FUNCIONES IMPLÍCITAS Y SU DERIVADA Al considerar la función con ecuación determinar
, es posible
con los teoremas enunciados anteriormente, ya que
es una
función dada implícitamente en términos de la variable independiente . Sin embargo, existen funciones que no están definidas en forma explícita, ejemplos de las cuales son las siguientes:
Estas ecuaciones no pueden ser resueltas explícitamente para "y " en términos de "x ". Se dice que la función
está definida implícitamente por las
ecuaciones:
respectivamente.
Note que ambas expresiones son de la forma general
.
Interesa ahora determinar la derivada de una función dada en forma implícita. Consideremos cada una de las ecuaciones anteriores: a.
Observe que
involucra un producto de funciones y que para derivar
se debe utilizar la regla de la cadena. Se tiene entonces derivando:
Despejando
se tiene que:
Sustituyendo "y " por
b.
se obtiene:
derivando
de donde
y sustituyendo
se tiene:
El proceso realizado en estos dos ejemplos recibe el nombre de derivación implícita, y puede ser utilizado únicamente bajo el supuesto de que la ecuación dada especifica una función. En caso de que no sea así, aunque se realicen las operaciones, el resultado carece de sentido.
Por ejemplo, la ecuación
no puede ser satisfecha por
ningún valor real de "x" y "y". Al realizar el procedimiento anterior se obtiene que
de donde
para "x" y "y" siempre que
, fórmula que parece tener significado , aunque de hecho no puede existir derivada ya
que la ecuación dada no especifica ninguna función
.
La derivación implícita determina una fórmula para para toda función derivable
tal que
, que es válida
esté definida implícitamente por una
ecuación dada. Ejemplos:
1. Suponiendo que existe una función derivable implícitamente por la ecuación
tal que
está definida
, calcular
Solución: Derivando implícitamente se obtiene:
Note que hemos trabajado como si
.
2. En cada caso determinar una ecuación para la recta tangente y una ecuación para la recta normal a la gráfica de la ecuación dada en el punto
. Graficar la curva, la recta tangente y la recta normal.
a. b.
Solución:
a. Primero obtenemos
que nos da la pendiente de la recta tangente: de donde
Evaluando
Luego
se tiene que
. Sustituyendo
se obtiene que
por lo que la ecuación
de la recta tangente es
La pendiente de la recta normal es es:
de donde la ecuación de esta recta
; sustituyendo nuevamente en
se obtiene que
La ecuación de la recta normal es:
La ecuación
puede escribirse como
que representa la ecuación de una circunferencia con centro en La representación gráfica de la curva y las rectas es la siguiente:
y radio .
b. Dada la ecuación
Evaluando en
obtenemos
. como
entonces
se tiene que
Luego, la pendiente de la recta tangente es . Sustituyendo
y la ecuación es
en esta ecuación se obtiene que
finalmente la ecuación de la recta tangente es
La pendiente de la recta normal es . Sustituyendo ecuación de la recta normal es
por lo que
.
y la respectiva ecuación es:
se obtiene que .
por lo que la
La representación gráfica de la curva, las recta tangente y de la recta normal es la siguiente:
Ejercicios resueltos de Derivadas implícitas dy
Hallar
dx
1.
3x y
a.
dy
2
4 '
3
12 x y
dx dy dx
−
dy
7 xy
2
=
4 − 8y
dx
(3x ) y
dy
2
dx
y
2
(6 x
=
2
4
+
3x
+6
4
(y ) (7 x ) y 2 '
4
x y
dy dx
'
−
−7
y
2
2
− 14
+
xy
y − 14 xy + 8) = −12 x y 3
− 12 4
3
x y
2
+7
y
2
6 x y − 14 xy + 8
( ) (4) (8 x )
7x y
2
dy dx
+
2 '
=
7y
=
0 −8
2
'
dy dx
−
'
b.
dx dy
(3x ) y 4 '
3
2x y
dx dy dx dy
2
+
dx dy
(12 x
=
2
3
3x
+
y
− 86
2
(y ) (7 x ) y 2 '
4
−
7y
2
)
'
−
6x y − 7 y
2
dx dy
= −8 −
2
(7 x ).(y 2 )
'
+
− 14
xy
=
(4)' (8 y )'
= −8
4
6 x y + 14 xy
4
x y + 14 xy 3
12 x y
2. Hallar
4
2
dy dx
−
7y
de
2
x cos y + y cos x
=1
(x )' (cos y ) + (x )(cos y )' + ( y )' (cos x ) + y (cos x )' cos y − xseny
dy dx dy dx
dy dx
+
cos x
(− xseny + cos x ) =
=
ysenx − cos y −
xseny + cos x
dy dx
−
ysenx
ysen − cos y
=
0
=
(1)'
3. Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva punto (1,2) y − y1
x
3
3x
+
2
dy dx dy dx dy dx
dy dx dy dx
m( x − x1 )
=
y
3
=
dx
2
= −3
−3
x
3y
= −
dy
2
(3 y )
=
9
=
3y
+
Ecuación de la recta tangente
x
0
2
2
2
x
2
y
2
(1)2 = − (2)2 = −
y − y1
1
=>
4
=
1 4
m( x − x1 )
y−2=− 4y − 8 =
m=−
1 4
−
(x − 1)
x +1
x + 4y − 8 −1 = 0 x + 4y −9 = 0
Ecuación general de la recta
x
3
+
y
3
=
9
en el
4. Usa la derivación implícita para encontrar la pendiente de la recta tangente en (4,0) a la gráfica
