Tema 9. Semejanza. Escalas. Teorema de Thales. Semejanza de Triángulos

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Relación Tema 7. Teorema de

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Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto.

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ÍNDICE 1. SEMEJANZA

1.1. Figuras semejantes ........................................................................................................................ 1.2. Razón de semejanza ......................................................................................................................

1.2.1. Utilidad................................................................................. Utilidad................... ............................................................................................................................. ...............................................................

1.2.2. Definición ....................................................... ..................................................................................................................... .................................................................................... ......................

1.3. Razón R azón de longitudes l ongitudes ......................................................................................................................

1.3.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .................................................................................... ......................

1.3.2. Ejercicios E jercicios ........................................................................................................................................... ....................................................................................... ....................................................

1.4. Razón R azón de los l os perímetros per ímetros ..............................................................................................................

1.4.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .................................................................................... ......................

1.4.2. Ejercicios E jercicios ........................................................................................................................................... ....................................................................................... ....................................................

1.5. Razón de las áreas .........................................................................................................................

1.5.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .................................................................................... ......................

1.5.2. Ejercicios ........................................................................................................................................... ....................................................................................... ....................................................

1.6. Razón R azón de los l os volúmenes vol úmenes ................................................................................................................

1.6.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .................................................................................... ......................

1.6.2. Ejercicios ...........................................................................................................................................

1.7. Ejercicios Ejercic ios .........................................................................................................................................

2. MAPAS, PLANOS Y MAQUETAS

2.1. Mapa ................................................................................................................................................... 2.2. Plano ..................................................................................................................................................  Sign up to vote on this title 2.3. Maqueta ............................................................................................................................................  Useful  Not useful 2.4. Ejercicios Ejercic ios .........................................................................................................................................

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Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto. Documents Sheet Music

4.2. Ejercicios Ejercic ios ......................................................................................................................................... 4.3. Aplicaciones Aplicac iones ....................................................................................................................................

4.3.1. División de un segmento en partes iguales .................................................................................

4.3.2. Ejercicios....................................................... ..................................................................................................................... ................................................................................... ......................

4.4. Triángulos en posición de Thales ..............................................................................................

4.4.1. Definición ....................................................... ..................................................................................................................... .................................................................................... ......................

4.4.2. Ejercicios....................................................... ..................................................................................................................... ................................................................................... ......................

4.5. Construcción de figuras semejantes .......................................................................................

4.5.1. Homotecia ...................................................... .................................................................................................................... .................................................................................... ......................

4.5.1.1. Definición...................................................................................................................................

4.5.1.2. Utilidad .............................................................. .............................................................. ..........

4.5.1.3. Pasos............................................................................................................................................

4.5.2. Rectángulos de proporciones interesantes inter esantes .......................................................... ............................................................................... .....................

4.5.2.1. Una hoja de papel A-4 A -4 ......................................................... ...................................................

4.5.2.2. Rectángulo áureo ............................................................................ ........................................

4.5.3. Ejercicios....................................................... ..................................................................................................................... ................................................................................... ......................

5. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

5.1. Definición ......................................................................................................................................... 5.2. Criterios de semejanza ............................................................................................................... 5.3. Ejercicios Ejercic ios ......................................................................................................................................... 5.4. Aplicaciones Aplicac iones ....................................................................................................................................

6. PROBLEMAS DE SEMEJANZA 7. TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO 

Sign up to vote on this title 7.1. Teorema T eorema de la altura .....................................................................................................................

  7.1.1. Definición ........................................................ ...................................................................................................................... .................................................................................... ...................... Useful

Not useful

7.1.2. Ejercicios .......................................................................................................... .................................

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1. SEMEJANZA 1.1. Figuras semejantes

Dos figuras son semejantes si semejantes si mantienen la misma forma aunque se modifique su tam decir, dos figuras son semejantes semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y correspondientes son proporcionales. proporcionales .

En particular, dos polígonos son semejantes si semejantes si los ángulos correspondientes son igual lados correspondientes proporcionales. Ejemplo 1: Observa 1: Observa que las siguientes figuras son semejantes:

Estas dos figuras son semejantes porque: semejantes porque: 

la figura grande es el doble que la figura pequeña.



la figura pequeña es la mitad que la figura grande.



los ángulos son iguales. Ejemplo 2: Observa 2: Observa que las siguientes figuras son semejantes:

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Tienen exactamente la misma forma y únicamente se diferencian en el tamaño.

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1.2. Razón de semejanza 1.2.1. Utilidad

Para saber si dos figuras son semejantes, se utiliza la razón de semejanza. semejanza. 1.2.2. Definición

La razón de semejanza entre dos figuras semejantes es la razón de proporcionalidad e lados correspondientes, es decir, es k 

Lado A Lado B

. Por tanto, la razón de semejanza es el númer

que hay que multiplicar los lados de una de las figuras para obtener los lados correspondiente otra .

La razón de semejanza define semejanza define la homotecia que transforma la figura A en la B. Para calcular los lados de dos figuras semejantes, semejantes , se hace lo siguiente: Multiplicar: Lado A  k  Lado B

Dividir: Lado B



LadoA k

1.3. Razón de longitudes 1.3.1. Definición

La razón de dos longitudes correspondientes en dos figuras semejantes es la r semejanza, es decir, la razón de semejanza de la figura A sobre la B es el cociente entre la de un segmento de la figura figur a A y la de su homólogo en la figura figur a B, es decir, es k 

Longitud Longitud A Longitud Longitud B


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Ejemplo 1 anterior:

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Tema 9: Semejanza. Escala. Teorema de Thales. Semejanza de triángulos. Teoremas de la altura y del cateto. Documents

Ejemplo: Sheet Music

La razón de dos segmentos a y b es b es k  La razón de dos segmentos b y a es a es k 

a



b

b

3 5



a

5 3



0,6 .



 1,6 .

NOTA: Si NOTA: Si la razón de dos segmentos, a y b, es la misma que la l a de otros dos segmentos, c dice que los segmentos son proporcionales, se escribe:

a b



c d

y se cumple que a·d=b·c.

NOTA: Al hacer una ampliación o NOTA: o una reducción de una fotografía, fotografía, se obtienen er semejantes. En el 1 caso, la razón de semejanza es mayor que 1, k  1 , y en el 2º, menor que Ejemplo 1: Ampliación 1: Ampliación de un cuadrado.

El cuadrado B es una reducción del cuadrado A.

La razón de semejanza es k  1 porque se calcula la razón del cuadrado B respecto a es: k 

2 4



1 2



0,5

Para calcular los lados del cuadrado B, B, se multiplica: Lado B  k  Lado A Ejemplo 2: Reducción 2: Reducción de un cuadrado.


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1.3.2. Ejercicios

1) Queremos 1) Queremos ampliar esta lámina al tamaño que se indica. ind ica.

Calcula: a) La razón de semejanza: k 

12,8 8

 1,6

b) La anchura, x, de la lámina ampliada: x  6 1,6  9,6 cm

c) Las fotocopiadoras trabajan con ampliaciones expresadas en forma de porcentajes. Ca porcentaje que habría que introducir en la fotocopiadora para conseguir la am mencionada: Por la regla de tres simple directa : Longitud (cm) 8 12,8

 

Porcentaje (%) 100 x

Utilizando la razón de semejanza : k  1,6



x 

12,8 8

 100  1,6  100  160 %

1,6  100 100  160 %

2) Queremos 2) Queremos hacer una fotocopia reducida de esta lámina, para que tenga el tamaño que se indic Sign up to vote on this title

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Calcula: Sheet Music

a) Las fotocopiadoras trabajan con reducciones expresadas en forma de porcentajes. Ca porcentaje que habría que introducir en la fotocopiadora para hacer la reducción mencio Por la regla de tres simple directa : Longitud (cm) 12 7,8

 

Porcentaje (%) 100 x

x 

7,8 12

 100 

0,65  100  65 %

b) ¿Cuál sería la razón de semejanza entre las dos figuras? k  0,65 La razón de semejanza utilizando las medidas: k 

7,8



8

0,65

Con la razón de semejanza se puede calcular el porcentaje de reducción: k 0,65  100  65 % 3) Amplía 3) Amplía la siguiente figura figur a si la razón de semejanza es k  2 .

1

4) Reduce 4) Reduce la figura anterior si la razón de semejanza es k  . 2

5) Dibuja 5) Dibuja dos segmentos, m y n, de longitudes longitu des 3 cm y 4 cm, respectivamente. r espectivamente. Halla su razón. Sign up to vote on this title



useful  Useful  Not 6) La 6) La razón de dos segmentos, a y b, es 0,5. Si a mide 2 cm, calcula el valor de b. Dibuja los seg

Solución: k 0 5



a

05



2

05



b

2



b

4 cm

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9) Los 9) Los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4 cm, respectivamente. Halla la medida de los lados triángulo semejante al anterior y cuyo lado mida 14 cm. c m. ¿Cuál es la razón de semejanza? Solución: Triángulo 1: Lados = 2 cm , 3 cm , 4 cm Triángulo 2: Lado menor = 14 cm k 

Lado Triángulo 2 Lado Triángulo 1



k 

14 2



k  7

Lados del triángulo 2: 3 · 7 = 21 cm , 4 · 7 = 28 cm

10) 10) Los lados de un rectángulo miden 4 cm y 6 cm. ¿Cuánto medirán los lados de un rec semejante al anterior si la razón de semejanza, del segundo segu ndo al primero, es k  1,3 ? Solución: Triángulo 1: Lados = 4 cm , 6 cm Triángulo 2: Lados = ¿? k  1,3 



k 





 1,3 

Lado Triángulo 2  1,3  Lado Lado Triángulo 1

Lados del triángulo 2: 4 · 1,3 = 5,2 cm , 6 · 1,3 = 7,8 cm

1.4. Razón de los perímetros 1.4.1. Definición

La razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es la razón de semejanza, e es

P A P B



k ,

el cociente entre el perímetro de A y el perímetro de B, es la razón de semejanz

figura A sobre la B. B. Sign up to vote on this title

Para calcular los perímetros de dos figuras semejantes, semejantes , se hace lo siguiente: 

Multiplicar: P A



k  P B

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Dividir: P B



P A k

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2) Los 2) Los lados de un rectángulo miden 4 cm y 6 cm. ¿Cuánto medirán los lados de un rectángulo sem al anterior si el perímetro del otro rectángulo es 30 cm? Solución: Rectángulo 1: Altura = 4 cm , Base = 6 cm , P 1  ¿? Rectángulo 2: P 2



30 cm

P 1  4  4  6  6  20 cm P 2



P 1

k 

30 20



k



k 

3 2



k  1,5

Lados del rectángulo 2: Altura = 4 · 1,5 = 6 cm , Base = 6 · 1,5 = 9 cm

1.5. Razón de las áreas 1.5.1. Definición

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es el cuadrado de la razón de sem es decir, es

A A



A B

k 2 ,

el cociente entre el área de A y el área de B, es el cuadrado de la

semejanza de la figura A sobre la B. B.

Para calcular las áreas de dos figuras semejantes, semejantes , se hace lo siguiente: Multiplicar: A A 1.5.2. Ejercicios



2

k



A B

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Dividir: A B

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2  Notk useful

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2) 2) Un rectángulo de 1 cm x 1,5 cm tiene una superficie de 1·1,5=1,5 cm 2. ¿Qué superficie te rectángulo el triple de ancho y el triple de largo?

Solución: A'



A

k 2



13,5



1,5

9



k 2



9

La razón entre las áreas es áreas es k 2 superficie que el pequeño.





k  9 9,



k  3

por lo que el rectángulo grande tiene 9 ve

La razón de semejanza es semejanza es k  3 . Los dos rectángulos son semejantes. semejantes . 3) La 3) La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es

16 9

. Halla la razón de semejanza en

perímetros. Solución: k 2



k 

16 9 16 9

, k  ¿? 

k 

4 3





k  1,3

1.6. Razón de los volúmenes 1.6.1. Definición Sign up to vote on this title



La razón entre los volúmenes de dos figuras del espacio semejantes es el cubo de la r semejanza, es decir, es

V A V B





3

k

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, el cociente entre el volumen de A y el volumen de B, es el cu

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1.6.2. Ejercicios

1) 1) Si la razón de semejanza entre dos figuras es k  2 y el volumen de la figura menor es calcula el volumen de la mayor. Solución: k  2 , V 1 V 1



V 2

k 3





¿? , V 2

V 1



8

2

3

8



cm3

V 1

 88 

V 1



64 cm3

1.7. Ejercicios

1) 1) Razona si son o no semejantes las siguientes figuras. En caso afirmativo, calcula la ra semejanza. a)

Solución: 3,06 1,7

 1,8

,

1,62 0,9

 1,8

,

2,16 1,2

 1,8

Los polígonos son semejantes porque semejantes porque sus lados son proporcionales y los ángulos son igual La razón de semejanza es k  1,8 . b) Sign up to vote on this title

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2. MAPAS, PLANOS Y MAQUETAS

Existen diferentes formas de representar la realidad mediante objetos semejante reales, pero más pequeños. Con ellos podemos realizar cálculos y obtener medidas de form cómoda.

2.1. Mapa Un mapa es mapa es la representación gráfica de una zona geográfica.

Los mapas Los mapas son representaciones gráficas de grandes superficies. Por ejemplo: una prov país, etc.

Ejemplo: El mapa de carreteras es carreteras es un ejemplo de representación gráfica de una par superficie terrestre.

La distancia de Grado a Francos es: 120 km + 65 km + 40 km + 45 km + 5 km = 275 km

2.2. Plano




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Un plano es plano es la representación gráfica de otro tipo de elementos, tales como una viviend ciudad.

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Ejemplo 1: El plano de tu casa casa es una representación proporcional de las dimension distribución reales de tu vivienda.

Ejemplo 2: El plano de tu ciudad es ciudad es una representación proporcional de las dimensio distribución reales de tu ciudad.

2.3. Maqueta

Una maqueta es maqueta es la representación reducida de cualquier objeto, tal como un edificio, u un automóvil, etc.  Ejemplo 1: 1: En algunos museos del ferrocarril existen maquetas de title estaciones de Sign up to vote on this alrededores que alrededores que permiten a los visitantes una idea bastante  aproximada deNot la realidad. Useful  useful

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2.4. Ejercicios

1) Para 1) Para representar cada una de las siguientes situaciones, indica si utilizarías un mapa, un plan maqueta. a) La planta baja de tu centro docente.

Solución: Un plano.

b) Un barco de cruceros. c) La forma de llegar al pueblo de un amigo.

Solución: Una maqueta. Solución: Un mapa.

3. ESCALA 3.1. Introducción

Cuando miramos un mapa de carreteras, un plano, una maqueta, etc., las distancias y los t que poseen están reducidos de manera proporcional a las distancias y tamaños reales.

Al representar una zona geográfica mediante un mapa, la distribución de un piso medi plano o la estructura de un barco mediante una maqueta, todas las dimensiones reales se redu una misma razón de semejanza llamada semejanza llamada escala. escala.

3.2. Utilidad La escala se escala se utiliza en muchas situaciones de la vida diaria. Las distancias y los tamaños de los planos y mapas están reducidos, de manera que se observar fácilmente. Los valores son proporcionales a la distancia o tamaño real.

Mediante la escala escala relacionamos la distancia o el tamaño que hay en un plano o mapa distancia o tamaño reales.

3.3. Definición La escala expresa escala expresa la relación entre el tamaño del dibujo y el tamaño real.

La escala escala es la razón o el cociente entre una longitud determinada y la longit correspondiente.

 La escala es escala es la razón de semejanza entre la representación r epresentación la zona u objeto r ealid Sign upde to vote on this title y la realid Useful  Not La escala es escala es el cociente entre la longitud o distanciarepresentada en useful el dibujo, mapa o la longitud o distancia real.

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3.4. Tipos de escala

La escala de un mapa, plano o maqueta se puede expresar mediante una rela proporcionalidad numérica o numérica o mediante una representación gráfica. gráfica. Hay dos tipos de escala:

a) Numérica: 1:X quiere 1:X quiere decir que cada centímetro del mapa, plano o maqueta se correspo X centímetros de la realidad. Ejemplos: 



1 : 1.000 quiere 1.000 quiere decir que 1 cm del dibujo, plano o mapa se corresponde con 1.000 m de la realidad.

1 : 300 quiere 300 quiere decir que 1 cm del dibujo, plano o mapa se corresponde con 300 cm ó la realidad.

b) Gráfica: es Gráfica: es la que representa las distancias reales sobre un segmento graduado. Ejemplo 1: 0

5

10

15

20 km

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm del dibujo, plano o mapa equivale a 5 km en la realidad. 4 cm del dibujo, plano o mapa equivale equiv ale a 20 km en la realidad. Escala numérica: 1 : 500.000 Ejemplo 2: 0

2

4

6

8

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

10 m

1 cm del dibujo, plano o mapa equivale equi vale a 2 m en la realidad. 5 cm del dibujo, plano o mapa equivale equiv ale a 10 m en la realidad Escala numérica: 1 : 200

3.5. Métodos de resolución


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3) Cálculo sencillo: Sheet Music

a) Multiplicar: para calcular la distancia real correspondiente a la distancia medida en el di Medida real = Medida en el dibujo x Escala

b) Dividir: para calcular la distancia representada en el dibujo correspondiente a la distanc Medida en el dibujo =

Medid Medida a real Escala Escala

3.6. Ejercicios 1) Un 1) Un mapa de carreteras está elaborado a escala 1 : 200.000. a) ¿Qué significa esto? b) Una distancia de 4 cm en el mapa, ¿cuántos metros y kilómetros son en e n la realidad? 2) El 2) El plano de una casa está dibujado a escala 1 : 100. Si una habitación en el plano mide 3 ¿cuánto medirá en la realidad? Solución: Aplicamos la regla de tres directa. Distancia en el plano (cm)

1 3

Distancia real (cm)

-----------------

100 x

x 

3  100 1



300 cm

3) Dos 3) Dos pueblos que están separados 25 km en línea recta, ¿a qué distancia estarán separado mapa de escala 1 : 100.000? Solución: Primero se pasan los 25 km a centímetros: 25 km = 2.500.000 cm Como el mapa está dibujado a escala 1 : 100000:

La escala 1 : 100.000 significa que 1 cm en el plano representa 100.000 cm (es decir, 1 km realidad.  Sign up to vote on this title

Aplicamos la definición de escala para para crear una proporción :  Not useful  Useful x 2 500 000



1 100 000



x 

1  2.500.000 100 000

; x  25

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5) Calcula 5) Calcula la distancia real entre A y B. Sheet Music

Solución: La distancia entre real entre A y B será: 6,1 cm · 14.000.000 = 85.400.000 cm Km.

6) En 6) En un plano cuya escala es 1 : 40, ¿qué medidas tendrá una mesa rectangular de d e 0,96 m x 0,72

Solución: Las longitudes en el plano serán 40 veces más pequeñas que en la realid medidas de la mesa son 96 cm x 72 cm, que en el plano serán: 96 40



2,4 cm

72 40

 1,8

cm

7) Halla 7) Halla las dimensiones de un salón de 4 metros de largo y 5 metros de ancho en un plano a esca a) 1 : 200 b) 1 : 400




Solución: Aplicamos la regla de tres directa. Medidas en la realidad:

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Ancho: Sheet Music

Distancia en el plano (cm)

Distancia real (cm)

1 x

-----------------

x 

200 500

500  1



200

2,5 cm

Medidas en el plano: Largo = 2 cm Ancho = 2,5 cm b) 1 : 400 Largo: Distancia en el plano (cm)

Distancia real (cm)

1 x

-----------------

x 

400 400

400  1 400

 1 cm

Ancho: Distancia en el plano (cm)

1 x

Distancia real (cm)

-----------------

x 

400 500

500  1 400

 1,25 cm

Medidas en el plano: Largo = 1 cm Ancho = 1,25 cm 8) Dado 8) Dado el siguiente mapa, responde a las siguientes cuestiones:




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Aplicamos la regla de tres directa. Sheet Music


1 1,1

Distancia real (cm)

-----------------

x 

x 10.100

1  10.100 1,1

 10.000 cm

Escala numérica: 1 : 10.000

La escala 1 : 10.000 significa que 1 cm en el plano representa 10.000 cm (es decir, 100 m realidad. Escala gráfica: 0

10.000

20.000

30.000

40.000

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

1 cm

50.000 cm

b) En el plano, Distancia entre A y B = 5,2 cm Aplicamos la regla de tres directa. Distancia en el plano (cm)

Distancia real (cm) x 

5,2  10.000

1 --------10.000 5,2 --------x En la realidad, Distancia entre A y B = 52.000 cm = 520 m

1



52.000 cm

9) Una 9) Una maqueta de un coche, a escala 1 : 50, tiene 8 cm de longitud, 3,5 cm de anchura y 2,8 altura. Calcula las dimensiones reales del coche. Solución: Escala: 1 : 50 En el plano, el coche mide: Longitud = 8 cm Ancho = 3,5 cm Altura = 2,8 cm


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Altura: Sheet Music


Distancia real (cm)

1 2,8

-----------------

x 

50 x

2,8  50 1

 140 cm

Medidas en el plano: Longitud = 400 cm = 4 m Ancho = 175 cm = 1,75 m Altura = 140 cm = 1,40 m

4. TEOREMA DE THALES 4.1. Definición El teorema de Thales dice que los segmentos formados por rectas paralelas, p 1, p 2 y dos rectas secantes, s 1 y s2, son proporcionales.

AB A' B'



BC



B' C '

AC A' C '

Operando con los cocientes del teorema de Thales, se pueden encontrar otras for escribirlo, escribirlo, por ejemplo:

AB BC



A' B' B' C '

,

AB AC



A' B' A' C '

4.2. Ejercicios  1) Teniendo 1) Teniendo en cuenta las medidas indicadas en la figura, ¿cuánto mide el segmento Sign up to vote on this titleBC?

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2) Fíjate 2) Fíjate en el dibujo y halla el valor del segmento GH. Sheet Music

AB  2 cm

FG  2,5 cm

BC  4 cm

GH  ¿?

3) Nombra 3) Nombra los segmentos con letras mayúsculas y las rectas con minúsculas, y calcula el valo segmento x.

4) Calcula 4) Calcula el valor del segmento que falta. Nombra los segmentos s egmentos y las rectas.

5) Los 5) Los peldaños de esta escalera son paralelos y se ha roto uno de d e ellos. ¿Cuánto miden los tra x e y? Sign up to vote on this title

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4.3. Aplicaciones 4.3.1. División de un segmento en partes iguales

Una de las aplicaciones del teorema de Thales es Thales es que nos permite dividir un segmen partes iguales. Ejemplo: Vamos Ejemplo: Vamos a dividir el segmento AB en 3 partes iguales.

Desde el extremo A del segmento se traza semirrecta r.

Con un compás marcamos 3 segmentos iguales, d longitud que queramos, y consecutivos sobr semirrecta r con centro en A.

Con una regla se traza una recta s que pase po último punto obtenido en la semirrecta r y po extremo B del segmento.




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Por último, se trazan 2 rectas paralelas a la rec que pasen por los puntos que hay entre el extrem

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4.3.2. Ejercicios

1) Divide 1) Divide el segmento MN en 7 partes iguales.

2) Divide 2) Divide un segmento de 6 cm en ocho partes iguales. 3) Dibuja 3) Dibuja un segmento de 8 cm de longitud y divídelo en 7 partes iguales.

4.4. Triángulos en posición de Thales 4.4.1. Definición

Dos triángulos están en posición de Thales cuando tienen un vértice común y lo opuestos a ese vértice son paralelos. Los triángulos que están en posición de Thales son Thales son semej Ejemplo 1:

Los dos triángulos de triángulos de la siguiente figura están en posición de Thales porque Thales porque tienen u común y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. Ejemplo 2:

Los triángulos ABC y ADE comparten el ángulo A, están encajados. Los lados opuestos a  A son paralelos (BC y DE). En este caso, se dice que q ue los dos triángulos están en posición de Tha Sign up to vote on this title

Notlados useful son proporc Cuando dos triángulos se pueden colocar en posicióndeUseful Thales,sus

AB



AC



BC

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Ejemplo 4: Sheet Music

Se dibuja una estrella de cuatro puntas. puntas. Luego, se elige uno de sus vértices como común y se dibuja otra estrella que esté en posición de Thales con Thales con ella y con razón de semeja En la figura, A es el vértice común.

Los vértices homólogos se construyen trazando semirrectas con origen en el punto A vértices de los lados comunes se obtienen multiplicando la longitud del lado inicial por la razón 3. 4.4.2. Ejercicios

1) Calcula 1) Calcula la longitud del segmento B'A'.

2) Calcula 2) Calcula m y n:


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4) 4) Comprueba que el triángulo cuyos lados miden 3 dm, 4 dm y 5 dm es un triángulo rect Encuentra a partir de este triángulo otros tres triángulos rectángulos cuyos lados midan u enteras, verificando en cada caso que el triángulo resultante es rectángulo.

4.5. Construcción de figuras semejantes 4.5.1. Homotecia 4.5.1.1. Definición

La homotecia es homotecia es una transformación que produce figuras semejantes. La razón de semejanza es igual a la razón de homotecia. homotecia . Si dos figuras son homotéticas, homotéticas , sus segmentos correspondientes son paralelos. 4.5.1.2. Utilidad

La homotecia es homotecia es la técnica que se usa para proyectar las imágenes en el cine.

4.5.1.3. Pasos

Cambiando el vértice común por otro punto cualquiera del plano, se puede construir semejantes. La transformación que nos lleva de una figura a otra se denomina homotecia. Sign up to vote on this title

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4.5.2. Rectángulos de proporciones interesantes 4.5.2.1. Una hoja de papel A-4

Las hojas de papel que se utilizan habitualmente (A-4) tienen una curiosa propiedad parte por la mitad, mitad, cada uno de los dos trozos es semejante semejante a la hoja inicial inicial ” .

4.5.2.2. Rectángulo áureo

Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea se llama áureo. áureo.

Si en un rectángulo áureo se áureo se divide la longitud del lado largo entre la longitud del lado c el número de oro.

a



b

El número de oro también oro también es llamado sección áurea, proporción áurea o razón r azón áurea. 

1 5 2

“ Si Si

 1,6180339...

en el rectángulo áureo se suprime un cuadrado, el rectángulo que queda es semej

inicial ” ” .


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2) Dibuja 2) Dibuja un hexágono regular de 3 cm de lado. Dibuja un hexágono semejante mediante una hom de razón 1,5. 3) Aplica 3) Aplica a la siguiente figura una homotecia de razón 1,5.

5. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 5.1. Definición

Los triángulos ABC y A'B'C' de la figura adjunta son semejantes porque tienen la misma con diferente tamaño.

Estos dos triángulos son semejantes semejantes porque sus ángulos homólogos son iguales y su homólogos proporcionales. A  A'  47 B  B'  58 ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

a

C  C '  75 ˆ

ˆ

a'



b b'



c



c'

k

Es decir, dos triángulos son semejantes semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguale lados homólogos proporcionales. Sign up to vote on this title

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Por tanto, dos triángulos son semejantes semejantes si cumplen alguno de los siguientes crite semejanza:

1) Si todos sus lados son proporcionales. proporcionales .

a' a



b' b



c' c

Ejemplo:

50 25



40 20



30



15

2

2) Cuando tienen dos ángulos iguales. iguales. A  A' , B  B' ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Ejemplo:

60=60 y 50=50




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3) Si tienen dos lados proporcionales y proporcionales y el ángulo que forman es igual. igual .

b' b



c' c

, A  A' ˆ

ˆ

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5.3. Ejercicios

1) Estudia 1) Estudia si los siguientes pares de triángulos son semejantes e indica qué criterio aplicas, a razona la respuesta: a)

b)

c)

Solución: a) Criterio 1:

10 4



6 5



8 3

2,5  1,2  2,7  No son semejantes porque todos sus lado



proporcionales. b) Criterio 3: 42=42 ,

8 2



12 3

4 = 4



Sí son semejantes porque tienen do



proporcionales y el ángulo que forman es igual.




  c) Criterio 2: 90 2: 90=90 , 60=60 , 30=30  Sí son semejantes porque tienen dos ángulos Useful

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3) Los 3) Los lados de un triángulo miden 4 cm, 5 cm y 6 cm. Los lados de un segundo triángulo miden cm y 9 cm. ¿Son semejantes ambos triángulos? ¿Qué criterio criter io has aplicado? 4) La 4) La medida de los lados de los siguientes triángulos es: a) Nombra los lados de cada triángulo. b) Comprueba que son semejantes. c) ¿Qué criterio has aplicado?

5) En 5) En un triángulo conocemos los siguientes datos: Lado AG = 4 cm , Lado GC = 6 cm , Ángulo G = 60° Y en otro triángulo conocemos: Lado DE = 8 cm , Lado EF = 12 cm , Ángulo E = 60° a) Comprueba si son semejantes. b) Indica el criterio aplicado. c) Realiza un dibujo representativo. 6) Dos 6) Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo común que mide 40°. a) ¿Son semejantes? ¿Por qué? b) Realiza un dibujo representativo


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8) ¿Son semejantes los siguientes triángulos? Razona la respuesta. En caso afirmativo, calcula l de semejanza. a)

Solución: 3,06 1,08

 1,7

,

1,87 1,1

 1,7

,

3,74 2,2

 1,7

Los triángulos son semejantes porque semejantes porque sus tres lados son proporcionales por el 1 er criter La razón de semejanza es k  1,7 . b)

Solución: 3,45 2,1

 1,5


,

3,15 2,1

 1,5

, A  A'  38,8 ˆ

ˆ



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11) Dos 11) Dos triángulos tienen un ángulo que mide lo mismo, 25°. Dos lados de uno de ellos miden 7 c cm, mientras que, en el segundo triángulo, uno de los lados que forman dicho ángulo mide 14 cm. ¿ tiene que medir el lado del segundo triángulo para que los dos triángulos sean semejantes? 12) Los 12) Los triángulos de la siguiente figura son semejantes. se mejantes. Halla la medida del lado x.

5.4. Aplicaciones

La semejanza de figuras, y en particular la semejanza de triángulos, tiene muchas aplic prácticas. prácticas. Entre otras: 

Cálculo de la altura de un objeto vertical con un espejo.

Se coloca un espejo pequeño en el suelo.

El observador se sitúa de forma que, erguido, pueda ver reflejada en el espejo la parte m del edificio.

Se miden la altura del observador (desde sus ojos al suelo), la distancia de éste al esp  distancia del espejo al edificio. Sign up to vote on this title  

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Cálculo de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra.

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6. PROBLEMAS DE SEMEJANZA 1) Halla 1) Halla la altura del árbol.

Solución:

x



2,16

1,4 0,84



x 

1,4  2,16 0,84



x  3,6 m

2) Calcula 2) Calcula la profundidad del pozo.

Solución:

3,4



x  1,81

0,25 0,57 1,938  0,4525 x   x  5,942 m 0,25



3,4  0,57  0,25  x  1,81

1,938  0,25x  0




3) Calcula 3) Calcula la anchura del río.



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4) Para 4) Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las medidas de la figura. Ca distancia al barco.

Solución:

x



140

70 7



x 

70  140 7



x  1400 m

5) Un 5) Un observador, cuya altura desde sus ojos al suelo es 1,65 m, ve reflejada en un espejo la pa alta de un edificio. El espejo se encuentra a 2,06 m de sus pies y a 5 m del edificio. Halla la alt edificio.

Solución:

x 1,65



5 2,06



x 

5  1,65 2,06



x  4 m




6) Un 6) Un muro proyecta una sombra de 2,51 m al mismo tiempo que Useful una vara deNot 1,10 m proyecta una useful   de 0,92 m. Calcula la altura del muro.



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7) Las 7) Las cigüeñas han anidado en lo alto del campanario. ¿A qué altura está el nido? Sheet Music

Solución:

2

x



1,4



1,2

x 

2  1,2 1,4



x  1,71 m

8) La 8) La estatura del niño de la ilustración es de 1,5 metros, y la altura de la farola es de 6 metros. el valor de x.

Solución: x 

3 4,5



x



x  2

1,5 6



6 x  x  2  1,5



6 x  1,5x  3



6 x  1,5x  3



4

x  0,67 m

9) Un 9) Un niño que mide 1,65 m proyecta una sombra de 1,20 m, ¿cuál será en ese instante la sombr edificio de 8 m? Solución:

1,65

x



1,20 8



x 

8  1,65 1,20



x  11 m


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7. TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO 7.1. Teorema de la altura 7.1.1. Definición

En un triángulo rectángulo, en el que se toma la hipotenusa como base, el cuadrado de l es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa: h 2  m  n

proyec proyecci ción ón de un cateto

altura



altura

proyec proyecci ción ón del del otro cateto m h



h n



h2



mn

Ejemplo: Calcula la altura y los catetos del siguiente triángulo, tr iángulo, así como el perímetro y

Teorema de la altura: h 2



3  12 ; h  36 ; h  6 cm

Teorema de Pitágoras: b

2

c2

2



h



h2

m n

2

2

; b  6

2

 12

2


180 ; b  13,42 cm ; b  36  144 ; b  Useful Not useful





; c  6 2  32 ; c  36  9 ; c  45 ; c  6,71 cm



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7.1.2. Ejercicios

1) Calcula 1) Calcula la altura y los catetos de estos triángulos: tr iángulos: a)

b)

2) Un 2) Un poste de 5 m de altura está sujeto al suelo mediante dos cables, como se muestra en la Determina cuánto miden los cables.

7.2. Teorema del cateto 7.2.1. Definición

En un triángulo rectángulo, en el que se toma la hipotenusa como base, el cuadrado d cateto es igual al producto de su proyección y la hipotenusa: b 2  m  a , c 2  n  a


 hipotenusa

cateto

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Ejemplo: Calcula las proyecciones de los catetos, la hipotenusa y la altura del si triángulo, así como el perímetro y el área.

Teorema de Pitágoras: a 2

2

b c

2

; a  32  4 2 ; a  9  16 ; a  25 ; a 

Teorema del cateto: c

2



n  a ; n 

c

2

a

; n 

3

2

5

9

; n  ; n  1,8 cm 5

Como a  m  n ; m  a  n ; m  5  1,8 ; m  3,2 cm Teorema de la altura: h 2  1,8  3,2 ; h  5,76 ; h  2,4 cm Perímetro del triángulo: P  a  b  c ; P  5  4  3 ; P  12 cm Área del triángulo: A 

ah 2

; A 

5  2,4 2

; A  6 cm2

7.2.2. Ejercicios

1) Calcula 1) Calcula los catetos, la hipotenusa y la altura de estos e stos triángulos: a)

b)




2) Halla 2) Halla el perímetro y el área del triángulo de la figura:

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7.3. Ejercicios

1) Utiliza 1) Utiliza el teorema de la altura y el del cateto para calcular los valores que faltan en estos tri rectángulos: a)

c)

b)

d)

2) En 2) En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 22 cm y respectivamente. ¿Cuánto mide la proyección de la altura trazada sobre dicha hipotenusa? ¿Cuál longitud de cada cateto?


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4) La 4) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 8 cm y uno de los catetos, 6,4 cm. Calcula: Sheet Music

a) La proyección del cateto sobre la hipotenusa. b) La proyección del otro cateto sobre la hipotenusa. c) La altura del triángulo sobre la hipotenusa. d) El otro cateto. 5) Los 5) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 7,5 cm y 10 cm, respectivamente. Calcula: a) Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. b) La altura sobre la hipotenusa.

6) Uno 6) Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 10 cm y su proyección sobre la hipotenusa Halla la hipotenusa, la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa y el otro cateto. 7) Calcula 7) Calcula el valor de x e y, sabiendo que q ue las medidas están dadas dad as en centímetros:

8) La 8) La altura sobre la hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y respectivamente. Calcula la hipotenusa. a)

c)

b)

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Tema 9. Semejanza. Escalas. Teorema de Thales. Semejanza de Triángulos

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