Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento Departamento de Tecnología de la Construcción
1. Construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza de cartón de 16cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y doblando los lados. Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. x 21-2x 16-2x
x
16
16-2x 21-2x
21
Función objetivo Volumen de una caja V =largo.ancho.alto =largo.ancho.alto
V
V 21 2 x 16 2 x x V 21 2 x 16 x 2 x
2
V 336 x 42 x 2 32 x 2 4 x 3
V 336 x 74 x 2 4 x 3
Función objetivo dependiendo de una sola variable lista para derivar
Restricciones 0< x <8 Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función Volumen V
V 336 148 x 12x 2
Números críticos V 0 V
V 0 ó V
336 148 x 12x 2 0
No se estudia pues pues la función volumen es un polinomio. polinomio.
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
1
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento Departamento de Tecnología de la Construcción
Usamos la resolvente
ax 2 bx c 0 x1, 2
b b 2 4ac 2a
336 148 x 12x 2 0
para encontrar la solución a esto es,
12 x 2 148 x 336 0
x1, 2 x1, 2
De tal manera que
148 (148) 2 4(12)(336) 2(12) 148 76 24
Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de V.
x1 9.33 x 2 3
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada, sólo en el dominio de V, es decir entre 0
Sustituyendo el número crítico X=3 en la V” V 148 24(3) 76
Como V” <0 entonces, en X=3 ocurre ocurre el máximo volumenDimensiones Volumen máximo =450 m 3 2. Construir un recipiente recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con un 3 volumen de 24π cm . Si el precio del material que se usa en el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte curva. Encuentre las dimensiones del recipiente para los cuales el costo de fabricar el recipiente sea mínimo. Suponga que el precio del material es constante e igual a 1000 Bs/cm2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
2
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento Departamento de Tecnología de la Construcción
Usamos la resolvente
ax 2 bx c 0 x1, 2
b b 2 4ac 2a
336 148 x 12x 2 0
para encontrar la solución a esto es,
12 x 2 148 x 336 0
x1, 2 x1, 2
De tal manera que
148 (148) 2 4(12)(336) 2(12) 148 76 24
Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de V.
x1 9.33 x 2 3
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada, sólo en el dominio de V, es decir entre 0
Sustituyendo el número crítico X=3 en la V” V 148 24(3) 76
Como V” <0 entonces, en X=3 ocurre ocurre el máximo volumenDimensiones Volumen máximo =450 m 3 2. Construir un recipiente recipiente con la forma de un cilindro circular sin tapa con un 3 volumen de 24π cm . Si el precio del material que se usa en el fondo es el triple que el del material que se usa para la parte curva. Encuentre las dimensiones del recipiente para los cuales el costo de fabricar el recipiente sea mínimo. Suponga que el precio del material es constante e igual a 1000 Bs/cm2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
2
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento Departamento de Tecnología de la Construcción 2Πr
h
r
Función objetivo Costo de la parte curva C 1 = área de la parte curva * precio 2000 rh C 1 2 rh1000
Costo de la tapa del fondo C 2 =área de la tapa del fondo * precio 3000 r 2 C 2 r 2 3000
Costo de fabricación fabricación C= C 1 + C 2
C 2000 rh 3000 r 2
Función objetivo con dos variables r y h
Restricciones r>0 h>0 Otras ecuaciones Usaremos la ecuación V r 2 h que representa el volumen del recipiente como ecuación ecuación auxiliar. auxiliar. Sabiendo que V 24 cm3, se tiene que
24 r 2 h h
24 r 2
Despejamos h (1)
Sustituyendo (1) en (1) en C para lograr escribir la función objetivo en términos de una sola variable se tiene, 24 2 3000 r 2 r
C 2000 r C
48000 r
Función objetivo lista para derivar
3000 r 2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
3
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función Costo C
C 48000 r 1 3000 r 2 C 48000 r 2 6000 r C
48000 6000 r 3 r 2
Números críticos
C 0 ó C
48000 6000 r 3 0 C 0
r 3
48000 6000
8
Número crítico valido
r 3 8 2
C
2
r
Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de C.
0
r 0
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada C 48000 r 2 6000 r C 96000 r 3 6000
Sustituimos r=2 en C”, C
96000
r 3 C 18000
6000
96000 8
6000 12000 6000
Como C ” >0 entonces, en r=2 ocurre el mínimo costo Dimensiones Costo mínimo 3. Hallar la altura y el radio de un cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en un cono de 12cm de altura y base 4cm de radio. Suponga que los ejes del cilindro y del cono coinciden.
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
4
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Función objetivo Volumen del cilindro Función objetivo con dos variables r y h
V r h 2
Restricciones r>0 h>0 Otras ecuaciones Observe los dos triángulos semejantes:
12 12 12 12
h
h
r
4-r r
4
4-r
4
Usando el teorema de Thales de Mileto Despejamos la h h 12 3r
12 4
h 4 r
(1)
Sustituyendo (1) en la función objetivo tenemos V r 2 12 3r V 12 r 2 3 r 3
Función objetivo lista para derivar
Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función Volumen V
V 24 r 9 r 2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
5
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Números críticos V 0
V 0 ó V
24 r 9 r 2 0
24 9 r r 0
Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de V.
r=0 r=2.67 V
No se estudia pues la función volumen es un polinomio.
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada, sólo en el número crítico r=2.67 V 24 r 9 r 2 V 24 18 r
Sustituyendo r=2.67 en V”
V 24 18 2.67 6.06
Como V”<0 en r=2.67 ocurre el máximo volumen 3.3 de cilindro inscrito en
0 y base 4cm de radio. el cono de 12cm de altura
Dimensiones Volumen máximo =28.52 m3 π
4. Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10 cm. ¿Cuánto debe medir el cuarto lado para que el área sea máxima? Función objetivo Área del trapecio A
( B b) 2
h
Como b=10 A
Profa. Yajaira Ramos Rojas
( B 10) 2
h
Ciencias Básicas 20
Función objetivo con dos variables Byh
6
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Restricciones B>0 h>0 Otras ecuaciones B b1 a c ac B b1 2c
Por otra parte, como b1=10, entonces B 10 2c (1) Usando el teorema de Pitágoras tenemos que h 102 c 2
h 2 c 2 102 por
tanto
(2)
Ahora sustituyendo (1) y (2) en la función objetivo se tiene A A
(10 2c 10) 2 (20 2c) 2
10 2 c 2 Función objetivo lista para derivar
10 2 c 2
A 10 c 10 2 c 2
Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función Área A
A
100 c 10 c
A
100 c
A A
2c
2
2
2 10 2 c 2
10 c c 2 10 2 c 2
100 c 2 10c c 2 100 c 2 100 10c 2c 2 100 c 2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
7
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Números críticos
A 0 ó A
A 0 100 10c 2c 2 0
Usamos la resolvente para hallar los valores de c 2 10 10 4 2100 c1, 2 2 2 c1, 2
10 100 800
4
10 30
4
c1 10 c2 5 100 c 2 0 100 c 2 0
A
c 100 c3 10 c4 10
De los números críticos hallados descartamos c=10 y c=-10, en consecuencia sólo nos interesa estudiar c=5
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la primera derivada, de los números críticos c=5 y c=10 -10
0
A
100 10c 2c 2 100 c 2
No existe
10
5
+
-
No existe
Como A , alrededor de c=5 pasa de positiva a negativa, entonces en c=5 ocurre la máxima área del trapecio. Entonces si c=5, B=20 Dimensiones B=20 cm b=10 cm h= cm Área máxima =129.9 cm2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
8
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
5. Se desea construir una valla alrededor de un campo rectangular, y dividirla en dos parcelas por otra valla paralela a uno de los lados. Si el área A del campo es dada, hallar la razón de los lados para que la longitud total de las vallas sea mínima. Función objetivo L: Longitud total de vallas
Y
L 3 y 2 x
x
Restricciones x>0 y>0 Otras ecuaciones Como el área A es conocida
A xy ,
entonces
y
(1)
A x
(2)
Ahora (2) en (1) A 2 x x
L 3
Función objetivo lista para derivar
Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función Longitud
Reescribimos L L 3 Ax1 2 x L 3 Ax 2 2 L
3 A 2 x 2 x 2
Números críticos L 0 ó L 3 A 2 x 2 0 L 0
x
3 A
x1
x 2
2
3 A 2
Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de A.
3 A
Profa. Yajaira Ramos Rojas
2
Ciencias Básicas 20
9
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
L
x x
2
Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de L.
0
0
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada, con el número critico
x1
3 A 2
L 6 Ax 3 L
6 A x 3
L
L
6 A
3 A 2
3
3 A
x1
Sustituyendo
2
6 A
3 A
3 A
2
2
4 3 A 2
Como L”>0, en x
3 A 2
ocurre la mínima cantidad de valla para cercar un
terreno de área A.
Dimensiones
Razón
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
10
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
6. Calcular las dimensiones del triángulo isósceles de mayor área y de perímetro 10m. Función objetivo A
y
xh 2
(1)
h
Restricciones x>0 h>0 y>0
x /2 x
Otras ecuaciones 2
Usando el teorema de Pitágoras tenemos
x h y 2 2 2
Despejamos la h x h y 2
2
2
(2)
Por otra parte, se sabe que y
10 x x 2
, entonces, despejamos la Y
, simplificando
2
y 5
2 y x 10
(3)
Sustituyendo (3) en (2) 2
2
2
2
x x x x h 5 25 5 x 25 5 x 2 2 4 4
(4)
Ahora (4) en (1) A
x 25 5 x
Función objetivo lista para derivar
2
Proceso de optimización de la función objetivo Dominio de A
0
Ciencias Básicas 20
11
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Derivada de la función Área A x 25 5x 25 5 x 2 2 25 5 x 2 1 5 x 2 25 5 1 x 5 x A 25 5 x 2 2 25 5 x 2 2 25 5 x 1 225 5 x 5 x 1 50 10 x 5 x 1 50 15 x A 2 2 25 5 x 2 2 25 5 x 2 2 25 5 x A
1
Números críticos A 0
A
A 0 ó A
50 15 x 0 x 3.3 Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de A.
25 5 x 0 x 5
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la primera derivada, sólo en el dominio de A, es decir entre 0
0
+
1 50 15 x
2 2 25 5 x
5
-
Como A , alrededor de x =3.3 pasa de positiva a negativa, entonces en x =3.3 ocurre la máxima área del triángulo isósceles de perímetro 10. Entonces si x =3.3,
x
y
5
y
3.35
2
Dimensiones Área máxima =4.8 m2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
12
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
7. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triángulo equilátero. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar más luz, si su perímetro mide 20m. Función objetivo x
x
Área del rectángulo A1 xy
h
Área del triángulo A2
xh 2
Área Total A
y
xh 2
A xy
(1)
Restricciones x>0 h>0 y>0
x
Otras ecuaciones 2
Usando el teorema de Pitágoras tenemos
x 2 h x 2 2
Despejamos la h 2
x 2 3 x 2 3 x 2 h x x x 4 4 2 2
(2)
2
Por otra parte, se sabe que el perímetro de la ventana debe ser 20m, esto quiere decir que 3 x 2 y 20 despejando la Y y
20 3x 2
y 10
3 x 2
, simplificando 10 1.5 x
(3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos x A x(10 1.5 x)
3 2 2
A 10 x 1.5 x 0.43 x 2
A 10 x 1.07 x
x
x(10 1.5 x) 2
3 x 2 4
Función objetivo lista para derivar
2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
13
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Proceso de optimización de la función objetivo Dominio de A 0
Derivada de la función Área A A 10 2.14 x
Números críticos
A 0 ó A
10 2.14 x 0
A 0
x 4.67
A´ existe siempre por ser una función polinómica.
A
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada
A 2.14 Como A 0 ,
entonces en x =4.67 ocurre la máxima entrada de luz, es decir, la máxima área. Entonces si x =4.67 y 10 1.5(4.67) y 2.99
Dimensiones
Área máxima =22.98 m2 8. Un rectángulo está acotado por los ejes x y y, y por la recta
y
6 x 2
¿Qué longitud y anchura ha de tener para que el rectángulo sea de área máxima? Función objetivo Área del rectángulo A xy
(0,3)
Y (6,0)
Restricciones 0
X
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
14
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Otras ecuaciones Ecuación de la recta
y
6x
(2)
2
Sustituyendo (2) y en (1) tenemos 6 x 2 6 x x 2
A x A
Función objetivo lista para derivar
2
Proceso de optimización de la función objetivo
Dominio de A 0
6 2x 2
A 0 ó A
Números críticos A 0
6 2 x 2 x 3
0
A´ existe siempre por ser una función polinómica.
A
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada A 1
Como A 0 , entonces en x =3 se define el rectángulo de mayor área. Entonces si x =3 63 y
y
2 1 .5
Dimensiones Área máxima =4.5
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
15
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
9. Para hacer un filtro de laboratorio, se pliega un papel circular. Si el radio de dicho papel mide 9 cm, calcular la altura del cono que se forma para que el volumen sea máximo.
9
9
Función objetivo Volumen del cono
V
3
r 2 h
(1)
Restricciones r>0 h>0 Otras ecuaciones Usando el teorema de Pitágoras tenemos h 2 r 2 9 2
(2)
r 2 81 h 2
Sustituyendo (2) y en (1) tenemos V
3
81 h h 2
Función objetivo lista para derivar
V 84.8h 1.05h 3
Proceso de optimización de la función objetivo Dominio de V 0
V 84.8 3.15h 2
Números críticos
V 0 ó V
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
16
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
84.8 3.15h 2 0
V 0
h 2 26.9 h 5.1 V´existe siempre por ser una función polinómica.
V
Sólo consideramos h=5.1 por ser el número critico que se encuentra dentro del dominio de la función V
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada V 6.3h
Sustituyendo h=5.1 en V V 6.3(5.1) 32.13 Como V 0 , entonces
con h=5.1 se puede construir el cono de máximo
volumen Como h=5.1 cm r
81 h 2
r
81 (5.1) 2 7.41cm
Dimensiones Volumen =293.2 cm3 10. Una hoja rectangular de metal, con perímetro de 4m va a ser enrollada para formar la cara lateral de un recipiente cilíndrico. Encuentre las dimensiones del recipiente de volumen máximo. 2Πr
Función objetivo h
Volumen del cilindro V r 2 h
(1)
r
Restricciones r>0 h>0 Otras ecuaciones Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
17
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Usando el perímetro tenemos 4 r 2 h 4 2 h 4 4 r
(2)
h 2 2 r
Sustituyendo (2) y en (1) tenemos V r 2 (2 2 r )
Función objetivo lista para derivar
V 2 r 2 2 2 r 3
Proceso de optimización de la función objetivo Dominio de V 0
V 4 r 6 2 r 2
V 0 ó V
Números críticos
4 r 6 2 r 2 0
r ( 4 6 2 r ) 0
V 0
r 0 4 6 2 r 0
r
2 3 V´existe siempre por ser una función polinómica.
V
Sólo consideramos r =
2 3
0.21 por ser el número critico que se encuentra
dentro del dominio de la función V
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada V 4 12 2 r
Sustituyendo r =
2
0.21. en V
3 2 2
V 4 12
4 3
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
18
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Como V 0 , entonces con r =0.21 m se puede construir el cilindro de máximo volumen Como r = 2 0.21 entonces, 3
h 2 2 r h 2 2
2 3
2
4 3
2 3
Dimensiones
Volumen =
11. Un generador de corriente continua tiene una fuerza electromotriz de E Voltios y una resistencia de R 1 Ω (suponga E y R 1 constantes) . ¿Cuál deberá ser el valor de una resistencia externa R 2 para que la potencia P que se consume en ella sea máxima? ( P I 2 R donde I la intensidad de la corriente del circuito, recuerde que resistencias en serie se suman y que V IRt ) Función objetivo Potencia P P I R2 2
E
(1)
Restricciones R2>0 I>0 Otras ecuaciones V E IRt Rt R1 R2 E I ( R1 R2 ) I
E R1 R2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
(2) Ciencias Básicas 20
19
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Sustituyendo (2) y en (1) tenemos 2
E R2 P R R 2 1
Función objetivo lista para derivar
2
P E 2 R1 R2 R2
Proceso de optimización de la función objetivo Dominio de P E y R1 son valores conocidos (constantes) R2>0 Derivada de la función potencia P 3 2 P 2 E 2 R1 R2 R E 2 R1 R2
P
2 E 2 R2
R1 R2 2 2 E 2 R2 E 2 R1 R2 2 E 2 R2 E 2 R1 E 2 R2 P R1 R2 3 R1 R2 3 P
R1 R2
E 2
3
E 2 R2 E 2 R1
R1 R2 3 Números críticos
P 0
P
P 0 ó P
E 2 R2 E 2 R1 0 R2 R1
R1 R2 3 0 R2 R1
Sólo se considera R 2=R 1 como número crítico Є al dominio de P
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la primera derivada R1
-∞ E 2 R2 E 2 R1 R1 R2 3
+
+∞
-
1 la potencia P es Según el criterio de la primera derivada, cuando R 2=R máxima.
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
20
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
R 2=R 1
Potencia máxima P = 12. Un terreno rectangular que tiene 1500m2 va a ser cercado y dividido en dos porciones iguales mediante una cerca adicional paralela a dos de los lados. Encontrar las dimensiones del terreno que requiere la menor cantidad de cerca. Función objetivo Cantidad de cerca C Y
C 3Y 2 X
(1)
Restricciones X>0 Y>0
X Otras ecuaciones A XY 1500 XY Y
1500 X
(2)
Sustituyendo (2) y en (1) tenemos 1500 2 X X C 4500 X 1 2 X
Función objetivo lista para derivar
C 3
Proceso de optimización de la función objetivo Dominio de C X>0 Derivada de la función cantidad de cerca C
C 4500 X 2 2 C C
4500 X 2
2
4500 2 X 2 X
2
Números críticos
C 0 ó C
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
21
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
4500 2 X 2 0 C 0
C
X 2 2250 X 47.4 ´ X 2 0 X 0
Sólo se considera X=47.4 como número crítico Є al dominio de C, los otros valores no tienen sentido físico.
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada C 9000 X C
3
9000 X 3
SustituyendoX =47.4 en C C
9000
0.08 47.4 3 Como C 0 , entonces
con X=47.4 se puede cercar el terreno de área=4500 con la mínima cantidad de material. Dado que X=47.4 , entonces Y
1500 X
1500 47.4
31.6
Dimensiones Cantidad mínima de cerca =189.6 m
13. Un alambre de 36cm de largo se va a partir en dos trozos. Una de las partes se va a doblar en forma de triángulo equilátero y la otra en forma de rectángulo cuya longitud es el doble de su ancho ¿Cómo debe partirse el alambre para que la suma de las áreas del triángulo y del rectángulo sea mínima? x
x
y
h x
Profa. Yajaira Ramos Rojas
2y
Ciencias Básicas 20
22
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Función objetivo A1
Área del triángulo Área del rectángulo
xh 2
A2 2 yy 2 y 2
Área Total A A A1 A2
xh 2 y 2 2
(1)
Restricciones x>0 y>0 h>0 Otras ecuaciones Usando la longitud del alambre 3 x 6 y 36 y 6 0.5 x
(2)
Por otra parte, 2
x 2 2 h x 2 h x 2
x 2 4
3 2
x
(3)
Sustituyendo (3) y (2) en (1) tenemos A
x0.87 x 2
26 0.5 x
2
Función objetivo lista para derivar
A 0.44 x 2 26 0.5 x
2
Proceso de optimización de la función objetivo Dominio de A 0
A 0.88 x 12 x A 1.88 x 12
Números críticos
A 0 ó A
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
23
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
A 0
1.88 x 12 0 x 6.38 A´existe siempre por ser una función polinómica.
A
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada
A 1.88
Como A 0 , entonces con x =6.38 ocurre la mínima área A Como x =6.38 cm y 6 0.5(6.38) y 2.81cm
Dimensiones Área del triángulo= 17.7 cm2 Área rectángulo= 15.8 cm2
14. Un edificio debe apuntalarse con una viga que ha de pensar sobre un muro paralelo de 10m de altura y ubicado a 8m de distancia del edificio. Hallar la mínima longitud posible de esa viga. y z
x
8
Función objetivo y 2 z 2 x 8
2
y z 2 x 8
2
(1)
Restricciones z>0 y>0 x>0 Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
24
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Otras ecuaciones Usando el teorema de Thales 10 z x x 8 10 x 8 z x
(2)
Sustituyendo (2) en (1) tenemos 2
10 x 8 2 y x 8 x 100 x 8
y y
x x 8 x
2
2
x 8
2
Función objetivo lista para derivar
100 x 2
Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función largo de la escalera y
x 8 1 x ( x 8) 2 x 100 2 x 2 x 2 100 x 2 x
y y
y y
8 100 x 2 x 2
8 100 x 2
100 x 2
x ( x 8) 8(100 x ) x 2
2
2
x 2 100 x 2
800 8 x 2 x 3 8 x 2 x
x 8
2
100 x
3
8 x 2
x 2 100 x 2
2
800 x 3 x 2 100 x 2
Números críticos y 0 ó y y 0
y
800 x 3 0 x 3 800 9.28
x 2 0
x 0
x 2 100 x
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
25
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Sólo se considera X=9.28 como número crítico Є al dominio de C, los otros valores no tienen sentido físico.
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la primera derivada Como A 0 , entonces con x =6.38 ocurre la mínima área A Como x =6.38 cm y 6 0.5(6.38) y 2.81cm
Dimensiones Área del triángulo= 17.7 cm2 Área rectángulo= 15.8 cm2
15. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la ventana que deja pasar más luz, si su perímetro mide 10m. Función objetivo Área del rectángulo A1 xy Área de la mitad de la circunferencia A2
r 2
2
Área Total A A xy
r 2
(1)
2
Restricciones x>0 y>0 Otras ecuaciones Perímetro total P=10 Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
26
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Perímetro de la parte rectangular 2y+x Perímetro de la mitad de la circunferencia
x 2
x 2 y x 10 2
Despejando y se tiene 10 x y
x 2
, simplificando
2
y 5
x 2
x 4
(2)
Por otra parte,
r
x
(3)
2
Sustituyendo (2) y (3) en (1) x x 2 x A x 5 4 8 2 A 5 x
x 2 2
A 5 x
x 2 2
x 2
4
x
x 2 8
5 x
x 2 2
x 2 8
Función objetivo lista para derivar
2
8
Proceso de optimización de la función objetivo
Derivada de la función Área A A 5 x
x
4
Números críticos 5 x
A 0 x
A 0 ó A x
4 20
0
4
A
Profa. Yajaira Ramos Rojas
A´ existe siempre por ser una función polinómica.
Ciencias Básicas 20
27
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada A 1
Como
4
A 0 ,
entonces en x
20 4
ocurre la máxima entrada de luz, es
decir, la máxima área.
Dimensiones
m m
16. Una pieza larga y rectangular de lámina de 30 cm de ancho, va a convertirse en un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos rectos con la base. ¿Cuál debe ser el ancho de las partes dobladas para que el canal tenga capacidad máxima? Suponga que el largo de la pieza es constante k.
Función objetivo Capacidad máxima = Volumen V k
V k (30 2 x) x V 30kx 2kx 2
(1)
Restricciones x>0 x
30-2x
x
30
Proceso de optimización de la función objetivo
Derivada de la función Volumen V V 30k 4kx
Números críticos
V 0 ó V
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
28
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
30k 4kx 0
V 0
x
30k 7.5 4k V´ existe siempre por ser una función polinómica.
V
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada
V 4k Como V 0 ,
entonces en x 7.5 ocurre el máximo volumen cm Volumen máximo= 112.5k cm3
17. Un veterinario cuenta con 30m de tela de alambre y quiere construir 6 jaulas para perros instalando primero una cerca alrededor de una región rectangular y luego dividiendo la región en seis rectángulos iguales mediante 5 cercas paralelas a uno de los lados. ¿Cuáles son las dimensiones de la región rectangular con las que el área total sea máxima? Función objetivo y
Área = A A xy
x
(1)
Restricciones x>0 y>0 Otras ecuaciones Cantidad de tela de alambre C=30 2 x 7 y 30 despejando x x
30 7 y 2
15 3.5 y
(2)
Sustituyendo (2) en (1) se tiene A 15 3.5 y y A 15 y 3.5 y 2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Función objetivo lista para derivar
Ciencias Básicas 20
29
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Proceso de optimización de la función objetivo
Derivada de la función Área A A 15 7 y
Números críticos
A 0 ó A
15 7 y 0
A 0
y
15 7
2.14 V´ existe siempre por ser una función polinómica.
A
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada
A 7 Como A 0 ,
entonces en y 2.14 ocurre la máxima área
Dimensiones Área máxima total= 16.07 m2 Área por jaula= 2.69 m2
18. Se quiere construir una caja de base cuadrada y sin tapa que tenga un volumen de 4 decímetros cúbicos. Encuentre las dimensiones que hagan que el material necesario para su construcción sea mínimo (ignore el espesor del material y lo que se desperdicia en la construcción)
Y
x x
x
x y x
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
30
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Función objetivo C 1 =
Cantidad de material del fondo
C 1 x 2 C 2 =Cantidad C 2 4 xy
de material de las cars laterales
Cantidad de material C Función objetivo con dos variables x y y
C= C 1 + C 2 C x 2 4 xy
Restricciones x>0 y>0 Otras ecuaciones Usaremos la ecuación V x 2 y que representa el volumen de la caja de base cuadrada como ecuación auxiliar. Sabiendo que V 4 dm3, se tiene que 4 x 2 y y
4 x 2
Despejamos y (1)
Sustituyendo (1) en C para lograr escribir la función objetivo en términos de una sola variable se tiene, 4 2 x
C x 2 4 x C x 2
Función objetivo lista para derivar
16 x
Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función Costo C
C x 2 16 x 1 C 2 x 16 x 2 C
2 x 3 16 x 2
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
31
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
C 0 ó C 2 x 3 16 0
Números críticos C 0
x 3 8
Número crítico valido
x 2
C
x x
2
Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de C.
0
0
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada C 2 x 16 x 2 C 2 32 x 3
Sustituimos x=2 en C”, C 2
32
24 6
23
Como C” >0 entonces, en r=2 ocurre la mínima cantidad de material Dimensiones Cantidad mínima de materiaL 19. La resistencia de una viga de sección rectangular es directamente proporcional a su ancho y al cuadrado de su altura. Encuentre las dimensiones de la viga más resistente que puede cortarse de un tronco cilíndrico de radio 10 cm. r
y
x
Función objetivo R: Resistencia
Función objetivo con dos variables x y y Constante de proporción
R xy 2
Restricciones x>0 y>0 Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
32
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Otras ecuaciones Haciendo uso del teorema de Pitágoras se tiene 20 r
x 2 y 2 202 Despejamos y 2
y
y 2 400 x 2 x
(1)
Sustituyendo (1) en R para lograr escribir la función objetivo en términos de una sola variable se tiene,
Función objetivo lista para derivar
R x 400 x 2 R 400 x x 3
Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función Resistencia R
R 400 3 x 2
Números críticos
R 0 ó R
400 3 x 2 0
R 0
x
400 3
11.54
Número crítico valido
x 11.54 Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de R.
x 11.54
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada R 6 x
Sustituimos x=11.54 en R”, R 6 (11.54)
Como R ” <0 entonces, con x=11.54 tenemos la viga de máxima resistencia. Dimensiones
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
33
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
20. De una pieza cuadrada de cartón se va a formar una caja abierta por arriba; cortando un cuadrado en cada una de sus esquinas y doblando los bordes. Dado que el cartón mide 4 cm de lado, encuentre las dimensiones de la caja que darán el volumen máximo. ¿Cuál es el volumen máximo? x
4
x 4-2x 4-2x
4
Función objetivo Volumen de una caja V =largo.ancho.alto
V
V 4 2 x 4 2 x x V 4 2 x x 2
V 16 16 x 4 x 2 x V 16 x 16 x 2 4 x 3
Función objetivo dependiendo de una sola variable, lista para derivar
V 16 x 16 x 2 4 x3
Restricciones 0< x <2 Proceso de optimización de la función objetivo Derivada de la función Volumen V
V 16 32 x 12x 2
Números críticos
V 0 ó V
V V 0
No se estudia pues la función volumen es un polinomio. 16 32 x 12x 2 0
Usamos la resolvente para encontrar la solución a Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
16 32 x 12x 2 0 34
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
esto es,
12 x 2 32 x 16 0 x1, 2 x1, 2
De tal manera que
32 (32) 2 4(12)(16) 2(12) 32 16 24
Número crítico descartado porque no se encuentra en el dominio de V.
x1 2 x2 0.66
Estudio de máximos o mínimos usando el criterio de la segunda derivada, sólo en el dominio de V, es decir entre 0
Sustituyendo el número crítico X=0.66 en la V” V 32 24(0.66) 16.16
Como V” <0 entonces, en X=0.66 ocurre el máximo volumen Dimensiones Volumen máximo =4.74 cm3
21. Una página rectangular tiene 525 cm 2 de área útil para escritura, al mismo tiempo tiene los siguientes márgenes: 4 cm (superior), 3 cm (inferior), 3 cm (izquierda) y 2 cm (derecha). Calcular las dimensiones de la página que cumpla con las condiciones dadas y tenga área mínima. Función objetivo 4 3
Área de la página = A
Área de
2
Y
3 x
Profa. Yajaira Ramos Rojas
A xy
(1)
Restricciones x>0 y>0 Ciencias Básicas 20
35
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
Otras ecuaciones Área de escritura: AE AE 525 ( x 5)( y 7) 525
despejando x 525
x
y 7
5
(2)
Sustituyendo (2) en (1) se tiene 525 5 y y 7
A A
525 y 5 y 2 35 y y 7
Función objetivo lista para derivar
490 y 5 y 2 y 7
Proceso de optimización de la función objetivo
Derivada de la función Área A 490 10 y y 7 490 y 5 y 2 A y 72 A A
490 y 3430 10 y 2 70 y 490 y 5 y 2
y 7 2 5 y 2 70 y 3430
y 7 2
Números críticos
A 0 ó A
A 0 5 y 2 70 y 3430 0
Usamos la resolvente para hallar los valores de c 2 70 70 45 3430 y1, 2 25 y1, 2
70 4900 68600 10
70 271.1 10
y1 34.1 y 2 20.11
y 72 0 A
y 7 0 y 7
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
36
Universidad de Los Andes Facultad de Arquitectura y Diseño Departamento de Tecnología de la Construcción
7
-20.11
A
34.1
+ - -
5 y 2 70 y 3430
y 72
+
Al observar el cuadro del comportamiento de signo de la primera derivada concluimos: y=-20.11 se descarta por ser negativo y no se encuentra en el dominio de y y=7 se descarta porque el área de escritura sería cero Como A , alrededor de y =34.1 pasa de negativa a positiva, entonces en y =34.1 ocurre la mínima área de la página, Entonces si y =34.1 ,
x
525
34.1 7 x 24.37
5
Dimensiones Área mínima = 831.02 cm 2 22. Un terreno tiene la forma de un rectángulo con dos semicírculos en los extremos. Si el perímetro del terreno es de 50 m, encontrar las dimensiones del terreno para que tenga el área máxima. Función objetivo Área= A A 2 xy x 2
(1)
Restricciones x>0 y>0 Otras ecuaciones Perímetro P=50 2 x 2 y 50 despejando y
Profa. Yajaira Ramos Rojas
Ciencias Básicas 20
37
