(x 1)
0 x 0 x 1 x 1
; 1 la función f es cóncava hacia abajo –
–
+
–1
0
f) Puntos de inflexión
+
1
1; 0
la función f es cóncava hacia arriba
0; 1
la función f es cóncava hacia abajo
1;
la función f es cóncava hacia arriba
0,f(0) 0,0
Para x 1 no existen los puntos de inflexión pues estos valores no están en el dominio de la función g) Asintotas Vertical
2x 2x lim 2 ; lim 2 x 1 x 1 x 1 x 1 71
2x lim 2 ; x 1 x 1
2x lim 2 x 1 x 1
Por lo tanto, las rectas x = –1 y x = 1 son asíntotas verticales. Horizontal
2x lim 2 0 x x 1 Por lo tanto, la recta y = 0 es una asíntota horizontal Oblicua
2 m lim 2 0 x x 1 Por lo tanto, no existe asintota oblicua h) Gráfica
Intervalos Signo de f ' – ; 1
Signo de f'' –
1;0
–
+
0;1
–
–
1;
–
+
Curva
x
9.
Esbozar la gráfica de la función con sus respectivas características
a)
f(2) f(4) 9 , f'(x) 0; si x 3 , f'(3) , f'(x) 0; si x 3 y f''(x) 0; si x 3 Solución f'(x) 0; si x 3 , significa que la función f es creciente en el intervalo
; 3
f'(3) , significa que x=3 es asíntota vertical. f'(x) 0; si x 3 , significa que la función f es decreciente en el intervalo
3;
f''(x) 0; si x 3 , significa que la concavidad siempre es hacia arriba para todo x 3 .
72
Gráfica
f '(x) 0
f '(x) 0
x
b)
f(0) f(2) 0 , f'(x) 0; si x 1 , f'(1) 0 , f'(x) 0; si x 1 y f''(x) 0 Solución f'(x) 0; si x 1 , significa que f es decreciente en el intervalo ; 1 f'(x) 0; si x 1 , significa que f es creciente en el intervalo 1; De las hipótesis anteriores y f'(1) 0 implica que f(1) es valor minimo f''(x) 0 Significa que la gráfica es cóncava hacia arriba en todo su dominio. Gráfica.
x 0
1
2
Valor mínino
10. Halle los puntos de inflexión (si los hay) y esbozar la gráfica de n
f(x) (x c) ; n 1,2,3,4 ¿Qué conclusión se obtiene sobre la existencia de puntos de inflexión según el valor de n?
73
Solución Derivar por primera vez: n1
f'(x) n(x c)
; n 1,2,3,4
Derivar por segunda vez: n2
f''(x) n(n 1)(x c)
; n 1,2,3,4
Si n=1 entonces no existe punto de inflexión pues la función es lineal y la segunda derivada es cero. Si n=2 entonces no existe punto de inflexión pues la segunda derivada es positiva para todo x. Si n=3 entonces ( c ; 0 ) es un punto de inflexión pues:
f''(x) 6(x c)
–
+
c
2
Si n=4 entonces ( c ; 0 ) no es un punto de inflexión pues f''(x) 12(x c) 0; x c >0. Esto sifgnifica que la función es cóncava hacia arriba en todo su dominio. 2
11. Pruebe que el punto de inflexión de: f(x) x(x 6) está a medio camino entre los extremos relativos de f. Solución Calculo de los extremos relativos 2
f'(x) (x 6) 2x(x 6) (x 6)(3x 6) 0 Valores críticos: x=6;x=2
–
+
+
2
6
Los extremos relativos son: (2 ; 32) y (6 ; 0) Calculo de los puntos de inflexión
f''(x) (3x 6) 3(x 6) 6x 24 0 Puntos críticos: x= 4 – –
+
4
Entonces, el punto de inflexión es:
(4;16) (
2 6 32 0 ; ) 2 2
Por lo tanto, el punto de inflexión está en el medio de los extremos relativos. 74
Máximo Relativo Punto de Inflexión
Minimo Relativo
12. Demostrar que una función cúbica con tres ceros reales distintos tiene un punto de inflexión cuya coordenada x es el promedio de las de los tres ceros. Demostración Sea f(x) (x a)(x b)(x c) la función cúbica con tres ceros reales y diferentes. Es decir, la función corta al eje X en x a; x b; x c . Derivar la función e igualar a cero para obtener los valores críticos de f ' : 2
f'(x) 3x (2a 2b 2c)x a(b c) bc 0 Resuelva la ecuación usando la fórmula general y se tiene: 2
2
(a b c) 3(ab ac bc) (a b c) (a b c) 3(ab ac bc) (a b c) , x x 3 3 Analicemos estos valores críticos: 2
Supongamos que (a b c) 3(ab ac bc) 0 entonces f'(x) 0; x R y esto quiere decir que la función es creciente en todo su dominio por lo cual entra en contradicción con la hipótesis que la función tiene tres ceros reales y diferentes. 2
Por lo tanto, se concluye que (a b c) 3(ab ac bc) 0 y los valores críticos de la función derivada son reales y diferentes. Es decir, la función tiene extremos relativos. Derive por segunda vez la función f e iguale a cero para hallar los valores críticos para f'' y calcular el punto de inflexión. Es decir:
f''(x) 6x 2(a b c) 0
El valor crítico es:
x
ab c 3
Ubiquemos en la recta real y se tiene: Por lo tanto, como la segunda derivada cambia de – –
+
abc 3
+
signo se demuestra que x
ab c genera un 3
punto de inflexión y es el promedio aritmético de los ceros de la función dada.
75
Ejercicios propuestos 3.3. Nivel 1 En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, luego trazar la gráfica. 3
2
1.
f(x) x 3x
2.
f(x) 3x5 10x3 15x
3.
f(x) x 8x 9
4.
f(x) x 3x 4
5.
f(x) 14 x 2x 47
6.
f(x) x 2x
4
2
4
2
4
7.
2
(x 2) (x 4) 4 2 4 6x x 9. f(x) 9 4 3 10. f(x) x 4x 1, x 1;4 8.
2
4
2
f(x) (x 1) (x 2)
3
f(x)
Nivel 2 En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, asíntotas y luego trazar la gráfica. 1. 2. 3. 4.
3
3
5
f(x) 35 x 3 x 2 f(x) x x 1 f(x) x 2 x 8 f(x) 2 x 4
2
5.
f(x)
6.
f(x)
7.
f(x)
8.
f(x)
2
2
x 2x 2 x 1 2 x 3
f(x)
9.
4x 12 2
(x 1)
10. f(x) 2 x x
2
3
x x 2
x 4 4 3x 1
x
3
Nivel 3 En las siguientes funciones determine los intervalos de crecimiento, los valores máximos y mínimos relativos, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, asintotas y luego trazar la gráfica. 1. 2. 3. 4.
f(x)
f(x)
f(x)
4x
5.
2
x 4 16 2
x (x 4) x 3
6.
x 1 2
f(x) (2 x )e
2 x
3
3
2
2
x 5x 4
f(x)
8.
f(x) x 2
9.
f(x) x sinx
76
2
x 1
f(x) x x 5x 5
7.
2
1
2
f(x) ln(x 1)
2
x 5x 4
x
3.4. OPTIMIZACIÓN Problemas resueltos 1. Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello una lámina cuadrada de 1,20 m. de lado, recortando un cuadrado pequeño en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de volumen máximo. Solución Se construye la figura según el enunciado. 1,2m
x
x x
x 1,2-2x 1,2m
1,2-2x x
x x
Fig. a
1,2m–2x
x 1,2m–2x
x
Fig. c
Fig. b
El volumen de la caja es: 2
V(x) (1,2 2x) x Derivar la función volumen e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al volumen. Es decir:
V'(x)
12 (5x 1)(5x 3) 0 25
valores críticos:
1 3 ; 5 5 Ubicar los puntos críticos en la recta real: –
+ –
+
1/5
+
3/5
1 5
3 5
Del gráfico se concluye que x m 0,2m maximiza al volumen y x m 0,6m minimiza al volumen. Por lo tanto, las dimensiones de la caja que tiene volumen máximo es:
0,8m
0,2m 0,8m Fig. d 77
2. Una pieza de una hoja de metal es rectangular y mide 5 m de ancho por 8 m de largo. Se cortan cuadrados congruentes en sus cuatro esquinas. La pieza resultante de metal se dobla y une para formar una caja sin tapa. ¿Cómo debe hacerse esto para obtener una caja con el mayor volumen posible? Solución Se construye la figura según el enunciado. 8m
x
x
x
x
8–2x 5–2x
5m x
8–2x
x
x
x
5–2x
x
Fig. a
Fig. c
Fig. b
El volumen de la caja es:
V(x) (5 2x)(8 2x)x Derivar la función volumen e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al volumen. Es decir: 2
V'(x) 4(3x 13x 10) 4(x 1)(3x 10) 0 Puntos críticos:
10 1; 3 Ubicar los puntos críticos en la recta real:
–
+ –
+ 10/3
1
+
Del gráfico se concluye que x 1m maximiza al volumen y x
10 m 3,3m minimiza al 3
volumen. Por lo tanto, las dimensiones de la caja que tiene volumen máximo es:
6m
1m 3m Fig. d
78
3. Una ventana rectangular coronada por un semicírculo, tiene un perímetro dado. Determinar las dimensiones que dejan pasar el máximo de luz. Solución Se construye el gráfico según el enunciado en un plano cartesiano: Y
x
0
X
Perímetro P: P= longitud de la semicircunferencia + los tres lados del rectángulo. P= x + 2x + 2y ; x > 0, y > 0 y
P ( 2)x 2
Que pase la máxima luz significa que el área de la ventana debe ser de área máxima. Entonces el área total es:
–y
Área total = Área del semicírculo + Área del rectángulo
A(x)
2
2
2
x x P ( 2)x x 2 2xy 2x[ ] Px 2x 2 2 2 2
Derivando e igualando a cero se tiene:
A'(x) P x 4x 0 x
P 4
Use el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crítico de la primera derivada genera el valor máximo de la función área. Es decir:
A''(x) 4 0 A(
P ) es valor máximo de la función área. 4
Por lo tanto, las dimensiones de la venta son: Radio del círculo:
x
P ; 4
Base del rectángulo:
2x
2P 4
Altura del rectángulo:
y
P ( 2)x 2
P ( 2)
P ( 4)
2
P( 4) ( 2)P P 2( 4) ( 4)
Altura de la ventana:
yx
79
2P 4
4.
Un granjero tiene 200 metros de barda con las que desea construir tres lados de un corral rectangular; una pared grande ya existente formará el cuarto lado. ¿Qué dimensiones maximizarán el área del corral? Solución
Perímetro: Pared
200 2x y y 200 2x Área:
A(x) xy x(200 2x) x y Derivar la función área e igualar.
A'(x) 200 4x 0 x 50 Derivar por segunda vez para demostrar si este punto crítico maximiza o no al área. Es decir:
A''(x) 4 0 A(50) es área máxima Por lo tanto, las dimensiones del corral son: Largo: y = 100 m Ancho: x=50m 5. Se necesita diseñar una lata cilíndrica con radio r y altura h. La base y la tapa deben hacerse de cobre, con un costo de 2 céntimos / centímetro cuadrado. El lado curvo se hace de aluminio, que cuesta 1 céntimo/centímetro cuadrado. Buscamos las dimensiones que maximicen el volumen de la lata. La única restricción es que el costo total de la lata sea 300 céntimos. Solución r
h
Base y Tapa
Lado Lateral
r
r h
Costo 1 =
4 r
Costo 2 = 2rh
2
Costo total = Costo 1 + Costo 2 2
300 4r 2rh h
2
150 2r ….. ( 1 ) r
Volumen de la lata es: 2
150 2r 3 V(r) r h r [ ] 2(75r r ) r 2
2
80
Derivar e igualar a cero para encontrar el valor de x que maximice al volumen de la lata. Es decir: 2
V'(x) 2(75 3r ) 0 r 5 La raíz negativa se descarta pues el radio nunca es negativo. Por el criterio de la segunda derivada se tiene:
V''(x) 12r 0 V(5) es volumen máximo. Por lo tanto, las dimensiones de la lata son: Altura: h 20 ; Radio: r 5 6. Se necesita cortar una viga con una sección transversal rectangular máxima a partir de un tronco circular con radio r centímetros. (Este es el problema geométrico de encontrar el rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de radio r.) ¿Cuál es la forma y el área de la sección transversal que debe tener tal viga? Solución Y
Área del rectángulo:
A(x;y) 4xy; x 0 y 0
y
Por Pitágoras se tiene:
r
2
2
2
2
r x y y r x
X
x
2
Luego, 2
A(x) 4x r x
2
Derivar e igualar a cero la función Área. Es decir:
A'(x)
2
2
4(r 2x ) 2
r x
2
2
2
0 r 2x 0 x
r 2
Ubicar los valores críticos en la semirecta real y analizar los intervalos de crecimiento. Entonces, por el criterio de la primera derivada se tiene A(
r ) es área máxima. 2
Calculemos las dimensiones de la sección transversal de la viga: 2
y r
r2 r (mismo valor de x) 2 2
Por lo tanto, la forma de la sección transversal de la viga es un cuadrado de lado
7.
r . 2
A las 13:00 horas un barco A navega hacia el este a la velocidad de 15km / h en un curso situado 60 km al norte de un barco B, el cual navega hacia el norte a una velocidad de 20km / h . a) ¿ A qué horas estarán los barcos lo más cerca posible uno del otro? b) ¿Cuál será su menor distancia relativa? 81
Solución Y (km)
Por el teorema de Pitágoras se tiene: A’
A
2 2 d x (60 y) … (1)
d 60
El tiempo que usa el barco A es el mismo tiempo que usa el barco B, por lo tanto:
60 – y
B’ y
x
B
t
X (km)
13:00 h
x y 4 y x … (2) 15 20 3
Reemplace (2) en (1) y se tiene la función distancia que separa al barco A de B:
4 2 2 d(x) x (60 x) 3 Para calcular la distancia más cerca usaremos el criterio de la primera derivada. Es decir:
4 4 x (60 x) 5(5x 144) 144 3 3 d'(x) 0x 5 4 2 4 2 2 2 x (60 x) 9 x (60 x) 3 3 –
+
144 5
+
Del gráfico se tiene que la distancia mas cerca entre los barcos es cuando el barco A a recorrido
144 km . 5
Por lo tanto, a) Tiempo que ha transcurrido desde las 13 horas:
144 km t 5 1,92h 15km / h Entonces los barcos estarán lo más cerca posible uno del otro a las 14horas 55 minutos y 12 segundos b) La distancia mínima es:
144 144 2 4 144 2 d( ) ( ) (60 ) 36km 5 5 3 5
82
8.
En un plano coordenado se da un punto M(a;b) situado en el primer cuadrante. Halle la ecuación de la recta que pase por éste punto, de manera que el triángulo formado entre ella y los semiejes positivos de coordenadas tenga la menor área posible. Solución
Y
Área del triángulo:
y (0;y)
xy … (1) A(x;y) 2
(a;b)
b Pendiente de la recta:
m
y b b 0 … (2) 0a ax
0
De (2) se tiene:
y
(x;0) X x
a
bx bx … (3) ax x a
Reemplace (3) en (1): 2
x bx bx A(x) [ ] 2 x a 2(x a) Derive e iguale a cero:
A'(x)
bx(x 2a) 2
2(x a)
0 x 0 x 2a –
Ubicar los puntos críticos en la semirecta real se tiene:
+
2a
Entonces por el criterio de la primera derivada se concluye que el área es mínima cuando x=2a Por lo tanto, la recta es:
bx ay 2ab 0
9.
Hay un barco anclado a 5 km del punto más cercano a una playa rectilínea. Se desea enviar un pasajero hasta un campamento situado a 5 km a lo largo de la playa a partir del punto más próximo al barco. El pasajero puede remar a razón de 4 km/hr y caminar por la arena de la playa a 6 km/hr. ¿Cuál será el tiempo más corto posible de viaje del barco al campamento? Solución Se construye un dibujo según los datos proporcionados Y (km) 5
Recordar: x
25 x 0
t
Orilla de la playa
5–x
Tiempo total de recorrido es:
Campamento
2
5
d v
X (km)
t(x)
Barco anclado 83
2
25 x 5x ;x0 4 6
Calculo del tiempo corto posible.
t'(x)
3x 2 25 x 12 25 x
2
2
–
+
0x 2 5
2 5
Entonces, por el criterio de la primera derivada se tiene que el tiempo mínimo se da cuando el pasajero rema 2 5km 4,47km hasta un punto en la orilla de la playa que está ubicado a
2 5km del punto más próximo al barco, luego camina (5 2 5)km por la orilla hasta llegar al campamento. Por lo tanto, el tiempo mínimo es:
25 (2 5)2 5 2 5 5 5 10 h t(x) h 1,76h 4 6 12 10. De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos de un cono de la mayor capacidad posible. Solución Sea x el ángulo en radianes y r el radio del círculo dado. L x
R
r r
x
h
r
x Área del círculo:
AC r
Área del sector circular:
2
Volumen del cono: 2
2
R h V 3
xr 2
A SC
La longitud del sector circular es: L= rx La longitud del círculo del cono es igual a la longitud del arco circular. Es decir:
xr 2R R
xr 2
(1)
La altura del cono se calcula por el teorema de Pitágoras. Es decir:
2
2
2
h r R r
2 2
xr
2
4
84
r 2 2 4 x 2
(2)
Luego, reemplace (1) y (2) en el volumen y se tiene:
V(x)
(
xr 2 r 2 2 ) ( 4 x ) 2 3 2 2 x r 4 x 2 2 2 3 24
Derive el volumen e iguale a cero.
V'(x)
3
2
2
xr (8 3x ) 2
24
2
4 x
2
2 0 5,13rad 293,938 3
0 x 2
Por lo tanto, se debe cortar un sector circular con ángulo central de 5,13 rad para obtener un cono de volumen máximo. 11. Se va a construir un embalaje con tapa para contener 2 m3 de naranjas. Éste se va a dividir en dos partes mediante una separación paralela a sus extremos cuadrados. Encuentre las dimensiones del embalaje que requiere la menor cantidad de material. Solución Área total: 2
A(x;y) 3x 4xy ... (1)
x
Volumen:
x
2
V(x;y) x y 2 y
y
2 x
2
Luego, (2) en (1) se tiene el área:
2
2
A(x) 3x 4x
x
2
2
3x
8 x
Derivar e igualar a cero.
A'(x) 6x
8 x
2
3
6x 8 x
2
0x
2 1,10 6
3
Derivar por segunda vez.
A''(x) 6
16 x
3
0
2 6
Entonces, por el criterio de la segunda derivada, A( ) es área mínima. 3 Por lo tanto, las dimensiones del embalaje son: largo y
3
36 2 2 , ancho x 1,10 y alto x 3 1,10 3 2 6 6
85
... (2)
12. Tres ciudades forman un triángulo isósceles y desean abastecerse de energía eléctrica proveniente de una central común mediante un cable de alta tensión en forma de (Y). (Y) tiene 16 km de altura y 12 km de apertura superior. Hallar la longitud mínima de cable múltiple requerido. Solución 6
C
6 B
h
Longitud del cable: 2
L(x) 16 x 2h 16 x 2 x 36 ; x 0
x h Central
Derive e iguale a cero L(x):
16–x
L'(x)
2
2x x 36 2
x 36
0x 2 3
A
Derive por segunda vez y se tiene:
L''(x)
72
x
2
36
3
0
Por el criterio de la segunda derivada, x 2 3 minimiza la longitud del cable. Por lo tanto la longitud mínima es:
L(x) 16 6 3 26,39km 13. Mientras se dirigía hacia el norte por una carretera rectilínea entre un bosque de pinos, un conductor se encontró sin gasolina. Puede llegar hasta la estación de gasolina caminando 1 km hacia el norte por la carretera, luego, torcer hacia el oeste por otra carretera normal a la primera caminando 10 km, o bien, puede caminar por entre el bosque hacia el noroeste, salir a la segunda carretera y continuar luego hacia el oeste hasta la gasolinera, o en otro caso, dirigirse en línea recta por el bosque hasta la gasolinera. Puede caminar por la carretera pavimentada a razón de 5 km/hr y caminar por el bosque a razón de 3km/hr. Calcule el menor tiempo de viaje que puede emplear para traer gasolina. Solución Y (km)
Puesto de gasolina C
Carretera 10 – x D x
B 1
–10
–x
Carretera A
X (km)
Según el enunciado hay tres formas de cómo llegar al puesto de gasolina:
86
A) Recorre de A hacia B y de B hacia C
t(x)
d(AB) d(BC) 1 10 11 2,2h Vbosque Vcarretera 5 5 5
B) Recorre de A hacia D y de D hacia C Tiempo total.
t(x)
2
d(AD) d(DC) x 1 10 x ;x0 Vbosque Vcarretera 3 5
Derivar e igualar a cero la función tiempo:
t'(x)
x
1 x 1 3 0 x 2 2 4 3 x 1 5 3 x 1 5
Derivando por segunda vez se tiene:
t''(x)
5 2
3
3 (x 1)
0
Entonces por el criterio de la segunda derivada se tiene que el tiempo mínimo es:
3 t( ) 4
32 3 ( ) 1 10 4 4 34 2.27h 3 5 15
C) Recorre de A hacia C
t(x)
d(AC) 101 3,35h Vbosque 3
Por lo tanto, el tiempo mínimo se obtiene si se camina por la carretera desde el punto A hasta el punto B y luego seguir por la otra carretera hasta el puesto de gasolina.
87
Problemas propuestos 3.4. 1. Se encuentra un barco anclado a 5 Km del punto más cercano a una playa rectilínea. Se desea enviar a un pasajero a un campamento situado a 5 Km. a lo largo de la playa a partir del punto más próximo al barco. El pasajero puede remar a razón de 4 Km/h y caminar por la playa de la arena a razón de 6 Km/h. ¿Cuál debe ser el tiempo más corto posible del viaje del barco al campamento? 2. Se desea construir un depósito metálico para agua en forma de cilindro circular recto, con dos tapas y se dispone de una lámina rectangular de superficie dada S. Sin tener en cuenta los sobrantes de material, determinar el radio y la altura del cilindro que permitan obtener un tanque de capacidad máxima. 3. Un arquitecto quiere diseñar una ventana en forma de rectángulo coronado por un semicírculo, Si el perímetro de la ventana está limitado a 24 metros, ¿qué dimensiones debería elegir el arquitecto de manera que la ventana permita entrar la mayor cantidad de luz? 4. Un canal que conduce agua tiene sección trapezoidal con el fondo y los lados de igual longitud (b), formando los lados el mismo ángulo con el fondo. ¿Qué anchura deberá tener el canal en la parte superior para dar cabida a la mayor cantidad de agua? 5. Una empresa tipográfica contrata la impresión de hojas sueltas que deben contener 500 Cm2de tema escrito con márgenes de 40 Cm. En sus costados. Calcular las dimensiones que deben tener la hoja para emplear la menor área de papel, o sea, lograr el costo mínimo del trabajo contratado. 6. De una hoja de cartón cuadrada, de lado a , hay que hacer una caja rectangular abierta que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cuadrados en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en forma de cruz, ¿cuáles deben ser las dimensiones de los cuadrados que se corten? 7. Un granjero desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados coincide con la orilla de un río rectilíneo, por lo tanto este lado no se necesita cercar. Para realizar la cerca paralela al río tiene un costo de $2 por cada metro lineal y por los extremos de $3 por metro lineal. El granjero dispone de $900 para ejecutar la obra. Hallar. dimensiones del cercado para poder encerrar la mayor área. 8. Se desea construir una caja en forma de paralelepípedo rectangular con tapa superior, de tal modo que su largo sea siempre la mitad de su ancho. Se fija el volumen V de antemano y se sabe que el costo del material por unidad de superficie para la tapa superior y de los 4 lados es 3 veces más elevado por unidad de superficie que el material del fondo. ¿Cuáles son las proporciones más económicas para la caja? 9. Un trozo de metal de 1m de longitud se corta en dos porciones para formar con cada una de ellas un cuadrado. Calcular las longitudes de los dos pedazos de alambre para que las sumas de las áreas de las dos figuras sea mínima. 10. Un medero tiene la forma de un tronco de cono circular recto de 6 m de altura , siendo los diámetros de sus bases 2m y 3,20m respectivamente. Hay que maquinar de él una viga de sección cuadrada. Determinar la longitud de la viga de volumen máximo 11. Un diseñador necesita hallar las dimensiones y el volumen que ocuparía un cono circular recto, de volumen máximo y puede ser inscrito en una esfera de radio R. 88
12. Se debe construir una lata cilíndrica para almacenar un volumen fijo de líquido. El costo del material que se usará para la parte superior e inferior de la lata es de 3 centavos de dólar por pulgada cuadrada, y el costo de material que se usará para la parte lateral e de 2 centavos de dólar por pulgada cuadrada. Use el cálculo para deducir una relación simple entre el radio y la altura de la lata de manera que su construcción cueste lo menos posible. 13. Una fábrica de refrescos desea fabricar latas cilíndricas para sus productos. Las latas deben tener un volumen de 36 centilitros. Hallar las dimensiones de la lata que requiera la mínima cantidad de material. 14. Se necesita construir un cono recto cuya generatriz debe ser igual a 20 cm. ¿Cuál debe ser la altura del cono para que su volumen sea el mayor posible? 15. Un cilindro circular recto está inscrito en un cono de altura de H y radio R . Determinar las dimensiones del cilindro que tenga el mayor volumen posible. ¿Cuál es ese volumen máximo? 16. La base y la altura de un triángulo isósceles miden, respectivamente, 6 unidades y 12 unidades. Hallar el área máxima posible de un rectángulo que pueda situarse dentro del triángulo con uno de sus lados sobre la base del triángulo. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de máxima área? 17. Inscribir en una esfera dada un cilindro de volumen máximo. 18. Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie lateral. 19. Inscribir en una elipse dada, un rectángulo de mayor área posible, que tenga los lados paralelos a los ejes de la elipse 20. Se desea construir una nueva carretera entre los pueblos A y B. el pueblo A está sobre una carretera abandonada que va de este a oeste. El pueblo B está en un punto situado 3 km hacia el norte de otro punto que está sobre la carretera antigua y a 5 km hacia el este del pueblo A. los ingenieros proponen conectar los pueblos reconstruyendo una parte de la antigua carretera desde A hasta un punto P y construyendo carretera nueva desde P hasta B. si el costo de reconstruir carretera antigua es de 200 000 dólares por km y el de construir carretera nueva es de 400 000 dólares por km. ¿Qué longitud de carretera antigua se deberá reconstruir a fin de minimizar los costos? 21. Una lámpara está colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r , ¿A qué altura deberá estar la lámpara sobre la mesa para que la iluminación de un objeto que se encuentra en el borde sea la mayor posible? (la iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de luz). 22. En un plano de coordenadas se da un punto, M0 (x0 ,y0 ) , situado en el primer cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángulo formado entre ella y los semiejes positivos tenga la menor área posible. Determine la ecuación de dicha recta.
89
Respuesta del Capítulo III SOLUCIÓN DEL CASO a. Los ingresos totales, la función de costos y la función utilidad en función del número de maquinas suponiendo que todo lo que se produce se vende.
Ingreso Total I 20000*2500 50000000 U.m Costo Total
C ( X ) Costo de Materia Prima + Costo de Máquina + Costo de Producción
C ( x) Cmp Cm C p Costo de Materia Prima
Cmp 21 000 000
Costo de Máquina
Cm ( x) 1125000 x Donde
x
N° de máquinas
Costo de producción C p ( x) Si tenemos x máquinas, entonces una muñeca se 1 fabrica en horas 50x
N° de horas
h 20000*
1 400 50 x x
C p ( x) = N° Trabajadores * costo * hora* N° horas
C p ( x) 20* 2250*
400 18000000 x x
Por tanto la función costo total es: C ( x) 21000000 1125 x Beneficio
B( x) 50000000 21 000000 1125 x
18000000 x
b. Número de máquinas que maximizan el beneficio 18000 000 B '( x) 29 000 000 1125 x x2 18 000 000 16 . Si B '( x) 0 x 2 1125 000 Por tanto se necesitan 4 máquinas para maximizar el beneficio c. Beneficio máximo Bmáx 20000000 u.m
Conclusión: El proyecto es aprobado. 90
18000000 x
Ejercicios propuestos 3.1. Nivel 1 1.
7 2
2.
68 3. 0,04 25
4.
162 265
x2 4x 3 9x 4
8.
5 23 15 21 1 45 x x x 2 2 5
9.
6. 2x 1/3 x 3/4
5. 16x3 10x4 8
14.
5x 4 8x lnx x 4 4x
2xex 2ex 4
17.
4x
20.
5 x
15.
x(x3 12x 8)
x(x2 1)arctg(x) x2 2
(x3 4)2
21. ex arccos(x)
x3 (x2 1) b) 9,8 23. –16 24. 0,3 25. –50,5
13. (x 3)cosx (3x 1)senx (x3 1)cos(x) 3x2sen(x)
16.
x cos(x) (x 1)sen(x) 18. ex x2
2
9 3 25 2 10 8 7 x x x 5 5 5 5
10.
11. 2x12 14x15 21x 8 60x 7 78 12. cos(x) sen(x) sec(x)tg(x)
19.
e x 1 x2
x 4 x 6 x2
7.
(x3 1)2
cos(x) 1 x2
1 2 x ln(x)
sen(x)arcsen(x) 1
x ln2 (x)
22. a) 98
Nivel 2
1. 9cos3 x 6cosx 3x2 4
4. 2e
7.
11.
3sen2x 2
cos x
2x 34 6x2 9x 5
x lnx 1 x 1 2x(x 1) lnx 1 x2 4x 16
x 3
5
8.
2cos2 x 1
2.
2
2
(cosx 1) (cos 1)
(x 1)cos(x2 2x) xsen(x 2 2x)
5. 3 x2 3 cos(3x 2) 2xsen(3x 2) 6.
5 3cosx 2senx 10 3senx 2cosx
12. f '(4)
2 1
3. 2ex
9.
n m n1 a b x 2ab mn x n
a bx (a b xn )(a b xn )
1 2 1 x2 1 arcsinx
10.
3x2
1 x2
5
1 ; f(4) 3 13. f '(2) 7 ; L T : y 7x 12 14. L T : y 5x 15. (1;1) 4
16. LT1 : y 2x 1 ; L T2 : y 4x 4 17. (e 1 ; ln(e 1)) 18. --- 19. --20. P1 (4;3) ; y
21.
4 3 3 4 (x 4) 3 ; y (x 4) 3 , P2 (3;4) ; y (x 3) 4 ; y (x 3) 4 3 4 4 3
13 1621 , 22. 3 , 0 , -9 cm/s 4 256
p1 (0,1), p2 (2,11), p3
uniformente a una velocidad de
23.
La ordenada disminuye
2 unidades por segundo 5
Nivel 3
1. p1 (0,20), p2 ( 2, 12), p3(1,15)
22 447 2. p , 7 49
3.
x 1, y 0
77 12 1 (x 1) , y (x 1) 5. y x2 x 1 6. P1 (1,0); L T : y 2(x 1) , LN : y (x 1) , 12 77 2 1 P2 (2,0); L T : y (x 2), LN : y (x 2) , P3 (3,0); L T : y 2(x 3), LN : y (x 3) 2
4. y
91
7. Lt: y 2x 1, Ln: y
1 x 4 2
1 x 1 x 12. y' 13. y' x 5 3 (x3 1)2 2 x(x 1)
x x2 1
10. a 3, b 5, c 1 11. y' 14. y'
2 1 4 31 23 8. p 9, 9. a , b , c ,d 3 3 3 9 5
2 x2 1
cos2 x x cos3/2 x 2 senx cosx(1 senx) sen3/2x(senx 1)
senx cosx(1 senx)( cosx x)
15. y' cos x2 sen x2 sen2x . 2x cos x2 sen2x 2x sen2x
16. y' 6 ((x2 x)4 x)5 x 17. y'
5((x2 x)4 x)4 (4(x2 x)3(2x 1) 1) 1 5
2cosx sen2x 2xsenx x2 2 (xsenx x2 2)2
Ejercicios propuestos 3.2. Nivel 1
2y 3x2
1. y'
2y 6y 2x 1
2. y'
5. y'
3y 2x 5 2y 3x
y2 2yx 1 6. y' 2 x 2xy 2
9. y'
y yln(y) yln(x)
3. y'
3y2 2x
10. y'
2x y 1x
ex 1 7. y' y e yey
x2 y2e2y 1 y
11. y'
2x3y2e2y 1 x y 14. y' 15. y' (x y)2 2 sec y x
x 2y2
13. y' 1
4. y'
y3 3xy2 2
8. y'
y(x 1) x(31y 1)
y 4x(x2 y2 ) 4y(x2 y2 ) x
12. y'
y(2 yexy ) xyexy 2
Nivel 2
1. y' arctg(x)x ln(arctg(x))
3. y'
5x2 x 24 3
5
3 (x 1)(x 2)
5
(x 3)
sen(x) cos(x)log(cos2 x) 2sen(x)tg(x) y' cos2 (x) 2. 2 (1 x )arctg(x)
4. y'
x
40x 4 112x3y 114x2y2 50xy3 8y 4 4
3
2 2
3
28x 76x y 75x y 32xy 5y
4
5.
y'
xy xy
x(x2 y2 ) y x2 y2 7. 1 , 1 8. L : 5x 6y 13 0 y L : 6x 5y 21 0 6. y' T N 81 16 y(x2 y2 ) x x2 y2 9. LT : 14x 13y 12 0 y LN : 13x 14y 41 0 10. L T : 3x 7y 30 0 dC 21 dP dy dy 2 dx 11. 0.14467 15. ;C S I 12. 44 14. 0.2 13. dx dx dI 24 dx 81 dt
Nivel 3 2 2 5 xy 1 2xy2ex y 2x x 1. y' 2 2 5 xy 3 2x2 yex y 3y2 2y y
2. y'
x x (lnx 1) yx y 1 y x lny xy
92
x 1
y
x lnx
3.
y x 1
4.
dx dy 2,25p/s 5. 1.13 . Es decir, por el aumento de una hora de trabajo calificado, se tiene que dt dx reducir en 1.13 horas el trabajo no calificado para que el nivel de producción no cambie
6.
dy 2,826 . Es decir, por la reducción de una unidad del insumo x, se tiene que aumentar en 2,826 dt unidades del insumo y, para que la producción permanezca en su nivel actual.
7. 0,8957 8.
dy dx dx 9 1 3,1428 11. y x ; (2,2) y (2, 2) 0,0817 9. 0,206 10. dt dt dt 4 4
12. a 1, y a 1 13. (0;5) y (1;10) 14. (4;1), (4;
43 ) 15. H 2 2
Ejercicios propuestos 3.3. Nivel 1 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
93
10.
Nivel 2 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
94
Nivel 3 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Ejercicios propuestos 3.4. 5 5 10 1. t h 12 rectángulo: 2x 4. x 2b 8. x 3
2.
r
S 2S , h 6 3
3. Radio del círculo: x
24 , Base del 4
24 48 48 , Altura del rectángulo: y , Altura de la ventana: y x ( 4) 4 4
5. x 10( 5 8), y 10( 5 8) 6. x
a 6
7. x 75m, y 225m
3 1 3v 3v 75v , 2x 23 , h 9. Los dos pedazos deben tener la misma longitud: L 5 5 6 2
10. ladobase 1,50m ; altura
4 2R 16 m ; Vmáx 12m3aprox. 11. h R ; r 3 3 3
2 12.
13. r 3,86 centilitros h 7,71 centilitros 20 H 2R 4 14. H 15. radio , altura , Vmáx R2H 16. Largo 3u , altura 6u 3 3 27 3 95
r 3 h 2
17. El volumen será máximo si H
R
,r R
2 . Donde H es la altura del cilindro, R es el radio de la 3
3 esfera y r el radio de la base del cilindro. 18. Para que se tenga la mayor área superficial lateral, la altura de cilindro tiene que ser 19. H 2R donde R es el radio de la esfera 20. Las dimensiones del rectángulo son: 2x
2a
, 2y
2b
2 2 21. Se debe de construir 3.267 km de carretera antigua. r 22. La altura es: H 2 x y 23. La ecuación de la recta es: 1 2x 0 2y 0
96
