INTRODUCCIÓN: El hombre de la prehistoria con sus conceptos vagos de número y de la medida es muy probable que contará con los dedos u otros objetos y que midiera las longitudes de ciertas líneas (por ejemplo los babilónicos perfeccionaran la agrimensura ) comparándolas con ciertas partes de su cuerpo (medición antropométrica ) y es allí donde observamos que el hombre de estos tiempos ya manejaba la idea de línea lo cual lo fue perfe ccionando para lograr mejor exactitud en el desarrollo de la humanidad (los egipcios en la construcción de las pirámides , los incas en la construcción de los andenes) también observamos que ya tenían tenían la idea de ángulo para dar forma forma a figuras cerradas que la usaban para delimitar los terrenos de cultivo, dar forma a los bloques de piedra para las edificaciones. En la actualidad también notamos el uso de estas figuras en el diseño diseño de ciertos objetos. ELEMENTOS FUNDAMENTALES DE LA GEOMETRIA. Los objetos están en nuestro entorno nos dan la idea intuitiva de cuerpo geométrico, superficie geométrica, líneas y punto . Una vez adquirida estas nociones intuitivas la mente hace abstracción de los cuerpos materiales que han tomado la base y pasa de lo concreto a lo abstracto. abstracto. Para la geometría; geometría; el punto, la recta , el plano son elementos elementos fundamentales que no se definen, solo surgen de la idea partiendo de la realidad y formulando después las propiedades que caracterizan a cada uno de estos elementos . Representación gráfica de un punto. P
Representación gráfica de Una recta. B L notación :
notación :
re cta L ó L A
re cta
AB ó
AB AB
Representación gráfica de un plano. NOTACIÓN : PLANO H H
H
LINEAS 1. línea Recta: Es un concepto fundamental que posee las siguientes características; es ilimitado en sus dos sentidos, además dos puntos basta para determinarla. 2. Línea curva: Son aquellas líneas que no tienen porciones de línea recta. 3. Línea mixta: Esta formada por porciones de línea recta y porciones de línea curva que se encuentran unos a continuación de otros. 4. Línea quebrada o poligonal: poligonal : Esta formada por porciones de línea recta no alineados que se encuentran unos a continuación de otros. PARTES DE LA LÍNEARECTA SEGMENTO Es una parte de la recta comprendida entre dos puntos de dicha recta, a los cuales se le denomina extremos del segmento. A
a
B
Así en el gráfico se tiene el segmento AB de extremos A y B Notación: segmento AB ó AB LONGITUD DE UN SEGMENTO Expresa el tamaño o medida de un segmento y resulta de la comparación del segmento con otro tomando como unidad el (metro) entonces dicho segmento tiene una longitud de 3m.
1
Si la longitud de un segmento no se conoce, está convencionalmente se indica con una letra latina Minúscula. Así, del gráfico anterior, es la longitud del segmento AB: entonces AB= a AB : se lee “ longitud del segmento AB ”
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO. Es aquel punto que pertenece al segmento y que lo divide en dos segmentos parciales de igual longitud.
a
a A Si M
M
B
AB y AM=MB; entonces M es el punto medio de AB.
Semirrecta. Sobre una recta L marcamos un punto O, la recta es dividida en dos partes, a cada parte se le llama semirrecta de origen O, la semirrecta no incluye al origen. Rayo. Se llama así cuando la semirrecta incluye al origen. CONGRUENCIA DE SEGMENTOS. Dos segmentos son congruentes si tienen igual longitud. AB CD AB CD Se lee el segmento AB es congruente con el segmento CD si y solo si la longitud del segmento AB es igual a la longitud del segmento CD OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE SEGMENTOS: L b
a A
C
B
En la figura los puntos A, B y C son colineales y consecutivos, entonces se establecen las siguientes operaciones con las longitudes de los segmentos ADICION DE SEGMENTOS: Del gráfico: AC= AB+BC SUSTRACCIÓN DE SEGMENTOS: Del gráfico: AB=AC-BC NOTA: La distancia entre dos puntos por definición es la longitud del segmento que tiene por extremos a dichos puntos. Sean P1 y P2 dos puntos dados, entonces de la definición. Si: P1 y P2 = d d: distancia entre P 1 y P2 P 2 D
P 1
PROBLEMAS RESUELTOS PROBELAMA Nº1 En una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que AD=30, AB=10, CD=12. Calcular BC. A) 5 D) 7
B) 6
C) 8 E) 4
RESOLUCION: Dibujamos una recta, sobre la cual marcamos los puntos A, B , C, D a la longitud del segmento que nos piden le damos un valor “x”, los datos numéricos ponlos en la figura. 2
30=10+x+12 30=22+x Entonces x=8 Problemas para la clase. 1) Si el segmento AB mide 17, determine el valor de “x” en cada uno de los casos.
a)
b)
c)
d)
2) determinar “x” si M es punto medio de AB.
a)
3
b)
3) Determinar PQ siendo AB=31 a)
b)
4) Determine AB, siendo M punto medio de AB. a)
b)
5) P, Q y R son tres puntos distintos y consecutivos de una recta. Si PQ es el triple de QR y PQ=32. Determine las medidas de los segmentos.
4
6) Siendo AB y BC segmentos colineales y consecutivos, AB es el cuádruple de BC y AC=45. Determine AB y BC.
7) En el grafico calcular “x”
8) En el grafico si, B es punto medio de AC, calcular “x”
9) Si M y N son puntos medios de AB y BC respectivamente calcular “x”
5
10) Del grafico calcular BC.
11) Si “C” es punto medio de AD, calcular BC.
2) En los puntos colineales A, B, C, D se cumple que BC=5, AC+BD=20. Hallar AD PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA Nº 01 En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que: BC = CD, AC x BC = 20. Hallar AD2 - AB2. RESOLUCIÓN A
B
C
AC x BC = 20 (BC)(AB + BC) = 20 1 4
D
1 BD BD 2 AB BD . BD 20 AB 20 2 2 4
2 AB AD ABAD AB 20
AD2 AB2 80
1 4
AD ABAD AB 20
Rpta.: 80
PROBLEMA Nº 02 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, M de modo que: AM + BM = 3 AB. 2
Calcular
AM BM
RESOLUCIÓN A
AM + BM =
B
3 2
M
AB
6
AM + BM =
3 2
(AM - BM)
2AM + 2BM = 3AM - 3BM
AM BM
5
Rpta.: 5 PROBLEMA Nº 03 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, P, C y D. si 2AB=CD, BP=PC y AP=12; calcular BD. A) 12 D) 20
B) 16
C) 18 E) 24
Resolución: Se introducen los datos a la figura: BP=PC=m, si AB=n, entonces CD=2AB =2n En la figura la incógnita BD=2m+2n=2(m+n)…..(1)
En la figura AP=12=m+n En (1) BD=24 PROBLEMA Nº 04
En una semi recta OX se toma OA=3 y OB=5 en la semi recta BX se toma un punto M, calcular OM para que se cumpla: 4OA-AM-2BM=4 A) 8 D) 7
B) 6,5
C) 22,33 E) 9
Resolución: Por condición: 4OA-AM-2BM=4………(1) De la figura: OA=3 AM=OM-3 BM=OM-5 Remplazando en (1): (4).(3)-(OM-3)-2(OM-5)=4 12-OM+3-2OM+10=4 OM
21 3
7
PROBLEMAS RESUELTOS NIVEL II 1) sean los puntos colineales y consecutivos A, B, C y D tal que: BC=AB+1 y CD =AB – 3 Calcular AD; si AB es mínimo entero. A) 1
B) 4
C) 7
D) 10
B a+1
C a-3
E)12
Resolución :
A
a
D
como “ a ” es mínimo entero
a-3 por lo tanto amínimo
entero
=4
0 luego a 3
luego. AD = 3a -2 AD = 10
7
2) En una recta se ubican los puntos A, B , C, D y E de manera que B y D son puntos medios de AD y CE si: AC – DE =8. Calcular BC A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E)5
Resolución: m
m
B x C
A
D
E n
n
incógnita : BC = m – n = x del gráfico: AC – DE =8 (2m – n ) – (n) = 8 m – n = 4
luego
BC= 4
3) En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B , C y D : tal que : AB – BC = 3 y AD+CD=15 Calcular: BD. A) 3 D) 6
B) 9
C) 4 E)5
Resolución : x A
a
B
b
C
c
D
del dato : a – b = 3 …….() también: a+ b+ c + c= 15………()
sumando: ( ) + () se obtiene : 2 a + 2c = 18 a+c=9 luego en () : a + b + c + c = 15 (a + c) + (b + c) = 15 9 + b + c = 15 luego: b + c = 6
finalmente. BD=6
8
4) En una recta se toman los puntos consecutivos P , Q , M , R tal que Q 4 PM MR es punto medio de PR. A qué es igual ¿ 3 QM A) 3.6 D) 2.66
B) 9.6
C) 4
E)5
Resolución: b Q
P
M
a
R
a
Del gráfico : QM=b Luego : PM=a + b y MR =a – b Reemplazando : E
4 a b ( a b) 3
E
b
4(2b) 3b
luego. E 2,66
5)
Sobre una línea recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que : CD=2(AB), además , M es punto medio de BC, Calcular BD si: AM=16
A) 32 D) 30
B) 35
C) 38 E)39
Resolución : b
b B
A
M
C
a
D 2a
16 x
Del gráfico : a + b = 16………….(1) X = 2 a + 2b X = 2(a + b)……………………….(2)
Reemplazando: X = 2(16) = 32 luego BD = 32
9
6) Sobre un rayo OY se toman los puntos A, B y C consecutivamente de modo que los puntos A y B distan del origen “O” a y b
respectivamente. Calcular la longitud del segmento OC si : AC BC 3 2
AB
A) D)
ba
B)
4
5b a
E)
4
5b a
C)
2
ba
8
5b a 2
Resolución : X B
A
O
C
Y
a b
Del gráfico : AC = x – a BC = x – b AB = b – a Reemplazando : x a x b ba
3 2
2x – 2 a + 2x – 2b = 3b – 3 a
5b a luego :
4
2) En una línea recta es considerada los puntos consecutivos A , B, C y D además los puntos R y S son los puntos medios de AC y BD si: AB=7 y CD=3; Calcular RS. A) 3 D) 6
B) 9
C) 4 E) 5
Resolución : b
b A 7 B
R x S
a
a
Del gráfico: BR=a – 7
C 3 D
y SC= b – 3
También se observa: x = b – BR y x = a – SC. Luego reemplazando: x =b – (a – 7) x =a – (b – 3) 2x = 10
sumando finalmente
x =5
10
3) Se tiene los puntos consecutivos y colineales A, B, C y D siendo : AB=3 y CD=2. Hallar AC: si 4BC + 5AD = 88 A) 10 D) 6
B) 9
C) 4
E) 5
SOLUCION: 3
A
B
C
2
D
X
Del gráfico:BC=x – 3; 4(x – 3)+5(x+2)=88 AD = x + 2 9x – 2 = 88 Reemplazando: 4(BC)+5(AD) ….9x=90
x = 10
4) En una línea recta se toman los puntos consecutivos P, Q, R y S, tal que RS=3PR; QS – 3PQ =20. Hallar QR. A) 3 D) 6
B) 5
C) 4 E)8
Resolución: x P
Q a
S
R 3a
Del gráfico : QS =3 a + x PQ = a – x Reemplazando: QS – 3(PQ) = 20 3 a + x –3(a – x) = 20 3 a + x –3 a + 3x = 20 4x = 20 x= 5
11
5) A, C, M y B son puntos consecutivos y colineales, sobre el cual se cumple :
2
AM
1 AC
1
Hallar MB, si : (AM).(AB) = 16cm2
2 BM
además C es punto medio de AB. A) 3
B) 2
C) 4
D) 6
E) 5
Resolución: x A
C
M
b
B
b
Del gráfico : AM = 2b – x AB = 2b Datos : (AM).(AB) = 16 (2b – x).(2b) = 16 4b2 – 2bx = 16………….(*) luego:
2 2b x 2 2b x
1
b
1
2 x
;
2 x b 2 xb
4xb = (2x + b)(2b-x) 4xb = 4xb –2x2 + 2b2 – bx 2x2 + bx = 4b2 por (2) 4x2 + 2bx = 4b2 ……………(**) De (*): 4b2 = 16 + 2bx De (*): en (**) : 4x2 + 2bx = 16 + 2bx x= 2 6) Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de modo que : BC=3(AB) y CD=2(AB) luego se ubica : M punto medio de AC, N: punto medio de CD Calcular MN, Si AD=18. A) 3 D) 6
B) 9
C) 4
E) 5
Resolución : 3a A
a B
2a C
M
D
N
x 2a
2a
a
a
18 Del gráfico: 6 a = 18
……… a = 3
Luego: MN = 3 a entonces MN = 9
12
2) En la figura : se cumple que : (AB).(CD) = n(BC).(AD)
y
1
AD
n AB
7
AC
Hallar: n A) 3 D) 6
B) 9
E) 5
C) 4
Resolución B
A
C
D
AB.CD = n(BC)(AD) ….. en función de AD, AB y AC : n 1 7
AD
AB
AC
luego : CD = AD – AC BC = AC – AB AD …………….queda AB …………… queda
Reemplazando: AB(AD – AC) = n (AC – AB)( AD) AB.AD – AB.AC = nAC.AD – n.AB.AD AB.AD + n.AB.AD = n.AC.AD + AB. AC AB.AD(1 + n) = n.AC.AD + AB.AC Luego, dividiendo ambos miembros Por: (AB.AD.AC)-1 AB. AD(1 n) AB. AD. AC
1 n
AC 1 n
AC
n AB 7
nAC . AD AB. AC AB. AD. AC
1
AD n=6
AC
Problema para la discusión
3) Decir verdadero (V) ó falso (F): ( ) es posible dibujar la mediatriz de una recta ( ) En la siguiente figura hay 3 segmentos de rectas.
A
C
B
( ) Con tres segmentos de recta siempre es posible formar un triángulo. A) VVV D) VFV
B) FVF
C) FFF E) VFF
RPTA : FVF
13
4) En una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C. Hallar la longitud del segmento que tiene por extremos el punto B y el punto medio del segmento que se forma al unir los puntos medios de los segmentos AB y BC Si: AB – BC = 15. A) 3,75 D) 6 ,80
B) 2,10
C) 4,23 E) 5,31
Resolución: a A
a x B
M a+b 2
C
N
a+b 2 b
b
Del dato : AB = 2 a BC = 2b AB – BC = 2(a – b) 15 = 2(a – b) a – b = 7,5 luego del gráfico :
a b x a 2
2a a b x 2
x
a b
2
x = 3,75
5) Sobe una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E; si :
AB BC=2AB y
AC
BD CE
Calcular DE
( dato : AD= 20). A) 30 D) 62
B) 95
C) 40
E) 51
Resolución:
A
a
B 2a C 20
Del dato :
a 3a
E
D x
20 a 20 x 3a
20 + x – 3 a = 60 – 3 a 20 + x = 60 x = 40
14
6) En una línea recta se marcan los puntos consecutivos A, B, C y D; además P y Q son los puntos medios de AB y CD y los puntos M y N son los puntos medios de AC y BD. Si PQ= 14 y BC=9. Calcular MN. A) 3 D) 6
B) 9
C) 4
E) 5
Resolución : m A a P a B
m x N
M
C b Q b D
c
c
PQ = PB + BN +NQ PQ =a + m +(m – b) PQ = a + 2m – b 14 = a + 2m – b ………..(1) BC = BN + NC BC = m + (m – 2b) BC = 2m – 2b 9 = 2m – 2b ……………(2) luego: (1) en (2) 14 = a + 2m – b 9 = 2m – 2b 5 = a + b …………….. (*) x =m –(c – 2 a) x = c – (m – 2b) sumando 2x = m – c + 2 a + c – m +2b 2x = 2(a + b) pero a + b = 5………(*)
x=5
7) Tres segmento tiene sus longitudes proporcionales a los números 5, 8 y 12. Si el mayor tiene 56 unidades más que el menor, entonces la longitud del segmento que no es mayor ni menor es: A) 32 D) 64
B) 94
C) 46 E) 58
Resolución: M 5k N A
8k
B P
12k
Q
por dato : PQ = MN + 56 12k = 5k + 56 k=8 luego :
AB = 64.
2) Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D y la condición: AC.BD + BC.AD = 0. Si: M es punto medio de AB Hallar AM, además: MC.MD = n2 . (n Z+ ; n 0 ) A) 2n D) n
B) n2
C) 3n
E) n + 1
Resolución:
A a M
a B
b
C
c
D
Datos : AC.BD + BC.AD = 0 …...(1) 15
MC.MD = n2 ……………………..(2) Reemplazando valores en (1) (2a+b)(b +c) + (b)(2 a + b +c) = 0 2ab +2ac + b 2 +bc + 2ab + b 2 + bc = 0 4ab +2bc +2b 2 + 2ac = 0 sacando mitad: 2ab + bc + b 2 + ac = 0 luego: (a + b)(a + b + c) = n 2 a2 + ab + ac + ab + b 2 + bc = n 2 a2 + 2ab + ac + b 2 + bc = n2 ordenando: a2 + 2ab + bc + b2 + ac = n 2 a2 + 0 = n 2
entonces
AM = n
3) Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D; Si AB=3BC=4CD; y AD = 38cmHallar la longitud del segmento AC. A) 32 D) 63
B) 90
C) 45
E) 54
Resolución : A
3b
Bb C
3b 4
D
3b + b + 3b/4 = 38 luego: AC = 4b 19b/4 = 38 b=8 AC = 32
16
