BAB II PEMBAHASAN
A.Perkembangan Angka di Eropa Kira-kira tahun 825, seorang ahli Matematika Persia bernama AlKhawarizmi menulis buku tentang Aljabar yang antara lain berisi tentang sistem bilangan Hindu secara lengkap. Kemudian buku ini diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad 12 dan buku-bukunya berpengaruh di Eropa. Terjemahan inilah yang memperkenalkan sistem bilangan Hindu-Arab ke Eropa. Perkembangan bilangan dari India - Eropa.
Pada simbol Brahmi belum mengenal angka nol. Angka nol mulai ada setelah tahun 500 yaitu pada simbol Hindu hingga sekarang. Selanjutnya sistem ini disempurnakan di Eropa dan hasil penyempurnaan itulah yang kita kenal sekarang dalam sistem bilangan atau sistem Arab-Hindu. Pada awal masuknya angka arab ke eropa, angka yang sering digunakan orang-orang eropa untuk memcahkan masalah adalah menggunakan angka romawi dimana dalam kode numerik angka romawi itu tidak ada istilah untuk menyatakan angka nol, sehingga angka awalnya adalah satu dan seterusnya. Silvister II yang dikenal dengan gerbert, setelah menyelesaikan studinya di andalus dimana masa itu adalah masa pesatnya perkembangan islam, ia mencoba memberi solusi masyarakat eropa yang tersendak pemikiran mereka dalam perhitungan dikarenakan tidak adanya angka nol. Dengan kata lain silvister ingin menunjukkan bahwa angka arab lebih lengkap ketimbang angka romawi. Dalam perjalanannya selanjutnya, ia mendapatkan kendala karena masyarkat eropa secara dominan lebih menjunjung tinggi budaya gereja mereka
dan budaya yunani, sehingga ia takut dikatakan bagian dari “barbarian civilization”. Suatu istilah yang tunjukkan untuk sekelompok orang yang mempunyai pemikiran berbeda dari yang lain. Ia pun menempuh jalan lain untuk memasukkan angka arab ini ke eropa hingga pada ahirnya ia menemukan suatu cara baru untuk mengelabuhi masyarakat eropa yaitu dengan menciptakan alat yang disebut dengan abakus Gerbert.
Gambar Abakus Gerbert Dalam abakus gerbert ini, kebanyakan pengoprasiannya dengan menggunakan angka arab dan masyarakat eropa pun tak menyadari hal itu sehingga silvister II ini oleh orang eropa dikenal dengan bapak angka.
Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selam 1000 tahun matematika berkembangdi Asia kecil (Yubabi, Arab). Tahun 400 – 120 perkembangan matematika dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir orang mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), diantara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir Leonardo Fibonacci. Barulah pada ke-16, pusat perkembangan matematika berada di Eropa.
Leonardo dari Pisa
Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Bersama anaknya, Leonardo, yang selalu mengikuti ke negara mana pun dia melakukan lawatan.
Fibonacci
menulis
buku
Liber
Abaci
setelah
terinspirasi
pada
kunjungannya ke Bugia, suatu kota yang sedang tumbuh di Aljazair. Ketika ayahnya bertugas di sana, seorang ahli matematika Arab memperlihatkan keajaiban sistem bilangan Hindu-Arab. Sistem yang mulai dikenal setelah jaman Perang Salib. Kalkulasi yang tidak mungkin dilakukan dengan menggunakan notasi (bilangan) Romawi. Setelah Fibonacci mengamati semua kalkulasi yang dimungkinkan
oleh
sistem
ini,
dia
memutuskan
untuk
belajar
pada
matematikawan Arab yang tinggal di sekitar Mediterania. Semangat belajarnya yang sangat mengebu-gebu membuat dia melakukan perjalanan ke Mesir, Syria, Yunani, Sisilia.
B. Tokoh –Tokoh Matematika Eropa sampai Abad ke XIV
Periode semenjak jatuhnya kekaisaran Romawi dalam abad ke V sampai abad ke XI, dikenal sebagai masa suramnya ilmu pengetahuan di Eropa. Hanya segelintir kaum pendeta biara dan masyarakat yang sedikit mengenal ilmu yang berasal dari Yunani latin. Bagi mereka yang perlu dipelajari adalah aspek-aspek praktis yang berhubungan dengan perdagangan dan tenik. Baru mulai abad ke XII bangsa Eropa mulai bnagkit dari ketinggalannya dari bidang matematika dengan munculnya mathematician terkenal. Yang akan dibahas pada pembahasan di bawah ini;
1. JHON PHILOPONUS Pada abad ke VI muncul sarjana terkenal bernama Jhon piloponus dari Alexandria. Dia adalah seorang ahli fisika terkenal di dunia pada zamannya yang tidak sependapat dengan hokum aristoteles mengenai gerakan benda-benda serta kemustahilan ruang hampa udara. Philoponus juga menghasilkan karya dalam bidang
matematika
diantaranya
komentarnya
atas
karya
Nicomachus,”introduction to aritmatic”.
2. ALCUIN(735-804) Alcuin dari York dilahirkan bertepatan dengan meninggalnya BeDe (673735), dia adalah mathematician Inggris yang banyak sekali menulis tentang matematika, diantaranya yang paling terkenal adalah mengenai kalemder dan finger reckoning (menghitung dengan jari). Alcuin mempunyai koleksi tentang problem “puzzele” dan”rekreasi” berjudul “problems for the quickening of mind”, diantara problem yang terdapat dalam buku ini adalah; 1) Apabila 100 gantang gandum dibagikan untuk 100 orang, dimana setiap lakilaki memperoleh 3 gantang, wanita 2 gantang, sedangkan anak-anak memperoleh masing-masing ½ gantang. Berapakah banyaknya laki-laki, wanita dan anak-anak yang ada disana. 2) Seekor srigala, seekor kambing dan sebuah lobak akan dibawa menyeberang sungai dengan perahu yang hanya bisa memuat salah satu dari ketiganya ini
disamping anak perahu. Bagaimanakah caranya tukang perahu membawa mereka keseberang agar kambing tidak memakan lobak atau kambing tidak dimakan serigala? 3) Seorang ayah yang akan meninggal dunia berpesan kepada istrinya yang sedang hamil, apabila yang lahir seorang bayi laki-laki, anaknnya ini akan memperoleh ¾ bagian dari harta yang ditinggalkan nya dan si ibu akan memperoleh ¼ bagian sisanya. Tetapi jika yang lahi adalah anak perempuan, puterinya ini akan memperoleh 7/12 bahagian dan si ibu mendapatkan sisanya 5/12 bahagian. Bagaimana cara membagi harta warisan si ayah jika yang lahir adalah anak kembar, seorang laki-laki dan perempuan? Selain itu Alcuin juga menulis tentang astronomi, tetapi karyanya ini tidak sebaik karya-karya penulis Yunani. 3.
GERBERT (940-1003) Gerbert dilahirkan di Averge, perancis tetapi mendapatkan pendidikan di Spanyol dan Italia. Dia pernah bekerja sebagai guru di Jerman dan diangkat menjadi penasehat Kaisar Roma. Otto III, setelah menjadi Uskup Agung. Kemudian pada tahun 999 Gerbert diangkat menjadi Paus dengan gelar Paus Sylfester II. Dia adalah orang Kristen pertama yang belajar di sekolah Islam. Dia membawa system numerasi Hindu tanpa nol ke Eropa. Gerbert juga menulis tentang aritmatika dan geometri. Masa ini juga disebut sebagai zaman kejayaan pengetahuan Islam tetapi sarjana-sarjana latin tidak sedikitpun menghargai karya-karya Islam ini.
4.
ADELARD (1075-1160) Adelard adalah seorang sarjana Kristen yang belajar di sekolah Islam di Spanyol. Mathematician yang berasal dari Inggris ini juga melakukan perjalanan secara intensif ke Mesir, Yunani dan Syria. Adelard menerjemahkan Elementsnya Euclid dari bahasa Arab ke bahasa Latin,
serta
tabel-tabel
astronomi
dari
Alkhawarizmi.
Aderland
juga
menerjemahkan Almagest karya Ptolemi kedalam bahasa Latin dari bahasa Yunani tahun 1155.
5.
GHERARDO dari Cremona (11114-1187) Gherardo adalah penerjemah kelompok Spanyol yang terbesar pada zamannya. Diantara kaya terjemahannya adalah versi baru dari Elements Euclid karya Thabit ibn qurra dari bahasa Arab ke bahasa Latin. Dia juga menerjemahkan karya Ptolemi yang berjudul Almagest, juga menerjemahkan lebih dari 90 karya bahasa Arab termasuk Hisab aljabar wal muqubalah karya alkhawarizmi.
6.
ROBERT dari Chester (1140) Robert adalah seorang yang pertama kali menerjemahkan karya Alkhawaritzmi, Hisab aljabar wal muqubalah pada tahun 1145. Dia juga orang yang pertama kali menerjemahkan Al-Qur‟an kedalam bahasa latin beberapa tahun sebelum dia menerjemahkan karya Alkhawarizmi. Karya-karya Alkhawarizmi merupakan karya yang paling terkenal pada masa itu di Eropa, terutama karya Aljabarnya. Orang Eropa lebih menyenangi matematika bangsa Arab dibandingkan dengan geometrinya Yunani. Pada abad ke XII sarjana-sarjana latin bermunculan dan dengan serius mempelajari trigonometri bangsa Arab yang muncul dalam karya-karya astronomi Arab.perkataan SINUS pertamakali muncul dalam trigonometri berasal dari Robert yang diambilnya dari bahasa arab “jiva” yang artinya teluk.
7.
JHON HALFAK Pada abad ke XII muncul beberapa mathematician Eropa, salah satunya adalah Jhon halifak yang berasal dari Inggris. Dia adalah seorang guru yang mengajar di Inggris dan disamping itu dia juga menulis kumpulan dari dalil-dalil aritmatika.
8.
LEONARDO FIBONACCI Leonardo fibonaci atau yang lebih dikenal sebagai Leonardo de pisa adalah mathematician yang paling berbakat pada abad pertengahan. Dia adalah anak seorang pedagang yang mengikuti ayahnya berdagan ke Mesir, Sicilia,Yunani dan Syria. Karyanya yang terbesar adalah subuah buku yang berjudul “Liber Abaci” (buku Abacus). Buku ini berisi tentang problem-problem dengan menggunakan
lambing Hindu-Arab yang memperlihatkan bahwa dia dipengeruhi oleh aljabarnya Alkhawarizmi dan Abu Kamil. Liber abaci ini lebih memfokuskan pada aritmatika dibandingkan geometri, buku ini dimulai dengan penjelasan „sembilan lambing bilangan India‟ dengan menambahkan bilangan nol. Fibonacci pun secara tetap menggunakan garis datar ( – ) sebagai lambang untuk menyatakan pembagian, dalam buku ini Fibonacci menggunakan 3 jenis pecahan yaitu; pecahan biasa, pecahan sexagesimal, dan pecahan unit. Yang unik dari buku ini adalah cara penulisan pecahan campurannya sebagai berikut; misalnya pecahan 28
dalam buku ini ditulis
28
salah satu problem yang terdapat pada Liber Abaci ini adalah “ berapa pasang kelinci yang akan dilahikan dalam satu tahun, yang dimulai dengan sepasang kelinci, apabila setiap bulan masing-masing pasangan menghasilkan satu pasang kelinci baru, dimana pasangan kelinci baru akan menghasilkan setelah bulan ke-2. Problem ini dikenal sebagai barisan Fibonacci; 1,1,2,3,5,8,13,21 . . . . Un dengan Un=Un-1+Un-2 bakat yang luar biasa dari Fibonacci ini menyababkan dia dipanggil oleh raja Federick III untuk ikut dalam suatu perlombaan yang soalnya sudah disiapkan oleh Jhon dari Pelermo, yaitu x2+5 adalah suatu kuadrat bilangan dan x2-5 juga merupakan suatu kuadrat dari sebuah bilangan, dan Fibonacci menjawab dengan tepat bahwa x bernilai
problem ini terdapat dalam buku Liber Quadrtorum,
selain itu Fibonacci juga menuliskanidentitas-identitas dalam buku Liber Quadrtorum seperti; (a2+b2)(c2+d2) =(ac+bd)2+(bc–ad)2 =(ad+bc)2+(ac–bd)2
problem ke-2 adalah menyelesaikan persamaan akar pangkat tiga dari x3+2x2+10x=20 Fibonacci menyelesaikannya dengan pecahan sexadesimal yaitu 1;22,7,42,33,4,40 yang dalam pecahan decimal sama dengan 1,3688081075. Penyelesaian problem ini terdapat dalam bukunya yang berjudul Flos (bunga)
kemudian buku terakhirnya berjudul “Patricia Geometrica” buku ini berisi kumpulan dari karya-karya geometri dan trigonometri.
9.
JORDANUS NEMORARIUS Jordanus adalah penulis dari karya-karya matematika seperti aritmatika, geometri, astronomi, aljabar dan kemungkinan juga ststistika disampimg mekanika.dia adalah mathematician yang pertamakali menggunakan huruf sebagai lambang dari sebuah bilangan. Bukunya “Aritmatica” adalah buku yang merupakan basis bagi komentatorkomentator pada universitas Paris dalam abad ke XVI, buku ini hampir menyerupai filsafah. Karya Jhordanus yang lainnya adalah “De numeris datis”, buku ini berisikan kumpulan dair hokum-hukum aljabar. Sebagai contohnya: Apabila suatu bilanganyang diketahui dibagi menjadi dua bagian sedemikian sehingga perkalian bahagian yang satu dengan bahagian yang lain diketahui, maka masing-masing dari kedua bahagian ini dapat di tentukan” hukum ini dinyatakan oleh Jhordanus sebagai berikut “Misalnya diketahui bilangan abc dan misalkan bilangan yang dibagi menjadi 2 adalah ab dan c dan misalkan lagi d adalah hasil perkalian ab dan c, diketahui pula. Misalkan kuadrat dari abc adalah e dan misalkan lagi 4 kali d adalah f dan misalkan g adalah hasil dari pengambilan f dari e. maka g adalah kuadrat dari selisih antara ab dan c. misalkan h akar pangkat tiga dari g, maka h adalah selisih antara ab dan ac. Karena h diketahui maka c dan ab akan dapat ditentukan. “algorismus demonstratus” adalah sebuah karya Jhon nemorarius yang berisikan tentang penjelasan tentang hukum-hukum aritmatika.
10. CAMPANUS dari Novara (1260) Campanus mulai dikenal di Eropa mulai dikenal pada yahun 1260. Dia adalah pendeta pada Paus Urban IV yang menerjemahkan karya Elements dari Euclid. Pada akhir bab IV Elements dengan karya Jhordanus “de Triangulis” yakni mengenai trisectin suatu sudut. Misalkan
sehingga panjang OA=OB, kemudian dari titik O do tarik garis OC yang tegak lurus dengan garis OB dan melalui A dibuat garis AED sedemikian sehingga panjang DE=OA. Apabila ditarik garis OF yang sejajar dengan garis AED maka besar
11. WILLIAM dari Moerbeke (1215-1286) Tahun 1269 William Moerbeke mempublikasikansuatu terjemahan karya terjemahan dari karya Archimedes tentang matematika dan limu pengetahuan alan, semenjak itu orang lebih mengenal Archimedes. Karena Moerbeke ini adalah seorang Uskup Agung jadi dia menerjemahkan karya Arcimedes ini secara harfiah oleh sebab itu hasilnya kurang memuaskan. Karya Archimedes yang diterjemahkan oleh Moerbeke diantaranya adalah; „on spiral‟, „the quardature of the parabola‟, dan „on conoid and spheroid‟ dan banyak lagi karya Archimedes yang diterjemahkan oleh William ini.
12. THOMAS BRADWARDINE Thomas bradwardine adalah seorang filosof, ahli theology, juga mathematician yang meninggal ketika menjadi uskup agung Centerbury. Dia menulis pengembangan dari teori Bacthius tentang „n-tuple proportion‟ dalam bukunya yang berjudul “Tachtatus the proportonibus” pada th 1328. Disamping itu Bradwardine jug menulis buku tentang “aritmatic”,“geometri”, “geometrica speculative” dan “tactatus de continuo”. 13. JOHN VON NEUMANN (1903 – 1957) John von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti kebanyakan matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam matematika maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada permainan strategi dan peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah seorang yang membuka bidang matematika baru yang disebut game theory (teori permainan). Dengan menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi dan ia membuat strategi yang menghasilkan “pemenang” dalam permainan
pembuatan keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan strategi militer. Von Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu melakukan operasi pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada usia 8 tahun ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik tertentu mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor telepon dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan dalam pengembangan energi atom. Pada tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku jabatan guru besar dalam fisika-matematika pada Universitas Princeton. Ia menjadi berminat dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia salah satu pembangun otak elektronik modern, yang disebut MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Sebagai penasihat selama Perang Dunia II, ia memberi kontribusi dalam mendisain senjata dan peluru nuklir. Von Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan terbesarnya adalah menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu berminat adalah sebuah masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon istrinya untuk mencari tahu mengapa ia melakukan perjalanan. Karena kemampuan von Neumann menyelesaikan masalah, cakrawala matematis kita telah makin luas.
C.
Kemajuan Matematika di daratan Eropa pada Abad ke 17
Berikut tokoh-tokoh termasyhur di Eropa pada abad ke 17, diantaranya:
a. Galileo (1564-1642)
Penemuan terpenting Galileo ialah ditemukannya salah satu rumus yang berlatar belakang kecepatan benda jatuh tidak tergantung pada berat benda itu, dalil itu sangat berlawanan dengan dalil Archimedes. Kemudian pada tahun 1607, ia membuat sebuah teleskop dengan kekuatan pembesar 30 kali diameter benda yang diamati. Dengan teleskop buatannya, ia berhasil mengamati titik bintik matahari, relief bulan, fase dari cincin venus dan saturnus dan menemukan 4 satelit Jupiter. Dengan penemuan itu menguatkan pendapat Copernicus tentang sistem matahari dan menerbitkan buku pendukung teori Copernicus, dengan hasil karyanya sangat menyumbang pertumbuhan ilmu pengetahuan akan mekanika benda jatuh bebas. Penemuan lainya adalah parabola dari proyektif dalam ruang hampa dan juga menemukan hukum momentum, mikroskop dan kompas juga hasil kreatif Galileo. Hasil pemikirannya yang lain adalah menyatakan ekuivalensi dari himpunan tak hingga yang menjadi dasar teori himpunan. Juga menerbitkan buku yang berjudul “DISCORSI F DIMONSTRAZIONI MATHEMATICHE A DUE NUOVE SCIENCE” pada tahun 1638 di leiden.
b. Kepler (1571-1630) Ketertarikan
Kepler
akan
pengetahuan
astronomi
dan
ketekunannya dalam melakukan berbagai percobaan, membuat dia menyusun hukum-hukum tentang pergerakan planet, hukumnya adalah:
1) Planet bergerak mengelilingi matahari dalam orbit eliptik dengan matahari pada salah satu focus; 2) Jari-jari vector yang menghubungkan satu planet ke matahari melalui suatu luas daerah yang sama dalam interval waktu yang sama;
3) Kuadrat dari waktu satu putaran dari suatu planet mengelilingi orbitnya sebanding dengan pangkat 3 rata-rata jarak planet itu ke matahari. Penyusunan dari hukum itu sebelumnya adalah merupakan datadata yang ditulis brahe, ahli astronomi istana kaizar Rudolph II
Dan pada tahun 1800 orang gerik menggambarkan sifat-sifat kerucut, dimana Keplerlah yang pertama memakainya dalam praktek ilmu pengetahuan. Dengan memperkenalkan konsep integral sekalipun masih berbentuk kasar, pada tahun 1615 Kepler sudah memakai langkah-langkah untuk menentukan isi dari benda ruang yang berputar mengelilingi pada suatu ruas garis pada bidang irisan kerucut. Kepler juga menemukan beberapa polyhedron. Dari Kepler juga dikenal istilah focus irisan kerucut, pendekatan keliling dari elips dengan panjang setengah sumbu adalah a dan b diberikan rumus , Kepler meletakkan dasar konsep kontinuitas yang menjadi postulat ke takberhinggaan
pada
suatu
bidang.
Dan
juga
menyumbangkan
pengetahuan pada ilmu pengetahuan geometri.
c. Desargues (1593-1662)
Karya Desargues berbentuk risalat-risalat mengenai irisan kerucut. Desargues meletakkan dasar teori tentang involut daerah harmonis, homologi garis kutub dan kutub perspektif. Teorema dasar geometri proyektif dari Desargues berbunyi sebagai berikut: “Jika dua segitiga pada suatu bidang atau tidak pada suatu bidang, terletak sedemikian sehingga garis-garis yang menghubungkan dua titik sudut yang bersesuaian melalui satu titik maka titik-titk potong bersesuaian terletak pada satu garis”.
d. Blaise Pascal (1623-1662)
Pada usia 12 tahun, Pascal sudah menemukan teorema geometri elementer. Pada usia 14 tahun ikut serta dalam kelompok matematika Perancis. Usia 16 tahun, menemukan teorema hexagram mistik dalam geometri proyektif pada kurva-kurva. Isi dari Teorema tersebut adalah: “jika suatu segi enam digambarkan dalam suatu irisan kerucut, maka titiktitik
potong
dua
sisi
berhadapan
terletak
pada
suatu
garis”.
Dan teorema itu dibuktikan dengan benar untuk lingkaran. Dari teorema ini, Blaise Pascal merumuskan 400 akibat teorema hexagram mistik. Dan tahun 1640 mencetak karya lagi dengan judul “EASSY POUR LES CONIQUES” dan mengumumkan semua penemuanya, salah satu cetakan tersebut sekarang terdapat di hanover, satu lagi di perpustakaan nasional Paris. Teorema hexagram mistik terdapat pada cetakan itu, dalam aljabar sekarang kita kenal segitiga Pascal. Unsur bilangan berikutnya adalah diperoleh dari jumlah unsur sebelumnya, misalkan 56, maka itu terdiri dari 1+5+15+35, segitiga itu pada derajat tertentu digambar menurut diagonal. Bilangan-bilangan pada diagonal itu adalah koefisien berturut-turut dari pemangkatan binomial, misalnya bilangan pada diagonal kelima, yaitu 1,4,6,4,1
adalah
koefisien
pada
penjabaran
pangkat
empat.
Kemudian pada usia 19 tahun, ia menemukan mesin hitung mekanika fisika. Pada tahun 1648, ia kembali menunjukkan karyanya tentang irisan kerucut secara lengkap, karena penyakit yang dideritanya pada tahun 1650, ia memutuskan untuk meninggalkan matematika dan mengabdikan diri pada renungan agama. Namun pada tahun 1653, ia kembali pada kegiatan matematika dan menulis
buku
dengan
judul
“TRAITE
DU
TRIANGLE
ARITHMATIQUE”, karya lainya adalah menemukan hukum Pascal, teori peluang. Pada tahun 1654, ia mengalami kecelakaan ketika mengendarai kuda, lalu meninggalkan kegiatan matematikanya lagi sama seperti yang pernah
dilakukannya
sebelumnya.
Kembali
lagi
pada
kegiatan
matematikanya setelah dia sembuh, hasil pemikirannya adalah sifat geometri dari cycloida.
e. Penemuan mesin hitung
Pada tahun 1642, mesin hitung pertama diperkenalkan oleh Pascal, yaitu berfungsi untuk menjumlah, yang digunakan oleh bapaknya dalam pemeriksaan pembukuan pemerintah di Ronen. Mesin hitung itu mampu mengenal bilangan yang terdiri dari 6 angka. Keseluruhan mesin hitung Pascal ada kurang lebih 50, satu diantaranya diawetkan di conservatoire des arts et métiers di Paris. Kemudian beberapa tokoh mulai mengembangkan mesin hitung, seperti yang tampak pada tabel berikut. Tokoh
Tahun
Fungsi
Penemuan
Blaise Pascal
1642
Mekanika dan fisika
Leibniz
1671
Perkalian
Samuel Morland
1673
Perkalian
Thomas de Colmer
1820
Mengurangi dan pembagian
Frank Stephen Baldwin
1875
Penjumlahan,
mengurang,
perkalian dan pembagian Charles babbage
1792-1871
Tabel matematika tertentu
Atas berkat keteguhan beberapa tokoh, mesin hitung semakin berkembang
hingga
seperti
mesin
hitung
kita
kenal
sekarang.
D. Pusat Perkembangan Matematika berada di Eropa Pada Matematika Kontemporer (1850 – Sekarang), Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun. Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan indahnya. Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya “otak elektronik”, komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika
daripada aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin. Pada abad 20, perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi. Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih “mengeraskan” aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut “arimetisasi”. Abstraksi dan generalisasi pada abad 20, telah diantisipasi oleh Lobachevsky dengan munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti Peacock, Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai “hipothetico-deductive” dengan cara Euclid. Dengan kritikan tajam oleh Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat sistem bilangan (seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875, pada tahun 1899 Hilbert muncul dengan “metode postulatsional”. Dengan demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah abstrak murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano berjaya menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas (dalam arti dapat “menghasilkan”) sistem bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya melalui postulat pada bilangan alam. Permasalahan terakhir adalah masalah “landasan” atau “pondasi” matematika atas struktur matematika itu dibentuk. Matematika yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh generasi ke generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak “hanya” dalam beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk berkomunikasi sesama manusia. Dengan
demikian
matematika
perlu
dijaga
dan
dikembangkan
untuk
mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah. Landasan dan Paradoks dalam Matematika Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks atau antinomi dalam matematika.
Krisis I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam geometri) adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua „teori proporsi‟ model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM. Krisis II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini sangat diagungkan karena penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya „infinitesial‟. Malangnya, hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk menjelaskan landasannya. Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy dengan memperbaiki konsep kalkulus melalui konsep „limit‟. Dengan aritmetisasi oleh Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi. Abad ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh para matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoksparadoks dalam teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini, yang memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis. Macam-macam
Aliran
dalam
Membangun
Landasan
Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat matematika: logistis, intuisionis, dan formalis. Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya
monumental “Principia Mathematica”. Dalam buku ini hukum „excluded middle‟ dan hukum „kontradiksi‟ adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai. Kaum intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi dari programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika. Matematika haruslah dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit. Mereka menolak hukum „excluded middle‟ jika akan diberlakukan untuk langkah infinit. Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang yang diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang diperlukan. Kaum formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan „teori bukti‟ untuk menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum
formalis
menghasilkan
karya
monumentalnya
“Grunlagen
der
Mathematik:”, jilid I dan II. Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi suatu perangkat aksioma karya Hilbert „tak dapat ditentukan‟, bahkan sebelum buku Hilebrt II diterbitkan. Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial pertumbuhan biologis. Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, “dahulu”, “pertengahan”, dan “sekarang”. Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut
penemuan naskah yang dapat dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani (600 SM – 300), (3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah (2)), (4) Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan kebudayaan Eropa. Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode “dahulu”, ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia. Periode “pertengahan” mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode “sekarang” ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi. Ternyata perkembangan matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh lebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika yang mengatakan “matematika adalah cara berpikir dan bernalar”, Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan geometri euclid (lama). Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari induknya dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami para matematikawan untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.
Motivasi yang melatar-belakangi perkembangan matematika semula diperkirakan ekonomi. Penelitian lebih mendalam ternyata tidak demikian. Latar belakang ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada perdagangan, asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika dapat dimotivasi oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk „makanan‟ para pakar matematika. Bagi para pakar matematika „murni‟ tidak ada tujuan apa pun terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa memikirkan apakah kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman). Banyak matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja matematika, namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan hasil-hasil yang rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi hasil-hasil karya setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan pekerja yang sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu siasia.
http://ulyanajra.blogspot.com/2012/01/perkembangan-matematika-eropasampai.html http://www.suaramedia.com/sejarah/sejarah-islam/13072-ahmad-ibnu-yusufilmuwan-ahli-matematika-dari-mesir.html http://duniawiie.blogspot.com/2011/10/matematika-dan-warisan-budaya.html http://akuyudhipblg.blogspot.com/2012/03/asal-mula-bilangan-nol-bilanganprima.html http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2007/11/matematika-di-indonesiabagian-1.pdf http://nadiyyazummi.blogspot.com/2012/09/perkembangan-matematika-padaabad.html
