UVOD Tema mog seminarskog rada jesu nizovi. Ovu temu sam izabrala zbog toga što su nizovi jako zastupljeni, kako u matematici tako i u našim životima. Nizove također susrećemo i u finansijskoj matematici i u mnogim drugim naukama.ala smo detaljnu obradu nizova, nji!ovi! osobina, grani"ni! vrijednosti, pojedini! vrsta nizova, kao i nji!ovu primjenu. #a svaku oblast sam uradila određene primjere kako bi bolje s!vatili materiju nizova i sve sto je bitno za tu oblast. oblast.
~ 1 ~
OSNOVNI POJMOVI Definicija$ %ko svakom prirodnom broju n na osnovu određenog zakona pridružimo po jedan realan broj &n, tada brojevi & ',&(,&),...,&n obrazuju realan niz koji ozna"avamo { Xn } ili *&n+ ili &n-, a možemo ozna"avati i sa a n. kup svi! cijeli! brojeva napisani! po veli"ini ...,/),/(,/',0,',(,),... ne "ine niz jer tu nema ni prvog ni drugog itd."lana. vaki "lan niza zavisi od svog mjesta u nizu, koje je nazna"eno odgovarajućim indeksom, prema tome svaki "lan jeste funkcija indeksa , te je i sam niz funkcija cjelobrojne promjenljive. vaka funkcija kojoj je oblast definisanosti domena- skup N naziva se niz.
Primjer: %ko u nizu & n1 1 1 , 4 8
1 2n
dajemo redom vrijednosti n 1 ',(,),... dobijamo
1 2
,
,...niz..
%ko je broj "lanova niza kona"an, tada niz nazivamo konačnim, tj.ako je N ' ',(,),2,3,''...
∁
N. Npr.
%ko je broj "lanova niza beskona"an, tada niz nazivamo bekonačnim, tj.ako je N '1N. Npr.',(,),4,...,n,... %ko su svi "lanovi niza jednaki, takvi nizovi se zovu kon!an!ni nizovi. Npr. niz (,(,(,... je konstantan niz. 5lanove niza možemo geometrijeski predstavljati ta"kama n na brojnoj pravoj, tada svakom "lanu niza odgovara po jedna ta"ka.
OSO"IN# NI$OV% Definicija mono!ono!i niza: %ko za sve "lanove niza { Xn } važi jedna od relacija$ & n ≤ &n6' ili &n ≥ &n6' n1',(,),...- kažemo da je niz monoton. '. #a niz { Xn } kažemo da je monotono rastući, tj.strogo rastući, ako je & n6' ¿ X n,za svako n
Primjer: Niz
∈ N
.
n 1 2 3 , , , … , n +1 2 3 4
je monotono rastući,jer je
~ 2 ~
n 1 2 3 < < < …< <… n +1 2 3 4
(. #a niz { Xn } kažemo da je neopadajući, ako je & n6' ≥ &n,za svako n
∈ N
.
). #a niz { Xn } kažemo da je monotono opadajući tj.strogo opadajući, ako je za svako n ∈ N &n6' ¿ X n.
Primjer: 1 3
Niz
1
1
5
2 n −1
> > …>
1 1 1 , , … , , … 3 5 2 n− 1
',
je
monotono
opadajući
jer
je
'+
>…
4. #a niz { Xn }
kažemo da je nerastući,ako je za svako n
∈ N
Napomena: 7mamo nizova koji nisu monotoni. Naprimjer$ niz & n1 8vo kako izgleda 0,',0,
1 1 , 0, 2 3
&n6'
≤ X
(−1)n + 1 n
.
n
nije monoton.
.
O9:%N758N7 N7#O;7 Niz { Xn }
je ograni"en ako postoji realan broj < ¿ 0 takav da je | Xn|<¿ <.
%ko postoji realan broj 9, koji nije manji ni od jednog "lana niza { Xn } , onda se taj broj naziva &ornjom &ranicom niza , a realan broj g, koji nije veći ni od jednog "lana niza nazivamo 'onjom &ranicom niza . =rojeva 9 i g ima beskona"no mnogo. Najmanju gornju granicu niza { Xn } nazivamo gornjom međom niza i ozna"avamo sa <, a najveću donju granicu niza nazivamo donjom međom niza i ozna"avamo sa m. 9ornju među niza nazivamo i upremumom niza, a donju infimumom niza. Niz { Xn } je ograni"en ako ima gornju i donju među, tj ako je m ≤ Xn≤ M , n ∈ N . %ko niz nema jednu ili obje međe tada kažemo da je neo&raničen i pišemo −∞< Xn <+ ∞ . >koliko postoji donja međa tada je niz ograni"en slijeva odozdo- i pisemo m ≤ Xn < +∞ , n ∈ N
,a ukoliko postoji gornja međa tada je niz ograni"en zdesna odozgo- i pišemo −∞< Xn≤ M ,n ∈ N .
9ornja i donja međa niza mogu, ali ne moraju pripadati samom nizu. %ko međe pripadaju nizu, onda je gornja međa < najveći "lan niza i pisemo <1ma?& n, a donja m najmanji "lan niza i pišemo m1min& n. @ona"an niz je uvijek ograni"en.
~ 3 ~
1
Primjer: 7spitati monotonost i ograni"enost niza ( 2 n ) . :ješenje$ Niz monotono opada, jer je za svako n za svako n
∈ N , 0
<
1 1 < 2n 2
∈ N ,
1 1 > 2 n 2(n +1)
i ograni"en je, jer je
.
%(I)M#)I*+I NI$ Definicija i op,!i član %ritmeti"ki niz ili aritmeti"ka progresija je takav niz brojeva u kome je razlika između svaka dva uzastopna "lana stalnakonstantna-
Primjer: Niz 2,A,'),'3,(',...> ovom nizu razlika između svaka dva "lana je stalna i iznosi 4. :azliku ili diferenciju aritmeti"kog niza ozna"avamo sa '. %ritmeti"ki niz raste ako je d pozitivno, a opada ako je d negativno. Niz je konstantan ako je d10. %ko n brojeva "ine & ',&(,&),...,&n/',,&n "ine aritmeti"ki niz, na osnovu definicije aritmeti"kog niza imaćemo sljedeće jednakosti$ ?'1 ?' ?(1 ?'6d ?)1 ?(6d ?41 ?)6d ... ;idimo da je ma koji "lan progresije jednak zbiru prvog "lana i proizvoda razlike i broja koji je za ' manji od ranga toga "lana.Na osnovu toga možemo napisati kako izgleda opšti "lan progresije$
-n-/01n2/3' Oznake$-n/opšti "lan progresije, '/razlikadiferencija-, n/ozna"ava mjesto "lana u nizu i može da zna"i samo cijeli pozitivan broj.
Primjer: 7zra"unati dvadeseti "lan aritmeti"kog niza 3,'0,'),'B,'A,... :ješenje$ Ovdje je ?'13,d1),n1(0,pa će na osnovu obrasca biti & (0136(0/'-)1B4. Primjer: #a kopanje bunara od (0 m dubine, plaćeno je za prvi metar '(00 @<, a za posljednji )4C0 @<. #a koliko je svaki idući metar skuplji od pret!odnogD :ješenje$ Ovdje je n1(0, &'1'(00 i &(01)4C0. @ada se ovo uvrsti u poznati obrazac biće$ 3480 −1200 )4C0 1 '(006'Ad, odakle je d1 1'(0. 19
~ 4 ~
Oobine članova ari!me!ičko& niza /. > aritmeti"kom nizu je svaki "lan osim prvog i posljednjeg aritmeti"ka sredina između dva susjedna "lana tj.
-n
Xn−1 + Xn + 1 2
Otuda i naziv aritmeti"ki niz. 4. #bir svaka dva "lana aritmeti"kog niza koji su podjednako udaljeni od krajeva niza jednak je zbiru krajnji! "lanova.
$bir članova ari!me!ičko& niza a bi smo našli zbir aritmeti"kog niza od n "lanova,treba da saberemo svi! n "lanova. Ozna"imo taj zbir sa n ,tj.n1?'6?(6?)6...6?n/)6?n/(6?n/'6?n. Eormula za izra"unavanje zbira "lanova aritmeti"kog niza glasi$
Sn
X n 2
¿
2 X
-n3 ili Sn n ¿ /01n2/3'5
/0
2
Primjer:7zra"unaj zbir prvi! dvadeset "lanova aritmeti"kog niza ',),2,3,A,... :ješenje$ Ovdje je ?'1',d1(,n1(0. 2 X
Sn n ¿ /01n2/3'5 2
2
S46
20 2
¿ 01462/345
S46766.
In!erpolacija ari!me!ičko& niza Fod interpolacijom aritmeti"kog niza podrazumijeva se umetanje izvjesnog broja novi! "lanova između dva susjedna "lana,tako da novi "lanovi sa starim "ine novi aritmeti"ki niz. %ko su a i b dva uzastopna "lana aritmeti"kog niza, "ija razlika jeste d, a r broj umetnuti! "lanova, onda ćemo razliku d ' nove aritmeti"ke progresije dobiti ovako$ a/prvi "lan b/posljednji "lan r6(/broj "lanova progresijeG ~ 5 ~
onda prema obrascu za opšti "lan dobijamo$ b1a6r6(/'-d', b/a1r6'-d'. @ako je b/a1d,onda je d1r6'-d ', Odakle je $ d
'/
r+ 1
Obrazac služi za izra"unavanje diferencije umetnuti! "lanova aritmeti"kog niza. Frimjer$ 7zmeđu ( i (0 interpolirati umetnuti- C brojeva tako da oni sa dva data broja "ine aritmeti"ki niz progresiju-. :ješenje$ Ovdje je d1(0/(1'C, d '1
18 9
1(G
Frogresija će glasiti$ (,4,B,C,'0,'(,'4,'B,'C,(0.
8#OM#)(IJS+I NI$ I9I 8#OM#)(IJS+% P(O8(#SIJ% Definicija i op,!i član Definicija: Niz brojeva u kome je koli"nik svaka dva uzastopna "lana niza stalan,naziva se geometrijski niz. Primjer: > nizu ),'2,32,)32,...koli"nik svaka dva uzastopna "lana je stalan i iznosi 2. @oli"nik geometrijskog niza ozna"avamo sa . 9eometrijski niz monotono raste ako je ? ' ¿ 0 i H ¿ 1 ili ?'*0 i 0*H*'. 9eometrijski niz monotono opada ako je ? '+0 i 0*H*' ili ? '*0 i H+'. 9eometrijski niz je konstantan ako je H1'. Obrazac za opšti "lan niza glasi$ ;n;/ < n2/
Primjeri: '.Niz ',),A,(3,C',(4),... je rastući,jer je H1) i & '1'. (.Niz (,/4,C,/'B,)(,/B4,... nije monoton,niti raste,niti opada,jer je H1/(,& '1(. ).Niz 'C,B,(,...je opadajući,jer je H1
1 3
i &'1'C.
4.Niz ),),),),...je konstantan jer je H1'. 2.@od niza ?,?(,?),?4,...koli"nik je ?.On će biti rastući za ?+', a opadajući za 0*?*'.#a ?*0 niz nije monoton.
Primjer: 7zra"unati koli"nik geometrijskog niza ako je njegov prvi "lan ', a šesti "lan '0(4I :ješenje$ @ako je aB1a'
2
a6 a1
1'0(4 odakle je H1 √ 1024 14. 5
~ 6 ~
Oobine članova &eome!rijko& niza /. > geometrijskom nizu svaki "lan je geometrijska sredina između oba susjedna "lana. 4. Froizvod svaka dva "lana geometrijskog niza koji su podjednako udaljeni od krajeva niza jednak je proizvodu krajnji! "lanova.
$bir članova &eome!rijko& niza #bir "lanova ozna"i"emo sa n i biće n1 &'6&(6&)6...6&n/'6&n,tj.n1&'6 &'JH6 &'JH(6...6 &'JHn/(6 &'JHn/'.Odavde je n
Sn
X 1 ( q − 1) q −1
= kada je koli"nik niza H+', Sn
X 1 ( 1 −q 1− q
n
)
kada je H*'...
Primjer: 7zra"unati zbir prvi! deset "lanova geometrijskog niza ),B,'(,(4,... :ješenje$ &'1),H1(,n1'0 n1D n X 1 ( q − 1) Sn q −1 10
Sn1
3 (2
−1) )J('0/'-1)0BA. 2−1
In!erpolacija &eome!rijko& niza 7nterpolirati između dva broja,na primjer a i b,geometrijski niz od r "lanova,zna"i umetnuti između nji! r brojeva tako da svi,zajedno sa a i b,obrazuju geometrijski niz. %ko sa H ozna"imo koli"nik brojeva b i a,tj
b a
=
sa H' koli"nik novog niza. obzirom da naš niz ima r6(- "lana biće$ an1a'Hn/' b1aH'r6(/' b1aH'r6' ~ 7 ~
odakle je
/
√
r +1
b a
ili
/
r +1
√ q
Primjer: 7zmeđu brojeva ) i 3(A interpolirati 4 broja koji sa dva data broja "ine geometrijski niz. :ješenje$ Ovdje je a1),b13(A, r14, pa primjenom obrasca biće$ H'1
√
4 +1
729 3
√ 243 1). 5
Traženi niz glasi$ ),A,(3,C',(4),3(A.
8#OM#)(IJS+I (#DOVI ∞
:edovi oblika &'6 &'JH6 &'JH(6 &'JH)6...6 &'JHn/'6... odnosno
X 1∗q n −1 ∑ = n 1
zovu se
geometrijski redovi: a/ je po"etni "lan reda, je koli"nik reda. Od H zavisi da li će geometrijski red biti konvergentan ili divergentan.
Suma bekonačno& &eome!rijko& re'a =eskona"an geometrijski red & '6 &'JH6 &'JH(6 &'JH)6...6 &'JHn/'6... je konvergentan za |q|< 1 i a' ≠ 0 i ima sumu
S
Primjer: Naći zbir reda '6
1 2
1
6
:ješenje$:ed je geometrijski sa H1
4
1 2
6
1 8
X 1 1 −q
6...
1 q|= < 1 | = pri ćemu je ,te je suma S 2
X 1 1 −q
1 1−
1 2
4.
=eskona"an geometrijski red je divergentan za |q|≥ 1 i a' ≠ 0 i ima beskona"nu sumu
~ 8 ~
Sn
X 1 ( 1 −q 1− q
n
)
Primjer: Naći sumu reda (,4,C,'B,)(,B4,'(C,... :ješenje$ H1( pri "emu je |q|=2 > 1 , pa je suma reda Sn n
@ako je
lim 2 n →∞
1K to je i
lim S n n →∞
n
2( 2
−1 ) ((n/'2 −1
11K.
8(%NI*N% V(IJ#DNOS) NI$% #a niz brojeva { Xn } kažemo da konvergirateži-ka grani"noj vrijednosti & 0 ako se za svako ε > 0 ,ma kako malen i unaprijed dati broj može odrediti broj N ε ¿ takav da je$
| X n − X 0| >
ε
za svako n
≥
N ε - za dovoljno veliko N,
-62 ε >-n>-60 ε . 5injenicu da je & 0 grani"na vrijednost niza { Xn } zapisujemo &n → &0 kada n → K ili lim X n n →∞
-6 limes/grani"na vrijednost-.
efinicija grani"ne vrijednosti pomocu logi"ki! simbola$ Nizove koji imaju realne grani"ne vrijednosti nazivamo konver&en!nim,a nizove koji nemaju realnu grani"nu vrijednost 'iver&en!nim. #a niz { Xn } kažemo da divergira ka 6K ako za svaki realan broj <+0 postoji broj N<∈
N takav da je &n+< za svako n+N<-.Fišemo$ lim X n n →∞
0?
%nalogno,niz { Xn } divergira ka LK ako za svaki realan broj 9*0 postoji broj N9takav da je & n*9 za svako n+N9-.Fišemo$ lim X n n →∞
2?
~ 9 ~
∈
N
1
Primjer: Naći grani"nu vrijednost niza an1( / n . (je,enje. 5lanovi niza su ',
3 2
7
5
,
3
,
4
,... pa se vidi da se oni sve više približavaju
broju (,ukoliko n postaje veće.a bi smo pokazali da je broj ( grani"na vrijednost datog niza,potrebno je da se pokaže da
| X n −2|
|− −| | | > 2
1
n
2
1
n
ε
.
)ačka na&omilavanja bekonačno& niza =roj &0 je ta"ka nagomilavanja beskona"nog brojnog niza { Xn } ako se u proizvoljnoj ε /okolini toga broja nalazi beskona"no mnogo "lanova niza. rugim rije"ima,& 0 je ta"ka nagomilavanja beskona"nog brojnog niza { Xn } ako je za beskona"no mnogo vrijednosti n | X n − X 0| > ε za ma kakvo malo ε +0 ili ¥ ε +0- ¥ n ∈ %- | X n − X 0| * ε
, za bar jedan beskona"an podskup % skupa prirodni! brojeva. =eskona"an niz može imati jednu ili više ta"aka nagomilavanja ili biti bez ta"aka nagomilavanja.
Primjer: Niz { Xn } 1
1 2
n1',(,...- ima ta"ku nagomilavanja & 010.
%ko iz niza { Xn } ma na koji na"in izdvojimo kona"an ili beskona"an broj "lanova,tada možemo formirati niz { Xn 1 } ili &n',&n(,...&nk.... gdje indeksi nk uzimaju vrijednosti u skupu N. Niz Xnk } nazivamo po'nizom niza.
Onovne !eoreme o nizovima )eorema /: @onvergentni nizovi imaju jedinstvenu grani"nu vrijednost. )eorema 4: Fodniz { Xnk } konvergentnog niza { Xn } konvergentan je i ima istu grani"nu vrijednost kao i niz { Xn }
.
~ 10 ~
)eorema @: vaki monotono rastućiopadajući-niz ograni"en odozgoodozdo- je konvergentan. )eorema 7: vaki beskona"an i ograni"en niz ima bar jednu ta"ku nagomilavanja. )eorema 7./.: a- vaki ograni"en i monoton niz ima ta"no jednu ta"ku nagomilavanja. b- upremum monotono neopadajućeg niza,ograni"enog odozgo je jedina njegova ta"ka nagomilavanja. c- 7nfimum monotono nerastućeg,odozdo ograni"enog niza je njegova jedina ta"ka nagomilavanja. )eorema A: vaki konvergentni niz je ograni"en. )eorema B: %ko su nizovi { Xn } i { Yn } konvergentni za svako n+N tada je
lim X n ≤ lim Y n n →∞
n→∞
lim X n n →∞
-6=
%ko su nizovi { Xn } , {Yn } i { Zn } takvi da je &nMnM#n i n →∞
C63 i ako je &nMn
.
)eorema : onda je lim Y n
lim Y n n →∞
lim X n= lim Z n n →∞
n→ ∞
-6
-6.
NU9% NI$ @onvergentni niz "ija je grani"na vrijednost nula,nazivamo nula nizom. a bi niz { Xn } bio nula niz potrebno je i dovoljno da svakom proizvoljno malom broju ε>0 odgovara cio pozitivan broj N ε - takav da je $
| X n −0| | X n| *
1
Primjer: Niz & n1 n 1
ε
tj.
lim n →∞
ε
za svako nEN1 ε 3
n1',(,),...- je nula niz,jer je | X n −0|
|| * 1
n
ε
za svako n +
1 n
0.
OP#(%FIJ# S% 8(%NI*NIM V(IJ#DNOS)IM% NI$% ~ 11 ~
Neka su nizovi { Xn } i { Yn } konvergentni,
'.
¿ ¿ lim
lim X n n →∞
1 &0,
lim Y n n →∞
1 0-, onda je$
¿ '&n6(n-1'&06(0 ',(/konstante-
n →∞
(.
).
lim X n
n1&00
n →∞
Xn X 0 =¿ Yn Y 0 lim
¿
n →∞
Xn
1
k 4. n →∞ ( Xn ) 1
lim
1
lim
¿ ¿ k
n →∞
2.
lim | X n| n →∞
1 | X o| .
"#S+ON%*NO M%9I I "#S+ON%*NO V#9I+I NI$OVI Niz { Xn } nazivamo beskona"no malim nizom ako je njegova grani"na vrijednost jednaka lim X n
nuli tj.
n →∞
6.
akle, { Xn } biće beskona"no mali niz ako za svako ma koliko malo ε > 0 možemo odrediti broj N ε -, tako da je za svako n+N zadovoljena nejednakost | X n| > ε .
Primjer: 1
&n1 n ,&n1
−1 n
, &n1
( − 1 )n n
...
~ 12 ~
{ Xn } nazivamo beskona"no velikim nizom ako se za svaki proizvoljno uzeti veliki pozitivni broj < može naći cio broj N<- takav da je | X n| EM za svako n+N<- tj. Niz
lim X n n →∞
?.
Primjer: &n1n( je beskona"no veliki niz kada n neograni"eno raste.
$%+9JU*%+ 7z onoga što je navedeno u seminarskom radu,možemo zaklju"iti koliko je materija nizova bitna u matematici,i u mnogim drugim naukama koje koriste nizove za svoja istraživanja i izu"avanja,te nau"iti ono što je bitno za nas da znamo. Također nizovi su prisutni i u prakti"nim životima,pa se susrećemo sa nizom brojeva,nizom stvari,a samim tim i nizom neki! "injenica. Ovo što smo naveli predstavlja jedan niz bitni! stvari o nizovima. Nizovi su jako osjetljiva tema,pa im je potrebno posvetiti dosta pažnje.. Niz dobijemo kada svakom prirodnom broju n na osnovu određenog zakona pridružimo po jedan realan broj &n.vaki "lan niza je funkcija indeksa. Fostoji više vrsta nizova,a to su kona"ni,beskona"ni,konstantni,aritmeti"ki,geometrijski,nula nizovi i mnogi drugi. Fo definiciji monotonosti nizovi mogu biti monotono rastući,opadajući,nerastući i neopadajući. Nizove koji imaju realnu grani"nu vrijednost nazivamo konvergentnim,a koji nemaju divergentnim.
~ 13 ~
~ 14 ~
S%D(G%J '.>;O......................................................................................................................................' (.ONO;N7 FOP
efinicija i opšti "lan......................................................................................................) Osobine "lanova aritmeti"kog niza.................................................................................4 #bir "lanova aritmeti"kog niza.......................................................................................4 7nterpolacija aritmeti"kog niza.......................................................................................2
B.98O<8T:7P@7 N7#.............................................................................................................2
efinicija i opšti "lan......................................................................................................2 Osobine "lanova geometrijskog niza..............................................................................B #bir "lanova geometrijskog niza.....................................................................................B 7nterpolacija geometrijskog niza.....................................................................................B
3.98O<8T:7P@7 :8O;7.....................................................................................................3 uma beskona"nog geometrijskog reda..........................................................................3 C.9:%N75N% ;:7P8NOT N7#%.........................................................................................C Ta"ka nagomilavanja beskona"nog niza.........................................................................C Osnovne teoreme o nizovima..........................................................................................A A.N>Q% N7#..............................................................................................................................A '0.OF8:%7P8 % 9:%N75N7< ;:7P8NOT7<% N7#%...............................................'0 ''.=8@ON%5NO <%Q7 7 =8@ON%5NO ;8Q7@7 N7#O;7..........................................'0 '(.#%@QP>5%@......................................................................................................................''
~ 15 ~
9I)#(%)U(% '.<%T8<%T7@% #% 8@ONO<7T8,
=lagota Qu"ić,arajevo (002.
(.<%T8<%T7@% #% <%R7N@> T:>@>, ).F:7:>5N7@ 7# <%T8<%T7@8,
Qjubomir :adović,;eselin
=lagota Qu"ić
4.#=7:@% #%%T%@% 7# <%T8<%T7@8 7 7O, =lagota Qu"ić,Qjubo Fejić, arajevo (002. 2.7NT8:N8T,
SSS. 9oogle.com.
~ 16 ~
