AREA DE CONOCIMIENTO: ANÁLISIS FUNCIONAL
NRC: XXXX
Unidad I (Programas para Edición de Textos Científicos y Cálculo
Científico, Aproximaciones y Errores de Redondeo, Raíces de
Versión 1.1
Ecuaciones) GRUPOXX:
Apellido 1 Nombre 1, Apellido 2 Nombre 2, Apellido 3 Nombre 3
EMAIL:
[email protected] (Solo e-mail del representante o alumno que envía el coloquio)
1. Tema: Errores de Truncamiento y la Serie de Taylor
2. Preliminar
Preliminar 1: Teorema del valor medio para integrales AFIRMACIÓN
1 − ∫() () ∫ () ()( − )
JUSTIFICACIÓN
[ ] ∈ , , (, , ) [, , ()]
Supongamos que . Entonces , existe un número en tal que El valor de intervalo
es el valor medio de
.
Recuperado de: [1]
1
en el
Fig 2. Teorema del valor medio para integrales
Preliminar 2: Teorema de Rolle AFIRMACIÓN
JUSTIFICACIÓN
() () ′() 0
Si es una función es continua en el intervalo , derivable (“suave”) en el intervalo con
() [,] (,) (,)
Entonces, existe al menos un punto del intervalo que anula a la derivada , es decir: Recuperado de: [2]
Fig 3. Teorema de Rolle
Error del Método 1: Error de Truncamiento
(9)
AFIRMACIÓN
JUSTIFICACION
| − |
Se define al error de truncamiento como la diferencia entre el valor de la función evaluada en y el valor que se obtendrá en la serie de Taylor evaluada en un punto
()
Dada una función f(x) evaluada en x
2
()() ∑= ! ( −) ()() ()− =∑ ! ( −)
()
Considerando un punto dentro intervalo del dominio de la función
del
Reemplazamos en la ecuación (9) que define el error de truncamiento Recuperado de: [4]
Fig 5. Error de Truncamiento
3. Caracterización
Caracterización 1: Ventajas / Desventajas VENTAJAS
DESVENTAJAS
Para representar una función f(x) por la serie de Ayuda a la estimación de números irracionales potencias es necesario evidentemente que la función acotando su error y sus derivadas de todos órdenes sean finitas.
3
Se puede utilizar el error de truncamiento de la serie de Taylor para una función que es infinitas veces diferenciable
Existen dos funciones que no pueden desarrollar por el caso especial de McLaurin son: ln(x) y ctg (x).
Gracias a la serie de Mc laurin, se puede resolver límites que posean indeterminaciones y la más común es: .
→0
Caracterización 2: Propiedades POLINOMIO DE TAYLOR
FUNCIÓN
cos() sen () log()
( ) 1 1 1 −1 1 − 2! 4! − 6! .. (2) + (−1) 1 1 1 − 3! 5! − 7! .. (2 1) 1 1!1 2!1 3!1 .. !1 + (−1) 1 1 1 − 2 3 − 4 ..
CONVERGENCIA
[−∞,∞] [−∞,∞] [−∞,∞] [−2,2] Recuperado de: [1]
Caracterización 3: Conclusiones / Recomendaciones CONCLUSIONES
RECOMENDACIONES
La serie de Taylor nos permiten realizar aproximaciones a funciones elementales mediante polinomios, en términos del valor de la función y sus derivadas
Se debería trabajar con un grado óptimo del polinomio de Taylor, que nos ayude en la aproximación del resultado más exacto sin ralentizar los procesos.
Se necesario considerar el dominio en el que se La aplicación más eficiente de la serie de Taylor evaluará a la función para así dar un mejor es en funciones con series de potencia como el funcionamiento de la serie. seno, coseno, entre otras. El método de Taylor se aplica para resolver ecuaciones diferenciales , que proporciona la solución en series de potencia
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4. Referencias Bibliográficas Referencias
[1] S. Chapra y C. Raymond, Métodos numéricos para Ingenieros, México: McGraw Hill 5ta Ed., 2006. [2] R, «matesfacil,» 2009. [En línea]. Available: https://www.matesfacil.com/demostracion-valor-medio-cauchy.htm. [3] A. Cañada, «Series de Taylor y Series de Fourier estudio comparativo,» Departamento de Anàlisis Matemàtico facultad de Ciencias Universidad de Granada , 2015. [En línea]. Available: https://www.ugr.es/~acanada/docencia/matematicas/definitivoAlejandraTor resMartinezTFG.pdf. [4] R. Walpole, R. Myers y S. Myers, Probabilidad y estadística para ingenieros, Pearson Educación, 1999, p. 752. [5] D. Ruiz Muñoz, Manual de Estadística, España: Eumed.net, 2004. [6] T. P. d. V. A. Gonzáles Manteiga, Estadística Aplicada, España: Díaz Santos, 2009. [7] C. Mugruza, Métodos Numéricos con MatlLab, Lima: Peruvian University of Technology, 2008. [8] G. Rocha, «Métodos Numéricos,» 2005. [En línea]. Available: http://es.slideshare.net/EFaSAR/serie-de-taylor-14431889. [9] L. E. L. Guillen, «Expansión polinomial en series de Taylor,» 2013. [En línea]. Available: http://es.slideshare.net/hermesx10/expansin-polinomial-enseries-de-taylor.
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[10 M. B. Marraco, «Series de Taylor,» 2014. [En línea]. Available: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html.
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