SEGIEMPAT DAN LINGKARAN
A. SEGIEMPAT TALIBUSUR
Definisi
: Segiempat talibusur ialah segiempat segiempat yang ke empat titik sudutnya
terletak pada keliling sebuah lingkaran.
Jika kita gambarkan sebuah lingkaran dan pada kelilingnya kita ambil empat buah titik, yang kita hubung-hubungkan, maka terjadilah sebuah segiempat yang disekelilingnya terdapat sebuah lingkaran. Keempat buah sisi segiempat
itu ialah talibusur lingkaran itu. Segiempat yang demikian kita
namakan segiempat talibusur. Jadi segiempat talibusur ialah segiempat yang titik sudut-sudutnya terletak pada keliling lingkaran. Sebuah lingkaran ditentukan oleh tiga buah titik. Jadi jika kita mempunyai tiga buah titik (titik-titik itu tidak boleh terletak pada sebuah garis lurus), kita selalu dapat membuat sebuah lingkaran yang
1
melalui ketiga buah titik itu. Karena itu melalui sebuah segitiga selamanya dapat kita buat sebuah lingkaran. Tetapi jika kita gambarkan sekarang segiempat saja,maka umumnya tak dapat kita buat sebuah lingkaran, yang melalui keempat-empat titik sudut segiempat itu. Tentu saja dapat kita buat sebuah lingkaran melalui tiga buah titik dari keempat titik sudut itu, sehingga adanya titik sudut yang keempat pada keliling lingkaran itu merupakan hal yang khusus. 1. Sifat ² sifat segiempat talibusur
a. Dalam sebuah segiempat tali busur sudut-sudut yang berhadapan suplementer. D iketahui
: ABCD ialah segiempat tali busur. o
Buktikan :
A+
Bukti
A
= bs. BCD
C
=
:
A+
C = 180 .
bs. BAD
C=
=
=
2
b. S udut luar dari sebuah sudut segiempat tali busur sama dengan sudut dalam yang berhadapan dengan sudut segiempat itu.
Jika sudut-sudut A dan C suplementer, maka sudut luar C sama dengan A. Sebaliknya sudut luar A sama dengan o
C.
Buktinya mudah sekali :
C
= 180 -
Cx (sudut bersisian)
Demikian
:
A
= 180o -
Cx
:
A =
Akibatnya
pula
C.
3
c . J ika dua buah sudut yang berhadapan pada sebuah segiempat suplementer dan sebuah sudut luar sebuah segiempat sama dengan sudut yang berhadapan dengan sudut dalam segiempat, maka segiempat itu segiempat talibusur.
D iketahui
: segiempat ABCD. A+
o
C = 180
Buktikan : ABCD segiempat talibusur.(Dengan kata lain A, B, C dan
D
terletak pada linkarang. Bukti : kita harus membuat sebuah linkarang melalui titik-titik D, A dan B. Jadi sekarang harus dibuktikan bahwa C pun terletak pada linkarang itu. Maka ada dua kemungkinan : 1. C tidak terletak pada lingkaran 2. C terletak di dalam lingkaran
4
Maka kita perpanjangan garis DC memotong linkaran di E. Jadi segiempat ABED ialah segiempat talibusur, dimana Tetapi diketahui
A +
C1= 180o. Sehingga
A +
C1 =
E = 180o.
E.
Jadi kemunkinan bahwa titik C terletak pada lingkaran. d. Dalam sebuah segiempat talibusur hasil kali garis sudut-menyudut sama dengan dijumlah hasil kali sisi-sisi yang berhadapan.
Jika sisi-sisinya kita sebut a, b, c, dan d dan garis sudut-menyudutnya p dan q, maka ; rumus : p x q = ac + bd
D ik
: segempat talibusur ABCD
Buktikan : BD x AC = AB x CD + BC x AD Bukti
: Tarik garis DE sedemikian , hingga A1 =
ADE =
CDB
B2 = bs. CD
5
D1 @¨
=
D3
( dibuat sama)
AED b ¨ BCD
Jadi AE : BC = AD : BD Atau AE X BD = BC x AD.........I
Lagi pula :
C2 = D23
B1( bs. AD)
=
D12
@¨
CDE b ¨ BDA
DC
: BD = CE : AB atau
BD x CE = BC x AB............II
Menjumlahkan pers. I dan II I.
AE x BD
= BC x AD
II.
CE x BD
= DC x AD
BD ( AE + CE ) = BC x AD + DC x AB BD x AC @
= BC x AD + DC x AB q xp = b xd +c xa
6
e. P erpanjangan sisi-sisi
Sebuah perpanjangan sisi-sisi AD dan BC dari segiempat talibusur ABCD. Perpanjangan-perpanjangan ini berpotongan di P. kita misalkan PD = x dan PC = y dan kita hendak mencoba menyatakan x dan y dengan sisi-sisi segiempat talibusur. Sisi-sisi ini kita sebut berturut-turut a, b, c, dan d. D iketahui
: segiempat talibusur ABCD.
1. PD = x = perpanjangan AD. 2. PC = y = perpanjangan BC. Nyatakanlah x dan y dengan a, b, c, dan d. ¨ PDC b ¨ PBA (
P bersekutu ,
D3
=
B
Akibat dari kesebangunan ini : 1.
x : ( y + b ) = c : a atau ax = c ( y + b ) atau ax ± cy = bc ...........I 7
2.
y : ( x + d ) = c : a atau ay = c ( x + d ) atau ay ± cx = cd.............II
Dari
pers. I dan II kita dapat menentukan perpanjangan diagonalnya.
2
ax ± cx = bc ( c )
2
acx ± c y = bc 2
ay ± cx = cd ( a ) - acx + a y = acd + 2
2
2
y ( -c + a ) = bc + acd
y= y=
ax ± cy = bc ( a ) ax2 - acy = abc 2
2
ay ± cx = cd ( c ) - cx + acy = c d + x ( a2 + c2 ) = abc + c2d
x= x=
Ada beberapa cara untuk mempermudah menghitung perpanjangan sisisisi: a. ¨ PDC ~ ¨ PBA b. Akibatnya ada dua buah perbandingan seharga c. Sesudah pemakaian sifat utama perbandingan seharga, kita peroleh dua buah persamaan, yang bilangan-bilangannya merupakan perpanjangan perpanjangan yang diminta. d. Kedua bilangan itu kita cari.
8
f . P anjang diagonal
Maka menurut pendirian Ptolomeus : BD x AC = ac + bd..........I Kita perpanjang AD dan BC. Kalau kita perhatikan ¨ BDP dan ¨ ACP, maka 1. 2.
P=
P
B= A = ½ bs. DC Jadi ¨ BDP ¨ ACP Atau BD : AC = DP : CP.......II DP
=x=
CP = y =
BD : AC = ( ab + cd ) : ( bc + ad )....III
9
Jadi dari diagonal ± diagoal itu kita ketahui hasil kalinya ( I ) dan perbandingannya ( III )
kita kalikan ( I ) dan ( III ):
BD x AC x
=
2
BD = ( ac + bd ) x BD
kita bagikan ( I ) dan ( III )
BD x AC :
2
AC = ( ac + bd ) :
AC =
Untuk mempermudah menghitung panjang diagonal : a. Hitunglah perpanjangan sisi-sisi dan dengan bantuan bantuan perbandingan- perbandingan panjang diagonal ( III ) b. Pendirian ptolomeus menghasilkan diagonal- diagonal c. Kalikan kedua hasil itu dan bagikan keduanya
10
g. Luas segiempat talibusur
Sekarang kita dapat menghitung luas segiempat talibusur, kalau keempat sisinya dikatahui.kita tarik sebuah diagonal AC. Oleh sebab itu, terjadi segitiga-segitiga ABC dan ACD. Pada tiap-tiap segitiga ini kita pergunakan rumus s, yaitu : Luas ¨ = BC + AC) dan untuk ¨ ACD Dari
. Untuk ¨ ABC s = (AB +
(AC + CD + DA).
ini tenyata bahwa AC perlu dihitung dulu dengan cara §
panjang diagonal. Kalau luas kedua segitiga ini kita jumlahkan luas yang ditanyakan. B. SEGIEMPAT PENYINGGUNG
Definisi:
Segiempat penyinggung ialah sebuah segi empat, yang keempat sisinya
menyinggung sebuah lingkaran.
11
Jika pada keliling sebuah lingkaran kita ambil empat buah titik dan titik ini kita buat garis singgung pada lingkaran itu, maka garis-garis singgung itu membentuk sebuah segiempat. Segi empat yang demikian disebut segiempat penyinggung.
Gambar10
Karena garis singgung-singgung yang ditarik dari sebuah titik ke sebuah linggkaran sama, maka kita peroleh seperti gambar di atas. AP = AS BP = BQ CR = CQ DR
= DS
12
AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS,atau AB+CD=BC+AD,
Dengan
perkataan
³Dalam sebuah segiempat penyinggung jumlah sisi yang berhadapan sama. 1. Ciri-ciri untuk mengenali sebuah segiempat penyinggung
Tentulah jelas bagi kita bahwa tidak pada tiap-tiap segiempat dapat kita buat sebuah lingkaran, dengan kata lain bahwa tidak sembarangan segiempat
dapat
dinamakan
segiempat
penyinggung.
Dengan
jalan
menggambarkan garis bagi dua buah sudut yang berturutan, dapatlah kita membuat sebuah lingkaran, yang menyinggung tiga buah dari sisi itu(lihat pada gambar di bawah). Pada umumnya sisi yang keempat tidak akan menyingggung lingkaran itu.
Tibalah kita pada sebuah pertanyaan: kapan sebuah segiempat dikatakan segiempat penyinggung?
jik a dalam sebuah segiempat jumlah sisi yang berhadapan sama, segiempat itu disebut segiempat penyinggung.
Gambar11
13
Diketahui:
segiempat ABCD AB+CD=BC+AD Buktikan: ABCD sebuah segiempat penyinggung. Bukti: seperti yang sudah kita terangkan di atas, kita selalu dapat lingkaran P,yang menyinggung sisi AB,AD,dan DC.jadi sekarang haruslah kita buktikan bahwa jika AB+CD = BC+AD, sisi BC pun harus juga menyinggung linggkaran P Ada dua hal yang mungkin: a. BC tidak menyinggung lingkaran P b. BC menyinggung lingkarkan P
Seandainya, BC tidak menyinggung lingkaran P, maka tentulah dapat kita selalu menarik sebuah garis singgung dari B ke lingkaran ini,jadi dalam hal ini BK kita anggap, benar-benar menyinggung lingkaran itu.
Dalam
hal ini
tentulah ABK D sebuah segiempat penyinggungan. Jadi AB + K D =BK + AD (1) Diketahui
AB + DC = BC + AD (2)
Jika kita mengurangi kedua pendapat itu yang satu dengan lain, kita peroleh: DC
± K D = BC ± BK
KC = BC ± BK Ketiga potong garis ini ialah sisi-sisi sebuah segitiga.
Dalam
sebuah segitiga
tidak mungkin sebuah sisi sama dengan selisih kedua sisi yang lain (sebuah
14
sisi selamanya lebih besar daripada selisih kedua sisi yang lain). Jadi dugaan kita, bahwa BC tidak menyinggung lingkaran itu, tidak benar. Karena kemungkinan yang ada hanya ada dua buah, kemungkinan yang kedualah yang harus betul, dengankata lain, BC harus menyinggung lingkaran. 2. Segiempat tali busur yang juga merupak an segiempat penyinggung.
Akan dijelaskan bagi kita, bahwa sebuah belah ketupat dan sebuah persegipun selalu merupakan sebuah segiempat penyinggung menurut pendirian yang terakhir. Sebuah persegi panjang dan sebuah jajaran genjang tidak akan mungkin menjadi segiempat penyinggung menurut pendirian tersebut. Bagaimanaka halnya dengan trapesium! D
C¶
A
C
B¶
S
B
R¶
P
R
Q¶
N
M¶
Q
M
Gambar 12
K
L¶
L
15
Dari
Gambar-gambar yang di atas nyatalah, bahwa sebuah trapesium,
sebuah trapesium sama kaki dan trapesium siku-siku mungkin menjadi segiempat penyinggung. Tetapi trapesium-trapesium itu tidak tentu selamanya segiempat penyinggung! Sekarang kita akan bicarakan sebuah trapesium, yang merupakan sebuah segiempat tali busur dan sebuah segiempat penyinggung sekali. Dengan
perkataan itu: kita akan membahas sebuah trapesium yang di dalam
dan sekelilingnya dapat dibuat sebuah lingkaran. Jika di sekeliling sebuah trapesium.
Dapat
kita buat sebuah lingkaran,
maka segera dapat kita katakan, bahwa trapesium.itu harus sama kaki.
16
a)
Mula-mula akan kita perlihatkan, bahwa S dan P kedua-duanya terletak pada sumbuh persekutuan kedua sisi sejajar sebuah trapesium samakaki. Segera terlihat, bahwa P terletak pada sumbu AB, karena AP = BP = R. S titik potong garisbagi sudut A dan B. Kedua garis bagi itu sama. Jadi sudut-sudut BAS dan ABS sama, atau segitiga ABS samakaki, jadi titik S pun terletak pada sumbu AB.
b) Sekarang sisi-sisi tegak trapesium. Itu akan kita nyatakan dengan sisi-sisi sejajar. Misalkan AB = a dan CD = b karena F dan G titik tengahnya, jadi AF =FB = 1/2 a dan DG = GC =1/2 b Garis singgug-garis singgung dari DG
D
pada lingkaran S sama, jadi
DK
=
= 1/2 b AK = AF = 1/2a
DK
+ AK = 1/2 a + 1/2 b atau
AD = 1/2 (a + b ). Sesi tegak itu sama dengan seperdua jumlah sisi sejajar. c)
Sekarang tinggi t akan kita nyatakan dengan sisi sejajar.
Dalam
segitiga
siku-siku AED: 2
2
2
ED = AD ± AE , sedangkan AE = AF ± EF = AF ± DG (EFGD persegi p.) =1/2 a -1/2 b = 1/2 (a ± b). Maka ED2 = { 1/2 ( a + b ) }2 ± {1/2 (a ±b) }2 = 2
2
2
2
=1/4 a + 1/2ab + 1/2 b ± 1/2 a + 1/2 ab ± 1/4 b = ab ED = t = SG = SF = r r = 1/2 GF = 1/2 t
17
BAB III PENUTUP A. K esimpulan Dari
uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa pentingnya Geometri I
tentang Segiempat dan Lingkaran, karena sebagaimana kita ketahui bahwa matematika ekonomi merupakan alat bantu yang dapat mempermudah kita mengetahui perhitungan tentang diskon. Namun walau bagaimanapun, sebaik apapun materi yang dipelajari khususnya segiempat dan lingkaran tetap juga mempunyai kelebihan dan kekurangan masing-masing, itu semua tergantung partisipasi dari mahasiswa itu sendiri untuk memepelajari materi tersebut. B. Saran
Tidak ada pekerjaan yang tidak dapat dilakukan kecuali tiadanya niat yang sungguh-sungguh dari pelakunya.
Hantu
penyakit orang yang ingin maju
adalah kegagalan dalam menyingkirkan penyakit enggan dan menunda-nunda pekerjaan dengan mengatakan nanti saja, atau lain kali deh! Semoga apa yang kami sampaikan bisa bermamfaat kepada kita semua, khususnya bagi kami pribadi. Amin««!!!
18
DAFTAR
PUSTAKA
Nurhaeda P. 2010. Geometri I . Parepare : FKIP UMPAR Parepare. Sudjatmiko Ponco. 2004. Matematika Kreatif Konsep dan Terapannya. 1B untuk Kelas 1 SMP dan MTS, Solo : Tiga Serangkai.
19
