UNIVERSIDAD NACIONAL “PEDRO RUIZ GALLO” Facultad de Medicina Humana
2017-I
MATEMÁTICA Desarrollo de Ejercicios Propuestos Sobre Derivadas
–
f(x) = ex x4 7x3 +1
f’x e
x x4 + 4x3 ex)
–
21x2
g(x) = ln(x2 + 1)
g’x 1/x
2 + 1)) (2x)
f(x) = 2ex + ln(x)
f’x 2e
x + (1/x)
( ) −+) −+ h(x) =
– ln’h 7 ln’x – ln’cos3x – −+ ln(h) = 7 ln(x5-4x+1) ln(cos(3x)) 5-4x+1)
(h') =
(5x4-4)
(-sen(3x))
(h') = −+ (5x -4) + tg(3x) ( ) −+) −+ h’x ][ −+ (5x -4) + tg(3x)] +− 4
4
Derivamos mediante la regla del cociente.
sin cos sin sin cos cossin sin cos cos cos sin cos cos ′ sin cos cos sin cossin′cos′ sin cos sin′ cos′ sin cos sin coscossin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos cos 2sin cos sin cos sin cos 2sisin n cos2cos
–
f(x) = ex x4 7x3 +1
f’x e
x x4 + 4x3 ex)
–
21x2
g(x) = ln(x2 + 1)
g’x 1/x
2 + 1)) (2x)
f(x) = 2ex + ln(x)
f’x 2e
x + (1/x)
( ) −+) −+ h(x) =
– ln’h 7 ln’x – ln’cos3x – −+ ln(h) = 7 ln(x5-4x+1) ln(cos(3x)) 5-4x+1)
(h') =
(5x4-4)
(-sen(3x))
(h') = −+ (5x -4) + tg(3x) ( ) −+) −+ h’x ][ −+ (5x -4) + tg(3x)] +− 4
4
Derivamos mediante la regla del cociente.
sin cos sin sin cos cossin sin cos cos cos sin cos cos ′ sin cos cos sin cossin′cos′ sin cos sin′ cos′ sin cos sin coscossin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos cos 2sin cos sin cos sin cos 2sisin n cos2cos
2sisin n cos coscos : sin2cos ℎ 3cos2sin 3cos′2sin′ 3sin2cos : 2cos3sin
− cos 1 1 1 1 cos cos1 cos 1 ′ cos′ cos0′ 1′cos1 coscos 1 cos1 cos 1 cos 1 11) ( 1 cos 1 1 ( 1 ) cos 1 cos 1 1
F(x) =
cos 1 1 cos cos1 : 1 + −
+ − − + − = − = −− −− = −− F(x) =
g(x) =
()− = −()− = ( )− − = −− =
. . 3 6 =
.x +
=
.(x) +
=
=6 =
+
( 6 + 1)
P(x) = (2x - 1) - 6sen(5x)
5
= (2) - 6sen
5 √ 5 5 [ + . + ] + +. + ++ . = 2 + 6cos(5x)
= 2 + 6cos(5x) (5)
= 2 + 30cos(5x)
g(t) =
=
=
=
=
l (x) =
( +)
+).−( +) ( . ´ l´(x) = . −(+) l´(x) = ( +)− (+) l´(x) = ( +)− ( +) l´(x) = + l´(x) = 2ctgx (
1
, 8 − −
y= y´= y´=
√ √ y´(8) = y´=
y´(8) = y´(8) =
1 1 , 14 y=x y´= 1 y(
1
xy = 2 , x=2 y=
y´ = 2
− −
y´ = -2 y´ =
−√
y´(2) = y´(2) =
−√
√ 2
− 2xy = 6x + y +1 , x = 0
Reemplazando para x=0, tenemos y=-1
2 61 2 3 ́ – ́ 6 ́ 26 ́ −− ́ +− ́ − (2y+2xy )=
2x
= (1+2x-3
=
Reemplazando x=0, y=-1 =
)
́
=-4
2 1 2 1 2 1 2 1 23 ́ 2 12 3 ́2 2 3 ́ ́ ́ 83 senx – cos coscosxx.cosx – senx . sen x cosx x coscosx sen x = 2x − , x = 0
Reemplazando para x=0, tenemos y=-1 =
(2x − )
3
3
x)=
Reemplazando x=0, y=-1 -6=2-3
=
. cos(x) sen(x) .
x sec cosx 1
=
secx
= sec(x) . tg(x)
1
0-
cosx cosx cosx
. sen(x)
- -sen (x)
sen(x)
cosx
cos(x)
cos(x)
sec(x) . tg(x)
F(x) =
− ; x = 2
– x1 Fx x1x1 Fx x1 1
x=2 Recta tangente = 1 (2,1) y - 1 = 1( x-2) 0 = x-1-y
x x xx – x
Recta normal = -1 y-1 = -1( x-2) 0 = x + y -3
g(x) = (x-1) ( -2) ; x = 0
gg g
(x) = (x-1)(2x) + 1 ( -2) (x ) = 2 -2x + -2 (x ) = 3 -2x 2
x=0 Recta tangente = -2
Recta normal = 1/2 (0 , 2)
y - 2 = -2 (x) 2x + y - 2 = 0
h(x) = (
x
y - 2 = (x) x 2y + 4 = 0
–
- 3x + 1 ) ( x +2) ; x = 1
hh xx x – 3x x – h 4x x
(x) = ( - 3x + 1 ) (1) + ( -3) ( x+2) (x) = - 3x + 1 + 3 3x + 6 6 (x) = + 6 - 6x - 5
x=1 Recta tangente = -1
Recta
normal = 1 -1 ( x-1) = y - (-1)
1 ( x-1) =
y - ( -1) -x + 1 = y + 1 1 0=x+y
− + − t(2) = + = t’x +−− + t’x = +−+ + t’x + t’2 + t’2 t
–t2 t’ 2. x 2 2
-2)
t - =
t = +
– –
t t(2) = t
(x-2)
= - (x-2)
t = - (x-2)
t’x t’ t’ t = tg t = 1
=
= 2
–
x 1 = y +
––
x y 2 = 0
– t’ – 2 2
t t
.(x - )
t 1 =
t=1+
)
– –
(x - ) t 1 = - (x - ) t = 1 - (x - ) t( ) = sec( ) √ t( ) = t’x secx.tanx t’) = √ .√ 3 t’) = 2 t – t t’ .(x - ) √ t – = 2 √ t = + 2 )
t t( )) = -
– – √
(x - ) = - (x - )
t t( )) = t
t=
√ - (x - )
− f’x = 0 − −− = 0 2 - 2x - = 0 - 2x = 0
−
x(x-2) = 0 x = (0 ; 2)
En qué puntos tiene recta tangente horizontal la gráfica de f (x ) =
+ f’x 0 (+)− + = 0 + +− = 0 + = 0 2x = 0 x=0
ℎ − ℎ . ℎ + +
(a)
Desarrollo:
(b)
+ ?
Desarrollo:
2 1. 1 2 1..+
(c)
(−) −. − (−)[(−)].− .− .−
Desarrollo:
8. La reacción a dos drogas como función del tiempo (medido en horas) está dada por: Debido a las características de cierta enfermedad, se optará por aquella droga que tenga Una reacción máxima mayor.Qué droga se debe elegir?
− .−1 − ′= − 1 4 − − . − − 0 .
Alcanzando su máximo cuando t tiende a 0.
Alcanza su máximo valor cuando t tiende al infinito. La reacción máxima la encontramos en 9. Demuestre que: x
2
y
d dx d dx d dx
( y)
xe
d
dx
( y) x
2
, satisface la ecuación xy'(1 x 2 ) y 0 . x 2
d
2
( x e
dx
(e
x 2
( y) x e
dx
x2
d
)
2
2
)e
d dx
(
x2
x 2 2
2
d dx
( x)
x2
)e
2
(1)
d dx
x 2
( y) x
( y) e
2
e
2
x2
e
x2 2
(1 x 2 )
Reemplazando: y’ / y
2
d dx
x 2
( y) x e
y
d dx d dx
xsenx
dx
d dx d dx y ' '
2
dx
(2 x) e
2
d
( senx) senx d
(
dx
d
d dx
dx
2 cos x
d dx
2
dx d dx d dx d dx
x
)
(1
x
)( xe
d dx
d dx
( x ) cos x
x
xe
( x)
dx
( x) cos x (1) cos x (1)
3
senx
2
2 x cos x 2 xsenx x
2)( xsenx)
3
senx
2 xsenx 0
, satisface la ecuación xy' y xy .
d dx
( y) x
d
xsenx
2 x cos x x
( y )
)(1
( x)
(2 cos x xsenx) 2 x( x cos x senx) ( x 2
d
2
2
( senx)
cos x cos x
( y ' ) x senx
x
2
( x) senx
dx
( x cos x)
y
x e
Reemplazando: y’’ / y’ / y x
2
x
2
senx
( y ' ) x
2
( y) x cos x
( y ' )
x2
1
, satisface la ecuación x 2 y' '2 xy'( x 2 2) y 0 .
d
( y ) x
y ' x cos x
d
( xe x ) d dx
( y ) x e x
(e x ) e x d dx
y' e
x
d dx
( x) e x (1)
( y ) x e x (1) e x
( x)
( x 1)
Reemplazando: y’ / y x
x e
( x 1) (1 x) xe
x 1 1 x
x
2
2
)
0
y
d dx d dx y '
x
e
, satisface la ecuación
d
( y )
( y )
10.
dx ex
d
(e x ) d
dx
dx d
( x)
dx
y ' ' xy' y
d
( y ' )
( y ' )
dx ex
x
xe
Reemplazando: y’’ / y’ / y
(e x ) d dx
e x
( x)
x e x
y' ' e x
x
e
Hallar
fπ/2,
si f(x)=sen2(x - cosx)
f(x)=sen2(x - cosx) f(x)=1-
−
f’ – f’ – fπ/2 π/2– π/2 π π π ’ ∈ , a≠ l1/yn’ yy’x’lnlnaa y’y’ ay ln a
(x)= -(1/2) (-sen(2x 2cosx)) (2+2senx) (x)= (sen(2x 2cosx)) (1+senx) (sen(2(
2cos(
)) (1+sen(
f( /2) = sen( )
π/2
)
f( /2) = 0
11. Pruebe que [a x
ax ln(a) , a R+
1.
y = ax ln y = ln a x
x ln a
12. Demuestre que la función y = (x 2 ex)/2 , satisface la ecuación:
– 2 +y = e
x
y = (x2 ex)/2
e x
x e x
y’ xe y’ xe y’ – y’’ –y’ e y’’ –y’ e y’ – y’’ –2y’ y e … Se demostró x + (x2 ex)/2
x + y
y = xex
x + xex
x
y
x
1° Derivamos:
0 22. 34 2. 4 32 24 32 32 24 322 23 4 107 3 107 ( 2) 3 107 23
2° calculamos la ecuación para (-2,3):
3° La ecuación de la recta es:
14.
′
(b
1 cos cos coscos .cos 0cos0 cos00. cos0 01 10 1 encuentre y’ para y ln2x 21 .6 cos13. 3 cos1 3. 3) + sen (1-x)-x.e3x
1° Derivamos
2.3. 53. 1 2.3 . 53 . 1 3 25 1 1 325 32.21 2 5
Calculamos el valor de la pendiente para x=2 y y=-2
1 341 121 2 121 2 121 22
La ecuación de la recta es:
cos ′ cos cos . cos →′′′0 cos coscos 0 cos coscos cos 0 bx c con p1 6 , 18. Calcule un polinomio de segundo grado p(x) = ax2 p' (1) = 8 y p''(0) = 4. P(x) = ax2+bx+c
→
P'(x) = 2ax + b
P'(1) = 8 = 2a(1) + b
→ P''0 4 2a → a 2 → P P''(x) = 2a b =4
-1) = b = a(-1)2 + b(-1) +c
6=2
–4 c → c 8
P(x) = 2x2 + 4x + 8
19. Sea (x) = x2 + ax + b. Hallar los valores de a y b tales que la recta y = 2x sea tangente a la gráfica de en el punto de coordenadas (2, 4).
2; 2,4 2 ′ 22 4 → →42;2 2 4 2 →244; 2 42 2 02 →2; 22 →4 2;4 Pendiente =
Punto (2,4) pertenece a
→ Pendiente m 2 f´x2.xa → pendiente de la recta tangente.
-Ecuación de la recta: y=2.x -Punto tangente: (2,4) - 2.x+a=2
- 2(2)+a=2 -
a2
El punto (2,4) ,pertenece a la ecuación f(x)=x2+a.x+b , reemplazamos : - f(x)=x2+a.x+b - 4=4+2.a+b
2.ab →b4 “t” es el tiempo en minutos. -
-
- tenemos que: e´(t)=0
e´(t)=cos( t)
→ -
cos( t)=0
t= 90 v 270 t90 →t1
t=270 →t3
v
21. En el siguiente modelo de población, la velocidad de crecimiento en el instante t depende del número de individuos en el instante t - T , siendo T una constante positiva, esto nos indica que el modelo incorpora un retardo temporal en la velocidad de nacimientos. Sea N(t) el tamaño de la población en el instante t y suponga que
siendo K y T constantes positivas. (a) Demuestre que
es una solución de (6.2).
N’t - A ( ) sen( … esto es lo que se debe compobar. N(t) = K + A cos( )
N’t – − N’t – N’t N’t − N’t − (K N(t-T))
(K (K + A cos( (K + A cos(
-
cos(
- )
sen(
)
))
))
... se demostró que es una solución.
(b) Dibuje N(t) para K = 100 , A=50 y T = 1. Explique con palabras cómo varía el tamaño de la población con el tiempo.
N(t) = K + A cos( )
N(t) = 100 + 50 cos( )
Si t = 0
N(t) = 100 + 50 = 150
t=1
N(t) =
100 + 0 = 100
t=2
N(t) = 100
t=3
N(t) = 100
t=4
N(t) = 100 + 50 = 150
– –
50 = 50 0 = 100
22. Suponga que N(t) indica que el tamaño de una población en un instante t y N(t) satisface la ecuación
Grafique N’ N ≥ 0, ’e identifique todos los puntos de equilibrio, esto es, N’t 3N 1 ≥ 1 ∫ ∫ ∫ ∫ 1 ≥ 1 ≥ ≥ 0 ^ 3N ≥ 0 V ≤ 0 ^ 3N ≤ 0 ≤ ^ N≥0 V ≥ ^ N≤0 є є ∞;0 U 20; ∞> (t)para aquellos valores en que N (t)=0. )
N(t)
0
= 3N (
)
= 3 (
)
N(t) = 3 ( N dt -
N(t) = 3N ( N(t)
3N (
)t
0
)t
( 1-
( N
N2 dt)
0
( 1-
20
N [ 0;20 ]
( N
N <-
20
PUNTOS DE EQUILIBRIO… N’t 0 1 3N (
)=0
N1 = 0
N2 = 20
1. Un investigador médico estima que t horas después de introducirse una toxina, la población (en miles) de cierta colonia de bacterias será
¿Cuándo es máxima la población? ¿Cuál es la máxima población de la colonia?
P’t Máximo…
–
-600 (0,003e 0,003t 0,01e-0,01t ) (e0,003t + e-0,01t + 4)2
f’t 0 – –
-600 (0,003e 0,003t 0,01e-0,01t ) = 0 (e0,003t + e-0,01t + 4)2 (0,003e 0,003t 0.01e-0,01t ) = 0 0,003e 0,003t = 0,01e-0,01t e0,003t+0,01t = (0,01)/(0,003) t(0,013) = ln [(0,01)/(0,003)] t = 92,61
Reemplazando en la ecuación… P(92,61) = 600 0,003(92,61) e + e-0,01(92,61) + 4 P(92,61) =
104,9619 ≈ 105 miles de bacterias
2. Existen varios modelos matemáticos en el estudio de enfermedades dinámicas como la leucemia y otras enfermedades que afectan a las células sanguíneas. Uno de estos modelos de producción de células sanguíneas fue desarrollado por A. Lasota en 1977 e involucra la función exponencial Donde A, s y r son constantes positivas y x es el número de glanulocitos (un tipo de glóbulos blancos) presentes. (a) Hallar el nivel x de glanulocitos de la sangre que maximizan la función de producción.
Máximo…
p’x
p’t 0 =0 = x=r
(b) Si s>1 demuestre que existen dos valores de x tales que
p’’x p’’x A
p’’
(x)=0.
–
e(-xs/r) s xs-2 ( -2rsx + sx2 + sr2 r2) = 0 r2
– 2sr ± √ – x r ± r√s .que. Sehacen demuestra que x ti e ne dos val o res p’’x 0 sx2 2sxr + (s-1)r2 =0
x = -(-
-2sr)2 4(s)(s-1)(r2)
2s
s
4. la ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura constante, la presión P y el volumen V satisface la ecuación PV = c , donde c es una constante . en determinado instante el volumen del gas es 600 ,
la presión es 450 KPa y crece a una razón de 20KPa/ min. ¡Con qué velocidad disminuye el volumen en este momento? PV = c Derivada de un producto
.V + .P = 0 =− . = 20 − . −. = = -80
+ + ′ 1 1′ 2 1 2 1 1 2 22 1 ′ +{ } 0 ℎ ℎ ℎ′ ++ 1 ′2 1 1′ 2 1′ +() () 2 1 ()
6. ¿En qué puntos tiene recta tangente horizontal la gráfica de
?
1° Derivamos:
En los puntos
7. Suponga que
son funciones derivables. Calcular la derivada de:
1 − ′−. −′ ′−.1−.′
8. La reacción a dos drogas como función del tiempo (medido en horas) está dada por:
.− , .−
Debido a las características de cierta enfermedad, se optara por aquella droga que tenga una reacción máxima mayor ¿cuál droga se debió elegir? Desarrollo:
:
:
.− − .− −− − . . −− −− . .− (. − ) − .2 .−− − −2
Rpta: la droga que se debe elegir es la primera ( , ya que ella tendrá una reacción máxima mayor, la cual se puedo comprobar al derivar dicha operación.
9. Una persona tose porque hay un objeto extraño en su tráquea. La velocidad de la tos depende del tamaño del objeto. Suponga que una persona tiene una tráquea
Si un obj e to extraño ti e ne un radi o “r” en mi l í m etros, entonces la velocidad “V” en milímetros por segundo, necesaria para eliminar el 20 ;0≤≤20 cuyo radio es del 20 mm.
objeto mediante la tos está dada por:
Donde K es una constante positiva. ¿Para qué tamaño del objeto se necesita la velocidad máxima con el fin de removerlo? Desarrollo:
20 403 3 40 3 0
0
6,6 133 ⁄
11. Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa especifico de servicios de salud, entonces al cabo de t años, N miles de personas adultas recibiría
beneficios
directos, 6 32;0≤≤8
3
¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios?
́ 1232
N=
3 6 32
donde
́
N = (t-8)(t-4) Igualamos cada factor a 0 ; tenemos que t=4 y t=8 y analizando la segunda derivada Buscamos el máx. y el min. Dando valores entre sus intervalos tenemos que máx=4y min=8
12.- Un biólogo realizó un estudio sobre los factores que influyen en el crecimiento o decrecimiento de una población de peces presentes en un lago natural. El científico llegó a la conclusión que en verano producto de la visita humana al lugar la cantidad de peces presentes en el lago se modela por
−
f (t) = 4 + donde t es el tiempo medido en semanas (t = 0 es el primer día de verano ) y f(t) es el número de peces en miles. (a) Establezca el modelo en forma precisa (encuentre el valor de k ) , si se sabe que después de una semana de comenzado el verano hay 4.600 peces en el lago . ¿Cuántos peces hay después de 4 semanas? (b) Para el modelo encontrado en (a) ¿después de cuántos semanas el número de peces en el lago es máximo? ¿Cuándo la cantidad de peces estará aumentado, cuándo disminuyendo? (c) Calcule
→+
f(t) e interprete el resultado en el contexto del problema
SOLUCIÓN F(T) = 4 + f (t) 4,6 = 4 + 0,6 =
−
− −
.−.
Ln = Ln - 0.51 = -k k = 0.51
−
−. −
−.
a) F(T) = 4 + 4.
b) F (T) = 4 + T.
F (4) = 4 + 4 F (4) = 4 + 0.54
T=1 máximo F (1) = 4,6 4600
F (4) = 4,54
→
4540
→ →
c)
→+
4+t
Tiende al 0 F ( t ) = 4 4000 aprox.
→
En Nueva Escocia se llevó a cabo un estudio de la polilla de invierno. Las larvas de la polilla caen al pie de los arboles huéspedes a una distancia de x pies de la base del Árbol. La densidad de larvas D (número de larvas por pie cuadrado de suelo), viene dada por:
a) ¿Con qué rapidez cambia la densidad de larvas con respecto a la distancia cuando estas están a 6 pies de la base del árbol?
= -1,5 + x = -1,5 + 6 ; x = 6 = 4,5 un/; x = 6
b) ¿A qué distancia de la base del árbol la densidad de larvas decrece a razón de 6 larvas por pie cuadrado por pie?
= -1,5 + x
6
= -1,5 + x
X = 7,5 pies
define implícitamente ” ” sin1 yln2 ′ cos1 31 65 3 + 15 1 + 2 2
14. (a) La ecuación sen (x + y ) = xseny de x . Encuentre y’ en el punto (0 , 0). (b) Encuentre y ’ para
y como una función
.
15. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva cuando x = 2 e y = − 2.
Recta tangente:
16. La fuerza R de reacción del cuerpo humano a una dosis D de cierto medicamento está dada por:
R ( D )
K D D 2 2 3
Donde k es una constante positiva. Demuestre que la máxima reacción se alcanza cuando la dosis es k unidades. Derivando la función fuerza (cantidad) se obtiene la función reacción (rapidez). R ( D)
3 K 2 D D 2 6
R ( D)
d dD d dD d dD
d dD
1 6
3 KD
R ( D )
R ( D)
R( D)
d
2D3
dD
1 3 KD 2 2D3 dD 6 d
1
d
6 dD
1
2
Máxima Reacción:
6
(3 KD 2 )
(6 KD
d dD
KD D
(2 D 3 )
D
6 D 2 )
R ( D )
2
D
2
0
0
KD
K
R( D) KD D 2
17. El porcentaje de alcohol en el flujo sanguíneo de una persona, t horas después de beber cierta cantidad de whisky está dada por: P (t )
0.23
t e
0.4t
¿Qué tan rápido aumenta el porcentaje de alcohol en el flujo sanguíneo de una persona después de media hora? Derivando la función porcentaje de alcohol (cantidad) obtenemos la función rapidez. P (t ) 0.23t ) e d dt
P (t )
0.23t
d dt
d
P (t ) 0.23t e dt d
Rapidez en % para t=0.5h:
0.4t
P (t ) 0.23t e dt
(e
0.4 t
0.4t
0.4t
)e
d dt
0.4 t
dt
(0.4t ) e
( 0.4) e
d
0.4t
(0.23t )
0.4 t
(0.23)
(0.23)
d dt d dt
P (t )
(0.23)e
P (t )
0.15
0.2
(0.046)e
0.2
d
P (t ) (0.23)e dt
0.4 t
(0.092t )e
0.4 t
20. La reacción del cuerpo a las drogas se puede modelar por la función , donde D es la dosis y K es una constante que indica la dosis máxima que puede administrarse. La razón de cambio de R(D) con respecto a D se denomina sensibilidad. Hallar el valor de D para que la sensibilidad sea máxima.
.
Entonces:
2 3 2 3 2 2 33 0 0 → 2 3 6
Sensibilidad máxima
18. Cuando se administra una droga o vitamina intramuscularmente, la concentración en la sangre (medida en ug/ml) t horas después de la inyección se puede aproximar por medio de la función
Donde C, k1 y k2 son constantes positivas. ¿En qué instante la concentración de la droga es máxima? f'(t) = C(-k1 e-k1t (-k2) e-k2t )
–
Máximo…
f’t 0
–
C(-k1 e-k1t (-k2) e-k2t ) = 0 k2 e-k2t = k1 e-k1t (k2/k1) = ek2t-k1t ln(k2/k1) = t(k2 - k1) t = ln(k2/k1) (k2 - k1) 19. La concentración C de cierto producto químico en la sangre, t horas después de ser inyectado en el tejido muscular es
¿Cuándo es máxima la concentración?
C’t 3t’ 27 t – C’t 327 t – C’t 81 – Máximo… C’ – 3)
(27 +t 3)2 3)
’
(3t) (27 + t 3
(3t)(3t 2)
(27 +t 3)2
6t 3 (27 +t 3)2
t) = 0
81 6t 3 = 0 (27 +t 3)2 6t 3 = 81 t=
√
21. Una enzima es una proteína que puede actuar como catalizador para aumentar el ritmo al que se desarrolla una reacción en las células. En una reacción determinada, una enzima se convierte en otra enzima denominada producto. Este último actúa como catalizador para su propia formación. La tasa R a la que se forma el producto (con respecto al tiempo) está dada por la función R(p) =Kp (Lp), donde L es la cantidad inicial de ambas enzimas, p es la cantidad de la enzima producto y K es una constante positiva. ¿Para qué valor de p será máxima la tasa a al que se forma el producto?
Para:
2 20 2
la tasa resulta ser máxima
22. Un agente antibacteriano agregado a una población de bacterias causa disminución en el tamaño de ésta. Si la población t minutos después de agregado el agente es Q(t) = Q0 2-t/3, donde Q0 representa la cantidad inicial. Determine: (a) La razón de cambio de la población al tiempo t si la población inicial es de 10 6 bacterias.
− 2−+ 3 2 10 32−+ 103. . 2+1
(b) ¿Después de qué período de tiempo la población ha disminuido a 10 3 unidades?
. 21 10 10 21 − 10 21 10− 21 2 101− 29ln10
220.72 29.89 ~ 30 “x” es el tiempo en meses.
-
Hallamos la derivada de p(t) -p´(t)= (30x2)´. (1+x2)2 - p´(t)=60x. (1+x2)2
(30x2) . ( (1+x2)2 )´ / ( (1+x2)2 )2
(30x2).2. (1+x2).2x / (1+x2)4
- p´(t)= (1+x2) (60x. (1+x2
120x
3)/
(1+x2)4
- p´(t)=60x +60x 3-120x3 / (1+x2)3 - p´(t)=60x(1-x2) / (1+x2)3 =
Hallamos “v” cuando “t” es igual a ½. -V 60x (1-x2) / (1+x2)3
-v=60(1/2)(1-(1/2)2) / (1+(1/2)) 3 -v=11520 personas/día 25. Los ictiosaurios son un grupo de reptiles marinos con forma de pez y n durante el periodo Cretáceo. Basándose en el estudio de 20 esqueletos fósiles, se descubrió que la longitud del cráneo S(x) (en cm) y la longitud de la espina dorsal B(x) (en cm) de los ejemplares estaban relacionadas mediante la igualdad S(x)=1, 162 [B(x)] 0.993, donde x es la edad del fósil. ¿Cómo se relaciona la razón de crecimiento de la espina dorsal con la del cráneo?
comparables en tamaño a los delfines. Se extinguiero S(x)=1, 162 [B(x)]0.993
S’x 1,162 0,993
[B(x)]0.993
= 1,162 (0,993) [B(x)]0.993
= 1,1568 [B(x)] = , [B(x)] = 0,866 [B(x)]
0.993
-0.993 -0.993
26. Un instituto de salud pública mide la probabilidad que una persona de cierto grupo, muera a la edad x y emplea la fórmula P(x) = 2 x e-
λ
λx
