UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de de In In enie ierría Departamento de Ingeniería Industrial
Probabilidad y Estad stica I Conceptos Básicos de Probabilidad Técnicas de Conteo y Cálculo de Probabilidades Mario Castillo (Coordinador General Curso) 1
Experi Exp eriment mento o Aleatorio Aleatorio - Eje Ejemplo mploss Daremos algunos ejemplos iniciales y después caracterizaremos a los experimentos aleatorios.
ξ1 : Número de kilómetros que recorre un carro seleccionado al azar de un parqueadero de la ciudad de , . ξ2 : El tiempo que transcurre entre este instante y el próximo temblor de tierra en Bogotá, con una intensidad mayor o igual que 6. , instante. número que se obtiene obtiene al al lanzar lanzar un dado dado normal. normal. ξ4 : El número . ξ6 : Lanzar un dado 100 veces y registrar el número de veces que se obtuvo el número 6. diciembre de 2010. ξ7 : El precio de cierre de valor de la acción de ECOPETROL el 31 de diciembre . ξ9: El monto, en miles de pesos, que gastarán los estudiantes de P&E I de esta sección el próximo fin de semana.
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Experimento Aleatorio - Ejemplos En los e em los anteriores notamos ciertas características im ortantes (indispensables) para que dichos experimentos puedan ser llamados experimentos aleatorios. 1. Antes de ue el ex erimento ha a finalizado es im osible conocer con certeza cual será el resultado del experimento (se dice entonces que el experimento es no determinístico). 2. Todo experimento aleatorio debe producir en cada una de sus ocurrencias un resultado único. 3. El conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio se debe poder determinar completamente.
• •
Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio ξ al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. os e ementos e se es ama resu ta os e ementa es. . . pue e ser finito o infinito; en caso de ser infinito es importante distinguir entre espacios enumerables (discretos), y no enumerables (continuos).
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Eventos Un evento asociado a un experimento aleatorio ξ es un subconjunto B del espacio muestral del experimento aleatorio. Se dice que el evento B se da o tiene lugar si el resultado final del experimento es un elemento de B.
Propiedades de los Eventos Es intuitivamente claro que los eventos deben tener las siguientes propiedades: C , , contraria a la que define B) también es un evento. - Debe haber una forma de representar los eventos imposibles: el conjunto vacío, ∅, permite representar tales eventos. Luego ∅ debería ser un evento. . . , ser también un evento .
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Familia Bien Definida de Eventos Se dice que una colección B de subconjuntos de es una familia bien definida de eventos (FBDE) sobre si B cumple las siguientes propiedades: 1. ∅ ∈ B 2. Para todo A ∈ B, si A ∈ ⇒ A ∈ 3. Si A1, A2, ..., An, ... es una familia numerable de elementos de B (eventos) entonces ∞ ∪Ai
i =1
=A∈B
En particular, si A1, ..., An es una familia finita entonces:
n
∪Ai
i =1
=A∈ B
, subconjuntos de , B( ), es una FBDE sobre . ¿Por qué?
Eventos Incompatibles o Mutuamente Excluyentes: Dos eventos A y B son incompatibles si A y B no se pueden dar simultáneamente, es decir, AB = ∅
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Axiomas de Probabilidad Sea el ESPACIO MUESTRAL asociado a un experimento aleatorio. Suponga que a cada evento B, perteneciente a se asocia un número P(B). Si P satisface los siguientes , PROBABILIDAD DE B. ≤ 1
ara cual uier evento B asociado a . No ne atividad
1.
0 ≤ P B
2.
P( ) = 1, (La probabilidad del evento
3.
Si B1 , B 2 ,...., B n es una colección de eventos tales que B i B j = ∅ para i ≠ j , entonces:
que es cierto es 1)
P (B 1 U B 2 U.... B n ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) +....+ P(B n ) (La probabilidad de ocurrencia de al menos un evento en una secuencia de even os mu uamen e exc uyen es es a suma e sus pro a
a es
(Esta propiedad también se debe cumplir para sucesiones infinitas).
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gunos eoremas 1.
A y B son eventos cualesquiera de , entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)
2. .
P(Ac) = 1 - P(A); P (∅) = 0
⊆
=>
≤
Generalización de la Propiedad 1: P A U B U C = P A + P B + P C - P AB + P AC + P BC + P ABC
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Un Concepto de Probabilidad DEFINICIÓN: Una probabilidad es una medida sobre el grado de certeza de que . ¿Cómo asignarla? En un experimento aleatorio en el que todos los RESULTADOS ELEMENTALES son IGUALMENTE POSIBLES, se puede asignar
=
# RESULTADOS FAVORABLES AL EVENTO B # TOTAL DE RESULTADOS POSIBLES
OJO: Entender e interpretar a partir de los axiomas
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Ejemplos Ejemplo 1 :
z
Evento B: “obtener pares”
Es acio Muestral: S = 1,1 ,..., 1,6 , 2,1 ,... 2,6 ,..., 6,1 , 6,6 ; # S = 36 Resultados favorables al evento B: {(1,1), (2,2), (3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} P(B) = 6/36 = 1/6 Evento B: “La suma de los puntajes de los dados es mayor que 10”.
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Ejemplo 2 Una fotografía de 3cm de ancho y 4cm de altura tiene un defecto de revelado pues en a guna par e ene un . Esquemáticamente la fotografía es como muestra la figura. probabilidades asociadas con los siguientes eventos? EVENTOS: “El punto negro está sobre la Zona inferior” “El punto negro está sobre la cabeza”. “El punto negro está exactamente sobre la circunferencia (de la cabeza)”. “El punto negro está sobre el cuerpo (cabeza y tronco)”.
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Cálculo de Probabilidades - Solución
P(Cabeza) =
=
área asociada a la Zona inferior área total
π
×
. 12
2
=
. 12
=
0 . 065
P(Circunferencia) = 0 /12 = 0 P(Cuerpo) =
rea a . + rea ronco = 12
En el ejemplo anterior, formalmente el E.M. ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4}
π
×
. 12
está definido por la región
+
≈
0 . 148
= {(x, y) ∈ R2, tal que, 0 ≤ x
que su área está bien definida (que se puede calcular). 11
CÁLCULO DE PROBABILIDADES - TÉCNICAS DE CONTEO Si el EM de un EA es un conjunto finito
= {w1, w2, … , wn}, tal
que P{wi} = 1/n parta todo i, es decir, si es un espacio de probabilidad equiprobable, entonces para cualquier evento B de ,
P(B) = # de casos favorables al evento B / # de casos posibles Sin embargo, no siempre es fácil contar correctamente tanto los casos favorables como ,
Ejemplos sobre cálculo de probabilidades en EMs finitos 1. Se tienen 6 bolas Blancas y 4 bolas Rojas a. Si se extraen al azar 3 bolas, sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 bolas Rojas? . bolas Rojas?
,
,
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CÁLCULO DE PROBABILIDADES - TÉCNICAS DE CONTEO
2. El Presidente de la República ha invitado a 10 altos ejecutivos colombianos a una comida a a asa e ar ño. ay puestos segu os en una arga mesa est na os a esos invitados. Al llegar los ejecutivos son recibidos y sentados al azar. - 3 son del Sindicato Antioqueño - 5 del Grupo Santo Domingo - 2 del Grupo Ardila Lüle ¿Cuál es la probabilidad de que los miembros de c/u de los grupos económicos queden juntos? 3. Se tiene una clase de 100 estudiantes y se quiere dividirla en 4 subgrupos de 40, 30, 20 y 10 estudiantes. Hay cuatro amigos que provienen del Colegio Cervantes. ¿Cuál es la probabilidad de que
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Inversión vs. Reserva (muestra de 120 pozos) Se ha tomado una muestra aleatoria de 120 pozos de una compañía petrolera, los cuales se clasifican en cuanto a Reservas y Nivel de Inversión como aparecen a continuación: Res (MB)
Alta
Media
Baja
Total
Se selecciona un pozo al azar. La probabilidad de que el pozo
Inv(U$M)
a. b. c. d. e.
Alta
8
12
10
30
Baja
20
35
35
90
Total
28
47
45
120
Inversión baja ó haya tenido una reserva baja es:
13/24 5/6 9/8 7/24 3/4
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DESARROLLO Definición de los eventos B
IA: Inversión Alta RB: Reservas Bajas RM: Reservas Medias RA: Reservas Altas
Al seleccionar un pozo al azar. La probabilidad de que el pozo seleccionado ha a tenido una inversión ba a ó ha a tenido una roducción baja es: P(IB ∪ RB) = P(IB) + P(RB) - P ((IB) (RB)) =
-
=
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Cálculo de probabilidades en conjuntos finitos. Técnicas de Conteo 1. Síntesis clase anterior 2. Cálculo de probabilidades en conjuntos finitos. Técnicas de Conteo 3. Ejercicios resueltos
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SÍNTESIS CLASE ANTERIOR CONSECUENCIAS DE LA DEFINICI N DE UNA PROBABILIDAD 1.
A y B son eventos cualesquiera de , entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)
.
c
=
-
=
3. Si A ⊆ B => P(A) ≤ P(B) Generalización de la Propiedad 1: P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(AB) + P(AC) + P(BC)] + P(ABC)
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CÁLCULO DE PROBABILIDADES - TÉCNICAS DE CONTEO 1,
2,
…,
n
,
que P{wi} = 1/n parta todo i, es decir, si es un espacio de probabilidad equiprobable, entonces para cualquier evento B de ,
P(B) = # de casos favorables al evento B / # de casos posibles Sin embargo no siempre es fácil contar correctamente tanto los casos favorables como los casos osibles, como se uede observar en los si uientes e em los:
Ejemplos sobre cálculo de probabilidades en EMs finitos 1. Se tienen 6 bolas Blancas y 4 bolas Rojas a. Si se extraen al azar 3 bolas, sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 bolas Rojas? . bolas Rojas?
,
,
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CÁLCULO DE PROBABILIDADES - TÉCNICAS DE CONTEO 2. El Presidente de la República ha invitado a 10 altos ejecutivos colombianos a una comida a la Casa de Nariño. Hay 10 puestos seguidos en una larga mesa destinados a . . - 3 son del Sindicato Antioqueño - 5 del Grupo Santo Domingo - 2 del Grupo Ardila Lüle ¿Cuál es la probabilidad de que los miembros de c/u de los grupos económicos queden juntos? ,
,
y 10 estudiantes. a. ¿De cuántas formas posibles se puede repartir la clase en los cuatro grupos descritos? b. Hay cuatro amigos que provienen del Colegio Cervantes. ¿Cuál es la probabilidad de c. Considere los mismos cuatro amigos que provienen del Colegio Cervantes. ¿Cuál es la probabilidad de que queden en el mismo grupo?
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– Consideremos un experimento aleatorio que se lleva a cabo en dos etapas, de tal forma que para la primera etapa hay n1 resultados posibles y para cada uno de estos resultados . , 2 resultados posibles es n1 * n2.
1 1 3
n1
2
número total de resultados = n1 * n2.
n
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Sea A = {a1, a2,...., an} un conjunto finito de n elementos. (ai1, ai2,..., air ) , donde aij ∈ A. # M(r; A): Número total de r-muestras de un conjunto de n elementos = n r Ejemplo: A = {0, 1, 2, …, 9} Las siguientes son muestras distintas de orden 4 del conjunto A: 0341,3401,1111,2345,entreotras. =
4=
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PERMUTACIONES Una PERMUTACIÓN de orden r de A ( r ≤ n) es un arreglo ordenado (ai1, ai2,..., air ) de r elementos diferentes de A. El número de permutaciones de orden r de un P ( r ; n )
Ejemplo: A = {0, 1, 2, …, 9}
=
n
(n − r ) !
0341,3401,1234,2345,8091,entreotras. # P(4; A) = 10! / (10 – 4)! = 10! / (6)! = 7*8*9*10 = 5040 2 2 1 3 no es una permutación de orden 4 de A puesto que tiene elementos repetidos.
Permutaciones Ordinarias: r = n ; P(n) = n !
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COMBINACIONES Una combinación de orden r de A ( r ≤ n) es un subconjunto de r elementos tomados de A. El número de combinaciones de orden r de un conjunto de n elementos es: C ( r ; n)
=
n
(n − r ) ! r !
Ejemplo1: A = {0, 1, 2, …, 9} as s gu en es son com nac ones s n as e or en e con un o : {0, 3, 4, 1}, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}, {2, 4, 6, 8}, entre otras. # C(4; A) = 10! / (10 – 4)!4! = 10! / (6)! 4! = 7*8*9*10/4! = 5040/24 = 210 Ejemplo 2: Si se tienen 10 personas numeradas, hay entonces C(2;10) = 45 maneras posibles de formar parejas diferentes de dicho grupo de personas. Ejemplo 3: Tomemos una baraja de 52 cartas; si le damos a una persona 5 cartas al azar, dicha persona puede recibir C(5;52) = 2.598.960 juegos diferentes.
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PARTICIONES ORDENADAS . de A es un arreglo ordenado A 1, A2, …Ar de r subconjuntos de A de tamaño n 1, n2, …, nr , tales que: A A i j = ∅ y Σni = n n ⎞⎛ n − n1 ⎞⎛ n − n1 − n2 ⎞ ⎛ n − n1 − n2 − ... − n −1 ⎞ # P(n1, n2, …, nr ; A) = ⎛ ⎟...⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜
⎜ n ⎟⎜ ⎝ 1 ⎠⎝
n2
⎟⎜ ⎠⎝
r
⎟ ⎜ ⎠ ⎝
n3
nr
⎟ ⎠
n! n1! n2 ! n3!...nr !
Ejemplo1: En el ejemplo de la clase de 100 estudiantes que se quiere partir en cuatro grupos de de 40, 30, 20 y 10 estudiantes, se tendrían 100
60
30
10
100!
60!
30!
10!
⎜ 40 ⎟ = 60!40! 30!30! 10!20! 0!10! = 30 20 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ *⎜
⎟ *⎜
⎟*⎜
100! 40!30!20!10!
.
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SOLUCIONAR EJERCICIOS
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Ejercicios 1. Para el estreno de la última película de El Hombre Araña en una determinada sala de cine se encontraban 30 hombres y 20 mujeres esperando para adquirir su boleta. Teniendo en cuenta que sólo quedaban seis sillas disponibles, el administrador de la sala de cine decidió seleccionar al azar 6 personas entre los 50 de la fila para regalarles la boleta de entrada. La probabilidad de que el administrador de la sala seleccione 3 mujeres y 3 hombres está dada por:
a. 0.5
b. 2/3
c.
⎛ 50 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ 50
⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 6 ⎠
d.
⎛ 30 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 50
⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 6 ⎠
e.
⎛ 30 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 6 ⎠
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Ejercicios 2. Suponga que en una comunidad de 40 adultos, 30 practican ciclismo o natación o ambos deportes, 16 practican natación y 12 practican natación y ciclismo. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto, seleccionado aleatoriamente de esta comunidad, practique ciclismo?
3. Roberto invitó a 8 amigos a su casa, Juan y Pedro son dos de ellos. Si sus amigos arriban de manera aleatoria se aradamente, cuál es la robabilidad de ue Juan lle ue usto des ués de Pedro? .
, y 15 son modelos de inyección de tinta. Si 6 de esas 25 se seleccionan al azar para que las revise un técnico particular, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 de las seleccionadas sean impresoras de inyección de tinta?
5. De un grupo de 15 trabajadores actuales de una empresa, 8 hombres y 7 mujeres, se van a escoger 7, para ser trasladados al departamento de ventas. La selección del grupo se va a realizar al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 hombres queden en el grupo que va a ser trasladado?
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